cálculo III
Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz
Disciplina na modalidade a distância 2a edição revista e atualizada
Design instrucional
Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual
Avenida dos Lagos, 41
Cidade Universitária Pedra Branca Palhoça – SC - 88137-100 Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 E-mail: [email protected] Site: www.virtual.unisul.br Reitor Unisul
Gerson Luiz Joner da Silveira Vice-Reitor e Pró-Reitor Acadêmico
Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Fabian Martins de Castro Pró-Reitor Administrativo Marcus Vinícius Anátoles da Silva Ferreira
Campus Sul
Diretor: Valter Alves Schmitz Neto Diretora adjunta: Alexandra Orsoni
Campus Norte
Diretor: Ailton Nazareno Soares Diretora adjunta: Cibele Schuelter Campus UnisulVirtual Diretor: João Vianney Diretora adjunta: Jucimara Roesler
Equipe UnisulVirtual
Avaliação Institucional Dênia Falcão de Bittencourt Biblioteca
Soraya Arruda Waltrick Capacitação e Assessoria ao Docente
Angelita Marçal Flores (Coordenadora) Caroline Batista Elaine Surian
Enzo de Oliveira Moreira Patrícia Meneghel Simone Andréa de Castilho
Coordenação dos Cursos Adriano Sérgio da Cunha Aloísio José Rodrigues Ana Luisa Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco Bernardino José da Silva Charles Cesconetto Diva Marília Flemming Eduardo Aquino Hübler Fabiano Ceretta Itamar Pedro Bevilaqua Janete Elza Felisbino Jucimara Roesler Lauro José Ballock Lívia da Cruz (auxiliar) Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo
Luiz Otávio Botelho Lento Marcelo Cavalcanti Maria da Graça Poyer
Maria de Fátima Martins (auxiliar) Mauro Faccioni Filho
Michelle Denise Durieux Lopes Destri Moacir Fogaça
Moacir Heerdt Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Rose Clér Estivalete Beche Raulino Jacó Brüning Rodrigo Nunes Lunardelli Criação e Reconhecimento de Cursos
Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Desenho Educacional Daniela Erani Monteiro Will (Coordenadora)
Design Instrucional Ana Cláudia Taú
Carmen Maria Cipriani Pandini Carolina Hoeller da Silva Boeing Flávia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Leandro Kingeski Pacheco Luiz Henrique Queriquelli Lívia da Cruz Lucésia Pereira Márcia Loch Viviane Bastos Viviani Poyer Acessibilidade
Vanessa de Andrade Manoel Avaliação da Aprendizagem Márcia Loch (Coordenadora) Cristina Klipp de Oliveira Silvana Denise Guimarães
Design Visual
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (Coordenador)
Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Evandro Guedes Machado Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Pedro Paulo Alves Teixeira Rafael Pessi
Vilson Martins Filho Disciplinas a Distância Enzo de Oliveira Moreira (Coordenador) Gerência Acadêmica Márcia Luz de Oliveira Bubalo Gerência Administrativa Renato André Luz (Gerente) Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa e Extensão
Ana Paula Reusing Pacheco Gerência de Produção e Logística
Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)
Francisco Asp
Logística de Encontros Presenciais
Graciele Marinês Lindenmayr (Coordenadora)
Aracelli Araldi Cícero Alencar Branco Daiana Cristina Bortolotti Douglas Fabiani da Cruz Fernando Steimbach Letícia Cristina Barbosa Priscila Santos Alves Formatura e Eventos Jackson Schuelter Wiggers Logística de Materiais Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) José Carlos Teixeira Eduardo Kraus
Monitoria e Suporte Rafael da Cunha Lara (Coordenador) Adriana Silveira Andréia Drewes Caroline Mendonça Cláudia Noemi Nascimento Cristiano Dalazen Dyego Helbert Rachadel Edison Rodrigo Valim Francielle Arruda Gabriela Malinverni Barbieri Jonatas Collaço de Souza Josiane Conceição Leal Maria Eugênia Ferreira Celeghin Maria Isabel Aragon
Priscilla Geovana Pagani Rachel Lopes C. Pinto Tatiane Silva
Vinícius Maykot Serafi m Relacionamento com o Mercado
Walter Félix Cardoso Júnior Secretaria de Ensino a Distância
Karine Augusta Zanoni Albuquerque (Secretária de ensino)
Ana Paula Pereira Andréa Luci Mandira Andrei Rodrigues Carla Cristina Sbardella Deise Marcelo Antunes Djeime Sammer Bortolotti Franciele da Silva Bruchado James Marcel Silva Ribeiro Janaina Stuart da Costa Jenniff er Camargo Lamuniê Souza Liana Pamplona Luana Tarsila Hellmann Marcelo José Soares
Marcos Alcides Medeiros Junior Maria Isabel Aragon
Olavo Lajús
Priscilla Geovana Pagani Rosângela Mara Siegel Silvana Henrique Silva Vanilda Liordina Heerdt Vilmar Isaurino Vidal Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tecnologia
Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coordenador)
Jeff erson Amorin Oliveira Marcelo Neri da Silva Pascoal Pinto Vernieri
SumárIo
Apresentação . . . . 5
Disciplina Cálculo III . . . . 7
Palavras das professores . . . . 9
Plano de estudo da disciplina . . . . 11
Unidade 1 Funções de várias variáveis . . . . 15
Unidade 2 Limite e continuidade . . . . 49
Unidade 3 Derivadas de funções de várias variáveis . . . . 81
Unidade 4 Máximos e mínimos . . . . 127
Unidade 5 Integrais múltiplas . . . . 159
Unidade 6 Aplicações . . . . 209
Para concluir o estudo . . . . 243
Referências . . . . 245
Sobre as professoras conteudistas . . . . 246
Este livro didático corresponde à disciplina Cálculo III .
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autôno-ma, abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma linguagem que facilite seu estudo a distância .
Por falar em distância, isto não significa que você estará sozinho/a . Não se esqueça de que sua caminhada nesta disci-plina também será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual . Entre em contato sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Es-paço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA) . Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo/a, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo .
Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual .
cálculo III
Díva Marília Flemming Elisa Flemming Luz
Programa da Disciplina
Unidade 1 Funções de várias variáveis Unidade 2 limite e continuidade
Unidade 3 Derivadas de funções de várias variáveis Unidade 4 máximos e mínimos
Unidade 5 Integrais múltiplas Unidade 6 Aplicações
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F62 Flemming, Diva Marília
Cálculo III : livro didático / Diva Marília Flemming, Elisa Flemming Luz ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes, [Carolina Hoeller da Silva Boeing]. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2008.
324 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-7817-061-5
1. Cálculo. I. Luz, Elisa Flemming. II. Nunes, Karla Leonora Dahse. III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva. IV. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Edição - Livro didático
Professores ConteudistasDiva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes Carolina Hoeller da Silva Boeing
(2a edição revista e atualizada)
Capa Equipe UnisulVirtual Projeto Gráfico e Diagramação
Daniel Blass Revisão
B2B
Copyright © UnisulVirtual 2008 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
pAlAvrAS DAS
proFeSSoreS
Já estamos avançando em uma caminhada que iniciou com a sua decisão de fazer o curso de Matemática na modalidade a distân-cia . Sabemos que para cursar a disciplina de Cálculo III foi ne-cessário passar pelo Cálculo I e II, portanto, você já venceu duas grandes etapas do curso . Os conteúdos das disciplinas de Cálculo são considerados obrigatórios pelas Diretrizes Curriculares do MEC (Ministério da Educação) e, de certa forma, carregam jun-tos muijun-tos tabus .
