Logaritmos
Elon L
ages Lima
Copyright ©, 1996
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Elon Lages Lima
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Fax
.
274.8593
Rio de Janeiro
Conteúdo
1. l
fistória
2.
Revisão
3.
Funções
l
ogarítmicas
4.
Área
de uma
faixa de
hipérbole
5.
Aproximação por trapézios
6.
Propriedade fundamental
7.
Logaritmos
naturais
8.
O número e
9. A
f~
11ção exponenc
i
a
l
10. Outras bases
11. LogariLmos decimais
12. O
número
e
como
limite
13.
Crescimento
14. Aplicações
15. Temas
para
discussão, para
ensaios e exames
Apêndice
l
5
13
24
33
38
44
53
56
63
71
82
89
93
102
108
·
Prefácio
Esta
6
uma
vcr~ãomodificada de um pequeno lcxto expo"itório
sobre logaritmos, que escrevi há tempos e que foi publicado
originalmente, cm várias
edições, pela Sociedade
Brasileira de
~Iatemútica.A presente
edição foi
financiada pela
sociedade
VITAE,
como
parte
de um projeto de treinamento de professores de Matemática
do segundo grau, iniciado no Rio de Jan
eiro, em
janeiro d~
1991.
Aproveito a
ocasião
para
externar
meus
agradecimentos a
VITAE, pela iniciativa do evento.
11anifesto ainda minha dívida a Jonas de Miranda Gomes,
que
usou o texto original em vários cursos e que cuidou, com paciência e
interesse, da presente edição.
Rio de Janeiro, fevereiro de 1991.
Elon Lages Lima
Prefácio da 2
ª
Edi
ç
ão
Nesta segunda edição
vários
erros existentes na edição anterior foram
corrigidos. Além disso acrescentei o Capítulo 15, onde são sugeridos vários
temas interessantes para discussão e
realização de ensaios, e são
propostas
diversas questões para exames.
Rio de
J
aneiro, abril de 1996
Introdu
çã
o
Este pequeno livro
contém
uma exposição elementar
sobre
logaritmos,
ap
resentando o
assunto de fom1a a transmitir as seguintes mensagens:
1
.
Os
logaritmos,
que durante três séculos e meio tão bem desempenharam
o papel de maravilhoso inslrumento para simplificar o cálculo aritmético,
penuitindo que
se
efetuassem, com
rapidez
e precisão, operações
cgm-plicadas como a multiplicação de dois números com muiros
algarismos,
ou uma
potenciação
com expoente fracionário, perderam há algum tempo
esse
l
ugar
de eficiente calculador, hoje ocupado com grande êxilo
pe-las
maquininhas eletrônicas. Apesar disso, os
logaritmo
s concinuam,
por
motivos bem diversos, a merecer uma posição de destaque no ensino da
Matemática,
devido à posição central que ocupam nesta ciêi~cia
e cm
suas
aplic~ções.Essa
posição é pennanerite porque a função
logarítmica
e a sua
inversa, a
função
exponencial, constituem a única maneira de se descrever
matemáticamente a evolução
de uma
grandeza cuja
t
axa de crescimemo
(ou decrescimento) é proporcional à
quantidade daquela grandeza existente
num dado momento.
2.
Confom1e imaginado por seu
descobridor, Lord Napier, no início do
século
17, um
sistema
de logaricmos
é simplesmente uma tabela com duas
co
lun
as.
A
cada número
r
eal positivo x na coluna à
esquerda corresponde,
no
mesmo nível
à
direita,
um
número
real
L(x)
chamado o
logarirmo
de
x
(naquele sistema). Essa tabela deve satisfazer duas condições:
A) Se os números x da colu:rn à
esquerda estiverem dispostos em ore.km
crescente, o mesmo deve ocorrer com
seus logaritmos
L(x)
à
direita.
B) Se mulliplicarmos dois números positivos
x
e
y, o logaritmo
L(x.y)
Em
linguagem de
hoje, isto
pode
ser .reformulado
assim:
um sistema de
logaritmos
é
uma
função
L: R+
-
R,
cujo domínio
é
o
conjunto dos
números
reais positivos, a qual
possui as seguintes propriedades:
A)
L
é
crescente,
isto
é
x
<
y
-<=>
L(x)
< L(y);
B)
L(x.y) =
L(x)
+
L(y)
para quaisquer
x,
y
E
R+.
Dito isto,
a segunda mensagem
deste livro
é esta:
suponhamos
que,
de maneiras arbitrárias e independentes uma
da
outra,
tenhamos
obtido
duas funções
logarítmicas
,
ou dois sistemas
de
logaritmos
L
e M.
Pois
bem, não importa de que formas
L e M tenham sido definidas, existe uma
constant
e positiva
e
tal que
M(x)
=
e. L(x)
para todo x
>
O.
Noutras
palavras, pensando
num sistema
de logaritmos
como uma
tábua, o
único
modo de conseguir outro sistema é multiplicar todos os números da coluna
à direita por uma mesma
cons
tante.
