Aula 1 Equação do Radar. Capítulo 4 - Battan

Aula 1

Equação do Radar

Hipóteses Assumidas

• O transmissor (antena) irradia a energia EM de forma isotrópica (todas as direções);

• A energia EM que retorna ao radar é proveniente de partículas esféricas de água ou gelo

Radiação Incidente sobre a gota

Radiação espalhada isotropicamente pela gota

• A energia EM será espalhada em todas as direções igualmente

Antena

gota

Mas a gota é muito pequena

quando comparada com o ,logo ela recebe energia de todas as direções

2

4 r

P

S

T





Para saber quanto de energia chega sobre a gota, precisamos

calcular primeiramente o fluxo de EM que é irradiado pelo radar através da densidade de potência transmitida (S).

No nosso caso, temos que a densidade é definida pela razão entre a Potência Transmitida (P_T) pela área da superfície esférica que circunda o radar a um distância r.

Entretanto sabemos que os radares meteorológicos não irradiam energia em todas as direções, mas em ângulos sólidos pois utilizam antenas que concentram energia em feixes. (Antenas parabólicas)

Logo, temos a concentração de energia ao longo de um feixe de radiação.

Neste sentido temos que definir o Ganho da antena (G) da antena que é a razão entre a potência por unidade de área ao longo do eixo do feixe do radar pela Potência irradiada isotropicamente. (Valores típicos variam entre 20 a 45 dB , ou seja, 100 a 36000: 1)

               2 log 10  D k G

G ganho sobre um a fonte isotrópica (dB)

K é um fator de eficiência que pode variar entre 0,5 a 0,6

D é o diâmetro da antena em metros

 é o comprimento de onda em metros 80% da potência

Logo se tivermos um alvo a uma distância r do radar com uma seção transversal A_T, temos que a Potência Interceptada (P_) pelo alvo pode ser expressa como:

T T GA r P P 2 4   AT A_T Radar TR Antena Área interceptada

Agora assumimos que o alvo não absorve nenhuma energia e ele re-irradia isotropicamente toda a energia recebida. Uma parte desta

energia espalhada chegará até a antena do radar no mesmo caminho da onda incidente.

Assim definimos a seção transversal efetiva (A_e) da antena receptora como:

A_e = A_p

A partir de considerações teóricas para antenas circulares e parabólicas, temos que a área efetiva (Ae), o ganho (G) e a

área da antena (Ap) podem se relacionar da seguinte forma.

Note que para um  fixo, um refletor grande produz um ganho maior.

Por outro lado, temos que para aumentar o Ganho de uma

antena, basta diminuir o .

Combinando as duas equações acima temos:

  4 2 G A_e  ₂ 3 8  A_P G  P e A A 3 2 

2 2 4 4 r A GA r P P_R T _T e







Portanto inserindo as características da antena, a Potência Recebida (P_R ) pelo radar é dada por:

PT

S

AT

I II III

Como a área efetiva da antena (A_e ) pode ser expressa em função do ganho da antena (G) e do comprimento de onda do radar (.),

temos:   4 2 G A _e 

Assim, re-escrevendo a equação do radar, temos:





3 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 r A G P r G GA r P r A GA r P P_R T _T e T _T T T            2 2 4 3 64   T T R G A r P P 

Anteriormente, havíamos assumido que o alvo tinha uma seção transversal A_T que espalhava isotropicamente.

No entanto não existem alvos meteorológicos que espalham

isotropicamente, pois a potência re-irradiada pelo alvo depende de uma relação entre o tamanho da partícula interceptada pela onda EM e o  da onda incidente (espalhamento frontal – Mie por exemplo).

Dessa maneira, temos que definir a seção transversal de

retro-espalhamento () que é a seção transversal de um espalhador isotrópico que retornaria a mesma potência para o radar como o alvo atual.

