A K A D É M I A I K É Z I K Ö N Y V E K
S P O R T , É L E T M Ó D , E G É S Z S É G Főszerkesztő | SZATMÁRI ZOLTÁN
F I L O Z Ó F I A Főszerkesztő | BOROS GÁBOR
M A G Y A R O R S Z Á G T Ö R T É N E T E Főszerkesztő | ROMSICS IGNÁC
V I L Á G T Ö R T É N E T Főszerkesztő | SALAMON KONRÁD
M A G Y A R N Y E L V Főszerkesztő | KlEFER FERENC
K É M I A
Főszerkesztő | NÁRAY-SzABÓ GÁBOR
V I L Á G I R O D A L O M Főszerkesztő | PÁL JÓZSEF
F I Z I K A
Főszerkesztő
| HOLICS LÁSZLÓ
MJP Megyei Könyvtár Debrecen
Í7 3 O
T G l
Megjelent a Nemzeti Kulturális Alap támogatásával
nka
Nemzeti Kulturális Alap
írták
Cs á k á n y An t a l, Fl ó r i k Gy ö r g y, Gn á d i g Pé t e r, Ho l i c s Lá s z l ó, Ju h á s z An d r á s, Sü k ö s d Cs a b a,Ta s n á d i Pé t e r
Az 1-6. fejezet ábráit Fl ó r i k Gy ö r g y, a 7-35. fejezet ábráit Ho l i c s Lá s z l ó
készítette
A 10.7.2.-10.7.6. fejezeteket lektorálta Vö r ö s Gy ö r g y
Kiadja az Akadémiai Kiadó,
az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvteijesztők Egyesülésének tagja.
1117 Budapest, Prielle Kornélia u. 19. www. akademiaikiado .hu
Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános előadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetően is.
Printed in Hungary ISBN 978 963 05 8487 6
ISSN 1787-4750
Első magyar nyelvű ldadás: 2009 © Akadémiai Kiadó, 2009
Tartalom
Előszó (Holics L ászló)... 25
I. MECHANIKA (Flórik György) 1. A mozgások leírása (kinem atika)... ...29
1.1. Az anyagi pont mozgásának le ír á s a ... ...29
1.1.1. A lapfogalm ak...29
1.1.2. A sebesség...35
1.1.2.1. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás sebessége... ...35
1.1.2.2. A változó mozgás sebessége ...36
1.1.3. A gyorsulás ...39
1.1.4. Mozgások leírása egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási... rendszerekben ...43
1.1.5. Néhány mozgás részletes leírása ...46
1.1.5.1. Az egyenes vonalú egyenletes m ozgás... ...46
1.1.5.2. Állandó gyorsulású vagy egyenletesen változó m ozgások...47
1.1.5.3. Az egyenletes körmozgás ... ... ... ...55
1.1.5.4. Az egyenletesen változó körm ozgás... ...57
1.1.5.5. A harmonikus rezgőmozgás ... ...58
1.1.5.6. A harmonikus rezgések összetétele ...61
1.2. A merev test kinematikája ... ...68
1.2.1. Rögzített tengely körül forgó merev t e s t ... ...69
1.2.2. A merev test síkm ozgása...71
1.2.3. Térbeli forgómozgás. A szögsebesség vektora ... ...76
1.3. A folyadékok és gázok mozgásának le írá s a ... ...79
2. D inam ika...83
2.1. A dinamika anyagi pontra vonatkozó tö rv én y e i... ...83
2.1.1. A dinamika alapfogalmai. A Newton-törvények... .... 83
2.1.1.1. A erő fogalmára alapozó felépítés ... .... 85
2.1.1.2. Az impulzus (lendület) fogalmára alapozó felépítés ... .... 90
Ta r t a l o m
2.1.2.1. Rugalmassági e r ő k ... 93
2.1.2.2. Nehézségi e r ő ... 93
2.1.2.3. Súly; sú ly e rő ... 94
2.1.2.4. Gravitációs erő. A Newton-féle gravitációs erő tö rv é n y ... 97
2.1.2.5. Kényszermozgás, kényszererő ... 100
2.1.2.6. Súrlódási e r ő ... 103
2.1.3. A perdület (im pulzusm om entum ) 107 2.1.3.1. Centrális erők. Aterületi se b e ssé g ... 107
2.1.3.2.A perdületés forgatónyom aték... 110
2.1.4. A munka 115
2.1.4.1. Néhány erőfajta munkája ... 118
2.1.5. A teljesítm ény 122 2.1.6. Mechanikai e n e rg iá k 123 2.1.6.1. Munkatétel; mozgási e n e r g ia ... 123
2.1.6.2. Helyzeti (potenciális) energiák ... 126
2.1.7. Mozgások dinamikai leírása inerciarendszerhez képest gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben. A tehetetlenségi e r ő k 132 2.1.7.1. Az inerciarendszerhez képest egyenes vonalú, egyenletes, tiszta haladó mozgást végző vonatkoztatási re n d s z e r ... 132
2.1.7.2. Az inerciarendszerhez képest egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló, nem forgó vonatkoztatási re n d sz e r... 133
2.1.7.3. Az egyhelyben forgó, állandó szögsebességű vonatkoztatási rendszer ... 136
2.2. Pontrendszerek dinamikája ... 139
2.2.1. A pontrendszerek mozgásának leírása mozgásegyenletekkel 140 2.2.2. A pontrendszer impulzusa (lendülete) 140
2.2.3. A tömegközéppont. A tömegközéppont mozgásának t é t e l e 141 2.2.3.1. A pontrendszer tömegközéppontjának m eghatározása... 142
2.2.3.2. Kiterjedt testek tömegközéppontja ... 143
2.2.3.3. A tömegközéppont mozgásának leírása ... 147
2.2.4. Pontrendszer p e rd ü le te 151 2.2.4.1. Pontra vonatkozó p e r d ü le t... 2.2.4.2. Pontrendszer tengelyre vonatkoztatott perdülete és a tengelyre vonatkoztatott forgatónyom aték... 154
2.2.5. Pontrendszerekre vonatkozó energetikai té te le k 156
2.2.6. Akiterjedt testre ható erőkjellemzői. Az erő támadáspontja és hatásvonala. Pontba koncentrált, felületen eloszló és térfogati erők 159 2.3. Merev test mozgásának dinam ikája... 161
2.3.1. Rögzített tengely körül forgó merev test d inam ikája... 161
2.3.1.1. Rögzített tengely körül forgó merev test perdülete ... 161
Ta r t a l o m
2.3.1.2. A testek tehetetlenségi nyom atéka...162
2.3.1.3. A forgómozgás alaptörvénye rögzített tengely körül forgó merev testre ...165
2.3.2. Síkmozgást végző merev test dinamikája ...165
2.3.3. Merev test mozgási e n e rg iá ja ...166
2.3.4. Merev testre ható síkban szétszórt erők e re d ő je ... ...168
2.3.4.1. Két erő e r e d ő je ...168
2.3.4.2. A merev testre ható több erő e r e d ő je ...172
2.3.4.3. A nehézségi erő helyettesítése pontba koncentrált ered ő v el... ...173
2.4. Speciális problémák a tömegpont és a pontrendszerek mechanikájából ...175
2.4.1. A bolygók mozgása. Mozgás pontszerű test gravitációs erőterében 175 2.4.2. Mesterséges holdak és bolygók; r a k é tá k ...178
2.4.3. Esés ellenálló közegben...181
2.4.4. Tehetetlenségi erők a forgó F ö ld ö n ... ...182
2.4.5. A harmonikus rezgőmozgás ... ... ...185
2.4.6. A matematikai inga ...188
2.4.7. A fizikai i n g a ...189
2.4.8. Csavarási vagy torziós i n g a ...191
2.4.9. A csillapodó rezgőm ozgás...192
2.4.10. Kényszerrezgés; re z o n a n c ia ...195
2.4.11. Csatolt re z g é se k ...197
2.4.12. Az egyenletes körmozgás dinamikája ... ...197
2.4.13. Példák kényszermozgásokra...199
2.4.14. Ü tközések... 208
2.4.15. A p ö rg e tty ű ... 215
2.5. Statika. Egyszerű gép ek ...217
2.5.1. Pontszerű test egyensúlyának feltétele ... .. 217
2.5.2. Merev test egyensúlyának feltétele ... .. 218
2.5.2.1. Egyszerű g é p e k ... 222
2.5.2.2. Egyensúlyi helyzetek. Á llásszilárdság... .. 231
2.6. A szilárdságtan ele m ei... .. 234
2.6.1. Alakváltozások (deformációk) és rugalmas feszültségek ... .. 234
2.6.2. Igénybevételek... 238
2.6.3. A rugalmassági e n e rg ia ... 245
2.7. Folyadékok és gázok m echanikája... .. 247
2.7.1. Folyadékok és gázok sztatikája (hidro- és aerosztatika) ... .. 247
2.7.1.1. Nyugvó folyadék szabad felszíne ... 247
2.7.1.2. A nyomás. A nyomás terjedése folyadékokban és gázokban Pascal törvénye... 248
Ta r t a l o m
