Apostila ACE - Jun 2015

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Campus I – Belo Horizonte

 MINAS GERAIS

Julho de 2015 Departamento de

Engenharia de Materiais

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DEMAT – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS COORDENAÇÃO DE ELETROMECÂNICA E MECATRÔNICA

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Campus I – Belo Horizonte

Av. Amazonas 5253 - Nova Suiça - Belo Horizonte - MG - Brasil CEP 30.421-169 - Telefone: +55 (31) 3319-7000

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Prefácio

Este texto tem por objetivo principal oferecer um material básico de referência para a disciplina Acionamentos e Comandos Elétricos, para os Cursos Técnicos de Eletromecânica e Mecatrônica do CEFET-MG, do Departamento de Engenharia de Materiais – DEMAT.

O texto conta com oito capítulos, numa sequência que possibilita ao aluno consolidar os conceitos teóricos através da leitura dos tópicos, dos exemplos resolvidos e da resolução de problemas e exercícios, incluindo exercícios de simulação. Além disso, foram inseridos vários guias de aulas práticas (Apêndice III) que os (as) alunos (as) utilizarão nas aulas em laboratório.

É importante que o leitor tenha como pontos de partida conceitos fundamentais da eletricidade, como o conhecimento do Sistema Internacional de Unidades (SI), da notação científica e de grandezas elétricas básicas. No primeiro capítulo são apresentados conceitos básicos de corrente alternada (CA), com ênfase no sistema trifásico. Para um aprofundamento neste assunto, o aluno já conta com uma disciplina no curso, Circuitos Elétricos.

Vale salientar que o presente texto não deve substituir a literatura técnica da área de Acionamentos e Comandos Elétricos, pois as referências bibliográficas são, além de base desta obra, muito enriquecedoras em aspectos teóricos e práticos. O bom aluno deve sempre ler e pesquisar os assuntos referentes a esta disciplina do curso nos excelentes livros editados em português, além de apostilas e tutoriais disponíveis na Internet.

Uma observação importante: considera-se no texto, para acionamento dos contatores, a tensão de alimentação de 220 V. Caso contrário, será informada a tensão no esquema do acionamento, por exemplo, contator acionado por 24 V (60 Hz).

Pede-se a compreensão dos alunos e professores pelos eventuais erros. Assim sendo, são imensamente bem-vindas as críticas, sugestões e correções, que certamente contribuirão para a melhoria deste material didático, que brevemente, poderá se transformar em livro.

Belo Horizonte, julho de 2015.

Professor André Barros de Mello Oliveira

E-mails: [email protected]

[email protected]

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Campus I – Belo Horizonte

Av. Amazonas 5253 - Nova Suiça - Belo Horizonte - MG - Brasil CEP 30.421-169 - Telefone: +55 (31) 3319-7000

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BIOGRAFIA

André Barros de Mello Oliveira nasceu em Belo Horizonte, Minas Gerais, em 17 de julho de 1969. Formou-se em Engenharia Industrial Elétrica pelo Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG), em dezembro de 1992. Obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), em dezembro de 1998, na área de Eletrônica de Potência. Atuou como professor em Escolas de formação técnica em Belo Horizonte, como o SENAI, a Utramig, o SESI e o CEFET-MG, até 2001. De 2001 a 2006 foi professor/pesquisador nos cursos de Engenharia de Telecomunicações e de Engenharia Elétrica do Centro Universitário de Belo Horizonte (Uni-BH). Desde outubro de 2006 é professor efetivo do CEFET-MG, atuando inicialmente no campus Varginha (2006 a 2014), nos cursos técnicos de Informática Industrial e Mecatrônica. Atualmente é professor do DEMAT, Departamento de Engenharia de Materiais, no campus I, em Belo Horizonte, onde leciona nos cursos técnicos de Mecatrônica, Eletromecânica e Mecânica.

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Acionamentos e Comandos Elétricos - Ensino Técnico – MECATRÔNICA

“Um país se constrói com Homens e Livros.”

Monteiro Lobato

“Vencer a si próprio é a maior das vitórias.”

Platão

“Nossa maior fraqueza está em desistir. O caminho mais certo de vencer é tentar mais uma vez.”

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Lista de Abreviaturas

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas - atua em todas as áreas técnicas do país. Os textos das normas são adotados pelos órgãos governamentais (federais, estaduais e municipais) e pelas firmas. Compõe-se de normas: NB, TB (terminologia), SB (simbologia), EB (especificação), MB (método de ensaio) e PB (padronização).

AC – Alternating Current (corrente alternada).

ANSI – American National Standards Institute, Instituto de normas dos Estados Unidos que publica recomendações e normas em praticamente todas as áreas técnicas. Na área dos dispositivos de comando de baixa tensão, tem adotado frequentemente especificações da UL e da NEMA.

AT – Alta Tensão. BT – Baixa Tensão. CA – Corrente Alternada. CC – Corrente Contínua.

CNC – Controle Numérico Computadorizado.

CV – Cavalo-Vapor, unidade de potência mecânica, correspondente a 736 Watts. DC – Direct Current (corrente contínua).

DIN – Deutshe Industrie Normen, Associação de normas industriais alemãs. Suas publicações são devidamente coordenadas com as da VDE.

fem – força eletromotriz.

FT – Relé de Sobrecarga.

IEC – International Electrotechinical Comission. Comissão formada por representantes de todos os paises industrializados. As recomendações do IEC, publicadas por esta comissão, são normalmente adotadas na íntegra pelos diversos paises ou, em outros casos, está se processando uma aproximação das normas nacionais ao texto destas internacionais.

HP – Horse-Power, unidade de potência mecânica, correspondente a 746 Watts. K – Contator.

KT – Relé de Tempo. MI – Motor de Indução.

MIM ou MM – Motor de Indução Monofásico. MIT – Motor de Indução Trifásico.

NA – Normalmente Aberto (relativo ao tipo de contato de uma chave).

NEMA – National Electrical Manufactures Association, Associação americana dos fabricantes de materiais elétricos.

NF – Normalmente Fechado.  - Rendimento.

RPM (ou rpm) – Rotações por minuto.

UL – Underwriters’ Laboratories Inc., entidade nacional de ensaio da área de proteção contra incêndio, nos Estados Unidos, que entre outras coisas, realiza ensaios de equipamentos elétricos e publica as suas prescrições.

VCC – Tensão Contínua (o mesmo que VDC).

VDE – Verband Deutscher Elektrotechniker, Associação de normas alemãs que publica normas e recomendações da área de eletricidade.

VF – Tensão de Fase (tensão elétrica entre fase e neutro, VFN).

