Elon Lages Lima-Logaritmos-Sociedade Brasileira de Matemática (1996)

Texto

(1)

Logaritmos

Elon L

ages Lima

(2)

Copyright ©, 1996

by

Elon Lages Lima

Diagramnção

e fotolitos:

GRAFTEX Comunicação Visual Ltda

e-mail:

home@graf1ex

.com.br

web:

hnp://www.graftex.com.br

Tel.

274.9944

Fax

.

274.8593

Rio de Janeiro

(3)

Conteúdo

1. l

fistória

2.

Revisão

3.

Funções

l

ogarítmicas

4.

Área

de uma

faixa de

hipérbole

5.

Aproximação por trapézios

6.

Propriedade fundamental

7.

Logaritmos

naturais

8.

O número e

9. A

f~

11ção exponenc

i

a

l

10. Outras bases

11. LogariLmos decimais

12. O

número

e

como

limite

13.

Crescimento

14. Aplicações

15. Temas

para

discussão, para

ensaios e exames

Apêndice

l

5

13

24

33

38

44

53

56

63

71

82

89

93

102

108

(4)
(5)

·

Prefácio

Esta

6

uma

vcr~ão

modificada de um pequeno lcxto expo"itório

sobre logaritmos, que escrevi há tempos e que foi publicado

originalmente, cm várias

edições, pela Sociedade

Brasileira de

~Iatemútica.

A presente

edição foi

financiada pela

sociedade

VITAE,

como

parte

de um projeto de treinamento de professores de Matemática

do segundo grau, iniciado no Rio de Jan

eiro, em

janeiro d~

1991.

Aproveito a

ocasião

para

externar

meus

agradecimentos a

VITAE, pela iniciativa do evento.

11anifesto ainda minha dívida a Jonas de Miranda Gomes,

que

usou o texto original em vários cursos e que cuidou, com paciência e

interesse, da presente edição.

Rio de Janeiro, fevereiro de 1991.

Elon Lages Lima

(6)

Prefácio da 2

ª

Edi

ç

ão

Nesta segunda edição

vários

erros existentes na edição anterior foram

corrigidos. Além disso acrescentei o Capítulo 15, onde são sugeridos vários

temas interessantes para discussão e

realização de ensaios, e são

propostas

diversas questões para exames.

Rio de

J

aneiro, abril de 1996

(7)

Introdu

çã

o

Este pequeno livro

contém

uma exposição elementar

sobre

logaritmos,

ap

resentando o

assunto de fom1a a transmitir as seguintes mensagens:

1

.

Os

logaritmos,

que durante três séculos e meio tão bem desempenharam

o papel de maravilhoso inslrumento para simplificar o cálculo aritmético,

penuitindo que

se

efetuassem, com

rapidez

e precisão, operações

cgm-plicadas como a multiplicação de dois números com muiros

algarismos,

ou uma

potenciação

com expoente fracionário, perderam há algum tempo

esse

l

ugar

de eficiente calculador, hoje ocupado com grande êxilo

pe-las

maquininhas eletrônicas. Apesar disso, os

logaritmo

s concinuam,

por

motivos bem diversos, a merecer uma posição de destaque no ensino da

Matemática,

devido à posição central que ocupam nesta ciêi~cia

e cm

suas

aplic~ções.

Essa

posição é pennanerite porque a função

logarítmica

e a sua

inversa, a

função

exponencial, constituem a única maneira de se descrever

matemáticamente a evolução

de uma

grandeza cuja

t

axa de crescimemo

(ou decrescimento) é proporcional à

quantidade daquela grandeza existente

num dado momento.

2.

Confom1e imaginado por seu

descobridor, Lord Napier, no início do

século

17, um

sistema

de logaricmos

é simplesmente uma tabela com duas

co

lun

as.

A

cada número

r

eal positivo x na coluna à

esquerda corresponde,

no

mesmo nível

à

direita,

um

número

real

L(x)

chamado o

logarirmo

de

x

(naquele sistema). Essa tabela deve satisfazer duas condições:

A) Se os números x da colu:rn à

esquerda estiverem dispostos em ore.km

crescente, o mesmo deve ocorrer com

seus logaritmos

L(x)

à

direita.

B) Se mulliplicarmos dois números positivos

x

e

y, o logaritmo

L(x.y)

(8)

Em

linguagem de

hoje, isto

pode

ser .reformulado

assim:

um sistema de

logaritmos

é

uma

função

L: R+

-

R,

cujo domínio

é

o

conjunto dos

números

reais positivos, a qual

possui as seguintes propriedades:

A)

L

é

crescente,

isto

é

x

<

y

-<=>

L(x)

< L(y);

B)

L(x.y) =

L(x)

+

L(y)

para quaisquer

x,

y

E

R+.

Dito isto,

a segunda mensagem

deste livro

é esta:

suponhamos

que,

de maneiras arbitrárias e independentes uma

da

outra,

tenhamos

obtido

duas funções

logarítmicas

,

ou dois sistemas

de

logaritmos

L

e M.

Pois

bem, não importa de que formas

L e M tenham sido definidas, existe uma

constant

e positiva

e

tal que

M(x)

=

e. L(x)

para todo x

>

O.

Noutras

palavras, pensando

num sistema

de logaritmos

como uma

tábua, o

único

modo de conseguir outro sistema é multiplicar todos os números da coluna

à direita por uma mesma

cons

tante.

