ESTUDOCOMPARATIVODEESTRATÉGIASDECONTROLEPARAUMSIMULADORDE
CARGAELETRÔNICABASEADONOCONVERSORCCBOOST
GUILHERME M.PELZ*,EMERSON R.P. DA SILVA*,LEONARDO P.SAMPAIO*.
*UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, câmpus Cornélio Procópio CIPECA – Centro Integrado de Pesquisa em Controle e Automação
Avenida Alberto Carazzai, 1640, 86300-000 Cornélio Procópio, PR, Brasil
E-mails: guipelz@ibest.com.br, emersonr@utfpr.edu.br, sampaio@utfpr.edu.br Abstract This paper presents a comparative study between control techniques applied for a direct current (DC) converter Boost, used as an electronic load emulator. Thereunto, we studied the mathematical model of Boost converter and applied two control strategies, in a state feedback structure: Pole Placement and Linear Quadratic Regulator. For the controllers design, we developed an algorithm for each controller calculus, based on analysis of the error integral. Ultimately, we show the results obtained in the simulation and the frequency response of the controlled systems, comparing theirs performances.
Keywords DC Boost Converter, Electronic Load Emulator, State Feedback Controller, LQR Controller, Pole Allocation Method.
Resumo Este trabalho apresenta um estudo comparativo entre técnicas de controle aplicadas a um conversor de corrente contí-nua (CC) Boost, utilizado como simulador de carga eletrônica. Para isso, estudou-se o modelo matemático do conversor Boost e aplicou-se duas estratégias de controle, na estrutura de realimentação de estados: Alocação de Polos e Reguladores Quadráticos Ótimos. Para projetar os controladores, desenvolveu-se um algoritmo para cada tipo de cálculo de controlador, baseando-se na análise da integral do erro na malha de controle. Apresenta-se então os resultados obtidos em simulação e a resposta em frequência dos sistemas controlados, comparando o desempenho dos controladores obtidos.
Palavras-chave Conversor CC Boost, Simulador de Carga Eletrônica, Controle por realimentação de estados, Controlador LQR, Controlador por Alocação de Polos.
1 Introdução
Cargas eletrônicas de corrente contínua (CC) são comumente utilizadas para realização de testes de comportamento de sistemas de energia CC, quando exigidos de diversas formas. As cargas eletrônicas CC comerciais normalmente apresentam as seguintes con-figurações de funcionamento: corrente constante; re-sistência constante; tensão constante; potência cons-tante (Kikusui, 2014), (B&K Precision, 2014).
Conforme visto, estas cargas não simulam formas de corrente que variam com o tempo de forma perió-dica, característica intrínseca de diversos circuitos consumidores de energia. Neste projeto, a ênfase se dá à forma de onda de corrente a ser consumida. Assim como no trabalho desenvolvido por de Faria et al (2010), o dispositivo eletrônico a ser utilizado deve necessariamente consumir uma forma de onda de cor-rente pré-definida, simulando uma carga que consume corrente com característica não-linear.
A fim de obter uma carga eletrônica de corrente contínua, utilizou-se um conversor estático de potên-cia elevador de tensão (Boost), que possui caracterís-tica de fonte de corrente em sua entrada. Conforme mostrado na subseção 2.1.1, esta topologia possui cor-rente de entrada contínua, e essa corcor-rente pode ser controlada. Normalmente, a forma de onda de corrente exigida por um dispositivo consumidor CC não é constante, e em alguns momentos pode ser descontí-nua (Ceylan; Balikçi, 2014). Assim, o controlador projetado para este sistema deve ser capaz de obter respostas satisfatórias não só para sinais de referência
constantes, mas também para sinais de referência va-riáveis, algo incomum na área de controle.
Utilizando um conversor single-ended primary inductor converter (SEPIC), Tsang e Chan (2012), de-senvolveram um controlador multi-loop para controlar a corrente de entrada do conversor. O controlador foi projetado analisando a resposta em frequência do sis-tema.
