. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
CONTROLO
3º ano – 2º semestre – 2005/2005
Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de
Computadores (LEEC)
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de
Computadores (DEEC)
Transparências de apoio às aulas teóricas
Capítulo 11 (Parte B) - Projecto por Moldagem
do Ganho de Malha
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Dezembro de 2001
Revisão em Dezembro de 2004 e Dezembro de 2005
Todos os direitos reservados
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Sistema de controlo por retroacção : esquema geral
r – sinal de referência ( a seguir pela variável
de saída y)
d – perturbação à saída do sistema a controlar
n – ruído no sensor
e – erro de seguimento
y – variável de saída
u – variável de actuação
G(s)
_
K(s)
d
y
n
r
e
u
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
OBJECTIVOS DO SISTEMA DE CONTROLO
)
(s
K
i) O controlador
deve estabilizar
G
(s
)
ii) A saída y deve seguir com fidelidade o
sinal de referência r.
iii) Deve atenuar-se a influência da
perturbação d e do ruído n na saída y.
iv) O sistema de controlo deve exibir
robustez face a variações de parâmetros no
sistema a controlar.
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
OBJECTIVOS DE CONTROLO
1. Atenuação do efeito da perturbação
d
d
d
d
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
S
s
K
s
G
s
D
s
Y
=
+
=
1
1
G(s)
_
K(s)
d
y
É possível avaliar de modo
independente o efeito de cada
sinal externo
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
Y
s
K
s
G
s
D
s
E
s
K
s
G
s
D
s
Y
−
=
+
=
e
)
(
))
(
)
(
)(
(
s
G
s
K
s
D
s
Y
1
+
=
y
e
;
GKe
d
y
=
+
=
−
Sistema Linear
Princípio da Sobreposição
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
)
(
s
S
D(s)
Y(s)
S(s) - FUNÇÃO DE SENSITIVIDADE
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA
PERTURBAÇÃO
d
d
d
d
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
S
s
K
s
G
s
D
s
Y
=
+
=
1
1
Possível Diagrama de Bode de S(s)
0db
)
(
j
ω
S
)
(
rads
−
1
ω
d
ω
-x db
xdb
j
S
(
ω
)
≤
−
abaixo da ‘barreira’ de –x db para
[
ω
d
]
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Atenuação de pelo
menos –x db
ATENUAÇÃO DE PERTURBAÇÕES
SINUSOIDAIS
)
(
rads
−
1
ω
d
ω
)
(s
S
0
d
y
d – sinais sinusoidais
Requisito de
atenuação de d
[
]
d
j
S
(
ω
)
;
ω
∈
0
,
ω
Limite superior a
O limite superior –x db e a banda de frequências de desempenho
Banda de frequências de
desempenho
[
0
,
ω
d
]
dependem do problema específico de controlo
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
PERTURBAÇÃO
dddd
O que acontece quando d não é sinusoidal?
