MARIANA LEMES DE OLIVEIRA ZARAN

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Problemas de estruturas

multiplicativas num quinto ano

do Ensino Fundamental

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PROBLEMAS DE ESTRUTURAS

MULTIPLICATIVAS NUM QUINTO

ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

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PROBLEMAS DE ESTRUTURAS

MULTIPLICATIVAS NUM QUINTO

ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

Universidade Cruzeiro Do Sul

2013

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Universidade Cruzeiro do Sul

Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

Pró-Reitor – Prof. Dr. Danilo Antonio Duarte

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Coordenação – Profa. Dra. Edda Curi

Banca examinadora

Profa. Dra. Cintia Ap. Bento dos Santos Profa. Dra. Edda Curi

Profa. Dra. Adair Mendes Nacarato

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

Z39p

Zaran, Mariana Lemes de Oliveira.

Problemas de estruturas multiplicativas num quinto ano do ensino fundamental / Mariana Lemes de Oliveira Zaran. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2013.

29 p. : il.

Produto educacional (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática).

1. Educação matemática 2. Resolução de problemas 3.

Matemática – Ensino fundamental 4. Projeto Prova Brasil. I. Título II. Série.

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Sumário

1 APRESENTAÇÃO ... 5

2 CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS ... 7

3 INSTRUMENTOS DE PESQUISA ... 10 3.1 PRIMEIRO INSTRUMENTO ... 12 3.2 SEGUNDO INSTRUMENTO ... 14 3.3 TERCEIRO INSTRUMENTO ... 19 3.4 QUARTO INSTRUMENTO ... 22 4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ... 25 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 27 REFERÊNCIAS ... 29

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 5

1 APRESENTAÇÃO

Apresentamos um produto educacional que é fruto da pesquisa de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul. Este material apresenta parte do resultado elaborado a partir da dissertação intitulada “Uma análise dos procedimentos de resolução de

alunos de 5º ano do Ensino Fundamental em relação a problemas de estruturas multiplicativas” de autoria de Mariana Lemes de Oliveira Zaran e

orientada pela Profa. Dra. Cintia Aparecida Bento dos Santos.

Nossa pesquisa teve por objetivo analisar protocolos de 57 alunos de 5° ano do Ensino Fundamental de uma escola pública da cidade de São Paulo na resolução de problemas do campo multiplicativo, buscando evidenciar facilidades e dificuldades percebidas quanto a identificação destas operações e, indícios de compreensão dos significados desses problemas.

A investigação foi norteada pelas seguintes questões:

 Quais as interpretações demonstradas por alunos do 5° ano ao resolverem problemas do Campo Multiplicativo?

 Quais os indícios de compreensão revelados por alunos do 5° ano em relação às estruturas multiplicativas?

A investigação utilizou dados coletados a partir do Projeto Prova Brasil de Matemática: revelações e possibilidades de avanços nos saberes de alunos de 4ª série/5º ano e indicativos para formação de professores no âmbito do Programa Observatório da Educação, Edital 2010, financiado pela Capes. Este projeto é oriundo dos trabalhos desenvolvidos pelo grupo de pesquisa

Conhecimentos, Crenças e Práticas de Professores que ensinam Matemática –

CCPPM da mesma universidade, coordenado pela pesquisadora Dra. Edda Curi, cujo objetivo era fortalecer as relações entre pesquisas acadêmicas e a prática em sala de aula na educação básica.

A pesquisa é de natureza qualitativa, com técnica de análise documental utilizando os protocolos dos alunos com os problemas dos quatro instrumentos

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 6 resolvidos.

O objetivo desses instrumentos foi o de verificar os procedimentos utilizados pelos alunos para solucionar problemas referentes às estruturas multiplicativas, analisando se eles identificam ou não a ideia envolvida e como os resolvem.

Neste contexto, apresentamos neste produto, quatro instrumentos de investigação abordando diferentes grupos de problemas de acordo com a categorização de Vergnaud (2009), em relação ao campo conceitual das estruturas multiplicativas.

Esperamos que esse material possa contribuir de forma significativa para a prática pedagógica de professores de Ensino Fundamental, bem como propiciar reflexões a respeito das facilidades e dificuldades enfrentados pelos alunos na resolução de problemas de estruturas multiplicativas.

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2 CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

Para subsidiar a pesquisa foram utilizados, entre outros, os estudos de Gerard Vergnaud (2009) sobre o campo conceitual multiplicativo e as orientações didáticas dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do 1º e 2º ciclos (BRASIL, 1997).