Mesmo tendo afinidades com a área da Matemática, sabemos que muitos educandos ainda se sentem temerosos quando chega o grande momento de discutir derivadas e integrais . A importância do Cálculo III está exatamente no fato de trazer generalizações necessárias para as diferentes aplicações do Cálculo em proble-mas clássicos de Engenharia, Física e Economia .
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universidade do Sul de Santa catarina
Queremos deixar registrado, neste início de disciplina, que você vai ficar diante de ferramentas poderosas para modelar o mundo ao seu redor . Ao trilhar caminhos já desvendados por grandes filósofos e matemáticos, temos uma grande responsabilidade: manter o olhar atento para consolidar a nossa comunidade virtu-al . Nossos amigos de caminhada, SiSoSi, Phil, Rec e Teca, estão cada vez mais presentes, apresentando dicas valiosas para a cons-trução sólida de nossos conhecimentos .
Lembre-se de que estamos juntos e que o processo é de ensino-aprendizagem, portanto, estamos também aprendendo novas for-mas de olhar métodos e técnicas de estudo e de ensino .
Seja bem-vindo à disciplina de Cálculo III Um grande abraço!
Profª . Diva Marília Flemming Profª . Elisa Flemming Luz
plAno De eStuDo
DA DIScIplInA
O plano de estudo orienta você no desenvolvimento da Discipli-na . Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto do Cálculo III e a organizar o seu tempo de estudos .
O processo de ensino-aprendizagem da UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam . Assim, a construção de competências e habilidades se dá a partir da ar-ticulação de metodologias envolvendo diversas formas de ações e estratégias mediadoras .
São elementos desse processo: O livro didático;
O espaço virtual de aprendizagem (EVA);
As atividades de avaliação (complementares, a distância e presenciais) .
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universidade do Sul de Santa catarina
Ementa da disciplina
Funções de várias variáveis . Derivadas parciais . Integrais duplas . Aplicação da integral dupla . Integrais triplas . Aplicação da inte-gral tripla .
Carga horária
60 horas ou 4 créditos
Objetivo(s)
GeralDar ao universitário a oportunidade de construir competências e habilidades para analisar, refletir e delinear conclusões no contex-to das aplicações práticas que envolvem o mundo tridimensional .
Específicos
Analisar situações problema cuja modelagem envolve deriva-das parciais e integrais múltiplas .
Calcular integrais duplas e triplas por diferentes sistemas de coordenadas .
Modelar e resolver problemas de áreas e volumes de superfí-cies não discutidas na Geometria Espacial .
Discutir soluções para problemas da Física que envolvem sólidos . Utilizar corretamente recursos tecnológicos para ampliar a
Cálculo III
Conteúdo programático/objetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conheci-mentos que você deve construir para o desenvolvimento das ha-bilidades e competências necessárias a sua formação profissional . Veja a seguir as seis unidades que compõem o livro didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos .
Unidade 1 Funções de várias variáveis
Para modelar o mundo tridimensional são necessárias ferramen-tas mais poderosas para a resolução de problemas . Nesta unidade, você terá a oportunidade de discutir detalhes das funções de duas variáveis e as suas diferentes representações semióticas . Poderá, também, visualizar que as generalizações são necessárias para am-pliar a resolução de problemas físicos e de engenharia . Destaca-se, nesta unidade, as curvas de nível que são usadas em diferentes momentos, como, por exemplo, para modelar o nosso relevo e outros elementos do nosso mundo .
Unidade 2 Limite e continuidade
O estudo de limites e continuidade de funções de várias variáveis é essencial para dar os alicerces conceituais ao estudo das deriva-das parciais . Discutir a existência de limites de funções de várias variáveis auxilia na análise do comportamento da função . Será interessante verificar que o significado intuitivo de continuidade vai propiciar a identificação de superfícies que não possuem bura-cos ou rupturas .
Unidade 3 Derivadas de funções de várias variáveis
O estudo das derivadas parciais vai nos permitir entender qual a razão de termos sensações de temperaturas mais baixas do que o termômetro indica . Por outro lado, o estudo das derivadas é con-siderado fundamental para entender os métodos de resolução das
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universidade do Sul de Santa catarina
Unidade 4 Máximos e mínimos
Como já discutido no Cálculo I, as derivadas são usadas para localizar pontos de máximo e mínimo de curvas planas mode-ladas por funções de uma variável . Nesta unidade, você terá a oportunidade de fazer generalizações para identificar os pontos de máximo e mínimo de funções de duas variáveis . A localização de pontos críticos é de fundamental importância na resolução de problemas cujas soluções devem ser otimizadas .
Unidade 5 Integrais múltiplas
Nesta unidade, você vai discutir a generalização das integrais abordadas na disciplina de Cálculo II . Terá a oportunidade de constatar que as integrais duplas e triplas podem ser usadas para resolver problemas que envolvem o cálculo de áreas, volumes, massa, centro de massa, momento de inércia e outras aplicações .
Unidade 6 Aplicações
Nesta unidade, você terá a oportunidade de analisar, refletir, dis-cutir e resolver situações-problema que são modeladas com os recursos do Cálculo III . De forma surpreendente, vamos calcular: volumes de sólidos com formas completamente irregulares, áreas de figuras planas formadas por diferentes retas e curvas, massa de corpos com formas irregulares .
unIDADe 1
FunçÕeS De
várIAS vArIáveIS
Objetivos de Aprendizagem
Identifi car características e propriedades das funções de várias variáveis.
visualizar e representar curvas de nível de funções de várias variáveis.
esboçar e analisar gráfi cos de funções de duas variáveis.
Identifi car situações reais que requerem o uso de modelos que
envolvem 3 dimensões.
Plano de estudo da unidade
Seção 1 Funções de várias variáveis . . . 19
Seção 2 curvas de nível. . . 27
Seção 3 Gráfi cos de funções de duas variáveis . . . 32
Síntese da Unidade . . . 45
Atividades de auto-avaliação . . . 46
O que você consegue visualizar? Vários cálices ou vários perfi s? Olhe com atenção!!!
Para início de conversa
Nesta primeira unidade da disciplina Cálculo III você conhecerá as funções de várias variáveis reais e suas principais características e propriedades .
As funções de uma variável não conseguem modelar a maior parte dos fenômenos reais já que estes envolvem várias variáveis independentes . Por exemplo, a temperatura em um quarto de-penderá de diversas condições, tais como, a temperatura fora do quarto, o número de entradas de ar, a existência de ventilação interna, dentre outras . Cada uma destas condições pode represen-tar uma variável independente que influenciará mais ou menos a temperatura, que neste caso seria a variável dependente analisada . Assim como nas disciplinas anteriores de cálculo, você contará com a Teca, o Phil, o Sisosi e o Rec para lhe auxiliar durante o
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Que tal, ficou curioso?
Então já está na hora de começar!
Fique atento ao calendário proposto no ambiente virtual, pois você já sabe que uma disciplina de cálculo exigirá estudo, dedica-ção e a realizadedica-ção de exercícios .
Analise com atenção as definições que serão apresentadas nesta uni-dade e procure fazer relações com situações práticas reais e com os conteúdos que já foram estudados em disciplinas anteriores .
Não siga em frente se estiver com dúvidas . Procure o seu profes-sor tutor para saná-las .
Bom trabalho! Olá caros amigos!
Agora no Cálculo III vamos adentrar no fabuloso mundo do Cálculo de Várias Variáveis. E neste momento eu não poderia deixar de dizer-lhes que se não fosse o trabalho de grandes matemáticos e cientistas nesta área, não teríamos avança-do tanto em termos tecnológicos e científicos!
Basta que você olhe ao seu redor e perceba que o mundo é multidimensional e foi durante o século 16 que matemáticos começaram a desenvolver uma nova matemática para resol-ver problemas em ciências físicas.