O

significado desta mensagem

é

o de

tomar,

de certo

modo,

irre-levante

a maneira

parti

cular como

um dado sistema de

logaritmos

L foi

definido,

contanto que sejam válidas

as propriedades

A)

e B) acima. Se

chamarmos de

base de um sistema

de logaritmos

L ao

núm

ero

a

tal que

L(a) =

l,

um

modo

popular de definir a função L: R+ -

R consiste

em

pôr L(x)

=

y

se, e somente se,

aY

=

x, ou seja, chamar de logaritmo de

x

na base

a

ao expoente

y

ao qual se deve elevar a base

a

para obter

x

.

Esta

definição. embora htlstante:

rlif11nrlir

fa

:i~rec;rnt~ tr~~ in""~''"!'~~::!C'.',

que mostraremos agora.

O primeiro inconveniente é que ela requer que se

estudem

preliminar-mente as propriedades

da função

exponencial, em parúcular que se saiba

o significado de

aY

quando

y

é

irracional, e

que se

provem

regras

como

a_

Y

.az

=

aY+z

para

y, z

E

R+

quaisquer.

Tais

preliminares envolvem

dificuldades

técnicas

que

conduze

m ao

seguinte dilema:

ou passar por

cima dessas dificuldades, fazendo de coma que

elas

não existem -

o que

deixa a desejar do

ponto de

vista de

honestidade

científica -

ou esgotar a

paciência

do aluno (ou

leitor)

com

longos

detalhes

rebarbarivos.

O segundo inconveniente da definição de logaritmos como expoente é

que, tratando i

odas as bases da mesma maneira, ela não perm

ite apresentar

espontaneamente o número e como

uma

base especial, que se distinga

naturalmente

das demais. Como se sabe, e será amplamente mosuado

nes1e 1exto, os logariunos de base

e

surgem

naturalmente em problemas de

(9)

origens as

mais diversas, daí serem chamados de

logaritmos nalurai

s

.

Na

definição de logaritmo como expoenie, o número

e

aparece artificialmente.

O terceiro inconveniente da

definição de logaritmo

como expoente

é

a dificuldade

de

se estabelecerem

certas desigualdades fundam

enta

i

s,

como por exemplo

L(l

+

x)

<

x

(válida para logaritmos de base

e), que

é óbvia na definição geométrica.

3.

A t

erceira

mensagem deste livro é qu

e

a d

efi

nição geométrica dos

lo

-garitmos apresenLa uma vantagem incontesLável de simplicidade conceituai

e

t

éc

nic

a.

N

a

realid:idc, cada

um

dos 3 inconvcnienlcs apomauos

a..:im

.t

para a definição de logaritmo como expoente

constitui, em contraponto,

uma

vanLagem nítida da definição

geométrica.

A definição geométric

a

depende apenas

do

conceito

de área

de uma figura plana e

a propriedade

fundament!J.l

L(x.y

)

=

L(x)

+

L(y)

resu

lta merament.e do fato de que

a

área de um retângulo não se altera quando se

multiplica sua base por um

número e

se

divide a altura pelo

mesmo número. Em segundo

lugar, na

definição geométrica

o número

e

surge de modo

natural

e

os

logaritmo

s

que se definem dessa maneira são os de base e. E, finalmente, as

desigual-dades fundamentais como

L(l

+

x)

<

x

são evidentes quando L

(l

+

x)

é definido como urna área.

Desta desig

ualdade resul

t

a, por exemplo, que

para valores muito grandes de

x,

L(x) é insignificante diante de

x.

4.

A última mensagem deste

livro, tal

vez a mais importante, está no

capítul

o final: o estudo dos

logaritmos naturais e da função expo

nenc

ial

ez

é

recompensador pela variedade de aplicações simples, surpreendentes,

interessant

es

e variada

s

que daí resultam

sem

maiores esforços adicionais.

Espero ter consegu

i

do marcar

esses pomos de modo claro e

com-preensível no

tex10 que se

segue e

que

sua

leitura seja amena e

provei-t

osa.

(10)

N

ot

ações

Neste livro

~saremos

as seguintes

notações:

N,

conjunto

dos

mimeros

naturais.

N

=

{1,2,3, ...

,n, ... }.

Z, conjunto dos

mímeros

iw

e

ir

os

Z

=

{

...

,-3,-2,

-

1,0,1,2,3,

.

..

,n,

...

}.

Q, conjunto dos ntímeros

r

acionais

r. r. I .. .... - .., - - ,... ' '

... \i'/'J>t''- -1'.1 '-- 1

R,

conjunt

o

dos números

reais

R+, conjunto

dos

mímeros

reais positivos

R

+ =

{x

E

R;

x

>O},

=>,

símbolo de

implicação

lógica.

A

expressão

A=>

B

l

ê-se

"A

i

mplica

B".

Por

exemplo x

E

Q

=>

x

E

R.

(11)

1

.

Histór

i

a

No fim

do

século

XVI

,

o desenvolvimento

da

Astronomia e da Navegação

ex

i

gia

lon

gos

e

laboriosos

l

cu

l

os

aritméticos.

Um

auxílio precioso

fora obtido com

a rec

e

nt

e

inven

ção

das frações

decimais,

em

bora

ainda

o

suficientemente difundida.

Mesmo a

ss

im, achar um método que penniris

sc

efetuar com

prest

eza

mu

lt

iplicações,

div

i

sões, potenciações

e extrações

d

e

raízes

era,

nos

anos próximos

de 1600,

um

problema fundamenta

l.