O
significado desta mensagem
é
o de
tomar,
de certo
modo,
irre-levante
a maneira
parti
cular como
um dado sistema de
logaritmos
L foi
definido,
contanto que sejam válidas
as propriedades
A)
e B) acima. Se
chamarmos de
base de um sistema
de logaritmos
L ao
núm
ero
a
tal que
L(a) =
l,
um
modo
popular de definir a função L: R+ -
R consiste
em
pôr L(x)
=
y
se, e somente se,
aY
=
x, ou seja, chamar de logaritmo de
x
na base
a
ao expoente
y
ao qual se deve elevar a base
a
para obter
x
.
Esta
definição. embora htlstante:
rlif11nrlir
fa
:i~rec;rnt~ tr~~ in""~''"!'~~::!C'.',que mostraremos agora.
O primeiro inconveniente é que ela requer que se
estudem
preliminar-mente as propriedades
da função
exponencial, em parúcular que se saiba
o significado de
aY
quando
y
é
irracional, e
que se
provem
regras
como
a_
Y
.az
=
aY+z
para
y, z
E
R+
quaisquer.
Tais
preliminares envolvem
dificuldades
técnicas
que
conduze
m ao
seguinte dilema:
ou passar por
cima dessas dificuldades, fazendo de coma que
elas
não existem -
o que
deixa a desejar do
ponto de
vista de
honestidade
científica -
ou esgotar a
paciência
do aluno (ou
leitor)
com
longos
detalhes
rebarbarivos.
O segundo inconveniente da definição de logaritmos como expoente é
que, tratando i
odas as bases da mesma maneira, ela não perm
ite apresentar
espontaneamente o número e como
uma
base especial, que se distinga
naturalmente
das demais. Como se sabe, e será amplamente mosuado
nes1e 1exto, os logariunos de base
e
surgem
naturalmente em problemas de
origens as
mais diversas, daí serem chamados de
logaritmos nalurai
s
.
Na
definição de logaritmo como expoenie, o número
e
aparece artificialmente.
O terceiro inconveniente da
definição de logaritmo
como expoente
é
a dificuldade
de
se estabelecerem
certas desigualdades fundam
enta
i
s,
como por exemplo
L(l
+
x)
<
x
(válida para logaritmos de base
e), que
é óbvia na definição geométrica.
3.
A t
erceira
mensagem deste livro é qu
e
a d
efi
nição geométrica dos
lo
-garitmos apresenLa uma vantagem incontesLável de simplicidade conceituai
e
t
éc
nic
a.
N
a
realid:idc, cada
um
dos 3 inconvcnienlcs apomauos
a..:im
.t
para a definição de logaritmo como expoente
constitui, em contraponto,
uma
vanLagem nítida da definição
geométrica.
A definição geométric
a
depende apenas
do
conceito
de área
de uma figura plana e
a propriedade
fundament!J.l
L(x.y
)
=
L(x)
+
L(y)
resu
lta merament.e do fato de que
a
área de um retângulo não se altera quando se
multiplica sua base por um
número e
se
divide a altura pelo
mesmo número. Em segundo
lugar, na
definição geométrica
o número
e
surge de modo
natural
e
os
logaritmo
s
que se definem dessa maneira são os de base e. E, finalmente, as
desigual-dades fundamentais como
L(l
+
x)
<
x
são evidentes quando L
(l
+
x)
é definido como urna área.
Desta desig
ualdade resul
t
a, por exemplo, que
para valores muito grandes de
x,
L(x) é insignificante diante de
x.
4.
A última mensagem deste
livro, tal
vez a mais importante, está no
capítul
o final: o estudo dos
logaritmos naturais e da função expo
nenc
ial
ez
é
recompensador pela variedade de aplicações simples, surpreendentes,
interessant
es
e variada
s
que daí resultam
sem
maiores esforços adicionais.
Espero ter consegu
i
do marcar
esses pomos de modo claro e
com-preensível no
tex10 que se
segue e
que
sua
leitura seja amena e
provei-t
osa.
N
ot
ações
Neste livro
~saremosas seguintes
notações:
N,
conjunto
dos
mimeros
naturais.
N
=
{1,2,3, ...
,n, ... }.
Z, conjunto dos
mímeros
iw
e
ir
os
Z
=
{
...
,-3,-2,
-
1,0,1,2,3,
.
..
,n,
...
}.
Q, conjunto dos ntímeros
r
acionais
r. r. I .. .... - .., - - ,... ' '
... \i'/'J>t''- -1'.1 '-- 1•J·
R,
conjunt
o
dos números
reais
R+, conjunto
dos
mímeros
reais positivos
R
+ =
{x
E
R;
x
>O},
=>,
símbolo de
implicação
lógica.
A
expressão
A=>
B
l
ê-se
"A
i
mplica
B".
Por
exemplo x
E
Q
=>
x
E
R.
1
.
