REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

MEMORIAS

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS

F Í S I C A S Y N A T U R A L E S

DE

MADRID

S O B R

DESENVOLVimENTO DRS FUNGGOES

EM SERIE

POR

:F. GOMES TBIXBIRA

PROFESSOR NA ACADEMIA POLYTECHNICA DO PORTO,

ANT1GO PROFESSOR NA UNIVERSIDADE DE COIMBRA, SOCIO CORRESPONDENTE DA ACADEMIA REAL DAS SCIENCIAS DE MADRID, E T C .

MEMORIA PREMIADA, FUERA DE CONCURSO,

y publicada por la

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS,

F Í S I C A S Y N A T U R A L E S D E M A D R I D

(TOMO XVHI. — PARTE I.)

MADRID

IMPRENTA DE D. LUIS AGUADO

Calle de Pontejos, 8. 1897

INTRODÜCCAO

Versa esta Memoria sobre o assumpto do thema seguinte, proposto pela Academia Real das Sciencias de Madrid:

«•Exposición razonada y metódica de los desarrollos en serie de las fun-ciones matemáticas. Teoría general de los mismos. Significación de las llamadas series divergentes. Investigación de una serie típica, de la cual, á ser posible, se deriven como casos particulares las series de mayor im-portancia y uso en análisis, como las de Taylor, Lagrange y cualquiera

otra análoga.»

O desenvolví mentó das funcc,oes em serie tem sido empregado pelos geómetras urnas vezes com o finí de calcular os valores numéricos que to-mam estas funecoes para valores determinados das variaveis, outras vezes para estudar as propriedades das mesmas funecoes. Quer se empreguem para rnn, quer para outro fim, é conveniente variar quanto possivel a forma d'estes desenvolvimentos, já para obter series maia rápidamente conver-gentes, quando se destinara ao primeiro fim, j¡í porque ha propriedades que se manifestam nos desenvolvimentos de urna forma e ficam ocultas nos desenvolvimentos de outra forma.

O problema geral do desenvolvimento das funecoes em serie consiste em procurar, dadas as funecóes f(x), \(x), 94(aj),..., as condicóes para

que seja

2

A,, Aa... representando quantidades constantes, e determinar estas

cons-tantes. Na impossibilidade de resolver este problema com toda a genera-liilade, téem os geómetras considerado os casos particulares que, ou por sua simplicidade ou por sua importancia ñas applicagóes da Analyse á Geo-metría, á Mecánica e á Physica, técm merecido preferencia. Assim foi considerado o caso de 0, (%), 9a (a;),... representarem potencias inteiras de

urna funccao, o caso de estas funccoes serem os senos ou os cosenos de múltiplos successivos do arco x, o caso de estas funccoes representarem potencias inteiras, positivas ou negativas, de muitos binomios da forma x — a, x — b..., etc. Cada urna d'estas questoes exige bastante espai^o para ser tratada de urna maneira completa; porisso aqui limitar-nos-hemos a tra-tar da primeira, isto é, do desenvolvimento das funccoes em serie ordena-da segundo as potencias inleiras de urna funccao ordena-daordena-da.

Principiando pelo caso mais simples, consideraremos primeiramente os desenvolvimentos ordenados segundo as potencias inteiras e positivas de urna variavel independente, tanto no caso d'esta variavel ser real como no caso de ser imaginaria, expondo os differentes methodos empregados pelos geómetras para resolver esta questao. Assim estndaremos primeiramente o methodo, appresentado por J. Bernoulli e Taylor e completado por Lagran-ge e Cauchy, para o desenvolvimento das funecoes de variaveis reaes; de-pois a extensao d'este methodo, esbocada por Cauchy e completada por Darboux, ao caso das funccoes de variaveis imaginarias. Em seguida, con-tinuando o estudo de desenvolvimento das funccoes das variaveis imagi-narias e considerando a questao n'um ponto de vista menos elementar, ex-poremos o methodo de Cauchy, fundado na theoria dos integraes curvilí-neos, o methodo de Biemann, fundado na theoria das funccoes harmóni-cas, e finalmente o methodo de Weierstrass, fundado na theoria das series inteiras. Cada um d'estes methodos é o objecto principal de um dos pri-meiros cinco capítulos.

O desenvolvimento das funecóes cm serie ordenada segundo as poten-cias inteiras, positivas e negativas, 6 tambem considerado. A formula dada,

— 3 —

para achar estes desenvolvimentos, por Laurent é demonstrada no capitulo terceiro pelo methodo de Cauchy e no capitulo quinto pelo inethodo de Wcierstrass e Mittag-Leffler. A bella demonstracao que Mittag-Leffler deu d'esta formula ñas Acta Mathemática, foi aprcscutada pelo eminente geó-metra de uraa maneira bastante resumida; aqui apresentamol-a com todos os desenvolvimentos necessarios para ser fácilmente comprehendida, modi-ficando mesmo algumas passagens com o fim de a tornar mais elementar.

No capitulo sexto demonstraremos a formula de Burmann, que dá o desenvolvimento das funecóes em serie ordenada segundo as potencias in-teiras e positivas de urna funecao dada, e d'ella tiraremos a de Lagrange, que só difiere d'aquella na notagao. Em seguida faremos, nos num. 61 e 62, urna applicagao, que julgamos nova, da mesma formula ao desenvolvi-mento das funegoes em serie ordenada segundo as potencias de sen x e á demonstracáo de duas formulas devidas a Euler. Finalmente, para respon-der á ultima parte do programma proposto, daremos urna formula, que dá o desenvolvimento das funecoes em serie ordenada segundo as potencias inteiras, positivas e negativas, de urna funecao dada. Esta formula, que julgamos nova e que estudamos nos num. 64 e 65, comprehende a de Bur-mann, e por tanto a de Taylor e Lagrange, e ainda a de Laurent.

Terminando estas consideracoes preleminares, devemos dizer que, na exposigao dos assumptos, supposemos sómente conhecidas do leitór a theo-ria algébrica das quantidades complexas, os principios geraes mais elemen-tares da theoria das series e os primeiros principios do Calculo differen-cial e do Calculo integral. Porisso, antes de entrar em cada questao, apre-sentámos alguns estudos preleminares que certamente serao conhecidos por muitos dos leitores. Devemos ainda dizer que fizemos aeompanhar cada assumpto pelas indicacoes bibliographicas e históricas que nos pareceram convenientes.

CAPITULO PRIMEIRO

ESTUDO DA SERIE DE TAYLOR NO CASO DAS FUNCCOES DE VARIAVEIS REAES

1. Ás series de forma mais simples que se podem empregar, para des-envolver as funccoes, sao as series da forma

(1) A

+ A¿x — a) + . . . 4- A

(x - af + ...,

onde a, Ao, A, ... representara qnantidades constantes e x urna

quantida-de variavel. Consiquantida-deremos, pois, em primeiro logar estas series, quantida- determi-nando as condicóes para que qualquer funcgao dada f (x) seja susceptivel de um tal desenvolvimento e procurando os meios para calcular os coeffi-cientes Ao) Ax ... Supporemos em primeiro logar que a funccao f(x) é real,

assim como as quantidades x e a.

2. Gregory, ñas suas Exereitationes geometricae, publicadas em 1668, e Mercator, na sua Logarithmotechnia, publicada no mesmo anno, apre-. sentaram os primeiros desenvolvimentos de funccoes em serie ordenada segundo as potencias da variavel, dando o primeiro o desenvolvimento de arctang x, e o segundo o desenvolvimento de log (1 -(- x). Alguns annos depois Newton apresentou, ñas suas cartas a Leibnitz de 13 e 24 de Ou-tubro de 1676, os desenvolvimentos em serie do binomio, do seno, do co-seno o da exponencial.

— 6 —

O primeiro geómetra que deu, porém, urna formula assaz geral para o desenvolvimento das funccócs em serie, foi Joao Bernoulli, que publicou em 1694, ñas Acia eniditorum, um artigo em que apresentou a formula scguinte (Veja-se Opera omnia, t. i, p. 125):

fF(x) dx =xF(x) - ~ x*F' (x) + JJ x*F"(x) -...,

de que fez algumas applicacoes a funccoes particulares, a qual elle tirou da identidade evidente

F(x)dx = [F{x) + xF'{x)) <fe — y (2xF'(x)-\-x'-F"(x)) dx

-f -J^r- (3x*F"(x) + x*F'"(x)) ífo —...

