1- Resolução de Sistemas Lineares.

(1)

1- Resolução de Sistemas

Lineares.

1.1- Matrizes e Vetores.

1.2- Resolução de Sistemas Lineares de

Equações Algébricas por Métodos Exatos

(Diretos).

1.3- Resolução de Sistemas Lineares de

Equações Algébricas por Métodos

Iterativos.

1.4- Convergência dos Métodos Iterativos.

(2)

1.3- Sistemas Lineares de Equações Algébricas

Solução de um sistema linear de m equações algébricas com n incógnitas via métodos iterativos.

n n n n m m m n n m

a x

b

a x

a

x

a

x

b

a

x

a

x

a

x

b

+

=

+

=

+

=

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2

"

" " " " " " " " " " "

"

n n m m mn n n

a

x

b

a

x

b

a

x

b

⎡

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

₌

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣

⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2

"

" " "

#

"

ou

Ax = b

(3)

1.3.1- Quando existe solução?

No tópico anterior 1.2 foi visto o seguinte teorema.

Teorema: O sistema linear tem uma única solução (se

existir) se e somente se o correspondente sistema homogêneo tem somente a solução .

Pode ser mostrado que tem somente a solução se

x = 0

Ax = b

Ax = 0

x = 0

det

A 0

≠

Quando a ordem da matriz é muito grande, devido a

Aritmética com Precisão Finita do computador, a solução dos métodos diretos apresenta um erro que pode ser muito

grande a ponto de perder a utilidade prática. Nestes casos é

(4)

1.3.1- Métodos iterativos para resolver

Métodos Iterativos: Produzem a solução exata do sistema

após um número infinito de operações aritméticas (algoritmo

infinito). Como isto é impossível de ser feito o algoritmo infinito é transformado em finito e conseqüentemente a

solução é sempre aproximada. Alguns métodos: Método da

Iteração, Método de Seidel, Método do Relaxamento.

Estamos interessados em sistemas representados por uma matriz não singular:

Ax = b

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − n n n n nn nn n n n n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 12 11 2 1 2 22 21 1 1 1 12 11 # # " " " " " " " " " b x A_n_×n =

det

A 0

≠

(5)

1.3.2- Método da Iteração (Aproximações Sucessivas)

Considere o sistema com matriz não singular:

Se podemos resolver a primeira equação

para , a segunda para e assim sucessivamente até .

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − n n n n nn nn n n n n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 12 11 2 1 2 22 21 1 1 1 12 11 # # " " " " " " " " " ( ) n n× = A x b 1

(

,

, )

ii

a

≠

0 i

=

1"

n

x

₂

x

₁

x

_n 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 s e 0 s e 0 0 0 i i ii n n ij n n ij ii n n n n n ij b a x x x a x a x x i j a x a x x x x x i j

β

α

β

α

β

α

⎧ ₌ ⎪ = + + + + _{⎫ ⎪} ⎪ ⎪ = + + + + _⎪ = − ≠ ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = + + + + _{⎭ ⎪} = = ⎩ " " " " " " " " " " " " " " " "

(6)

Ou em forma matricial:

Podemos resolver o sistema via método das aproximações

sucessivas como a seguir. Na aproximação zero escolhemos e substituímos no membro direito de (2), obtendo

. Na aproximação 1 substituímos no membro direito de (2), obtendo . E assim sucessivamente até chegar na aproximação k+1 . Desta forma obtemos uma seqüência de aproximações que se converge para um limite ( ), então este limite é solução de (2) e também de (1). e n n n n n n n n n n n n n nn nn n α α α α β α α α α β α α α α β α α α α β − − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ α 11 12 1 1 1 1 21 22 2 1 2 2 11 12 1 1 1 1 1 2 1 " " " " " " " # " " ( ) , , n n n i i ij j j x x i n β α × = = + = + =

∑

x β α x 1 2 1 " = x0 β n n× = + x1 β α x0 x1 n n× = + x2 β α x1 k k n n + × = + x 1 β α x k → → → → x1 x2 _" x _"

(7)

Ou seja, se usando (2) e propriedades do limite segue que:

Resumindo as formulas do Método da Iteração são:

lim

k k→∞

x

=

x

, , , , , ( , , ) , ( ) i i n k k i i ij j j ii ij i i ij ii ii x x x k i n a b a a β β α α β α + = ⎧ = ⎪ ⎪ ₌ ₊ ₌ ⎪⎪ ⎨ ₌ ₌ ⎪ ⎪ ⎪ = = − ⎪⎩