Se

g

undo o

grau de

dificuldad

e

, as operações

ar

i

tméricas podem s

er

cla

ss

ificad

as

em 3 grupos:

ad

ição

e subtração fonnam

as

operações

de

1~

espécie;

multiplicação e divisão são

de 2ª esp

écie,

enquanto que

potenciação e

7adiciaç.

ão

'

constituem

as

operações

de 3ª

espécie.

Pro

-curava-se entãÕÜm

prÕcesso

que pemlitisse reduzir cada

operação

de

2~

ou 3ª espécie a uma de

espécie

inferio

r

e portanto mais

simples.

A

co

m

ece

com

freqüência

que uma grande descoberta

científica

é

feita

s

imult

anea

m

ente

p

o

r

duas ou

m

a

i

s

pessoas trabalhando ind

epe

ndente-mente. Não se

tra

t

a

de

simples

co

i

ncidê

n

cia:

t

al

d

es

coberta

corresponde à

so

lução

de

um pr

oblema

imp

o

rtante, do qua

l

muito

s

se

vin

ham

ocupando.

Assim

aconteceu

com

os

iog

arít

mos. Jost Bür

g

i

(1552-

1

632),

suíço,

fabricante de

in

strumentos astronôm

icos, mat

emático

e

i

nventor,

e John

Napier

(1550-1617),

um

nobre escocês,

teól

ogo e

matemático,

cada um

deles

desconhecendo

inteiramente

o

outro,

publi

caram as

primeiras tábuas

c.le loganunos

.

As

t

ábuas de

Napier

foram

publicadas

em 1614 e as

de

Bürgi

em

1

620.

A i

n

fl

uência

de Napier

no d

esenvo

l

vimen

t

o

dos

l

ogaritmos

foi muito

m

aior

d

o

que a

de

Bürgi,

devido

a suas publicações e

seu

r

e

lac

i

onamento com

profe

ssores

universi

l

ários.

(12)

2

História Cap.1

números.

A cada número de

coluna

à

esquerda corresponde

um

número

à

sua direita,

chamado o seu

logaritmo.

Para multiplicar

dois

números,

basta

somar seus

l

ogaritmos; o

r

esultado

é

o logaritmo do

produto.

Para

achar

o produto,

basta

ler na t

ábua, da di

r

eita

para

a

esquerda, qual

o

n

úmero

que tem

aquele

l

ogaritmo. Semelhantemente,

para di

vidir

dois

núm

eros

o

asta

subtrair os logaritmos.

Para elevar um

número a uma potência basta

multipli

car

o l

ogaritmo do

n

úmero

pelo expoente. Finalmente, p

ara extrair

a rai

z

n

-ésima

d

e

um número, ba

s

ta dividir o logaritmo

do número pelo

índice d

a

r

aiz.

Na t

erminologia

matemática de hoje, uma

correspondência

como essa

es

t

abelecida por

meio de uma

t

ábua

de l

ogaritmos

é

o

que se

chama de

função. Convém notar, porém,

que a

inv~nção

dos l

ogaritmos

foi

an

t

enor

à

introduç

ão do conceito de

função na Matemática. A utilid

ade

original dos l

ogaritmos resulca portanto

da

seguin

t

e observação:

o trab

alho

d

e

elaborar uma t

ábua de

logaritmos,

por

mais longo

e

cansativo qu

e

s

eja,

é

u

m

só. Depois

de

l

e executado, ninguém precisa

mai

s,

digamos, ef

etuar

multiplicações;

adições

bastam.

Lo

go depois do aparec

i

mento da primeira

t

ábua de

logaritmos

de Na

-p

ier, o

matemático i

nglês

Henry Brigg

s

(1561-1631),

professor da

Univer-sidade

de

Londres, e depois de Oxford, elaborou, juntam

e

nte 'com

Napicr,

uma

novd

tabua,

d~

m<u:;

iac1l

uull

zaçào,

comendo os chamados

loga-ritmos decimais, ou

l

ogaritmos

ordinários, que

t

iram proveito do fato

·

de

usarmos

u

m sistema de numeração decimal.

Durante os quase 4 séculos que sucederam

à

descoberta dos

lo

ga-ritmos,

sua utilidade

r

eve

lou-se d

e

cisiva na Ciên

c

ia

e

na

T

ecnologia.

J

á

Kepl

er, por volta de

1

620, atescava seu

reconhecimento pela nova des

co-berta

que

segundo ele "aumentava

vastamente o

pod

e

r

computacional do

astrônomo". O próprio Napi

e

r,

um

t

anto

imod

es

t

amente,

reconh

ecen

do

o

valor de

sua descoberta, deu às suas

tábu

as o

círnlo

Mirifici

logarithmorum

canonis descriptio, que

sign

ific

a

Uma descrifão

da

maravilhosa regra dos

logaritmos.

Recentemente, com a utilização cada vez mais divulgada das calcu

-ladoras, as

t

ábua

s

de

loga

ritmos perderam

muito

do seu interesse corno

insrrumento de cálculo, o mesmo acontecendo

com

Olllras

t

abe

l

as

ma-t

emáticas.

Mas o estudo dos

lo

gari

tm

os

ainda

é

e

continuará

a

ser d

e

central importân

ci

a.