A astronomia, por exemplo, era uma área da ciência que era rica neste tipo de matemática de várias variáveis e, desta forma, impulsionou o desenvolvimento de funções de várias variáveis e, finalmente, o cálculo de várias variáveis.
Galileu (1564-1642) tentou aplicar a matemática ao seu trabalho em astronomia, cinemática e resistência dos ma-teriais. O astrônomo, matemático e físico alemão Johannes Kepler (1571-1630) contribuiu grandemente através do desenvolvimento das suas três leis do movimento planetá-rio. Estes resultados mudaram a astronomia e ajudaram no estabelecimento da teoria heliocêntrica de Copérnico. Isto contribuiu para a construção de um cenário propício ao surgi-mento da matemática aplicada em várias variáveis.
cálculo III unidade 1
Nas disciplinas de Cálculo I e II você analisou e discutiu fun-ções reais que envolviam duas variáveis: uma dita independente, geralmente denotada por x e outra dependente, denotada por y . Muitas aplicações foram mostradas apesar da limitação do uso de variáveis envolvidas . Para perceber essa limitação basta você olhar à sua volta . Veja que o nosso mundo é tridimensional e, portanto, temos o envolvimento de três variáveis para modelar as situações básicas do nosso espaço .
Precisamos ampliar a nossa ferramenta de modelagem de situa-ções problemas!
Como vamos fazer isto?
É simples vamos ampliar o número de variáveis conforme cada situação .
Seção 1
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA Veja alguns exemplos:
a altura de uma montanha pode ser modelada com duas
va-
riáveis independentes;
a pressão em um balão cheio de gás é uma função de sua
temperatura e volume;
a altura das ondas do mar dependem da rapidez do vento e
do intervalo de tempo no qual está ventando com a mesma intensidade;
o volume de um cone depende do raio da base e da sua altura;
a corrente de um circuito elétrico depende da quantidade de
seus resistores .
Experimente ampliar esta lista de exemplos!
Vamos iniciar a formalização de conceitos e você deve ficar aten-to à nomenclatura utilizada . Quando dizemos que estamos diante de uma função de duas variáveis, na verdade estamos diante de três variáveis (duas independentes e uma dependente) .
Para otimizar o nosso estudo, vamos nos fixar de forma mais efetiva nas funções de duas variáveis, pois a partir desse tipo de função as generalizações ocorrem facilmente . Assim, nossa repre-sentação espacial pode ser representada pelas três dimensões bá-sicas: comprimento, largura e altura como mostra a representação cartesiana da Figura 1 .1 .
Figura 1.1 Sistema cartesiano tridimensional
Em tempo
Quando colocamos o termo funções de várias variáveis estamos colocan-do que podemos ter funções com
1, 2, 3, ..., n variáveis
indepen-dentes, acrescida de uma variável dependente.
Em tempo
Lembre-se de que no sistema cartesiano os eixos devem ser ortogonais entre si. No caso tridimensional usamos os recursos de desenho projetivo para a visualização. Um ponto P é representado por uma terna ordenada de números reais (x,y,z).
cálculo III unidade 1
Definição 1: Uma função de duas variáveis é uma lei ou regra
que associa a cada par ordenado de números reais (x,y) de um conjunto A um único valor real denotado por z ou f (x,y). O conjunto A é o domínio da função. O conjunto imagem é defini-do por { f (x,y) | (x,y) ∈ A }.
A Figura 1 .2 mostra essa relação . Observe que pares ordenados do conjunto A, representado num sistema cartesiano são relacio-nados com um ponto da reta real, denotada por eixo z .
Figura 1.2 representação da função de duas variáveis
Como você já sabe, a lei ou regra é, em geral, representada por uma linguagem algébrica . Nesses casos o domínio pode não ser especificado, mas fica entendido como domínio da função o conjunto de valores (x,y) para os quais a expressão fornece um número real bem definido . Os exemplos que seguem ilustram a definição dada .
Exemplos
1. As expressões que seguem são exemplos de funções de duas variáveis.
observem que podemos utilizar qualquer letra para representar as variáveis. z = x
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Ambas têm como domínio o conjunto de pares de números reais que vamos denotar por IR2 = IR × IR. o conjunto imagem é o conjunto dos números reais,
denotado por IR.
2. V(r,h) = 1
3πr2h é uma função que relaciona o volume V de um cone com
a sua base r e a sua altura h.
3. calcular o domínio e o conjunto imagem da função z= 4 x− 2−y2 .
o domínio é dado por
D(z) = {(x,y) | 4 – x2 – y2 ≥ 0} ( 1 )
como já colocamos anteriormente fica entendido que os pares ordenados (x,y) são de números reais, assim estamos dispensando o uso desse formalismo. Fazendo
4 – x2 – y2 ≥ 0
–x2 – y2 ≥ –4
x2 + y2 ≤ 4.
A expressão ( 1 ) pode ser reescrita como D(z) = {(x,y) | x2 +y2 ≤ 4} e
representa um disco de raio dois. A Figura 1.3 mostra o gráfico do domí-nio desta função.
lembramos que o gráfico é do do-mínio. o gráfico das funções será
discutido na seção 3. Figura 1.3 representação gráfica da região
Em tempo
A notação IR2 = IR × IR
é significativa, pois estamos exatamente diante de pares ordenados sendo que o produto indicado é o produto cartesiano estudado na Teoria dos Conjuntos.
Pessoal, não esqueçam do formalismo para a representação gráfica. As linhas pontilhadas representam que os pontos sobre a linha não pertencem ao domínio. Para representar os infinitos pontos do domínio usamos o recurso de hachurar ou sombrear a região.
cálculo III unidade 1
o conjunto imagem da função é dado por
Im(z) = { z | z= 4 x− 2−y2 , (x,y) ∈ D(z) } ( 2 )
como a raiz quadrada dada é positiva podemos escrever que z ≥ 0. por outro lado podemos escrever:
x2 + y2 ≥ 0 –x2 – y2 ≤ 0 4 – x2 – y2 ≤ 4 = − 2− 2 z 4 x y ≤ 2 z ≤ 2.
Assim, podemos reescrever ( 2 ) como
Im(z) = { z | 0 ≤ z ≤ 2 } ( 2 )
4. calcular a imagem da função z=y(x 1)1+ no ponto (0,3). esta função está definida na origem?
para calcular a imagem da função em um ponto basta fazer:
1 f(x, y) y(x 1) 1 1 f(0, 3) 3(0 1) 3. = + = + = Assim a imagem de (0,3) é 1 3.
esta função não está definida na origem, pois ao calcular f(0,0) vamos encon-trar uma divisão por zero que, já sabemos, não existe.
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
5. encontrar o gráfico do domínio da função = − 1 z
x y .
para resolver este exemplo vamos lembrar que no conjunto dos números reais não temos raiz quadrada de números negativos, também não podemos fazer uma divisão por zero. Assim,
x – y > 0 x > y
portanto, o domínio da função dada pode ser escrito como D(z) = { (x,y) | x > y }. o gráfico da Figura 1.4 apresenta a região do plano que representa o domínio.