± j !(

-

F(

~ ») (as) -f x" -

Fl

- «(x)) dx

integrando ambos os membros, pondo n = oo,,e determinando a constante arbitraria, introduzida pela integragáo, pela condiíjao de ser nullo o integral

f F(x)dx, quando x — 0.

Analysando esta demonstracao, vé-se que a conclusao tirada pelo cele-bre geómetra é demasiadamente lata, e que o que se pode affirmar é que este desenvolvimento tem logar todas as vezes que a quantidade

tende parazero, quando n tende para o infinito. Assim modificada, é esta demoiistracáo aínda hoje empregada.

3. A serie de Bernoulli, que vimos de considerar, nao está ordenada segundo as potencias da variavel. O primeiro geómetra que apresenton urna formula, que dá immediatamente o desenvolvimento das funecoes em

— 7 —

serie ordenada segundo as potencias da variavel, foi Taylor, que, no seu Methodus incrcmentorum, publicado em 1715, deu para este fim a formula

sem todavía fazer conhecer as condigSes para que este desenvolviménto seja convergente.

O methodo empregado por Taylor, para chegar a esta formula, é fun-dado na theoria das differencas finitas. Esbocado pelo seu author na obra citada, foi depois dcsenvolvidamcnte exposto por Euler ñas suas Institu-tiones calculi diffcrentialis. Eis resumidamente em que consiste este me-thodo.

Sejam A y, Aa y, A' y ... as differencas da funecao y = f(x),

correspon-dentes á differenc.a constante A a? da variavel independente x. Teremos, como se vé por induegao fácil de completar,

. , . , . , , 7A i fc(/c — l)-A a , k(k—1)(/¿—2)

onde k representa um numero inteiro positivo, e onde o numero de ter-mos que entram no segundó membro é igual a le-J- 1; e, pondo k kx = k,

. . . .. , 7, . Aw . h (h —

(A) f{xJrh) = yJhtLJ l

Fazendo tender A x para zcro, ou k para o infinito, vem a formula pedida

Esta demostracao é evidentemente viciosa. Tem, entre outros inconve-nientes, o de se fundar em que o limite para que tende urna somma de parcellas é igual á somma dos limites para que tendem as parcellas,

theo-— 8 theo-—

rema que é verdadeiro quando as parcellas sao em numero finito, mas que nem semprc tem logar quando, como no caso actual, o numero k-\- 1 das parcellas tende para o infinito.

A formula de Taylor nao difiere essencialmente da formula de Bernoul-li, da qual resulta por urna mudanca de nota9ao. Mudando, com effeito, na formula deBernoulli primeiramente F(x) em f (h — x), e depois x em h c h em x-\-h, vem a formula de Taylor. Porisso J. Bernoulli, depois da publicayao da obra de Taylor, reclamou para si a prioridáde da descoberta da formula precedente. (Opera omnia, t. n, p. 584.)

4. Maclaurin, no seu Treatise of Fluxions, publicado em 1742, apre-sentou outra demonstra9ao da formula de Taylor. Admittindo que toda a funcc.áo que tem derivadas de todas as ordens é susceptivel de ser desen-volvida em serie ordenada segundo as potencias de ce:

determinou os coefficientes Ao) At) A^ ... por meio das igualdades

se-guintes:

f'(x) = A

+ 2A,x+ 3 A

x* + ...,

que dao

Achou assim a formula

/ » = f(0) + Xf (0) + y X*f" (0) + ...

ainda hoje conhecida pelo nóme de formula de Maclaurin.

Da formula de Taylor passa-se para esta pondo primeiramente x = 0 e depois mudando h em x. D'esta passa-se para a de Taylor mudando primeiramente f (x) em f (x~\-h) e depois trocando h por ce.'

g

A demonstra9&o que precede tena, entre outros inconvenientes, o de n'ella se suppór estabelecida antecipadamente a possibilidade de a fune-cao ser desenvolvida em serie ordenada segundo as potencias inteiras e po-sitivas da variavel.

5. O inconveniente que vimos de notar na demonstracáo de Maclaurin tem-o tarnbem a demonstracao que Lagrange deu da formula de Taylor n'uma memoria apresentada em 1772 á Academia das Sciencias de Berlin (Oeuvres, t. iu, p. 441). Parte, com effeito, da igualdade

f(x

-f h) = f(x) -f Ah + BK- -f- Ch? -f- ...,

A, B, C,... representando funecoes de x que pretende determinar, e, para isso, muda n'este desenvolvimento x em x -J-1 e h em h-\~l, o que o leva a dois desenvolvimentos, que devem ser idénticos, e que dao, pelo methodo dos coefficientes indeterminados, as quantidades B, C,... Achad'este modo que, pondo por definicao A = f (x), vem B= — f'{x), C== /"'"(ce),etc.

¿j ¿i • O

Foi porém este grande geómetra o primeiro que reconheceu o papel fundamental da formula de Taylor na Analyse, e o que deu os primeiros passos para o estudo das condicoes para o desenvolvimento das funecoes pela serie de Taylor, apresentando na sua Théorie des fondions analyti-ques, publicada em 1797, a formula seguinte:

(1)

onde é

(2)

» =

ljr-0 representando urna funecao desconhecida de n, cujo valor está cbmpre-hendido entre 0 e 1. Quando RH tende para 0, para n = oo, a serie de

Taylor tem logar; no caso contrario nao tem logar.

me-— 10 me-—

thodos, dos quaes vamos dar urna ideia succinta, empregando, para simpli-ficar a exposicao do primeiro, as notacoes do Calculo integral.

O primeiro methodo foi publicado na Théorie des fonctions analyti-ques (Ouvres, t. ix, p. 69).

Pondo

/"(as-f- h) = f{x-\-h — hx) -f- hxf {x + h — hx)

esta igualdade determina urna funecao P d c x ex, que é milla quando x = 0. Derivando os seus dous membros relativamente a z, vem

o que dá

' - ' o

Pondo agora * = 1, obtem-se a formula (1) com a seguinte expressáo do resto Rni

R

= P=

Temos assim urna expressáo do resto da serie de Taylor por meio de um integral definido.

Para d'esta expressáo de RH tirar a formula (2), demonstra Lagrange

um theorema que coincide no fundo com um caso particular do theorema hoje conhecido pelo nóme de primeiro theorema dos valores medios dos in-tegraes definidos. Applicando-o ao integral que entra na expressáo de Rn,

suppondo"para isso que a funecáo fn(x-\-h — h x) é continua no intervallo

de xw= O a x = l , vem

1

hx)dx = — f

{x-\-h — Vh),

11 —

6' representando urna quantidade comprehendida entre 0 e 1. Pondo agora 1 — 8/ = 9, temos finalmente

se a funccao fn (x) fór continua no intervallo (x, x~\-h).

7. • A segunda demonstrac.ao dada por Lagrange das formulas (1) e (2) foi publicada ñas suas Lepons sur le calcul des fonctions (Oeuvres, t. x, p. 85). Esta demonstracao, mais simples e directa do que a anterior, é fun-dada no theorema de Calculo differencial, segundo o qual as funcyoes cres-cem com as varia veis, quando as suas derivadas de primeira ordem sao positivas, e decrescem, quando estas derivadas sao negativas.

Consideremos a serie de expressoes

- (x + h

) - f

-*{x) - /•-' (x) h'-L y

Todas estas expressoes sao nullas quando é h' = 0, exceptuando a primei-ra, e cada urna d'ellas é a derivada da seguinte relativamente a h'; appli-cando, pois, o theorema que vimos de recordar, vé-se que, se a primeira ti ver um signal constante quando h' varia desde 0 até h, todas as outras tém este mesmo signal quando h é positivo, e o signal contrario quando h é negativo. Representando, pois, por Me No maior e o menor dos valores que toma f(x-\-h') quando h' varia desde 0 até h, e dando á L os valores M e N, temos as desigualdades

— 12 —

quando h é positivo, e as desigualdades contrarias, quando h é negativo. Em ambos os casos, tira-se d'estas desigualdades a igualdade seguinte:

~^'

K representando urna quantidade nem superior a M, nem inferior a N. Suppondo agora que a funccao fn (oc) é continua no intervallo de x a

x-\-h, deve existir um numero xit comprebendido entre x e x -f- h, tal que

esta funccao toma o valor K quando x =£C, ('). Como a este numero se pode dar a forma x-\-Üh, 9 representando urna quantidade comprehendida entre 0 e 1, temos

if:=/-"(a!-f 6A).

