Guia Do Professor Matematica 12º Ano

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(1)MATEMÁTICA 12. GUIA DO PROFESSOR MATEMÁTICA A | 12.º ANO Luzia Gomes Daniela Raposo s2ESOLU¥ÜESDETODOSOSEXERCÓCIOSDOMANUAL.

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(3) MATEMÁTICA 12. GUIA DO PROFESSOR MATEMÁTICA A | 12.º ANO Luzia Gomes Daniela Raposoo.

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(5) ÍNDICE Introdução ............................................................................................................... 5. Apresentação do projeto Matemática 12 .................................................. 7. Proposta de planificação .................................................................................. 8. Propostas de resolução dos exercícios do manual ................................ 13. Tema I – Probabilidades e combinatória ....................................................... Unidade 1 – Conceitos probabilísticos ......................................................... Unidade 2 – Operações com acontecimentos............................................. Unidade 4 – Definição clássica de probabilidade ....................................... Unidade 5 – Definição axiomática de probabilidade .................................. Unidade 6 – Probabilidade condicionada e independência........................ Unidade 7 – Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades .................................................................... Unidade 8 – Modelo normal. Histograma versus função densidade......... Aprende fazendo ...................................................................................... Unidade 9 – Análise combinatória .............................................................. Unidade 10 – Triângulo de Pascal e binómio de Newton ........................... Unidade 11 – Modelo binomial ..................................................................... Aprende fazendo ....................................................................................... 14 14 15 16 18 20. Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II................................................ Unidade 1 – Função exponencial da base superior a 1................................ Unidade 2 – Função logarítmica de base superior a 1 ................................ Aprende fazendo ...................................................................................... Unidade 3 – Teoria dos limites .................................................................... Unidade 4 – Continuidade ........................................................................... Unidade 5 – Assíntotas do gráfico de uma função .................................... Aprende fazendo ...................................................................................... Unidade 6 – Derivadas ................................................................................. Unidade 7 – Aplicações das derivadas ........................................................ Aprende fazendo ....................................................................................... 56 56 60 73 86 91 95 101 117 126 142. Tema III – Trigonometria e números complexos........................................... Unidade 1 – Revisões sobre trigonometria ................................................. Unidade 2 – Funções trigonométricas ........................................................ Unidade 3 – Fórmulas trigonométricas: seno, cosseno e tangente da soma de dois ângulos ............................................................. senx Unidade 4 – Estudo intuitivo de lim ................................................ x→ 0 x Unidade 5 – Derivadas das funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente ............................................................................... Unidade 6 – Estudo de funções trigonométricas....................................... Aprende fazendo ...................................................................................... Unidade 7 – Números complexos................................................................ Unidade 8 – Números complexos na forma algébrica ............................... Unidade 9 – Representação trigonométrica de um número complexo .... Unidade 10 – Domínios planos e condições em variável complexa ........... Aprende fazendo ....................................................................................... 161 161 165. 23 26 27 43 45 47 47. 168 169 170 173 175 185 186 190 198 202.

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(7) Introdução | Matemática 12. Introdução O projeto Matemática 12 resulta da nossa experiência de sala de aula, do contacto com os alunos, colegas e pais. Desta nossa experiência como professoras nasceu a convicção de que o aluno tem de ser agente ativo no seu processo de aprendizagem. Pensamos que a Matemática se “aprende fazendo”; pensamos que tem de haver uma componente prática muito forte que complemente a parte teórica; tem de haver uma orientação muito clara, e costumamos dizer “o exercício certo na altura certa”. Além disso, e tendo em conta as características do ensino atual, temos de ser capazes de chegar ao aluno com mais dificuldades, fazer com que o aluno médio vá mais longe e estimular o aluno bom. Em resumo, procurámos seguir o lema: “Matemática para todos”.. As Autoras. 5.

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(9) Apresentação do projeto | Matemática 12. Apresentação do projeto Matemática 12 O projeto Matemática 12 contempla os seguintes componentes: Para o Aluno – Manual (3 volumes) – Caderno de Testes – Manual Multimédia – www.matematica12.asa.pt Para o Professor – Manual (Edição do Professor) – 3 volumes – Guia do Professor – – www.matematica12.asa.pt Manual (Edição do Aluno e Edição do Professor) O Manual – Edição do Aluno – encontra-se estruturado da seguinte forma: – A rubrica “Precisas mesmo de saber…” permite, sempre que necessário, recuperar pré-requisitos essenciais à compreensão dos conteúdos da unidade que se irá iniciar. – Com as tarefas de introdução pretende-se, sempre que possível, mostrar aplicações significativas para a matéria em estudo. Cada unidade começa, sempre que oportuno, com um problema cuja solução aborda conceitos a desenvolver. – Ao longo do Manual, na margem, apresentam-se exercícios propostos que acompanham os conteúdos abordados, tendo em vista a sua consolidação. – A rubrica “Esquematizando/ Resumindo”, com pequenas sínteses intercalares, é uma presença constante ao longo de todo o Manual. – A rubrica “Erro Típico”, que constitui um alerta para erros frequentemente cometidos pelos alunos, apresenta exemplos de respostas corretas e incorretas. – Vasto conjunto de exercícios/problemas na rubrica “Aprende fazendo”; estes exercícios encontram-se organizados por cores, que caracterizam o grau de dificuldade/exigência dos mesmos. Foi ainda uma constante preocupação a inclusão de itens de seleção (escolha múltipla) e itens de construção que incluem resolução de problemas, desenvolvimento de raciocínios demonstrativos, uso obrigatório de calculadora gráfica e composição, sendo estes itens de presença comum em todos os Exames Nacionais dos últimos anos. Assim, ao longo do Manual surgem exercícios resolvidos que envolvem o uso da calculadora gráfica (TI-84, TI-nspire e Casio fx-9860GII SD). – Sempre que oportuno, incluíram-se, na margem, as rubricas “Notas”, “Observações”, “Recorda” e “Atenção”. – A rubrica “Contextualização histórica” e/ou “Curiosidades”, com informação sobre história de conceitos matemáticos e/ou referências a matemáticos. Na edição do manual do professor encontrará informação exclusiva: soluções de todos os exercícios junto dos respetivos enunciados e remissões para todos os recursos multimédia existentes em . Relativamente à ordem pela qual elaborámos as unidades temáticas, seguimos as orientações do programa, com exceção das unidades Continuidade e Assíntotas, que apresentamos por esta ordem.. 7.

(10) 8. Matemática 12 | Guia do Professor. Caderno de Testes Contempla 7 testes cumulativos (cada um com uma duração previsível de 90 minutos) e 2 testes globais. Cada teste é ainda acompanhado de proposta de resolução, de critérios específicos de classificação, estimulando a autoavaliação do aluno, e ainda de alguns exemplos de respostas corretas, incorretas e das respetivas cotações.. Guia do Professor Contém a resolução completa e detalhada de todos os exercícios do Manual.. A plataforma possibilita a fácil exploração do projeto Matemática 12, através da utilização das novas tecnologias em sala de aula. Trata-se de uma ferramenta inovadora que permite: •. a projeção e exploração das páginas do manual em sala de aula;. •. o acesso a um vasto conjunto de conteúdos multimédia integrados com o manual: ® 15 animações – abordam de forma interativa os diversos conteúdos, possibilitando uma avaliação do aluno através de atividades de consolidação. ® 35 aplicações realizadas em GeoGebra – exploram de forma dinâmica diferentes conteúdos dos três temas abordados, facilitando a aprendizagem. ® 46 testes interativos – banco de testes interativos, personalizáveis e organizados pelas diversas unidades do manual. ® links Internet – endereços para páginas na Internet de apoio às matérias, de forma a complementar os conteúdos destacados no Matemática 12.. •. a avaliação dos alunos: ® utilização de testes predefinidos ou criação de novos a partir de uma base de cerca de 300 questões; ® impressão de testes para distribuição; ® envio, online, de testes para os alunos, com a correção automática; ® relatórios de avaliação detalhados que permitem um acompanhamento do progresso dos alunos.. •. a troca de mensagens e a partilha de recursos com os alunos.. Proposta de planificação Segue-se uma sugestão de gestão temporal do programa. As indicações metodológicas referem-se apenas aos exercícios propostos na margem lateral do Manual. O professor poderá fazer uma gestão dos exercícios da rubrica “ Aprende fazendo” de acordo com as suas necessidades, atendendo ao tipo de alunos que tem e ao tempo disponível..

(11) Apresentação do projeto | Matemática 12. Tema I – Probabilidades e combinatória. Unidade. Aulas de 90 min. Sugestões metodológicas. 1. Conceitos probabilísticos. 1. – Explorar as páginas 12 a 15 do Manual. – Explorar a tarefa da página 10. – Resolver os exercícios propostos 1 a 9.. 2. Operações com acontecimentos. 2. – Explorar as páginas 16 a 19 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 10 a 16.. 3. Definição frequencista de probabilidade. 1. – Explorar as páginas 20 e 21 do Manual. – O professor pode explorar jogos ou utilizar a calculadora para encontrar valores experimentais para a probabilidade de acontecimentos que estão a ser estudados.. 4. Definição clássica de probabilidade. 4. – Explorar as páginas 22 a 31 do Manual. – Explorar a tarefa da página 22. – Resolver os exercícios propostos 17 a 36.. 5. Definição axiomática de probabilidade. 3. – Explorar as páginas 32 a 37 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 37 a 46.. 6. Probabilidade condicionada e independência. 3. – Explorar as páginas 38 a 55 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 47 a 63.. 7. Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades. 2. – Explorar as páginas 56 a 75 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 64 a 75.. 8. Modelo normal. Histograma versus função densidade. 2. – Explorar as páginas 76 a 83 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 76 a 80.. 9. Análise combinatória. 7. – Explorar as páginas 104 a 125 do Manual. – Explorar a tarefa da página 104. – Resolver os exercícios propostos 81 a 113. – Sugerir a resolução do Teste nº 1 do Caderno de Testes.. 10. Triângulo de Pascal e binómio de Newton. 3. – Explorar as páginas 126 a 133 do Manual. – Explorar a tarefa da página 126. – Resolver os exercícios propostos 114 a 120. – Explorar a tarefa da página 132. – Resolver os exercícios propostos 121 a 125.. 11. Distribuição binomial. 2. – Explorar as páginas 134 a 137 do Manual. – Explorar a tarefa da página 134. – Resolver os exercícios propostos 126 e 127. – Sugerir a resolução do Teste nº 2 do Caderno de Testes.. 9.