d- modelizado como um processo estocástico
estacionário com densidade espectral
)
(
ω
d
Φ
y - processo estocástico estacionário com
densidade espectral
2
)
(
)
(
)
(
ω
d
ω
S
j
ω
y
=
Φ
Φ
ω
ω
ω
S
j
d
d
∫
∞
Φ
=
0
2
)
(
)
(
Energia
2
{ }
y
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
PERTURBAÇÃO
d
d
d
d ---- Terminologia
Terminologia
Terminologia
Terminologia
d
ω
)
(
ω
d
Φ
)
(
rads
−1ω
Se
Φ
d
(
ω
)
≈
0
,
ω
>
ω
d
conteúdo espectral de d está concentrado
na gama de frequências
[
0
,
ω
d
]
Técnica para redução da energia associada a y:
[
d
]
d
j
S
(
ω
)
≤
ε
,
ω
∈
0
,
ω
Reduzir
S
(
j
ω
)
,
ω
∈
[
0
,
ω
d
]
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO
d
d
d
d ––––
constrições ao ganho de malha
[
d
]
d
1
,
0
,
)
j
(
S
ω
≤
ε
<
ω
∈
ω
d
j
K
j
G
ω
ω
≤
ε
+
(
)
(
)
1
1
1
1
)
j
(
K
)
j
(
G
1
d
>
ε
≥
ω
ω
+
1
1
d
>>
ε
Se
)
(
)
(
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
j
ω
K
j
ω
G
≅
+
1
atenuação do efeito da perturbação
dddd
1
d
<<
ε
1
1
)
j
(
K
)
j
(
G
d
d
>>
β
=
ε
≥
ω
ω
[
ω
d
]
ω
∈
0
,
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
ATENUAÇÃO DO EFEITO DA PERTURBAÇÃO
d
d
d
d ––––
constrições ao ganho de malha
1
1
)
j
(
K
)
j
(
G
d
d
>>
β
=
ε
≥
ω
ω
[
ω
d
]
ω
∈
0
,
0db
)
(
rads
−
1
ω
d
ω
d
j
K
j
G
(
ω
)
(
ω
)
≥
β
d
β
10
20log
Barreira inferior ao ganho de malha
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
2. SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA
rrrr
G(s)
_
K(s)
r
e
y
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
S
s
K
s
G
s
R
s
E
=
+
=
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
R
s
G
s
K
s
E
s
E
=
−
GKe
y
;
y
r
e
=
−
=
GKe
r
e
=
−
)
(
)
(
))
(
)
(
(
1
+
G
s
K
s
E
s
=
R
s
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERENCIA
rrrr
)
(
ω
r
Φ
e - processo estocástico estacionário com
densidade espectral
2
)
j
(
S
)
(
)
(
r
e
ω
=
Φ
ω
ω
Φ
ω
ω
ω
S
j
d
r
2
0
∫
∞
Φ
=
(
)
(
)
Energia
2
{ }
e
r- modelizado como um processo estocástico
estacionário com densidade espectral
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
r
ω
)
(
ω
r
Φ
)
(
rads
−1ω
Se
Φ
r
(
ω
)
≈
0
;
ω
>
ω
r
conteúdo espectral de r está concentrado
na gama de frequências
[
]
r
ω
,
0
Técnica para redução da energia associada ao erro de
seguimento e:
[
r
]
r
j
S
(
ω
)
≤
ε
,
ω
∈
0
,
ω
Reduzir
[
0
,
r
]
,
)
j
(
S
ω
ω
∈
ω
Cabe ao projectista definir o nível de rejeição
ε
r
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA
rrrr
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA
rrrr
[
r
]
r
1
,
0
,
)
j
(
S
ω
≤
ε
<
ω
∈
ω
0db
)
(
j
ω
S
)
(
rads
−
1
ω
r
ω
r
j
S
(
ω
)
≤
20log
10
ε
abaixo da ‘barreira’ de db para
[
ω
r
]
ω
∈
0
,
Constrição geométrica
r
ε
10
20log
rε
1020log
db
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA
rrrr
----
constrições ao ganho de malha
[
r
]
r
1
,
0
,
)
j
(
S
ω
≤
ε
<
ω
∈
ω
1
)
j
(
K
)
j
(
G
1
1
r
<
ε
≤
ω
ω
+
1
1
)
j
(
K
)
j
(
G
1
r
>
ε
≥
ω
ω
+
1
1
r
>>
ε
Se
)
(
)
(
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
j
ω
K
j
ω
G
≅
+
1