Com

efeito,

embora eles

te

nham sido

invent

ados

como a

cessó

ri

o

par

a

facilitar operações aritméticas, o desenvolv

im

ento da

(13)

Cap.1 - Hislôrla

3

Matemática

e

das ciências

em geral

veio mostrar que diversas leis

ma-t

emáticas

e vítrios fenômenos físicos,

químicos,

biológicos

e econômicos

são estreitamente

relacionados

com os

logaritmos. Assim

sendo, os

l

oga-ritmos,

que no princípio eram importantes apenas por causa das

t

ábuas,

mostraram t

er apreciável valor

intrín

seco

.

NQ capítulo

14,

daremos alguns

exemplos

elementares de aplicações

de

logaritmos

em problemas que não

têm

n

atureza estri

t

amente computacional.

·

Exe

r

cíc

i

os

1.

Os antecessores de Napier e Bürgi, não conhecendo

ainda os

logaritmo

s,

adota

vam

um processo para o

cálculo

do

produto

,

baseado na

conhecida

fónnu

l

a de rrigonomerria:

1

1

COS

X

·

COS y

= -

COS

(X

+

y)

+ -

COS

(X

-

y)

.

.

2

2

Dados dois números

X

e

Y

para multiplicar, mudando

seus sinais e a

posição das vírgulas, podemos

supor

que

X

e

Y

estão compreendidos

entre O

e

1.

Por meio de uma

t

ábua

de funções

trigonométr

i

cas (que

existe

desde o

t

empo

de Ptol

o

m

e

u),

achamos

número

s

x,

y

tais que

cos

x

=

X

e cosy =

Y.

Calcu

l

amos a soma x

+

y e a diferença

x

- y

.

Novamente

a

t

ábua

nos

fornece cos(x

+

y) e

cos(x -y).

O

produto X

·

Y

procurado

será

simplesmente

a metade da soma cos(x

+

y)

+

cos(:;:;

-

y).

Usando

este

método,

calcule os

produtos

abaixo:

a)

0,921

X

0,758.

b)

(0,

85771)

2. C)

0,873

X

0,802.

No

ta:

Uma das desvantagens deste mécodo lrigonométm:o é a tlihcukl:\de

em aplicá-lo

para

produros de

mais de três

fatores.

Isto

sem falar na

sua

inutilidade

para cálcu

lo

de

potêm

:

ias

e

raízes.

2. Outr

o substituto

rudimentar

dos

l

ogari

tm

os, no cálculo de produtos,

é

uma 1

abela

para

os valores da

função

y

=

(x/2)

2

.

Traia-se

de uma

ta

bela

que fornece, à direita de cada

número, o quadrado

da

su

a

metade. Por

meio dela podemos

reduzir~

produto de dois números quaisquer a somas

(14)

• 4 História C.p.1

e diferenças, utilizando

a

f

órmula:

x·y=

(X+Y)2-

(X-Y)2.

2

2

Assim, para calcular o produto

xy,

efetuamos

a

soma

x

+

y

e

a

diferença

x

-

y.

Olhand

o

a tabela, obt

emos

(x

+

y)2

e

(x-y)2.

2

2

Submundo estes

re

sultados, obtemos o produto procurado.

Tópico

s

pa

r

a

deba

t

e:

a)

Qual

o

método

mais

simples,

este ou

o

do Exercício

1?

b)

Por que e

s

te mét

odo

o s

ub

s

titui

os

lo

garinnos?

(15)

2.

R

e

vi

o

Sem dúvida, a primeira constacnção de que, em

ccnos casos,

é possível

reduzir uma multiplicação a uma adição, ocorreu ao se compararem os

ter

-mos de uma progressão geométrica com os de uma

progressão ariunéli

c

a,

como por exemplo:

2 4

8

16

32

64 128 256 512 1024

1 2 3

4

5

6

7

8

9

10

)

Para mulriplicar dois cermos

da progressão geomérrica (por exemplo,

16

x

64)

basta

somar

os seus

correspondences

na

progressão

aritméLica

(no caso,

4

+

6

=

10)

e ver qual o

termo

da progressão

geométrica que

corresponde a essa soma. (Neste exemplo, ele é 1024.)

EvidenLememe,

a

regra acima enumerada nada mais é do que

a

conhe-cida

regra

para mu

l

tiplicar potências

de

mesma base:

am

. a'

1

=

am+

r

i.

Basta somar os expoent

es.

É

importante, entretanto, observar

que

es

s

a

redução da muhiplicação

à

adição

foi

constatada

muito antes

que

exi

s-Lisse

a notação de expoente

para indicar

as

potênci

as

de um

número.

Na

realidade, os

logaritmos foram inventados ames da nOLaç

ã

o exponencial!

Seja como for, a regra

a

m

·a n

=

a m+ n

sug

e

re a con

s

rruçào de

uma

tábua de

logaritmos (de base

a)

muito rudimentar: na

coluna

à esquerda

1

.

istam-se as potencias e

~

.

d

a,

como

a,

a , a , ... ,

2 3

a

n

, . . .

(d .d

ev1

:unente

calculadas)

e à direita os expoentes

correspondent

es

:

1, 2, 3,

.

.

.

,

n,

....

1

\

mu

lt

i

pl

ica

ç

ão

am · a

n

se f,v c:o1110

j~1

foi cxpLcJtlo acim:t.

É

d.m.>,

contudo, que nossa tábua,

assim elaborada,

é

ins

a

ti

s

fat

ó

ri

a

, pois só perm

i

te

calclllar produtos

de

números da forma

a

n,

onde

n

é um número

n

:

uur

a

l.

