Universidade Federal do Pará, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Recursos Naturais da Amazônia 2

TRANSFORMAÇÃO

INTEGRAL

DO

ESCOAMENTO

MAGNETOHIDRODINÂMICO OSCILATÓRIO DE UM FLUIDO

MICROPOLAR ELETRICAMENTE CONDUTOR EM UM MEIO

POROSO COM REAÇÃO QUÍMICA

F. A. PONTES1_{, H. K. MIYAGAWA}1_{, I. V. CURCINO}2_{, P. C. PONTES}3_{, E. N. MACÊDO}2 _{e J. N.}

N. QUARESMA2

1 _{Universidade Federal do Pará, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Recursos Naturais da}

Amazônia

2 _{Universidade Federal do Pará, Faculdade de Engenharia Química} 3 _{Universidade Federal do Rio de Janeiro, Programa de Engenharia Mecânica}

E-mail para contato: fabioapbelem@hotmail.com

RESUMO – A análise do escoamento magnetohidrodinâmico oscilatório de um fluido micropolar eletricamente condutor em um meio poroso com reação química é realizada via transformada integral. Os campos de velocidade, concentração e temperatura são obtidos a partir da solução de um sistema de equações diferenciais parciais não linear e acoplado considerando os efeitos do fluxo de calor radiativo, campo magnético e reação química de primeira ordem com coeficientes constantes. Os efeitos dos principais parâmetros que governam o fenômeno em questão são avaliados e os resultados obtidos são criticamenteverificados com dados da literatura.

1. INTRODUÇÃO

É crescente o interesse entre os pesquisadores em estudar o escoamento convectivo com transferência simultânea de calor e massa sob a influência de um campo magnético e com ou sem reação química, uma vez que tais processos são empregados em diversos ramos da ciência e tecnologia, tais como células de redução eletrolítica em fábricas de alumínio, sistemas de refrigeração de reatores nucleares e bombas e geradores magnetohidrodinâmicos de energia (Davidson, 2001).

Eringer (1966) desenvolveu a teoria de fluidos micropolares, a qual descreve os efeitos da microrrotação em microestruturas e tem recebido considerável atenção, uma vez que a equação de Navier Stokes não descreve as propriedades de fluidos polares, soluções coloidais, suspensões e cristais líquidos e fluidos contendo pequenos aditivos.

Somado a isto, a aplicação de metodologias matemáticas que conservem uma natureza mais analítica possível tem se tornado uma necessidade cada vez maior, e dentre tais metodologias, a Técnica

da Transformada Integral Generalizada (do inglês Generalized Integral Transform Technique, GITT) apresenta-se como uma excelente alternativa, sendo capaz de tratar um grande número de problemas não-lineares (Cotta, 1993; Cotta e Mikhailov, 1997). A mesma é baseada no uso de expansões de autofunções ortogonais para expressar as variáveis dependentes desconhecidas (Silva e Sphaier, 2010; Sphaier et al., 2011).

Assim, considerando a natureza híbrida (numérico-analítica) da GITT e sua garantia de controle de erro local e global, o objetivo do presente trabalho é a aplicação de tal metodologia na solução do escoamento magnetohidrodinâmico (MHD) oscilatório unidimensional de um fluido micropolar incompressível viscoso com transferência de calor e massa através de uma placa vertical permeável incorporada em um meio poroso na presença de radiação térmica. Os modelos matemáticos são obtidos a partir da Equação Geral do Movimento e dos balanços de massa e energia com propriedades físicas consideradas constantes e o escoamento sendo submetido a um campo magnético transversal constante. Os efeitos de alguns parâmetros físicos sobre os perfis de velocidade linear (u), velocidade angular (ω), temperatura (θ) e concentração (ϕ) são apresentados graficamente. A verificação numérica dos resultados é realizada comparando-se os mesmos com os resultados de Modather et al. (2009).

2. ANÁLISE

2.1. Formulação Matemática

Desenvolvendo as coordenadas axial e angular da Equação Geral do Movimento, bem como os balanços de energia e de massa, os modelos adimensionais para os campos de velocidade linear, velocidade angular (ou de microrrotação), temperatura e concentração são, respectivamente:

  22 1 1 1 2 _{rT rC} u u u G G M u t y y y K                    _  _     _{ } ; (2.1a,b) 2 2 1 t y y             ; 2 2 1 t y P r y            ; 2 1 2 1 t y Sc y               (2.1c,d)

Sujeitas as seguintes condições iniciais e de contorno:  , 0 1  u y  f y ; y, 0 f₂ y ; y, 0 f₃ y ; y, 0 f₄ y (2.1e-h)  0, _p u t U ;   1 0 0, y u t n y       ;  0, 1 nt t e    ;  0,t  1 ent (2.1i-l)  ,  0 u L t  ; L t, 0; L t, 0; L t, 0 (2.1m-p) As condições iniciais foram obtidas do trabalho de Modather et al. (2009) aplicando sua solução aproximada em t = 0.

2 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * 2 ; ; ; * ; ; ; ; 2 p p w y V t V T T u v v u v y u U U t U V v U V v T T                   (2.2a-h)





2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 * * ; ; ; p; ; ; _rT T w w C vg T T j V B v C C n v n j P r Sc H a G C C V v k D V U V                       (2.2i-o)





2 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 * ; * * 1 ; ; ; 2 2 C w r rC vg C C v K U V v G j j K U V v v V V                  _  _  _  _         (2.2p-t)

2.2. Filtragem do Problema

A fim de tornar as condições de contorno apresentadas nas Equações 2.1i-l homogêneas, um esquema de filtragem é proposto, conforme equações a seguir:

 , _h , _p 

u y t u y t u y ;  y t, _h y t, _p y t; (2.3a,b)  y t, _h y t, _p y t;

   ;  y t, _h y t, _p y t; (2.3c,d) As equações diferenciais para os problemas particulares foram definidas como a versão permanente das equações originais de cada potencial, desconsiderando, para o caso da velocidade linear, as parcelas referentes aos demais potenciais, ,  e , de acordo com as Equações 2.4a-l :

  2 1 2 1 1 1 0 1 1 p p p d u du K M u dy dy K          _{ } _{ }      _{ } ; up 0 UP ; u_p L 0 (2.4a-c) 2 2 0 p p d d dy dy      ;   1 0 0 0; p h p y y u u t n y y    _{ }             ; _pL t; 0 (2.4d-f) 2 2 0 p p d d P r dy dy     ; _p 0;t  1 ent; _pL t; 0 (2.4g-i)   2 1 2 0 p p p d d Sc Sc dy dy        ; _p 0;t  1 ent; _pL t; 0 (2.4j-l)

A solução dos problemas particulares acima pode ser obtida de forma analítica através da plataforma de computação numérico-simbólica Mathematica 9.0 (Wolfram, 2005). Os problemas filtrados para os campos de velocidade linear, velocidade angular, temperatura e concentração, são:

  2 2 1  1 1 1 2 , t h h h h rT h rC h h u u u G G M u P y t y y y K                    _  _      _{ } (2.5a) 2 2 1 p h h h t y y t                 ; 2 2 1 p h h h t y P r y t                (2.5b,c) 2 1 2 1 p h h h h t y Sc y t                   (2.5d)

Cujas condições iniciais e de contorno são dadas por:  , 0 1  1    h p u y  F y  f y u y ; _hy, 0F₂ y  f₂ y _py; 0; (2.5e-f)  , 0 3  3   ; 0 h y F y f y p y     ; _hy, 0F₄ y  f₄ y _py; 0; (2.5g-h) 0,  0 h u t  ; h0,t0; h 0,t 0; h 0,t 0 (2.5i-l)  ,  0 h u L t  ; _hL t, 0; _hL t, 0; _hL t, 0 (2.5m-p) Em que:





1 , t 2 p rT p rC p P y G G y          (2.5q)

2.3. Transformação Integral

A solução para o modelo filtrado é obtida através da GITT, cuja metodologia consistirá em eliminar a dependência em relação à variável espacial via transformação integral e, posteriormente, resolver numericamente o sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) acoplado resultante para cada potencial transformado investigado.

O problema de autovalor adequado para fundamentar a construção do potencial como uma expansão em autofunções de base ortogonal pode ser obtido da literatura (Özisik, 1993), conforme Equações 2.6a-c, cuja solução para a autofunção na versão normalizada é apresentada nas Equações 2.6d-f. 2 2 2 0 i i i d dy      ; _i 0 0; _i L 0 (2.6a-c)   i  2   i i i y y sen y L N      ; 2  0 ₂ L i i L N 



 y d y  ; _i i L    ; i 1, 2, 3, ... (2.6d-g)

Com base na propriedade de ortogonalidade das autofunções pode-se definir os seguintes pares transformada-inversa para os potenciais filtrados:

Transformada Inversa

 

   

, 0 , L h i i h u t 



 y u y t dy;

 

   

, 1 , h i h i i u y t  y u t   



(2.7a,b)

 

   

, 0 , L h i t i y h y t dy  

_

  ;





 

_,

 

1 , h i h i i y t y t      



(2.7c,d)

 

   

, 0 , L h i y i y h y t dy  

_

  ;





 

_,

 

1 , h i h i i y t y t      



(2.7e,f)

 

   

, 0 , L h i y i y h y t dy  

_

  ;





 

_,

 

1 , h i h i i y t y t      



(2.7g,h)

Tendo estabelecido os pares transformada-inversa e havendo sido definidas as autofunções e as propriedades de ortogonalidade do problema de autovalor escolhido, pode-se agora prosseguir com a transformação integral do problema diferencial original. Para tal, opera-se com  

0 ____ L i y dy 



nas

Equações 2.5a-f levando-se em conta a definição dos pares transformada-inversa propostos e fazendo uso da propriedade de ortogonalidade sempre que possível, de modo que o seguinte sistema é obtido:

  _{         }       , 2 , , 0 1 1 , 0 1 1 1 + 2 L h i i j h j i h i j L i j h j j d u t y y d y u t M u t d t K y y d y t                     _{ }  _    _    _{ }  _  _    

 

 

        , , 1 0 , L rT h i rC h i i G  t G  t  y P y t d y   

_

(2.8a)         2     , , , 0 0 1 L L _p h i i h i i j h j i j d t t y y dy t y dy dt t              _   _{ }      

 



(2.8b)         2     , , , 0 0 1 L L _p h i i i j h j h i i j d t y y dy t t y dy dt P r t                _{ }      

 



(2.8c)         2     , , 1 , 0 0 1 L L _p h i i i j h j h i i j d t y y d y t t y d y d t S c t                _   _{ }  _  _    _{ } 

 



(2.8d)

Com as seguintes condições iniciais:

 

   

, 1 0 0 L h i i u 



 y F y dy; _,

 

   

₂ 0 0 L h i i y F y dy  

_

 (2.8e,f)

 

   

, 3 0 0 L h i i y F y dy  

_

 ; _,

 

   

₄ 0 0 L h i i y F y dy  

_

 (2.8g,h)

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

O sistema transformado acoplado definido nas Equações 2.8a-h foi resolvido numericamente utilizando a função NDSOLVE na plataforma de computação numérico-simbólica Mathematica 9.0 (Wolfram, 2005) em modo default para uma ordem de termos NT suficientemente grande, de modo a fornecer uma aproximação aceitável do sistema infinito. Quando não explicitado no texto, os resultados mostrados foram obtidos fazendo-se NT = 580.

3.1. Análise de Convergência

A Tabela 1 apresenta uma análise de convergência da solução obtida para os potenciais via GITT em algumas posições ao longo de y com t = 1 para diferentes ordens de truncamento (NT) do sistema transformado. Os resultados indicam que para NT = 20, os potenciais ϕ e θ, os quais são desacoplados de u e , já apresentam seis dígitos completamente convergidos. Já para os potenciais u e ω, o número de termos NT necessários para assegurar uma solução numérica com 3 a 4 dígitos completamente convergidos foi 560, o que pode ser explicado em função dos modelos matemáticos destes dois campos apresentarem acoplamento, resultando que a convergência de um, influencia diretamente no número de termos necessários para a recuperação da solução do outro.

Tabela 1 - Análise de convergência dos campos de velocidade linear, velocidade angular, temperatura e concentração, em diferentes posições axiais para t = 1, K1 = 5, γ1 = 0.1, ε = 0.01, n1 = 0.5, n = 0.1, β

= 1, M = 2, GrT = 2, GrC = 1, Pr = 1, Sc = 2 e Up = 0.5 NT

y u(y,t) ω(y,t) 0.5 2 5 7 0.5 2 5 7 500 0,493713 0,207758 0,016972 0,002296 -0,061085 -0,022778 -0,003111 -0,000533 520 0,493734 0,207776 0,016974 0,002297 -0,061196 -0,022814 -0,003115 -0,000533 540 0,493754 0,207792 0,016976 0,002297 -0,061299 -0,022847 -0,003118 -0,000534 560 0,493773 0,207807 0,016978 0,002298 -0,061395 -0,022878 -0,003122 -0,000534 580 0,493790 0,207822 0,016980 0,002298 -0,061484 -0,022907 -0,003125 -0,000535 NT

y θ(y,t) ϕ(y,t) 0.5 2 5 7 0.5 2 5 7 20 0,613156 0,136905 0,006802 0,000685 0,648828 0,171719 0,011964 0,001428 40 0,613158 0,136906 0,006802 0,000685 0,648827 0,171719 0,011964 0,001428 60 0,613158 0,136906 0,006802 0,000685 0,648827 0,171719 0,011964 0,001428

3.2. Verificação Numérica

Observando as Figuras 1-3 é possível afirmar que os resultados do presente trabalho para todos os campos avaliados foram verificados satisfatoriamente com aqueles de Modather et al. (2009) uma vez que estes perfis possuem uma excelente concordância com os resultados da literatura, tanto nas regiões próximas, quanto nas regiões longe do início do escoamento.

A Figura 1 ilustra a influência do parâmetro de reação química (γ1) nos perfis de velocidade

linear, velocidade angular e concentração. Observa-se que a velocidade angular e a concentração aumentam à medida que γ1 aumenta, enquanto que a velocidade linear tem o comportamento oposto,

embora deva ser ressaltado que existe uma influência muito baixa deste parâmetro no campo de velocidade linear, bem como a temperatura do fluido não é diretamente afetada por esse parâmetro.

Figura 1 – Influência do parâmetro de reação química (γ1) na distribuição de a) velocidade linear, de

b) velocidade angular e de c) concentração para K1 = 5, t = 1, ε = 0.01, n1 = 0.5, n = 0.1, β = 1, M = 2,

GrT = 2, GrC = 1, Pr = 1, Sc = 2 e Up = 0.5

O efeito do parâmetro de permeabilidade (K1) nos perfis de velocidade linear e velocidade

angular é mostrado na Figura 2. À medida que K1 aumenta, a velocidade linear aumenta, juntamente

com a espessura da camada limite, enquanto a velocidade angular diminui. A presença de um meio poroso representa um aumento na resistência ao escoamento (isto é, a medida que K1 diminui), de modo

que a força resistiva resultante tende a diminuir o movimento do fluido ao longo da superfície da placa e promove um aumento da sua velocidade angular.

A influência do parâmetro de campo magnético, M, é observada na Figura 3 e fica evidente que a velocidade linear diminui com o aumento da intensidade do campo magnético, enquanto que a velocidade angular aumenta com o aumento de M. A explicação para este comportamento da velocidade está no fato de que a aplicação de um campo magnético em um fluido eletricamente condutor origina uma força resistiva ao ecoamento (força de Lorentz), retardando o movimento do fluido. 2 4 6 8 0.04 0.03 0.02 0.01 2 4 6 8 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y ω (y ,t ) _{γ1= 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4}

Presente trabalho – GITT Modather et al. (2009) y u (y ,t ) γ1= 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 2 4 6 8 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y ϕ( y, t) γ1= 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 a) b) c)

Figura 2 – Influência do parâmetro de permeabilidade (K1) na distribuição de a) velocidade linear e

de b) velocidade angular para γ1 = 0.1, t = 1, ε = 0.01, n1 = 0.5, n = 0.1, β = 1, M = 2, GrT = 2, GrC = 1,

Pr = 1, Sc = 2 e Up = 0.5

Figura 3 – Influência do parâmetro de campo magnético (M) na distribuição de a) velocidade linear e de b) velocidade angular para γ1 = 0.1, K1 = 5, ε = 0.01, n1 = 0.5, n = 0.1, β = 1, GrT = 2, GrC = 1, Pr =

1, Sc = 2 e Up = 0.5

4. CONCLUSÃO

Um modelo não-linear e acoplado para o escoamento MHD oscilatório unidimensional de um fluido micropolar com transferência de calor e massa através de uma placa vertical permeável em meio poroso na presença de radiação térmica e reação química foi eficientemente resolvido pelo método híbrido denominado GITT, o qual mostrou-se ser uma técnica robusta e versátil na solução desta classe de problemas que envolvem fenômenos eletromagnéticos com reação química, permitindo a obtenção de resultados em excelente concordância com dados da literatura.

2 4 6 8 0.05 0.05 0.10 2 4 6 8 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 K1= 1 K1= 3 K1= 5 K1= ∞ K1= 2 y K1= 4

Presente trabalho – GITT Modather et al. (2009) ω (y ,t ) y K1= 1, 2, 3, 4, 5, ∞ u (y ,t ) a) _b) 2 4 6 8 0.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 8 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 M = 4 M = 3 M = 2 M = 0 M = 0 M = 2 M = 3 M = 4 y u (y ,t ) ω (y ,t ) y

Presente trabalho – GITT Modather et al. (2009)

Através dos resultados da simulação é observado que: quando se aumenta K1 a velocidade linear

aumenta, enquanto que a velocidade angular diminui; a velocidade angular e a concentração aumentam à medida que γ1 aumenta, enquanto que a velocidade linear diminui; e a velocidade linear diminui com

o aumento da intensidade do campo magnético, enquanto que a velocidade angular aumenta com o aumento de M. Destaca-se que os potenciais velocidade linear e velocidade angular apresentam bastante sensibilidade aos parâmetros avaliados, sofrendo variações significativas nos casos analisados.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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COTTA, R. M. Integral Transform in Computational Heat and Fluid Flow. CRC Press, Boca Raton, 1993;

DAVIDSON, P. A. An Introduction to Magnetohydrodynamics. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2001;

ERINGER, A. C. Theory of micropolar fluids. J. Math. Mech. v. 16, p. 1-16, 1966.

MODATHER, M.; RASHAD, A.M.; CHAMKHA, A.J. An analytical study of MHD heat and mass transfer oscillatory flow of a micropolar fluid over a vertical permeable plate in a porous medium. Turkish J. Eng. Env. Sci. v. 33, p. 13, 2009;

ÖZISIK, M. N. Heat Conduction, John Wiley & Sons, New York, 1993;

SILVA, L. M.; SPHAIER, L. A. Integral transform solution of one-dimensional diffusion problems using an enclosing domain approach. In Proc. of the 6th National Congress of Mechanical Engineering (CONEM). Campina Grande, PB, Brazil, 2010;

SPHAIER, L. A.; COTTA, R. M.; NAVEIRA-COTTA, C. P.; QUARESMA, J. N. N. The UNIT algorithm for solving one-dimensional convection-diffusion problems via integral transforms. I. C. Heat and Mass Transfer. v. 38, p. 565-571, 2011;

WOLFRAM, S. MATHEMATICA – a system for doing mathematics by computer, in: The Advanced Book Program. Addison Wesley, Reading, MA, 2005.