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Sumário

Capítulo 1 - Revisão de conceitos e aplicações de Corrente Alternada (CA) ... 14

1.1 – Introdução ... 14

1.2 – Geração de Corrente Alternada ... 19

1.2.1 - Princípio de funcionamento de um gerador elementar ... 20

1.2.2 - Lei de Faraday – F.E.M. induzida ... 20

1.2.3 – Sinais CA – principais parâmetros ... 22

1.2.4 – Sinais CA – valores característicos e conceitos importantes ... 24

1.2.4.1 – Valor médio, VCC ou VDC ... 26

1.2.4.2 – Valor eficaz, Vef ou Vrms ... 26

1.3 – Relacionando graus elétricos e tempo e graus elétricos e mecânicos ... 28

1.4 – Representação fasorial de uma grandeza elétrica senoidal ... 29

1.4.1 – Fasores ... 29

1.4.2 - Representação matemática de um fasor ... 30

1.4.3 – Operações matemáticas com fasores ... 32

1.4.3.1 – Fasores representados por números complexos ... 32

1.5 - Comportamento de circuitos resistivos, indutivos e capacitivos em CA... 36

1.5.1 – Circuito resistivo - corrente e tensão em fase ... 36

1.5.2 – Circuito puramente indutivo – tensão adiantada de 90 graus da corrente ... 37

1.5.3 - Circuito puramente capacitivo – corrente adiantada de 90 graus da tensão ... 38

1.5.4 – Impedância de circuito CA ... 39

1.5.4.1 – Lei de Ohm para a impedância Z em Corrente Alternada ... 41

1.5.4.2 – Associação de impedâncias ... 41

1.6 - Sistema trifásico ... 42

Capítulo 2 – Introdução aos motores elétricos ... 52

2.2 – Aplicações de motores CC e CA ... 52

2.2.1 – Motores de Corrente Contínua (ou motores CC)... 53

2.2.2 – Motores de Corrente Alternada (ou motores CA) ... 55

2.3 – O motor CA trifásico ... 56

2.3.1 – Motor de indução... 56

2.3.1.1 - Motor de indução com rotor do tipo gaiola de esquilo ... 57

2.3.1.2 - Motor de anéis ou com rotor bobinado ... 58

2.3.2 – Motor trifásico de múltiplas velocidades ... 58

2.3.2.1 – Motor trifásico de enrolamentos separados ... 59

2.3.2.2 – Motor Dahlander ... 59

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2.5 – Princípio de funcionamento do motor CA ... 60

2.5.1 – Campo girante de um motor trifásico ... 60

2.5.2 – Velocidade síncrona (ns) ... 67

2.5.3 – Escorregamento (s)... 68

2.5.3.1 – Tensões induzidas no rotor ... 68

2.5.4 – Conjugado ... 70

2.5.5 – Energia, potência elétrica e potência mecânica ... 71

2.5.6 – Potência aparente, ativa e reativa ... 72

2.5.7 – Fator de potência... 72

2.5.8 – Rendimento ... 74

2.5.9 – Categorias de conjugado ... 75

2.6 – Principais características nominais ... 77

2.7 – Ligações de motores de indução... 80

2.7.1 – Ligações de motores de 6 (seis) terminais ... 81

2.7.2 – Ligações de motores de 9 (nove) terminais ... 82

2.7.3 – Ligações de motores de 12 (doze) terminais... 84

2.7.4 – Ligações de motores de duas velocidades (Dahlander) ... 86

Capítulo 3 – Contator magnético ... 91

3.2 – Contatores – aspectos construtivos, classificação e aplicações ... 92

3.2.1 – Classificação dos contatores ... 93

3.2.2 – Tipos de contatores ... 93

3.2.3 – Outras considerações ... 94

3.3 – Diagrama de carga ... 96

3.4 – Diagrama de comando ... 99

3.5 – Circuitos elétricos lógicos com contatores ... 99

3.5.1 – Função lógica SIM (afirmação) ... 100

3.5.2 – Função lógica NÃO (negação) ... 100

3.5.3 – Função lógica E ou AND (associação em série) ... 100

3.5.4 – Função lógica OU (or) - associação em paralelo ... 100

3.5.5 – Função lógica não E (ou NAND) ... 101

3.5.6 – Função lógica não OU (ou EXOR) ... 101

3.5.7 – Função lógica OU exclusivo (EXOR) ... 101

Capítulo 4 – Dispositivos de proteção e de comando ... 116

4.1.1 - Curto-circuito e proteção ... 117

4.2 – Fusíveis ... 117

4.2.1 - Operação do fusível ... 118

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4.2.3 - Classificação ... 119

4.2.4 - Principais características ... 120

4.3 – Disjuntores ... 126

4.3.1 - Aspectos construtivos de um disjuntor ... 126

4.3.2 – Curvas de disparo do Disjuntor ... 128

4.3.3 – Disjuntor diferencial residual (DR) ... 128

4.3.3.1 - Princípio de proteção das pessoas ... 129

4.4 – Relés de sobrecarga ... 132

4.4.1 – Relé de sobrecarga bimetálico com botão RESET e tecla multifunções ... 133

4.4.2 – Relés eletrônicos ... 135

4.5 – Relé de tempo ... 137

4.5.1 – Relés de tempo eletrônicos ... 138

Capítulo 5 – Dispositivos de acionamento e de sinalização ... 146

5.1 – Botão de comando ... 146

5.1.1 – Tipos de contato ... 146

5.2 – Chave de fim-de-curso ... 151

5.3 – Sinalizadores ... 151

5.4 – Tomadas de uso industrial ... 153

Capítulo 6 – Comando de motores trifásicos com contator ... 159

6.1 – Comando local e à distância ... 159

6.2 – Partida direta ... 159

6.3 – Reversão de rotação (manual e semi-automático) ... 160

6.3.1 – Chave reversora de comando manual ... 161

6.3.2 – Chave reversora de comando semi-automático ... 162

6.4 – Motor de duas velocidades (Dahlander) ... 165

6.5 – Comando condicionado de motores elétricos ... 166

Capítulo 7 – Sistemas de partida de motores elétricos de indução ... 179

7.2 – Chave estrela-triângulo manual e semi-automática ... 180

7.2.1 - Vantagens e desvantagens da partida Y- ... 180

7.2.2 – Diagrama da chave de partida estrela-triângulo no modo manual ... 182

7.2.3 – Diagrama da chave de partida estrela-triângulo no modo semi-automático ... 182

7.2.4 – Dimensionamento dos contatores para a chave de partida estrela-triângulo ... 183

7.2.5 – O Conjugado de partida da chave estrela-triângulo ... 184

7.3 – Chave compensadora semi-automática ... 186

7.3.1 – Equacionamento do torque de partida da chave de partida compensadora ... 188

7.3.2 – Correntes da chave compensadora ... 191

(11)

7.3.2.2 – Equacionamento das correntes da chave compensadora ... 193

7.4 – Chave para motor de indução com rotor bobinado ... 195

7.4.1 – Chave de partida para motor de indução com rotor bobinado ... 197

Capítulo 8 – Motor monofásico ... 203

8.1 – Motor monofásico - princípio de funcionamento e componentes ... 203

8.1.2 – A partida em um motor monofásico ... 203

8.1.3 – Características principais do motor monofásico ... 206

8.1.4 – Motor monofásico x motor trifásico ... 206

8.2 – Diagramas de ligação em 127 V e em 220 V ... 207

8.2.1 – Motor monofásico de 2 terminais ... 207

8.3 – Sistema de reversão de rotação no MM... 208

Apêndice I – Plano de Ensino da disciplina Acionamentos e Comandos Elétricos ... 213

Apêndice II – Informações úteis. Normas e símbolos utilizados em comandos elétricos ... 216

Apêndice III – Guias de aulas práticas ... 217

AULA PRÁTICA 1-ACIONAMENTO DE LÂMPADAS E MEDIÇÃO DE CORRENTE E TENSÃO MONOFÁSICAS ... 218

AULA PRÁTICA 2-COMANDOS DE ACIONAMENTO POR CHAVES E MEDIÇÃO DE VALORES TRIFÁSICOS ... 220

AULA PRÁTICA 3–CONTROLE DE CARGA UTILIZANDO CONTATOR E RELÉ DE TEMPO ... 223

AULA PRÁTICA 4-CHAVE DE PARTIDA DIRETA -MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO (MIT) DE 6TERMINAIS ... 225