∑

0 1 1 0 1 2 0 1 3 " "

lim

k

lim(

_{n n} k

)

_{n n}

lim

k _{n n}

k k k

+

× × ×

→∞

x

=

→∞

β α x

+

= +

β α

→∞

x

= +

β α x x

=

1

Muitas vezes ao reduzir (1) para (2) é conveniente que . Isto pode ser feito da seguinte forma . Logo as formulas do método serão:

ii

α

≠ 0

ii ii ii

α

= =

α α

1

+

2

0

, , , , ( ´) , , ij ( , , ) i ii i ii ij i i i n k k i i ij j ii ii j i a b a x x x k a i n a a β β α β α α + = ⎧ = ⎪ ⎪ ₌ ₊ ₌ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ₌ _{= −} _{= −} ₌ ⎪⎩

∑

2 1 1 1 1 1 0 0 1 2 3 1 " " Método da Iteração

(8)

Este processo iterativo converge rapidamente (poucas

iterações) se os elementos da matriz são pequenos em valor absoluto. Ou seja, se . O valor de não influencia na convergência do método.

Como a convergência do método depende unicamente das propriedades da matriz a escolha do vetor pode ser feita de forma arbitrária. Isto é, a escolha de não

influencia na convergência do método.

A convergência do processo iterativo é auto-corretora. Ou seja,

erros devidos a Aritmética com Precisão Finita do computador

não afetarão o resultado final, já que estes erros podem ser considerados como um novo vetor em cada passo de aproximação. , , , ii ij a > a i jn n×= 1 " n

α

b x0 ≠ x0 β k x n n×

α

(9)

Critério de parada do processo iterativo: considere a diferença da solução entre duas iterações sucessivas

e escolha a precisão desejada como .

Um possível critério de parada pode ser

Condição suficiente para a convergência do processo iterativo.

Teorema: Se para o sistema (2) se verifica pelo menos uma

das seguintes condições:

então o processo iterativo (3) converge para a única solução de (1) independentemente da escolha da aproximação inicial.

) ( , , ) ) (j , , ) n ij j n ij i i i n ii n α α < = < =

∑

1 1 1 1 " " 0 ε > k k k k k k i i i x x x + + + + ⎧Δ = − ⎪ ⎨ Δ = − ⎪⎩ x 1 x 1 x 1 1 1 1 k k k i i i x + − x = Δx + ≤ ε ∀i ( ) , , n n n i i ij j j x x i n β α × = = + = + =

∑

x β α x 1 2 1 " , , , , , ( , , ) , ( ) i i n k k i i ij j j ii ij i i ij ii ii x x x k i n a b a a β β α α β α + = ⎧ = ⎪ ⎪ ₌ ₊ ₌ ⎪⎪ ⎨ ₌ ₌ ⎪ ⎪ ⎪ = = − ⎪⎩ ∑ 0 1 1 0 1 2 0 1 3 " " ( ) n n× = A x b 1

(10)

Como conseqüência do teorema anterior segue.

Corolário: Para o sistema

o método da iteração converge se for verificada a desigualdade

( , , ) n ii ij j i a a i n ≠ >

∑

= 1 " =b ( , , ) n ij j i j a x i n = =

∑

1 1 " 0 , = − = _ii ii ij ij a a α α ) ( , , ) ) (j , , ) n ij j n ij i i i n ii n α α < = < =

∑

1 1 1 1 " " 1 2 1 2 1 2 1 0 0 1 1 ii i i i in i i in ii ii ii i i in ii n ii ij j j i i a a a a a a a a a a a a α α α α α = ≠ + + + + + < − + − + + + + − < = + + + < = >

∑

" " " " "

(11)

1.3.3- Método de Seidel

O Método de Seidel pode ser entendido como uma modificação

do Método da Iteração. A idéia principal é que ao calcular no passo de aproximação (k+1) sejam consideradas as

calculadas neste passo e não as do passo anterior k como é

feito no Método da Iteração. Isto é, seja o sistema (2)