Acontece

que,

uma vez difundida

a

no

ração expon

e

ncial

a

n,

n

ã

o

tardou muito a idéia de se considerarem potências com expoemes neg

a

tivos

(16)

6

Revisão Cap.2

e fracionários,

e a

constatação de que, se

a é

um número positivo diference

de

1

encâo

t

odo número

r

eal positivo pode ser arbitrariamente aproximado

por potências de

a

com

expoentes racionais. Esta observação conduz

à

po

ss

ibilidade

de

elaborar uma tábua de

l

ogaiitmos

(de base

a)

que

contenha, em sua coluna

à

esquerda, números bastante

p

róximos daqueles

que pretendemos multiplicar.

As considerações acima justificam a necessidade de uma revisão do

conceito de potência de

um

número real, com expoente racional qualquer.

Tal

r

evisão

é

o objetivo deste cap

í

tulo.

O

escudo

que se s

e

gue restringe-se a potências de um número positivo

a

.

É claro

qu

e

se

a

fosse

negativo não haveria -problema para definir

an

para

n

EN

e

mesmo

a-n.

Entretanto, como veremos aqui,

a

1

f

n

significa

\fã.

Dado que números

r

eais negativos não possuem raízes reais do

tipo

\fã

(índice

n

par),

o estudo

de potências reais de

expoente

racional com

base negativa

seria

confuso, cheio de exceções e impraticável.

Seja

a

um número real positivo. Dado

um

inteiro

n

>

O,

a

porência

an

é

definida como

o produto

de

n

fatores iguais ao

número

a.

Ou

seja:

an

=

a

·

a···

a

(n

fatores).

Vale a propriedade fundamental:

am. an

=

am+n

(

m,

n

inteiros p

os

itivo

s)

.

Se

quisermo

s

definir a

0

de modo

que a propriedade

acima con

ti

nue

válida, seremos

obri

gados

a convencionar

que a

0

=

1

,

a

fim

de

tenno

s

aº.

an

=

ao+n

=

a'i.

Procurando

ainda estender

a

noção

de potênci

a

de

modo a abranger

expoentes n

ega

tivos

e fazê-lo

de

forma

a

manter a validez

da propriedade

fundamental, devemos

ter:

1

donde

a-n

=

- .

an

Assim,

a única maneira

possível

de definir a

porên

cia

an

(com

n

int

eiro)

de

t

al

maneira que a relação am

.

an

=

am+n continue

verd

adeira,

m

esmo

quando

m

e

n

são inteiros positivos ou negativos, consiste em

pôr:

-n

1

a

=

(17)

Cap.2 Revisão

7

Evidentemente,

a

relação fundam

ental

vale para o produto de várias

potências, como por exemplo

am.

an. aP

.

aq

=

am+

r

i+p+q

.

Em panicular, tomando

um produto de

p

fatores

iguais a

am, obremos

a

m . a m

... a

m

=

p.

mp,

ou

seja,

(am)p

=

amP.

Antes de prosseguirmos,

l

embremos

que,

dados

um número real

a

>

O e

Ull)

núm

ero

int

eiro

q

>

O,

o símbolo

~

reP..resenta

o

número real

positivo

cuja q-ésima potência

é

igual

a

a,

ou seja, a única raiz positiva

da

equação

xq

-

a=

O.

Portanto,

as afirmações

o/a

>

O

e

(

\'l'ã)q

=

a

constituem a

definição

do

número real

ifã,,

chamado a

r

aiz

q-ésima

do

número positivo

a.

Procuremos agora estender

a n

oção

de potência

de um

número real

a

>

O, de modo

a

i

ncluir expoentes fracionários,

da forma

r

=

p

/

q,

onde

p,

q são

inteiros

e

q

>

O.

Queremos dar

essa

definição de modo

a

não

des-truir

as

prop

riedades

anterionnence válidas

.

Assim

sendo,

devemos definir

a potência

aPf

q

de

modo

a t

ermos

um númer

o rea

l positivo

cumpri

nd

o:

(aPfq)q

=

alp/q)

·q

=

aP.

Logo,

aPfq

deve

se

r o

n

úmero

real p

ositi

vo cuja q-ésima potência é i

gual

a aP.

Po

r definição de

raiz,

isto

sign

i

fica afirmar que

aPfq

=

ifOi

.

Em rnniculnr,

n

t/q

=

!![fi.

Agora, dado

um

número real

a>

O,

sabemos definir a porência

ar,

que

r r

seja

inteiro positivo

nulo,

negativo

ou fracionário. Em

suma,

ar

está definido, para todo número

racional

r.

Observemos

que, mesmo

para r

=

p

/

q

e s

=

u / v

fracionários

(q

>

O

e

v

>

O),

vale ainda a propriedade

(18)

8

Revisão

Com efeito, sabemos que

Logo:

(a

r

)q

=

aP

e

(as)v

=

au

.

(ar.

as)qv

=

(a

r

)qv. (as)qv

=

a

r

qv. asqv

=

aPV. auq

=

aPv+uq.

Cap.2

Vemos que

ar· a

3

é o número cuja qv

-és

i

ma potência vale

aPv+uq.