AULA PRÁTICA 5–PARTIDA DE UM MOTOR ELÉTRICO COM COMANDO DIRETO E INTERMITENTE ... 227

AULA PRÁTICA 6–PARTIDA DIRETA DE UM MIT COM REVERSÃO TEMPORIZADA ... 229

AULA PRÁTICA 7–RELÉ ELETRÔNICO TEMPORIZADOR APLICADO NA PARTIDA E NA SINALIZAÇÃO DE UM MIT ... 232

AULA PRÁTICA 8–COMANDO CONDICIONADO DE CARGAS ... 236

AULA PRÁTICA 9–MONTAGEM DE CHAVE DE PARTIDA MANUAL E AUTOMÁTICA PARA UM MOTOR DAHLANDER . 240 AULA PRÁTICA 10–MONTAGEM DE CHAVE DE PARTIDA ESTRELA-TRIÂNGULO SEMI-AUTOMÁTICA... 243

AULA PRÁTICA 11–CHAVE DE PARTIDA COMPENSADORA ... 246

AULA PRÁTICA 12–MOTOR MONOFÁSICO –ACIONAMENTO MANUAL EM 127 E EM 220V ... 249

AULA PRÁTICA 13–ACIONAMENTO E REVERSÃO AUTOMÁTICA DO MOTOR MONOFÁSICO ... 253

AULA PRÁTICA 14–CHAVE DE PARTIDA PARA MIT COM ENROLAMENTOS SEPARADOS (2 VELOCIDADES) ... 256

AULA PRÁTICA 15–FRENAGEM DE MOTOR DE INDUÇÃO ... 258

Apêndice IV – Identificação dos terminais das bobinas do motor monofásico ... 260

(12)

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Alfabeto Grego

Maiúsculas Minúsculas Nome

Clássico Prefixos SI

*

A  Alfa _Fator _Prefixo _Símbolo

10-3 mili m 10-6 micro  10-9 nano n 10-12 _pico _p 103 quilo k 106 _mega _M 109 giga G 1012 tera T

* SI: Sistema Internacional de Unidades, é um conjunto sistematizado e padronizado de definições para unidades de medida, utilizado em quase todo o mundo moderno, que visa a uniformizar e facilitar as medições e as relações internacionais daí decorrentes.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades B  Beta   Gamma   Delta E  Epsilon Z  Zeta H  Eta   Theta I  Iota K  Kappa   Lambda M  Mu N  Nu   Xi (ksi) O  Omicrón   Pi P  Rho   Sigma T  Tau Y  Upsilón   Phi X  Chi   Psi   Ômega

"Escola de Atenas", Rafael Sanzio. Retrata filósofos gregos e personalidades da época do pintor.

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Usina Hidrelétrica de Estreito. Descida do maior rotor Kaplan do Brasil. Agosto de 2010. Fonte: http://www.uhe-estreito.com.br/ver_imgprincipal.php?noticia_id=129

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1

Capítulo 1 - Revisão de conceitos e aplicações de Corrente Alternada (CA)

1.1 – Introdução

No Brasil, a energia elétrica que é fornecida às residências, indústria e comércio, em geral, é produzida nas usinas hidrelétricas, onde ocorre a conversão de energia mecânica em elétrica (produção de tensão alternada pela rotação do eixo de um gerador trifásico, através de uma turbina acionada pela força da água).

Em uma usina hidrelétrica, a água represada possui energia potencial gravitacional que se converte em energia cinética. Essa energia cinética é transferida às turbinas, que movimentam o gerador. Este, por sua vez, converte essa energia cinética em energia elétrica a qual será enviada através de condutores ao seu destino, através das linhas de transmissão (da usina geradora até as subestações de distribuição) e das linhas de distribuição (das subestações aos consumidores).

Outras formas de se obter energia elétrica estão ilustradas na Figura 1.1: energia eólica (força dos ventos para tocar o eixo do gerador), energia solar, energia nuclear etc.

Figura 1.1 – Exemplos de fontes alternativas de Corrente Alternada (CA). Fonte: BOYLESTAD, R. L.

As Figuras 1.2a e 1.2b mostram as partes constituintes de uma usina hidrelétrica.

- Questão importante: qual é a função do canal na entrada do duto? Responda se possível, com

(15)

(a)

(b)

Figura 1.2 – (a) Aspecto de uma Usina Hidrelétrica (UHE) – vista de perfil. (b) Esquema de barragem de UHE com destaque para a turbina. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hydroelectric_dam_portuguese.PNG

A Figura 1.3 mostra um zoom sobre a operação da turbina. Note-se que o seu eixo é que aciona o gerador de energia elétrica.

A Figura 1.4 mostra um perfil da represa

Grand Coulee que é atualmente a terceira usina

hidroelétrica mais potente do mundo.

A represa, localizada no Rio Columbia (EUA), possui cerca de 1,6 km de comprimento, e o dobro da altura das Cataratas do Niágara.

A sua construção foi iniciada em 1933, tendo sido inaugurada a 22 de março de 1941, quando possuía a maior capacidade de geração de eletricidade do mundo – aproximadamente 21000 GWh/ano. Fonte:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Represa_Grand_Coulee

Figura 1.3 – Esquema de uma turbina que aciona um gerador de uma usina hidrelétrica1.

(16)

A instalação de uma turbina do tipo Francis é mostrada na Figura 1.5. Repare no diâmetro do rotor da turbina, onde os técnicos trabalham. Na Figura 1.6 vê-se o rotor de uma turbina de um gerador da usina de Itaipu.

A Turbina Francis é uma turbina hidráulica que foi desenvolvida pelo engenheiro americano James B. Francis, em 1849, daí o seu nome. Turbinas Francis são adequadas para operar entre quedas de 40 m até 400 m. No Brasil, a usina hidrelétrica de Itaipu, assim como a usina hidrelétrica de Tucuruí, usina hidrelétrica de Furnas, usina hidrelétrica de Foz do Areia, AHE de Salto Pilão e outras funcionam com turbinas tipo Francis, com cerca de 100 m de queda de água. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Turbina_Francis.

Figura 1.4 - Represa Grand Coulee, no estado americano de Washington, EUA.

Figura 1.5 - Uma das 6 novas turbinas Francis, que produzem 1 milhão de HP de potência (cerca de 745 MW), sendo instalada na unidade 3 da represa Grand Coulee. Fonte: http://www.adrenaline.com.br/forum/showthread.php?t=111453

(17)

Figura 1.6 – Descida do rotor do gerador da Unidade Geradora 1 (turbina) da Usina Hidrelétrica Estreito. Fonte: http://www.pnegrao.com.br/2010/12/montagem-da-primeira-unidade-geradora.html.

A usina hidroelétrica de ITAIPU, nacional, é uma das que mais produz eletricidade (veja a matéria a seguir, dados de 2010). É um empreendimento binacional desenvolvido pelo Brasil e pelo Paraguai no Rio Paraná. A potência instalada da usina é de 12.600 MW (megawatts), com 18 unidades geradoras de 700 MW cada. A Figura 1.7 mostra o seu aspecto de sua barragem.

Itaipu fecha 2010 com geração de 85,9 milhões de MWh

Itaipu produziu em 2010 um total de 85.970.318 megawatts-hora (85,97 milhões de MWh), o suficiente para suprir todo o consumo do Paraná durante três anos e sete meses. Ou então, os três estados da região Sul por um ano e dois meses. O mesmo volume ainda abasteceria a demanda de Portugal por energia elétrica durante um ano e oito meses.