seguimento de sinais de referência
rrrr
1
r
<<
ε
1
1
)
j
(
K
)
j
(
G
r
r
>>
β
=
ε
≥
ω
ω
[
ω
r
]
ω
∈
0
,
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
SEGUIMENTO DE SINAIS DE REFERÊNCIA
rrrr
----
constrições ao ganho de malha
1
1
)
j
(
K
)
j
(
G
r
r
>>
β
=
ε
≥
ω
ω
[
ω
r
]
ω
∈
0
,
0db
)
(
rads
−
1
ω
r
ω
r
j
K
j
G
(
ω
)
(
ω
)
≥
β
r
β
10
20log
Barreira inferior ao ganho de malha
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
3. REDUCAO DO IMPACTE DO
RUÍDO DO SENSOR
nnnn
NA SAÍDA
G(s)
_
K(s)
y
n
e
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
T
s
K
s
G
s
K
s
G
s
N
s
Y
−
=
+
−
=
1
)
(
,
e
n
y
GKe
y
=
=
−
+
GKy
GKn
y
=
−
−
)
(
)
(
)
(
)
(
))
(
)
(
(
s
N
s
K
s
G
s
Y
s
K
s
G
−
=
+
1
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO
nnnn
)
(
ω
n
Φ
y - processo estocástico estacionário com
densidade espectral
2
)
(
)
(
)
(
ω
n
ω
T
j
ω
y
=
Φ
Φ
Energia
2
{ }
y
n- modelizado como um processo estocástico
estacionário com densidade espectral
ω
ω
ω
T
j
d
n
∫
∞
Φ
=
0
2
)
(
)
(
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
REDUÇÃO DO IMPACTE DO
RUÍDO
n
n
n
n
(concentrado na alta frequência)
1
n
ω
)
(
n
ω
Φ
)
(
rads
−1ω
Se
Φ
n
(
ω
)
≈
0
;
ω
<
ω
n
1
,
ω
>
ω
n
2
conteúdo espectral de n está concentrado
na gama de frequências
[
1
,
2
]
n
n
ω
ω
Técnica para redução da energia associada a y por influência
do ruído n
[
2
]
n
1
n
n
1
,
,
)
j
(
T
ω
≤
ε
<
ω
∈
ω
ω
Reduzir
[
2
]
n
1
n
,
,
)
j
(
T
ω
ω
∈
ω
ω
Cabe ao projectista definir o nível de rejeição
ε
n
2
n
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
REDUÇÃO DO IMPACTE DO RUÍDO
nnnn
0db
)
(
rads
−
1
ω
n
j
T
(
ω
)
≤
ε
n
ε
10
20log
Barreira superior de
)
(
j
ω
T
moldável através do controlador K(s)
[
2
]
n
1
n
n
1
,
,
)
j
(
T
ω
≤
ε
<
ω
∈
ω
ω
2
n
ω
1
n
ω
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
REDUÇÃO DO IMPACTE DO
RUÍDO
n
n
n
n ----
constrições ao ganho de malha
[
2
]
n
1
n
n
1
,
,
)
j
(
T
ω
≤
ε
<
ω
∈
ω
ω
n
)
j
(
K
)
j
(
G
1
)
j
(
K
)
j
(
G
ε
≤
ω
ω
+
ω
ω
Se
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
K
j
G
j
K
j
G
j
K
j
G
≅
+
1
Redução do impacte de
nnnn
1
n
<<
ε
1
)
j
(
K
)
j
(
G
ω
ω
≤
ε
n
<<
[
1
2
]
,
n
n
ω
ω
ω
∈
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
REDUÇÃO DO IMPACTE DO
RUÍDO
n
n ----
n
n
constrições ao ganho de malha
1
)
j
(
K
)
j
(
G
ω
ω
≤
ε
n
<<
[
1
2
]
,
n
n
ω
ω
ω
∈
0db
)
(
rads
−
1
ω
n
j
K
j
G
(
ω
)
(
ω
)
≤
ε
n
ε
10
20log
Barreira superior ao ganho de malha
moldável atraves do controlador K(s)
2
n
ω
1
n
ω
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
LIMITES DO ACTUADOR
G(s)
_
K(s)
r
e
u
y
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
s
K
s
G
s
R
s
E
+
=
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
s
G
s
K
s
G
s
K
s
G
s
R
s
U
+
=
Admita-se que:
1
<<
ε
≤
ω
)
p
j
(
G
p
para
ω
>
ω
O ganho do sistema a
controlar é menor do que um
valor muito pequeno para
w>w
p
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
R
s
E
s
K
s
R
s
U
=
=
)
(
)
(
)
(
s
K
s
G
s
K
+
1
f.t.c.f.