I

sto

quer dizer

que:

Como

pv

+

uq

p

u

=

-

+-

=

r

+s,

qv

q

t1

temos

De

posse da

definição e da propriedade fundamental das potências

de expoemc

r

acional

de um número real

a

>

O,

os

livros tradicionais

definem o logaritmo do seguinte modo:

Dado um número

real

a>

O,

o

logaritm

o

de um

n

úmero

x

>

.

o

na

base a é o expoente

y

a que se deve elevar a de

tal

modo que

aY

=

x.

Escreve-se

y

=

Ioga

x

e lê-se

y

é o

l

ogaritmo de x na base a.

Vamos usar o

sin

,al

<=>

para exprimir que duas

afirmações

são equi

-valentes (isto é, têm

o mesmo

significado). Podemos

escrever então:

Ioga

x =

y

{;}

aY

=

x.

Ou seja, dizer que

y

=

I

oga

x

é o

mesmo

q

ue afirmar que

aY

=

x.

Desta definição decorre

imediatamente a propriedade fundame.ntal dos

logaritmos, que

é

a

seguinte:

I

oga {

ux)

=

Ioga

u

+

Ioga

x.

Para

provar

isto

,

basta escrever

Ioga

u

=

v,

Ioga

x

=

y.

Isto

quer

dizer

que

a

11

=

u

e

aY

=

x.

Segue-se então que

a

11

aY

=

ux,

ou

seja,

que

av+Y

=

u.x.

Esta última igualdade

significa

que

v

+

y

=

Ioga

(ux),

i

sto

é,

que

(19)

Cap.2 Revisão 9

Vejamo

s agora

um

exemplo concreto.

T

o

memo

s,

como fez Briggs, o

número 10, base de

no

sso sistema

de numeraç

ão

,

para

base

dos

lo

gari

tmo

s.

Qual

seria

o logaritmo

de 3 na base 10?

Por

definição, l

ogto 3 é o número

y

tal que

!OY

=

3.

Suponhamos que

y

=

~ fosse um número

racion

al.

Então teríamos:

e

ponanto

lOP

=

3q.

A última igualdade

é

um absurdo po

is

10P

é

1

seguido de

p

zeros

e,

evidentemente,

3q

=

3 · 3 .

.

. 3 não rem

esta

forma.

Assim log

10

3 não pode ser um número racional.

Façamos

aqui

uma pequena pausa para lembrar que

os

números reais

(positivos, n

ega

tivos

ou zero) podem ser racionais ou

irra

c

ionais. Os

pri-meiros

t

êm a fonna

p/ q

com

p

e

q

in

teiros, sendo

q

> O,

e

caracterizam-se

pela

propriedade de, quando

trnnsfonnados

em

frações

decimais,

t

erem

desenvolvimento finito

ou

periódico. Os números

irracionais, como

J2.

v13.

etc., não podem

ser

expressos como

quocientes

p/

q

de dois

intei-ros.

Por conseguinte,

o desenvolvimento decimal

de um número irracional

nem é exato

nem periódico

.

Quando

se escreve

um núm

e

ro

como

7r,

por

exemplo, sob forma

de

fração decimal,

digamos

3,141592,

estamos dando

apenas um valor

aproximado (neste caso,

porque tomam

os

6 casas deci·

mais,

o

erro cometido

é

menor do que

0,000001,

ou seja,

1 mili

onésimo).

Voltando aos

logari

t

mos,

se

y

=

l

og

10

3 não pode

ser

um

número

racional,

que número

irracion

a

l

y

é este,

tal

que

10:1

=

3?

E que significa, afinal de contas,

uma p

otência com

expoente

irr

ac

io

-u

aJ? Qut! siguilic.t,

p

o

r exemplo,

io

fi

,

a

/:l-ésima potencia <k

10'!

Estas são pergumas cruciais, que devem ocorrer

irn

ediacamcnte

quan-do se define o

l

ogaritmo

como expoente.

É

possível explicar satisfatoriamente o

s

ignific

ado

de uma

potência

com expoeme irracional.

Por

exemplo

10fi

é

definido assim:

tomam-se os valores

l,'I;

1,41;

1,414

etc., aproximações racionais do número

irra

ciona

l

J2.

Os

núm

eros

iot•'1,

10

141,

10

1

•.a

4

etc. são '

'

alares

(20)

aproxi-1 O Revisão Cep.2

mados de

ioJ2.

T

anlo

mais próximo esleja o número racional

r

de ../2,

mais próximo estará 10r de

iov'2.

O des

envolvimento

sistemático da teoria das potências com expoente

real (racional e

irracional),

para servir de base ao esmdo dos logaritmos,

é

um

processo

l

ongo

e

t

edioso.

A maioria dos autores

modernos prefere

definir diretamente os

lo

ga

-ritmo

s

de modo geométrico, com base

n

a

noção de área de uma

figura

plana. A

s

demonstrações se

t

omam

mais simples

e

os conceitos mais

intuitivos. Este

é

o

caminho

que usaremos neste livro.

Exercíc

i

os

1.

Assinale a

resposta

certa:

1.1)

3/4

5

=

a)

4

8;

b)

Ç 8;

c)

15-

1;

d) nada disso.

1.2)

(3

-

3)3

=

ii)

1

:

h'\

:-l -9:

r'\

~-21;

ri)

"'l"r'h

cli<:~o

1.3) 5

2

/3

2

=

a)

(5/3)

2 ;

b)

(5/3)-

1;

c)

5-

6 ;

d) nada diss

o.