Como comparação, a usina de Três Gargantas, na China, que tem maior capacidade instalada (maior barragem e maior represa do mundo), fechou o ano anterior (2009) com 79,5 milhões MWh. A produção da megausina chinesa em 2010 ainda não foi divulgada. A terceira maior produtora do mundo, a usina de Guri, na Venezuela, produziu 53,4 milhões MWh em 2009. Quase a metade de Itaipu.

Com um detalhe: Itaipu foi projetada para gerar até 75 milhões MWh. Um número que foi superado já em 1995, com a produção de 77,2 milhões MWh. Depois disso, Itaipu sempre gerou acima do teto. Na maioria dos anos, muito acima. Considerando a média dos últimos cinco anos, a geração chega a 91,1 milhões MWh, um desempenho sem igual no setor elétrico mundial.

Fonte: www.itaipu.gov.br/sala-de-imprensa/noticia/itaipu-fecha-2010-com-geracao-de-859-milhoes-de-mwh

A Tabela 1.1 mostra uma comparação de alguns aspectos técnicos entre as usinas de Itaipu e a de Três Gargantas (chinesa).

(18)

Tabela 1.1 – Quadro comparativo das usinas de Itaipu e de Três Gargantas (dados de 2010). Fontes: http://www.itaipu.gov.br/energia/comparacoes e China Three Gorges Corporation.

Usina

Itaipu (Brasil)

Três Gargantas (China)

Turbinas 20 32 (6 subterrâneas)

Potência nominal 700 MW 700 MW

Potência instalada 14.000 MW 22.400 MW (quando completa, em 2011)

Recorde de

produção anual 94,7 bilhões kWh/ano (2008) 84,3 bilhões kWh/ano (2010) Produção anual 85,9 bilhões kWh/ano (2010) 84,3 bilhões kWh/ano (2010)

Concreto utilizado 12,57 milhões m³ 27,94 milhões m³

Altura 196 metros 181 metros

Comprimento da barragem

7.744 metros (concreto, enroscamento e terra) 175 metros (dique de

Hernandárias)

4.149 metros (concreto 2.309 m e dique Maoping 1.840 m)

Vertedouro - capacidade de

vazão

62.200 m³/s 120.600 m³/s

Escavações 63,85 milhões m³ 134 milhões m³

Número de pessoas

reassentadas 40 mil 1,13 milhão

Figura 1.7 – Aspecto da Barragem da Usina hidrelétrica de Itaipu. Fonte: http://www.adrenaline.com.br/forum/showthread.php?t=111453.

(19)

1.2 – Geração de Corrente Alternada

A Figura 1.8 apresenta o esquema de um gerador elementar de uma espira, submetida à ação de um fluxo magnético, interno à região entre os pólos norte e sul de um ímã.

Mas, o que é uma espira? Numa definição simples, uma espira constitui um tipo de circuito elétrico, com aplicações na produção de campo magnético e eletricidade. É um componente encontrado em geradores de energia elétrica, motores elétricos, transformadores e indutores, dentre outros.

Figura 1.8 – Aspecto básico de um gerador CA com um alternador para geração de uma tensão senoidal.

A Figura 1.9 mostra dois exemplos de bobinas, construídas a partir de um conjunto de espiras. A Figura 1.10 mostra a aplicação de uma bobina em um disjuntor (dispositivo de proteção, a ser estudado no capítulo 4).

(a) (b)

Figura 1.9 – (a) Detalhe de uma bobina. (b) Indutor ou bobina de comprimento l formado por N espiras.

O transformador é outro equipamento onde, a partir do projeto de suas bobinas (entrada: primário e saída: secundário), se pode elevar ou reduzir a amplitude de um sinal alternado aplicado nos terminais de entrada – veja a Figura 1.11a.

Estas bobinas são enroladas em torno de um núcleo comum (em baixa freqüência o núcleo é feito de material magnético como o aço laminado e em alta freqüência é feito de materiais não magnéticos, como o ferrite).

(20)

Figura 1.10 - Aspecto de um Disjuntor (veja detalhe da bobina). Fonte:

http://www.abracopel.org.br

(a)

(b)

Figura 1.11 – (a) Esquema de um transformador monofásico. (b) Transformador trifásico (rede de distribuição de energia elétrica.

1.2.1 - Princípio de funcionamento de um gerador elementar

O condutor (na prática uma bobina) é girado por uma turbina a vapor ou qualquer outra forma de energia mecânica. Esta rotação provoca uma alteração contínua no fluxo magnético em torno do condutor, o que faz surgir uma tensão induzida sob forma senoidal no mesmo. A Figura 1.12a mostra uma espira inclinada em relação às linhas de campo magnético (pelo vetor B



).

(a) (b)

Figura 1.12 – (a) Espira da Figura 1.8 inclinada por um ângulo alfa () em relação às linhas de campo magnético B. (b) A mesma espira girando na região de campo magnético, o que produz uma tensão senoidal nos seus terminais. Fonte: http://macao.communications.museum/images/exhibits/small/2_4_1_1_por.png

1.2.2 - Lei de Faraday – F.E.M. induzida

Está associado à quantidade de linhas de indução magnética que atravessa a superfície delimitada por uma espira, como visto em (1.1).

. .cos

B A







(1.1)

(21)

Onde:

- B é dado em Tesla [T]; A é a área da espira, em m2 e  é o ângulo determinado entre a reta normal à superfície e a direção do vetor indução.

A Lei de Faraday, também chamada de lei da Indução Eletromagnética, está relacionada com a força eletromotriz induzida em uma espira, quando há variação de fluxo magnético com o tempo.

“A f.e.m. em volts, induzida em um circuito é igual ao negativo da taxa de variação com que o fluxo magnético através do circuito está mudando no tempo”. (Michael Faraday, 1791-1867 – Figura

1.13). Matematicamente a Lei de Faraday é expressa por (1.2):

N

t





  

 (1.2) Fig. 1.13 - Michael Faraday. A variável N, nesta equação, é o número de espiras e o sinal negativo indica a polarização da f.e.m. induzida (Lei de Lenz).

Para uma variação infinitesimal (valores do delta, , tendendo para zero), utiliza-se a derivada, d/dt. Logo, para uma função cosenoidal - veja a Equação (1.1):

cos sen

d

x x

dx   (1.3)

A função seno é a derivada do co-seno, daí:









_

_

cos cos . sen Nd BA Nd dt dt d NBA k dt













         

.

k sen







(1.4)

Onde k = B.A.N é o valor máximo da tensão ou f.e.m. induzida. Logo, teremos

max em  = 90 graus (sen 90 o

= 1). min em  = 270 graus (sen 270

o

= - 1).

A Figura 1.14 mostra a formação de uma senóide de acordo com o giro de uma espira. Pela Equação (1.4), determina-se o valor da f.e.m. induzida nos instantes 1, 2, 3, 4 e 5.

Outra interpretação da formação da senóide da Figura 1.13 leva em conta que:

- para os instantes 1, 3 e 5, onde a f.e.m. é nula, isto se justifica pelo fato de que não há variação de fluxo magnético. A variação máxima ocorre nos intervalos entre os instantes 1 e 2 (variação max

(22)

Figura 1.14 – Um ciclo completo da tensão CA com o giro de 360 graus de uma espira.

Pela Figura 1.15, pode-se acompanhar o ciclo completo da senóide formada pelo giro de um fasor, indicado no diagrama indicando um ciclo de 0 a 360 graus.

Para um gerador de 2 pólos (norte e sul), a rotação de uma bobina ao longo de 360º geométricos (ou graus mecânicos) gera sempre 1 ciclo de 360º elétricos de tensão (gerador de 2 pólos). Observe que, por exemplo, para um ângulo  de 90 graus – veja a Equação (1.4), a tensão induzida na espira é máxima, pois





k

.sen





k

.sen 90

0





_max

.