2.7.1.3. A hidrosztatikai nyomás ...251
2.7.1.4. A közlekedőedények... ...254
2.7.1.5. A légnyom ás ...257
2.7.1.6. A Boyle-M ariotte-törvény ...259
2.7.1.7. A felhajtóerő. Arkhimédész tö rvénye ...260
2.7.1.8. A lkalm azások ...266
2.7.2. Ideális folyadékok és gázok áramlása ...273
2.7.2.1. A B ernoulli-törvény ...273
2.7.2.2. Gyakorlati alkalm azások ...276
2.7.3. Reális folyadékok és g á z o k ...279
2.7.3.1. Felületi feszültség ...279
2.7.3.2. Reális folyadékok és gázok áramlása. A belső s ú rló d á s ...286
2.7.3.3. Közegellenállás ...288
2.8. Hullámmozgás és hangtan ... ... ...290
2.8.1. A hullám keletkezése ...290
2.8.1.1. A lapfogalm ak ...290
2.8.1.2. A terjedési sebesség függése a közeg tulajdonságaitól ...295
2.8.1.3. A Doppler-effektus ...298
2.8.1.4. A harmonikus mechanikai hullámok energiája ...299
2.8.2. A hullámok te rje d é se ...305
2.8.2.1. Terjedési tulajdonságok. A H uygens-elv .. 305
2.8.3. A hullámok szuperpozíciója ...312
2.8.3.1. A szuperpozíció elve; interferencia .. 312
2.8.3.2. Pontszerű, koherens hullámforrások által létrehozott interferencia 313
2.8.3.3. A Huygens-Fresnel-elv .. 319
2.8.3.4. Állóhullámok .. 321
2.8.3.5. Egy irányban haladó hullámok szuperpozíciója. Diszperzió,
csoportsebesség, fázissebesség. H ullám csom ag .. 328
2.8.4. A hang és jellemzői .. 331
II. TERMODINAMIKA (Flórik György)
3. Alapfogalmak. Az energiamegmaradás tö rv én y e... .. 337 3.1. Belső energia; hőfolyamatok; hőm érsék let... 337
3.1.1. A térfogati munka 338
3.1.2. Hőfolyam atok 340
3.1.3. Mechanikai és hőegyensúlyi á llap o t 341
3.1.4. Ahőmérséklet és m é ré s e ... .. 342
3.1.4.1. Ahőmérséldet fogalma ..342
3.1.4.2. Hőmérséldeti skálák; h ő m érőfajták ..342
3.2. A termodinamika I. főtétele; az általános energiamegmaradás elve 345
Ta r t a l o m
3.2.1. A belső energia változásának m é ré se ... 345
3.2.2. A term odinam ikai, főtétele ... 346
3.2.3. Az általános energiamegmaradás e lv e ... 346
3.3. Állapotjelzők... ... 347
4. Állapotváltozások... 349
4.1. A szilárd anyagok és folyadékok h ő tá g u lá sa ... 349
4.1.1. A szilárd anyagok lineáris (vonal menti) h ő tá g u lá sa ... ... 349
4.1.2. Szilárd anyagok térfogati hőtágulása... ... 351
4.1.3. A folyadékok h ő tág u lá sa ... 353
4.2. Az ideális gázok állapotegyenletei... 355
4.2.1. A Boyle-M ariotte-törvény... 355
4.2.2. Gay-Lussac I. törvénye... 356
4.2.3. Gay-Lussac II. tö rv é n y e ... 357
4.2.4. Az általános gáztörvény... 358
4.3. Kalorimetria. Fajhő és átalakulási h ő ... 361
4.3.1. A szilárd anyagok és folyadékok fajhője ... 362
4.3.2. Fázisátalakulási h ő k ... 363
4.3.3. Szilárd anyagok és folyadékok fajhőjének és fázisátalakulási hőjének mérése ... 365
4.3.4. Gázok fajhője ... 366
4.4. Nyílt folyamatok ideális gázokkal ... 369
4.4.1. Izoterm fo ly a m a t... 369
4.4.2. Izobár folyamat ... 371
4.4.3. Izochor folyamat ... 372
4.4.4. Adiabatikus folyam at... 372
4.4.5. Politrop állapotváltozás... 374
4.5. Reális gázok. Telített és telítetlen g ő z ö k ... 375
4.6. Halmazállapot-változások (fázisátalakulások)... 378 4.6.1. Olvadás és fa g y á s... 378 4.6.2. Párolgás... '... 379 4.6.3. Forrás ... 380 4.6.4. Kristályszerkezeti átalakulások ... 381 4.6.5. Szublimáció ... 381 4.6.6. Fázisdiagram; h á rm a sp o n t... 382
4.6.7. Abszolút és relatív páratartalom ... 384
5. A természeti folyamatok iránya. A termodinamika II. f ő té te le ---- 387
5.1. Reverzibilis és irreverzibilis folyamatok ... 387
5.2. A termodinamika II. fő tétele... 389
5.3. Hőerőgépek. A Carnot-féle körfolyamat ... 390
5.3.1. A Carnot-féle körfolyam at... 390
Ta r t a l o m 5.3.2. A hőerőgépek termodinamikai h a tá s fo k a ... 391 5.3.3. A termodinamikai hőmérsékleti s k á la ... 393 5.4. Az e n tró p ia ... 393 5.4.1. AClausius-féle egyenlőtlenség... 393 5.4.2. A entrópia definíciója ... 395 5.4.3. Az entrópianövekedés és az entrópiamaximum e l v e ... 396
5.4.4. A termodinamika III. főtétele ... 397
5.5. Termodinamikai p o ten c iálo k ... 398
5.5.1. Nyílt rendszerek egyensúlyának feltétele ... 398
5.5.2. A kémiai p o te n c iá l... 401
5.6. Hűtőgép, hőszivattyú (hőpumpa), hőerőgép ... 402
5.6.1. A hűtőgép és a hőpumpa e l v e ... 402
5.6.2. Hőerőgépek és hűtőgépek a gyakorlatban... 403
5.6.2.1. Gőzgépek ... 404
5.6.2.2. Gázgépek ... ... 404
5.6.2.3. Hűtőgépek és hőszivattyúk a gyakorlatban... 407
6. A hő te rje d é se ... 409
6.1. Hővezetés (kondukció)... 409
6.2. Hőáramlás (konvekció)... 410
6.3. H ősugárzás... 410
III. ELEKTRODINAMIKA ÉS OPTIKA (Holics László) 7. Az időben állandó elektromos mező ... 413
7.1. Elektrosztatikus mező vákuumban. A forráserősség. Gauss tétele .. 413
7.1.1. Elektromos alapjelenségek... 414
7.1.2. Az elektromos mező. Az elektromos té re rő s s é g ... 416
7.1.3. Pontszerű töltés elektromos mezejének térerőssége. Coulomb tö rv é n y e ... 418
7.1.4. E rővonalak... 421
7.1.5. A Q töltés keltette mező teljes elektromos flu x u s a ... 425
7.1.6. Az elektromos d ip ó lu s... 426
7.1.7. Forráserősség. Gauss té te le ... 428
7.2. Potenciál, örvényerősség (cirkuláció) ... 434
7.2.1. Az elektromos mező munkája. A feszültség... 434
7.2.2. A potenciál ... 438
7.2.3. Az örvényerősség. Maxwell II. törvénye ... 441
7.3. Vezetők az elektrosztatikus mezőben ... 443
7.3.1. Elektromos megosztás. Többlettöltés fémes v e z e tő n ... 443
7.3.2. K apacitás... 444
Ta r t a l o m
7.3.3. Kondenzátorok. Elektromos mező szigetelőkben. A relatív
permittivitás és az elektromos eltolás vektora 446
7.3.4. Gyakorlati alkalm azások 451
7.3.4.1. A földelés .. 451
7.3.4.2. A potenciál m é ré se ... .. 451
7.3.4.3. Az árn y ék o lás .. 452
7.3.4.4. A c sú c sh a tá s... .. 453
7.3.4.5. A van de Graaff-féle szalaggenerátor .. 455
7.3.4.6. Az átütési szilárdság ... ..455
7.3.4.7. K ondenzátorfajták ..456
7.3.4.8. Kondenzátorok kapcsolása ..457
7.4. Az elektromos mező energiája vákuum ban...460
7.4.1. A feltöltött kondenzátor e n e rg iá ja 460
7.4.2. Az elektromos mező energiája és energiasűrősége 461 7.5. Az elektromos áram. Ohm törvénye...463 7.5.1. Az áramerősség ... 463
7.5.2. A vezető ellenállása. Ohm tö rv é n y e 465
7.5.3. Joule törvénye 469
7.5.4. Áramforrások (galvánelemek). Az áramkört jellemző feszültségek 472 7.6. Egyenáramú hálózatok. Egyszerű és összetett áramkörök ...478
7.6.1. Kirchhoff törvényei 478
7.6.2. Ellenállások (fogyasztók) kapcsolása 480
7.6.3. Technikai ellenállások 487
7.6.4. Áramforrások kapcsolása 491
7.6.5. Mérőműszerek kapcsolása. Az áramerősség, a feszültség
és az ellenállás m érése...496 8. Az időben állandó mágneses m e z ő ...503 8.1. A mágneses mező. Forráserősség és örvényerősség... ..503
8.1.1. A mágneses indukcióvektor 503
8.1.2. Amágneses fluxus. Mágneses forráserősség. Maxwell III. törvénye 509 8.1.3. A mágneses mező örvényerőssége. A gerjesztési törvény.