(12) 10. Matemática 12 | Guia do Professor. Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II Unidade 1. Função exponencial de base superior a 1. Aulas de 90 min 3. Sugestões metodológicas – Explorar as páginas 8 a 23 do Manual. – Explorar as tarefas da página 6. – Resolver os exercícios propostos 1 a 11.. 2. Função logarítmica de base superior a 1. 4. – Explorar as páginas 24 a 53 do Manual. – Explorar a tarefa da página 24. – Resolver os exercícios propostos 12 a 40.. 3. Limites. 4. – Explorar as páginas 66 a 89 do Manual. – Explorar as tarefas da página 66. – Resolver os exercícios propostos 41 a 61. – Sugerir a resolução do Teste nº 3 do Caderno de Testes.. 4. Continuidade. 3. – Explorar as páginas 90 a 105 do Manual. – Explorar a tarefa da página 90. – Resolver os exercícios popostos 62 a 76.. 5. Assíntotas do gráfico de uma função. 4. – Explorar as páginas 106 a 117 do Manual. – Explorar a tarefa da página 106. – Resolver os exercícios propostos 77 a 85. – Sugerir a resolução do Teste nº 4 do Caderno de Testes.. 6. Derivadas. 6. – Explorar as páginas 134 a 161 do Manual. – Explorar a tarefa da página 134. – Resolver os exercícios propostos 86 a 96. – Explorar a tarefa da página 150. – Resolver os exercícios propostos 97 a 111.. 7. Aplicações das derivadas. 6. – Explorar as páginas 162 a 191 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 112 a 132. – Sugerir a resolução do Teste nº 5 do Caderno de Testes.

(13) Apresentação do projeto | Matemática 12. Tema III – Trigonometria e números complexos Aulas de 90 min. Unidade. Sugestões metodológicas. 1. Funções trigonométricas. 6. – Explorar as páginas 6 a 31 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 1 a 25.. 3. Fórmulas trigonométricas: seno, cosseno e tangente da soma de dois ângulos. 1. – Explorar as páginas 32 a 35 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 26 a 29.. 1. – Explorar as páginas 36 a 39 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 30 a 33.. 5. Derivadas das funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente. 3. – Explorar as páginas 40 a 57 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 34 a 40. – Sugerir a resolução do Teste nº 6 do Caderno de Testes.. 7. Números complexos. 1. – Explorar as páginas 66 a 68 do Manual. – Resolver o exercício proposto 43.. 8. Números complexos na forma algébrica. 4. 4. Estudo intuitivo de lim. x → 0. senx x. – Explorar as páginas 69 a 87 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 44 a 62.. 9. Representação de um número complexo. 5. – Explorar as páginas 88 a 113 do Manual. – Resolver os exercícios propostos 63 a 85. – Sugerir a Resolução doTeste nº 7 do Caderno de Testes.. 10. Domínios planos e condições em variável complexa. 3. – Explorar as páginas 114 a 122 do manual. – Resolver os exercícios propostos 86 a 95. – Sugerir a resolução dos Testes Globais 1 e 2.. 11.

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(15) PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DO MANUAL.

(16) 14. Matemática 12 | Guia do Professor. Tema I – Probabilidades e combinatória Página 10 1.. 15 berlindes azuis ⎫ ⎪ Constituição inicial 15 berlindes brancos ⎬ da caixa ⎪ 30 berrlindes no total ⎭. b) F: “ser a favor” C: “ser contra” Ω = {(F, F, F), (F, F, C), (F, C, F), (F, C, C), (C, F, F), (C, F, C), (C, C, F), (C, C, C)} 1.a pessoa. 2. Nada se pode concluir. 3. É igualmente provável que seja quer o Porto quer o Benfica, dado que a moeda é equilibrada.. Unidade 1 – Conceitos probabilísticos Página 12. C F C C. 1.o 2.o 3.o 4.o 5.o 6.o 7.o 8.o 9.o jogo jogo jogo jogo jogo jogo jogo jogo jogo A B A A. N. A B. A. B A A. B B. A B. B A. B. B. A. A B. B. Moeda. A. A B. 6. a) N: “sair face nacional” E: “sair face europeia”. Resultados possíveis (F, F, F) (F, F, C) (F, C, F) (F, C, C) (C, F, F) (C, F, C) (C, C, F) (C, C, C). 7. A: “ganha o jogador A” B: “ganha o jogador B” Ω = {AA, ABB, ABAA, ABABB, ABABAA, ABABABB, ABABABAA, ABABABABA, ABABABABB, BB, BAA, BABB, BABAA, BABABB, BABABAA, BABABABB, BABABABAB, BABABABAA} #Ω = 18. A. 5. a) Ω = {0, 1, 2, 3} b) Ω = {verde, azul, rosa, amarelo, branco, laranja, vermelho}. F C F C F C F C. F. A. 4. Ω = {1, 2, 3, 4}. 3.a pessoa. F. 5 berlindes azuis ⎫ Constituição da caixa ⎪ 10 berlindes brancos ⎬ após a primeira ⎪ 15 berllindes no total ⎭ extração Assim, na vez seguinte é mais provável que saia um berlinde branco.. 2.a pessoa. A B. B. B A B. B. 8. N: "sair face nacional" E: "sair face europeia" Resultados Dado possíveis 1 (N, 1) 2 (N, 2) 3 (N, 3) 4 (N, 4) 5 (N, 5) 6 (N, 6). 1 (E, 1) 2 (E, 2) 3 (E, 3) E 4 (E, 4) 5 (E, 5) 6 (E, 6) Ω = {(N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6), (E, 1), (E, 2), (E, 3), (E, 4), (E, 5), (E, 6)}. 1.o lançamento N E. 2.o lançamento N E N E. Resultados possíveis (N, N) (N, E) (E, N) (E, E). a) Ω = {(N, N), (N, E), (E, N), (E, E)} b) b1) Por exemplo, A: "sair face nacional nos dois lançamentos". A = {(N, N)} b2) Seja B: "sair faces diferentes nos dois lançamentos". B = ((N, E), (E, N)} b3) Por exemplo, C: "sair um ás". C=Ø.

(17) Tema I | Matemática 12. b4) Seja D: "sair pelo menos uma face europeia ou uma face nacional". D=Ω c) c1) {(E, N), (N, E)} c2) {(E, N), (N, E), (E, E)} c3) {(N, N)} c4) {(N, N), (E, E)} d) P(Ω) = { Ø, {(N, N)}, {(N, E)}, {(E, N)}, {(E, E)}, {(N, N), (N, E)}, {(N, N), (E, N)}, {(N,N), (E, E)}, {(N, E), (E, N)}, {(N, E), (E, E)}, {(E, N), (E, E)}, {(N, N), (N, E), (E, N)}, {(N, N), (N, E), (E, E)}, {(N, N), (E, N), (E, E)}, {(E, N), (N, E), (E, E)}, Ω} o 9. 1. filho. 2.o filho F. F M F M M. 3.o filho F M F M F M F M. Resultados possíveis (F, F, F) (F, F, M) (F, M, F) (F, M, M) (M, F, F) (M, F, M) (M, M, F) (M, M, M). a) Ω = {(F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M), (M, F, F), (M, F, M), (M, M, F), (M, M, M)} b) b1) Por exemplo, A: "os três filhos serem rapazes". A = {(M, M, M)} b2) Por exemplo, B: "ter pelo menos dois rapazes". B = {(M, M, F), (M, F, M), (F, M, M), (M, M, M)} b3) C: "ter pelo menos um rapaz ou uma rapariga" C=Ω c) c1) {(F, M, M), (M, F, M), (M, M, F)} c2) {(F, M, M), (M, F, M), (M, M, F), (F, F, M), (F, M, F), (M, F, F), (F, F, F)} c3) {(M, M, M), (F, M, M), (M, F, M), (M, M, F), (F, F, M), (F, M, F), (M, F, F)} c4) {(F, F, M), (F, M, F), (M, F, F), (F, F, F)} c5) {(M, M, M)}. Unidade 2 – Operações com acontecimentos Página 16 10. a) N: "sair face nacional" E: "sair face europeia" Ω = {N, E} P(Ω) = {Ø, {N}, {E}, {N, E}}. b) Ω = {S, N, T} P(Ω) = {Ø, {S}, {N}, {T}, {S, N}, {S, T}, {N, T}, {S, N, T}} 11. a) a1) a2) a3) a4) b) b1) b2) c). Por exemplo, A: "sair o ás de copas". Por exemplo, B: "sair um ás". Por exemplo, C: "sair um treze". Por exemplo, D: "sair uma carta preta ou vermelha". R ∪ E: "sair um rei ou uma carta de espadas" R ∩ E: "sair o rei de espadas" O acontecimento "sair um rei" é incompatível com o acontecimento "sair uma dama".. 12. a) A ∪ B = {0, 1, 3, 5, 7, 8} b) A ∩ B = {1, 7} c) √A = {2, 3, 4, 5, 6} d) A\B = {0, 8} e) B\A = {3, 5} 13. Opção (C) 14. I. A afirmação é verdadeira. Se dois acontecimentos A e B de uma mesma experiência aleatória são contrários, então A ∩ B = Ø e A ∪ B = Ω. Assim, como A ∩ B = Ø, então A e B são incompatíveis. II. A afirmação é falsa. Vejamos o seguinte contraexemplo: Ω = {1, 2, 3, 4}, A = {1} e B = {3, 4}, A ∩ B = Ø, ou seja, A e B são incompatíveis, porém, A ∪ B ≠ Ω, logo A e B não são contrários. 15. a) A ∪ B: "sair soma par ou soma superior ou igual a 7" b) A ∩ B: "sair soma 8 ou 10 ou 12" c) A ∩ √B: "sair soma 2 ou 4 ou 6" d) √A ∩ B: "sair soma 7 ou 9 ou 11" e) √A ∩ √B: "sair soma 3 ou 5" f) A √ ∪ B: "sair soma ímpar ou soma superior ou igual a 7" 16. a) A ∩ (B ∪ √A) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ √A) = (A ∩ B) ∪ Ø =A∩B b) B ∪ ( A ∩ B ) = B ∩ ( A ∩ B ) = B ∩ ( A ∪ B ) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ B ) = (B ∩ A) ∪ ∅ = B ∩ A = A ∩ B. 15.