Figura 1.15 – Dois ciclos de tensão alternada gerados pela rotação de uma espira. Fonte: B. Grob, Eletrônica Básica, 4a. Ed. New York: McGraw Hill, 1977.

1.2.3 – Sinais CA – principais parâmetros

• Período (T) - duração de um ciclo ou ainda o intervalo de tempo entre dois pontos da curva de mesma situação (picos positivos ou negativos, p. ex.).

É medido em segundos (s).

• Freqüência (f) – número de repetições de um movimento ou ainda a quantidade de ciclos que cabem em um segundo.

(23)

É medida em Hertz (Hz). f 1 T

  Logo, _T 1

f

 . Daí, Hz = 1/s ou s-1.

• A frequência do sistema elétrico no Brasil é de 60 Hz; em outros países se usa 50 Hz.

• Curiosidade 1: na área de telefonia celular, os padrões de frequência de operação atuais estão na faixa de GHz (lembre-se de que 1 G = 1 x 109).

• Curiosidade 2: para ondas de rádio (sinais sonoros), temos os sinais em AM (amplitude modulada) e em FM (frequência modulada). O Rádio FM oferece maior qualidade sonora do que o AM, pois a sua banda de passagem é de 200 kHz por canal, bem maior que os 10 kHz do rádio AM. Fonte: http://www.willians.pro.br/frequencia/cap3_espectro.htm

EF

_{- Exercícios de Fixação}

Série 1

EF1 – Para a forma de onda de corrente CA (e mA) da Figura 1.16, pede-se encontrar o seu período e a sua frequência e desenhar outro sinal de corrente com freqüência duas vezes maior.

Figura 1.16.

EF2 – Por que, na construção de uma bobina, utiliza-se o fio de cobre envernizado?

EF3 – Explicar matematicamente (através de uma ou mais equações) por que em uma bobina com muitas espiras se consegue induzir mais tensão elétrica.

EF4 – Seja o esquema da Figura 1.17.

a) Por que a corrente é alternada no resistor R?

b) Se um técnico projeta uma espira 3 x menor em relação à apresentada nesta figura, o que ocorre com o valor de pico da senóide produzida? Justifique.

c) Se a espira fica parada, há indução de tensão nos terminais do resistor R?

EF5 – Examinar a Figura 1.18 e explicar porque a corrente é contínua no circuito externo (representado pelo resistor R).

(24)

1.2.4 – Sinais CA – valores característicos e conceitos importantes

A equação geral de um sinal de tensão senoidal (o mesmo vale para um sinal de corrente) é dada, de acordo com a Lei de Faraday, pela equação (1.5):

max

v( t) = V



.sen (ωt + )



(1.5) Onde:

1) v(t) é o valor instantâneo da tensão;

2) Vmax é o máximo valor que a tensão pode atingir,

também denominada de amplitude ou tensão de pico (ver a Figura 1.19);

3) Valor de pico-a-pico, Vpp : é a distância entre os

valores máximo e mínimo. Matematicamente, para um sinal simétrico como o da Figura 1.19, este parâmetro é:

max

(

max

)

2

max

pp

V



V

 

V



V

(1.6) Fig. 1.19 – Representação de uma senóide. 4) O ângulo  (phi, legra grega) é o ângulo de fase inicial, que indica a posição angular onde se inicia o semiciclo positivo da forma de onda senoidal.

Pela Figura 1.20a vê-se que o semiciclo positivo começa antes do zero (0) no eixo t. A onda senoidal está ADIANTADA em relação ao instante 0 (zero). O ângulo de fase é considerado positivo (ou seja,  > 0) na Equação (1.5).

Já na Figura 1.20b o semiciclo positivo começa após o instante zero (0) no eixo t. Portanto, a onda senoidal está ATRASADA em relação ao instante 0 (zero) e o ângulo de fase é considerado negativo ( < 0) na Equação (1.5).

(a) (b)

Figura 1.20 – (a) Ângulo de fase  > 0 (onda senoidal ADIANTADA em relação a t = 0. (b) Ângulo de fase  < 0 (onda senoidal ATRASADA em relação a t = 0.

Na equação (1.5)



t

=

 é um ângulo (onde  é uma letra grega, teta), onde  é a frequência angular (rad/s) e t é o tempo (s). Graficamente,  é representado no eixo horizontal.



=



t

= (2/T).t [rad] (1.7)

E

xemplo 1.1 - A expressão 0

( ) 5.sen (100 35 )

vt  t mostra que este sinal está com um ângulo de fase  = 350, logo, encontra-se adiantado em relação ao instante 0 s (ou ao ângulo 00).

Teste: para t = 0, 0

( ) 5.sen (35 ) 2,87 V.

vt   Veja a forma de onda deste sinal na Figura 1.21, bem como o valor instantâneo em t = 0, para um ângulo de fase  = 350. Nesta figura, o ângulo de fase está indicado com a letra grega , ao invés de .

(25)

Figura 1.21.

5)  (letra grega ômega) indica a velocidade de giro angular, dada por (1.8).

 = 2f ou  = 2 / T [rad/s] (1.8) onde f = freqüência e T = período.

6) Identificação de grandezas elétricas variantes no tempo

As grandezas elétricas, quando variantes no tempo, são identificas pela letra MINÚSCULA. Por exemplo: v(t), tensão CA e i(t), corrente CA.

Quando se quer escrever/identificar os parâmetros destas grandezas, como valor máximo, valor de pico-a-pico, valor médio, valor eficaz etc., faz-se o uso de letras MAIÚSCULAS.

Exemplo:

V ,V

_pp _max

,V

_RMS

, V

_DC etc.

EF

_{- Exercícios de Fixação}

Série

2

EF6 – Sejam as formas de onda da Figura 1.22. Pede-se determinar as equações de i(t) e v(t). As duas formas de onda estão em fase? Justifique.

Figura 1.22 – EF6 (BOYLESTAD, 2002). Figura 1.23 - EF7 (BOYLESTAD, 2002).

EF7 – Seja a tensão senoidal (Figura 1.23), cuja equação é v(t) = 20 sen (500..t -  /4). a) Qual é o seu valor máximo, Am? Qual é a sua velocidade angular () em rad/s?

b) Qual é o seu ângulo de defasagem inicial () em rad? Encontre este parâmetro em ms. c) Encontre para este sinal o período (T) em s e a freqüência (f) em Hz.

EF8 – Para o sinal da Figura 1.24, pede-se encontrar, com base nas informações:

Escala vertical: 2 V/div. e 1 A/div. Escala Horizontal: 0,2 ms / div.

a) o período de i(t) e e(t), em ms e a amplitude de pico a pico do sinal e(t); b) o defasamento em graus e em ms entre os sinais e(t) e i(t).

(



+



)



(26)

1.2.4.1 – Valor médio, VCC ou VDC

O valor médio de uma função representa o resultado líquido da variação de uma grandeza física como deslocamento, temperatura, tensão, corrente, etc. (MUSSOI, 2006).

Para uma grandeza em função do tempo, por exemplo, o valor médio é dado pela soma das áreas positivas e negativas que são descritas periodicamente

ao longo do tempo. Fig.1.24 – Dois sinais defasados no tempo

(BOYLESTAD, 2002). Assim, para uma forma de onda, como mostra a

Figura 1.25, o valor médio é determinado pela área total sob a curva, dividido pelo período da forma de onda.