Maxwell IV. tö rvénye... ..512
8.1.4. A B iot-Savart-törvény 517
8.1.5. Speciális áramelrendezések mágneses m e z e je 520
8.1.6. Amágneses térerősség 527
8.2. Erőhatások a mágneses m ező b en ... ..529 8.2.1. Az áramjárta vezetőre ható erő. A mágneses L orentz-erő 529 8.2.2. Szabad töltés mozgása elektromos és mágneses mezőben 532
8.2.3. Erőhatások mozgó töltések k ö z ö tt 536
8.2.3.1. Párhuzamos áramvezetők között ható erő. ju0 és az abszolút amper 536
Ta r t a l o m
8.2.3.2. Az elemi mágneses erő tö rv én y ... ... ...537
8.3. Mozgó vezeték a mágneses m ezőben... ...539
8.3.1. Az indukált elektromotoros erő ... ...539
8.3.2. Váltakozó áram előállítása ... ...545
8.3.3. A váltakozó áram effektív értéke ... ...547
9. Az időben változó mágneses m e z ő ...551
9.1. Az elektromágneses indukció. A mágneses mező energiája ... ...551
9.1.1. A nyugalmi indukció ... ...551
9.1.2. A kölcsönös induktivitás és öninduktivitás ... ...558
9.1.3. Amágneses mező energiája vákuu m b an ... ...561
9.2. Az energia terjedése az áramforrástól a fogyasztóig. A Poynting-vektor ... ...563
9.3. Az impedancia ...568
9.3.1. Az ohmikus, induktív és kapacitív ellen állás...568
9.3.2. Teljesítmény és munka az RLC-körben ...577
9.4. Szabad és kényszerített elektromágneses re z g é se k ... ...579
9.4.1. Rezgőkörök szabad re z g é se i... ...579
9.4.2. Rezgőkörök kényszerített rezgései. Impedanciák soros és párhuzamos kapcsolása ... ...583
9.4.2.1. Soros RLC-kör. Feszültségrezonancia ... ...583
9.4.2.2. Párhuzamos LC- és RLC-kör. Á ram rezonancia... ...584
9.4.2.3. Rezgőkörök csatolása ... ...589
9.5. Gyakorlati alkalm azások... ...589
9.5.1. Az elektrom ágnes... ...589
9.5.2. A transzformátor. Energiaátvitel ... ...593
9.5.3. G en eráto ro k ...596
9.5.3.1. Váltakozó áramú generátorok ... ... ...596
9.5.3.2. Egyenáramú g e n e rá to ro k ... ...600
9.5.4. M otorok... ...603
9.5.4.1. Egyenáramú motorok ... ...603
9.5.4.2. Váltakozó áramú m otorok... ...604
9.5.5. M érőm űszerek... ...606
10. Az időben változó elektromos mező. Az elektromágneses hullámok és a f é n y ... ...611
10.1. Az eltolási áram. Maxwell törvényeinek rendszere ... .. 611
10.2. Gyorsan változó mezők. Elektromágneses h u llám o k ... .. 614
10.3. Az elektromágneses hullámok terjedési tulajdonságai ... .. 620
10.4. Az elektromágneses hullámok dinamikai tulajdonságai. A sugárzó a n y a g ... .. 626
10.5. Hullámoptikai je le n sé g e k ... .. 635
Ta r t a l o m
10.5.1. A fény terjedése különböző k ö zeg e k b en ... 635
10.5.1.1. A fény terjedése homogén k ö z e g b e n ... 637
10.5.1.2. A fény két közeg határán. Visszaverődés, tö ré s ... 639
10.5.1.3. A sz ín e k ... 645
10.5.2. A fény polarizációja... 646
10.5.3. A fény interferenciáj a ... ... 649
10.5.4. A fény elhajlása (diffrakció) ... 653
10.5.5. Optikai színképek... 658
10.5.6. A teljes elektromágneses sz ín k é p ... 660
10.6. Fotometriai alapfogalm ak... 663
10.6.1. Afotometria energetikai alapú mennyiségei (radiometria) ... 664
10.6.2. A fotometria vizuális alapon értelmezett mennyiségei ... 666
10.6.3. Afotometria két alaptörvénye ... 668
10.6.4. F o to m éterek ... 669
10.7. Gyakorlati alkalm azások... 671
10.7.1. O p tik a ... 671
10.7.1.1. Az optikai leképezés... 671
10.7.1.2. Optikai leképezés törő közegekkel... 671
10.7.1.3. Optikai leképezés visszaverő felületekkel... 682
10.7.1.4. AFermat-elv. Az optikai úthossz ... 687
10.7.1.5. Optikai eszközök ... 688
10.7.2. Hangtechnika (Csákány A n ta l)... 699
10.7.2.1. Hanghullámok keltése, te rje d é se ... 700
10.7.2.2. Elektromoakusztikus átalakítók... 704
10.7.2.3. Hullámok összetétele és felbontásuk... 707
10.7.2.4. Hang- és beszédfelism erés... 709
10.7.2.5. Hangrögzítés (C D )... 712
10.7.3. Elektromágneses hullámok keltése és vétele (Csákány Antal) ___ 714 10.7.3.1. M oduláció... 715
10.7.3.2. Erősítők, oszcillátorok... 718
10.7.3.3. Mikrohullámú rezgések... 720
10.7.3.4. Adóantennák ... 724
10.7.3.5. Az elektromágneses hullámok te rje d é s e ... 727
10.7.3.6. Vevőantennák... 729
10.7.3.7. A vett jelek dem odulálása... 731
10.7.4. Képek előállítása és továbbítása (Csákány A n ta l) ... 733
10.7.4.1. Televíziózás, fogalmak, szabványok ... 734
10.7.4.2. A képfelvevők és képmegjelenítők újabb típ u sai... 737
10.7.5. Mágneses lebegő rendszerek (Csákány Antal) ... 740
10.7.5.1. Látszólagos leb eg ések ... 742
Ta r t a l o m
10.7.5.2. Valódi lebegések... ...742
10.7.6. Nagyrendszerek (Csákány Antal) ... ...750
10.7.6.1. Földrajzi helymeghatározás (GPS) ... ...750
10.7.6.2. Mobil telefónia (G SM )...752
IV. RELATIVITÁSELMÉLET (Gnadig Péter) 11. Előzmények ...755
11.1. Aldasszikus mechanika és a Galilei-transzformáció... ...755
11.2. AMichelson-Morley-kísérlet ...757
11.3. A Fizeau-kísérlet...762
12. A t é r i d ő ...765
12.1. Térkép a városról, téridő-térkép a m ozgásokról... ...766
12.2. Id ő m é ré s...769
12.3. Távolságmérés, koordináta-rendszer...772
12.4. Idődilatáció... ... ...774
12.5. A Lorentz-transzform áció...776
12.6. Egyidejűség, egyhelyűség, oksági viszonyok...778
12.7. Lorentz-kontrakció ...780 12.8. Relativisztikussebesség-összetevés... .. 782 12.9. Relativisztikus Doppler-effektus...784 12.10. Ikerparadoxon ... 786 13. Relativisztikus kinematika ...789 13.1. Vektorok a té r id ő n ... ...789 13.1.1. Négyessebesség .. 790
13.1.2. Négyesgyorsulás. Egyenletesen gyorsuló mozgás .. 791
14. Relativisztikus d in a m ik a... .. 793
14.1. Négyesimpulzus. Relativisztikus ütközések ... ...793
14.2. Relativisztikus impulzus. Nyugalmi tömeg, relativisztikus töm egnövekedés...794
14.3. Relativisztikus energia. Nyugalmi energia, mozgási energia, teljes en erg ia... 795
14.4. Az energia-impulzus vektor hossza. Nulla nyugalmi tömegű részecskék... 796
14.4.1. Relativisztikus m ozgásegyenlet .. 797
14.4.2. Speciális problémák a relativisztikus d in a m ik á b a n .. 798
14.4.2.1. A Com pton-szóródás... 798
14.4.2.2. Nehéz részecske bomlása ... 800
14.4.2.3. Rugalmatlan ütközés, töm egdefektus... .. 801
14.4.2.4. Mozgás állandó erő hatására ... 801
14.4.2.5. Töltött részecske mozgása homogén mágneses m e z ő b e n ... .. 802
Ta r t a i o m
14.4.3. Megmaradó m ennyiségek...803
15. Az általános relativitáselmélet alapgondolata ...805
15.1. Az ekvivalencia-elv ...805
15.2. A görbült téridő ... ...806
15.3. Az általános relativitáselmélet kísérleti bizonyítékai... ...807
15.3.1. A Merkúr perihélium -elfordulása...807
15.3.2. Fénysugár elgörbülése a Nap mellett. Gravitációs lencsehatás____808 15.3.3. Gravitációs vöröseltolódás ... ... ...809
15.3.4. Időkésés ...810
15.3.5. Gravitációs hullám ok...811
15.3.6. Geodetikus precesszió... ...812
V. ATOMFIZIKA ÉS KVANTUMMECHANIKA (Tusnádi Péter-Juhász András) 16. Az anyag atomos sze rk ezete ...813
16.1. A súlyviszonytörvények. Avogadro törvénye ...814
16.2. Az Avogadro-szám és az atomok méretének meghatározása a kinetikus gázelmélet a la p já n ... ... ...815
16.3. Az elektromosság „atomos” sz e rk e z ete ... ... ...816
16.3.1. Az elektrolízis Faraday-törvényei...816
16.3.2. Az elemi töltés meghatározása Millikan m ódszerével... ...817
16.4. Az e le k tro n ...819
16.4.1. A katódsugarak...819
16.4.2. Az elektronok fajlagos töltésének m é r é s e ... ...820
16.4.2.1. Az elektron mozgása egyszerre ható elektromos és mágneses térben (Thomson módszere) ... ...822
16.4.3. Az elektronok tömegének sebességfüggése... ...823
17. Atommodellek ...825
