Laje peça laminar cuja dimensão mínima no seu plano não é inferior a 5 vezes a sua espessura total

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Dimensionamento de Estruturas 2020/2021 José Oliveira Pedro

• Laje –

peça laminar cuja dimensão mínima no seu plano não é inferior a 5 vezes a sua espessura total

• Viga

–

peça linear sujeita

essencialmente a esforços de flexão e

em que ℓ/ℎ 3; quando ℓ/ℎ 3, o

elemento deve ser considerado como uma viga‐parede

DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE BETÃO ARMADO

Elemento de laje sujeito a uma carga distribuída em superfície Ref. [1] ‐ Appleton, J. (2013). Estruturas de betão. Edições Orion. Ref. [2] ‐ Bares, R. (1981) Tablas para el cálculo de placas y vigas pared, Editorial Gustavo Gili.

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Para uma laje sujeita a uma carga uniformemente distribuída (𝑞), a equação diferencial de equilíbrio num ponto genérico do seu plano médio é dada por: ∇ 𝑤 2 em que 𝑤 corresponde ao desloca‐ mento fora do plano da laje e 𝐷 à rigidez de flexão da laje dada por 𝐷 𝐸 𝐼 1 𝑣 𝐸 ℎ 12 1 𝑣 Figura da ref. [1]

LAJES – MODELO ELÁSTICO LINEAR

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Elemento de laje sujeito a uma carga distribuída em superfície Os correspondentes esforços numa laje sujeita a uma carga uniformemente distribuída (𝑞), são obtidos por: 𝑚 𝐷 ( 𝑣 ) 𝑚 𝐷 ( 𝑣 ) 𝑚 𝐷 1 𝑣

em que 𝑚 , 𝑚 e 𝑚 são os

momentos fletores e de torção por unidade de largura da laje em [kN∙m/m] Figura da ref. [1]

LAJES – MODELO ELÁSTICO LINEAR

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LAJES COM FLEXÃO CILÍNDRICA

No caso duma lajeapoiada apenas em dois bordos ter‐se‐á uma curvatura nula na direcção 𝑦 i.e. = 0 pelo que:

𝑚 𝐷 𝑚 𝐷 𝑣 𝑣 𝑚 𝑚 0 O que justifica colocar uma armadura de distribuição na direcção 𝑦 pelo menos de 20% da armadura principal A _, Figuras da ref. [1]

Direcção longitudinal Direcção transversal Efeito de Poisson

𝑚

Modelo equivalente de viga

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LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – MODELO DE GRELHA

No caso duma lajeapoiada nos quatro

bordos, ter‐se‐á curvatura nas duas direcções; assumindo um modelo de grelha equivalente constituído por duas vigas cruzadas, tem‐se: Por equilíbrio 𝛼 · 𝑞 𝛼 · 𝑞 𝑞 Por compatibilidade 𝑤 𝑤 sendo 𝑤 𝐶 𝛼 · 𝑞 · ℓ_𝐷 𝑤 𝐶 𝛼 · 𝑞 · ℓ 𝐷 𝛼 𝛼 𝛼 1 𝛼 𝐶 𝐶 ℓ ℓ 𝛽 ∴ 𝛼 𝛽 1 𝛽 Bordos simplesmente apoiados => 𝐶 Bordos encastrados => 𝐶 Bordos encastrado‐apoiado => 𝐶

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LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – MODELO DE GRELHA

ℓ /ℓ 𝐶 /𝐶 0,2 0,4 1,0 2,5 5,0 1,0 0,17 0,29 0,50 0,71 0,83 1,2 0,29 0,45 0,67 0,84 0,91 1,5 0,50 0,67 0,84 0,93 0,96 2,0 0,76 0,86 0,94 0,98 0,99 Fator de repartição da carga, 𝛼 (relativo ao menor vão, ℓ ) No caso duma lajeapoiada nos quatro

bordos, ter‐se‐á curvatura nas duas direcções; assumindo um modelo de grelha equivalente constituído por duas vigas cruzadas, tem‐se: Por equilíbrio 𝛼 · 𝑞 𝛼 · 𝑞 𝑞 Por compatibilidade 𝑤 𝑤 sendo 𝑤 𝐶 𝛼 · 𝑞 · ℓ_𝐷 𝑤 𝐶 𝛼 · 𝑞 · ℓ 𝐷