1.4)

0,00003

=

a)

1/3

x

10-

3;

b) 10-

3 ;

c)

3

x

i

o-

5 ;

d) n

ada

disso.

l.S)

3

X

10-

7

=

6

X

10-

3

a)

4

x

10

L

0;

b)

5

x

10

4;

c)

0,5

x

io-

4;

d) nada disso

.

1.6)

s

2 / 3

=

a) 2; b) 9; e)

32../2;

d) 4.

1.7)

21-

2/ 3

=

a)

1/18;

b)

1/81;

c)

1/9;

d) -18.

1.8) 16

3

1

4

=

a)

12; b)

8; c)

6; d) 64.

1.9)

233/2

=

a)

125;

b) 5;

c)

15

;

d

)

nada disso.

(21)

Cap.2

1.10)

{0,00001)-3/s

=

a) 0,001; b) 1000; c) lo-

1

s /

10

-

25.

1.11)

g-4/3

=

a)

1/6;

b)

16;

c)

1/8;

d)

1/16.

l.1

2)

(H

X

10-6)1/3

=

a)

4

~

0

;

b)

13"

x

10-

2;

e)

i

1

x

10-

4•

1.13) {49

X

10-

4

)1/

4

=

a)

{l;

b)

(10

X

7)-

2; 1

foo.

2

.

.

Simplifique

as

expressões abaixo:

xs/2

a)

xs.

x-1/2.

.

x2

.

x-3

b)

{l

+

at/

3)(

1

- a

t

/3

+

a2/3).

)

b

4

b2

b-

1

c

-

+

1

-b,

+b_,.

3.

Simplifique e ponha

sob

forma de potências:

a)

fl.·

b)

M(v'TSS-

~)

Revisão 11

4.

A

desigualdade

x

<

y

significa que a diferença

y

-

x é

um número

positivo. Usando o fato

de

que o produto de

dois núm

eros

positivos

é

positivo, prove as

seguintes

afirmações:

a)

Se

x

<

y

e

a

>

O

,

então

ax

<

ay.

b)

Se

x

<

y

e

a<

O,

então

ax

>

ay.

c)

Se

O

<

x

<

y

e

O<

x'

< y'

então

xx'

<

yy'.

d) Se

O

<

T

<

y.

cntfo

,.n

<

yn

p:ira

todo

inteiro

11

"'>

O

. •

·

yn

<

r

n

para todo inteiro

n

<

O.

5.

Prove

que,

para

t

odo

inteiro

n

>

1 e para todo

x

:f:

O, com

x

>

-

1,

tem

-se

{l+x)n>l+nx.

Use esta desigualdade para achar um expoente

n

tal

que (

1,

001)

ri

seja

(22)

12

Revisão

6. Prove

que se

x

>

1 então

as potências sucessivas

2 3 4.

x,

X , X 1 X 1 • • • 1

etc.,

Cap.2

crescem e

podem

vir a superar qualquer

número

fixado

de

antemão.

Mais

precisamente se

x

>

1

então, dado qualquer

A

>

O,

é

possível

obter

um

inteiro

n

tal que

xn

>

A.

(Evidentemente, sendo

xn

>

A,

ter-se-á,

também

xn+i

>A,

xn+z

>A

etc.).

7.

Seja

O

<

x

<

1. Mostre

que as

potências sucessivas

2 3 4

x,x

,x

,x

,

... ,

etc.,

decrescem e podêm

tornar-se inferiores

a qualquer

é

>

O prefixado.

Em

particular,

obtenha

um expoente

n

>

O tal que

(O, 999)

n

seja menor do

(23)

3

.

Fu

n

çõ

e

s

l

oga

r

ítmica

s

Revimos no capítulo

anterior

a

definição

tradicional de logaritmo,

mos-trando algumas dificuldades conceituais com ela

relacionadas

e anunciando

que neste

livro

os

logaricmos

serão

tratados geometricamente.

Antes, porém, de iniciarmos

esse estudo geométrico

provaremos

que

os

logaritmos

se

deixam caracterizar por

duas

propriedades extremamente

simples e

naturais, de modo que

a

escolha de processo de

apresentá-los

é

apenas

uma questão de preferência. Uma vez que valham aquelas duas

propriedades,

existe urna maneira de

alterar

um sistema de logari

t

mos:

multiplicar por uma mesma constante todos os logaritmos desse

siscema.

Neste capínilo, daremos a definição de função logarírmica,

estabe-leceremos suas propriedades básicas e mostraremos que, a menos de um

fator

constante, duas quaisquer funções logarítmicas coincidem.

Uma funçãÕ

r

eal

L: R+ -

R,

cujo

domínio é o conjunto

R+

dos

números reais positivos, chama-se

umafimção

logarítmica

ou

um

sistema

de logar

i

tmos

quando tem

as seguintes

propriedades:

A)

L

é uma/unção

crescente,

isto

é,

x

<

y

=>

L(x)

<

L(y);

B)

L(xy)

=

L{x)

+

L(y)

para quaisquer

x,

y

E

R+.

Para todo

x

E

R+,

o número

L{x)

chama-se

o

logaritmo

d

e

x.

(Se

estivcn11os contemplando outras

funçõe

s

loga.iítmicas

além

de L,

diremos

que

L{

x)

é

o

lo

garitmo

de

x

segundo

T,

,

1)U

no

'iiuema

df' /ngnritmM

T,)

Faremos

agora

uma lista de propriedades

das funções

logarí

tmicas,

isto

é,

propriedades que são conseqüências de

A)

e

B)

acima enunciadas.