17.1. Az első atom m odellek...825
17.1.1. Thomson atommodellje ... ...826
17.1.2. Az atommag felfedezése. A R utherford-kísérlet...826
17.1.3. A Rutherford-féle ato m m o d ell...829
17.2. A modern atomfizika kísérleti alapjai ... ...829
17.2.1. A gázkisülések ...829 17.2.2. A hőmérsékleti sugárzás ...831 17.3. ABohr-féle atommodell ...834 17.3.1. ABohr-félepályafeltétel ... ...834 17.3.2. A Bohr-féle frekvenciafeltétel... ...836 17.3.3. A Franck-Hertz-kísérlet... .. 837
17.3.4. A Bohr-modell eredményei és hiányosságai ... ... 839
18. A fény részecsketerm észete...841
Ta r t a l o m 18.1. A fotoeffektus... .. 841 18.2. A Compton-jelenség... .. 842 18.3. A fénynyom ás... .. 844 18.4. A fotonok tulajdonságai ... .. 845 19. Az anyaghullám ok... .. 847 19.1. De Broglie h ip o téz ise... .. 847
19.2. Az elektron hullámtermészetének kísérleti igazolása ... .. 847
19.3. Az anyaghullámok tulajdonságai... .. 849
19.3.1. A hullám csom ag... ..850
19.4. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció ... .. 853
19.5. A hullámfüggvény fizikai értelm ezése... .. 858
20. Az atomok kvantummechanikai jellemzése ... .. 863
20.1. A Schrödinger-egyenlet... ..863
20.1.1. A Schrödinger-egyenlet elméleti alátám asztása...864
20.2. Kötött részecskék kvantummechanikai le írá s a ... ..865 20.2.1. Dobozba zárt részecske le ír á s a ... ..866 20.2.1.1.Ahúrmodell ..868 20.2.1.2..A m em bránm odell... ..870 20.2.2. Az alagúteffektus... ..871 20.2.3. A lineáris oszcillátor... ..874 20.3. A h id ro g én ato m ... ..876
20.3.1. Az elektron en erg iája... ..876
20.3.2. Az állapotfüggvények ... ..878
20.3.3. Az elektron pálya-impulzusmomentuma és mágneses momentuma 881 20.3.4. Az elektron saját-impulzusmomentuma, a s p i n ... ..884
20.3.5. A hidrogénatom elektronjánakjellemzése kvantumszámokkal . . . 886
20.4. A Pauli-elv és a periódusos rendszer ... ..887
20.5. A sokrészecske-rendszerek kvantummechanikai le ír á s a ... ..893
21. Kémiai k ö té s e k ... ..897
21.1. A kovalens k ö té s ... ..897
21.1.1. Ahidrogénmolekula-ion és a hidrogénm olekula... ..898
21.2. A molekulák felépítése... ..900
21.2.1. Kötő-és lazító p ály ák ... ..900
21.2.2. Szigma-és pi-kötés... .903
21.2.3. A hib rid izáció ... .904
21.3. Poláros molekulák. Az elektronegativitás... .906
21.4. Az ionos k ö té s ... .907
21.5. A fémes kötés ... .908
21.6. Az elektronegativitás és a kötéstípus kapcsolata ... .908
Ta r t a l o m
VI. SOKRÉSZECSKE-RENDSZEREK VALÓSZÍNŰSÉGI LEÍRÁSA (Tasnádi Péter-Juhász András)
22. A kinetikus gázelm élet... ... 911
22.1. A kinetikus g ázm o d ell... 912
22.1.1. A gázok sebességeloszlása... 912
22.1.2. Az ideális gáz kinetikus modellje ... ... 915
22.1.2.1. Az ideális gáz nyomása ... ...916
22.1.2.2. Az ideális gáz hőmérséklete ... 918
22.1.2.3. Az ekvipartíciótétel ...919
22.1.2.4. A kétatomos molekula szabadsági fokainak száma ... ...919
22.1.2.5. A szabadsági fokok megszámlálása általános e s e tb e n ... 920
22.1.2.6. Az ideális gáz belső energiája és fajhője... ...921
22.1.2.7. Az ideális gáz belső energiájának kifejezése a nyomás és a térfogat segítségével... ...924
22.1.2.8. A gáz energiájának megváltozása munkavégzés h a tá sá ra ... ...925
22.1.3. A reális gázok állapotegyenlete ... ...926
22.2. A gázok diffúziója...927
22.2.1. A molekulák mozgása a gázban. Az átlagos szabad úthossz ... ...927
22.2.2. A diffúziót leíró törvények... ...928
22.3. A gázmolekulák véletlenszerű mozgásának valószínűségi leírása .. 931
22.3.1. Miért véletlenszerű a részecskék mozgása? ...931
22.3.2. Sűrűségingadozások...936
22.3.3. Irreverzibilis folyam atok...938
22.3.4. Az energia eloszlása...939
23. Statisztikusfizika... ...941
23.1. A lapfogalm ak...941
23.1.1. A m akroállapot... ...941
23.1.2. A m ik ro állap o t...942
23.1.2.1. A mikroállapot klasszikus fizikai m eg h atáro zása... .. 942
23.1.2.2. A mikroállapot kvantummechanikai m eghatározása... ...942
23.1.3. A mikroállapotok m egszám lálása... ...943
23.1.3.1. A mikroállapotolc megszámlálása aklasszikus fizikában. A fázistér 943 23.1.3.2. A mikroállapotok megszámlálása a kvantummechanikai leírás alapján ... 944
23.1.3.3. A klasszikus és kvantummechanikai állapotszám közötti kapcsolat 945 23.1.4. A részecskék megválasztása ... .. 945
23.1.5. A folyamatok leírása ... .. 946
23.1.6. A statisztikus leírásmód alapfeltevései ... .. 947
23.1.7. A lehetséges mikroállapotok s z á m a ... ..948
23.1.7.1. Dobozba zárt részecske állapotsűrűsége... ... .. 950
Ta r t a l o m
23.1.7.2. Az ideális gáz mikroállapotainak száma ... 952
23.1.7.3. A makroszkopikus testek mikroállapotainak sz á m a ... 954
23.1.7.4. Az Einstein-kristály mikroállapotainak száma ... 954
23.2. A folyamatok irá n y a ... 955
23.2.1. Az ideális gáz szabad tágulása v á k u u m b a ... 956
23.2.2. Irreverzibilis változások ... 957
23.2.3. Kölcsönható rendszerek ... 958
23.3. A termodinamika II. főtétele. Az e n tró p ia ... 959
23.3.1. Az e n tró p ia ... 959
23.3.2. A második f ő té te l... 960
23.3.3. A termodinamikai, főtételének mikroszkopikus értelm ezése... 961
23.3.4. Az entrópia megváltozása hőközlés hatására. Reverzibilis folyam atok... 963
23.4. A hőmérséklet statisztikus fizikai értelmezése ... 965
23.4.1. A hőmérséklet és az entrópia k ap cso lata... 967
23.4.1.1. Az ideális gáz hőmérséklete ... 967
23.4.1.2. Az Einstein-kristályhőmérséklete ... 969
23.5. Az energia eloszlása állandó hőmérsékletű rendszerben... 974
23.5.1. ABoltzmann-eloszlás ... 974
23.5.2. A részecskék energia szerinti eloszlása ... 976
23.5.2.1. Az Einstein-kristály energiaeloszlása... 977
23.5.2.2. A z egyatomos ideális gáz energiaeloszlása... 979
23.5.2.3. AMaxwell-féle sebességeloszlás ... 980
23.6. A G ibbs-eloszlás... 981
23.6.1. A Gibbs-eloszlás alkalmazásai ... 983
23.6.1.1. A Ferm i-eloszlás... 984
23.6.1.2. A Bose-eloszlás... 985
23.7. Az eloszlásfüggvények közötti kapcsolat... 986
23.7.1. A klasszikus közelítés érvényességi k ö r e ... 986
23.7.2. A ritka gázok eloszlásfüggvénye... 988
23.7.3. A Bőse-, Permi- és a Boltzmann-eloszlás kapcsolata... 989
VII. AZ ANYAGOK SZERKEZETE (Tasnddi Péter-Juhász András) 24. Kristályok ... 992
24.1. Az ideális kristály szerkezete ... 992
24.1.1. A kristályos anyag szabályos belső szerkezetére utaló jelenségek 992 24.1.2. A rácsszerkezet közvetlen kísérleti igazolása ... 994
24.1.3. A röntgendiffrakciós szerkezetkutatás alapjai ... 995
24.1.4. Atérion-mikroszkóp ... 996
24.1.5. A kristály geometriai szerkezete. A p o n trács... 997
Ta r t a l o m
24.2. A kristályszerkezetek jellemzése a kémiai kötés típusa alapján . . . 1000
24.2.1. A tom rácsok...1000
24.2.2. Ionrácsok ...1001
24.2.3. A fémek kristályszerkezete...1004
24.2.4. Molekularácsok ...1007
24.2.4.1. Van dér Waals-kötésű kristályok ...1007
24.2.4.2. Hidrogénhíd-kötésű kristály. Ajég szerkezete ... 1008
24.2.5. A polimorfia jelensége. A gyémánt és a g r a f it...1009
25. A kristályos anyagok fizikai tulajdonságainak értelmezése az ideális kristályszerkezet alapján ... 1013
25.1. A kristályok rugalmas tulajdonságai ... 1014
25.2. A kristályok belső energiája ... 1015
25.2.1. A szilárdtestek m ó lh ő je...1016
25.3. A szilárdtestek hőtágulása...1018
25.4. A szilárdtestek elektromos tulajdonságai. A sávszerkezet... 1020
25.4.1. Kísérleti tap asztalato k ...1020
25.4.2. A kristályok elektronszerkezete ...1022
25.4.3. A kristály elektronjainak energiaspektruma. Sávszerkezet... 1025