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LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – MODELO DE GRELHA

O que mostra que numa laje com iguais condições de apoio nas duas direcções, a carga é quase toda transmitida aos apoios na direcção do menor vão quando ℓ /ℓ 2 Diz‐se nestes casos que se tem flexão “quase cilíndrica”. No caso de uma laje com bordos simplesmente apoiados nas duas

direcções e ℓ /ℓ 2, os momentos

fletores podem ser estimados por: 𝑚 . ·ℓ 0.0075 𝑞 · ℓ 𝑚 . ·ℓ 0.1175 𝑞 · ℓ ℓ /ℓ 𝐶 /𝐶 0,2 0,4 1,0 2,5 5,0 1,0 0,17 0,29 0,50 0,71 0,83 1,2 0,29 0,45 0,67 0,84 0,91 1,5 0,50 0,67 0,84 0,93 0,96 2,0 0,76 0,86 0,94 0,98 0,99 Fator de repartição da carga, 𝛼 (relativo ao menor vão, ℓ )

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LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – TABELAS DE ESFORÇOS ELÁSTICOS

Uma estimativa mais rigorosa pode ser obtida utilizando as tabelas de esforços e deslocamentos elásticos: 𝑚 0.0079𝑞 · 𝑎 𝑚 0.0991𝑞 · 𝑏 NOTA: As direcções dos momentos fletores na tabela indicam a orientação das armaduras de flexão Figure from ref. [2]

𝛾

ℓ

𝑎

ℓ

𝑏

2.0

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LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – TABELAS DE ESFORÇOS ELÁSTICOS

Figura da ref. [2]

Após a análise dos esforços elásticos em cada painel de laje os momentos fletores sobre as vigas poderão não ser iguais. Em situações correntes, a imposição da continuidade do diagrama de momentos em cada apoio pode ser realizada com base no critério: 𝑚 max 𝑚 𝑚 2 0,8 max 𝑚 ; 𝑚 o corresponde a uma redistribuição dos momentos fletores; na sequência, os momentos na zona “de vão” dos tramos adjacentes são também alterados respeitando a condição de equilíbrio.

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LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – DISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS FLETORES

A B C

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NOTA – Os momentos fletores elásticos podem ser redistribuídos até um certo limite sem que seja necessário verificar a capacidade de rotação; Para betões com 𝑓 50 MPa e armaduras da classe de ductilidade B ou C: 𝛿 _𝑚𝑚 max 0,44 1,25 ·𝑥 𝑑 ; 0,70 sendo 𝑥 /𝑑 0,20 a profundidade da linha neutra, o limite corresponde a 30% dos momentos fletores elásticos; para 𝑥 /𝑑 0,35 o limite é 12%. A B C

LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – DISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS FLETORES

• Laje – um método alternativo de obtenção das distribuições de esforços nas lajes consiste na aplicação do método das faixas, que considera:  rigidez de torção numa da laje (i.e. 𝑚 0)  O teorema estático da análise plástica limite – associado a um campo de esforços equilibrados – conduz a um minorante da carga última da laje

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• Laje – Painel de canto 𝛽 𝐶 𝐶 ℓ ℓ 1 185 1 185 9 6.5 3.68 𝛼 = 0.79 (dist. Elást.) → 𝜶_𝟐 0.7 • Laje – Painel lateral 𝛽 ℓ_ℓ _. 1.77 𝛼 = 0.64 (dist. Elást.) → 𝜶_𝟐 0.7

LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – MÉTODO DAS FAIXAS

• Um método alternativo de avaliação da

resistência da laje consiste na aplicação do conceito de linhas de rotura, que corresponde a uma aplicação do teorema cinemático da análise plástica limite. • O método das linhas de rotura permite avaliar a capacidade última resistente da laje; contudo os valores obtidos são majorantes ou iguais à carga última se o mecanismo cinemático considerado for o que verifica. • Este facto torna o método das linhas de rotura de difícil aplicação prática.

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LAJES COM FLEXÃO ESFÉRICA – LINHAS DE ROTURA

NOTA – Laje com armaduras superiores e inferiores iguais entre si e nas duas direcções, i.e. 𝑚 = 𝑚 𝑚