Histór
i
a
No fim
do
século
XVI
,
o desenvolvimento
da
Astronomia e da Navegação
ex
i
gia
lon
gos
e
laboriosos
cá
l
cu
l
os
aritméticos.
Um
auxílio precioso
já
fora obtido com
a rec
e
nt
e
inven
ção
das frações
decimais,
em
bora
ainda
nã
o
suficientemente difundida.
Mesmo a
ss
im, achar um método que penniris
sc
efetuar com
prest
eza
mu
lt
iplicações,
div
i
sões, potenciações
e extrações
d
e
raízes
era,
nos
anos próximos
de 1600,
um
problema fundamenta
l.
Se
g
undo o
grau de
dificuldad
e
, as operações
ar
i
tméricas podem s
er
cla
ss
ificad
as
em 3 grupos:
ad
ição
e subtração fonnam
as
operações
de
1~espécie;
multiplicação e divisão são
de 2ª esp
écie,
enquanto que
potenciação e
7adiciaç.
ão
'
constituem
as
operações
de 3ª
espécie.
Pro
-curava-se entãÕÜm
prÕcesso
que pemlitisse reduzir cada
operação
de
2~
ou 3ª espécie a uma de
espécie
inferio
r
e portanto mais
simples.
A
co
m
ece
com
freqüência
que uma grande descoberta
científica
é
feita
s
imult
anea
m
ente
p
o
r
duas ou
m
a
i
s
pessoas trabalhando ind
epe
ndente-mente. Não se
tra
t
a
de
simples
co
i
ncidê
n
cia:
t
al
d
es
coberta
corresponde à
so
lução
de
um pr
oblema
imp
o
rtante, do qua
l
muito
s
se
vin
ham
ocupando.
Assim
aconteceu
com
os
iog
arít
mos. Jost Bür
g
i
(1552-
1
632),
suíço,
fabricante de
in
strumentos astronôm
icos, mat
emático
e
i
nventor,
e John
Napier
(1550-1617),
um
nobre escocês,
teól
ogo e
matemático,
cada um
deles
desconhecendo
inteiramente
o
outro,
publi
caram as
primeiras tábuas
c.le loganunos
.
As
t
ábuas de
Napier
foram
publicadas
em 1614 e as
de
Bürgi
em
1
620.
A i
n
fl
uência
de Napier
no d
esenvo
l
vimen
t
o
dos
l
ogaritmos
foi muito
m
aior
d
o
que a
de
Bürgi,
devido
a suas publicações e
seu
r
e
lac
i
onamento com
profe
ssores
universi
l
ários.
2
História Cap.1números.
A cada número de
coluna
à
esquerda corresponde
um
número
à
sua direita,
chamado o seu
logaritmo.
Para multiplicar
dois
números,
basta
somar seus
l
ogaritmos; o
r
esultado
é
o logaritmo do
produto.
Para
achar
o produto,
basta
ler na t
ábua, da di
r
eita
para
a
esquerda, qual
o
n
úmero
que tem
aquele
l
ogaritmo. Semelhantemente,
para di
vidir
dois
núm
eros
o
asta
subtrair os logaritmos.
Para elevar um
número a uma potência basta
multipli
car
o l
ogaritmo do
n
úmero
pelo expoente. Finalmente, p
ara extrair
a rai
z
n
-ésima
d
e
um número, ba
s
ta dividir o logaritmo
do número pelo
índice d
a
r
aiz.
Na t
erminologia
matemática de hoje, uma
correspondência
como essa
es
t
abelecida por
meio de uma
t
ábua
de l
ogaritmos
é
o
que se
chama de
função. Convém notar, porém,
que a
inv~nçãodos l
ogaritmos
foi
an
t
enor
à
introduç
ão do conceito de
função na Matemática. A utilid
ade
original dos l
ogaritmos resulca portanto
da
seguin
t
e observação:
o trab
alho
d
e
elaborar uma t
ábua de
logaritmos,
por
mais longo
e
cansativo qu
e
s
eja,
é
u
m
só. Depois
de
l
e executado, ninguém precisa
mai
s,
digamos, ef
etuar
multiplicações;
adições
bastam.
Lo
go depois do aparec
i
mento da primeira
t
ábua de
logaritmos
de Na
-p
ier, o
matemático i
nglês
Henry Brigg
s
(1561-1631),
professor da
Univer-sidade
de
Londres, e depois de Oxford, elaborou, juntam
e
nte 'com
Napicr,
uma
novd
tabua,
d~m<u:;
iac1l
uull
zaçào,
comendo os chamados
loga-ritmos decimais, ou
l
ogaritmos
ordinários, que
t
iram proveito do fato
·
de
usarmos
u
m sistema de numeração decimal.
Durante os quase 4 séculos que sucederam
à
descoberta dos
lo
ga-ritmos,
sua utilidade
r
eve
lou-se d
e
cisiva na Ciên
c
ia
e
na
T
ecnologia.