Figura 1.4 representação gráfica da região
6. uma função de duas variáveis pode ser definida a partir de uma equação
que tenha três variáveis. Basta escolher qual vai ser a variável dependente e então explicitá-la. para exemplificar podemos observar a equação de uma esfera centrada na origem e de raio igual a 3 unidades de comprimento.
x2 + y2 + z2 = 9
As seguintes funções podem ser consideradas: Hemisfério superior: z = 9 x− 2−y2 ou f1(x,y) = 9 x− 2−y2 ; Hemisfério inferior: z = – 9 x− 2−y2 ou f2(x,y) = – 9 x− 2−y2 ; Hemisfério da direita: y = 9 x− 2−z2 ou f3(x,z) = 9 x− 2−z2 ; Hemisfério de esquerda: y = – 9 x− 2−z2 ou f4(x,z) = – 9 x− 2−z2 ; Hemisfério da frente: x = 9 y− 2−z2 ou f5(y,z) = 9 y− 2−z2 ; Hemisfério de trás: x = – 9 y− 2−z2 ou f6(y,z) = – 9 y− 2−z2 . Em tempo
Observe que a nomen-clatura usada superior, inferior, etc. estabelece uma posição bem definida dos eixos x, y e z. Outras posições podem ser estabe-lecidas ou convencionadas, confor-me será discutido na seção 3.
cálculo III unidade 1
Como vamos definir funções
com mais de duas variáveis?
Podemos definir funções com n variáveis de forma similar à defi-nição 1, lembrando que vamos estar em um espaço com mais de três dimensões . Isto é, vamos introduzir um conceito com bastan-te abstração, pois não vamos conseguir visualizar graficamenbastan-te . O espaço n-dimensional será representado por IRn .
Definição 2: Uma função com n variáveis é uma lei ou regra
que associa a cada n-upla (x1 , x2 , … , xn ) ∈ A ⊆ IRn, um nú-mero real z = f (x1 , x2 , … , xn ).
Observe que temos uma generalização da definição 1 e, portanto, de forma similar o Domínio vai ser o conjunto de saída, denotado por A ⊆ IRn, formado por n-uplas de números reais . O conjunto imagem é definido por { f (x1 , x2 , … , xn ) | (x1 , x2 , … , xn ) ∈ A } .
Exemplos
1. A corrente de um circuito elétrico ( i ) depende da quantidade de seus
resistores ( r ). Assim, a expressão =
+ +
1 2 3
E i
R R R , representa um exemplo de
funções de três variáveis sendo E um valor constante que representa a tensão da fonte.
Como já disse a vocês, a necessidade de generalização para incluir funções de várias variáveis em problemas práticos re-ais presentes em um mundo multidimensional foi um grande incentivo para os pesquisadores que dedicaram suas vidas à matemática!
Jean d’Alembert (1717-1783), por exemplo, desenvolveu e usou o cálculo de várias variáveis para no contexto do mo-vimento de corpos considerando a resistência do meio. Em
26
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
2. As expressões que seguem são outros exemplos:
z = u
2v –2uvw ou f(u,v,w) = u2v –2uvw
u = xyz + t
ou g(x,y,z,t) = xyz + t
3. representar graficamente o domínio da função f(x,y,z) = 4 x− 2−y2−z2 .
observe que o domínio desta função é um subconjunto do espaço tridi-mensional, isto é, D(f) = { (x,y,z) ∈ IR3 | 4 – x2 – y2 – z2 ≥ 0 }. podemos também
reescrever 4 – x2 – y2 – z2 ≥ 0 como
x2 + y2 + z2 ≤ 4 ( 3 )
Figura 1.5 Domínio da função
A expressão ( 3 ) representa uma esfera de raio 2, bastante usada em Geometria Analítica. A Figura 1.5 mostra o gráfico do domínio da função dada.
Agora é a sua vez!
1. encontre o domínio da função = +
+ −
2 2
2x y z
x y 4.
2. encontre o domínio e o conjunto imagem da função = x2+y2
u e .
3. Faça um esboço gráfico do domínio da função z ln(2= − x2+y )2 .
4. calcule a imagem da função = + − x y z
2 x no ponto (1,
1
2). esta função está
definida para pares ordenados do tipo (2,b) sendo b um número real? Justifi-que a sua resposta.
Em tempo
Observe que no con-texto das funções de várias variáveis as letras usadas para simbolizar as variáveis inde-pendentes e a variável dependen-te não são padronizadas. Assim, em alguns momentos o uso da notação f(u,v,w) = u2v –2uvw
e g(x,y,z,t) = xyz + t é conside-rado mais legível.
cálculo III unidade 1
Seção 2
Curvas de nível
As curvas de nível são amplamente discutidas no dia-a-dia, mes-mo que informalmente . Por exemplo, ao construir uma casa é importante saber qual a cota máxima, pois em geral os planos diretores de Prefeituras delimitam para cada região um valor de cota, ou seja altitude em relação ao nível do mar .
Ao ver o noticiário da TV é comum aparecer os mapas de isoter-mas mostrando as curvas em que as temperaturas são iguais . Podemos dizer que as curvas de nível são curvas em que a eleva-ção em relaeleva-ção ao nível do mar é constante . Se você andar sobre um desses contornos, nem descerá nem subirá .
No estudo de funções de duas variáveis as curvas de nível são usadas para o traçado do gráfico tridimensional da função dada por sua lei de formação .
28
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Na Figura 1 .6, você pode observar um exemplo de um mapa topo-gráfico mostrando a configuração do terreno, disponível na Internet no site http://www .jaguariuna .cnpm .embrapa .br/altimet .html . Por exemplo, o traçado destacado na parte central representa a altitude de 700 metros, normalmente denotado como Cota = 700 metros . Na Figura 1 .7 temos uma mapa com isotermas para uma especí-fica data do ano . Os mapas de isotermas sofrem variações diárias .
Figura 1.6 cotas de um terreno Figura 1.7 mapa de isotermas
Definição: As curvas de nível de uma função de duas variáveis
são as curvas com equação f (x,y) = K, sendo K uma constante real no domínio da função.
Exemplo
vamos observar o cone da Figura 1.8 ( a ). Ao marcar cotas, isto é, dar valores para a constante K, as curvas de nível são obtidas (ver Figura 1.8 ( b )).
considerando que a equação do cone da Figura 1.8 ( a ) é z = x2 + y2, observe
que as curvas da Figura 1.8 ( b ) são definidas algebricamente fazendo: K = 1 ⇒ 1 = x2 + y2 ou x2 + y2 = 1; K = 2 ⇒ 2 = x2 + y2 ou x2 + y2 = 2; K = 3 ⇒ 3 = x2 + y2 ou x2 + y2 = 3.
cálculo III unidade 1
Figura 1.8 cone e curvas de nível
Como usar as curvas de nível
para identificar as funções?
As curvas de nível não identificam completamente uma função . Duas funções diferentes podem apresentar o mesmo tipo de curvas de nível . Por exemplo, as circunferências concêntricas também podem ser curvas de nível das funções z = x2+y2 ou
z = 9 x− 2− y2 . Acompanhe: Para a função z = x2+ y2 K = 1 ⇒ 1 = x2+ y2 ou x2 + y2 = 1; K = 2 ⇒ 2 = x2+ y2 ou x2 + y2 = 4; K = 3 ⇒ 3 = x2+ y2 ou x2 + y2 = 9 .
Mais uma dica interessante!
O software Mathematica pode traçar curvas de nível de forma prática e interessante. Se você possui acesso a esta ferramenta que não é considerada software livre, pode
apro-30
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA Para a função z = 9 x− 2−y2
K = 1
⇒ 1 = 9 x− 2−y2 ou x2 + y2 = 8;
K = 2
⇒ 2 = 9 x− 2−y2 ou x2 + y2 = 5 .
Observe que podemos escolher valores de K em que as curvas de nível não existem . Por exemplo, na função z = 9 x− 2 −y2 não
existe a curva para valores de K < 0, pois estamos considerando a raiz positiva e também não existe para K > 3, pois neste caso teríamos uma incoerência matemática (soma de dois quadrados iguais a um número negativo) . Se K = 4 ⇒ 4 = 9 x− 2−y2 ou
x2 + y2 = –7 .