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
LIMITES DO ACTUADOR
Admita-se que:
1
>>
ω
ω
)
K
(
j
)
j
(
G
[
ω
p
, ω
q
]
∈
ω
Sinais de actuação muito elevados, a menos que
o ganho da f.t.c.a. tome valores pequenos para
frequências
p
ω
ω
f
Regra de projecto: nunca tentar que a largura de banda do
sistema em cadeia fechada se estenda muito para a região em
que o ganho do sistema a controlar começa a ser menor do que
0dB.
para
1
1
G
j
K
j
G
j
j
K
j
G
j
R
j
U
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
>>
ε
=
ω
≅
p
)
j
(
G
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
LIMITES DO ACTUADOR
1
<<
ε
≤
ω
ω
)
K
(
j
)
l
j
(
G
1
>
ω
>
ω
k
p
;
k
0db
)
(
rads
−
1
ω
l
ε
≤
ω
ω
)
K
(
j
)
j
(
G
l
ε
10
20log
p
k
ω
Limite superior (“barreira”) no ganho de malha
moldado por escolha apropriada de K(s)
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
Técnica para limitar os sinais de actuação
k
,
l
ε
É tarefa do projectista seleccionar
o valor dos parâmetros
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Conjugação dos requisitos de desempenho
(resposta a sinais externos)
0db
)
(
rads
−
1
ω
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
nlog ε
1020
2
n
ω
1
n
ω
d
ω
ω
r
rβ
1020log
dβ
1020log
Constrições ao Ganho de Malha
Barreira inferior de
baixa frequência
r, d
Barreira superior de
alta frequência
n, u
OBJECTIVO:
Moldar (por escolha adequada de K(s))
o ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as
barreiras, preservando a estabilidade do sistema em
malha fechada
lε
1020log
p
k
ω
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Moldagem do Ganho de Malha – exemplos
de projecto
Exemplo 1
2
1
s
G(s)
. Sistema a controlar
. Objectivos do sistema de controlo
G(s)
_
K(s)
d
y
n
r
e
u
Controlador
Sistema a controlar
Projectar K(s) de modo a estabilizar G(s) e a cumprir
os objectivos seguintes:
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
REQUISITOS A CUMPRIR
i) Atenuar de pelo menos –80db os sinais da perturbação d na
gama de frequências
[
0
] [
0
0
1
]
−
1
=
rads
d
,
.
,
ω
ii) Seguir com erro menor ou igual a -40db os sinais de
referência r na gama de frequências
[
0
] [ ]
0
1
−
1
=
ω
,
rads
,
r
iii) Atenuar de pelo menos –20db os sinais de ruído n na
gama de frequências
[
1
2
]
[
2
3
]
1
10
10
−
=
ω
ω
n
,
n
,
rads
iv) Erro estacionário de seguimento a parábolas
02
0.
)
(
∞
≤
par
e
v) Margem de Fase
Φ
M
≥
45
0
vi) Margem de Ganho
G
M
≥
+
20
db
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Expressao geométrica das condições i), ii), iii)
i)
80
[
0
10
−
1
]
−
1
∈
−
≤
db
rads
j
S
(
ω
)
,
ω
,
[
0
10
1
]
1
80
−
−
∈
+
≥
db
rads
j
K
j
G
(
ω
)
(
ω
)
,
ω
,
ii)
40
[ ]
0
1
−
1
∈
−
≤
db
rads
j
S
(
ω
)
,
ω
,
[ ]
0
1
1
40
−
∈
+
≥
db
rads
j
K
j
G
(
ω
)
(
ω
)
,
ω
,
iii
20
[
10
2
10
3
]
−
1
∈
−
≤
db
rads
j
T
(
ω
)
,
ω
,
[
10
2
10
3
]
1
20
−
∈
−
≤
db
rads
j
K
j
G
(
ω
)
(
ω
)
,
ω
,
Exemplo 1
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
0db
)
(
rads
−
1
ω
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
db
20
−
310
210
1
0.