Substituindo este valor de K na formula anterior, véem as formu-las (1) e (2).

8. Cauchy, no tomo i, pagina 29, dos seus Exereices de Mathématiques, publicados em 1826 (Oeuvres, t. vi da 2.a serie), den urna nova

demonstra-cao das formulas (1) e (2), e partindo de um caso particular d'estas for-mulas, apresentou em seguida urna nova expressao do resto Mn, mais

pro-pria para o estudo do desenvolvimento em serie de algumas funccoes. Applicando, com effeito, á f unccáo de

x-o (x) = f(x-\~h) — /•(*) — (x + h - x)f (*)

a formula

tf (x) + h'f' (x -f- 9/¿),

(') Este principio, considerado por Lagrange como evidente, foi mais tarde demonstrado por Cauchy no seu Cours d'Analyse.

13 —

que resulta das formulas (1) e (2) pondo n' ellas n= 1, e attendendo á igualdade

,, . (x-\-h — %)n~l

obtem a formula de Taylor

(1) f(

com a expressao do resto

(2') Bn=

9. A expressao do resto, que vimos de achar, foi objecto de uma ob-servado interessante de Pringsheim (Mathematische Annalen, t. 44), Mostrou, com effeíto, este geómetra que, apcsar de Q ser funccao de n, é condicáo necessaria para que a serie que resulta de (1) pondo n = oo con-virja para a functjao f (x), que esta expressao de Rn, considerada como

funccao de duas variareis independentes 9 e n, tenda para 0, quando n tende para o infinito e 6 varia entre 0 e 1. Conclue-se d'aqui que o co-nhecimento da funcgáo 6 nada adiantaria a resokifao do problema que tem por fim desenvolver f (x) em serie. A demonstragao d'este theorema, que nao será dada aqui, pode vér-se no trabalho de Pringsheim já citado e n'u-ma nota de E. Pascal, publicada na Rivista di Matemática (Ron'u-ma, 1895). 10. As expressóes do resto da serie de Taylor devidas" á Lagrange e Cauchy sao casos particulares de uma expressao muito geral, dada por Schlomilch primeiramente no seu Handbuch der Differentialrechnung, publicado em 1847-1848, e em seguida n'um artigo publicado no Journal de Liouville (2.a serie, t. m ) , que obteve por meio da igualdade, devida á

Cauchy,

Y (x) representando urna fnncQao que nao seja nnlla no intervallo de x a x -\-h.

— 14 —

Applicando, com effeito, esta igualdade d func9ao considerada no n.° 8

<f

(*)

=

f(x + *) -

f(x)

-(x + h — x)f (x)

(1)

f(x +

h)

= f

z> _ A " ' d e ) "

a qual, sem ter tido outros usos que nao tenham as formulas de Lagrange e Cauchy, tem todavía a vantagem de as contér a ambas, correspondendo urna a p = n e a outra a p = 1.

A formula (2") foi tambem obtida por Eoche, partindo da expressao de En por meio de um integral definido, anteriormente achada (n.° 6),

(Jour-nal de Liouville, 2.a serie, t. ni).

1 1 . Ñas demonstra9oes das formulas (1) e (2), dadas por Lagrange, suppoz-se que a func9&o fn (x) é continua no intervallo de x a x -f- h. A

mesma hypothese se é obrigado a fazer na demonstra9ao das formulas (1) e (2'"), dada no n.° anterior, quando se adopta, para estabelecer a igualda-de (3), a igualda-demonstra9ao que igualda-den Cauchy d'esta formula, pois que n'ella o illustre geómetra suppoe que ce' (z) e Y (z) sao func9óes continuas de * no intervallo de x a x -J- h. O. Bonnet porém, dando urna nova demons-tra9&o da igualdade (3), que s<5 exige que as func9oes cp' (z) e \' (z) sejam finitas e determinadas no intervallo considerado, permittiu que se esten-dessem as formulas (1) e {2'") ao caso de fn (z) ser discontinua, se

toda-— 15 toda-—

via f&r finita e determinada no intervallo (x, x -\- h). Seja F (z) unía funccao que admitte urna derivada F' (z) finita e determinada, no in-tervallo de>z=aaz = a-\~h, e que é nulla nos extremos d'este inter-vallo. Quando % varia desde a até a - j - h, a funccao F (z) deve principiar por crescer (em valor absoluto), para depois decrescer; porisso e por ser continua, deve, no intervallo considerado, passar por um máximo ou por una mínimo negativo ('). Deve, pois, existir um numero x¡ tal que seja F' (%) = 0, quando x = xK, e a este numero, que deve estar comprehendido

entre x e x -f- k, pode dar-se a forma xt = x -f- 0 h (onde 0 << 6 << 1).

O theorema que vimos de demonstrar é conhecido pelo notne de theo-rema de Rolle, por tcr sido dado por este geómetra para o caso particular das funccoes inleiras. Para tirar d'elle a formula (3) basta por

A funccao F(%) é nulla nos pontos z — xaz = x -\-h; logo temos a igualdade

da (pual se tira a formula (3), quando <V(&) é differente de 0 no intervallo 1 2 . Yiu-se nos dous números anteriores que a formula do Taylor, com a expressao do resto dada por Schlómilch, pode ser deduzida do theorema de Rolle por intermedio da formula (3). Hommessliam Cox, n'um artigo publicado no t. vi do Cambridge and Dublin Mathematical Journal, tirou-a directamente d'este theorema, applicando-o á funccao

(') A existencia d'este máximo ou mínimo negativo, que O. Bonnet consi-devava evidente, foi rigorosamente demonstrada por "Weierstrass. (Veja-se, por exemplo, o 1.1 do nosso Curso de Analyse).

— 16 —

que é nulla quando z=x e quando x=x-\-h. Temos, com effeito, a equagao

da qual se tira, pondo ÍC, = ÍC - j - 9A, as formulas (1) e (2'").

E'conveniente observar que a expressao de F(x), de que se partiu, é a que resulta de substituir na expressao de F(z), dada no numero anterior, <s (z) pela expressao dada no num.° 10 e t¡/(z) por {x-\-h — z)p. Logo o

me-thodo que vimos de expor coincide no fundo com o meme-thodo dado nos nú-meros 10 e 11.

13. Fundados nos mesmos principios podemos dar urna formula mui-to geral, qne contem a formula de Taylor (').

Para isso appliquemos a ignaldade

o {x - f h) == o (x) + h <p' (* + OA) á funccao

cp

(*)

= ^ ) +

hf

(X) +

...

+

Y^J f (X)

^

(1) G-. Teixeira: <S?<r une formule d'Analyse. (Nouvelles Anuales de Mafhé-matiques, 3.a serie, t. v.)

— 17 —

Teremos, suppondo n^ I -\-l e m"^ k -\- l e effectuando alguns cálculos simples, a igualdade

F{x+h)-F(x) - hF'

) _ . . . _

_ | L

F* (x)

1.2

onde

/i

se o segundo membro d'esta igualdade se conserva différente do zero quando 0 varia entre 0 e 1.

Pondo n'esta formula"

Fm(x) = 1.2 ... m, Fm (x + U) = 1 . 2 ... m,

obtem-se a formula de Taylor com urna expressao do resto que coincide com a que resulta da formula de Schlomilch (2'") dando a p um valor in-teiro positivo qualquer.

14. Se a funccáo fn (%) fór continua no ponto x, temos

/•» (*

e representando urna quantidade que tende para 0 quando h tende para 0. Podemos porisso, substituindo este valor de f" (x -j- 9 h) na expressao

— 18 —

do resto dada por Lagrange, escrever a formula de Taylor do modo se-guí nte:

Esta formula tem mesmo logar, como mostrou Peano, n'um artigo pu-blicado no t. ix do Maíhesis, quando fn{z) nao é continua no ponto x, se

todavia é n'este ponto finita e determinada. Esta extensao da formula an-terior pode ser tirada muito simplesmente da formula demonstrada no nu-mero 13, como vamos ver.