As curvas de nível podem ser degeneradas, ou seja, quando elas se reduzem à um ponto . Se K = 3 ⇒ 3 = 9 x− 2−y2 ou x2 + y2 = 0,
portanto temos somente o ponto (0,0) .
Podemos dizer que as curvas de nível são obtidas
a partir de cortes no objeto investigado?
Devemos ter muito cuidado com a idéia de corte . O corte é uma estratégia que auxilia na confecção de gráficos e também é mui-to usado para fazer as plantas arquitetônicas . Eles possibilitam a visualização de detalhes do objeto investigado . As curvas de nível podem ser consideradas cortes horizontais . No caso das funções outros cortes podem ajudar na identificação correta de uma função . Por exemplo, as funções z = x2 + y2; z = x2+y2; z = 9 x− 2 −y2
têm como curvas de nível circunferências concêntricas centradas na origem . Ao fazer cortes verticais vamos encontrar figuras diferentes, conforme pode ser visualizado nas figuras 1 .9, 1 .10 e 1 .11 .
cálculo III unidade 1
Figura 1.9
Função z = x2 + y2, com um corte
Figura 1.10
Função z= x2+y2 , com um corte
Figura 1.11 Função = − 2− 2
z 9 x y , com um corte
Na Figura 1 .9 vamos ter o parabolóide e o corte é uma parábola; na Figura 1 .10 temos um cone é o corte vai nos dar segmentos de reta e na Figura 1 .11 vamos ter um hemisfério cujo corte vai nos dar uma semi-circunferência .
Agora é a sua vez!
32
unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Você deve lembrar que, ao estudar as funções de uma variável real, a construção de sua representação gráfica ou de seu gráfico era um passo importante para a análise das características e pro-priedades daquelas funções .
Com as funções de várias variáveis, isto não será diferente! Só que agora a construção dos gráficos exigirá uma visualização tri-dimensional .
Mas como desenvolver esta
visualização tridimensional?
Uma dica é olhar à sua volta, percebendo as dimensões e as vari-áveis envolvidas no nosso dia-a-dia . E é por isto que, para fazer os gráficos de funções de várias variáveis, é importante que você desenvolva uma visualização espacial, que entenda a colocação de pontos no sistema de eixos tridimensional e utilize softwares grá-ficos para auxiliá-lo neste processo .
Seção 3
cálculo III unidade 1
Parece muita coisa, não é mesmo?
Mas fique tranqüilo, logo você terá muitas surpresas agradáveis e conseguirá esboçar superfícies interessantes .
Para iniciarmos, é importante que você lembre, conforme já foi mencionado na Seção 1, que vamos trabalhar com a representação gráfica de funções de duas variáveis . Isto porque para representar graficamente uma função com mais de duas variáveis será necessá-rio trabalhar com o espaço n-dimensional, o que não nos permiti-rá uma visualização geométrica quando n for maior do que 3 . Acompanhe a definição que generaliza o conceito de representa-ção gráfica de funções de várias variáveis .
Definição: A representação gráfica (ou o gráfico) de uma função de n variáveis, representada por f = f (x1 , x2 , … , xn ), é o conjunto de pontos do espaço IRn+1, tais que (x
1 , x2 , … , xn ) ∈ D( f ), sen-do D( f ) o sen-domínio da função f.
Se pensarmos em uma função de duas variáveis z = f (x,y), ou seja, n = 2, sua representação gráfica será o conjunto das ternas ordenadas (x,y,z) ∈ IR3, conforme você já visualizou na seção 1 .
Normalmente trabalhamos com a disposição dos eixos conforme mostra a Figura 1 .1, mas é usual encontrarmos em outras áreas, como na Física por exemplo, uma variação deste sistema de eixos, como mostra a Figura 1 .12 .
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Você poderá utilizar a forma que achar mais conveniente, a que lhe proporcionar melhor visualização . Perceba que a diferença em termos de desenho está exatamente na visualização que teremos, que se dá em perspectiva .
Seja qual for a escolha na colocação dos eixos, você não deve esquecer de identificar a variável dependente e as variáveis in-dependentes conforme já foi discutido na seção 1 . Mais adiante retomaremos este aspecto ao apresentar o gráfico de funções de duas variáveis .
Para esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis é impor-tante que você relembre a colocação de pontos no espaço tridi-mensional . Acompanhe o exemplo a seguir:
Exemplo
representar os pontos A(3,3,4) e B(3,3,–4) no espaço tridimensional. nas figuras 1.13 e 1.14 você pode visualizar esta representação.
Figura 1.13
representação gráfica do ponto A
Figura 1.14
representação gráfica do ponto B
Em tempo
Na Geometria Des-critiva você estuda com mais detalhes a questão da perspectiva.
cálculo III unidade 1
E agora, como esboçar os gráficos
das funções de duas variáveis?
Assim como acontecia com as funções de uma variável, estudadas no Cálculo I e II, a representação gráfica será dada por um con-junto de pontos, que aqui são as ternas ordenadas . Para as funções de uma variável é muito comum construirmos sua representação gráfica a partir da elaboração de uma tabela em que atribuímos valores para a variável independente ( x ) e calculamos o valor da variável dependente ( y ) .
Podemos até considerar o método do uso da tabela como tra-balhoso, rudimentar, muito utilizado no passado, quando as fer-ramentas computacionais não existiam . Mas se pararmos para refletir, é este método que grande parte dos alunos utiliza quando precisa esboçar o gráfico de uma função .
Infelizmente para uma função de várias variáveis é praticamente impossível se chegar a um esboço do gráfico apenas atribuindo valores e elaborando uma tabela .
Então você pode estar perguntando...
Como devo proceder para esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis?
A idéia é que você utilize outras formas de construção do gráfico, que serão discutidas a partir de agora . Um exemplo é a utilização de softwares gráficos que serão mencionados pela Teca quando pertinente e serão melhor explorados no ambiente virtual . Um outro exemplo é a utilização de curvas de nível . Na seção 2 você já conheceu as curvas de nível e talvez já tenha percebido que elas são importantes na construção de gráficos
tridimensio-Em tempo
Se você já cursou a disciplina Geometria Analítica já teve a oportunidade de visualizar gráficos de superfí-cies em 3 dimensões.
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Exemplos
1. esboçar o gráfico da função z = 2x2 + 2y2.
para fazer o esboço do gráfico desta função, vamos inicialmente determinar suas curvas de nível, atribuindo valores K para a variável z:
K = 1 ⇒ 1 = 2x2 + 2y2 ⇒ x2 + y2 = 12 K = 2 ⇒ 2 = 2x2 + 2y2 ⇒ x2 + y2 = 1 K = 4 ⇒ 4 = 2x2 + 2y2 ⇒ x2 + y2 = 2
A Figura 1.15 apresenta as curvas de ní-vel que são circunferências com centro em (0,0) e diferentes raios.
o próximo passo é a construção do gráfico da função z = 2x2 + 2y2 em três
dimensões. Figura 1.15 curvas de nível da função z = 2x2 + 2y2
neste momento é importante que você retome o conceito de curvas de nível e perceba que a Figura 1.15 está apre-sentando a projeção da superfície em diferentes alturas, dadas por z = 1, z = 2 e z = 4. temos uma superfície com projeções do tipo circunferência de di-ferentes raios. A figura mostra o gráfico da função, que é a superfície conhecida
como parabolóide. Figura 1.16 Gráfico da função z = 2x2 + 2y2 2. Identificar as curvas de nível e esboçar os gráficos das seguintes funções
de duas variáveis:
a. z = y2
A Figura 1.17 mostra as curvas de nível quando se atribui os valores 1, 4 e 9 para a variável z. K = 1 ⇒ 1 = y2 ⇒ y = ±1 K = 4 ⇒ 4 = y2 ⇒ y = ±2 K = 9 ⇒ 9 = y2 ⇒ y = ±3
cálculo III unidade 1
na Figura 1.18 você visualiza o gráfico da função z = y2 que é um cilindro
parabólico, também conhecido como calha.