1
db
40
+
db
80
+
Constrições ao Ganho de Malha
Barreira inferior de
baixa frequência
r, d
Barreira superior de
alta frequência
n
Exemplo 1
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Expressão analítica da condição iv)
Erro estacionário de seguimento a parábolas
02
0.
)
(
∞
≤
par
e
)
(
)
(
)
(
)
(
s
K
s
G
s
R
s
E
+
=
1
Seja
1
0
=
=
K
K
~
(
s
);
K
~
(
)
)
s
(
K
(realizável, porque G(s) tem dois pólos
na origem)
)
(
)
(
)
(
s
K
s
G
s
s
E
+
=
1
1
2
3
02
0
2
1
1
2
2
3
0
0
.
K
s
K
s
s
lim
)
s
(
sE
lim
)
(
e
s
s
par
≤
=
+
=
=
∞
→
→
100
≥
K
Exemplo 1
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Proposta de controlador simples:
100
1
=
=
=
K
K
~
(
s
);
K
~
(
s
)
;
K
)
s
(
K
Verificação das constrições do Ganho de Malha
0db
)
(
rads
−
1
ω
db
20
−
310
210
1
0.
1
db
40
+
db
80
+
2
100
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
j
j
K
j
G
=
)
(
rads
−
1
ω
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
0
180
−
Fase de
As constrições do ganho de malha são satisfeitas, mas ..
0
0
=
Φ
M
0
0
=
Φ
M
!
10
Exemplo 1
Controlador Proporcional
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Necessidade de introduzir avanço de fase
0
45
=
Φ
M
des
Margem de fase mínima desejada:
ε
+
Φ
−
Φ
M
des
M
real
Avanço de fase necessário:
factor de
segurança
margem de
fase real =
0 graus
Factor de segurança = 0 graus ( a fase do ganho de malha
não varia).
Avanço de fase necessário: 45
0
Uso de malha de avanço puro
1
10
−
=
+
=
;
z
rads
z
z
s
K
)
s
(
K
z
z
1
=
ω
)
,
K
j
(
K
odb
)
(
rads
−1ω
ω
(
rads
−1)
090
045
Fase de
)
(
j
ω
K
Exemplo 1
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Verificação das constrições do ganho de malha
1
10
100
=
+
=
=
−
=
;
K
;
z
rads
z
)
z
s
(
)
s
(
K
~
);
s
(
K
~
K
)
s
(
K
0db
)
(
rads
−
1
ω
db
20
−
310
210
1
0.
1
db
40
+
db
80
+
G
(
j
ω
)
K
(
j
ω
)
)
(
rads
−
1
ω
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
0180
−
Fase de
As constrições do ganho de malha são satisfeitas e ..
0
45
=
Φ
M
.
Novo
)
(
~
ω
j
K
090
−
0135
−
Exemplo 1
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho
10
10
100
2
)
s
(
s
)
s
(
G
)
s
(
K
~
K
)
s
(
K
)
s
(
G
=
=
+
USO DO TEOREMA DE NYQUIST
Contorno de Nyquist
x
x
Número de pólos em
malha aberta no interior
do contorno de Nyquist:
P=0
Número de voltas
em torno do ponto –1
N=0
x
-1
Estável!
Margem de Ganho é infinita!