A equação (1.9) retorna o valor médio de uma função, e é apropriada para funções simétricas como a onda quadrada, onda triangular etc.

Comprimento da curva

med

A Areas sob a curva V

T









(1.9) _{Fig. 1.25 – Exemplo gráfico do valor médio} de uma forma de onda (MUSSOI, 2006).

E

xemplo 1.2 - Qual é o valor médio da forma de onda da Figura 1.26?

Figura 1.26 (BOYLESTAD, 2002).

Solução:

E

xemplo 1.3 - Determine o valor médio para a forma de onda da Figura 1.27.

Solução:



4 2

 

2 2

 

3 2

 

1 2



8 8 4 6 2 12 1, 5. 8 8 medio V                Figura 1.27 (MUSSOI, 2006). 1.2.4.2 – Valor eficaz, Vef ou Vrms

O valor eficaz de uma função representa a capacidade de produção de trabalho efetivo de uma grandeza variável no tempo entre as excursões positivas e negativas da mesma.

Para uma grandeza senoidal (ver a Figura 1.28), cuja equação no domínio do tempo é dado por v(t) = Vmax sen t, o seu valor eficaz é dado pela equação (1.10).

(27)

max

2

ef

V



_(1.10)

Para entender de modo simples o significado físico do valor eficaz (também conhecido como valor RMS, de root mean square, valor médio quadrático), faz-se a análise da potência elétrica fornecido a um mesmo resistor, primeiro com uma fonte de tensão contínua e depois com uma fonte CA senoidal, como mostra a Figura 1.29.

No primeiro circuito, alimentado pelo sinal em CC:

1 1

127 100 1, 27 .

I



V R



A

Daí, P1 = V1I1 = 127 V  1,27 A

= 161,29 W. Figura 1.28 – Conceito gráfico do valor eficaz _{de uma senóide (MUSSOI, 2006).}

Figura 1.29 - Circuitos para medição da potência RMS num resistor. Simulação no Software PSpice®.

O segundo circuito é alimentado por um sinal senoidal, que é ajustado para que um amperímetro indique uma corrente de 1,27 A (alternada), a fim de que seja dissipada a mesma potência que no primeiro circuito.

Logo,

P2 RMS = 127 VRMS . 1,27RMS A = 161,29 WRMS.

O valor ajustado para a senóide equivale a uma tensão contínua a qual aplicada a um elemento resistivo, dissipa a mesma potência (em CA) que no primeiro circuito (em CC).

O circuito da Figura 1.30 mostra um modo prático de se medir a energia térmica entregue por ambas as fontes ao resistor R.

Figura 1.30 – Circuito para medição da energia dissipada pelo resistor alimentado por fontes CC e CA. Fonte: BOYLESTAD, R. L. Introductory Circuit Analysis. 10th Edition, 2002.

(28)

Em resumo: o valor da tensão eficaz ou da corrente eficaz é o valor que produz numa resistência o mesmo efeito que uma tensão/corrente contínua constante desse mesmo valor.

Observações:

• Os instrumentos comuns de medição em corrente alternada (voltímetros, amperímetros e multímetros) fornecem valores eficazes somente para sinais senoidais;

• Para medir o valor eficaz de uma forma de onda de tensão (ou de corrente) não perfeitamente senoidal deverá ser usado um voltímetro (ou amperímetro) mais sofisticado, conhecido como True RMS (Eficaz Verdadeiro) que é capaz de fazer a integração da forma de onda e fornecer o valor eficaz exato para qualquer forma de onda.

• Para uma forma de onda contínua constante (de tensão ou corrente, por exemplo) o valor eficaz é igual ao valor médio.

1.3 – Relacionando graus elétricos e tempo e graus elétricos e mecânicos

De acordo com a Figura 1.15, é muito simples relacionar graus elétricos (referentes a grandezas elétricas, obviamente) e o tempo em segundos.

Supondo que um ciclo da senóide desta figura (360 graus) ocorre em um tempo de 10 ms, para encontrar, por exemplo o instante onde ocorre o primeiro valor máximo positivo (vB), basta resolver a

regra de três simples:

360 graus 10 ms 090 graus tB

Encontra-se para tB o instante 2,5 ms, correspondente a ¼ de ciclo.

Para relacionarmos graus elétricos e mecânicos, basta aplicar a seguinte definição:

Numa máquina de p pólos (veja a Figura 1.31), uma rotação completa do rotor corresponderá a p/2 ciclos de tensão. A denominação da posição do rotor de graus mecânicos e do ângulo correspondente a cada valor do ciclo de tensão gerada de graus elétricos permite estabelecer a seguinte equação:

2

elet mec

p



 



(1.11) _{mecânicos (físicos, em graus ou radianos) e p = número de pólos.}Onde elet = graus elétricos (em graus ou radianos); mec = graus

(a) (b)

(29)

1.4 – Representação fasorial de uma grandeza elétrica senoidal

1.4.1 – Fasores

Uma grandeza senoidal pode ser representada por um vetor que gira com velocidade angular constante , em rad/s. Se este representa uma grandeza elétrica (tensão ou corrente), damos a ele o nome de FASOR (Figura 1.32).

Figura 1.32 – (a) Representação fasorial de uma grandeza senoidal x(t), ilustrada em (b).

Notas:

1) o FASOR não é como o vetor, pois possui somente módulo e sentido (horário ou anti-horário); 2)  = 2f  frequência angular (rads/s).

Na Figura 1.33 a onda B está adiantada ou atrasada da onda A? Qual é o ângulo de fase?

(a) (b)

Figura 1.33 – Ondas senoidais. (a) Formas de onda. (b) Diagrama de fasores.

Na Figura 1.34 vêem-se dois sinais, de tensão, v(t) e de corrente, i(t). No primeiro gráfico o defasamento é de 180 graus (sinais fora de fase). No segundo gráfico as grandezas estão em fase (ângulo de defasagem nulo entre ambas as formas de onda).

(30)

O oscilograma da Figura 1.35 mostra três sinais de tensão. Qual deles está mais adiantado? Os três sinais possuem a mesma freqüência? Justifique.

Figura 1.35 – Três senóides defasadas entre si.

1.4.2 - Representação matemática de um fasor

FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa a amplitude (alguns autores utilizam o valor máximo; outros o valor eficaz) e a fase (ângulo de fase) de uma tensão ou corrente senoidal. Neste texto será adotado o valor eficaz como amplitude do fasor.

DOMÍNIO DO TEMPO:

x(t) = X

_max

sen ωt+







FORMA POLAR:

X



X

_eficaz



E

xemplo 1.4

Seja um sinal de

v t

( ) 180.



sen



377 t



45

0



[V]. Qual é a sua forma polar? Solução:

Na forma polar ele pode ser representado como:





0 180 2 45 V.

V

Relembrando, o valor eficaz de um sinal senoidal é

V

_ef



V

_max

2 

E

xemplo 1.5

Um fasor é representado como 0

5 15 A

I  . Pede-se encontrar a expressão de i(t) e a queda de tensão em um resistor R de 10 ohms por onde circula esta corrente, escrita no domínio do tempo e na forma polar.

Solução:

a) i(t) será representado no domínio do tempo como:

i t

( ) 5 2.



sen





t



15 .

0



b) Da Lei de Ohm, vR(t) = Ri(t).



0





0



0 ( ) ( ) 10 5 2. 15 50 2. 15 50 -15 . R R v t R i t sen t sen t Na forma polar V V           

(31)

EF

_{- Exercícios de Fixação}

Série 3

EF9 - Escreva a função e desenhe a forma de onda de um sinal senoidal 1 com freqüência 50 Hz e valor de pico de 5 V. Adote este sinal como referência (angulo 0°).