Assim, neste item, apresentamos esclarecimentos sobre a Teoria dos Campos Conceituais evidenciando a categorização feita por Vergnaud (2009) sobre os problemas pertencentes ao Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas.

A Teoria dos Campos Conceituais tem como autor o pesquisador e psicólogo francês Gerárd Vergnaud, reconhecido especialista na Didática da Matemática, sendo diretor de pesquisas didáticas do Centro Nacional de Pesquisa Científica do Instituto Nacional de Investigação Pedagógica, em Paris.

Segundo Vergnaud (1996), a principal finalidade da teoria dos campos conceituais é fornecer um quadro que permita a compreensão das filiações e rupturas entre conhecimentos novos e antigos nas crianças e nos adolescentes. Assim, sua teoria nos permite explorar os procedimentos e representações realizados pelos alunos diante de um determinado problema, possibilitando a identificação de suas dificuldades e facilidades.

Sobre os problemas pertencentes a este campo, Vergnaud (1996) afirma que os problemas mais simples do Campo Multiplicativo implicam a proporção simples de duas variáveis, uma em relação à outra, onde, de acordo com o valor numérico e o domínio da experiência, os problemas apresentam dificuldades diferentes de um em relação ao outro.

Existem duas grandes categorias dentre as quais se classificam os problemas de multiplicação e divisão: isomorfismo de medidas e produto de medidas.

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 8 Na categoria de problemas denominada por Vergnaud (2009) como

Isomorfismo de Medidas, destacam-se os problemas que estabelecem

relações proporcionais entre conjuntos de mesma cardinalidade. Para a elaboração deste grupo de problemas, optamos em dividi-los em dois tipos: problemas envolvendo a correspondência “um a muitos”, e problemas que trabalham a correspondência “muitos a muitos”, a fim de verificarmos mais detalhadamente os procedimentos de resolução apresentados pelos alunos em cada tipo de problema, bem como se estruturam os conhecimentos destes alunos em cada uma destas relações.

Na categoria de problemas denominada por Vergnaud (2009) como

Produto de Medidas, destacam-se dois tipos de problemas: um que envolve

configuração retangular e outro que requer a utilização do raciocínio combinatório, em que todos os elementos de um dos grupos são relacionados com todos os elementos do outro grupo.

Ao realizarmos uma breve associação entre as categorias definidas por Vergnaud e os grupos de situações presentes nos Parâmetros Curriculares Nacionais, pudemos apontar: (i) a categoria isomorfismo de medidas indica-se nos documentos oficiais pelos grupos de multiplicação comparativa e proporcionalidade; (ii) a categoria produto de medidas é indicada pelos grupos de configuração retangular e combinatória.

Com base nestas categorias que possibilitam o trabalho com os conceitos das operações de multiplicação e divisão já nos primeiros anos no Ensino Fundamental, elaboramos quatro instrumentos de pesquisa, apresentados a seguir.

Faz-se necessário também evidenciar sobre essa teoria a importância de um trabalho em que o aluno participe do processo de construção do conhecimento, em que ele possa compreender o significado de um determinado conceito. Nesse momento de aprendizagem, é proporcionado ao aluno a oportunidade de estabelecer conexões significativas entre os conceitos já vistos por ele e os novos conceitos apresentados. Também é por meio

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 9 dessas conexões que o aluno pode reestruturar sua organização de pensamento, os esquemas, podendo surgir novas formas de raciocínio, que permitirão a evolução de seu pensamento dentro de um campo conceitual.

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3 INSTRUMENTOS DE PESQUISA

A seguir apresentamos quatro instrumentos de investigação elaborados em conjunto com o grupo de pesquisa que podem auxiliar o professor no desenvolvimento e na consolidação do raciocínio multiplicativo com os alunos e as categorias que norteiam as análises.

Para exemplificar sua aplicação, discutiremos a seguinte questão: o que mostram as resoluções dos alunos em relação aos significados dos problemas do Campo Multiplicativo?

Ao analisar os 206 protocolos dos alunos elegemos as seguintes categorias:

1. Identificam a ideia da operação que resolve o problema e acertam os procedimentos

Nesta categoria, encontram-se os protocolos de alunos que identificam a ideia da operação que resolve o problema e os resolvem corretamente, seja por meio de um algoritmo ou de procedimentos não convencionais, chegando ao resultado esperado.

2. Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas não utilizam os procedimentos corretamente.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas erram nos procedimentos de cálculo, seja por meio de um algoritmo ou de procedimentos não convencionais, não chegando ao resultado esperado.

3. Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas indicam a operação, e não a desenvolvem.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que identificam a operação que resolve o problema, representam qual é essa operação, mas não desenvolvem a operação representada.

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procedimentos/algoritmos utilizados.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não indicam a operação de multiplicação ou divisão, mas conseguem resolver o problema por meio de uma ideia aditiva, fazendo adições sucessivas, seja por meio de um algoritmo ou de um procedimento não convencional, acertando os procedimentos utilizados e chegando ao resultado esperado.

5. Não identificam a operação e erram os procedimentos

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não identificam a operação que resolve o problema e ainda erram os procedimentos de resolução e não chegam ao resultado esperado.

6. Não identificam a operação que resolve o problema, apenas indicam uma operação, e não a desenvolvem.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não identificam a operação que resolve o problema, representam outra operação, mas não a desenvolvem.

7. Indicam apenas o resultado e acertam.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não realizaram registro de representação do procedimento para a resolução, apenas indicando o resultado do problema. Nesse caso, observamos que os alunos conseguem chegar ao resultado correto.

8. Não resolvem.

Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não resolveram o problema, e nem mesmo levantaram hipóteses para resolução do mesmo, deixando o exercício “em branco”.

Em cada problema analisado identificamos algumas das categorias apresentadas e compatibilizamos os dados da pesquisa nas categorias utilizadas.

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3.1 PRIMEIRO INSTRUMENTO

O primeiro instrumento, apresentado na Figura 1, agrega três problemas que contemplam a ideia “um a muitos”, pertencentes à classe de problemas isomorfismo de medidas.

Figura 1: Primeiro Instrumento de Pesquisa – Problemas de relação um a muitos

No problema 1 (Figura 1) esperávamos que os alunos utilizassem a estrutura multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a operação de multiplicação entre a quantidade de alunos e o número de garrafas, resultando em um total de 50 garrafas na festa. As análises realizadas foram compatibilizadas na tabela a seguir.

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 13 Tabela 1 – Resultados do problema 1- Instrumento 1

Categorias encontradas Número de

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema e

acertam os procedimentos 51

Identificam a ideia operação que resolve o problema, mas

não utilizam os procedimentos corretamente 2 Não identificam a operação e acertam os procedimentos/

algoritmos utilizados 1

Fonte: dados das pesquisadoras

No problema 2, que os alunos utilizassem a estrutura multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a operação de divisão entre o número de garrafas e o número de pessoas, resultando em 3 garrafas levadas por pessoa.Após a análise encontramos o resultado apresentado na tabela a seguir.

Tabela 2 – Resultados do problema 2- Instrumento 1

protocolos

não utilizam os procedimentos corretamente 6 Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas

indicam a operação, e não a desenvolvem 2

Não identificam a operação e acertam os procedimentos/

algoritmos utilizados 16

Não identificam a operação e erram os procedimentos 16 Fonte: dados das pesquisadoras

No Problema 3, esperávamos que os alunos utilizassem a estrutura multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a operação de divisão entre o número de garrafas que havia na festa e o número de garrafas levadas por convidado, resultando em 24 pessoas presentes na festa. A tabela a seguir apresenta os resultados da análise.

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 14 Tabela 3 – Resultados do problema 3- Instrumento 1

protocolos

não utilizam os procedimentos corretamente 9 Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas

indicam a operação, e não a desenvolvem 1

Ao analisarmos nosso primeiro instrumento, pertencente ao grupo de problemas descrito por Vergnaud (2009) como Isomorfismo de Medidas, pudemos verificar que, apesar de nem todos os alunos já identificarem a operação do campo multiplicativo, grande parte deles conseguiu chegar ao resultado esperado. A maior parte dos alunos utilizou as operações de multiplicação e divisão. Os alunos obtiveram maiores êxitos na resolução do problema 1, que envolvia a operação de multiplicação, e menores êxitos na resolução dos problemas 2 e 3, que envolviam a operação de divisão. Todos os problemas envolvem a noção de proporcionalidade.

3.2 SEGUNDO INSTRUMENTO

O segundo instrumento, Figura 2, agrega quatro problemas, contemplando a ideia “muitos a muitos”, também pertencentes à classe de problemas isomorfismo de medidas.