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
1
1
+
s
G(s)
. Sistema a controlar
. Objectivos do sistema de controlo
G(s)
_
K(s)
d
y
n
r
e
u
Controlador
Sistema a controlar
Projectar K(s) de modo a estabilizar G(s) e a cumprir
os objectivos seguintes:
Moldagem do Ganho de Malha – exemplos
de projecto
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
REQUISITOS A CUMPRIR
ii) Atenuar de pelo menos –40db os sinais de perturbação d na
gama de frequências
[
0
,
]
[
0
,
10
−
2
]
−
1
=
rads
d
ω
iii) Seguir com erro menor ou igual a -100db os sinais de
referência r na gama de frequências
[
0
,
]
[
0
,
10
−
3
]
−
1
=
rads
r
ω
iv) Atenuar de pelo menos –40db os sinais de ruído n na
gama de frequências
[
1
2
]
[
2
3
]
1
10
,
10
,
−
=
rads
n
n
ω
ω
v) Margem de Fase
Φ
M
≥
45
0
vi) Margem de Ganho
G
M
≥
+
20
db
i) Erro estático de posição =0.
Exemplo 2
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Expressao geométrica das condições ii), iii), iv)
ii)
(
)
40
,
[
0
,
10
−
2
]
−
1
∈
−
≤
db
rads
j
S
ω
ω
[
0
,
10
2
]
1
,
40
)
(
)
(
−
−
∈
+
≥
db
rads
j
K
j
G
ω
ω
ω
iii)
(
)
100
,
[
0
,
10
−
3
]
−
1
∈
−
≤
db
rads
j
S
ω
ω
[
0
,
10
3
]
1
,
100
)
(
)
(
−
−
∈
+
≥
db
rads
j
K
j
G
ω
ω
ω
iv)
(
)
40
,
[
10
2
,
10
3
]
−
1
∈
−
≤
db
rads
j
T
ω
ω
[
10
2
,
10
3
]
1
,
40
)
(
)
(
−
∈
−
≤
db
rads
j
K
j
G
ω
ω
ω
Exemplo 2
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Expressão analítica da condição i)
Erro estático de posição
0
)
(
∞
=
escalão
e
1
0
=
=
K
~
(
s
);
K
~
(
)
s
K
)
s
(
K
(1 integrador puro na malha directa)
Proposta de controlador simples:
0
>
=
;
K
s
K
)
s
(
K
Ganho de Malha
0
1
1
>
+
=
;
K
s
s
K
)
s
(
K
)
s
(
G
Exemplo 2
Controlador Integral
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Verificação das constrições do Ganho de Malha
0db
db
40
−
310
100
=
ω
ω
)
K
(
j
)
;
K
j
(
G
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
0
180
−
Fase de
As constrições do ganho de malha são satisfeitas, mas ..
0
0
=
Φ
M
!
)
(
rads
−
1
ω
210
310
−1
10
210
−10
−1+40db
+80db
)
(
rads
−
1
ω
210
310
−1
10
210
−10
−1 0180
−
090
−
Exemplo 2
+100db
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
A barreira de alta frequência não permite utilizar uma
malha de avanço adicional
0db
db
40
−
310
)
(
rads
−
1
ω
210
310
−1
10
210
−10
−1+40db
+80db
)
(
rads
−
1
ω
210
310
−1
10
210
−10
−1 0180
−
090
−
utilizar
>
>
0
+
+
=
,
z
p
p
s
z
s
z
p
)
s
(
K
~
)
(
~
ω
j
K
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
Novo
)
(
)
(
j
ω
K
j
ω
G
Fase de
1 1 1 3;
10
10
− − − −=
=
rads
z
rads
p
0
45
=
Φ
M
Exemplo 2
escolha possível
sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al
Verificação final de estabilidade e Margem de Ganho
1
3
3
1
10
10
10
10
)
1
(
100
)
(
)
(
~
)
(
)
(
−
−
−
−
+
+
+
=
=
s
s
s
s
s
G
s
K
s
k
s
K
s
G
Exemplo 2
Margem de fase = 44º
. I sa be l R ib ei ro , A nt ón io P as co al