25.4.4. A fémek sávszerkezete...1027
25.4.5. A fémek fajlagos ellenállásának értelmezése ...1029
25.4.6. A szigetelők sávszerkezete ...1030
25.5. Félvezetők...1031
25.5.1. Elektroneloszlás félvezetőkben ...1033
25.5.1.1. A lyuk fo g a lm a ...1033
25.5.1.2. A töltéshordozók eloszlása és a F erm i-energia... 1033
25.5.2. A félvezetők elektromos vezetőképessége... 1036
25.5.3. A mikroelektronika alkalm azásai...1039
25.5.3.1. A p -n átmenet termikus egyensúlyban ...1040
25.5.3.2. A kristálydióda működése - egyenirányítás ...1042
25.5.3.3. Optikailag aktív p -n átmenetek, optikai érzékelők, napelemcellák, világító d ió d á k ...1044
25.5.3.4. A tra n z isz to r...1047
25.5.3.5. A félvezető-fém átm e n e t...1048
25.5.3.6. Egyéb mikroelektronikai félvezető e le m e k ... 1049
25.6. Dielektrikumok ...1049
25.6.1. A dielektromos polarizáció mikroszkopikus m agyarázata... 1049
25.6.1.1. A gázokperm ittivitása... 1050
25.6.1.2. A folyadékok és a szilárdtestek permittivitása ... 1051
25.6.2. Apermittivitás frekvenciafüggése ...1053
26. Az anyagok mágneses tulajdonsága... 1055
26.1. Anyagok csoportosítása mágneses tulajdonságaik a la p já n ... 1055
26.1.1. A dia-és paramágneses anyagok tulajdonságai ... 1057
26.1.2. A ferromágneses anyagok tulajdonságai... 1057
26.2. A dia- és paramágnesség anyagszerkezeti értelm ezése... 1059
26.2.1. Az atomok mágneses tu lajdonságai... 1059
26.2.2. A diamágnesség anyagszerkezeti értelmezése ... 1060
26.2.3. A paramágnesség értelmezése ...1063
26.2.4. Az elektrongáz paramágnessége ... 1066
26.3. A ferromágnesség értelm ezése... 1066
26.3.1. Az Einstein-de H aas-kísérlet... 1066
26.3.2. Hosszú távú rend a ferromágneses anyagokban... 1068
26.3.3. Antiferromágnesség...1071
26.4. A szupravezetés ... 1071
27. A l é z e r ... 1075
27.1. A lapfogalm ak... 1075
27.2. A holográfia ... 1078
28. Eltérések az ideális kristályszerkezettől. A kristályhibák... 1081
28.1. P o n th ib á k ...1081
28.1.1. Rácslyuk vagy v ak an c ia... 1083
28.1.1.1. A rácslyukak képződése termikus hatásra, egyensúlyi vakanciakoncentráció... 1083
28.1.1.2. A rácslyukak képződése sugárzás hatására, sugárzási károsodás .. 1086
28.1.2. A rácslyukak szerepe a kristályos anyagok tulajdonságaiban... 1087
28.1.2.1. Diffúzió kristályokban... 1088
28.1.3. Ponthibák sókristályokban... 1090
28.1.4. Ponthibák hatása a fémek (ötvözetek) tulajdonságaira... 1092
28.1.5. Ponthibák atom rácsban... 1092
28.2. Vonalhiba a kristályban; d iszlokáció... 1093
28.2.1. A kristályok képlékeny alakváltozása... 1094
28.2.2. A diszlokációk tulajdonságai... 1099
28.2.3. A képlékeny deformáció diszlokációs mechanizmusa és az alakítási keményedés ... 1099
28.2.4. A diszlokációk hatása a kristály termikus egyensúlyára... 1100
28.3. Felületi hibák a kristályban... 1100
28.4. A t ö r é s ... 1101
28.4.1. A rideg törés ... 1102
28.4.2. A képlékeny (szívós) tö r é s ... 1104
29. A folyadékok szerkezete ... 1107
29.1. Az egyszerű folyadékok Bernal-féle golyómodellje ... 1108
Ta r t a l o m
29.3. A v íz ...1112
29.3.1. A víz fizikai tu lajd o n ság ai...1112
29.3.2. Avíz szerkezeti m o d e llje...1113
29.3.3. Avíz néhányjellegzetes tulajdonságának értelmezése a szerkezed m o d e lle l...1114
29.3.3.1. Avíz sűrűségváltozása a hőmérséklet függvényében... 1114
29.3.3.2. Avíz hőtani adatainak értelmezése ... 1115
29.3.3.3. A víz mint oldószer...1115
29.4. Az üvegek szerkezete...1116
29.4.1. Az üvegek fizikai tulajdonságai ... 1117
29.4.2. Az olvadék túlhűtése; az üvegállapot kialakulása ... 1118
29.4.3. A szilikátüvegek szerkezete... 1119
29.4.4. Polim erüvegek...1122
29.4.5. F ém üvegek...1122
29.5. A folyadékkristályok ... 1122
30. Az óriásmolekulájú anyagok (műanyagok) tulajdonságai ... 1125
30.1. A molekulalánc tulajdonságai... 1126
30.2. A láncmolekulák szerveződése...1126
30.2.1. „Kristályos” polim erek...1126
30.2.2. Óriásmolekulájú „folyadékok” ... 1127
30.2.3. Gumiszerűen rugalmas anyagok ... 1128
VIII. MAGFIZIKA (Sükösd Csaba) 31. Az atommagok összetétele. A radioaktivitás...1129
31.1. A radioaktív sugárzások tulajdonságai és érzékelésük... 1130
31.1.1. Aktivitás, felezési i d ő ...1130
31.1.2. Bomlási sorok, radioaktív e g y en sú ly ... 1132
31.1.3. A radioaktív sugárzások terjedése vákuum ban... 1136
31.1.4. A sugárzás terjedése anyagban. Lineáris energiaátadás ... 1137
31.1.5. Az ionizáló sugárzások biológiai hatása ... 1140
31.1.5.1. A sugárvédelem a la p elv e i... 1145
31.1.6. A sugárzások érzékelése, detektálása ... 1146
31.1.6.1. Részecskék nyomát láthatóvá tevő detek to ro k ... 1146
31.1.6.2. Részecskeszámlálók...1147
31.2. Az atommag jellem ző i... 1150
31.2.1. Az atommag m é re te ...1150
31.2.2. Az atommagok tö lté s e ... 1151
31.2.3. Az atommagok tömege ... 1152
31.2.4. Az atommagok egyéb tulajdonságai... 1153
31.3. Az atommagok kötési e n e rg iá ja ... 1154
Ta r t a l o m
31.3.1. Az atommag-átalakulások energiaviszonyai...1156
31.3.2. A m agerők...1158
31.4. Az atom m agm odellek...1158
31.4.1. A héjm odell...1158
31.4.2. A cseppmodell és az atommagok kötési energiájának általános jellegzetességei...1162
31.4.3. Az átlagos nukleonenergia-felület jellegzetességei ... 1164
31.5. A radioaktivitás értelm ezése... 1168
31.5.1. A/3-bom lások...1168
31.5.2. A tömegszám csökkentése: az a -b o m lá s ...1170
31.5.3. A y-bomlás ...1172
31.5.4. A bomlási sorok m agyarázata...1173
31.5.5. Az energiaminimum elérését gátló és segítő tényezők...1173
32. Az atomenergia felszabadítása... 1179
32.1. Az atomenergia felszabadításának két ú t j a ... 1179
32.1.1. Az energiafelszabadítás makroszkopikus méretekben történő megvalósítása (a láncreakció) ...1180
32.2. Maghasadással működő reaktorok...1183
32.2.1. A működés fizikai alapjai...1184
32.2.2. Nuldeáris üzemanyagok ...1190
32.2.3. A heterogén atomreaktorok felépítése... 1191
32.2.4. R eaktortípusok...1195
32.2.5. A nuldeáris energiatermelés járulékos problémái ... 1198
32.3. A fúziós energiatermelés alap jai... 1200
32.3.1. Fúziós folyamatok ...1201
32.3.2. Fúzió a csillagokban és a hidrogénbom bában... 1202
32.3.3. A szabályozott magfúzió lehetőségei...1204
32.3.3.1. A Lawson-kritérium teljesítésének két ú t j a ... 1206
IX. ELEMI RÉSZEKÉS AZ UNIVERZUM (GnadigPéter) 33. Alapvető kölcsönhatások... 1217 33.1. A gravitációs kölcsönhatás ... 1218 33.2. Az elektromágneses kölcsönhatás ...1218 33.3. Az erős kölcsönhatás ... 1219 33.4. A gyenge kölcsönhatás ...1220 34. Elemi részecskék ... 1221
34.1. Részecskék „születése” és „halála” ...1222
34.1.1. Részecskék és antirészecskék. Lyukelmélet. Párkeltés és annihiláció 1222 34.1.2. /3-bomlás és a neutrínók ... 1224
34.2. Részecskecsaládok... 1225
r
Ta r t a l o m 34.2.1. L eptonok...1225 34.2.2. M e zo n o k ...1226 34.2.3. B a rio n o k ...1227 34.2.4. K varkok...1227 34.3. Megmaradási té te le k ... 1228 34.4. Közvetítő részecsk ék ...1228 34.5. A kölcsönhatások egyesítése...1229 35. Az univerzum fizikai p ro b lé m á i... 1231 35.1. A forró univerzum elmélete ... 1231 35.1.1. A mikrohullámú h áttérsugárzás... 1233 35.1.2. A könnyű elemek gyakorisága ... 1234 35.2. Precíziós kozm ológia... 1234 Név-és tárg y m u tató ...1237 M elléklet...1289I
s.
Előszó
A fizika az egyetemes emberi kultúra részét alkotó természettudományok egyik ága. Ugyanakkor a fizika az alapja az elképesztően gyors fejlődést mutató techni kának, amellyel egyre több ember kerül közvetlen kapcsolatba.