Uma definição alternativa para :

A área a qual, quando multiplicada pela Potência Incidente (P_I) dá a potência total irradiada por uma fonte isotrópica que irradia a mesma potência na direção contrária (retro) que um espalhador atual.

2 2 2 4 4 4 r P r S r P_I T       Área x Densidade

Então para um espalhamento simples temos:

esta equação pode ser aplicada para alvos isolados como a Lua, Avião ou uma gota de chuva por exemplo.

Na verdade podemos usar esta equação para “calibrar um radar uma vez que conhecemos as dimensões do Sol e da Lua e são fáceis de localizar no espaço”.

I T T T R

G

r

P

A

G

r

P

P











2 2 4 3 2 2 4 3

)

4

(

64





Entretanto o feixe do radar ilumina um volume no espaço (descrito pelos pulsos) que tem diversos alvos (gotas de chuva) suspensos que estão espalhando a energia individualmente.

Assim, dentro de um volume iluminado temos a contribuição

individual de diversas seções transversais de retro-espalhamento (_I ), que retornam energia ao mesmo tempo para o radar. Dessa maneira:

Como as partículas se movimentam (gravidade e correntes ascendentes e descendentes), temos que a potência refletida pode variar no tempo.

Entretanto após um período da ordem 0,01 segundos, o espalhamento aleatório destas partículas se torna independente.

Dessa maneira, temos que fazer uma média da potência recebida sobre um número grande de alvos, assim a Potência de retorno fica:

onde a somatória é sobre o volume iluminado (V_m) que espalha de volta a energia para o radar.

Obs: nTempos é definido como o número de amostras em cada radial.







  Tempos n t I T R G r P P . 0 2 2 4 3 4   

Volume Iluminado

O radar transmite pulsos de EM com duração pré-derminados,  (0.1 à 10 s) ou largura (30 à 3000 metros), o que define a largura do

volume a ser amostrado pelo radar, volume iluminado.

O volume iluminado é comumente definido como BIN

ou Gate

Se as partículas estão distribuídas uniformemente dentro do volume iluminado Vm, podemos normalizar a potência recebida pelo volume amostrado. Logo Vm é dado por

2 2 2 h r r V _m                

onde r = distância do alvo

, = largura do feixe da antena (radianos)(1-2 graus) h = comprimento do pulso em metros (c/2)

 = duração do pulso (tipicamente 1 s)

Portanto a seção transversal total de retro-espalhamento é o retro-espalhamento por unidade de volume vezes Vm.

Sendo assim, podemos definir a refletividade do radar (



) como



=



_I , que tem unidades de {cm2/m3} ou cm-1.















                       volume I T R n t I T R m n t I T R h G r P P G r P h r r P V G r P P              2 2 2 2 0 2 2 4 3 0 2 2 4 3 512 4 2 2 2 4

Por outro lado, quando esta equação do radar foi utilizada sobre alvos conhecidos observou-se grandes desvios que estavam

associados aos lóbulos secundários das antenas, que podiam ser representados por uma função gaussiana.

Assim a equação do radar pode ser re-escrita como:





volume I T R

G

h

r

P

P









2 2 2 2

512

)

2

ln

2

(

A largura do feixe da antena θ, é definida

como ½ da potência = 3 dB fora do centro ou 10log2 ou uma largura de 6 dB

A largura do feixe da antena também é função do comprimento de onda e do tamanho da

antena D

θ = 1.27 λ / D (radianos) θ = 73 λ / D (graus)

onde  é o comprimento de onda em cm e D o diâmetro da antena em cm. θ Φ -50 -10 0 10 50 Padrão do feixe In ten sid ad e d a R ad iaçã o (d B ) 0 -20 -25

Ângulo for a do eixo

-30 -10

θ

A seguir temos que analisar

como a EM interage com os

Retro-Espalhamento de pequenas esferas de água e gelo

Quando uma onda EM plana polarizada passa sobre um gota esférica, esta onda induzirá uma oscilação de dipolo elétrico (polarizam) e

magnético na gota, uma vez que a água é um dielétrico.