Já no projeto aqui explicitado, utilizou-se contro-ladores na estrutura de realimentação de estados, con-forme subseção 2.2.1. Para encontrar os ganhos, duas estratégias foram utilizadas: alocação de polos, con-forme subseção 2.2.2, e sistemas reguladores quadrá-ticos ótimos, comumente chamados de LQR (acrô-nimo inglês para Linear Quadratic Regulator), con-forme subseção 2.2.3. Foi possível então, comparar os resultados obtidos em ambiente de simulação, através do software MATLAB/Simulink®.
Além disso, a fim de facilitar e melhorar o projeto dos controladores, desenvolveu-se um algoritmo ca-paz de analisar a resposta de simulação do sistema controlado, variando parâmetros de cálculo dos con-troladores. Desta forma, é possível encontrar, entre os parâmetros extremos determinados pelo projetista, os melhores ganhos de controle para o sistema em ques-tão.
Em resumo, as contribuições deste trabalho são: a utilização de um conversor Boost como simulador de carga eletrônica CC, o desenvolvimento do contro-lador para este sistema através de alocação de polos e de LQR, a apresentação de um algoritmo para facilitar a busca por um controlador satisfatório, e a compara-ção entre as respostas encontradas.
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Figura 1 - Conversor Elevador de Tensão - Boost
2 Materiais e métodos
2.1 O conversor Boost
2.1.1 Modelagem do conversor Boost
A topologia do conversor de Corrente Contínua utilizado neste trabalho é o conversor elevador de ten-são, comumente conhecido como Boost.
Como característica principal, o mesmo possui para o circuito sem percas, tensão de saída média igual ou maior que a tensão de entrada. Na Figura 1, apre-senta-se o circuito base do conversor Boost (Martins; Barbi, 2006). Há um indutor em série com a fonte de alimentação e por isso, obtém-se algo imprescindível para o estudo aqui realizado: a corrente de entrada do conversor, para altas frequências de chaveamento, tem comportamento próximo de corrente contínua; desta forma, torna-se factível controlar a corrente de entrada do conversor, ou seja, é possível monitorar a forma de onda da corrente a ser consumida pelo simulador pro-posto.
Para a modelagem matemática deste conversor, utilizou-se a metodologia disponível em (Erickson; Maksimović, 2001), chamada de modelagem por pe-quenos sinais. Nela, analisa-se a saída do sistema quando o mesmo é perturbado por pequenos sinais na entrada.
Originalmente, pela influência do diodo e da chave, este circuito é não-linear. Porém, esta metodo-logia permite linearizar o modelo para um ponto de operação, através da análise do circuito em dois ins-tantes distintos: chave 𝑆 aberta e chave 𝑆 fechada. Nesta análise, considera-se o conversor Boost em ope-ração contínua.
Nesse modelo, considerou-se, além dos elemen-tos mostrados na Figura 1, a resistência de chave fe-chada e a queda de tensão no diodo em condução. As equações diferenciais (1) e (2) descrevem o sistema quando a chave 𝑆 está fechada (Sampaio, 2010):
𝐿 𝑑𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑉𝑖𝑛(𝑡) − 𝑖𝐿(𝑡) 𝑅𝑜𝑛 (1) 𝐶𝑜 𝑑𝑉𝑜(𝑡) 𝑑𝑡 = − 𝑉𝑜(𝑡) 𝑅 (2)
Já para a chave 𝑆 aberta, as equações diferenci-ais (3) e (4) descrevem o sistema (Sampaio, 2010):
𝐿𝑖𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑉𝑖𝑛(𝑡) − 𝑉𝑜(𝑡) − 𝑉𝐷1 (3) 𝐶𝑜 𝑑𝑉𝑜(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑖𝐿(𝑡) − 𝑉𝑜(𝑡) 𝑅 (4) No qual:
𝑅𝑜𝑛 é a resistência na chave S quando a
mesma está fechada.
Após a modelagem por pequenos sinais, o sistema linearizado pode ser representado na forma de variá-veis de estado. As variávariá-veis consideradas como esta-dos neste sistema foram: a corrente no indutor 𝑖𝐿(𝑡) e
a tensão sobre o capacitor 𝑉𝑜(𝑡).