(18) 16. Matemática 12 | Guia do Professor. c) (B F C ) F ( A E B ) = B F C E ( A E B ) = (B E C ) E ( A F B ) = [(B E C ) E A]  F [(B E C ) E  B ] = [ A E (B E C )]  F [B E (B E C )] = (( A E B ) E C )  F [(B E B ) E C ] = (( A E B ) E C))  F ( E C ) = (( A E B ) E C )  F   = ( A E B ) E C d) A F ( A E B ) = A E ( A E B ) = A E ( A F B ) = ( A E A) F (A E B ) = F ( A E B ) = A E B = A \ B e) ( A E B ) F ( A F B ) = ( A E B ) E ( A F B ) = ( A F  B ) F ( A E B ) = [ A E ( A E B )] F [B E ( A E B )] = [( A E A) E B ] F [(A E B ) E B ] = ( E B ) F [ A E (B E B )] = F ( A E ) = F = . Unidade 4 – Definição clássica de probabilidade Página 22 17. Vejamos as possibilidades que existem para a soma ser 12: 6 + 5 + 1 = 12 → 6 maneiras possíveis 6 + 4 + 2 = 12 → 6 maneiras possíveis 6 + 3 + 3 = 12 → 3 maneiras possíveis 5 + 5 + 2 = 12 → 3 maneiras possíveis 5 + 4 + 3 = 12 → 6 maneiras possíveis 4 + 4 + 4 = 12 → 1 maneira possível Existem, assim, 25 maneiras diferentes de obter soma 12. 18. a) P("a face voltada para cima ser vermelha") 8 2 = = 20 5 b) P("a face voltada para cima não ser vermelha") = P("a face voltada para cima é azul ou verde") 12 3 = = 20 5 19. 4 a) P("ser um número primo") = 9 1 b) P("ser um número múltiplo de 3 e par”) = 9. 20.. 1.a vez. 2.a vez Resultados possíveis 1 2 3 1 2 3 1 2 3. 1. 2. 3. (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3). 3 1 a) P("as pontuações obtidas são iguais") = = 9 3 4 b) P("nenhuma pontuação é 2") = 9 5 c) P("pelo menos uma pontuação é 3") = 9 d) P("nenhuma pontuação é 2 e ambas as pontuações 2 são iguais") = 9 e) P("nenhuma pontuação é 2 ou ambas as pontuações 5 são iguais") = 9 21. # Ω = 100 # C = 46 C: "ver o Preço certo em euros" M: "ver o Quem quer ser milionário" # M = 52 # (C ∩ M) = 20 Ω # (C ∩ √M) = 46 – 20 = 26 # (M ∩ √C) = 52 – 20 = 32 M C # (C √ ∩M √ ) = 100 – 26 – 20 – 32 = 22 26 20 32 # (√C ∩ √M) 11 √ ∩M √ )= = 22 P(C #Ω 50 Opção (A) § P(C √ ∩M √ ) = 22% 22.. # Ω = 116 # C = 56 C: "especializar-se em Cardiologia" P: "especializar-se em Pediatria" # P = 50 R: "especializar-se em Reumatologia" # R = 46 # (C ∩ P ∩ R) = 10 # (C ∩ P) = 18 # (C ∩ R) = 16 # (P ∩ R) = 22 # (√P ∩ √R ∩ √C) = 116 – (32 + 20 + 18 + 8 + 10 + 12 + + 6) = 10 Ω C. 32. 8 6. 10 18. 20. P. 12 R. 10. 56 – 8 – 10 – 6 = 32 50 – 8 – 10 – 12 = 20 46 – 6 – 10 – 12 = 18.

(19) Tema I | Matemática 12. a) A probabilidade pedida é. 10 5 = 116 58. b) A probabilidade pedida é. 32 + 20 + 18 70 35 = = 116 116 58. c) A probabilidade pedida é 18 9 = = 29 29. 6 + 8 + 10 + 12 36 = 116 116. P("a soma dos números obtidos ser um número pri15 5 mo") = = 36 12 g) P("a soma dos números obtidos ser 13") = 0 h) P("o número máximo obtido ser maior ou igual a 3") 32 8 = = 36 9 24. 2.a extração. 23. 2. 3. 4. 5. 6. 1. (1, 1). (1, 2). (1, 3). (1, 4). (1, 5). (1, 6). 2. (2, 1). (2, 2). (2, 3). (2, 4). (2, 5). (2, 6). 3. (3, 1). (3, 2). (3, 3). (3, 4). (3, 5). (3, 6). 4. (4, 1). (4, 2). (4, 3). (4, 4). (4, 5). (4, 6). 5. (5, 1). (5, 2). (5, 3). (5, 4). (5, 5). (5, 6). 6. (6, 1). (6, 2). (6, 3). (6, 4). (6, 5). (6, 6). a) P("exatamente uma das pontuações obtidas ser 6") 10 5 = = 36 18 b) P("pelo menos uma das pontuações obtidas ser 6") 11 = 36 25 c) P("nenhuma das pontuações obtidas ser 6") = 36 d) ×. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 3. 3. 6. 9. 12. 15. 18. 4. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 5. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 6. 6. 12. 18. 24. 30. 36. 2 1 P("o produto dos números obtidos ser 8") = = 36 18 e) P("o produto dos números saídos ser um número 9 1 ímpar") = = 36 4 f) +. 1. 2. 3. 4. 5. 1.a extração. V1 1. V2. V3. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. A2. V1. (V1, V1) (V1, V2) (V1, V3) (V1, A1) (V1, A2). V2. (V2, V1) (V2, V2) (V2, V3) (V2, A1) (V2, A2). V3. (V3, V1) (V3, V2) (V3, V3) (V3, A1) (V3, A2). A1. (A1, V1) (A1, V2) (A1, V3) (A1, A1) (A1, A2). A2. (A2, V1) (A2, V2) (A2, V3) (A2, A1) (A2, A2). 9 25 b) P("extrair um botão verde e um botão azul, por esta 6 ordem") = 25 12 c) P("extrair dois botões de cor diferente") = 25 a) P("extrair dois botões verdes") =. 25. C: “comer canja” L: “comer sopa de legumes” P: “comer pescada” F: “comer frango” T: “comer tofu” A: “comer ananás” M: “comer mousse”. Sopa. Prato. Ementas Sobremesa possíveis. P C. F T P. 6. 1. A1. L. F T. a) 12 menús possíveis 4 1 b) P("comer frango") = = 12 3. A. (C, P, A). M. (C, P, M). A. (C, F, A). M. (C, F, M). A. (C, T, A). M. (C, T, M). A. (L, P, A). M. (L, P, M). A. (L, F, A). M. (L, F, M). A. (L, T, A). M. (L, T, M). 17.