J
á
Kepl
er, por volta de
1
620, atescava seu
reconhecimento pela nova des
co-berta
que
segundo ele "aumentava
vastamente o
pod
e
r
computacional do
astrônomo". O próprio Napi
e
r,
um
t
anto
imod
es
t
amente,
reconh
ecen
do
o
valor de
sua descoberta, deu às suas
tábu
as o
círnlo
Mirifici
logarithmorum
canonis descriptio, que
sign
ific
a
Uma descrifão
da
maravilhosa regra dos
logaritmos.
Recentemente, com a utilização cada vez mais divulgada das calcu
-ladoras, as
t
ábua
s
de
loga
ritmos perderam
muito
do seu interesse corno
insrrumento de cálculo, o mesmo acontecendo
com
Olllras
t
abe
l
as
ma-t
emáticas.
Mas o estudo dos
lo
gari
tm
os
ainda
é
e
continuará
a
ser d
e
central importân
ci
a.
Com
efeito,
embora eles
te
nham sido
invent
ados
como a
cessó
ri
o
par
a
facilitar operações aritméticas, o desenvolv
im
ento da
Cap.1 - Hislôrla
3
Matemática
e
das ciências
em geral
veio mostrar que diversas leis
ma-t
emáticas
e vítrios fenômenos físicos,
químicos,
biológicos
e econômicos
são estreitamente
relacionados
com os
logaritmos. Assim
sendo, os
l
oga-ritmos,
que no princípio eram importantes apenas por causa das
t
ábuas,
mostraram t
er apreciável valor
intrín
seco
.
NQ capítulo
14,
daremos alguns
exemplos
elementares de aplicações
de
logaritmos
em problemas que não
têm
n
atureza estri
t
amente computacional.
·
Exe
r
cíc
i
os
1.
Os antecessores de Napier e Bürgi, não conhecendo
ainda os
logaritmo
s,
adota
vam
um processo para o
cálculo
do
produto
,
baseado na
conhecida
fónnu
l
a de rrigonomerria:
1
1
COS
X
·
COS y= -
COS(X
+
y)
+ -
COS(X
-
y)
.
.
2
2
Dados dois números
X
e
Y
para multiplicar, mudando
seus sinais e a
posição das vírgulas, podemos
supor
que
X
e
Y
estão compreendidos
entre O
e
1.
Por meio de uma
t
ábua
de funções
trigonométr
i
cas (que
existe
desde o
t
empo
de Ptol
o
m
e
u),
achamos
número
s
x,
y
tais que
cos
x
=
X
e cosy =
Y.
Calcu
l
amos a soma x
+
y e a diferença
x
- y
.
Novamente
a
t
ábua
nos
fornece cos(x
+
y) e
cos(x -y).
O
produto X
·
Y
procurado
será
simplesmente
a metade da soma cos(x
+
y)
+
cos(:;:;
-
y).
Usando
este
método,
calcule os
produtos
abaixo:
a)
0,921
X0,758.
b)
(0,
85771)
2. C)0,873
X0,802.
No
ta:
Uma das desvantagens deste mécodo lrigonométm:o é a tlihcukl:\de
em aplicá-lo
para
produros de
mais de três
fatores.
Isto
sem falar na
sua
inutilidade
para cálcu
lo
de
potêm
:
ias
e
raízes.
2. Outr
o substituto
rudimentar
dos
l
ogari
tm
os, no cálculo de produtos,
é
uma 1
abela
para
os valores da
função
y
=
(x/2)
2.
Traia-se
de uma
ta
bela
que fornece, à direita de cada
número, o quadrado
da
su
a
metade. Por
meio dela podemos
reduzir~produto de dois números quaisquer a somas
• 4 História C.p.1
e diferenças, utilizando
a
f
órmula:
x·y=
(X+Y)2-
(X-Y)2.
2
2
Assim, para calcular o produto
xy,
efetuamos
a
soma
x
+
y
e
a
diferença
x
-
y.
Olhand
o
a tabela, obt
emos
(x
+
y)2
e
(x-y)2.
2
2
Submundo estes
re
sultados, obtemos o produto procurado.
Tópico
s
pa
r
a
deba
t
e:
a)
Qual
o
método
mais
simples,
este ou
o
do Exercício
1?
b)
Por que e
s
te mét
odo
nã
o s
ub
s
titui
os
lo
garinnos?
2.
R
e
vi
sã
o
Sem dúvida, a primeira constacnção de que, em
ccnos casos,
é possível
reduzir uma multiplicação a uma adição, ocorreu ao se compararem os
ter
-mos de uma progressão geométrica com os de uma
progressão ariunéli
c
a,
como por exemplo:
2 4
8
16
32
64 128 256 512 1024
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
)
Para mulriplicar dois cermos
da progressão geomérrica (por exemplo,
16
x
64)
basta
somar
os seus
correspondences
na
progressão
aritméLica
(no caso,
4
+
6
=
10)
e ver qual o
termo
da progressão
geométrica que
corresponde a essa soma. (Neste exemplo, ele é 1024.)