A representação deste sistema no espaço de esta-dos é dada por:
𝑥̇(𝑡) = 𝐴 𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) + 𝐵1𝑤(𝑡), 𝑦(𝑡) = 𝐶 𝑥(𝑡). (5) Considerando: [ 𝑑𝑖̇𝐿(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑉𝑜(𝑡) 𝑑𝑡 ] = [ −𝑅𝑜𝑛 𝐷 𝐿 (𝐷 − 1) 𝐿 (1 − 𝐷) 𝐶𝑜 −1 𝑅𝐶𝑜 ] [𝑖𝐿(𝑡) 𝑉𝑜(𝑡)] + [ −𝐼 𝑅𝑜𝑛+ 𝑉𝑜− 𝑉𝐷1 𝐿 −𝐼 𝐶𝑜 ] 𝑑̂(𝑡) + [ 1 𝐿 0 ] 𝑉̂𝑖𝑛(𝑡) 𝑦(𝑡) = [1 0] [𝑉𝑖𝐿(𝑡) 𝑜(𝑡)] (6) Sendo que:
D é a razão cíclica do sinal PWM (Pulse-width modulation) da chave 𝑆, no ponto de operação desejado;
I é a corrente média de entrada do
con-versor, no ponto de operação projetado;
𝑑̂(𝑡) é uma pequena variação no razão cíclica do sinal PWM na chave 𝑆;
𝑉̂𝑖𝑛(𝑡) é uma pequena variação na tensão
da fonte de entrada.
Neste trabalho, deseja-se que o conversor con-suma uma determinada corrente da fonte. Desta forma, para que se possa definir e buscar controlar a forma de corrente desejada, define-se a matriz 𝐶 como [1 0].
2.1.2 Projeto do conversor Boost
Para que os elementos do conversor Boost pos-sam ser calculados, define-se as variáveis especifica-das na Tabela 1:
Tabela 1- Especificações do conversor Boost utilizado
Variável especificada Valor Unidade Tensão da fonte de entrada 25 V Tensão de saída no ponto de
operação
100 V
Frequência de chaveamento 20 kHz
Carga 100 Ω
Máximo ripple de corrente na saída (%)
4 A
Máximo ripple de tensão na saída (%)
Com as relações dispostas em (Martins; Barbi, 2006), os seguintes valores foram obtidos, conforme Tabela 2:
Tabela 2 - Valores de projeto obtidos
Valores de projeto obtidos: Valor Unidade
Capacitor 𝐶0 33 µF
Indutor 𝐿 5,85 mH
Corrente média de entrada no ponto de operação
4 A
Corrente média de saída no ponto de operação
1 A
Razão cíclica do sinal PWM da chave no ponto de opera-ção (0≤D≤1)
0,75 -
2.2 Controle do conversor Boost
2.2.1 Controle por realimentação de estados
A estrutura de controle utilizada neste projeto foi a realimentação de estados. A Figura 2 mostra a estru-tura do controlador na forma de diagrama de blocos.
Desta forma, o sistema de controle seguirá um si-nal de referência e possui um integrador, que garante que o erro da malha de controle tenderá a zero. Para que seja possível seguir uma referência, o sistema de malha fechada ganha um novo estado. Este estado é a integral do erro na malha de controle.
Portanto, o sistema de malha aberta (6) se tornará, em malha fechada: [𝑥̇𝑎(𝑡) 𝑞̇ (𝑡)] = [ 𝐴 − 𝐵𝐾 𝐵𝐻 −𝐶 0 ] [ 𝑥𝑎(𝑡) 𝑞(𝑡)] + [ 0 1] 𝑅𝑒 (7)
Neste sistema de controle, o sinal de controle é dado por:
𝑢(𝑡) = (−𝐾 𝐻) [𝑥𝑎 (𝑡)
𝑞(𝑡) ] (8) Sendo que:
𝑥𝑎(𝑡) é o vetor de variáveis de estado
do sistema, isto é [𝑖𝐿(𝑡) 𝑉𝑜(𝑡)]′; 𝑞(𝑡) é o estado adicional.
𝐾 é o vetor de ganhos que realimenta os estados;
𝐻 é o ganho do estado adicional;
𝑅𝑒 é o sinal de referência.
O modo de obtenção destes ganhos será estudado nas subseções 2.2.2 e 2.2.3, a seguir.