Azok a fiatalok, akik ma ismerkednek a műszála tudományokkal, fizikával, technikával, már a harmadik évezred hajnalán, a 21. században dolgoznak, és „hasznosítják” a tanult ismereteiket. A tudományok fejlődésének egyre gyorsuló üteme azonban a technikai, technológiai ismereteket egyik napról a másikra el avulttá teheti, míg az általános természetleíró magyarázó elvek, amelyek egyúttal a műszaki tudományok alapjai is, időtállóbbak. Ez a tény hangsúlyozza az ún. alaptudományok fontosságát, és ezért kell e legalapvetőbb törvényeket feltáró tu dományok ismereteit elsajátítania annak, áld ma készül olyan pályára, amely pálya műszaki, technikai eszközrendszerének legnagyobb része most még min denki előtt ismeretlen.
A 21. század elejére a természettudományok ugrásszerű fejlődésének következ tében a felhalmozott ismeretanyagot már nem képes egy ember az agyában tárolni - könyvekre, könyvtárakra van szüksége, és szükségessé válik a rendkívüli mértékű differenciálódás (széttagolódás) után elvégzendő szintézis, amely a szerteágazó je lenségek kapcsolatát néhány alapvető, közös és általános törvényre vezeti vissza. Ez napjainkban lehetséges, mert egyre világosabban látjuk, hogy a korábbi szemlé letünk szerint egymástól függetlennek tűnő, egymástól távoli területek sajátosnak vélt egyedi törvényei mögött a szálak összefutnak, s egyetlen nagy törvényrend szerbe vezetnek, amely - úgy látszik - a csillagfejlődéstől a műanyagkémiáig, a far- makológiától az örökléstanig, a számítógéptől az agyműködésig, tehát a régi érte lemben vett csillagászattól, mechanikától, fizikától, kémiától, biológiától, földtudományoktól a pszichológiáig változatos világunk közös alapelveken nyug vó leírását képes adni. A ma és a holnap emberének ezen átfogó elvekre, a tudo mányszakok közötti eligazodásra és tudásának folyamatos megújítására van szük sége. Ezért kapnak egyre nagyobb szerepet az összefoglaló jellegű kézikönyvek. Többek között ilyen céllal készült ez a könyv is.
Könyvünket elsősorban középiskolás diákoknak szánjuk, de használható ösz- szefoglalást, illetve átteldntést kívánunk nyújtani a főiskolák, egyetemek műszald, természettudományi jellegű szakjai alsóbb évfolyamait végző hallgatóknak, kö zépiskolai tanároknak, régebben érettségizett és fizikából felvételire készülő fiata loknak, a fizika iránt érdeldődő olvasóknak.
Munkánkat nehezítette az, hogy összefoglalást kellett adnunk a régebbi közép iskolai tanterv fizikaanyagából azok számára, akik korábban érettségiztek, ugyan akkor fel kellett dolgoznunk a legújabb tantervi anyagot, amelynek szokatlan, kö zépszinten újszerű témái és szemlélete (kvantummechanika, statisztikus fizika, magfizika, anyagfejlődés) éppen a természet változatossága mögött megbúvó kö zöset kívánják megragadni. Ezért az egyes fejezetek stílusa, felépítése, matemati- kaiapparátus-igénye némileg eltérő. Könyvünk tehát a hagyományos értelemben vett klasszikus fizikát és az ún. modern fizika alapjait öleli fel, ahol lehet részlete sebben, ahol túlhaladná a könyv kereteit, kitekintésszerűen a legfontosabb tém a körökre.
Az volt a célunk, hogy a fizika legfontosabb fogalmait pontosan értelmezzük, törvényeit világosan kifejtsük, és ne csak magyarázzuk tartalmukat, hanem ahol lehet, az alapul választott ún. alaptörvényekből (axiómákból) le is vezessük őket. Ez elsősorban a mechanikában, hőtanban és az elektromosságtanban vált többé- kevésbé teljessé.
Könyvünkben mindvégig az Sí mértékrendszert használjuk. Könyvünk fő részei :
I. Mechanika II. Termodinamika
III. Elektrodinamika és optika IV. Relativitáselmélet
V. Atomfizika és kvantummechanika
VI. Sokrészecske-rendszerek valószínűségi leírása VII. Az anyagok szerkezete
VIII. Magfizika
IX. Elemi részek és az univerzum
A mechanika az erő és az impulzus (lendület) fogalmára egyaránt felépíthető. Könyvünkben mindkét utat megmutatjuk a régi és az új középiskolai tantervek koncepcióinak megfelelően. Az általános elvek után a legfontosabb gyakorlati al kalmazásokra térünk ki.
A II. részben az ún. fenomenologikus termodinamikát tárgyaljuk viszonylag röviden, m ert sok tétele mélyebb magyarázattal a VI. részben újra előkerül.
AIII. részben az elektromágneses alapjelenségekből kiindulva eljutunk a Max- well-egyenletek által leírt alaptörvények teljes rendszeréig, ami lehetővé teszi a
El ő s z ó
fénytannak az elektromágnességbe való beolvasztását, azaz egyik célkitűzésünk nek megfelelően két, látszólag különálló fejezet szintézisét. Az elektromágneses mező új vonása domborodik ld itt: hangsúlyossá válik anyag mivolta. Ez derül ki a részletesen tárgyalt új témakörökből, mint például az elektromágneses energia, a mező energiasűrűsége, az elektromágneses impulzus (lendület), tömeg, energia- áram-sűrűség, sugárnyomás stb. A szokásosnál nagyobb hangsúlyt helyeztünk az elektromágneses mező fogalmára, amely az információtárolás és -továbbítás leg hatékonyabb „eszköze” a mai ember kezében. Ennek a fejezetnek a végén az elekt romágnesség néhány gyakorlati alkalmazását találjuk.
Egészen más felépítésű és igényszintű az elektromosságtanból ldfejlődött rela tivitáselméletet bemutató IV. rész. Abból kellett kiindulnunk, hogy a középiskolák legfeljebb szakköri szinten foglalkozhattak a témával. Ezért gyakorlatilag nincs olyan középiskolai szintű összefoglalása, amelyet mintának választhattunk volna. Ugyanakkor mindenképpen el akartuk kerülni, hogy indokolás nélkül, mintegy le xikális felsorolásban közöljük az így sehova sem kapcsolódó eredményeket. Annál is inkább hajlottunk arra, hogy mélyebb beteldntést próbáljunk nyújtani a klasszi kus fizika ezen betetőzésébe, mert eredményeivel és szemléletével át- meg átjárja a modernebb (20-21. századi) tárgyköröket, és főleg: mert a térről, az időről, a mozgásról szóló általános következtetéseinek világnézet-formáló szerep jutott. Ezért tartjuk indokoltnak, hogy a mélyebb bepillantás elősegítése érdekében mód szeresebb kifejtésre tegyünk kísérletet, sőt olykor bizonyítsuk is állításait.
Az V. részben ism ertetett atomfizika és kvantummechanika a jelenlegi középis kolai tanterv törzsanyagába tartozik. Itt találkozunk először a kvantumfizika alap fogalmaival, a kémiai anyagot alkotó részecskékre vonatkozó sajátos törvények kel, a mindennapi szemléletünk számára idegennek tűnő, de a tények által igazolt részecske-hullámtermészet megnyilvánulásaival. Sem az atom, sem a kondenzált anyag felépítése, szerkezete, tulajdonságai nem érthetők meg a kvantumjelensé gek ismerete nélkül.
Ismét új szemléletet követel a sokrészecske-rendszereknél alkalmazott való színűségi leírás, a statisztikus fizikai módszer (VI. rész). Ennek segítségével érthe tők meg az anyagszerkezettel foglalkozó VII. részben tárgyalt igen fontos témák. A VIII. rész az atomok „egyéniségét” megszabó legbelső részének felépítésével, szerkezetével foglalkozik, amelynek felfedezése nyomán méltán nevezik a 20. századot „atomkornak”. Az atommag összetételén, a radioaktivitáson túl az atom energia hasznosításának fizikai elveivel és gyakorlati megvalósításával is megis merteti az olvasót.
Az atomfizikán túli, az anyag mikroszerkezetét felvillantó utolsó fejezet egyik feladata, hogy beteldntést nyújtson a mikro- és makrokozmosz kapcsolatába. Itt talán még fokozottabban korlátoz az a tény, hogy a fogalmi apparátus rendkívül szerteágazó. Mégis, ha érzékeltetni kívánjuk, hogy milyen fontos kérdésekig jutott
El ő s z ó
a fizika fejlődése napjainkra, hogy ha a lezáratlanság benyomását (sőt: ldhívását) is tolmácsolni akarjuk, ha a fizika előtt álló perspektívákat az anyag szerkezetének vizsgálatával be akarjuk mutatni, akkor minderre ebben a fejezetben különösen jó alkalom kínálkozik. F.hhez azonban olyan megoldást kellett választanunk, amely mintegy elmeséli a középfokú eszközök hatótávolságán túli modern fizikát.
Szeretnénk, ha olyan olvasók is hasznosan forgatnák kézikönyvünket, akik nem természettudományos képzettségűek, s a fizikát csak mint az egyetemes em beri kultúra egyik összetevőjét, akár a világmagyarázó, akár a természetben he lyét kereső és kialakító ember egyik legnagyobb szellemi teljesítményét értékelik. Holics László Budapest, 2009. június hó
I. MECHANIKA
1. A mozgások leírása (kinematika)
i
.
i. Az anyagi pont mozgásának leírása
i.i.i. Alapfogalm ak
Pontszerűnek (tömegpontnak, anyagi pontnak) mondunk egy testet, ha méretei a vizsgált problémában szereplő lényeges távolságokhoz képest elhanyagolhatóak. A pontszerű test mozgásának leírása lényegesen egyszerűbb, mint egy kiterjedt testé, hiszen az utóbbi esetben nem csak egyetlen pont mozgását kell vizsgálnunk, hanem több pontét.