EvidenLememe,
a
regra acima enumerada nada mais é do que
a
conhe-cida
regra
para mu
l
tiplicar potências
de
mesma base:
am
. a'
1=
am+
r
i.
Basta somar os expoent
es.
É
importante, entretanto, observar
que
es
s
a
redução da muhiplicação
à
adição
foi
constatada
muito antes
que
exi
s-Lisse
a notação de expoente
para indicar
as
potênci
as
de um
número.
Na
realidade, os
logaritmos foram inventados ames da nOLaç
ã
o exponencial!
Seja como for, a regra
a
m
·a n
=
a m+ n
sug
e
re a con
s
rruçào de
uma
tábua de
logaritmos (de base
a)
muito rudimentar: na
coluna
à esquerda
1
.
istam-se as potencias e
~.
d
a,
como
a,
a , a , ... ,
2 3a
n
, . . .
(d .d
ev1
:unente
calculadas)
e à direita os expoentes
correspondent
es
:
1, 2, 3,
.
.
.
,
n,
....
1
\
mu
lt
i
pl
ica
ç
ão
am · a
n
se f,v c:o1110
j~1
foi cxpLcJtlo acim:t.
É
d.m.>,
contudo, que nossa tábua,
assim elaborada,
é
ins
a
ti
s
fat
ó
ri
a
, pois só perm
i
te
calclllar produtos
de
números da forma
a
n,
onde
n
é um número
n
:
uur
a
l.
Acontece
que,
uma vez difundida
a
no
ração expon
e
ncial
a
n,
n
ã
o
tardou muito a idéia de se considerarem potências com expoemes neg
a
tivos
6
Revisão Cap.2e fracionários,
e a
constatação de que, se
a é
um número positivo diference
de
1
encâo
t
odo número
r
eal positivo pode ser arbitrariamente aproximado
por potências de
a
com
expoentes racionais. Esta observação conduz
à
po
ss
ibilidade
de
elaborar uma tábua de
l
ogaiitmos
(de base
a)
que
contenha, em sua coluna
à
esquerda, números bastante
p
róximos daqueles
que pretendemos multiplicar.
As considerações acima justificam a necessidade de uma revisão do
conceito de potência de
um
número real, com expoente racional qualquer.
Tal
r
evisão
é
o objetivo deste cap
í
tulo.
O
escudo
que se s
e
gue restringe-se a potências de um número positivo
a
.
É claro
qu
e
se
a
fosse
negativo não haveria -problema para definir
an
para
n
EN
e
mesmo
a-n.
Entretanto, como veremos aqui,
a
1f
n
significa
\fã.
Dado que números
r
eais negativos não possuem raízes reais do
tipo
\fã
(índice
n
par),
o estudo
de potências reais de
expoente
racional com
base negativa
seria
confuso, cheio de exceções e impraticável.
Seja
a
um número real positivo. Dado
um
inteiro
n
>
O,
a
porência
an
é
definida como
o produto
de
n
fatores iguais ao
número
a.
Ou
seja:
an
=
a
·
a···
a
(n
fatores).
Vale a propriedade fundamental:
am. an
=
am+n
(
m,
n
inteiros p
os
itivo
s)
.
Se
quisermo
s
definir a
0de modo
que a propriedade
acima con
ti
nue
válida, seremos
obri
gados
a convencionar
que a
0=
1
,
a
fim
de
tenno
s
aº.
an
=
ao+n
=
a'i.
Procurando
ainda estender
a
noção
de potênci
a
de
modo a abranger
expoentes n
ega
tivos
e fazê-lo
de
forma
a
manter a validez
da propriedade
fundamental, devemos
ter:
1
donde
a-n
=
- .
an
Assim,
a única maneira
possível
de definir a
porên
cia
an
(com
n
int
eiro)
de
t
al
maneira que a relação am
.
an
=
am+n continue
verd
adeira,
m
esmo
quando
m
e
n
são inteiros positivos ou negativos, consiste em
pôr:
-n
1
a
=
Cap.2 Revisão
7
Evidentemente,
a
relação fundam
ental
vale para o produto de várias
potências, como por exemplo
am.
an. aP
.
aq
=
am+
r
i+p+q
.
Em panicular, tomando
um produto de
p
fatores
iguais a
am, obremos
a
m . a m
... a
m
=
p.
mp,
ou
seja,
(am)p
=
amP.
Antes de prosseguirmos,
l
embremos
que,
dados
um número real
a
>
O e
Ull)núm
ero
int
eiro
q
>
O,
o símbolo
~reP..resenta
o
número real
positivo
cuja q-ésima potência
é
igual
a
a,
ou seja, a única raiz positiva
da
equação
xq
-
a=
O.
Portanto,
as afirmações
o/a
>
O
e
(
\'l'ã)q
=
a
constituem a
definição
do
número real
ifã,,
chamado a
r
aiz
q-ésima
do
número positivo
a.
Procuremos agora estender
a n
oção
de potência
de um
número real
a
>
O, de modo
a
i
ncluir expoentes fracionários,
da forma
r
=
p
/
q,
onde
p,
q são
inteiros
e
q
>
O.