2.2.2 Obtenção dos ganhos por alocação de polos
A obtenção de ganhos pelo método da alocação de polos se dá pela escolha dos polos de malha fechada do sistema pelo projetista, de acordo com a resposta esperada. Assim, os ganhos são determinados a partir da resolução da fórmula de Ackermann (Ogata, 2010). Para que se pudesse analisar de forma qualitativa a resposta desejada, simplificou-se o sistema (7) para um de segunda ordem.
Figura 2 - Estrutura do sistema de controle
Para isso, foi necessário manter a parte real do ter-ceiro polo do sistema oito vezes mais distante do eixo 𝑗𝜔, quando comparado à parte real dos polos domi-nantes, tornando sua contribuição para a resposta in-significante (Ogata, 2010).
Considerando-se que o sistema é de segunda or-dem, a equação característica do sistema é da forma (Dorf; Bishop, 2008):
𝑠2+ 2𝜉𝜔
𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 (9)
Desta forma, os polos deste sistema serão da forma:
𝑝1, 𝑝2= −𝜉𝜔𝑛± 𝑗𝜔𝑛√𝜉2− 1 (10)
Sendo que
𝜔𝑛 é a frequência natural;
𝜉 é fator de amortecimento (𝜉 > 0) Então, desenvolveu-se um algoritmo, com fluxo-grama mostrado na Figura 3. Nele, aplica-se diversos valores escolhidos para 𝜔𝑛 e 𝜉. Desta forma, para cada
par 𝜔𝑛 e 𝜉 obtém-se dois polos dominantes para o
sistema de malha fechada, conforme (10). Então, cal-cula-se o controlador, simula-se o sistema no software Simulink® e analisa-se a integral do módulo do erro presente na malha de controle, durante um mesmo pe-ríodo de tempo para todas as simulações.
Desta forma, entre os valores pesquisados, o al-goritmo garante que os escolhidos fornecem a menor somatória de distância entre a referência e a saída, para um intervalo de tempo definido. Assim, ao en-contrar a menor integral, encontra-se os melhores va-lores de 𝜔𝑛 e 𝜉 entre os testados.
Dentre os valores pesquisados pelo algoritmo, para uma simulação de 0,02 segundos com o conver-sor em regime permanente, para referência triangular de 200Hz, de mínimo 2,5A e máximo 4,5A, obteve-se como melhores parâmetros: frequência 𝜔𝑛 como
954,92Hz (6000rad/s) e o fator de amortecimento 𝜉 como 5,5. Os seguintes ganhos foram obtidos:
𝐾 = [3,0856 −2,6021],
𝐻 = [1,0482. 106]. (11) 2.2.3 Obtenção dos ganhos com sistemas reguladores quadráticos ótimos (LQR)
Considerando um sistema na forma de variáveis de es-tado, o LQR permite determinar o vetor de ganhos (−𝐾 𝐻), com 𝑢(𝑡) igual à equação (8), através da mi-nimização do índice de desempenho (12).
𝐽 = ∫ (𝑥(𝑡)𝑇𝑄𝑥(𝑡) + 𝑢(𝑡)𝑇𝑅 𝑜𝑢(𝑡))𝑑𝑡 ∞ 0 (12) + - H C + + B A -K q(t) u(t) x(t) Re(t) + y(t) +
Figura 3 - Fluxograma do algoritmo desenvolvido para encontrar os polos
Sendo que:
𝑄 é uma matriz hermitiana definida po-sitiva ou real simétrica e;
𝑅𝑜 é uma matriz hermitiana positiva ou
real simétrica.
O lado direito da equação (12) representa o con-sumo de energia dos sinais de controle, e as matrizes 𝑄 e 𝑅𝑜 determinam a importância relativa entre o erro
e o consumo dessa energia (Ogata, 2010).
Desta forma, o vetor de ganhos (−𝐾 𝐻) é direta-mente relacionado com os valores em 𝑄 e 𝑅𝑜. Porém,
é desconhecido pelos autores uma maneira analítica de análise da resposta do sistema controlado, que forneça passos de como se obter as matrizes 𝑄 e 𝑅𝑜.