(20) 18. Matemática 12 | Guia do Professor. _ _A_ V _ _A_ ou _A_ V _ _A_ V _ _A_ V _ 32. V _ _A_ V 5 × 10 × 5 × 10 × 5 × 10 + 10 × 5 × 10 × 5 × 10 × 5 = 125 000 + 125 000 = 250 000 códigos. 26. DC: “dama de copas” DO: “dama de ouros” RE: “rei de espadas” 1.a extração. 2.a extração. 33. _ 8 _ 8 _ 8 _ 0 ou 1 ou 2. DC DC. DO RE. DC. (1 × 1 × 1 × 3) × 4 = 12 códigos diferentes _ 34. __ 4 __ __ __ ou __ 4 __ __ __ 3 × 9 × 8 × 7 + 1 × 5 × 8 × 7 = 1512 + 280 = 1792 números. DO. 35.. DC DO. DO RE. RE. RE P("a Mariana extrair duas vezes o rei") =. 1 9. 27. Presid. Secret. 12 × 11 = 132 maneiras diferentes 28. Q1. Q2. 8 + 8 + 8 + x < 27 § x < 27 – 24 §x<3. Q3 Q4 Q5 Q6 Q7. Q8 Q9 Q10. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5. _ a) __ 2 __ __ __ ou __ 2 __ __ __ 1 × 6 × 8 × 7 + 7 × 9 × 8 × 7 = 3864 números _ _ b) __ 2 __ 4 __ __ ou __ 2 __ 4 __ __ ou __ 2 __ __ __ 1×1×7×7 + 1×3×7×7 + 4×7×7×7 = 1568 números Como se contabilizou o caso 2 _4 _0 _0 _ , temos que o retirar: 1568 – 1 = 1567 _ c) __ 2 __ __ __ ou __ 2 __ __ __ 1 × 4 × 5 × 4 + 4 × 6 × 5 × 4 = 560 números 36. rei rei copas copas espadas ou copas espadas espadas 12 × 1 × 13 + 13 × 1 × 12. = 510 = 9 765 625 chaves possíveis 29. 5×4×3×2×1 Raparigas 5 rapazes 5 casais 5 raparigas Rapazes 1×1×1×1×1 2 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (1 × 1 × 1 × 1 × 1) = 240 maneiras diferentes 30. a) L__ L2 __ L3 1 __ 3 × 2 × 1 = 6 modos distintos b) P P2 P __1 __ __3 5 × 4 × 3 = 60 modos diferentes → Lugares da frente 31. √2 × √1 × → Lugares de trás √3 × √2 × √1 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 12 maneiras diferentes. rei ouros ou copas ou paus espadas × 13 × 2 × 13 = 650. Unidade 5 – Definição axiomática de probabilidade Página 32 37. √52 × √51 = 2652 casos possíveis √R √R ou R √R ou √R √R √48 × √4 + √4 × √48 + √48 × √47 = = 2640 casos favoráveis 2640 220 P("ambas as cartas não serem reis") = = 2652 221 38. √10 × √9 = 90 casos possíveis B √ B √ √7 × √6 = 42 casos favoráveis P("sair pelo menos uma bola branca") = 1 – P("não sair nenhuma bola branca") 42 48 8 =1– = = 90 90 15.

(21) Tema I | Matemática 12. 39. P(√A) = 3x, logo P(A) = 1 – 3x. Sabemos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), 1 ou seja, 9x = 1 – 3x + – 3x 2 3 § 9x + 6x = 2 3 3 § 15x = § x = § x = 0,1 2 30 7 6 7 § P({®}) + P({™}) + P({™}) + P({}) = 6 {®}, {™}, {} são acontecimentos disjuntos dois a dois: 7 § P({®}) + P({™}) + P({}) + P({™}) = 6 7 § P({®, ™, }) + P({™}) = 6 7 1 § 1 + P({™}) = § P({™}) = 6 6. 40. P({®, ™}) + P({™, }) =. e d d d f d d d g. 41. a) Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer de um mesmo espaço de resultados, então: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Como P(A ∩ B) ≥ 0, então P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B). A proposição é verdadeira. b) A proposição é falsa. Consideremos o espaço de resultados Ω = {1, 2, 3, 4}, A = {2, 3} e B = {3, 4} e os resultados elementares são equiprováveis. Tem-se que P(A) = P(B) = 0,5 ou seja 1 – P(A) = P(B) e A e B não são acontecimentos contrários já que A ∩ B = {3} ≠ ∅ e A ∪ B = {2, 3, 4} ≠ Ω.. b) P(A ∩ √B) = P(A) – P(A ∩ B) =. c) P(√A ∪ √B) = P(√A√ √∩√ √B) = 1 – P(A ∩ B) = 1 –. 5 3 43. Como P(√A) = , então P(A) = . 8 8 a) Sabemos que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), 7 3 1 ou seja, = + P(B) – 8 8 4 7 3 1 3 § P(B) = – + § P(B) = 8 8 4 4. 1 3 = 4 4. 44. R: "o Real Madrid ganha" E: "há um empate" B: "o Barcelona ganha" P(R) = 2 × P(E) e P(E) = 3 × P(B) a) Designemos P(B) por x. Como R, E e B são acontecimentos disjuntos dois a dois e R ∪ E ∪ B = Ω vem que: P(R) + P(E) + P(B) = 1 § 2 P(E) + 3 P(B) + P(B) = 1 § 6 P(B) + 3 P(B) + P(B) = 1 § 6x + 3x + x = 1 § 10x = 1 § x = 0,1 Assim, P(R) = 0,6. 0,6 = 0,3 2 P(B) = 0,1. b) P(E) =. 45. P({1}) + P({2}) + P({3}) + P({4}) + P({5}) + P({6}) = 1 § P({1}) +. 1 1 1 1 1 + + + + =1 6 6 6 6 4. § P({1}) = 1 –. 1 2 1 – § P({1}) = 4 3 12. a) P("sair número par") = P({2}) + P({4}) + P({6}) =. 1 1 1 7 + + = 6 6 4 12. b) P("sair face 1 ou 6") = P({1}) + P({6}). c) A proposição é falsa. Consideremos o mesmo contraexemplo da alínea anterior. 42. P(A ∪ B ∪ C) = P[(A ∪ B) ∪ C} = P(A ∪ B) + P(C) – P[(A ∪ B) ∩ C] = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – [P(A ∩ C) + + P(B ∩ C) – P[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)] = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + + P(A ∩ B ∩ C) c.q.d.. 3 1 1 – = 8 4 8. =. 1 1 4 1 + = = 12 4 12 3. 46. a). 1 – P(B ∩ A) = P(B ∩ A) = P(B ∪ A) = P(B ) +  P( A) – P(B ∩ A) = P(B ) + P( A) – [P(B ) – P(B ∩ A)] = P(B ) + P( A) – P(B ) + P( A ∩ B ) = P( A)  + P( A ∩ B )     c.q.d.. b). P(A)  + P( A ∩ B ) = P(A) + P( A ∪ B ) = P(A) +  P(A) + P(B ) – P( A ∩ B ) = P(A) + 1 – P(A) + P(B ) – P( A ∩ B ) = P(B ) + 1 – P( A ∩ B ) = P(B )  + P( A ∩ B ) = P(B ) + P( A ∪ B )     c.q.d.. 19.

(22) 20. Matemática 12 | Guia do Professor. Unidade 6 – Probabilidade condicionada e independência Página 38 47. Sejam os acontecimentos: R: "ser rapariga" H: "ter hábitos de estudo" 860 43 Então, P(H|R) = = . 1400 70 Opção (C) 48. Para a soma dos números obtidos ser 6, só pode ter ocorrido um dos seguintes casos: (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, __3) Assim, a probabilidade de ter saído o mesmo número nos dois dados, sabendo que a soma dos 1 números saído foi 6, é de . 5 49.. P(√A ∩ B) P(B) – P(A ∩ B) = P(B) P(B) P(B) P(A ∩ B) = – = 1 – P(A|B) c. q. d. P(B) P(B) P[(A ∪ C) ∩ B] b) [P((A ∪ C)|B)] = P(B). a) P(√A|B) =. P[(A ∩ B) ∪ (C ∩ B)] P(B) P(A ∩ B) + P(C ∩ B) – P[(A ∩ B) ∩ (C ∩ B)] = P(B) P(A ∩ B) P(C ∩ B) P[(A ∩ C) ∩ B] = + – P(B) P(B) P(B) =. = P(A|B) + P(C|B) – P[(A ∩ C)|B] 50. Sabe-se que P(A|B) =. c. q. d.. P(A ∩ B) . P(B). Assim: 0,1 0,1 0,25 = § P(B) = § P(B) = 0,4 P(B) 0,25 Temos também que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Logo, 0,8 = P(A) + 0,4 – 0,1 § P(A) = 0,5. Assim, P(√A) = 1 – P(A) = 1 – 0,5 = 0,5. Como P(A) = P(√A), temos que A e √A são acontecimentos equiprováveis. 51. No contexto do problema, P(Y|X) significa "probabilidade de a pessoa escolhida ser do sexo feminino, sabendo que a carta retirada foi uma copa". Ora, se a carta retirada foi uma copa, escolhe-se uma pessoa da turma A, onde existem 15 raparigas, num total de 25 alunos.. Assim, e segundo a regra de Laplace, num espaço de resultados com um número finito de elementos e cujos resultados elementares são equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento (neste caso 15) e o número de casos possíveis (neste caso 25). A probabilidade 15 3 pedida é, então, , ou seja, . 25 5 52. Sejam os acontecimentos: A: "haver um assalto" B: "o alarme tocar" Sabe-se que: • P(A) = 0,1 • P(T|A) = 0,95 • P(T|√A) = 0,03 Assim: P(T|A) = 0,95 P(T ∩ A) § = 0,95 P(A) § P(T ∩ A) = 0,95 × 0,1 § P(T ∩ A) = 0,095 P(T|√A) = 0,03 P(T ∩ √A) § = 0,03 P(√A) § P(T ∩ √A) = 0,03 × 0,9 § P(T ∩ √A) = 0,027 T. √T. Total. A. 0,095. 0,1. √A. 0,027. 0,9. Total. 0,122. 1. a) P(T) = P(T ∩ A) + P (T ∩ √A) = 0,122 b) P(√A|T) =. P(√A ∩ T) 0,027 27 = = P(T) 0,122 122. 53. Sejam os acontecimentos: J: "ser habitante jovem" F: "ser favorável ao projeto" Do enunciado, tem-se que: • P(F|J) = 0,7 • P(F|√J) = 0,4 • P(J) = 0,45 Assim: P(F|J) = 0,7 P(F ∩ J) § = 0,7 P(J) § P(F ∩ J) = 0,7 × 0,45 § P(F ∩ J) = 0,315.