Figura 1.17 curvas de nível da função z = y2 Figura 1.18 Gráfico da função z = y2 b. z = 4 – x – y
Atribuindo-se valores para z temos curvas de nível representadas por retas decrescentes e paralelas, conforme pode ser visualizado na Figura 1.19. Já na Figura 1.20 você visualiza o gráfico do plano que, para uma melhor vi-sualização, foi esboçado no primeiro octante, ou seja, considerando-se x > 0, y > 0 e z > 0. K = 0 ⇒ 0 = 4 – x – y ⇒ y = –x + 4 K = 2 ⇒ 2 = 4 – x – y ⇒ y = –x + 2 K = 4 ⇒ 4 = 4 – x – y ⇒ y = –x Em tempo
Observe que a Figura 1.18 foi construída com o auxílio do software Derive, usando o espaço tridimensional. Veja que o fato de não aparecer as duas variáveis independentes pode causar dúvidas. Dessa forma é importante sempre sabermos qual o espaço que estamos traba-lhando, para não confundir uma calha com uma parábola..
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Além de esboçar gráficos utilizando softwares ou curvas de nível, você poderá também fazer o gráfico a partir da identificação da re-presentação algébrica da função . Por exemplo, ao visualizar a repre-sentação algébrica da função do segundo grau y = ax2 + bx + c, você
já pode relacioná-la com uma parábola, o que facilitará o esboço do gráfico desta função de uma variável . A visualização das proprieda-des gráficas a partir da linguagem algébrica deve ser bastante usada no contexto das funções de duas variáveis .
Nos próximos exemplos fique atento às representações algébricas e acompanhe como os gráficos das funções de duas variáveis que se-rão utilizadas no decorrer da disciplina são construídos e analisados . É importante também destacar que o gráfico lhe dará condições para analisar algumas características e propriedades das funções . Lembre-se que as funções podem modelar situações reais e, sen-do assim, é interessante um olhar mais aprimorasen-do acerca de suas propriedades e características . Portanto, fique atento para
desen-Olá estimado aluno!
Parece difícil esboçar gráficos em 3 dimensões?
Mas não fique preocupado, você não está sozinho nesta em-preitada.
Você poderá contar com a tecnologia e comigo também! Inicialmente quero lembrar a você que o Derive ( já utilizado no Cálculo I e no Cálculo II) pode ser novamente citado aqui no Cálculo III.
Experimente esboçar gráficos usando a opção de Inserir Ob-jeto Gráfico 3D. Você deve digitar a função usando sua repre-sentação algébrica na forma explícita na janela Álgebra. Em seguida abra a janela de gráfico em 3 dimensões.
Faça um teste, veja que o gráfico da função aparecerá em vá-rias cores e você tem a possibilidade de alterar os ângulos de visualização (Configurar Posição de Visualização).
cálculo III unidade 1
volver habilidades para lidar com as duas principais formas de representação das funções: algébrica e gráfica .
Exemplos
1. Analisar o gráfico das funções de duas variáveis apresentadas,
identifican-do suas principais propriedades e características.
a. z = 1 + x – y
na Figura 1.21 você visualiza parte do gráfico desta função, que é um plano.
para determinar os pontos em que o gráfico irá cortar os eixos x, y e z, você pode atribuir o valor zero às
demais variáveis. Assim temos: Figura 1.21 Gráfico da função z = 1 + x – y. Quando y = 0 e z = 0 teremos 0 = 1 + x – 0 ⇒ x = –1. Quando x = 0 e z = 0 teremos 0 = 1 + 0 – y ⇒ y = 1. Quando x = 0 e y = 0 teremos z = 1 + 0 – 0 ⇒ z = 1.
o domínio desta função é dado por D(z) = IR2 e o conjunto imagem é Im(z) = IR.
na forma como foi definido este plano, considerando-se o seu domínio em IR2, não é possível identificar pontos de máximo ou mínimo.
De forma geral a equação de um plano pode ser escrita como ax + by + cz = 0. em algumas situações os valores de a, b ou c são nulos e, nestes casos, os planos ficam posicionados de diversas formas. veja na Figura 1.22 alguns exemplos.
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b. f(x,y) = 4 – x2 – y2
o gráfico deste parabolóide pode ser visualizado na Figura 1.23.
Figura 1.23 Gráfico do parabolóide f(x,y) = 4 – x2 – y2
o domínio desta função é dado por D(f) = IR2 e o conjunto imagem será
Im(f): { z ∈ IR | z ≤ 4 }. nesta função é possível identificar um valor máximo em z = 4 que acontece quando (x,y) = (0,0). Assim, o ponto de máximo desta função será (0,0,4).
A representação algébrica de um parabolóide pode ser dada, de forma geral, por:
z = a(x – x0)2 + b(y – y 0)2 + c
sendo que os sinais de a e b devem ser ambos positivos ou ambos negativos. Se forem negativos, o parabolóide fica com concavidade para baixo como aconteceu neste exemplo. Se forem positivos, sua concavidade fica voltada para cima como no exemplo da Figura 1.9 que está na seção 2.
Quando a = b teremos um parabolóide circular, ou seja, possui curvas de nível na forma de circunferências. Quando a ≠ b, desde que tenham os mes-mos sinais, teremes-mos um parabolóide elíptico em que as projeções são na forma de elipses.
na Figura 1.9, também é possível visualizar que o vértice do parabolóide está em z = 0. Isto acontece quando a constante c for nula. Já no parabolóide z = 4 – x2 – y2, da Figura 1.23, o valor de c é 4 e, sendo assim, o vértice do
cálculo III unidade 1
por fim, os valores de x0 e y0 indicam também um deslocamento de vértice. por exemplo, se z = (x – 1)2 + (y – 2)2 o vértice estará em (1,2,0); se z = x2 + (y + 1)2 + 3 o vértice estará em (0,–1,3); se z = (x + 2)2 + (y – 1)2 –1 o vértice estará em (–2,1,–1). c. z = 3 – x2
na Figura 1.24 você visualiza o gráfico desta função. temos um cilindro parabólico, ou
uma calha, com concavidade para baixo pois o sinal de x2 é negativo.
o domínio da função é: D(z) : { (x,y) ∈ IR2 }
o conjunto imagem é: Im(z) : { z ∈ IR | z ≤ 3 }.
o valor máximo é z = 3. Figura 1.24 Gráfico da calha z = 3 – x2 A representação algébrica desta calha não mostra a variável y. esta é uma característica das representações algébricas das calhas. volte à Figura 1.18 e visualize a diferença entre a calha z = y2 e a que foi trabalhada neste exemplo.
Na Internet você pode acessar no endereço http://math.exe-ter.edu/rparris/winplot.html uma versão do Winplot. Este é um software que faz gráficos e possui ferramentas de anima-ção que são muito interessantes.
Se você fez a disciplina de Geometria Analítica, já teve um contato maior com este software.