P

rop

r

i

e

d

ade

1.

Uma função logarítmica

L: R+

-

R

é sempre

injetiva,

isto

é,

mímeros positivos diferentes têm logaritmos diferemes.

(24)

14

Funções logarltmlcas Cap.3

Com efeito, se

x,

y

E

R+

são diferentes,

ent

ão

ou x

<

y

ou

y

<

x

.

No

primeiro caso,

resulta

de

A)

que

L(x)

<

L(y).

No

segu

nd

o caso

t

em-se

L(y)

<

L(x). Em

qualquer

hi

pótese,

de

x

=P

y

conclui-se que

L(x)

=/=

L(y).

Pr

op

ri

e

dade 2. O lo

gar

itmo

de

1

é

zero

.

Com efeito

,

por

B)

temos

L(l)

=

L(l.1) = L(l)

+

L(l)

,

lo

go

L(l)

=

O.

Pr

opr

i

edade 3.

Os números maiores do que

1

rêm

logaritmos

po

sirivos

~

os

mímeros posicivos

menores do que

1 1

ê'}1

·

Logarirmos

negativos.

Com efeito, sendo

L crescente, de

O

<

x

<

1

<

y

resulta

L(

x)

<

L(l)

<

L(y),

isto é

L(

x)

<O <

L(y).

P

r

opr

i

ed

ad

e

4.

Para

r

odo

x

>

O

,

tem-se L(

l/x)

=

-

L(x).

Com efeito, de x· (l/x)

=

1

resulta que L(x)

+L(

l/x)

=

L(l)

=

O,

donde

L(l/x)

=

-

L(x).

Proprit:dadc 5.

Par

a

quaisquer x,

y

E

R+,

val

e

Com efeito,

T f ~

t'

.L~:1)·

L(x/y)

=

L(x · (1/y))

=

L(x)

+

L(l/y)

=

L(x)

-

L(y)

.

P

rnprieda

d

e

6

.

Para t

odo

x

E

R+

e

codo número

ra

cional

r

=

p

/ q

t

em

-

se

L(xr)

=

r

·

L(x).

A demonstração da Propriedade 6

se

faz por etapas

.

Em primeiro lugar,

observa-se

que a propriedade

L(xy)

=

L(x)

+

L(y)

se estende

para o produto

de

um número

qualquer

de fatores. Por exemplo,

L(x

·

y

·

z

)

=

L((xy) · z)

=

L(x

·

y)

+

L(z)

=

L(x)

+

L(y)

+

L(z).

E

assim

por diante:

(25)

Cop.3 Funções logorilmlcus

1

5

Em

particular, se

n E

N

então

L(xn)

=

L(x ·

x ·

· ...

x)

=

L(x)

+

L(x)

+

..

.

+

L(x)

=

n · L(x).

Portanto

,

a Propriedade 6 vale quando

r

=

n

é um

núm

ero

natural.

Ela

t

ambém

vale quando

r

=

o

pois, para todo número

x

E

R

+,

t

em-se que

x

0

=

1,

logo

L(xº)

=

L(l)

=

O= O·

L(

x).

Consideremos a

g

ora o

r:u;o

cm

q11c

r

.

=

-n,

n

E

N,

is10

é,

onde

r

é

um

inteiro

negativo. Então, para

todo

x

>

O

temos

xn

·

x-n =

1.

Logo

e

daí

Finalmente, o

caso gera

l,

em

que

r

=

p

/

q,

onde

p

E

Z

e

q

E

N

.

P

ara

todo

x

E

R

+

temos

(x

r

)q

=

(xpfq)q

=

xP

.

Lo

go

q ·

L(xr)

=

Ll(x

r)ql

=

L(xP)

=

p

·

L(x),

em virtude do

que

j

i:í

foi provado

.

Da igualdade

q

·

L(xr)

=

p ·

L(x)

resulta

que

L(x

r

)

=

(p/q) ·

L

(x), ou seja, que

L(x

r)

=

r

·

L(x).

I

sto

t

ermina a demonstração

da Propriedade 6. A

r

e

s

trição de que

o expoente

r

seja

racional provém do

fato

de

sabe

rm

os apenas definir

potências com expoente racional.

Na verdade, a

t

eoria

dos

logaritmos

fornece

a melhor maneira

de definir

x

r

quando

um

número

irr

acional.

Convém enfatizar que as

P

ropriedades

1

a 5,

bem como

a;

demais

a

serem

estabelecidas

nesce capfrulo,

valem para

t

odas as funções

lo-garítmicas, isto

é,

resultam apenas

das

propriedades

A), B)

e

não

da

ma-neira particular como os

logaritmos venham a

ser

d

efinidos.

Proprirdncfc 7

.

Uma

função logarítmica

L:

r.+

·Ré

ili·~:iwda,

s ..

p

cr

f

o

r

e

i11f

eriorme111e.

A

afirmação acima

sign

ifica

que, dados arbitrariamente

núm

eros

reais

a

e

/3,

é

sempre

possível achar

números positivos

x

e

y

t

ais que L(x)

<

a

e

L(y)

>

{3.

Antes de provam1os a

Propriedade 7,

é

in

strutivo

examinar

exemplos de funções conhecidas, como f

,

g,

h:

R

~

R,

dadas por

f

(x)

=

Imagem

Referências