(23) Tema I | Matemática 12. 1 1 2 + = 15 15 15 1 2 11 • P(E) = 1 – – = 2 15 30 11 1 1 • P(F ∩ E) = – = 30 6 5 • P(D) =. P(F|√J) = 0,4 P(F ∩ √J) § = 0,4 P(√J) § P(F ∩ √J) = 0,4 × 0,55 § P(F ∩ √J) = 0,22 F. √F. Total. J. 0,315. 0,45. √J. 0,22. 0,55. Total. 0,535. 1. D. E. A. Total. M. 1 15. 1 6. 1 10. 1 3. F. 1 15. 1 5. 2 5. 2 3. Total. 2 15. 11 30. 1 2. 1. a) P(F) = P(F ∩ J) + P (F ∩ √J) = 0,315 + 0,22 = 0,535 b) P(J|F) =. P(J ∩ F) 0,315 = ) 0,59 P(F) 0,535. 54. Sejam os acontecimentos: M: "ser rapaz" F: "ser rapariga" D: "ser estudante de Direito" E: "ser estudante de Engenharia" A: "ser estudante de Arquitetura" Sabe-se que: 1 3 1 • P(A) = 2 • P(F|A) = 80% • P(E|M) = 50% • P(D ∩ M) = P(D ∩ F) Assim: P(F|A) = 80% P(F ∩ A) § = 0,8 P(A) 1 § P(F ∩ A) = 0,8 × 2 2 § P(F ∩ A) = 5 • P(M) =. P(E|M) = 50% P(E ∩ M) 1 § = P(M) 2 1 1 § P(E ∩ M) = × 2 3 1 § P(E ∩ M) = 6 1 2 1 • P(A ∩ M) = – = 2 5 10 1 1 1 1 • P(D ∩ M) = – – = 3 10 6 15 1 • P(D ∩ F) = 15. Pelos cálculos anteriores: 11 a) P(E) = 30 1 15 P(D ∩ F) 3 1 b) P(D|F) = = = = 2 P(F) 30 10 3 c) Sabe-se que a probabilidade de ser estudante de 1 Engenharia rapaz é de P(M E E ) = . 6 Como estão presentes 10 rapazes de Engenharia, 10 1 então = , onde n é o número total de estudann 6 tes presentes. Assim, n = 60. Como a probabilidade de ser uma estudante de Arquitetura rapariga é de 2£ 2¥ ²²P(F E A) = ´´ , estão presentes na atuação 5¤ 5¦ 2 × 60 = 24 raparigas de Arquitetura. 5 55. Sejam os acontecimentos: S: "saber a resposta certa" A: "acertar na resposta" Sabe-se que: • P(S) = 0,4 • P(A|S) = 1 • P(A|√S) = 0,5 • P(√A|√S) = 0,5 4 0, 0, 6. S. √S. 1 0,5. 0,5. A → P(S ∩ A) = 0,4 A → P(√S ∩ A) = 0,6 × 0,5 = 0,3 √A → P(√S ∩ √A) = 0,6 × 0,5 = 0,3. Assim: P(S ∩ A) 0,4 0,4 4 P(S|A) = = = = P(A) 0,4 + 0,3 0,7 7. 21.

(24) 22. Matemática 12 | Guia do Professor. 0,8 = k + (k + 0,1) – k × (k + 0,1) § 0,8 = 2 k + 0,1 – k2 – 0,1 k § k2 – 1,9 k + 0,7 = 0 7 1 §k= › k= 5 2 7 1 Como > 1, k só pode admitir o valor . 5 2. 56. a). P(A|B) = 0,6 P(A ∩ B) § = 0,6 P(B) P(A ∩ B) § = 0,6 0,3 § P(A ∩ B) = 0,18 b) P(B|A) = 0,5 P(B ∩ A) § = 0,5 P(A) 0,18 § = 0,5 P(A) § P(A) = 0,36 P(√A) = 1 – P(A) = 1 – 0,36 = 0,64 c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,36 + 0,3 – 0,18 = 0,48 P(√A ∩ B) P(B) – P(A ∩ B) = P(B) P(B) 0,3 – 0,18 = = 0,4 0,3. d) P(√A|B) =. 57. a) P( A ∩ B ) – P( A) . P( A ∪ B ) – P( A) = P(B ) P(B ) 1 – P( A ∪ B ) – P( A) = P(B ) 1 – P( A) – P((B ) + P( A ∩ B ) – P( A) = P(B ) P( A) – P( A) +  P( A ∩ B ) – P(B )   = P(B ) P( A ∩ B ) P(B ) = – = P( A|B ) – 1     c. q. d. P(B ) P(B ). b) P( A|B ) – P( A |B ) × P(B ) = P( A |B ) × (1 – P(B )) P( A ∩ B ) = × P(B ) = P( A ∩ B ) = 1 – P( A ∩ B ) P(B ) = 1 – P( A ∪ B )     c. q. d. . 1 1 1 × = 4 3 12. b) P(√A ∩ √B ∩ √C) = P(√A) × P(√B) × P(√C) = 42 7 = = 96 16. C. √C. Total. V. 0,30. 0,35. 0,65. √V. 0,15. 0,20. 0,35. Total. 0,45. 0,55. 1. P(C ∩ V) 0,30 6 = = P(V) 0,65 13 A probabilidade pedida é de, aproximadamente, 46%. b) • P(V ∩ C) = 0,30 • P(V) = 0,65 • P(C) = 0,45 P(V) × P(C) = 0,2925 Como P(V ∩ C) ≠ P(V) × P(C), tem-se que V e C não são acontecimentos independentes. a) P(C|V) =. 62. P( A ∪ B ) + P( A) × P(B ) = P( A) + P(B ) – P( A ∩ B ) + (1 – P( A)) × (1 – P(B )) A e B são acontecimentos independentes, logo:. 58. a) P(A ∩ B) = P(A) × P(B) =. 60. Se A e B são acontecimentos independentes, então P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Se A e B fossem acontecimentos disjuntos (A ∩ B = Ø) teríamos: 0 = P(A) × P(B) § P(A) = 0 › P(B) = 0 § A = Ø › B = Ø, o que contraria as condições do enunciado. Logo, A e B não são disjuntos. 61. Sejam os acontecimentos: V: "a pessoa vê o anúncio" C: "a pessoa compra o jogo" Sabe-se que: • P(√V) = 0,35 • P(C) = 0,45 • P(√V ∩ √C) = 0,2 Assim:. 3 2 7 × × 4 3 8. 59. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Para A e B serem independentes tem que acontecer P(A ∩ B) = P(A) × P(B): Assim:. = P( A) + P(B)) –   P( A) × P(B ) + 1 – P(B ) – P( A) + + P( A) × P(B ) = 1    . c. q. d. . 63. P(√A ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B) A e B são acontecimentos independentes, logo: = P(B) – P(A) × P(B) = P(B) (1 – P(A)) = P(B) × P(√A). Como P(√A ∩ B) = P(√A) × P(B), prova-se que √A e B são acontecimentos independentes..

(25) Tema I | Matemática 12. Unidade 7 – Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades Página 56 64. a) Por exemplo, variável aleatória X – “soma da pontuação obtida em cada dado”; variável aleatória Y – ”produto da pontuação obtida em cada dado”. b) Por exemplo, variável aleatória X – “número de vezes que se obteve face nacional”; variável aleatória Y – “número de vezes que se obteve face europeia”. 65. a) X: "maior número de pintas no lançamento dos dois dados" 1 P(X = 1) = 1 2 3 4 5 6 36 1 1 2 3 4 5 6 3 1 P(X = 2) = = 36 12 2 2 2 3 4 5 6 5 P(X = 3) = 3 3 3 3 4 5 6 36 4 4 4 4 4 5 6 7 P(X = 4) = 5 5 5 5 5 5 6 36 9 1 6 6 6 6 6 6 6 P(X = 5) = = 36 4 11 P(X = 6) = 36 Tabela de distribuição de probabilidades de X: xi. 1. 2. 3. 4. 5. 6. P(X = xi). 1 36. 1 12. 5 36. 7 36. 1 4. 11 36. b) Y: "valor absoluto da diferença do número de pintas no lançamento dos dois dados" 6 1 1 2 3 4 5 6 P(Y = 0) = 36 = 6 1 0 1 2 3 4 5 10 5 P(Y = 1) = = 36 18 2 1 0 1 2 3 4 8 2 = 3 2 1 0 1 2 3 P(Y = 2) = 36 9 4 3 2 1 0 1 2 6 1 P(Y = 3) = = 5 4 3 2 1 0 1 36 6 6 5 4 3 2 1 0 P(Y = 4) = 4 = 1 36 9 2 1 P(Y = 5) = = 36 18 Tabela de distribuição de probabilidades de Y: yi. 0. 1. 2. 3. 4. 5. P(Y = yi). 1 6. 5 18. 2 9. 1 6. 1 9. 1 18. c) Z: "diferença entre a menor e a maior pontuação, ou zero se as pontuações forem iguais" 6 1 P(Z = 0) = = 1 2 3 4 5 6 36 6 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 10 5 P(Z = –1) = = 36 18 2 –1 0 –1 –2 –3 –4 8 2 3 –2 –1 0 –1 –2 –3 P(Z = –2) = = 36 9 4 –3 –2 –1 0 –1 –2 6 1 P(Z = –3) = = 5 –4 –3 –2 –1 0 –1 36 6 4 1 6 –5 –4 –3 –2 –1 0 P(Z = –4) = = 36 9 2 1 P(Z = –5) = = 36 18 Tabela de distribuição de probabilidades de Z: zi. –5. –4. –3. –2. –1. 0. P(Z = zi). 1 18. 1 9. 1 6. 2 9. 5 18. 1 6. d) W: "máximo divisor comum das duas pontuações" 23 P(W = 1) = 1 2 3 4 5 6 36 1 1 1 1 1 1 1 7 P(W = 2) = 36 2 1 2 1 2 1 2 3 P(W = 3) = 3 1 1 3 1 1 3 36 4 1 2 1 4 1 2 1 P(W = 4) = 5 1 1 1 1 5 1 36 1 6 1 2 3 2 1 6 P(W = 5) = 36 1 P(W = 6) = 36 Tabela de distribuição de probabilidades de W: wi. 1. 2. 3. 4. 5. 6. P(W = wi). 23 36. 7 36. 3 36. 1 36. 1 36. 1 36. 66. k a) ∑P(X = xi) = 1 i = 1 . P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1 1 1 1 1 § + +a+ =1§a= 3 4 6 4 b) P(Y = –1) + P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2) = 1 § 0,5 + 0,26 + a2 + a = 1 § a2 + a – 0,24 = 0 1 6 §a= › a=– 5 5 Como P(Y = 2) = a, a só pode tomar valores positivos 1 ou nulos. Assim, a = . 5. 23.