Por isso, utilizou-se um algoritmo similar ao uti-lizado para alocar os polos, conforme Figura 4. Porém, desta vez, analisou-se e comparou-se diversos valores em 𝑄, simulando o sistema no software Simulink®. Da mesma forma, é possível obter os melhores valores em Q dentre as combinações testadas.
Para um sistema SISO como o tratado, a matriz 𝑅𝑜 é da forma 1x1, ou seja, possui um único valor.
Neste projeto, o valor em 𝑅𝑜 foi mantido constante em
todas as simulações, a fim de diminuir o custo compu-tacional. Isto é possível pois, segundo Nguyen et al (2009), este valor representa apenas um ganho que di-vide a ação de controle.
Dentre os valores pesquisados pelo algoritmo, para uma simulação de 0,02 segundos com o conver-sor em regime permanente, para referência triangular de 200Hz, de mínimo 2,5A e máximo 4,5A, os valores internos de 𝑄 que retornam a menor integral do mó-dulo do erro fornecem os seguintes ganhos:
𝐾 = [4941 −7,700. 10−5],
𝐻 = [1,3453. 105]. (13)
3 Resultados
Como resultados, serão apresentadas as respostas de simulação obtidas no Software Simulink® do sis-tema para dois tipos de referência distintas:
Onda triangular de 250Hz, de mínimo 2,5A e máximo 4,5A, de 0 a 0,022 segundos; e de mínimo 3,5A e máximo 5,5A de 0,022 segundos em diante (Fi-guras (5) e (6)).
Onda senoidal de 120 Hz, de mínimo 0,5A e máximo 4,5A de 0 a 0,0233 segundos; e de mínimo 1,5A e máximo 5,5A, de 0,0233 segundos em diante (Figuras (7) e (8)).
Figura 4 - Fluxograma do algoritmo desenvolvido para encontrar os valores em Q
3.1 Respostas para a referência triangular
A resposta do sistema com o controlador obtido pelo método da alocação de polos é mostrada na Fi-gura 5. Já a resposta do sistema com o controlador ob-tido pelo método LQR é mostrada na Figura 6. A Fi-gura 7 mostra o comportamento do sistema com am-bos os controladores no instante de pico da triangular.
Percebe-se que os dois controladores consegui-ram chegar muito próximos da referência triangular adotada. Percebe-se porém, que o controlador calcu-lado por LQR demora menos tempo e apresenta menos
overshoot que o controlador calculado por alocação de
polos, no momento do aumento abrupto do sinal de referência.
Há cisalhamento da resposta do sistema lado com LQR, o que não ocorre no sistema contro-lado com alocação de polos. Por outro contro-lado, no sistema controlado por LQR, a resposta do sistema segue a re-ferência de forma periódica, o que não acontece no sistema com alocação de polos, onde o sistema leva algum tempo para alcançar a referência após o pico da triangular. De fato e de acordo com os algoritmos dis-postos nas Figuras 3 e 4, a somatória da distância entre a referência e a saída do sistema controlado por LQR é cerca de 2,7 vezes maior que a do sistema controlado por alocação de polos.
3.2 Respostas para a referência senoidal
A resposta do sistema com controlador obtido pelo método da alocação de polos é mostrada na Fi-gura 8. Já a resposta do sistema com controlador ob-tido pelo método LQR é mostrada na Figura 9. A Fi-gura 10 mostra o comportamento do sistema com am-bos os controladores no instante de pico da senoide.
Novamente, percebe-se que o controlador calcu-lado por LQR apresenta cisalhamento na resposta, o que não acontece com o controlador calculado por alo-cação de polos. Da mesma forma, os dois controlado-res foram capazes de alcançar a referência a partir do aumento abrupto da referência, e o controlador LQR apresentou menor overshoot e menor tempo de assen-tamento, quando comparado com alocação de polos. Percebeu-se durante os testes realizados, que com o método de alocação de polos, para que se consiga boas respostas, o sistema tende a tornar-se muito rá-pido, causando um alto índice de sobretensão, além de muita sensibilidade a entradas de alta frequência. De-pendendo do valor de 𝜉, o sistema não era capaz de seguir a referência. Início Itera valores de ωn e ξ Simula o sistema no Simulink® Melhor parâmetro até agora? Não Salva e mostra melhores ωn e ξ Final É a ultima iteração? Sim Sim Não Início Itera valores da matriz Q Simula o sistema no Simulink® Melhor parâmetro até agora? Não Salva e mostra melhor matriz Q Final É a ultima iteração? Sim Sim Não
Figura 5 - Corrente no Indutor x Tempo, Referência triangular, controlador calculado por alocação de polos.