Queremos dar
essa
definição de modo
a
não
des-truir
as
prop
riedades
anterionnence válidas
.
Assim
sendo,
devemos definir
a potência
aPf
q
de
modo
a t
ermos
um númer
o rea
l positivo
cumpri
nd
o:
(aPfq)q
=
alp/q)
·q
=
aP.
Logo,
aPfq
deve
se
r o
n
úmero
real p
ositi
vo cuja q-ésima potência é i
gual
a aP.
Po
r definição de
raiz,
isto
sign
i
fica afirmar que
aPfq
=
ifOi
.
Em rnniculnr,
n
t/q
=
!![fi.
Agora, dado
um
número real
a>
O,
sabemos definir a porência
ar,
que
r r
seja
inteiro positivo
nulo,
negativo
ou fracionário. Em
suma,
ar
está definido, para todo número
racional
r.
Observemos
que, mesmo
para r
=
p
/
q
e s
=
u / v
fracionários
(q
>
O
e
v
>
O),
vale ainda a propriedade
8
RevisãoCom efeito, sabemos que
Logo:
(a
r
)q
=
aP
e
(as)v
=
au
.
(ar.
as)qv
=
(a
r
)qv. (as)qv
=
a
r
qv. asqv
=
aPV. auq
=
aPv+uq.
Cap.2
Vemos que
ar· a
3é o número cuja qv
-és
i
ma potência vale
aPv+uq.
I
sto
quer dizer
que:
Como
pv
+
uq
p
u
=
-
+-
=
r
+s,
qv
q
t1temos
De
posse da
definição e da propriedade fundamental das potências
de expoemc
r
acional
de um número real
a
>
O,
os
livros tradicionais
definem o logaritmo do seguinte modo:
Dado um número
real
a>
O,
o
logaritm
o
de um
n
úmero
x
>
.
o
na
base a é o expoente
y
a que se deve elevar a de
tal
modo que
aY
=
x.
Escreve-se
y
=
Ioga
x
e lê-se
y
é o
l
ogaritmo de x na base a.
Vamos usar o
sin
,al
<=>
para exprimir que duas
afirmações
são equi
-valentes (isto é, têm
o mesmo
significado). Podemos
escrever então:
Ioga
x =
y
{;}
aY
=
x.
Ou seja, dizer que
y
=
I
oga
x
é o
mesmo
q
ue afirmar que
aY
=
x.
Desta definição decorre
imediatamente a propriedade fundame.ntal dos
logaritmos, que
é
a
seguinte:
I
oga {
ux)
=
Ioga
u
+
Ioga
x.
Para
provar
isto
,
basta escrever
Ioga
u
=
v,
Ioga
x
=
y.
Isto
quer
dizer
que
a
11=
u
e
aY
=
x.
Segue-se então que
a
11 •aY
=
ux,
ou
seja,
que
av+Y
=
u.x.
Esta última igualdade
significa
que
v
+
y
=
Ioga
(ux),
i
sto
é,
que
Cap.2 Revisão 9
Vejamo
s agora
um
exemplo concreto.
T
o
memo
s,
como fez Briggs, o
número 10, base de
no
sso sistema
de numeraç
ão
,
para
base
dos
lo
gari
tmo
s.
Qual
seria
o logaritmo
de 3 na base 10?
Por
definição, l
ogto 3 é o número
y
tal que
!OY
=
3.
Suponhamos que
y
=
~ fosse um número
racion
al.
Então teríamos:
e
ponanto
lOP
=
3q.
A última igualdade
é
um absurdo po
is
10P
é
1
seguido de
p
zeros
e,
evidentemente,
3q
=
3 · 3 .
.
. 3 não rem
esta
forma.
Assim log
103 não pode ser um número racional.
Façamos
aqui
uma pequena pausa para lembrar que
os
números reais
(positivos, n
ega
tivos
ou zero) podem ser racionais ou
irra
c
ionais. Os
pri-meiros
t
êm a fonna
p/ q
com
p
e
q
in
teiros, sendo
q
> O,
e
caracterizam-se
pela
propriedade de, quando
trnnsfonnados
em
frações
decimais,
t
erem
desenvolvimento finito
ou
periódico. Os números
irracionais, como
J2.
v13.
1íetc., não podem
ser
expressos como
quocientes
p/
q
de dois
intei-ros.
Por conseguinte,
o desenvolvimento decimal
de um número irracional
nem é exato
nem periódico
.
Quando
se escreve
um núm
e
ro
como
7r,por
exemplo, sob forma
de
fração decimal,
digamos
3,141592,
estamos dando
apenas um valor
aproximado (neste caso,
porque tomam
os
6 casas deci·
mais,
o
erro cometido
é
menor do que
0,000001,
ou seja,
1 mili
onésimo).
Voltando aos
logari
t
mos,
se
y
=
l
og
103 não pode
ser
um
número
racional,
que número
irracion
a
l
y
é este,
tal
que
10:1
=
3?