(26) 24. Matemática 12 | Guia do Professor. 67. a) Seja a = P(X = 1). P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + + P(X = 6) = 1 § a + 2a + 3a + 4a + 5a + 6a = 1§ 21a = 1 1 §a= 21 1 Assim, P(X = 1) = 21 2 P(X = 2) = 21 3 P(X = 3) = 21 4 P(X = 4) = 21 5 P(X = 5) = 21 6 P(X = 6) = 21 Tabela de distribuição de probabilidades de X: xi. 1. 2. 3. 4. 5. 6. P(X = xi). 1 21. 2 21. 3 21. 4 21. 5 21. 6 21. Representação gráfica: P(X = xi) 6 21 5 21 4 21 3 21 2 21 1 21 1. ¨0 « «1 « 21 « «3 « 21 «« 6 b) F ( X ) = © « 21 « 10 « « 21 « 15 « « 21 «ª1. 2. 3. 4. se. X < 1. se . 1 ) X < 2. se . 2 ) X < 3. se . 3 ) X < 4. se . 4 ) X < 5. se. 5 ) X < 6. se. X * 6. . . . 5. 6 xi. Representação gráfica: F(x) 1. 15 21. 10 21. 6 21 3 21 1 21. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. x. 68. Seja P(Z = 1) = a. P(Z = 1) + P(Z = 2) + P(Z = 3) + P(Z = 4) + P(Z = 5) + + P(Z = 6) = 1 1 1 1 1 1 §a+ a+ a+ a+ a+ a=1 2 3 4 5 6 60a 30a 20a 15a 12a 10a 60 § + + + + + = 60 60 60 60 60 60 60 60 § 147a = 60 § a = 147 20 §a= 49 Assim: 20 1 20 10 P(Z = 1) = ; P(Z = 2) = × = ; 49 2 49 49 1 20 20 1 20 5 P(Z = 3) = × = ; P(Z = 4) = × = ; 3 49 147 4 49 49 1 20 4 1 20 10 P(Z = 5) = × = ; P(Z = 6) = × = 5 49 49 6 49 147 Tabela de distribuição de probabilidades de Z: zi. 1. 2. 3. 4. 5. 6. P(Z = zi). 20 49. 10 49. 20 147. 5 49. 4 49. 10 147. 69. Seja X a variável aleatória que representa a quantia retirada em euros: Número de casos possíveis: 1.a extração 2.a extração × 3 2 = 6 casos Número de casos favoráveis: • Para soma 0,7 €: (0,2; 0,5) e (0,5; 0,2), logo 2 1 P(X = 0,7) = = . 6 3.

(27) Tema I | Matemática 12. 71. a). • Para soma 1,2 €: (0,2; 1) e (1; 0,2), logo 2 1 = . 6 3. P(X = 1,2) =. Aparelho 2 Aparelho 1. 0. 1. 3. 0. 0. 1. 3. 1. 1. 2. 4. 3. 3. 4. 6. • Para soma 1,5 €: (0,5; 1) e (1; 0,5), logo 2 1 P(X = 1,5) = = . 6 3 Tabela de distribuição de probabilidades de X: xi. 0,7. 1,2. 1,5. P(X = xi). 1 3. 1 3. 1 3. 70. Seja R o acontecimento "sair rei" e Y a variável aleatória que representa o número total de cartas retiradas: 1.a ext.. 4 52. R. 48 52. 2.a ext.. 4 51. 4.a ext.. 5.a ext.. Y=1 Y=2. R 4 50. √R 47 51. 3.a ext.. Y=3. R 4 49. √R 46 50. √R 45 49. Y=4. R 4 48. R Y=5. 44 48. √R Y = 5. √R. Assim, a variável aleatória Y assume os valores 1, 2, 3, 4 e 5, e: 4 1 P(Y = 1) = = 52 13 48 4 16 P(Y = 2) = × = 52 51 221 48 47 4 376 P(Y = 3) = × × = 52 51 50 5525 48 47 46 4 415 104 P(Y = 4) = × × × = 52 51 50 49 6 497 400 51 888 = 812 175 48 47 46 45 4 48 47 46 P(Y = 5) = × × × × + × × × 52 51 50 49 48 52 51 50 45 44 224 156 160 583 740 × × = = 49 48 311 875 200 812 175 Tabela de distribuição de probabilidades de Y: yi. 1. 2. 3. 4. 1 16 376 51 888 P(Y = yi) 13 221 5525 812 175. 5 583 740 812 175. Assim, a variável aleatória Y assume os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 6, e: Y = 0 corresponde ao caso (0, 0), logo: 1 1 1 P(Y = 0) = × = 2 2 4 Y = 1 corresponde aos casos (1, 0) e (0, 1), logo: 1 1 1 1 1 P(Y = 1) = × + × = 2 3 3 2 3 Y = 2 corresponde ao caso (1, 1), logo: 1 1 1 P(Y = 2) = × = 3 3 9 Y = 3 corresponde aos casos (3, 0) e (0, 3), logo: 1 1 1 1 1 P(Y = 3) = × + × = 6 2 2 6 6 Y = 4 corresponde aos casos (3, 1) e (1, 3), logo: 1 1 1 1 1 P(Y = 4) = × + × = 6 3 3 6 9 Y = 6 corresponde ao caso (3, 3), logo: 1 1 1 P(Y = 6) = × = 6 6 36 Assim, a tabela de distribuição de probabilidades de Y é: yi. 0. 1. 2. 3. 4. 6. P(Y = yi). 1 4. 1 3. 1 9. 1 6. 1 9. 1 36. b) A probabilidade de um aparelho deste tipo, cada vez que é utilizado, produzir uma descarga de 1 volt 1 é de , logo em 360 utilizações espera-se que 3 1 × 360 = 120 vezes tal aconteça. 3 72. 6. a) + = - ( xi × pi ) i = 1. = –2 × 0,15 + (–1) × 0,25 + 0 × 0,3 + 1 × 0,05 + + 2 × 0,2 + 3 × 0,05 = 0,05 6. m = . 2. - ( x – 0,05) × p i. i. i = 1. = . (–2 – 0,05). 2. 2. × 0,15 + (–1 – 0,05) × 0,25 +. 2. 2. 2. 2. + (0 – 0,05) × 0,3 + (1 – 0,05) × 0,05 + + (2 – 0,05) × 0,2 + (3 – 0,05) × 0,05 5 1,47 (2 c.d.). 25.

(28) Matemática 12 | Guia do Professor. 26. b) a + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,2 = 1 § a = 0,2 5. (. + = - xi × pi. 75. Com recurso à calculadora:. ). List 1. i = 1. 2. = 1 × 0,2 + 2 × 0,3 + 3  × 0,2 + 4 × 0,1 + + 5 × 0,2 = 2,8 5. m = . - ( x – 2,8). 2. i. 3. × pi 4. i = 1. =. (1 – 2,8). 2. 2. × 0,2 + (2 – 2,8) × 0,3 +. 2. 5. 2. + (3 – 2,8) × 0,2 + (4 – 2,8) × 0,1 + 2. + (5 – 2,8) × 0,2 = 1,4. 6. 73. μ = 2a + 3b = 2a + 3 (1 – a) = 2a + 3 – 3a =3–a Opção (C). a+b=1 §b=1–a. 7 8 9. 74. Seja M o acontecimento "sair o rebuçado de morango" e X a variável aleatória "número de rebuçados de mentol que a Vitória come" 1.a extração 2.a extração 3.a extração 4.a extração. 1 5 4 5. M. 3 4. X=1. M 1 3. √M √M. 2 3. X=2. M 1 2. M. 1 2. √M. 11 12. X=0 1 4. 10. List 2 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36. μ=7 σ ≈ 2,42. X=3. √M 1. M. X=4. Assim, a variável aleatória X assume os valores 0, 1, 2, 3 e 4, e: 1 P( X = 0) = 5 4 1 1 P( X = 1) = × = 5 4 5 P( X = 2)) = . 4 3 1 1 × × = 5 4 3 5. P( X = 3) = . 4 3 2 1 1 × × × = 5 4 3 2 5. P( X = 4) = . 4 3 2 1 1 × × × × 1 = 5 4 3 2 5. Tabela de distribuição de probabilidades de X: xi. 0. 1. 2. 3. 4. P(X = xi). 1 5. 1 5. 1 5. 1 5. 1 5. Unidade 8 – Modelo normal. Histograma versus função densidade Página 76 76. X1 ~ N (a, b) X2 ~ N (c, d) Como os gráficos são simétricos relativamente à mesma reta, tem-se que a = c; e como a curva que representa a variável X2 é mais achatada, tem-se que, o seu desvio-padrão é maior, isto é, b < d. Opção (B) 77. X1 ~ N (a, b) X2 ~ N (c, d) Como os gráficos são igualmente achatados, temos que b = d; e como a curva que representa a variável X2 atinge o seu máximo num ponto mais à direita do que a curva X2, tem-se que o seu valor médio é maior, isto é, c > a. Opção (D).