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d. y= 4 x− 2
Antes de fazer o esboço do gráfico desta função é importante lembrar a equação geral de um cilindro, que você já estudou em Geometria:
(x – x0)2 + (y – y
0)2 = a2, sendo (x0,y0) o centro e a o raio do cilindro.
também podemos ter outros cilindros: (x – x0)2 + (z – z
0)2 = a2
(y – y0)2 + (z – z 0)2 = a2
Assim como foi discutido no exemplo 6 da seção 1, é importante identificar a variável dependente para que ela seja explicitada. Sem que isto seja feito não teremos definida a função. Isto quer dizer que um cilindro não é o gráfico de uma função, mas a partir dele podemos definir infinitas funções cuja repre-sentação gráfica são partes do cilindro.
neste exemplo, vamos fazer o gráfico de y= 4 x− 2 , que representa o lado
direito do cilindro x2 + y2 = 4. A Figura 1.25 mostra o gráfico desta função.
cálculo III unidade 1
e. y= − x2+z2
esta é uma função que representa a parte negativa de um cone, conforme pode ser visualizado na Figura 1.26. A variável y que está explicitada é a variável dependente.
o domínio desta função é: D(y) : { (x,z) ∈ IR2 | x2 + z2 ≥ 0 }
o conjunto imagem é: Im(y) : { y ∈ IR | y ≤ 0 }.
É possível identificar um valor
míni-mo em y = 0. Figura 1.26 Gráfico de y= − x2+z2
Agora é a sua vez!
1. para cada uma das funções, faça um esboço do seu gráfico identificando
algumas curvas de nível:
a. z = x2 + (y – 1)2
b. f(x, y)= x2+y2
c. g(x,y) = 2 – x2
2. Faça um esboço do gráfico das funções de duas variáveis e analise suas
principais características e propriedades:
a. z = 3 – x
b. z = 1 + (x – 1)2 + (y – 1)2
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Você sabe o que é uma carta topográfica? Pois bem, eu sei e vou lhe explicar!!!
A carta topográfica é um documento que apresenta a superfície terrestre por meio de projeções cartográficas. Apesar de ser parecida com um mapa, não é a mesma coisa. Os mapas representam porções bem definidas do espaço terrestre, como cidades, estados, mares ou países com limi-tes físicos e políticas. Já nas cartas topográficas os limilimi-tes são matemáticos, geralmente meridianos e paralelos. Nelas aparecem os acidentes naturais e artificiais da superfície terrestre, suas posições planimétricas e altimétricas. A po-sição altimétrica ou o relevo é normalmente determinada por curvas de nível.
Síntese da Unidade
O estudo das funções de várias variáveis, seu comportamento, suas propriedades e características propicia uma visualização mais geral sobre a modelagem matemática de situações reais . E é por isto que este objeto matemático se torna tão importante e é mui-to aplicado em diversas áreas do conhecimenmui-to .
Ao estudar a função de várias variáveis você pôde contextualizar aplicações e identificar que, de forma geral, sua análise é muito similar à análise de uma função de uma variável . Sendo assim, os conceitos podem ser generalizados para que você possa melhor entender o comportamento destas funções .
Deve ter em mente que a representação gráfica se torna impor-tante neste processo de análise e que o uso de ferramentas com-putacionais poderá lhe auxiliar na construção dos gráficos .
46
AtIvIDADeS De
auto-avaliação
1. para as funções a seguir calcule o Domínio e o conjunto Imagem. Faça o
Gráfico do domínio.
a. z = 9x2 + 4y2
b. z = xy
c. z= 10 x− 2−y2
2. Dada as funções f(x,y) = x – y; = − +
2 2 2
xy g(x, y)
x y ; h(x,y) = sen 2x cos y e = −
+
2 2
1 m(x, y)
(4x y ), encontre algumas curvas de nível e procure identificar
dentre as Figuras 1.27, 1.28 , 1.29 e 1.30 qual delas representam curvas de nível das funções dadas. (você pode usar o recurso gráfico usando o software winplot).
cálculo III unidade 1
Figura 1.27 Figura 1.28
Figura 1.29 Figura 1.30
3. Faça um esboço do gráfico das funções de duas variáveis e analise suas
principais características e propriedades:
a. z = 2 – y d. y= 4 x− 2− −(z 2)2
b. z = (x – 1)2 + (y – 1)2
e. x= 9 y− 2
c. z = 1 – y2
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4. Identifique a representação algébrica da função que define o parabolóide
circular representado na Figura 1.31.
Figura 1.31
5. Seja o parabolóide z = x2 + y2. escreva a representação algébrica deste
parabolóide se o seu vértice estiver:
a. Deslocado uma unidade no eixo positivo dos x. b. Deslocado duas unidades no eixo negativo dos y. c. Deslocado três unidades no eixo positivo dos z.
Saiba mais
Para aprofundar os conteúdos estudados nesta unidade ou mesmo resolver outros exercícios você pode utilizar livros de Cálculo Diferencial e Integral . O livro Cálculo B apre-senta vários exercícios resolvidos, uma ótima referência nes-te connes-texto:
GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marília . Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais duplas e integrais triplas . São Paulo: Makron Books, 1999 .
unIDADe 2
lImIte e contInuIDADe
Objetivos de Aprendizagem
calcular limites de funções de várias variáveis usando propriedades.
resolver limites que envolvam indeterminações e os infi nitos.
Analisar a continuidade de uma função de várias variáveis.
Plano de estudo da unidade
Seção 1 noção de limite de uma função de várias variáveis . . . 53 Seção 2 cálculo e propriedades de limites . . . 65 Seção 3 continuidade de funções de duas variáveis. . . 72 Síntese da Unidade . . . 78 Atividades de auto-avaliação . . . 79
Quantos sólidos podem ser visualizados?
Seriam funções de várias variáveis? Pense nisto!!
Para início de conversa
Para iniciar esta unidade, que estudará o limite e a continuidade de funções de várias variáveis, é importante que você relembre os conceitos que foram estudados em Cálculo I, quando o limite de função de uma variável foi definido .
De forma resumida, podemos dizer que o limite estuda o com-portamento de uma função na proximidade de um ponto especí-fico . Para entender tal comportamento, podemos analisar a repre-sentação algébrica da função ou, ainda, analisar o comportamento de seu gráfico .
Feito isto, podemos generalizar esse conceito e passar a trabalhar com as funções de mais de uma variável . Em especial, trabalhare-mos com as funções de duas variáveis, que nos darão uma noção dessa generalização .
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Com o estudo do limite de funções de várias variáveis, você for-malizará alicerces conceituais que serão essenciais para o estudo das derivadas parciais, que são as derivadas das funções de várias variáveis .
Por fim, vamos também generalizar o conceito de continuidade que no caso das funções de uma variável nos auxilia a identificar os pontos de “quebra” que a função possui .
Para as funções de várias variáveis, em especial as funções de duas variáveis cuja representação gráfica se dá no espaço tridimensio-nal, é a análise da continuidade que propiciará a identificação de superfícies que possuem buracos ou rupturas . A existência de tal característica pode representar diferentes interpretações para si-tuações reais que são modeladas por esse tipo de função .
Está preparado para iniciar?
Então acompanhe os conceitos que serão apresentados nas três seções que compõem esta unidade e não fique com dúvidas no decorrer do seu estudo .
cálculo III unidade 2
Seção 1
Noção de limite de uma
função de várias variáveis
Para entender a noção de limite de uma função de várias variá-veis, você deve, em um primeiro momento, revisar o que já estu-dou em Cálculo I sobre o limite de uma função .