Sendo que a energia incidente será repartida da seguinte forma:

a) uma fração será absorvida pela gota na forma de calor e a outra

b) será re-irradiada na forma de espalhamento com o mesmo comprimento de onda da onda (energia) incidente.

Dipólos

•Dipolos são induzidos como cargas livres e os momentos de dipolo associados com cada molécula ficam alinhados com o campo elétrico incidente.

•As cargas do dipolo oscilam na mesma frequência do campo elétrico incidente.

•A oscilação destas cargas produz um campo EM que é espalhado pelo alvo. (Lembrem-se da da definição de uma antena de dipolo –

Re-escrevendo o espalhamento de uma onda plana a partir da teoria

Mie, temos que a seção transversal de retro-espalhamento de uma gota esférica pode ser expressa por:

onde

a raio da gota e

 = 2a/  parâmetro de tamanho (perímetro/comprimento de onda) a_n  coeficiente de espalhamento induzido pelo dipolo, quadrupolo, etc., magnético

b_n  coeficiente de espalhamento induzido pelo dipolo, quadrupolo, etc., elétrico. 2 1 2 2 ) )( 1 2 ( ) 1 (



      n n n n b a n a   

os valores de a_n e b_n podem ser expressos em termos de funções esféricas de Bessel e Hankel com argumentos  e m.

m é o índice de refração complexo m = n –ik n  índice de refração

Figura 4.2 ilustra a

seção transversal de

espalhamento

normalizada

(



/



a

2

)

para esferas de água

e gelo e para um



=3.21 cm (banda

X)

 = 2a/  b =  /  a 2

Note que para  muito

pequeno,  aumenta com  (entre 1 e 2)

A diferença entre a água e o gelo deve-se à constante dielétrica, onde:

Água é um espalhador mais eficiente do que o gelo, pois a água cria um dipolo mais alinhado.

Para  > 2,  do gelo é

maior que a da água, uma vez que a absorção da

água excede a do gelo

Água Gelo  = 2a/  b =  /  a 2

O Comportamento de



para



grande é

altamente oscilatório,

pois existe um

espalhamento grande

na direção de

propagação da onda

que está associado a

múltiplas reflexões da

onda

(espalhamento

mie)

Usando a aproximação Rayleigh, ou seja,  < 0.22 (2a/) temos que o diâmetro máximo observado para diferentes radares é:

Portando os radares Banda S detectam todos os hidrometeoros dentro do regime de espalhamento Rayleigh, exceto as grandes pedras de gelo.

Os radares com  pequeno entram na região de espalhamento Mie para hidrometeoros precipitáveis, o que implica que estes radares são mais indicados para a medidas de física de nuvens.

Banda (cm) Freq(GHz) < D(mm) observado

água ( gelo) S 10,0 3 7 (16,0) C 5,0 6 3,5 (8,0) X 3,0 10 2,1 (4,8) K 1,0 30 0,7 (1,6) W 0,4 75 0,25 (0,64)

A não associação da aproximação Rayleigh se

deve ao fato de que existem outras contribuições

de espalhamento e absorção da energia EM, ou

seja

, a seção transversal de retro-espalhamento

(



) é reduzida devido ao aumento do

espalhamento na direção de propagação da onda,

ou ainda, devido ao aumento do efeito de

Dessa maneira, temos que para  << 1, ou seja, raio da gota muito menor que  a aproximação Rayleigh é valida

Assim a seção transversal de espalhamento pode ser descrita por:

onde Di é o diâmetro da partícula e K o índice de refração da partícula 6 2 4 5 2 2 2 6 2 2 1 i I K D m m           2 1 2 2    m m K