Mudemos para isso na referida formula m en em n — 1, e ponha-se depois x = 0, 1= n — 2, k^=n — 2. Teremos

r

_2 )

F { h) ~ F(0) - h F ' (0) - . . . - 1 2 A n 2 ) lm~'2 (0)

Áppliquemos agora esta igualdade ás funcfóes

f(h) = » (X +

/*) - cp (X) -hi (X) - ... - f *» (/),

Como é

•«-» (A) = cp"-1 (x - f h) — fn~x (J) — /*?"

— 19 — Mas, em virtude da definiólo de derivada, temos

T W J

onde e representa urna quantidade infinitamente pequeña com h. Logo temos a igualdade

hn Iine

tp (x - f h) — tp (x) — ¿tp' {x) — ... — - ¡ — s — - tp" (a;) =

-r—¿—-da qual se tira a formula pedi-r—¿—-da mu-r—¿—-dando tp em f.

15. Temos até aqui considerado o desenvolvimento de f (x -f- h) gundo as potencias de h. Para achar agora o desenvolvimento de f(x) se-gundo as potencias de x — a, basta desenvolver f (a-\- h) sese-gundo as po-tencias de h e substituir depois h por x — a. D'este modo tiram-se das formulas (1) e (2'") as seguintes:

=

f

)

+

(x

- a) f

(a

das quaes se tira o desenvolvimento de f (x) em serie ordenada segundo as potencias de x — a, quando, n tendendo para oo, Rn tende para 0.

16. Terminaremos o que temos a dizer sobre a serie de Taylor, no caso das variaveis reaes, expondo urna observacíio importante, devida á Cauchy. Fez notar este grande geómetra, ñas suas Lepons de Calcul diffé-rentiel, que, sendo urna funcgáo desenvolvida pela serie de Taylor, pode obter-se um resultado convergente e todavía este desenvolvimento nao re-presentar a funccño que Ihe deu origem. Para dar um exemplo d'este facto

_ 1

apresenta a funccáo e -j-e ** que, sendo desenvolvida em serie, dá o resultado.

1 n*\ Jt z J_

— 20 —

__ 1

que tende para e e nao para e -)- e a . Só quando o resto de

urna serie, obtida pela formula de Taylor, tender para 0 quando n tende para oo, é que podemos affirmar que a serie tem para somma a funccáo. Esta circumstancia mostra claramente a necessidade que ha de considerar o resto no desenvolvimento das funccóes em serie.

Os geómetras que primeiro empregaram a serie de Taylor nao faziam esta discussáo do resto, nem mesmo attendiam, na maior parte das vezes, á questáo da convergencia das series que empregavnm. Muitos resultados verdadeiros foram mesmo obtidos pela serie de Taylor em circumstancias em que esta serie era divergente. Analysando porém o methodo empregado para os deduzir, vé-se que o emprego que faziam da serie de Taylor equiva-lia ao emprego da formula

f(x + h) = f(x) + hf

(Í)

+... +

f

/•» (x) + • *"

1 . 2 . » » ' " ' ' 1 . 2 . . » em questoes em que nao era necessario conhecer s.

17. Por meio da formula de Taylor, com as expressóes do resto dadas por Lagrange e Cauchy, tem-se achado o desenvolvimento em serie de algumas funecoes importantes. A difficuldade que se encontra porém geral-mente em verificarse o resto B,n tende ou nao para 0, quando n tende para

o infinito, limitaría consideravelmentc o uso da serie de Taylor, se Cauchy, fundando-se em methodos de natureza mais elevada, nao tivesse dado o meio de evitar esta discussáo, tirando a possibilidade do desenvolvimento da consideracáo immediata da funccáo. Vamos deduzir o theorema célebre que Cauchy deu para este fim, empregando para isso primeramente o me-thodo por elle seguido, depois o meme-thodo proposto por Riemann, e final-mente o methodo empregado por Weierstrass. Porém, antes d'isso, vamos, conservando-nos ainda no ponto de vista elementar, estender ao caso das funecoes de variaveis complexas o theorema de Taylor e as expressóes do resto obtidas n'este capitulo.

CAPITULO II

E S T U D O D A F O R M U L A D E T A Y L O R N O C A S O D A S F U N C C O E S DE V A R I A V E I S C O M P L E X A S . M E T H O D O E L E M E N T A R

18. A extensáo da formula de Taylor ao caso das funccoes de varia-veis complexas foi feita pela primeira vez por Cauchy, já por um processo elementar, que aquí vamos expór, já por um processo de natureza superior, que será exposto no capitulo seguinte. O processo elementar, a que vimos de nos referir, foi publicado pelo célebre geómetra ñas suas Lepons de Cal-cul differentiel, publicadas em 1829.

Seja

urna funccáo da variavel complexa

x = p (eos w -{- i sen w) = pe¿td,

e supponhamos que x, quando varia, percorre urna recta que passa pela origem das coordenadas e faz um ángulo o> com o* eixo das abscissas, e que F(x) admitte as derivadas Fr (x),..., Fn (x) finitas e determinadas. Teremos,

— 22 —

Supponhamos agora que as derivadas de <p (p) e | (p) até á ordem n — 1 sao millas quando p = 0. As formulas (1) e (2'") no n.° 10 mostram que é, n'este caso

Vem portanto

Applicando agora esta formula á funccao

cujas derivadas até á ordem « — 1 sao millas quando p = 0, vem a formu-la pedida:

Cauchy punha_p = l> mas, como se vé, o seu methodo é applicavel qualquer que seja p.

19. A'expressao de lln, que vimos de achar, pode dar-se urna forma mais propria para a sua applicacao ao desenvolvimento das funccóes em serie. Para isso, basta notar que, por ser Fn (x) = f" (x), temos, repre-sentando poras, e xa_ os valores de x cujos módulos sao 0fp e 6sp,

x

f

e»'» F

(.£,) = p» [<p» (9, p) - f

M

(9, p)j,

— 23 —

Podemos, poís, escrever a expressáo de Rn da maneira seguinté:

*»

i.2...(Li)

[

~ *¿-'

i *" r w

representando por R ] x11 fn (»,) | a parte real de xnfl{x¡)e por j \ xn fn (x,) \

o coefficiente de i na parte imaginaria de xn f(x.¿).

Como porém x¡ e cco representam pontos da recta que passa pela ori

gem das coordenadas e faz o ángulo to com o eixo das abscissas, temos

Logo podemos dar á expressáo de Rn a forma

n

=

1

.

2

...¿_

1 ) J >

[

+ »(1 — 8,)»-* j\x

f

(9,as) ¡ I.

Esta formula foi empregada por Mansión, u'uma memoria publica-da nos Anuales de la Société scientifique de Bruxelles (t. ix, 1885), para achar o desenvolvimento em serie das funccoes elementares ex, (1 - j - £c)m>

l o g ( l + o ; ) , e t c .

20. Mudando f(x) em f(x-\- h), e trocando h por x, pode dar-se ás formulas (1) e (2') a forma

X . j . . . ^í

— 24 —

Liouville (t. II da 3.a serie), apresentou Darboux urna expressáo do resto

da serie de Taylor, no caso das funccoes de variaveis complexas, mais simples do que a precedente e que é a verdadeira extensáo das formulas dadas no capitulo anterior.

Para achar esta expressáo fundou-se o eminente geómetra no seguin-te lemma geométrico:

Se um ponto M descreve urna recta AB, variando sempre no mesmo sentido, e se um ponto m está ligado com M de modo que, quando M des-creve esta recta, o ponto m desdes-creve a curva acb, existe pelo menos urna

ds

posicáo d'estes pontos onde a rasáo - — da differeneial do comprimento do arco da curva para a differeneial do comprimento da recta é igual ou

, ab maior do que - _, .

n AB

Se fosse, com effeito, para todas as posicoes dos pontos considerados ds ab

7 <~~^»

AB'

teñamos, representando por p, e p2 os valores que toma p nos pontos A

e B,

PH ds , ab r9*

J dp r

AB

e portanto

aro acb <C ab, o que é absurdo.