E que significa, afinal de contas,
uma p
otência com
expoente
irr
ac
io
-u
aJ? Qut! siguilic.t,
p
o
r exemplo,
io
fi
,
a
/:l-ésima potencia <k
10'!
Estas são pergumas cruciais, que devem ocorrer
irn
ediacamcnte
quan-do se define o
l
ogaritmo
como expoente.
É
possível explicar satisfatoriamente o
s
ignific
ado
de uma
potência
com expoeme irracional.
Por
exemplo
10fi
é
definido assim:
tomam-se os valores
l,'I;
1,41;
1,414
etc., aproximações racionais do número
irra
ciona
l
J2.
Os
núm
eros
iot•'1,
10
1•41,10
1•.a
4etc. são '
'
alares
aproxi-1 O Revisão Cep.2
mados de
ioJ2.
T
anlo
mais próximo esleja o número racional
r
de ../2,
mais próximo estará 10r de
iov'2.
O des
envolvimento
sistemático da teoria das potências com expoente
real (racional e
irracional),
para servir de base ao esmdo dos logaritmos,
é
um
processo
l
ongo
e
t
edioso.
A maioria dos autores
modernos prefere
definir diretamente os
lo
ga
-ritmo
s
de modo geométrico, com base
n
a
noção de área de uma
figura
plana. A
s
demonstrações se
t
omam
mais simples
e
os conceitos mais
intuitivos. Este
é
o
caminho
que usaremos neste livro.
Exercíc
i
os
1.
Assinale a
resposta
certa:
1.1)
3/4
5=
a)
4
8;b)
Ç 8;c)
15-
1;d) nada disso.
1.2)
(3
-
3)3
=
ii)
1
:
h'\
:-l -9:r'\
~-21;ri)
"'l"r'h
cli<:~o1.3) 5
2/3
2=
a)
(5/3)
2 ;b)
(5/3)-
1;c)
5-
6 ;d) nada diss
o.
1.4)
0,00003
=
a)
1/3
x
10-
3;b) 10-
3 ;c)
3
x
i
o-
5 ;d) n
ada
disso.
l.S)
3
X10-
7=
6
X10-
3a)
4
x
10
L
0;b)
5
x
10
4;c)
0,5
x
io-
4;d) nada disso
.
1.6)
s
2 / 3=
a) 2; b) 9; e)
32../2;
d) 4.
1.7)
21-
2/ 3=
a)
1/18;
b)
1/81;
c)
1/9;
d) -18.
1.8) 16
31
4=
a)
12; b)
8; c)
6; d) 64.
1.9)
233/2
=
a)
125;
b) 5;
c)
15
;
d
)
nada disso.
Cap.2
1.10)
{0,00001)-3/s
=
a) 0,001; b) 1000; c) lo-
1s /
10
-
25.1.11)
g-4/3
=
a)
1/6;
b)
16;
c)
1/8;
d)
1/16.
l.1
2)
(H
X10-6)1/3
=
a)
4
~
0
;
b)
13"x
10-
2;e)
i
1x
10-
4•1.13) {49
X
10-
4)1/
4=
a)
{l;
b)
(10
X7)-
2; 1foo.
2
.
.
Simplifique
as
expressões abaixo:
xs/2
a)
xs.
x-1/2.
.
x2
.
x-3
b)
{l
+
at/
3)(
1
- a
t
/3
+
a2/3).
)
b
4b2
b-
1c
-
+
1
-b,
+b_,.
3.
Simplifique e ponha
sob
forma de potências:
a)
fl.·
b)
M(v'TSS-
~)
Revisão 11
4.
A
desigualdade
x
<
y
significa que a diferença
y
-
x é
um número
positivo. Usando o fato
de
que o produto de
dois núm
eros
positivos
é
positivo, prove as
seguintes
afirmações:
a)
Se
x
<
y
e
a
>
O
,
então
ax
<
ay.
b)
Se
x
<
y
e
a<
O,
então
ax
>
ay.
c)
Se
O
<
x
<
y
e
O<
x'
< y'
então
xx'
<
yy'.
d) Se
O
<
T<
y.
cntfo
,.n
<
yn
p:ira
todo
inteiro
11"'>
O
. •
·
yn
<
r
n
para todo inteiro
n
<
O.
5.
Prove
que,
para
t
odo
inteiro
n
>
1 e para todo
x
:f:
O, com
x
>
-
1,
tem
-se
{l+x)n>l+nx.
Use esta desigualdade para achar um expoente
n
tal
que (
1,
001)
riseja
12
Revisão6. Prove
que se
x
>
1 então
as potências sucessivas
2 3 4.x,
X , X 1 X 1 • • • 1etc.,
Cap.2
crescem e
podem
vir a superar qualquer
número
fixado
de
antemão.
Mais
precisamente se
x
>
1
então, dado qualquer
A
>
O,
é
possível
obter
um
inteiro
n
tal que
xn
>
A.