(29) Tema I | Matemática 12. 78. X ~ N (100, 10). Aprende fazendo. a). Páginas 84 a 103 1. A = {2, 4, 6} B = {2, 3, 5} A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} √A√ √∪√ √B = {1} Opção (B). 100. P(X < 100) = 0,5 b). 80. 90 100. 0,9545 P(80 < X < 100) = = 0,47725 2 c). 100 110 120. 79. X ~ N (8, 3). 3. __ X __ __ __ __ __ __ 1×. e d f d g. 1 – 0,9545 P(X ≥ 120) = = 0,02275 2 500 × 0,02 275 = 11,375 Em 500 indivíduos, espera-se que haja 11 diabéticos.. 2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) § P(A ∪ B) = 0,6 + 0,6 – P(A ∩ B) § P(A ∪ B) = 1,2 – P(A ∩ B) Sabe-se que P(A ∪ B) ≤ 1, logo P(A ∩ B) > 0 e assim A ∩ B ≠ ∅, logo A e B são acontecimentos compatíveis. Opção (C). 6!. × 2 = 1440. número de maneiras de sentar a rapariga mais alta numa das 2 extremidades. Opção (D). a). 2. 5. 8. 11. 14. 4. Considere-se os acontecimentos: M: “ser funcionário mulher” F: “ser funcionário fumador” N.o de funcionários que são mulheres e fumadores. P(2 < X < 14) ≈ 0,9545 b). Pretende-se P(M|F) = 2. 5. 8. 11. 30 = 0,375 = 37,5% 80. 14. 0,6827 P(X < 11) = 0,5 + = 0,84135 2. N.o total de funcionários fumadores. Opção (A). c). 2. 5. 8. 0,6827 = 0,34135 2. 11. 14. 1 – 0,9545 = 0,02275 2. P(11 < X < 14) = 0,5 – 0,34135 – 0,02275 = 0,1359 80. X ~ N (161,3; 4,6) Com recurso à calculadora: a) P(155 < X < 165) ≈ 0,704 b) P(X > 170) ≈ 0,029 c) P(X > a) = 0,1 a = 167 cm. 5. Pretende-se determinar o valor de P(X|Y), ou seja, a probabilidade de, ao escolher um aluno ao acaso, ser escolhida uma rapariga, sabendo que o aluno é da turma B. Ora, na turma B há 12 alunos, sendo 8 2 8 raparigas; assim, tem-se que P(X|Y) = = . 12 3 Opção (D) 6. Como A e B são acontecimentos independentes, P(A|B) = P(A). Logo, P(A|B) = 0,3. Opção (C) 7. Sendo P(A) ≤ P(B), P(A ∩ B) ≤ P(A). Assim, de todas as opções apresentadas, o único valor que P(A ∩ B) pode tomar é 0,3. Opção (D). 27.

(30) Matemática 12 | Guia do Professor. 8. Sendo P(A) ≤ P(B), P(A ∪ B) ≥ P(B). Assim, de todas as opções apresentadas, o único valor que P(A ∪ B) pode tomar é 0,8. Opção (A) 9. Por definição de acontecimentos incompatíveis (A ∩ B = ∅), sabe-se que se ocorre A, não pode ocorrer B. Assim, a afirmação necessariamente verdadeira é a (B). Opção (B) 10. Número de casos possíveis: 5 × 5 = 25 Número de casos favoráveis: 5 5 1 Probabilidade pretendida: = 25 5 Opção (C) P(A ∩ B) 0,1 1 = = P(B) 0,4 4 Cálculo auxiliar: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 0,9 = 0,6 + P(B) – 0,1 § P(B) = 0,4 Opção (C). 14. Seja X a variável aleatória que representa o comprimento, em centímetros, de uma certa espécie de catos. X ~ N (75, 10) P(A) = P(X > 75) = 0,5. 0,5 75. P(B) = P(65 < X < 85) ≈ 0,6827 0,6827. Opção (A). 65. 70 75. 85. Observa-se que P(C) < 0,6827. Opção (D) 15. Sendo que X segue uma distribuição normal de valor médio 5, para se ter P(X < k) = 20%, k terá de ser um valor inferior a 5. Assim, dos valores apresentados, k só pode ser 3. Opção (B) 16. Seja X a variável aleatória que representa o peso, em gramas, de uma certa qualidade de peras de um pomar. Sabemos que: X ~ N (100, σ) e P(90 < x < 110) = 0,9545. Sabemos também que se X ~ N(μ, σ), então P(μ – 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0,9545 logo, neste caso: 100 – 2σ = 90 § 100 + 2σ = 110 Opção (A) e f g. 13. Se P(X ≤ 1) = P(X = 4), então: P(X = 0) + P(X = 1) = P(X = 4) 1 1 § + 2a = a + 12 6 1 1 §a= – 6 12 1 §a= 12 e P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + + P(X = 4) = 1 1 1 1 1 1 § +2× + +b+ + =1 12 12 5 12 6 3 §b= 10. 85. P(C) = P(70 < X < 85). 11. P(A|B) =. 12. No contexto da situação descrita P(√B|A) significa “a probabilidade de não sair bola com número ímpar na segunda extração, sabendo que saiu bola azul na primeira extração. Ora, se saiu bola azul na primeira extração quer dizer que saiu bola com número par. Assim, e como não houve reposição, restam no saco 5 bolas, sendo 3 ímpares (verme2 lhas) e 2 pares (azuis). Logo, P(√B|A) = . 5 Opção (C). 75. 65. e f g. 28. σ=5 σ=5. 17. Seja X a variável aleatória que representa o nível obtido: x = 1 × . 10. + 2 × . 40. 240 240 40 + 5 × = 3,5 240. s = . 10 240. + . 40 240.   + 3 × . × (1 – 3,5)2 + . 40 240. 50 240.   + 4  × . 100 240.   + . × (2 – 3,5)2 + … +. (5 – 3,5)2 ≈ 1,08 (2 c.d.) .

(31) Tema I | Matemática 12. Assim, P(x∫ – s < X < x∫ + s) = P(3,5 – 1,08 < X < 3,5 + 1,08) = P(2,42 < X < 4,58) = P(X = 3) + P(X = 4) 50 100 = + 240 240 = 0,625 = 62,5% Opção (A) 18. Seja Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (1, 6), (2, 1), …, (6, 6)} #Ω = 36 X: “no dado D aparece um 1” X = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} 6 1 P(X) = = 36 6 Y: “a soma dos dois números é igual a 7” Y = {(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 6 1 P(Y) = = 36 6 Z: “os dois números são iguais” Z = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 6 1 P(Z) = = 36 6 X ∩ Y = {(1, 6)} 1 P(X ∩ Y) = 36 1 1 1 P(X) × P(Y) = × = 6 6 36 Como P(X ∩ Y) =) P(X) × P(Y), X e Y são acontecimentos independentes. A opção (A) é falsa. X ∩ Z = {(1, 1)} 1 P(X ∩ Z) = 36 1 1 1 P(X) × P(Z) = × = 6 6 36 Como P(X ∩ Z) = P(X) × P(Z), X e Z são acontecimentos independentes. A opção (B) é verdadeira. Y ∩ Z = ∅, logo Y e Z são acontecimentos incompatíveis e não são independentes. P(Y ∩ Z) = 0 1 1 1 P(Y) × P(Z) = × = 6 6 36 As opções (C) e (D) são falsas. Opção (B) 19. Num conjunto de 6 pessoas, considere-se os acontecimentos:. A: “pelo menos duas pessoas pertencerem ao mesmo signo” Assim: ∫A: “nenhuma pertencer ao mesmo signo” P(A) = 1 – P(∫A) 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 =1– 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 385 =1– 1728 1343 = 1728 Opção (C) 20. A probabilidade pedida será o quociente entre a área da estrela e a área do hexágono. • Determinação da área do hexágono (A1): p 6l 3 3 3 2 A1 = × apt = × l = l 2 2 2 2 • Determinação da área da estrela (A2):. l. Cálculo auxiliar: Determinação da área de cada triângulo sombreado: l × AΔ = . 3 l 2 3 2 = l2 2 8. A2 = A1 – 6AΔ = = = . 3 3. l2 – 6 × . 2 (× 4) 12 3 l2 8 6 3 8. – . l2 = . 3. 8 6 3. 8 3 3 4. l2 l2. l2. Assim, a probabilidade pedida é: 3 3 2 l 1 4 = = 0,5 = 50% 3 3 2 2 l 2 Opção (A). 29.