22. Posto isto, sejam

duas funegoes de urna variavel complexa z, continuas em todos os pontos de urna recta que une o ponto correspondente aícao ponto correspondente a x - j - h, e supponhamos que, quando z percorre esta recta, Xt - j - * Yt

per-— 25

corre tambera a recta AB, variando sempre no mesmo sentido, e _X - j - i Y percorre o arco de curva acb.

Por serem a, b, A, B, os pontos correspondentes aos números comple-xos <s (as), <p (as -f- h), <|¿ (ce), <J> (as -f- h), temos

— y (as)

Temos tambem

_ y/ dX*-t-dY* _ dy(z)

d^(z)

Logo, applicando o lemma precedente, vé-se que existe um numero as,, correspondente a um valor de <L (%) representado por um ponto da recta AB, e portanto comprehendido entre x e as -f- h, tal que é

»(x - f h) — y (a;)

e portanto

'p(as-f fe) —cp(as) _} y'(as,)

h representando um numero comple-xo, cujo modulo nao pode ser supe-rior á unidade.

A esta igualdade podemos ainda dar outra forma. Seja KL a recta des-cripta pelo ponto %,K,NGLOS pon-tos correspondentes aos imaginarios as, as, e x-\-h, w o ángulo d'esta recta com o eixo das abscissas, p', p", B, b as distancias OK, OL, ONc CO. Te-remos

Figura 1.»

— 26 — e portante h = (P*— p')e'« xl — mas J2 — p ' < p " logo

9 representando uma quantidade real comprehendida entre 0 e 1; e por con-sequencia

x¡ — ce = 0 _(p" — p') el« == 6A.

Temos pois a igualdade

A formula que vimos de achar dif fére s<5 pelo factor h da formula cor-respondente do numero 10.

2 3 . Pondo

e notando que, se representarmos por p o módulo de %, temos

vé-se que é

X{ - f ¿ F, = i¡> (*) = (p/r — p j í ' e ^ " = (p" — O)P (eospi¿ -f- isenpu),

e portanto

— 27 — e

F, = -3C1 tangjjw.

Logo, quando * descreve a recta KL, i¿ (z) descreve urna recta AB. Podemos, pois, applicar a formula (3) á" funccáo precedente, o que dá

Applicando esta formula á func9áo considerada no numero 10,

—f(x) -

(x

x)

vem a formula de Darboux

f(x +

) = f

) + fe/"(a,) +... + - — ^ - — ^ . - i

) _|_ R

,

hn (] (ñn—p

que é a extensao ao caso das variaveis complexas das formulas (1) e (2'") do numero 10.

24. Mansión, na memoria já citada, deu urna demonstracao puramente analytica do theorema de Darboux. Mais tarde, no seu Resume du Cours d'Analyse, publicado en 1887, deu á expressao de Rn urna outra forma,

que serve para os mesmos fins que a anterior, da qual nao différe essen-cialmente, mas cuja demonstracáo analytica é mais simples e directa.

— 28 -o que dá

R

= BCeos (b -f c) + BDi sen (b -f d) = He

,

representando por H a quantidade

H= [B* C* eos1 (6 + c) - j - B? Z)a sen8

Suppondo agora C > J9, temos H* < 2 52 C2 eportanto H=l, B C\l~2,

onde X, representa um factor positivo igual ou inferior á unidade. Logo

ou

onde | X | "^ 1. E'esta formula que pretendíamos achar.

Se fór D ~> C, demonstra-se o theorema do mesmo modo, pon-do H=\ BD / ¥ .

25. Por meio de qualquer das formulas, que vimos de achar, póde-se obter o desenvolvimento em serie das f unecoes elementares ex, (1 - j - x)k,

log (1 -\-x)..., procedendo como no caso das funecóes de variaveis reaes. Aqui vamos considerar sómente a funecáo (1 -(- x)k, de cujo

desenvolvi-mento temos de usar adiante. Temos n'este caso

I . ú ... a

y-— 29 y-—

1) Se o modulo p de x é menor do que a unidade, a quantidade

1 . 2 . . . (n — 1) P

tende, como é sabido, para 0 quando n tende para o infinito. Além d'isso é

1 — = 1

~7

costo 1

Logo En tende para 0 quando n tende para oo, e o binomio

conside-rado pode ser desenvolvido em serie ordenada segundo as potencias de x pela formula

a = 1

2) Se o módulo p é maior do que a unidade, a serie precedente é di-vergente.

O estudo do caso em que p é igual á unidade nao será aquí feito. A respeito d'elle pode consultar-se a memoria de Abel sobre o binomio

(Oeuvres, t. i) ou aínda os trabalhos de Mansión anteriormente citados. Deve-se observar que, no caso de k ser um numero fraccionario ou um numero irracional, a funccáo (1 -\- x)k tem muitos ramos. A serie

ante-rior dá o desenvolvimento do ramo que se rednz á unidade quando x = 0. Para achar o desenvolvimento dos outros ramos basta attender a que estáo todos comprehendidos na expressáo lft (1 - j - x)k, onde se deve

substi-tuir lk pelos seus diversos valores e (1 -\~ x)k pelo desenvolvimento que

CAPITULO III

CONTINUACAO DO ESTUDO DA SERIE DE TAYLOR, NO CASO D A S F U N C C O E S DE V A R I A V E I S C O M P L E X A S .

METHODO DE CAUCHY.

26. O methodo para o estudo da serie de Taylor, que vamos agora expór, é devido a Oauchy e é fundado n'uma theoria importante, devida a este grande geómetra, da qual elle fez muitas e notaveis applicacóes. Esta theoria, que vamos expor succintamente, foi publicada em 1825 na sua bella e importante Mémoire sur les inté-grales définies prises entre des limites ima-ginaires.

Consideremos urna curva composta de muitos arcos (fig. 2.a) AB,BG,CD,... taes

que, em cada um, a cada valor de x corres-ponda um único valor da ordenada, sejam X a,b,c, d,... as abscissas dos pontos A,B, C,... Fís-2-0 e ytf yi) y., ... funccOés de x, que

represen-tam os valores que toma y respectivamente nos arcos AB, BC, CD,... Cha-ma-se integral curvilíneo de f(x,y) dx tomado ao longo da curva ABCD..., que designaremos por S, e representa-se pela notacáo / f (x, y) dx •&

B

0

somma:

31 —

D'esta defínicáo resulta immediatamente que, se a curva 8 fór des-cripta no sentido DCBA, contrario ao precedente, o integral ao longo d'esta curva conserva o mesmo valor absoluto e muda de signal.

Posto isto, vamos demonstrar o theorema fundamental, devido a Cauchy:

Se na área limitada por urna curva fechada ABO (fig. 3.") as

func-cSes <i (xi y), <\ (%, y), forem continuas

Fig. 3.a

e tiver logar a condicao -— = —~-, o integral de o (x, y) dx -f- ^ (as, ?/) ¿Í/, tomado ao longo da curva considerada, é nidio.

A demonstracáo que Cauchy deu d'este theo-rema é fundada nos principios do Calculo das va-ríacoes. Mais tarde Riemann deu outra demons-tracáo do mesmo theorema, fundada n'um theo-rema importante de Gr. Green, que adiante será estabelecido. Aqui vamos apresentar urna

demons-tracáo mais directa e que é fundada nos principios mais elementares do Calculo integral.

Consideremos primeiramente urna área ABCD (fig. 4.a) limitada por

urna recta AD parallela ao eixo das or-denadas, pelas rectas AB e Z^Cparalle-las ao eixo das abscissas e por urna linha recta ou curva BC, e sejam

cc = ft (s),y—f3(s)

F i g . 4.» A B

as equacóes da linha ABC(f{ e fs

repre-sentando urna funccao ao longo de AB

e outra funccáo ao longo de BC, e s representando o comprimento dos ar-cos d'esta linha, contados a partir do ponto A) e s, o valor que toma s no ponto C.