EF10 - Suponha um sinal senoidal 2 atrasado de 90° em relação ao sinal 1, com valor de pico de 2 V e mesma frequencia. Escreva a função e a forma de onda do sinal 2.

EF11 - Desenhar o diagrama fasorial dos sinais 1 e 2. Qual o período destes sinais?

EF12 - Desenhe um sinal senoidal com período 1 ms e valor eficaz (rms) de 8 V, adiantado de 45° em relação à referência. Escreva a função e o diagrama fasorial do sinal.

EF13 - Uma certa tensão elétrica é descrita pela equação v = 120 sen 377t. a) Qual é a tensão instantânea quando t = 10 ms ?

b) A onda co-seno (com o mesmo aspecto da onda senoidal) é deslocada da onda senoidal de 90 graus (1/4 de período à frente). Escreva a equação da onda de tensão dada neste exercício na forma co-senoidal e desenhe a mesma no oscilograma da Figura 1.36.

EF14 - Se uma tensão CA tiver um valor máximo de 155,6 V, qual será o ângulo de fase para o qual a tensão instantânea é de 110 V?

Figura 1.36 – EF 14.

EF15 – Encontre o defasamento entre as formas de onda de tensão e corrente nas duas situações da Figura 1.37 (formas de onda em (a) e em (b)).

(a) (b)

(32)

1.4.3 – Operações matemáticas com fasores

Na análise de circuitos elétricos, a representação trigonométrica (expressões trigonométricas, no domínio do tempo) permite realizar algumas operações matemáticas entre as grandezas tensão, corrente e potência elétricas, mas de modo trabalhoso.

A representação fasorial surge então como uma importante ferramenta, facilitando as operações matemáticas. Isto porque os sinais senoidais podem ser representados através de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por números complexos. As operações trigonométricas ficam reduzidas a operações algébricas.

Os números complexos são operados por uma álgebra própria, bem mais simples que os cálculos envolvendo trigonometria. A Figura 1.38 explica isto de forma bastante visual.

Assim, uma forma de onda senoidal dada por v(t) = 5 sen (30t + 450) poderá ser representada na forma retangular ou polar na seguinte forma:

v(t) = 5 sen (30t + 450)  5 0 45 V 2

ef v V V 





Figura 1.38 – Representação em diagrama de blocos da operação com fasores (MUSSOI, 2006).

1.4.3.1 – Fasores representados por números complexos

Um fasor é um vetor radial girante, como já foi visto, e permite realizar com facilidade operações algébricas entre os sinais de um sistema elétrico.

Basta, para isto, utilizar uma ferramenta matemática para a sua representação, a qual faz uso dos números complexos.

Um número complexo pode ser representado na forma retangular (ou forma cartesiana), como mostra a Figura 1.39. É um número composto por uma parte real e uma parte imaginária:

Z  a jb (1.12)

onde j é um operador matemático que desloca um fasor real de  90 graus para o eixo imaginário (logo, o fasor b, deslocado de + 90 graus é representado por + jb e, deslocado de – 90 graus, é representado por - jb). Assim, j é considerado um operador rotacional.

(33)

Figura 1.39 – Álgebra fasorial e números complexos.

O operador j, apresentado na Equação (1.12), é denominado operador complexo e definido:

1 j

 

(1.13)

Na matemática é utilizado o operador i é usado invés do j, mas em Eletricidade o fator i poderia ser confundido com o valor instantâneo da corrente, daí o uso preferencial do j.

Na Figura 1.38 o coeficiente a representa a projeção de Z no eixo real e b representa a projeção de Z sobre o eixo imaginário.

O ângulo do fasor pode ser encontrado facilmente da Equação (1.14):

 

1

tan

b a



_

 (1.14) Onde tan  = b/a a = cateto adjacente e

b = cateto oposto (ao ângulo teta, ), como ilustra a Figura 1.40.

Figura 1.40 – O fasor Z e seus componentes a e b.

Resumindo, as relações apresentadas anteriormente possibilitam transformações entre as notações RETANGULAR  POLAR e POLAR  RETANGULAR.

 

2 2 1

Forma polar

_Z

Z = a + jb

a

b

Z



_tg



_{b a}

 







_





_

_

(34)

E

xemplo 1.6

Um fasor representado forma POLAR como

I

 

1 30 A

0 será representado na forma RETANGULAR ou COMPLEXA como I = (1.cos 300) + j (1.sen 300)  I = 0,87 + 0,5 j.

1.4.3.2 – Adição e Subtração entre Fasores

Para estas operações, utiliza-se a forma retangular para obter o fasor resultante. Sejam os fasores

1 1 1

Z

 

a

jb

e

Z

₂

 

a

₂

jb

₂, sobre os quais se deseja obter:

SOMA:

Z



Z

1



Z

2  12( ) 1 1 2 2 12( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) soma soma Z a jb a jb Z a a j b b         SUBTRAÇÃO:

Z

 

Z

1

Z

2  12( .) 1 1 2 2 12( .) 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Subtr Subtr Z a jb a jb Z a a j b b         Em resumo:

1) na operação de soma e subtração entre dois fasores, trabalha-se na forma complexa e somam-se ou subtraem-se separadamente os coeficientes reais e os imaginários;

2) soma e subtração algébrica de números complexos são feitas na forma retangular.

E

xemplo 1.7 - Determinar a resultante de

Z



Z

₁



Z

₂, onde:

Z

₁

 

5 j

2 e

Z

₂

 

5 j

7.

Solução:

(5 5)

(2 7)

10

5 Z

j

Z

j

  







_{ }



E

xemplo 1.8

Qual é a resultante C12 dos fasores indicados na Figura 1.41?

Solução:

C

₁₂

  

(2 3)

j

(4 1)





C

₁₂

 

5 j

5

O fasor resultante está desenhado na Figura 1.42. Conferir as suas coordenadas.

(35)

1.4.3.3 – Multiplicação e divisão entre fasores

a) Multiplicação

A multiplicação de números complexos deve ser feita na forma polar, não sendo recomendável a multiplicação na forma retangular, embora possa ser realizada (os cálculos ficam difíceis). Multiplicam-se os módulos e somam-Multiplicam-se algebricamente os ângulos.

Sejam dois números complexos escritos na forma polar:

1 1 1

2 2 2

C



Z



e C



Z



A multiplicação destes entes será dada por:

C

₁



C

₂

 

Z

₁

Z

₂

 

₁



₂

b) Divisão

A divisão de números complexos também deve ser feita na forma polar. O processo é análogo ao da multiplicação, porém, deve-se, ao dividir C1 por C2, dividir os seus respectivos coeficientes e subtrair

os seus respectivos ângulos. De modo resumido:

dividem-se os módulos e subtraem-se algebricamente os ângulos. Matematicamente, pode-se escrever:

1 1

1 2

2 2

C

Z

C



Z

 



A Tabela 1.2 mostra um resumo de alguns parâmetros e operadores de tensão e corrente elétricas. Tabela 1.2 – Representações matemáticas de sinais senoidais.

(36)

1.5 - Comportamento de circuitos resistivos, indutivos e capacitivos em CA

Os componentes passivos - resistores (R), indutores (L), capacitores (C) – possuem comportamentos distintos quando conectados em uma fonte de CA. Todos estes tendem a fazer oposição à passagem da corrente, porém cada qual irá provocar ou não um defasamento entre os ângulos da tensão e o da corrente.