(Evidentemente, sendo
xn
>
A,
ter-se-á,
também
xn+i
>A,
xn+z
>A
etc.).
7.
Seja
O
<
x
<
1. Mostre
que as
potências sucessivas
2 3 4x,x
,x
,x
,
... ,
etc.,
decrescem e podêm
tornar-se inferiores
a qualquer
é>
O prefixado.
Em
particular,
obtenha
um expoente
n
>
O tal que
(O, 999)
n
seja menor do
3
.
Fu
n
çõ
e
s
l
oga
r
ítmica
s
Revimos no capítulo
anterior
a
definição
tradicional de logaritmo,
mos-trando algumas dificuldades conceituais com ela
relacionadas
e anunciando
que neste
livro
os
logaricmos
serão
tratados geometricamente.
Antes, porém, de iniciarmos
esse estudo geométrico
provaremos
que
os
logaritmos
se
deixam caracterizar por
duas
propriedades extremamente
simples e
naturais, de modo que
a
escolha de processo de
apresentá-los
é
apenas
uma questão de preferência. Uma vez que valham aquelas duas
propriedades,
só
existe urna maneira de
alterar
um sistema de logari
t
mos:
multiplicar por uma mesma constante todos os logaritmos desse
siscema.
Neste capínilo, daremos a definição de função logarírmica,
estabe-leceremos suas propriedades básicas e mostraremos que, a menos de um
fator
constante, duas quaisquer funções logarítmicas coincidem.
Uma funçãÕ
r
eal
L: R+ -
R,
cujo
domínio é o conjunto
R+
dos
números reais positivos, chama-se
umafimção
logarítmica
ou
um
sistema
de logar
i
tmos
quando tem
as seguintes
propriedades:
A)
L
é uma/unção
crescente,
isto
é,
x
<
y
=>
L(x)
<
L(y);
B)
L(xy)
=
L{x)
+
L(y)
para quaisquer
x,
y
E
R+.
Para todo
x
E
R+,
o número
L{x)
chama-se
o
logaritmo
d
e
x.
(Se
estivcn11os contemplando outras
funçõe
s
loga.iítmicas
além
de L,
diremos
que
L{
x)
é
o
lo
garitmo
de
x
segundo
T,
,
1)Uno
'iiuema
df' /ngnritmM
T,)
Faremos
agora
uma lista de propriedades
das funções
logarí
tmicas,
isto
é,
propriedades que são conseqüências de
A)
e
B)
acima enunciadas.
P
rop
r
i
e
d
ade
1.
Uma função logarítmica
L: R+
-
R
é sempre
injetiva,
isto
é,
mímeros positivos diferentes têm logaritmos diferemes.
14
Funções logarltmlcas Cap.3Com efeito, se
x,
y
E
R+
são diferentes,
ent
ão
ou x
<
y
ou
y
<
x
.
No
primeiro caso,
resulta
de
A)
que
L(x)
<
L(y).
No
segu
nd
o caso
t
em-se
L(y)
<
L(x). Em
qualquer
hi
pótese,
de
x
=P
y
conclui-se que
L(x)
=/=
L(y).
Pr
op
ri
e
dade 2. O lo
gar
itmo
de
1
é
zero
.
Com efeito
,
por
B)
temos
L(l)
=
L(l.1) = L(l)
+
L(l)
,
lo
go
L(l)
=
O.
Pr
opr
i
edade 3.
Os números maiores do que
1
rêm
logaritmos
po
sirivos
~
os
mímeros posicivos
menores do que
1 1
ê'}1
·
Logarirmos
negativos.
Com efeito, sendo
L crescente, de
O
<
x
<
1
<
y
resulta
L(
x)
<
L(l)
<
L(y),
isto é
L(
x)
<O <
L(y).
P
r
opr
i
ed
ad
e
4.
Para
r
odo
x
>
O
,
tem-se L(
l/x)
=
-
L(x).
Com efeito, de x· (l/x)
=
1
resulta que L(x)
+L(
l/x)
=
L(l)
=
O,
donde
L(l/x)
=
-
L(x).
Proprit:dadc 5.
Par
a
quaisquer x,
y
E
R+,
val
e
Com efeito,
T f ~
t'
.L~:1)·
L(x/y)
=
L(x · (1/y))
=
L(x)
+
L(l/y)
=
L(x)
-
L(y)
.
P
rnprieda
d
e
6
.
Para t
odo
x
E
R+
e
codo número
ra
cional
r
=
p
/ q
t
em
-
se
L(xr)
=
r
·
L(x).
A demonstração da Propriedade 6
se
faz por etapas
.
Em primeiro lugar,
observa-se
que a propriedade
L(xy)
=
L(x)
+
L(y)
se estende
para o produto
de
um número
qualquer
de fatores. Por exemplo,
L(x
·
y
·
z
)
=
L((xy) · z)
=
L(x
·
y)
+
L(z)
=
L(x)
+
L(y)
+
L(z).
E
assim
por diante:
Cop.3 Funções logorilmlcus