Integrar a expressáo v(x,y) dx-\-<[ (os,y) dy ao longo de ABC en-tre os pontos A e C, cujas coordenadas sao (*„, y0) e (ÍC,, y,), é procurar

— 32 —

o valor que toma no ponto s a funccáo u das variaveis x e y que satisfaz á condicao

"¿T

+ ~dlj~

'^

Para determinar u, podemos empregar as equacóes

du du , ,

que dao primeiramente

u= e depois

. . . du d P

ou, notando que, co (x,y) e -jS- sendo, para cada valor de y

comprehen-' Q>y

dido entre y0 ey{, func9oes continuas de x e y no intervallo de a;0 a ce, o

theorema de Leibnitz relativa a differenciayáo dos integraes é applicavel ao integral que entra n'esta igualdade,

t/rv.

x J

"'-,y)

dy '

— 33 — e portanto y o Temos pois 9 (y)= I i¿(®a,y)dy. / x

f

«P \0u *1i} CLOu "\" M \jj ICO

"-o í/o

O val&r que toma u no ponto (¿c,, Í/,) é pois igual á quantidade

/ ^ (xo> y) dy + / <p (ÍC, Í/) rfa;.

Analysando esta expressáo, vé-se que a primeira parcella coincide com o resultado que se obtem integrando o (x, y) dx -\- ^ (x. y) dy ao longo de AD, e que a segunda parcella coincide com o resultado que se obtem integrando a mesma expressáo ao longo de DC. Logo temos, represen-tanda por (ABC), (ADC), etc., os integraes da expressáo considerada, tomados respectivamente ao longo de ABC, ADC, etc.

(ABC) = (ADC) = — (CDA),

e portanto

(ABCDA)=0.

Consideremos agora urna área limitada por um contorno qualquer 8. Decompondo-a, por meio de rectas auxiliares, parallelas aos eixos coorde-nados, em áreas parciaes limitadas por contornos St, 83,..., Sk, que

este-jam ñas condicóes que vimos de considerar, temos

t f

x,y) dx-\-í(x,tj) dy}.

Com effeito, no segundo membro d'esta igualdade entram os integraes 3

— 34 —

relativos a todos os lados das figuras em que se decompoz á área dada. Os integraes que eorrespondem ás rectas auxiliares sao dous a dous iguaes e de signal contrario, por ser cada recta descripta duas vezes, cada urna era seu sentido, quando (x, y) descreve os contornos de duas figuras adjacen-tes reunidas pela recta considerada; e os integraes correspondenadjacen-tes ás linhas que fazem parte do contorno S dáo urna somma igual ao primeiro membro d'esta igualdade, por ser S a somma d'estas linhas.

Basta agora attender a que os integraes que entram no segundo mem-bro sao todos millos para concluir que 6

I íf(x>

O theorema que vimos de demonstrar tem applica9oes importantes em Analyse e em Physica mathematica. Aqui vamos inmediatamente appli-cal-o á demonstrac,ao de um theorema relativo ás funegoes de variaveis complexas, por meio do qual Cauchy deduziu a formula de Taylor.

27. Consideremos urna funceño da variavel complexa z = x -\-iy

f(z)=u-\-iv,

onde n ev representam fúnceles de x e y, esupponhamos que esta funecáo admitte derivada. Sabe-se que n'este caso u e v satisfazem ás equacoes

. du dv du dv dy dx' dx dy '

e que, reciprocamente, se u e v satisfazem a estas equacóes, n - j - i v ad-mitte derivada. Sabe-se tambem que esta derivada é dada pela formula

.,. . du | .dv ' dx ' dx

As funegóes que satisfazem a estas condi"9óes sao ás únicas que ha inte-resse em estudar, e dá-se-lhes o nome de f unc9oes monogeneas ou analyticas.

JV — 35 —

A funccüo f(z) pode ter um só valor para cada valor de z ou muitos. No primeiro d'estes casos a funccáo diz-se uniforme ou monodroma. No segundo caso, se considerarmos, para determinar completamente a funccáo, um dos valores que f(z) toma no ponto (fig. 5.a) B como valor inicial, o

valor que a funccáo toma n'um ponto qualquerD da área A, limitada pelo contorno MNP, quando z descreve a curva BCD, deve ser determinado pela condicáo de f(z) variar de urna maneira con-tinua quando z descreve esta curva. Se este valor é sempre o mesmo, qualquer que seja a linha des-cripta pelo ponto z, quando vae de B a D sem sair da área A, a funccáo diz-se ainda uniforme ou monodroma na área considerada. No caso con-trario diz-se multiforme ou polydroma.

Se a funccáo f(z) é monogenea, uniforme e

continua em todos os pontos de urna área A e, alóm d'isso, as derivadas parciaes áe u e v relativamente a x e y sao funccoes continuas d'estas va-riaveis, diremos, com Qauchy, que a funccáo f{z) é synectica na área A. 2 8 . Posto isto, temos por definicáo, representando por S o contorno da área A,

X

f (z) dz— I (tí-f iv) (dx -\- idy

<•* S

= / (udx — vdy)-\-i I (vdx-\-udy).

Je, Js

Fig. 5.»

Se a funccáo f(z) é synectica-na área A, temos tambem, em virtude do theorema demonstrado no numero anterior e das formulas (.¡4),

X

(vdy

udx) =

{udy

vdx) =

e portanto

- 36 —

Podemos pois ennunciar o theorema seguinte:

Se a funccao f(z) for synectiea na área A, limitada por urna curva fechada, o integral de f(z) dz, tomado no longo do contorno da área, é nullo.

Este theorema, publicado por Cauchy eia 1825 na sua Memoria céle-bre socéle-bre os integraes tomados entre limites imaginarios, atraz citada, é a base dos trabalhos d'este eminente geómetra sobre a theoria das funccoes de variaveis complexas. Entre os corollarios que d'elle se deduzem nota-remos os seguintes, de que tenota-remos de fazer uso:

1.° Se a funccao f (x) for synectiea na área limitada por urna curva. exterior.S e pelas curvas interiores c¡,c.,, ..., temos

(' f($dx= f f{x)dx + f

'JS ^ c , ^ c ,

os contornos 8, c, ,c2,... sendo descriptos todos no mesmo sentido. Com cffeito, o contorno fechado (fig. 6.a) EDODEBAHABFE

li-mita urna área na qual a func£áo é sy-nectiea; logo o theorema precedente é applicavel, e temos, representando por F (ED), (DGD), etc., os integraes de f(z) dz tomados ao longo de ED, DGD, etc.

Fig. 6.»

(ED)+(DGD)-\-(DE) + (EB)-\-{BA)

+ (AHA) + (AB) + )BFE) = 0.

Mas

Logo temos

(ED) = - (DE), (BA) = - (AB).

(DGD) -f (EB) -\- (AHA) + (BFE) = 0,

ou

(EFBE) = (DGD) + (AHA),

— 37 —

2° Se f(z) fdr synectica na área limitada por um único contorno S e se a representar um ponto do interior d'esta área, será

' 2m / *

'-'S *~~a

Temos, com effeito, representando por c urna circumferencia de raio p, cujo centro seja o ponto representado por a e que esteja coüocada no in-terior da curva S,

P f{x)dx P f(x)dx

.J

z — a ,j

„ a

Mas, pondo z — a = p elUi, vem

P f(x) dx __ . P K,

Logo, pondo s = f(a - | - p ei<ú) — f(a), temos

f(x)dx

P f(z)dx

.V P

-f tv n / -y rt I /

J z-a J x-a \J

^J

Por ser continua a funeyao f(x), s tende para 0 quando p tende para 0, e temos portanto a formula procurada

P f{x)dz

P f(

)

3.° Se a funecao f{%) fór synectica tía área limitada por um contorno exterior S eporum contorno interior S', e se a representar um ponto do interior d'esta área, é

1W ~~ "ii-n

C L^^L- J_ í IMÉ2L

— 38 —

E'o que resulta dos dous corollarios precedentes, que dao

r f(x)d*

p f(%)d» . r f(*)dz^

29. Se a funccao f(z) é synectica na área limitada pela curva S, te-mos, n'nm ponto qualquer a do interior d'esta área, a igualdade

que dá as derivadas de f(a).

Temos, com effcito, por defin¡9áo

f (a) = Jim

f

'' (a) = / — -I- lim / — -5— —.