1.5.1 – Circuito resistivo - corrente e tensão em fase

Considerando a carga R puramente resistiva (Figura 1.43), a potência fornecida pelo gerador AC será totalmente absorvida por R. Isto ocorre porque a corrente (iR) e tensão (vR) presentes em R estão na

mesma fase.

A oposição à passagem da corrente é dada pelo valor ôhmico de R, ou seja:

max max R R R R

V

sen

t

v

i

sen

t

R

i

I

sen

t



_









Figura 1.43 – Circuito CA com carga puramente resistiva.

E

xemplo 1.9

(BOYLESTAD, 2002)

Dado um circuito puramente resistivo como o da Figura 1.43, onde, esboçar as suas formas de onda de v(t) e i(t) e o seu diagrama fasorial. São dados: R = 2 ohms e i(t) = 4 sen (t + 300) A.

Solução:

O fasor de corrente será dato por: 4 0 0 30 2,83 30 . 2

I A A

Logo, a tensão v(t) na forma polar será encontrada por:

0 0 0 0 0

0 2,83 30 = 2 0

2,83 30

5,66 30 .

V

  

R I

R





V

No domínio do tempo, encontra-se v(t) por:













0 max 0 ( ) . 5, 66 2 30 ( ) 8, 0. 30 v t V sen t t sen t v t sen t

  



      

A Figura 1.44a mostra as formas de onda de v(t) e i(t). Os respectivos fasores estão desenhados na Figura 1.44b, em fase (00 de deslocamento entre ambos).

(37)

(a) (b) Figura 1.44 – (a) Formas de onda do circuito do Exemplo 1.8. (b) Fasores de i(t) e v(t). Fonte: Robert L. Boylestad.

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1.5.2 – Circuito puramente indutivo – tensão adiantada de 90 graus da corrente

Seja uma bobina alimentada por um sinal CA senoidal (Figura 1.45).

Um indutor oferece uma oposição à variação de corrente i(t) devido à sua propriedade de auto-indução de tensão. Esta oposição estabelecida por um indutor em um circuito AC senoidal pode ser encontrada

aplicando a equação Figura 1.45 – Circuito puramente indutivo alimentado por uma fonte de tensão senoidal (MUSSOI, 2006). Efeito = Causa / Oposição  Oposição = Causa / Efeito

Do circuito da Figura 1.45:

Oposição

max

max max

max max max

.

2

L ef L ef

V

L I

L

I



_



Esta oposição à corrente iL é a reatância indutiva do indutor L – Equação (1.15).

X

L

=



L = 2π f L

(1.15)

onde: XL: reatância indutiva Ω; f: frequência em Hertz (Hz) e L: indutância em Henry (H).

A tensão induzida na bobina é fornecida pela Equação (1.16).

. ( )

L

v



L di t dt

(1.16)

(a) (b)

(38)

Pela Figura 1.46a é fácil verificar que quando a derivada diL(t)/dt é máxima (instante A, igual em

ângulo a 90 graus), a tensão induzida na bobina é máxima. Para o instante B, diL(t)/dt é nula e, pela

Equação (1.16), vL(t) = 0. Na Figura 1.46b vê-se o fasor VL adiantado de 90 0

do fasor IL.

Observando as formas de onda da Figura 1.47 - agora com a corrente iL(t) na referência, ou seja,

com ângulo de fase nulo - se conclui que:

nos terminais de um indutor num circuito CA, a tensão sempre estará adiantada de 900 em

relação à corrente.

Figura 1.47 – Sinais de i(t) e vL(t) para o circuito da Figura 1.45 (BOYLESTAD, 2002). Fonte: Robert L. Boylestad.

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1.5.3 - Circuito puramente capacitivo – corrente adiantada de 90 graus da tensão

A oposição à passagem da corrente iC(t) em um circuito capacitivo puro (Figura 1.48) é

determinada pela reatância capacitiva do capacitor C, expressa por:

 

1

2

C

X

C

fC









(1.17)

Onde:  = frequência angular, em rad/s; XC: reatância capacitiva em ohms (Ω); f:

frequência do gerador em Hertz (Hz) e C: capacitância em Farad (F).

As formas de onda deste circuito são visualizadas na Figura 1.49. A corrente em um capacitor é encontrada pela Equação (1.18).

( ) ( ) C C dv t i t C dt  

(1.18)

Fig. 1.48 – Circuito capacitivo puro, alimentado por uma fonte de tensão senoidal.

(a) (b)

(39)

Analisando a Figura 1.49a, vê-se que o máximo da corrente ocorre quando a derivada da tensão no capacitor é máxima (inclinação da reta tangente na curva vc(t), em 90 graus), o que é fácil comprovar

com a Equação (1.18).

Se conclui então que: nos terminais de um capacitor num circuito CA, a corrente sempre estará

adiantada de 900 em relação à tensão. Na Figura 1.49b vê-se o fasor IC adiantado de 90

0

do fasor VC.

1.5.4 – Impedância de circuito CA

A impedância Z, dada pela relação entre tensão e corrente num circuito misto, contendo elementos resistivos (R), capacitivos (C) e indutivos (L), representa a medida da oposição que este circuito oferece à passagem de uma corrente alternada (MUSSOI, 2006).

Os elementos XL e XC (reatâncias indutiva e capacitiva, respectivamente), são fasores que são

posicionados no eixo imaginário, enquanto que a resistência R fica posicionada no eixo real do plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand.

As Figuras 1.50 e 1.51 mostram a disposição destes fasores no plano complexo. O fasor XL está

posicionado para cima, com ângulo de + 900 enquanto XC está posicionado para baixo, com ângulo de -

900. Estes dois fasores são denominados de componentes reativas de um circuito, ou seja, armazenam energia. Já o resistor é um elemento passivo, pois somente dissipa a energia elétrica que recebe.

(a) (b) (c)

Figura 1.50 (MUSSOI, 2006) – Diagrama fasorial de impedância (Z). (a) Reatâncias indutiva e capacitiva (disposição no eixo imaginário do plano complexo). (b) Z resultante em um circuito RL (resistência + reatância indutiva). (c) Z resultante em um circuito RC (resistência + reatância capacitiva).

Do diagrama fasorial da Figura 1.51, a impedância COMPLEXA ou retangular é:

 

(

_L _C

)

Z

 

R

j X



X



(1.19)

Como encontrar o módulo da impedância Z?

O módulo de Z é encontrado aplicando-se o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelos fasores R (cateto adjacente ao ângulo  ou T ou ainda ) e pela resultante X = XL – XC, a

qual é o cateto oposto ao ângulo .

Figura 1.51 – Diagrama fasorial de impedância (Z).





2

L C

(40)

O ângulo da impedância é calculado por:



T tan1



XL XC



R



 _  _. Daí, na forma POLAR, a impedância Z é dada pela Equação (1.21). Os componentes de Z podem ser encontrados em função do ângulo T – Equações (1.22) e (1.23).

T

Z



Z





(1.21)

cos

T

R

 

Z



(1.22) T

X

 

Z sen



(1.23)

Se são conhecidas as equações de v(t) e i(t) em um circuito – indicadas a seguir -, determina-se a sua impedância Z (assunto do próximo item).

Equações de tensão e corrente no domínio do tempo, onde Vp = Vmax:

A Tabela 1.3 mostra de modo muito didático, as relações físicas e matemáticas entre tensão e corrente elétrica nos elementos passivos de um circuito RLC.

Tabela 1.3 (MUSSOI, 2006).

E

xemplo 1.10

Dado o diagrama fasorial da Figura 1.52, onde o ângulo da impedância é de 60 graus, pede-se calcular: