Transmissão de Calor Problemas 1, 3, 4 e 9 (Resolução Completa)

(1)

Transmiss˜

ao de Calor – Problemas 1, 3, 4 e 9

(Resolu¸

c˜

ao Completa)

1. Considere condu¸cão de calor unidimensional numa parede plana, em regime estacionário, sem gera¸cão interna de energia térmica e com condutibilidade térmica (k) constante. Nestas condi¸cões, impondo as temperaturas T (x = x0,ref) = Tmax e T (x = xL,ref) = Tmin (< Tmax) e considerando

k = kref obtém-se a distribui¸cão de temperaturas apresentada na figura (“Referência”) e o fluxo de

calor correspondente ´e dado por q00_x,ref = q00_x,refi. Considerando q00_x,ref e Tmax (temperatura m´axima

Problema 1

na parede) para os Casos 1–3 (ver figura), indique, justificando: (a) qual dos perfis apresentados para o Caso 1 ´e obtido se k > kref;

Resolu¸c˜ao: q_x00 = q_x,ref00 ⇔ kdT dx = kref dT dx ref ⇔ ⇔ kref k = dT /dx (dT /dx)_ref < 1 ⇔ dT dx < dT dx ref (1)

(2)

Perfil A.

(b) qual dos perfis apresentados para o Caso 2 ´e obtido se L < Lref(= xL,ref − x0,ref); e

Resolu¸c˜ao: q00_x = q_x,ref00 ⇔kdT dx =kref dT dx ref ⇔ ⇔ dT dx = dT dx ref (2)

Dos três perfis apresentados para o Caso 2, o único que respeita dT /dx = (dT /dx)_ref é o Perfil B.

(c) qual dos perfis apresentados para o Caso 3 ´e obtido se q00_x = −q00_x,ref. Resolu¸c˜ao: q00_x = −q_x,ref00 ⇔kdT dx = −kref dT dx ref ⇔ ⇔ dT dx = − dT dx ref (3)

Dos três perfis apresentados para o Caso 3, o único que respeita dT /dx = − (dT /dx)_ref é o Perfil C.

(3)

3. Uma superf´ıcie plana com uma ´area de 2 m2 _{(A) e temperatura de 350 K (T}

s) ´e arrefecida

convec-tivamente por diferentes fluidos (em diferentes regimes de convec¸c˜ao) mas com uma temperatura constante e igual a 300 K (T∞). Com base nos dados apresentados na tabela, determine as

maio-res e menomaio-res taxas de transferˆencia de calor que poder˜ao ser obtidas durante o processo de Problema 3

Aplica¸cões Coeficiente de Conveçcão (h [W m−2K−1]) – Gama T´ıpica Conveçcão Natural Gases 2 − 25 L´ıquidos 50 − 1000 Conveçcão For¸cada Gases 25 − 250 L´ıquidos 50 − 20000 arrefecimento para: (a) conveçcão natural; e

Resolu¸c˜ao:

Considerando a taxa de transferˆencia de calor calculada a partir da lei de arrefecimento de Newton tem-se:

qconv = hA (Ts− T∞) (4)

onde, A = 2 m2, Ts = 350 K e T∞ = 300 K. O coeficiente de transferˆencia de calor por

conveçcão (ou simplesmente “coeficiente de conveçcão”), h, é obtido directamente da tabela. Uma vez que qconv ∝ h (ver Equa¸cão (4)), as maiores (menores) taxas de transferência de

calor para cada regime são obtidas para os maiores (menores) coeficientes de conveçcão. A tabela mostra que independente do regime de conveçcão (conveçcão natural ou for¸cada) os valores m´ınimos (máximos) para o coeficiente de conveçcão são observados para os gases (l´ıquidos).

Substituindo os valores correspondentes na Equa¸c˜ao (4), obtˆem-se as respostas pretendidas. hmin = 2 W m−2K−1 ⇒ qconv,min = 2 × 2 (350 − 300) ⇔ qconv,min = 200 W (5)

hmax = 1000 W m−2K−1 ⇒ qconv,max = 1000 × 2 (350 − 300) ⇔ qconv,max= 1 × 105W (6)

(b) conveçcão for¸cada. Resolu¸cão:

Seguindo o mesmo procedimento da al´ınea anterior, tem-se:

hmin = 25 W m−2K−1 ⇒ qconv,min = 100 × 2 (350 − 300) ⇔ qconv,min = 2500 W (7)

hmax= 20000 W m−2K−1 ⇒ qconv,max= 20000 × 2 (350 − 300) ⇔

⇔ qconv,max= 2 × 106W

(4)

4. Uma placa plana tem uma superf´ıcie isolada e a outra exposta ao sol. A superf´ıcie exposta ao sol absorve radia¸cão à taxa de 800 W m−2 (Gabs_sol) e perde calor por conveçcão para o ar ambiente e por radia¸cão para as superf´ıcies envolventes. Considere a emissividade da superf´ıcie exposta ao sol () igual a 0.8 e o coeficiente de conveçcão do ar ambiente (h) igual a 12 W m−2K−1. Se a temperatura do ar ambiente (T∞) e a temperatura das superf´ıcies envolventes (Tsur) forem iguais

a 40◦C e 20◦C, respectivamente, determine a temperatura da placa (Tp) em regime estacion´ario.

Resolu¸c˜ao:

Aplicando um balan¸co de energia `a placa tem-se: ˙

Ein− ˙Eout+ ˙Eg = ˙Est (9)

A Equa¸c˜ao (9) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:

como o regime é estacionário – não existem varia¸cões temporais de temperatura (i.e., dT /dt = 0) –, o termo de acumula¸cão de energia térmica no interior da placa, ˙Est

(= ρV c dT /dt), ´e nulo; e

uma vez que no interior da placa não há gera¸cão de energia térmica (resultante da con-versão de outra forma de energia, como eléctrica, qu´ımica, ou nuclear), o termo ˙Eg é

nulo.

Considerando estas hipóteses simplificativas, a Equa¸cão (9) dá origem à Equa¸cão (10). ˙

Ein= ˙Eout (10)

Os termos ˙Ein e ˙Eout (Equa¸cão (10)) são obtidos considerando as respectivas contribui¸cões de

transferência de energia energia térmica (calor) através da superf´ıcie da placa exposta ao sol (ver figura), tal como as Equa¸cões (11) e (12) descrevem.

˙

(5)

˙ Eout = A   h (Ts− T∞) | {z } q00 conv + σ T_s4− Tsur4 | {z } q00_rad    (12)

Na Equa¸cão (12), q_conv00 e q00_radcorrespondem aos fluxos de calor convectivo e radiativo na superf´ıcie da placa exposta ao sol. Considerando as Equa¸cões (11) e (12), a Equa¸cão (10) pode escrever-se de acordo com a Equa¸cão (13).

AGabs_sol = Aq_conv00 + Aq_rad00 ⇔ Gabs_sol = h (Tp− T∞) + σ Tp4− T 4 sur ⇔ ⇔ 800 = 12 [Tp− (40 + 273,15)] + 0,8 × 5,67 × 10−8Tp4− (20 + 273,15) 4_⇔ ⇔ −4,536 × 10−8T_p4− 12Tp+ 4892,79 = 0 ⇒ Tp ≈ 350,6 K (77,5◦C) (13)

Note que nas expressões para os fluxos de calor radiativo e convectivo (Equa¸cão (13)), a tem-peratura da superf´ıcie da placa que troca calor com exterior (variável Ts na Equa¸cão (12)) é

substitu´ıda pela temperatura da placa (Tp) uma vez que toda a placa se encontra `a mesma

temperatura (Tp = Ts). A condi¸c˜ao de placa isot´ermica deve-se ao facto de uma das superf´ıcies

(6)

9. Considere condu¸cão de calor numa placa rectangular em regime estacionário. A superf´ıcie x = 0 é aquecida electricamente com um fluxo de calor q00₀ . A superf´ıcie x = a é mantida à temperatura T0. A superf´ıcie y = b é mantida isolada. A superf´ıcie y = 0 dissipa calor por conveçcão para

um meio à temperatura T∞ e com um coeficiente de conveçcão h. A condutibilidade térmica do

material é uniforme e não há gera¸cão interna de energia. Formule o problema de condu¸cão de calor, estabelecendo a equa¸cão que rege a distribui¸cão de temperaturas na placa e as condi¸cões de fronteira.

Resolu¸c˜ao:

A figura seguinte apresenta uma representa¸cão esquemática do enunciado. No interior da placa plana o mecanismo de transporte de calor é exclusivamente difusivo (condu¸cão de calor).

A forma geral da equa¸cão de difusão de calor – equa¸cão que governa a distribui¸cão (espacial e temporal) de temperaturas em meios homogéneos e sem contribui¸cão advectiva (movimento macroscópico de fluidos) obtida através da aplica¸cão do princ´ıpio da conserva¸cão de energia considerando o transporte de calor no interior do meio exclusivamente por difusão (condu¸cão) – é descrita pela Equa¸cão (14).

∇ · (k∇T ) + ˙q = ρcp

∂T

∂t (14)

Para coordenada cartesianas (x, y, z), o primeiro termo do primeiro membro da equa¸cão anterior corresponde aos três primeiros termos do primeiro membro da Equa¸cão (15).

∂ ∂x k∂T ∂x + ∂ ∂y k∂T ∂y + ∂ ∂z k∂T ∂z + ˙q = ρcp ∂T ∂t (15)

(7)

1. como o problema é bidimensional (no plano (x, y)) desprezam-se gradientes de tempera-tura (fluxos de calor) na direçcão ortogonal (direçcão z) e, consequentemente, o termo ∂/∂z (k∂T /∂z) é nulo.

2. como o regime é estacionário, a temperatura não tem dependência temporal (i.e., ∂T /∂t = 0) e, assim, o único termo do segundo membro da equa¸cão, ρcp∂T /∂t, é nulo.

3. uma vez que não existe gera¸cão de energia térmica no interior da placa, o quarto termo do primeiro membro da equa¸cão, ˙q, é nulo.

4. como a condutibilidade térmica k é constante em todo o dom´ınio da placa, ∂k/∂x = ∂k/∂y = 0 e, consequentemente, a equa¸cão que governa a distribui¸cão de temperaturas na placa não vai apresentar dependência de k.

Com as simplifica¸cões descritas, a Equa¸cão (15) resulta na Equa¸cão (16). ∂2_T

∂x2 +

∂2_T

∂y2 = 0 (16)

A Equa¸cão (16) governa a distribui¸cão de temperaturas no interior da placa. Contudo, a tempe-ratura particular em cada ponto da placa T (x, y) depende da intera¸cão da placa com o ambiente envolvente através das fronteiras da placa. Estas intera¸cões são consideradas matematicamente através da defini¸cão de condi¸cões de fronteira. De acordo com o enunciado do problema, as quatro fronteiras da placa (x = 0, x = a, y = 0 e y = b) estão sujeitas a diferentes condi¸cões térmicas, como as condi¸cões de fronteira descrevem em seguida.

x=0: −k∂T ∂x x=0 = q₀00 (17)

A Equa¸cão (17) representa uma condi¸cão de fronteira de Segundo Tipo (ou de Neumann ou, simplesmente, de fluxo imposto). Esta equa¸cão indica que o fluxo de calor através da superf´ıcie x = 0 é igual a q00₀.

x=a:

T (x = a, y) = T0 (18)

A Equa¸c˜ao (18) representa uma condi¸c˜ao de fronteira de Primeiro Tipo (ou de Dirichlet ou, simplesmente, de valor imposto).

y=0: −k∂T ∂y _y=0 = h [T∞− T (x, y = 0)] (19)

A Equa¸cão (19) representa uma condi¸cão de fronteira de Terceiro Tipo (ou de conveçcão). Esta equa¸cão indica que o fluxo de calor que atravessa a surperf´ıce y = 0 é igual o fluxo de calor removido por conveçcão.

y=b: ∂T ∂y y=b = 0 (20)

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Esta condi¸cão de fronteira (Equa¸cão (20)) é um caso particular das condi¸cões de fronteira de Segundo Tipo (ver Equa¸cão (17)) uma vez que especifica que o valor do fluxo imposto é nulo – ou seja, não existe transferência de calor através da superf´ıcie y = b (superf´ıcie adiabática).

A figura seguinte apresenta distribui¸cões de temperatura (primeira linha) e vectores de fluxo de calor, q00(segunda linha) para o problema em questão considerando as condi¸cões apresentadas – parâmetros geométricos (a e b), condutibilidade térmica (k), fluxo imposto em x = 0 (q₀00), tem-peratura imposta em x = a (T0) e temperatura do fluido (T∞). Três casos são apresentados

refe-rentes a diferefe-rentes valores para o coeficiente de conveçcão (h) – h = {10; 100; 1000} W m−2K−1. A temperatura no interior das placas é calculada recorrendo à equa¸cão ∇2_{T = 0 (Equa¸c˜}_{ao (16)).}

O aumento do coeficiente de conveçcão promove um aumento da remo¸cão de energia térmica (calor) através da superf´ıcie y = 0. Como consequência, as temperaturas na placa diminuem, sendo esta diminui¸cão particularmente vis´ıvel nas proximidades da superf´ıcie y = 0. Repare que como a superf´ıcie y = b é adiabática as isolinhas de temperatura (linhas de temperatura cons-tante) são perpendiculares a esta superf´ıcie. (Os vectores de fluxo de calor são perpendiculares `

as isolinhas de temperatura.) Assim, em y = b os vectores de fluxo de calor têm componente nula segundo y (q00_y = 0) o que respeita a respectiva condi¸cão de fronteira (Equa¸cão (20)). Consi-derando o valor mais baixo para o coeficiente de conveçcão (h = 10 W m−2K−1), verifica-se um caminho preferencial para a transferência de calor da superf´ıcie x = 0 para a superf´ıcie x = a (ver isolinhas de temperatura e vectores de fluxo de calor).

(9)

Considere uma parede (plana, cil´ındrica ou esférica) representada nas seguintes figuras (Caso A e Caso B). A dimensão espacial de referencia, ξ, corresponde a x (ou a qualquer outra direçcão cartesiana – y ou z) para paredes planas e a r para sistemas radiais (paredes cil´ındricas e esféricas). Considere que duas das superf´ıcies da parede estão submetidas a trocas de calor por conveçcão devido ao contacto destas com fluidos adjacentes – superf´ıcies ξ = ξ1 e ξ = ξ2. A

´

unica diferen¸ca entre os dois casos é o sentido do eixo ξ. As condi¸cões de fronteira em cada uma das superf´ıcies dependem da orienta¸cão do eixo ξ em rela¸cão à parede (compare as Equa¸cões (21) e (23) e as Equa¸cões (21) e (23)). Caso A ξ = ξ1: −k∂T ∂ξ ξ=ξ1 = h [T∞− T (ξ = ξ1)] (21) ξ = ξ2: −k∂T ∂ξ ξ=ξ2 = h [T (ξ = ξ2) − T∞] (22) Caso B ξ = ξ1: −k∂T ∂ξ ξ=ξ1 = h [T (ξ = ξ1) − T∞] (23) ξ = ξ2: −k∂T ∂ξ ξ=ξ2 = h [T∞− T (ξ = ξ2)] (24)

(10)

Repare que a condi¸cão de fronteira em y = 0 (Equa¸cão (19)) corresponde à mesma condi¸cão de fronteira em ξ = ξ1para o Caso A (Equa¸cão (21)) ou em ξ = ξ2 para o Caso B (Equa¸cão

(24)).

Se se considerasse em y = b trocas de calor por conveçcão (em vez de se considerar esta superf´ıcie como perfeitamente isolada – adiabática) a condi¸cão de fronteira correspondente seria semelhante à observada em ξ = ξ2 para o Caso A (Equa¸cão (22)) ou em ξ = ξ1 para

o Caso B (Equa¸c˜ao (23)), ou seja, seria descrita pela Equa¸c˜ao (25). −k∂T ∂y y=b = h [T (x, y = b) − T∞] (25)