Figura 6 - Corrente no Indutor x Tempo, Referência triangular, controlador calculado por LQR.
Figura 7 - Resposta dos sistemas controlados por Alocação de Po-los e por LQR, quando próximos do pico da referência triangular.
Figura 8 - Corrente no Indutor x Tempo, Referência senoidal, con-trolador calculado por alocação de polos.
Figura 9 - Corrente no Indutor x Tempo, Referência senoidal, con-trolador calculado por LQR.
Figura 10 - Resposta dos sistemas controlados por Alocação de Polos e por LQR, quando próximos do pico da referência senoidal.
Além disso, durante a execução dos algoritmos, percebe-se que o esforço computacional exigido para encontrar um bom controlador para o modelo de alo-cação de polos é muito maior do que para o LQR.
3.3 Resposta em frequência dos sistemas controlados
A Figura 11 mostra o diagrama de Bode de ambos os sistemas compensados. Nele, é possível analisar a resposta em frequência dos sistemas controlados.
Figura 11 - Diagrama de Bode dos sistemas compensados.
Percebe-se que a frequência de cruzamento por zero de ambos os sistemas é parecida. Considerando que os dois algoritmos foram executados de forma in-dependente, obter uma frequência de cruzamento por zero parecida que mostra que ambos os algoritmos projetados encontraram uma boa região para o con-trole deste sistema.
Porém, analisando a resposta em frequência, a di-ferença entre os sistemas controlados se dá na atenua-ção de sinais de alta frequência na entrada. Percebe-se que o sistema com controlador calculado por LQR tem maior atenuação dos sinais de alta frequência, quando comparado ao sistema com controlador calculado por alocação de polos. Desta forma, pode-se explicar o melhor desempenho do controlador por LQR no ins-tante de aumento abrupto da referência, quando com-parado ao sistema controlado por alocação de polos.
4 Comentários Finais
Analisando as respostas dos sistemas controlados dispostas na seção 3, conclui-se que ambos os contro-ladores cumprem os objetivos deste trabalho, sendo capazes de controlar o conversor Boost com referência com característica não-linear, ou seja, como simulador de carga eletrônica CC.
Além disso, comparou-se duas formas de cálculo de controladores, baseados na estrutura de realimenta-ção de estados, sendo elas: alocarealimenta-ção de polos e LQR. Como resultado desta comparação, conclui-se que cada controlador apresenta vantagens e desvantagens em relação ao outro.
Considera-se como vantagens do controlador
LQR em relação ao controlador por alocação de polos:
menos perturbado por sinais de alta frequência na en-trada, como uma mudança de referência; menor gasto computacional para utilização do algoritmo desenvol-vido e menores ganhos de controle, indicando maior factibilidade de implementação prática.
Considera-se como vantagens do controlador por alocação de polos em relação ao controlador LQR: si-nal de corrente sem cisalhamento e somatória da dis-tância entre a referência e a saída cerca de 2,7 vezes menor.
Desta forma, as contribuições deste trabalho são a utilização de um conversor Boost como carga eletrô-nica; o desenvolvimento de um algoritmo para projeto de controladores na estrutura de realimentação de es-tados e a comparação entre as respostas dos sistemas controlados obtidos.
Pretende-se, como trabalho futuro, projetar con-troladores utilizando técnicas baseadas em Desigual-dades Matriciais Lineares (LMI). Além disso, após a análise, desenvolver a implementação prática dos con-troladores projetados.
Agradecimentos
Os autores agradecem as contribuições da Universi-dade Tecnológica Federal do Paraná e da Fundação Araucária pelo apoio financeiro para o desenvolvi-mento desta pesquisa.
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