Escolha arbitrariamente a aproximação inicial (passo 0) para obter a seguinte aproximação (passo 1) e assim até a

aproximação k . Seidel propõe construir a aproximação (k+1) como segue:

i x , , , _i x x₁ ₂ " x ₋₁ ( , , ) ou n n n i i ij j j i n x β α x × = = + = = +

∑

x β α x 1 1 " (x x₁0, ₂0,", x_n0) → ( ,x x₁1 ₂1,", x1_n) →"→ (x x₁k, ₂k,", x_nk )

(12)

1.3.3- Método de Seidel

Seidel propõe construir a aproximação (k+1) como segue:

n k k j j j n k k k j j j i n k k k i i ij j ij j j j i n k k k n n nj j nn n j x x x x x x x x x x x β α β α α β α α β α α + = + + = − + + = = − + + = ⎧ ₌ ₊ ⎪ ⎪ ⎪ = + + ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ₌ ₊ ₊ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ₌ ₊ ₊ ⎪⎩

∑

1 1 1 1 1 1 1 2 2 21 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 """""""""""" """"""""""""

O teorema que garante a convergência do método da

iteração também é valido para o

Método de Seidel.

Em geral, o Método de Seidel

converge melhor que o Método

da Iteração. Inclusive existem

casos em que o Método da

Iteração diverge e o Método de Seidel converge. Mas o contrário também acontece. Convergência

mais lenta do Método de Seidel e

divergência quando comparado

(13)

1.3.4- Método do Relaxamento

Seja o sistema linear de equações:

que dividindo cada equação pelo respectivo (elemento da diagonal) pode ser transformado em

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − n n n n nn nn n n n n n n n n n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 12 11 2 1 2 22 21 1 1 1 12 11 # # " " " " " " " " "

(

)

com

n n ij n n ij ii i i n n n n n n ii n n nn n n

c

x

d

a

c

x

d

c

i

j

a

b

d

c

x

d

a

c

x

d

− − − − − − − −

−

⎡

⎤⎡

⎤ ⎡

⎤ ⎡ ⎤

⎧

⎢

₋

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

₌₋

_≠

⎪

⎢

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

_⎪

⎢

⎥⎢

⎥ ⎢

+

⎥ ⎢ ⎥

=

_⎨

⎢

₋

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

_{⎪ =}

⎢

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

_⎪⎩

⎢

₋

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥ ⎢ ⎥

_{⎣ ⎦}

⎣

⎦⎣

⎦ ⎣

⎦

12 1 1 1 1 1 21 2 1 2 2 2 11 12 1 1 1 1 2 1

1

0

1

0

1

0

1

0 "

"

" " "

"

#

"

ii

a

−

(14)

Escolha arbitrariamente a aproximação inicial e substitua neste sistema:

12 1 1 1 1 1

21 2 1 2 2 2

11 12 1 1 1

1 2 1

Diferente de zero (Resíduo). Igual a zero apenas com a soluçãoe

1

n n n n n n n n n n n n nn n n

c

x

d

c

x

d

c

x

d

c

x

d

− − − − − − − −

−

⎡

⎤⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

₋

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥⎢

⎥ ⎢

+

⎥

⎢

₋

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

₋

⎥⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦⎣

⎦ ⎣

⎦

"

" " "

"

#

"

xata.

0 (

)

0 com

0

ij ij ii i i ii

a

c

i

j

a

b

d

a

⎡ ⎤

⎧

⎢ ⎥

_{= −}

_≠

⎪

⎢ ⎥

_⎪

⎢ ⎥

=

_⎨

⎢ ⎥

_{⎪ =}

⎢ ⎥

_⎪⎩

⎢ ⎥

⎣ ⎦

#

(x x₁0, ₂0,", x_n0) n n n n n n n n n n n n n nn n n n

c

d

R

x

c

d

R

x

c

d

R

x

c

d

R

x

− − − − − − − − −

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤ ⎡ ⎤

⎢

⎥

_⎢

₋

_⎥

⎢

⎥

_⎢

_{⎥ ⎢ ⎥}

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

+

⎢

⎥ ⎢ ⎥

≠

⎢

⎥

_⎢

_⎥

⎢

⎥

_⎢

_{⎥ ⎢ ⎥}

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥

⎢

⎥

_⎢

_⎣

₋

_⎥

_⎦

⎢

⎥

_⎢

_⎣

_{⎥ ⎢ ⎥}

_⎦

_{⎣ ⎦}

⎣

⎦

⎣

⎦

0 0 12 1 1 1 1 1 1 0 0 21 2 1 2 2 2 2 0 0 11 12 1 1 1 1 0 0 1 2 1

1

0

1

0

1

0

1

0 "