Termo T(o_{C) Comprimento de onda}  _(cm) 10 3.21 1.24 0.62 20 0.928 0.9275 0.9193 0.8926 |K|2 _{10 0.9313 0.9282 0.9152 0.8726} 0 0.9340 0.9300 0.9055 0.8312 -8 ... ... 0.8902 0.7921 20 0.00474 0.01883 0.0471 0.0915 Im(-K) 10 0.00688 0.0247 0.0615 0.1142 0 0.01102 0.0335 0.0807 0.1441 -8 ... ... 0.1036 0.1713 Água Termo T(o_C) 0 0.197 |K|2 _{-10 0.197} -20 0.197 0 9.6x10-4 Im(-K) -10 3.2x10-4 -20 2.2x10-4 Gelo ???????? 2 K I  

Por outro lado, em vez de expressar  como função do diâmetro gota, podemos fazer em função do quantidade de água, uma vez que estamos interessados em chuva por intervalo de tempo (mm/h).

Expressando  em função da massa, temos que considerar a densidade das partículas que estamos:

água ~ 1 g/cm3 _{, gelo ~ 0.9 g/cm}3 _{, neve ~ 0.05 g/cm}3

Lembrando que assumimos gotículas esféricas, temos que a massa pode ser expressa por:

Logo a seção transversal de retro-espalhamento pode ser expressa como:

  3 3 4 a densidade Volume Massa    2 2 2 4 3 36 Massa K      

Finalmente, a Potência recebida pelo retro-espalhamento de partículas esféricas pode ser expressa como:

Espalhamento Rayleigh:

Espalhamento Mie

onde o Fator Refletividade do Radar Z é

enquanto que a Refletividade do Radar  é

   volume i T R D r K h G P P 6 2 2 2 3 2 ) 2 (ln 64 16        volume i T R r h G P P     2 2 2 2 1 ) 2 (ln 64 16



volume i D 6



volume i 

Logo se soubermos a distribuição de tamanho das partículas dentro do volume iluminado, podemos expressar Z como:

ou

Sendo assim podemos expressar a Potência recebida pelo radar em termos do Fator Refletividade do Radar e a constante do Radar



  s Nparticula i Volume i i D n Z 0 , 6



  0 6 ) ( D D dD N Z Z r K Cte P_R 2 2  

Caso a aproximação Rayleigh não possa ser aplicada, temos que :

onde Ze é o fator refletividade equivalente, e pode ser expresso por:

Usualmente, os radares meteorológicos assumem que as partículas iluminadas são água liquida, logo |K|2 = 0,93

Logo:

Onde M  Conteúdo de água Liquida,   densidade da partícula, D  diâmetro. Ze (mm6_/m3_), _{(cm), D(cm),} _(cm2_{) e M(g/m}3_). e R Z r K Cte P 2 2   2 5 4 K Z _e     2 3 6 4 6 K D M Z _e     

Finalmente podemos expressar a potência do radar recebida em termos mais comuns, ou seja:

Convertendo para dB (10Log₁₀ ) , temos

e R Z r K Cte P 2 2   e R Log Cte Log K Log r Log Z P Log _{10 10} 2 10 10 10 10 10 20 10 10    

Percebam que a equação é representada pela adição ou

subtração. Portanto qualquer erro de calibração eletrônica

do radar, diminuição da potência transmitida, alteração da antena, ou tipo de hidrometeoro, pode ser corrigida facilmente após a

Logo medindo P_R a uma distância r, podemos calcular Ze.

Usualmente usamos Ze em termos de dBZ, que é definido como:

dBZ_e = 10Log₁₀Z_e.



Cte K



Log r Log dBM P dBZ Z _{e R 10} 2 10 20 10 ) ( ) (    

Diagrama da Potência Recebida pelo radar em função da distância e do fator refletividade do radar.

Note que a medida que o alvo se distancia do radar, é necessário ter um maior Z para termos o mesmo valor de Pr.

O que este efeito significa para Z, pois nós medimos Pr?

P

_r

P

_r

Efeito da Distância

Fr eq uê nc ia (% ) Refletividade Z (dBZ)