(32) 30. Matemática 12 | Guia do Professor. 21. Seja X a variável aleatória que representa as classificações obtidas a nível nacional no Exame de Matemática. Como X segue uma distribuição normal de valor médio 130, então a curva normal que lhe está associada é da forma:. 130. Tem-se que P(X ≤ 130) = 50% e P(X ≥ 130) = 50%. Sendo P(a ≤ X ≤ b) = 65%, todas as opções apresentadas são excluídas, à exceção da opção (D). Observe-se que: • Opção (A), P(130 ≤ X < 155) < 50%. Ω = { (N, N, N, N), (N, N, N, E), (N, N, E, N), (N, N, E, E), (N, E, N, N), (N, E, N, E), (N, E, E, N), (N, E, E, E), (E, N, N, N), (E, N, N, E), (E, N, E, N), (E, N, E, E), (E, E, N, N), (E, E, N, E), (E, E, E, N), (E, E, E, E) } c) Ω = {0, 1, 2, 3, 4} d) Ω = e) A: “sentar a Ana” B: “sentar a Berta” C: “sentar o Carlos” 1.o lugar. A B C. 130. 155. 130. • Opção (C), P(140 ≤ X ≤ 160) < 50%. 130 140 160. Opção (D) 22. a) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50} b) Resultados 1.a moeda. 2.a moeda 3a moeda 4.a moeda. N N E N N E E N N E E N E E. N E N E N E N E N E N E N E N E. 3.o lugar. Resultados possíveis. B. C. (A, B, C). C. B. (A, C, B). A. C. (B, A, C). C. A. (B, C, A). A. B. (C, A, B). B. A. (C, B, A). Ω = { (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A) }. • Opção (B), P(110 ≤ X ≤ 130) < 50%. 110. 2.o lugar. possíveis. (N, N, N, N) (N, N, N, E) (N, N, E, N) (N, N, E, E) (N, E, N, N) (N, E, N, E) (N, E, E, N) (N, E, E, E) (E, N, N, N) (E, N, N, E) (E, N, E, N) (E, N, E, E) (E, E, N, N) (E, E, N, E) (E, E, E, N) (E, E, E, E). 23. B: “a equipa vencedora ser o Brasil” E: “a equipa vencedora ser a Espanha” H: “a equipa vencedora ser a Holanda” P: “a equipa vencedora ser Portugal” a) Ω = {B, E, H, P} b) “A equipa vencedora ser a China” → acontecimento impossível “A equipa vencedora ser Portugal” → acontecimento elementar “A equipa vencedora ser europeia” → acontecimento composto “A equipa vencedora ser europeia ou de língua portuguesa” → acontecimento certo. c) P(Ω) = { ∅, {B}, {E}, {H}, {P}, {B, E}, {B, H}, {B, P}, {E, H}, {E, P}, {H, P}, {B, E, H}, {B, E, P}, {B, H, P}, {E, H, P}, {B, E, H, P} } 24. A = {1, 2, 5} B = {2, 4, 6} a) A ∩ B b) A ∫ ∫∪ ∫ ∫B ∫ ou ∫A ∩ ∫B c) A\B d) B\A 25. a) Ω = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }.

(33) Tema I | Matemática 12. b) A = { (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) } B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5) } b1) A ∩ B = A = { (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) }. 28. A: “ser português” B: “ser homem” • P(A) = 0,6 • P(B) = 0,36 • P(A ∩ B) = 0,15. b2) A ∪ B = B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),. Ω. (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4),. A. (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5) }. B 0,45. b3) B\A = { (1, 2), (1, 6), (2, 1), (2, 5), (3, 4), (3, 6), (4, 3), b4) A\B = ∅. P(∫A ∩ ∫B) = 0,19. 26.. 0 1 2. 0,21 0,19. (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5) }. 1.a extr.. 0,15. 2.a extr.. 3.a extr.. Resultados possíveis. 1. 2. (0, 1, 2). 2. 1. (0, 2, 1). 0. 2. (1, 0, 2). 2. 0. (1, 2, 0). 0. 1. (2, 0, 1). 1. 0. (2, 1, 0). a) Ω = { (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0), (2, 0, 1),. 29. 7 32 24 3 P(A ∪ B) = = 32 4 16 1 = P(∫B) = 32 2 8 1 P(A \ B) = = 32 4 9 P(∫A \ ∫B) = 32. a) P(A ∩ B) = b) c) d) e). (2, 1, 0) } b) A = { (1, 0, 2), (2, 0, 1), (2, 1, 0) } B = { (0, 2, 1), (1, 2, 0), (2, 1, 0) } C = { (0, 1, 2), (0, 2, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 0) } b1) A ∩ B = { (2, 1, 0) } b2) A ∩ C = { (2, 0, 1), (2, 1, 0) } b3) A ∪ B = { (0, 2, 1), (1, 2, 0), (1, 0, 2), (2, 0, 1), (2, 1, 0) } b4) ∫B ∪ ∫C = { (0, 1, 2), (1, 2, 0), (1, 0, 2), (2, 0, 1) } b5) ∫B∫ ∫∪∫ C ∫ = { (1, 0, 2) } b6) B\C = { (1, 2, 0) } b7) C\B = { (0, 1, 2), (2, 0, 1) } 27. a) P(“sair uma figura”) =. 12 3 = 40 10. b) P(“sair vermelha ou espadas”) = c) P(“sair preta e figura”) = d) P(“sair rei ou ás”) =. 6 3 = 40 20. 8 1 = 40 5. e) P(“sair nem paus nem figura”) = f). 30 3 = 40 4. P(“sair preta e não ás”) =. 21 40. 18 9 = 40 20. 30. a) (A ∩ B) ∪ (A ∩ ∫B) = A ∩ (B ∪ ∫B) =A∩Ω = A c.q.d. ∫ ∫∫ B ∫ ) ∪ ∫B = (∫A ∩ B) ∪ ∫B b) (∫A∫ ∪ = (∫A ∪ ∫B) ∩ (B ∪ ∫B) = (∫A ∪ ∫B) ∩ Ω = ∫A ∪ ∫B ∫ c.q.d. = ∫A∫ ∫∩∫ B c) (A E B ) F ( B F A) =(A E B ) E (B F A) =[(A E B ) E B ) F ((A E B ) E A)] =[A E (B E B )] F [B E (A E A)] =(A E ) F (A E B ) = F (A E B ) =A E B = A \ B     c.q.d. 31. P(A) = P(B) P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = P(A) × P(A) = (P(A))2 Como P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), então P(A ∪ B) = P(A) + P(A) – P(A) × P(A), pois A e B são acontecimentos equiprováveis e independentes. § P(A ∪ B) = 2 P(A) – [P(A)]2 § P(A ∪ B) = P(A) [2 – P(A)] c.q.d.. 31.

(34) 32. Matemática 12 | Guia do Professor. 32. a) Sejam os acontecimentos: M: “o doente melhorou” A: “o doente utilizou medicamento em creme” B: “o doente utilizou medicamento em comprimido” M. ∫M. Total. A. 36. 14. 50. B. 30. 20. 50. Total. 66. 34. 100. 66 33 = 100 50 14 7 a2) P(∫M|A) = = 50 25 30 5 a3) P(B|M) = = 66 11 a1) P(M) =. 33. Sejam os acontecimentos: B: “comprar o hambúrguer com bebida” F: “comprar o hambúrguer com batata frita” Do enunciado, temos que: • P(B ∩ F) = 40% • P(∫B ∩ ∫F) = 15% • P(B) = 65% Assim: F. ∫F. Total. B. 40%. 25%. 65%. ∫B. 20%. 15%. 35%. Total. 60%. 40%. 100%. a) P(B ∩ ∫F) = 25% P(∫B ∩ F) = 20% A Maria tem razão. De facto, a probabilidade de um cliente comprar o hambúrguer com bebida e sem batata frita (25%) é maior do que a probabilidade de um cliente comprar o hambúrguer com batata frita e sem bebida (20%). b) Pretende-se determinar P(F|B): P(F ∩ B) 0,40 8 P(F|B) = = = P(B) 0,65 13 c) P(B) = 0,65 P(F) = 0,60 P(B ∩ F) = 0,40 P(B) × P(F) = 0,65 × 0,60 = 0,39 Como P(B ∩ F) ≠ P(B) × P(F), os acontecimentos B: “comprar hambúrguer com bebida” e F: “comprar hambúrguer com batata frita” não são acontecimentos independentes.. 34. No contexto da situação descrita, P(B|A) significa “a probabilidade de a segunda ficha retirada ser ímpar, sabendo que a primeira ficha retirada foi par”. Assim, o número de casos possíveis é igual a 9 pois, após se ter retirado uma ficha da caixa, esta é de novo introduzida na caixa. O número de casos favoráveis é igual a 5, pois existem na caixa 5 fichas com um número ímpar (1, 3, 5, 7 e 9), que continuam na caixa após a primeira extração. Segundo a regra de Laplace, num espaço de resultados com um número finito de elementos e cujos resultados elementares são equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento é dado pelo quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis; por5 tanto, a probabilidade pedida é . 9 35. No contexto da situação descrita, P(B|L) significa “a probabilidade de o segundo bombom retirado ser de chocolate branco, sabendo que o primeiro bombom retirado foi de chocolate de leite”. Ora, 1 P(B|L) = significa que, no momento da segunda 2 extração, encontravam-se na caixa tantos bombons de chocolate branco, como de chocolate de leite, ou seja, 15 bombons de cada – já que o primeiro bombom retirado e comido foi de chocolate de leite – restam na caixa todos os bombons de chocolate branco existentes inicialmente (15) e a mesma quantidade de bombons de chocolate de leite. Conclui-se, assim, que inicialmente existiam na caixa 16 bombons de chocolate de leite. 36. Sabe-se que: • P(A) = 0,4 • P(A ∪ B) = 0,7 • A e B acontecimentos independentes, logo P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Assim: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 0,7 = 0,4 + P(B) – P(A) × P(B) § 0,3 = P(B) – 0,4 × P(B) § 0,6 P(B) = 0,3 0,3 § P(B) = 0,6 1 § P(B) = 2.