"

#

"

(15)

Ou seja, depois da primeira aproximação obtemos os resíduos:

n j j j n j j j j n i i i ij j j j i n n n n nj j j

R

d

x

c x

R

d

x

c x

R

d

x

c x

R

d

x

c x

= = ≠ = ≠ − =

⎧

₌

₋

₊

⎪

=

−

+

⎪

⎨

⎪

₌

₋

₊

⎪

=

−

+

⎪

⎩

∑

0 0 0 1 1 1 1 2 0 0 0 2 2 2 2 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1

"""""""""

Se incrementamos em a incógnita o correspondente resíduo será

diminuído pela quantidade enquanto que todos os outros

resíduos serão incrementado pela

quantidade . Assim, para zerar o resíduo na próxima aproximação basta incrementar em .

Desta forma obtermos: s x Δ 0 s x0 s x Δ 0 s R0 ( ) i R0 i ≠ s is s c Δx0 s R1 s x0 Δ =x_s0 R_s0 ( ) ( )= n s s s sj j s j j s n i i i i s s s s j j js i is j j i R d x c x R R d x c x R c j x x x δ x i = ≠ = ≠ = − + + = − = − Δ Δ + +Δ + Δ ∀ ≠

∑

1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

(16)

O Método do Relaxamento consiste em reduzir a zero em cada

passo o maior resíduo, modificando o valor de sua

componente da incógnita. O processo é concluído quando todos os resíduos da aproximação k são iguais a zero dentro da precisão exigida . As incógnitas são obtidas somando todos os incrementos: , se segue n s s s s s s sj j j j s s s n s s i i i is s ij j j i i is j i j s s s x x x R d x c x x R R R R d x x x c x c x i j R R c i s = ≠ = ≠ ≠ ⎫ _{⎧ =}_⎪ _{+ Δ} = − + _⎪ _⎨ ⎪ _⎪ Δ = ⎪ ⎩ ⎬ ⎧ = − = ⎪ ⎪ = − + + ∀ ≠ _⎪ _⎨ = + ∀ ≠ ⎪⎩ ⎪⎭ Δ Δ

∑

0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0

{ }

0 1 0 , max k k l l l s s s s i i l x x x x R − = = +

∑

Δ Δ = 1 1

, com tal que todo

l l s s l l l l l s s i i is s R = R − −Δx R = R − +c Δx ∀i ≠ s l = k R < ε ε

(17)

Exemplo (Demidovich, pag 315) Resolva pelo método do relaxamento.

{ }

0 1 0 , max k k l l l s s s s i i l x x x x R − = = +

∑

Δ Δ = 1 1

, com tal que todo

l l s s l l l l l s s i i is s R = R − − Δx R = R − +c Δx ∀i ≠ s l = k R < ε ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − − = − + − = − − 1 1 1 Exata Solução 8 10 7 2 10 6 2 2 10 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x 01 . 0 Precisãoε = Resolvido no Excel 2003

.

Sistema Reduzido *(-

)

.

ii

x

a

x

− +

+

=

⎧

⎪

_{− +}

₊

₌

⎨

⎪

₊

_{− +}

₌

⎩

1 2 3 1 2 3 1 2 3

0 2

0 6 0

1 0 1

0 2

0 7 0

0 1

0 8 0

(18)

Frase do Dia

“Eu queria certeza da mesma maneira que as pessoas querem fé religiosa. Eu pensava que a certeza é mais provável de ser

encontrada na matemática do que em qualquer outra coisa. Mas descobri que muitas demonstrações matemáticas, que meus

professores esperavam que eu aceitasse, estavam cheias de

falácias, e que, se a certeza pudesse realmente ser descoberta na matemática, seria em um novo campo da matemática, com

fundamentos mais sólidos do que os que tinham até então sido considerados seguros. Mas enquanto o trabalho prosseguia, eu me lembrava constantemente da fábula sobre o elefante e a tartaruga. Tendo construído um elefante sobre o qual poderia repousar o mundo matemático, vi que o elefante cambaleava, e passei a construir uma tartaruga, para evitar que ele caísse. Mas a tartaruga não estava mais segura que o elefante, e após uns vinte anos de trabalho muito árduo, cheguei à conclusão de que não havia mais nada que eu pudesse fazer a fim de tornar o

conhecimento matemático indubitável.”