Például a Föld pontszerűnek teldnthető, ha Nap körüli keringését vizsgáljuk, de nem te kinthető annak, ha a tengeráramlásokkal foglalkozunk.
Egy test mozgásának leírása azt jelenti, hogy minden pillanatban megadjuk egy másik testhez vagy testek rendszeréhez viszonyított helyzetét. Azt a merev vagy merev testnek tekinthető testrendszert, melyekhez viszonyítva megadjuk a test helyzetét, vonatkoztatási rendszernek nevezzük.
Például az igen távoli csillagok egymáshoz viszonyított (a látóirányra merőleges) moz gása nem észlelhető, ezért egymáshoz képest nem mozgó „merev” testek rendszerének tekinthetők. A vonatkoztatási rendszer megválasztása ugyan önkényes, de bizonyos vo natkoztatási rendszerekhez viszonyítva a testek mozgását lényegesen könnyebb leírni: a bolygók pályája a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszerben bonyolult hurkos görbe, míg a Naphoz és az állócsillagokhoz rögzített vonatkoztatási rendszerhez képest jó köze lítéssel egyszerű ellipszis.
A test helyét az adott vonatkoztatási rendszerben valamilyen számadatokkal ad juk meg. Ezeket az értékeket nevezzük a pontszerű test koordinátáinak.
A leggyakrabban használt Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben kijelölünk egy origónak is nevezett 0 kezdőpontot és három egymásra m erőle ges i,
j
és le egységvektort. Az O pontból kiindulva felveszünk az egységvektorok irányába egy-egy egyenest, melyeket rendre x, y és z koordinátatengelyeknek ne vezünk.I . A M O Z G Á S O K L E Í R Á S A ( K I N E M A T I K A )
Az origóból a pontszerű testig húzott irányított szakasz, vektor az r helyvektor. A helyvektor felírható az i, j, k egységvektorok számszorosainak összegeként:
r = x i+ y j + zk. (1.1)
Az x, y, z számhármas a pontszerű test Descartes-féle derékszögű koordinátái (1.1. ábra). Ha a test egy adott síkban mozog, akkor elegendő csak két koordinátáját meg adni. Ebben a könyvben csak ritkán találkozunk térbeli mozgásokkal, ezért a to vábbiakban a test z koordinátáját 0-nak vesszük és csak az xy síkbeli koordináta- rendszert használjuk.
Az r helyvektor megadható hosszával és valamilyen vonatkoztatási iránnyal be zárt (p szög előjeles értékével is. Az így megadott koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük. Ha a szöget a vonatkoztatási irányhoz képest az óramutató járásával ellen tétes irányba mérjük fel, akkor a szög pozitív, ellenkező esetben negatív (1.2. ábra).
Térben két szöget kell megadnunk, síkbeli mozgás leírásánál elegendő egy szög. Síkbeli mozgás esetén a polárkoordináták: a helyvektor abszolút értéke,
1 . 1 . A Z A N Y A G I P O N T M O Z G Á S Á N A K L E Í R Á S A
melynek jelölése r vagy | r | , és a többnyire x tengellyel bezárt <p szög. A derékszö gű koordináták és a polárkoordináták közötti összefüggés az ábra alapján:
Polárkoordinátákat használnak például a csillagászatban a bolygók mozgásának leírásá nál vagy körmozgást végző tömegpont helyének megadásánál.
A helyvektor úgynevezett kötött vektor. Adatai még akkor is megváltoznak, ha ugyanabban a vonatkoztatási rendszerben csak a koordináta-rendszer origóját he lyezzük át.
Az elmozdulásvektor és az abból szárm aztatott fizikai mennyiségek koordiná tái nem változnak, ha ugyanabban a vonatkoztatási rendszerben, változatlan tengelyirányok mellett az origót áthelyezzük. Az ilyen vektorokat szabad vekto roknak nevezzük.
A mozgó test tartózkodási helyei által megadott görbe a test pályája. A pálya megadható grafikusan egy koordináta-rendszerben, a koordináták táblázatával vagy a pálya egyenletével. A pálya egyenlete olyan egyenlet, melybe a pálya pont jainak koordinátáit behelyettesítve az egyenlőség fennáll. A valóságban a test vé ges ideig mozog és csak egy görbeszakaszt ír le, de a szokásos szóhasználat szerint például a ferdén elhajított testről azt mondjuk, hogy parabolapályán mozog, mi közben természetesen csak parabolaívet fut be.
A pálya egyenlete megadható egy olyan egyenletrendszerrel is, melynek egyenletei az egyes koordinátákat adják meg az idő függvényében. Ezek az egyenletek a pálya para
méteres egyenletei. A paraméteres egyenletekből sok esetben egyszerűen megadható a
pálya egyenlete (lásd 1.1.5.-ben a ferde hajítás pályája).
A pálya illetve pályaszakasz egyik jellemző adata a pálya mentén mért ívhossz. Ha adott a görbe, amely mentén a pontszerű test mozog, akkor elegendő egy tet szőleges kezdőponttól m ért (esetleg előjeles) ívhosszat megadni a pont helyének egyértelmű megadásához. Ha a test a görbe m entén egy irányba mozog, akkor az ívhossz nagysága egyenlő a megtett úttal. Az út nem negatív skaláris mennyiség.
A megtett út szemléltetésére példa a kanyargó autóúton a 100-as kilométerkőtől a 250- es kilométerkőig egyirányú mozgást végző autó, melynek kilométerórája 150 km-t mu tat, és ennyi a két pont közötti ívhossz is. Ha az autó ide-oda ingázik a két pont között, az út nyilván nem az ívhossz lesz, hanem annál nagyobb. A megtett utat ebben az esetben úgy határozzuk meg, hogy a mozgást felosztjuk olyan szakaszokra, melyekben a mozgás egyirányú, és ezen ívhosszak nagyságait adjuk össze. A járművek kilométerórája ezt a mennyiséget mutatja.
Z G Á S O K L E Í R Á S A ( K I N E M A T I K A )
A pálya másik fontos jellemzője a görbülete. Azt a pályaszakaszt, (autóút ese tén) kanyart nevezzük görbültebbnek, élesebb kanyarnak, melynek mentén gon dolatban ugyanannyit autózva az autó hossztengelye jobban elfordul. Az autó hossztengelye a mozgásának irányát mutatja. Pontosabb matematikai megfogal mazásban a mozgás iránya a pálya adott pontbeli érintőjének iránya. Ott nagyobb a görbület, ahol a pályán ugyanakkora As ívhosszat megtéve az érintő nagyobb A(p szöggel fordul el.
Kör esetén e két mennyiség egymással egyenesen arányos, hiszen a körnél As = RA<p, ahol az R sugár egy adott körnél állandó. A kör görbületén a sugár recip- rokát, a A<p/As hányadost értjük: az a kör „görbültebb”, annak nagyobb a görbüle te, melynek sugara kisebb.
Nem körpálya esetén a görbület helyről helyre változik, ezért a görbületet min dig a pálya egy adott pontjában értelmezzük a következőképpen: Szemeljük ki a pálya egy adott A pontját (1.3. ábra)!
1.3. ábra
Ettől nem messze, As ívhossznyira vegyünk egy A' pontot! A pontokban felvett érintők irányának szöge legyen A(p. Ez egyben az érintőkre merőleges egyenesek által bezárt szög. (Merőleges szárú szögek!) Az A' pontot közelítve az A-hoz As és vele A(p is változik, de nem egyenesen arányosan. Azonban ha A' elég közel van A-hoz, a két mennyiség egymással jó közelítéssel egyenesen arányos. Hányadosuk annál inkább tart egy adott számhoz, minél közelebb van A' az A-hoz. Ezt a számot nevezzük a pálya adott pontbeli görbületének:
1 . 1 . A Z A N Y A G I P O N T M O Z G Á S Á N A K L E Í R Á S A
A fentiekből következik, hogy a pálya kis szakasza jól közelíthető egy olyan kö rívvel, melynek sugara a görbület reciproka. Ezt a kört a görbe adott pontbeli gör bületi vagy simuló körének nevezzük, a görbület reciprokát pedig görbületi sugár nak. Az adott pontbeli görbületi kör középpontja az érintőre merőleges egyenesen van rajta, görbületi sugárnyira az adott ponttól. A görbületi kör a pályagörbét az adott pontban érintő végtelen sok kör közül a lehető legjobban közelíti a görbét abban az értelemben, hogy az adott pont Ids környezetében a görbületi kör pontjai térnek el a legkevésbé a görbe pontjaitól.
A test mozgásának leírása aldcor teljes, ha megadjuk, hogy mikor és hol tartóz kodik, azaz megadjuk a helyvektorát, koordinátáit mint az idő függvényét.
A menetrendek és a csillagászati évkönyvek táblázatokban adják meg a test helyzetét megadó adatokat, melyek a menetrendnél egy megállapodás szerinti 0 km-es origótól megtett utat, a bolygóknál pedig az égbolton való megtalálásukhoz szükséges polárkoor- dináták közül csak a két szögadatot adják meg.