Naquela disciplina, várias análises foram realizadas quando o conceito de limite foi introduzido . O que faremos nesta seção será a generalização do conceito de limite, tendo como foco evi-denciar conceitos básicos e definições que ajudarão a entender o limite de funções de várias variáveis . Sendo assim, não iremos abordar novamente os aspectos que já foram estudados em Cál-culo I, mas sim revisá-los, buscando as generalizações necessárias . Para começar, você precisará conhecer algumas definições que provavelmente ainda não apareceram em outros contextos da ma-temática e que serão essenciais para o entendimento do limite de
Em tempo
Assim como fizemos na unidade 1, vamos focar o nosso estudo no limite de uma função de duas variáveis, pois será possível abordar as suas diferentes representações semió-ticas, entre elas, a representação
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Definição 1: Chamamos de bola aberta o conjunto de todos os
pontos internos à circunferência com centro em P0(x0 ,y0) ∈ IR2 e raio r. Sua representação algébrica é dada por
B(P0,r) = { (x,y) ∈ IR2 | 2 2
0 0
(x x− ) (+ y y− ) < r }
e a Figura 2.1 mostra sua representação gráfica.
Figura 2.1 representação gráfica da bola aberta em Ir2
Se trabalharmos com o espaço tridimensional, ou seja, o IR3, a
bola aberta será o conjuntos dos pontos internos à esfera com centro em P0(x0,y0,z0) ∈ IR3 e raio r . Sua representação gráfica
está na Figura 2 .2 .
cálculo III unidade 2
Ao analisar com atenção os detalhes das figuras 2 .1 e 2 .2, você irá perceber a existência de linhas pontilhadas nos contornos da cir-cunferência e da esfera . Elas indicam que os pontos da circunfe-rência ou os pontos da casca esférica não pertencem à bola aberta . Se as linhas não fossem pontilhadas, identificaríamos a existência de uma bola fechada, que pode ser representada por B[P0,r] .
Exemplo
representar graficamente as bolas B((2,2),1) em IR2 e B[(0,0,0),2] em IR3.
A Figura 2.3 representa a bola aberta B((2,2),1).
podemos dizer que essa bola aberta é o conjunto de todos os pontos internos à circunferência com centro em (2,2) e raio 1, ou seja, (x – 2)2 +(y – 2)2 < 1.
Figura 2.3 representação gráfica da bola aberta B((2,2),1)
Figura 2.4 representação gráfica da bola fechada B[(0,0,0),2]
na Figura 2.4 você visualiza a bola fechada B[(0,0,0),2].
nesta bola fechada temos todos os pontos internos e a casca da esfera com centro em (0,0,0) e raio 2, ou seja, x2 + y2 + z2 ≤ 4.
Em tempo A equação geral de uma circunferência é dada por: (x – x0)2 + (y – y 0)2 = r2,
sendo (x0,y0) o centro e r o seu
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Acompanhe a definição 2 que abordará o conceito de ponto de acumulação .
Definição 2: O ponto P ∈ IR2 será chamado de ponto de acumu-lação de A, sendo A ⊂ IR2 se toda bola aberta com centro em P contiver uma infinidade de pontos de A.
E para entender melhor esta definição, veja os exemplos que identificam pontos de acumulação .
Exemplo
verificar se os pontos (0,12), (0,1), (–1,–1) e (1,1) são pontos de acumulação de A = { (x,y) ∈ IR2 | 0 < x2+ −(y 1)2 < 1 }.
vamos, de início, representar graficamente o conjunto A, na Figura 2.5.
Figura 2.5 representação gráfica do conjunto A
para verificar se os pontos indicados são de acumulação, vamos traçar bolas abertas com centro em cada um dos pontos para que possamos identificar se existe uma infinidade de pontos da bola em A.
Analisando a Figura 2.6, podemos dizer que (–1,–1) não será ponto de acu-mulação. observe que a bola aberta desenhada com centro nesse ponto não possui pontos do conjunto A. É claro que se ampliarmos o raio vamos ter
inter-cálculo III unidade 2
secção com A, mas lembre-se de que a idéia aqui é observar próximo ao cen-tro. todos os outros pontos indicados, quando se tornam o centro de uma bola aberta, contêm infinitos pontos de A. em especial, o ponto (1,1) não pertence ao conjunto A, mas, mesmo assim, é ponto de acumulação, pois temos uma parte da bola aberta que está contida no conjunto A e, sendo assim, existem infinitos pontos deste conjunto que estão contidos na bola aberta B((1,1),r).
Figura 2.6 representação gráfica dos pontos a serem analisados.
Após o entendimento dos conceitos básicos de bola aberta e pon-to de acumulação, você já está pronpon-to para entender o limite de uma função de duas variáveis, a partir da análise da definição 3 .
Definição 3: O limite de uma função f : A ∈ IR2 → IR quando (x,y) se aproxima do ponto (x0 ,y0), que é um ponto de acumu-lação de A ∈ IR2, será um número real L se, para todo e > 0 existir um d > 0 tal que | f (x,y) – L | < e sempre que (x,y) ∈ A e 0 < | (x,y) – (x0 ,y0) | < d.
Esse limite pode ser representado algebricamente da seguinte forma: 0 0 ( , ) ( , )x ylim→x y f x y( , )= L ou 0 0 lim ( , ) x x y y f x y → → = L.
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unIverSIDADe Do Sul De SAntA cAtArInA
Na Figura 2 .7, é possível visualizar graficamente o significado do limite da função z = f (x,y) .
Figura 2.7 representação gráfica do significado do limite da função z = f(x,y)
Em Cálculo I, você já estudou de forma detalhada o cálculo do limite de uma função usando a definição . No exemplo a seguir, acompanhe como esse cálculo é similar ao que já era feito, sendo que agora estamos ampliando a análise para o caso de uma fun-ção de duas variáveis .
Exemplo
mostrar que → → + = x 1 y 2lim(x 2y) 5 usando a definição.
usando a definição 3, precisamos mostrar que para todo e > 0 existe um d > 0 tal que
| f(x,y) – 5 | < e ( 1 )
sempre que 0 < | (x,y) – (1,2) | < d.
o módulo | (x,y) – (1,2) | pode ser escrito como (x 1)− 2+ −(y 2)2 . Assim,
0 < (x 1)− 2+ −(y 2)2 < d.
Em tempo
Fique atento! Na Fi-gura 2.7 temos repre-sentado o domínio da função de duas variáveis D(f) e não o gráfi-co da função, que seria tridimen-sional. Na seção 1 da unidade 1, você já estudou a representação gráfica do domínio de funções do tipo z = f(x,y).
cálculo III unidade 2
usando ( 1 ), podemos encontrar d: | f(x,y) – 5 | = | x + 2y – 5 | = | x – 1 + 2y – 4 | = | (x – 1) + 2(y – 2) | ≤ | x – 1 | + 2| y – 2 |. como | x – 1 | ≤ (x 1)− 2+ −(y 2)2 e | y – 2 | ≤ (x 1)− 2+ −(y 2)2 , podemos dizer que | x – 1 | + 2| y – 2 | < d + 2d ou | x – 1 | + 2| y – 2 | < 3d sempre que 0 < (x 1)− 2+ −(y 2)2 < d.
Assim, se dissermos que d = e3 garantimos que 0 < (x 1)− 2+ −(y 2)2 < d e
então teremos:
| f(x,y) – 5 | ≤ | x – 1 | + 2| y – 2 | < 3e + 23e
= e
Desta forma, podemos concluir que
→ → + = x 1 y 2 lim(x 2y) 5.
Neste momento, assim como em Cálculo I, não iremos calcular os limites usando a definição, pois apesar de gerar um método eficiente, recaímos em cálculos que se tornam extensos e cansati-vos . Desta forma, torna-se essencial estudar as propriedades dos
Quando falamos de limites de uma função, podemos lembrar de John Fernoulle, que no final de 1600 descobriu uma re-gra para calcular os limites das frações cujos numeradores e denominadores fossem próximos de zero. Hoje, esta regra