,J o [Z a) li = oje \z a) \z a U)

Basta attender agora a que temos, representando por M. o maior valor que toma /"(*)

(z — a)1 [z — a — h) quando z descreve a curva S e notando

que é \d z\ = \dx -\- idy \ = y/ rfa;2 -f-dy* = c?s (s representa o

compri-mento do arco que une o ponto (x,y) ao ponto fixo que se toma para origem dos arcos),

1 c

f{z)dz

<- C

\J

(z-ay(z-a-h) ^J

f(z)

— 39 —

para concluir que a segunda das parcelias que entran! na expressáo de f (a) tende para 0 quando h tende para 0, e que portante temos

(a)--±- í

f{Z

^-Do mesmo modo se acham as derivadas seguintes:

3 0 . Habilitados eotn os theoremas que vimos de demonstrar, podemos agora estender, seguindo Cauchy, a formula de Taylor ao caso das fnnc-95es de variaveis complexas.

Seja f (x) urna íunccáo synectica da variavel complexa x na área limi-tada por um contorno S, sejam a ex dous números representados por doús pontos do interior da mesma íírea e * um numero representado por um pon-to do conpon-torno.

A identidade

rv, ~~Z~ i ~Z* > ~ZT I '" I !vñ * ^ n (,v ~*\

• %XJ A/ rv /*/ sv /%• \sv y¿)

í, substituindo x por x — » e í por * — a,

1 1 x—a , , (x—a)"—1 , (x—á)n

x x j*. a \ /¡v ay i i u a\n i u a)n (x x)

e depois, multiplicando ambos os membros por f(%) dz e integrando ao longo do contorno 8,

— 4b

-Temos porém (números 28 e 29)

X

' '" > 2¿7t/(oO= /

f(x) dz

1-2-n

Logo é

/ (a?) = / {a) - j - (ÍC a) f (a)

-onde

_, {x — a)»

y ,

e

_[^lf*__

x

y

Temos assim a formula de Taylor com urna expressáo do resto da qual Cauchy deduziu, na sua importante Mémoire sur le Calcul des résidus et le Calcul des limites ('), apresentada em 1831 á Academia de Turin, o seguinte theorema, que constitue urna das suas mais bellas descobertas:

Se a funcpüo f (z) 6 synectica na área limitada por urna circunferen-cia, cujo centro é o ponto correspondente a a, e se x representa um ponto qualquer do interior d'esta área, tem logar o desenvolvimento em serie

Supponhamos, com effeito, que S representa urna circumferencia cujo centro é o ponto correspondente a a. Para todos os pontos z do contorno e para todos os pontos x do interior, tem n'este caso logar a desigualdade

I x—a I < I z — a l .

— 41 —

Por outra parte, da desigualdade seguinte, que resulta immediatamente nocao de integral definido,

< •x — a

z— a Z —:X dz

deduz-se, notando, que é\dz\ = \/ dx^ - j - dy? =ds (pondo z=xi-\-iyi)

e representando por M o maior valor que toma

A*)

ereve a circumferenoia S, e por zi o valor que toma z no ponto de 8 mais

próximo do correspondente a a,

SM x — a zi — a

Basta attender agora a que é \x — a] < ! | ^ , — « | para concluir que | Rn | tende para 0 quando n tende para o infinito, e portanto que f(x) pode

ser desenvolvida pela serie de Taylor.

3 1 . Nao nos occnparemos aqui a deduzir as consequencias importan-tes que se tiram d'este theorema nem a mostrar o papel fundamental que elle representa na theoria geral das funcgóes ('). Faremos sámente excep-jáo para o principio seguinte, porque teremos de fazer d'elle uso adiante. Seja f(x) urna funccao synectica na área A limitada por um contorno 8, e procuremos o numero de raizes que a equacáo f(x) = 0 tem no interior d'este contorno.

Sejam a, b, c,... estas raizes e m, n,... os seus graos de multiplicida-de, e representem-se por S', S'r, etc. circumferencias cujos centros sejam

os pontos correspondentes a a, b,... e cujos raios sejam táo pequeños que ellas nao corteen o contorno 8 e cada urna contenha no interior só urna raíz.

(•) Para um estado desenvolvido da theoria geral das func95es"monoge-neas pode consulfcar-se, entre outras obras , a seguinte: A. E. FORSYTH, Theo-ry of Functions of a complex variable, London, 1893.

— 42 Teremos (n.° 28 — 1.°)

P f'(z)dz _ P f'(z)dz P f'(z)dz

?/.c l\z) t/,Q> l\z) don I \z)

s

e, em virtude do theorema anterior,

P , (x — a), Pa (x — a),... representando series ordenadas respectivamente

segundo as potencias de x — a,x — b,..., e a primeira igualdade tendo logar na área limitada pelo contorno .<S', a segunda na área limitada pelo contorno S", etc.

Das igualdades anteriores tira-se

f'{x) _ m . P\

' P(

f(x) x — a

f'(x) n . P\(x — b)

f(x) x-b^~ P

(x — b) '

f'(z)dz _ m P dz _

J ~

m>

f(z) ~ 2i% J

, z — a

f (z) dz _ n

_{dz _ n P dz _}

— 43 —

Esta formula dá o numero de raizes da equaeáo f(x) = 0, contidas no interior do contorno 8, expresso por meio de um integral curvilíneo toma-do ao longo toma-do contorno.

32. Passando agora a considerar os desenvolvimentos ordenados se-gundo as potencias inteiras, positivas e negativas, da variavel, seja f(x) urna funccáo synectica na área annular limitada por ditas circumferencias concéntricas de raio R e R', e sejam x um ponto qualquer do interior d'esta área e a o centro das circumferencias.

Temos n'este caso (n.° 28—3.°)

_ 1 r f{z)dz , 1 P f(z)d

representando por S e S' as circumferencias de raio R G Rr consideradas.

Applicando ao primeiro integral a analyse desenvolvida no n.° 30, vem

Para achar o segundo integral partiremos da igualdade

I 1 • z—a , (g—a)"-1 {z — aY '[

\_x~a* {x—af "i""""' (x—á)n ' {x—a)n (x—z) J

z — x

que dá

P f(z)dz 1 P , 1 P

I — ^ = / f(Z)dZ — -, -77 I

— U onde

R'

Por ser, ao longo de &, \'% — a \ < | x — a \', vé-se, procedendo como se fez no n.° 30 a respeito de Jtn, que | Rnf | tende para 0 quando

n tende para o infinito. Logo temos a formula

onde é

f(*)dz

_

¿

A formula que vimos de achar é conhecida pelo nóme de formula de Laurent e tem uma importancia consideravel na theoria das funccóes. Foi apresentada por este geómetra á Academia das Sciencias de Paris em 1843 e foi objecto de um parecer de Cauchy, onde se indicam diversos modos de a obtér (Comptes rendas, t. xvi).

Pondo % — a = R'eiu>, pode-se ainda exprimir An e Bn por meio de

integraes definidos:

CAPITULO

CONTINUACAO DO ESTUDO DA SERIE DE TAYLOR N O C A S O DAS F U N C C O E S DE V A R I A V E I S C O M P L E X A S .

METHODO DE RIEMANN

33. Seja f(x) = u-\-iv urna funccáo monogenea da variavel comple-xa x = x -f- iy- Já dissemos que as fumases u e v devem satisfazer ás

du dv dv du dy dx' dy dx'

e portanto ás equajóes seguintes, que resultam das anteriores:

d

u - d

n d*v , d

v

!x

~T~~d~f~ ' 'dw

~T"dy~

Ás propriedades das func9óes monogeneas podem, pois, ser tiradas das propriedades das func9óes que satisfazem á equa9áo ás derivadas parciaes de segunda ordem

d*Z . d'Z

(2)

+

— 46 —

Para ver como por este methodo, proposto por Riemann ('), se obtem a formula de Taylor e o theorema de Caúchy demonstrado no n.° 30, va-mos estudar algumas propriedades das funccoes harmónicas das quaes te-remos de fazer uso (2).

34. Para estudar as propriedades das funcgóes que satisfazem ás equa§5es (2) fundou-se Riemann n'um theorema importante, publicado em 1828 por G. Green, que vamos primeiramente demonstrar.