A helyvektor, illetve a koordináták t időpontbeli értékét a továbbiakban a jelük mellé tett t indexszel vagy zárójelbe tett t-vel jelöljük: r t, r(t), x t, x(t) stb. Miköz ben a test mozog pályája mentén, helyvektora folyamatosan változik. A test egy korábbi t időpillanatbeli helyzetében helyvektora legyen r(t), egy At-vei későbbi, t + At pillanatban pedig r(t + At). A korábbi helyzettől a későbbi helyzetig húzott irányított szakasz az elmozdulásvektor. Az ábrából látható, hogy ez a vektor a két helyvektor vektori különbsége. Mivel az elmozdulásvektor a helyvektor megválto zása, ezért jele Ar.
Ar = r ( t + A t ) - r ( t ) . (1 .4 )
Az elmozdulásvektor koordinátái pedig Ax = x ( t+At) -x (t), Ay = y(t+At) -y (t). Az elmozdulásvektor koordinátái ugyanabban a vonatkoztatási rendszerben nem változnak, ha a koordinátatengelyek irányának változatlansága mellett az origót eltoljuk. Ha ugyanabban a vonatkoztatási rendszerben a koordinátatengelyeket elforgatjuk, az elmozdulásvektor koordinátái külön-lcülön megváltoznak. Azon ban a négyzetük összegéből vont négyzetgyökös ldfejezés értéke, azaz az elmoz dulásvektor hossza változatlan, hiszen az elmozdulás nagysága ugyanabban a vo natkoztatási rendszerben mindig ugyanakkora (1.4. ábra).
Az elmozdulás nagysága, a vektor abszolút értéke, mindig kisebb vagy egyen lő, mint a két időpont közt megtett út. Csak abban az esetben egyenlő vele, ha a test egyenes vonalú pályán egyirányú mozgást végez:
| Ar | < As.
Ha a At idő elég kicsi, akkor a helyvektor hossza jó közelítéssel egyenlő a megtett úttal:
| Ar | « As.
, A M O Z G Á S O K L E Í R Á S A ( K I N E M A T I K A )
1.4. ábra
Az elmozdulásvektor egyenese a 1.5. ábra szerint a pálya szelője. Azonban elegen dő Ids At esetén már majdnem érintő irányú.
Ha ismerjük a pont t időpillanatbeli helyét, r(t)-t, akkor a t + At-kori helye a (1.4) képlet alapján:
1 . 1 . A Z A N Y A G I P O N T M O Z G Á S Á N A K
1.1.2. A sebesség
I . I . 2 . I . Az egyenes vonalú egyenletes mozgás sebessége
Ez a mozgás egy egyenes mentén zajlik le és a megtett út egyenesen arányos az út megtételéhez szükséges idővel, azaz hányadosuk állandó. A sebesség jele „v”. A se besség nagysága a At idő alatt megtett As út hányadosa:
A sebességnek irányt is tulajdonítunk: ez a „mozgás iránya”, azaz az elmozdulás iránya. Azaz a sebesség v vektora párhuzamos és egyirányú az elmozdulás irányá val. Ezt fejezi ki a
képlet, ahol Ar a At idő alatti elmozdulásvektor. Az egyenlet szerint a sebesség vektorát úgy kapjuk meg a Ar vektorból, hogy azt a pozitív At-vel elosztjuk, azaz irányuk megegyezik (1.6. ábra). Mivel az elmozdulásvektor nagysága megegyezik egyenes vonalú mozgás esetén a megtett úttal, ezért a sebesség nagysága az (1.5a) képlet szerint alakul.
A sebesség származtatott fizikai mennyiség, ezért az azt definiáló képletbe be helyettesítve az alapmennyiségek mértékegységeit, mértékegysége m /s. A gya korlatban használatos még a km /h, 1 la n /h = 3,6 m /s.
A sebesség szemléletes jelentése az időegység alatti elmozdulás. A sebesség számértéke szemléletesen az időegység alatt megtett út számértékét adja meg.
A sebességvektor koordinátái „előjeles” valós számok: 1.6. ábra
v _ Ax
I . A M O Z G Á S O K l e í r á s a ( k i n e m a t i k a )
Ha egyenes vonalú egyenletes mozgásnál ismerjük a t időpillanatbeli r(t) helyvek tort és a v sebességvektort, akkor egy At idővel későbbi t -I- At időpillanatra kiszá míthatjuk a pontszerű test helyét:
r(t + At) = r(t) +vAt.
I.I.2.2. A változó mozgás sebessége
Az átlagsebesség. Egy változó mozgást végző test v átlagsebességén értjük a
v = — (1.6a)
At
hányadost. Egy másik értelmezés az átlagsebesség nagyságára:
v= — . (1.6b)
At
Ez csak abban az esetben egyezik m eg a „vektorosan” értelm ezett átlagsebesség nagyságával, ha a mozgás egyenes vonalú és egyirányú, m ert csak ekkor igaz a As= | Ar | .
A képletből következően As = üAt. Ezért az átlagsebesség annak az egyenletesen mozgó testnek a sebességét is jelenti, amelyik ugyanannyi idő alatt ugyanannyi utat tesz meg, m int a változó mozgást végző test. A köznyelvben és a továbbiakban ebben a könyvben az átlagsebességen a m egtett úttal értelmezett képlet szerinti mennyi séget értjük.
Pillanatnyi sebesség. Szemeljünk ki egy t időpillanatot és egy At időtartamot! A fent említett Ar/At hányados a „vektoros” átlagsebességet adja csak meg. Mivel a mozgás nem egyenes vonalú és nem egyenletes, ezért a Ar elmozdulásvektor irá nya változik a At időtartam függvényében, és az egyenes arányosság sem áll fenn Ar nagysága és At között. Azonban nyilvánvaló, hogy fizikai és matematikai megérzé sünk alapján létezik minden pillanatban sebesség, és azért adja meg a fent említett hányados csak az átlagsebességet, mert a sebesség még a At időtartam alatt is válto zik. A sebesség nagyságának és irányának változása annál ldsebb, minél kevesebb idő alatt zajlik le a változás, azaz minél kisebb At. Ezért a t időpillanatbeli pillanat nyi sebességet jó közelítéssel megkapjuk, ha nagyon kicsi At-hez tartozó Ar elmoz dulást osztjuk a At-vel. Formulánk annál jobban megközelíti a t pillanatkori v(t) pil lanatnyi sebességet, minél ldsebb a At. Ezt matematikailag így fejezzük ld:
v ( t ) = — , ahol A t->0, (1.6c)
' ' At
1 . 1 . A Z A N Y A G I P O N T M O Z G Á S Á N A K L E Í R Á S A
(olv.: ahol At tart a nullához). Az 1.7. ábra szerint a sebesség érintőirányú és nagy sága As/At, ahol At tart a 0-hoz, hiszen ebben az esetben Ar nagysága is tart As-hez.
1.7. ábra
A sebesség nem kötött vektor, kezdőpontját bárhol felvehetjük. Szokás a sebes séget ábrázoló nyíl kezdőpontját a pontszerű testen felvenni.
Fizikai mennyiségek így értelmezett pillanatnyi értékének meghatározásával a differenciálszámítás foglalkozik. Ennek jelöléseivel:
■(4
dr dí
Sokszor a fizikai mennyiség változásának pillanatnyi értékét egy, a mennyiség fölé tett ponttal jelölik:
v = r. A fentiek igazak a koordinátákra is:
Ax: At Ay v = — , y At dx . V = — = X V ■ x át y áy dt =y-ahol t -» 0 (1.6d)
Az elmozdulás x koordinátáját ábrázolva az idő függvényében a Ax/At hányados a helykoordináta-idő görbe szelőjének iránytangensét jelenti, lásd az 1.8. ábrát. A At-t egyre kisebbnek választva a hányados a pillanatnyi sebesség x koordinátájá hoz, a szelő pedig az érintőhöz tart. Azaz a görbe érintőjének meredeksége a pilla natnyi sebesség x koordinátája.
X. A M O Z G Á S O K L E Í R Á S A ( K I N E M A T I K A )
1.9. ábra
Ábrázoljuk a sebességkoordinátát az idő függvényében (1.9. ábra)! A grafikonon az i-edik téglalapocska területének számértéke, i>,(t)At az i-edik elmozduláskoordináta x komponensének közelítő értékét jelenti. Ez a közelítés akkor elegendően pontos, ha a sebesség* koordinátája a At idő alatt alig változik, azaz At elegendően kicsiny. Megfele lően kicsiny At-lcre osztva egy tetszőleges t,, t2 időintervallumot, az alábbi képlet szerint jó közelítéssel megkaphatjuk a tx és t2 időpontok közötti helykoordináta-változást:
1=1
1 . 1 . A Z A N Y A G I P O N T M O Z G Á S Á N A K L E Í R Á S A
Ha At -vei tartunk a O-hoz, akkor az integrálszámítást ismerők számára:
Hasonló összefüggés érvényes a többi sebességkoordinátára. A sebességnagyság-idő grafikon görbéje alatti terület számértéke a két időpont között megtett utat adja meg.
A nem egyenes vonalú egyenletes mozgásoknál a sebesség vektorának iránya, nagysága vagy mindkettő változik. A sebességváltozás vektora a 1.10. ábra szerint megszerkeszthető:
Egy rögzített t időpillanatban vizsgálva Av-t az már csak a At-től függ. A legegysze rűbb függvénykapcsolat Av és At között az egyenes arányosság: azaz a Av/At hánya dos irány és nagyság szerint állandó. Ilyen mozgás például a ferde hajítás vagy az egyenletesen lassuló autó mozgása. Ezt a sebesség időbeli változására jellemző vek tort gyorsulásnak nevezzük. Jele: a. Az ilyen mozgásoknál a gyorsulás definíciója:
1.1.3. A gyorsulás Av = v(t + At) -v ( t). 1.10. ábra a =Av At (1.7a) 39