Consideremos o integral duplo seguinte, referido a urna área A limitada por urna curva que nao possa ser-cortada em mais de dous pontos pelas rectas parallelas aos eixos das coordenadas:

p p rfi p

*

I I f{x,y)dxdy= I dy I f(x,y)dx,

^ rJ A *'a dx.

onde x{ = 9, (y), xt = 92 (y) sao as

equa-9oes (fig. 7.a) dos arcos MQPe MNP da

curva, que limita A, e a, b sao as ordena-das dos pontos M e P, onde as ordenaordena-das silo mínima e máxima; e seja

Fig. 7,«

* G representando urna constante arbitaria. Teremos ,

f ff{x,y)dxdy=^ f F(x

,y)dy— f F{x

,y)dy.

'J ^A

a °a

(') Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer verander-líchen complexen Grosse, 1851.

{') Para um estudo mais completo das funches harmónicas veja-se

47

Por outra parte, representando por S a curva que limita A e attenden-do á dcfinicáo de integral curvilíneo dada no n.° 26, temos tambem

f F(x,y)dy = f F{

,y)dy+ f F(x,,y)dy,

o integral sendo tomado ao longo d'esta curva n'um sentido tal que A fique á esquerda de um observador que percorra o seu contftrno (sentido a que se dá o nóme de directo ou positivo).

D'estas igualdades resulta a formula

(o)

í ff{x,y)dxdy = í f

f'

dxdy= í ^F{x,y) dy.

Do mesmo modo se demonstra a formula

(b) f ff(x,y)dxdy= f f

^'

dxdy=- f F

f

(x,y)dx,

s

suppondo que o contorno S é, aínda descripto no sentido directo.

As formulas precedentes podem ser estendidas ao caso de A ter urna forma differente da que vimos de considerar. Decompondo A em outras figuras At, As, A,,... cujos contornos nao sejam cortados pelas rectas

pa-rallelas a eixos coordenados eni mais de dous pontos, estes contornos sao formados por porcoes do contorno A, as quaes representaremos por £„ /S4,... e pelas linhas auxiliares empregadas para fazer a descomposicáo de

A ñas figuras A,, A,,..., as quaes representaremos por s¡, s2,... Logo

te-mos, suppondo que os contornos Att At,... sao descriptos no sentido

di-recto,

/ / f{x,y)dxdy = Z I I f(x,y)dxdy

'J ¿A rJ rJAi

— 48 —

E'fácil porém de ver que cada linha s¡,si,... é descripta duas vezes, urna

em cada sentido, quando sao descriptos os contornos de duas áreas separa-das por esta linha; portante, a cada parcella da somma 2 / f{x> y) dy c responde outra ignal e de signal contrario, esta somma é nulla e temos

cor-/ cor-/ f{x,y)dxdy = Z I F{x,ij)dy = I F{x,y)dy.

tJ '-'A 'JSi 'JS

35. As formulas (a) e (¿) sao as formulas de Green, que pretendíamos achar. Antes de as applicar ao estudo das funcyoes harmónicas, observa-remos que Eiemann tirou d'ellas o theorema de Cauchy demonstrado no n.° 26, applicando-as ás funccoes -^- e —*-. ~Vem, com effeito,

I r y dx dy '

jüs

dxdy

- f j ^

d

v> f f

A

e portanto

ff

A

(^-^)

dxdy==

f t? (*' *>

dx

Basta attender agora a que as funccóes u e <J* consideradas no n.° 26 sa-tisfazem por hypothese a condicao -— = —-, para se obter a igualdade

/ [<? («, y) dx -f- ty (ce, y) dy] = 0,

que pretendiamos demonstrar.

36. Passando agora ao estudo das funcc.oes harmónicas, vamos primei-ramente achar, fundados ñas formulas de Green, urna expressao d'estas funccóes por meio de um integral curvilíneo.

— 49 —

Sejam U e V duas funccoes de x e y continuas, assim como as suas derivadas parciaes de primeira ordem, na área A, limitada por um contor-no 8. Applicando o theorema de Green á funccao

dU dV . dU dV . TT, <* , . . — L _ •• ••— i— — I — f ^ j I — » i •

dx dx dy dy

r r (

i

,J J. \dx dx ' dy dy

dV , dV , \ P r rr

-d^

-ly-

)-J J

e portante, se Vrepresentar uma funcgáo harmónica,

P P ídU dV . dU dV\, , PTTÍdVj dV j \

I I (~i—i—\--r--y—)dxdy:= I u(-j~dy—T~dx

)-J )-J

\dx dx ' dy dy J

J

\dx

dy /

Do mesmo modo se acha, U representando uma funccao harmónica, , dü d

D'esta igualdade e da anterior resulta a seguinte:

<•>

que dá; pondo Z7= 1} visto que 1 é unía solusáo da equa§áo (2),

— 50

-Se a área A fór limitada por um contorno exterior G (fig. 8.a) e por um

contorno interior c, teremos, applicando a formu-la (3) ao contorno único BCDBAFEAB, e re-presentando por (BCDB), (BA), etc. os inte-graes da funccáo que entra em (3), tomados res-pectivamente ao longo de BGDB, BA, etc.,

(BCDB) -f (BA) -f- (AFEA) + (AB) = 0,

ou, por ser (BA) = — (AB),

(B CDB) -f (A FIJA) = 0,

(BCDB) = (AEFA).

Fig. 8.» _OU

Porisso, suppondo que os contornos C e c sao descriptos no sentido indi-cado pelas flechas, podemos escrever a igualdade

I \U\-r-dy 3— dx\ — V[—r- dy — dx)\

J

L \dx

dy ) \dx

dy ) \

P \

(dV dV \

/dU . dU , Y]

= I \U[-r—dy — -j— dx)—Fí-r— dy r—dx) \.

_{J. L \dx}

9

dy \dx

dy ) \

É fácil verificar que a fune§ao

U=logz,

onde

— b)',

satisfaz á equagáo (2), e portante que a funccáo log z é harmónica. A for-mula anterior dá porisso, suppondo que o ponto (a, b) está no interior da curva c, (5)

P Y. (dV , dV , \

J

L ° \dx * dy )

(—^r

\ dx

d\ogz

dy

)]

J \ \dx

dy

¿

— 51

-37. Tomemos agora para contorno interior e uma circumferencia de raio p e centro (a, b), e supponhamos que a funccáo Ve suas derivadas parciaes de primeira ordem sao funccóes continuas de x e y. Teremos, pondo

x = a-\-$ cosí, y = b-\- p sen/,

e attendendo á formula (4),

(6)

J

e

^

z

\-d^

dy

--a

J

\ dx dy

Vdt.

o

Tornando explícitas as variaveis x e y que entram en V, podemos subs-tituir Fpor V(x,y) e temos, applicando o primeiro theorema dos medios valores dos integraes definidos,

p

Vdt= I F(a + p eos f,ft + p sen

'Jo

= 2izV(a-\- p cosí,, b-^-psent^dt,

tt representando um numero comprehendido entre 0 e 2n. A igualdade

an-terior dá portante

52 —

D'esta igualdade e das igualdades (5) e (6) tira-se finalmente a formula seguinte:

que dá os valores da funccáo harmónica V expressos por meio de um in-tegral definido e que representa no methodo de Riemann o mesmo papel que a igualdade (Z?) do n.° 28 representa no methodo do Cauchy.

38. Para dar um segundo passo para a resolucáo da questáo que esta-mos considerando, vaesta-mos tirar d'esta formula outra que dé os valores de V expressos por um integral definido ordinario. Para isso vamos porém pri-meiramente demonstrar um lemma de que teremos de fazer uso.

Consideremos um circulo de cen-tro O e raio B (fig. 9.a), e seja A um

ponto collocado no interior d'este cir-culo, cujas coordenadas sao a e b.

Vejamos se existe um ponto B, ex-terior ao circulo, tal que seja constan-te, para todos os pontos da

circunfe-rí If rencia, a razao _BM'

lg" •* Representando por a e ¡3 as

coor-denadas do ponto B, por x e y as do ponto M e por c2 urna constante,

te-remos

BM ¿i

e portanto, sendo 0 a origem das coordenadas,