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Figura 2: Segundo Instrumento de Pesquisa – Problemas de relação muitos a muitos

Apresentamos agora os quatro problemas analisados em nossa segunda etapa da investigação, envolvendo a correspondência “muitos a muitos”, também pertencentes à classe de problemas isomorfismo de medidas.

Problema 4. Um grupo de 12 meninos coleciona carrinhos. Juntos eles têm 48 carrinhos. Considerando que todos têm a mesma quantidade, quantos carrinhos haveria se 21 meninos colecionassem carrinhos?

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 16 Para a realização desse problema a partir da estrutura multiplicativa, esperávamos que o aluno realizasse a divisão entre o número de carrinhos e o número de meninos, descobrindo a quantidade de carrinhos pertencentes a cada menino. Em seguida, o aluno deveria realizar a multiplicação entre o número de carrinhos pertencentes a cada menino e o novo número de meninos requerido no problema, chegando desse modo à solução do mesmo, 84 carrinhos. Outra forma de resolução desse problema a partir da estrutura multiplicativa seria também a partir da utilização do raciocínio proporcional. Na tabela a seguir, apresentamos o resultado observado.

protocolos

Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos usados 1

Não identificam a operação e erram os procedimentos 25 Não identificam a operação que resolve o problema, apenas

indicam uma operação, e não a desenvolvem 2

Não resolvem 1

Problema 5. Sabe-se que 15 meninos colecionam chaveiros e que juntos têm 75 chaveiros. Considerando que todos tenham a mesma quantidade, quantos meninos colecionariam chaveiros se juntos tivessem 90 chaveiros?

Esperávamos que a solução desse problema se desse a partir da estrutura multiplicativa, inicialmente a partir da realização da operação de divisão entre a quantidade de chaveiros e a quantidade de meninos, a fim de descobrir o número de chaveiros pertencentes a cada aluno; e posteriormente a realização da divisão entre o número total de chaveiros e o número de chaveiros que cada aluno possui, chegando assim ao resultado de 18 meninos. Outro caminho de resolução desse problema seria a partir da estrutura multiplicativa, por meio da utilização do raciocínio proporcional.

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 17 Compatibilizamos as análises na tabela a seguir.

protocolos

Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas

não utilizam os procedimentos corretamente 8 Não identificam a operação e erram os procedimentos 27

Não resolvem 2

Problema 6: Um grupo de 16 meninos tem ao todo 64 bolinhas de gude. Considerando que todos têm a mesma quantidade, quantas bolinhas haveria se 12 meninos estivessem neste grupo?

Focando na estrutura multiplicativa, esperávamos que os alunos realizassem inicialmente a divisão entre o número de bolinhas de gude e o número de meninos; e, posteriormente, realizassem a multiplicação entre o número de bolinhas de gude pertencentes a cada menino e o número de meninos do grupo, chegando ao total de 48 bolinhas de gude. Outro caminho de resolução desse problema com a utilização da estrutura multiplicativa seria por meio da utilização do raciocínio proporcional. A tabela a seguir ilustra os resultados verificados.

protocolos

Não resolvem 2

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 18 quantidade de adesivos. Se 24 meninas têm juntas 72 adesivos, quantas meninas seriam sócias do clube se tivessem 42 adesivos?

Nesse problema esperávamos que os alunos inicialmente dividissem o número total de adesivos pelo número de meninas para descobrir a quantidade de adesivos pertencentes a cada menina; e, posteriormente realizando a divisão entre o novo número de adesivos estipulado e o número de adesivos pertencente a cada menina, chegando ao total de 14 meninas. Os resultados observados compõem a tabela a seguir.

Tabela 7 – Resultados do problema 7 - Instrumento 2

protocolos

Não resolvem 4

Analisando o segundo instrumento, ainda pertencente ao grupo de problemas descrito por Vergnaud (1996) como Isomorfismo de Medidas evidenciamos que a maioria dos alunos mostrou não compreender a ideia envolvida no problema, errando seus procedimentos e grande parte dos alunos não conseguiu chegar ao resultado esperado. A maioria dos alunos não compreendeu a ideia envolvida, não identificando para a resolução dos problemas as operações de multiplicação ou divisão

Faz-se importante destacar que todos esses problemas envolviam a apropriação do pensamento proporcional, no fundo a mesma ideia dos problemas do Primeiro Instrumento. A dificuldade verificada deu-se provavelmente por causa da relação “muitos a muitos”, mais complexa do que a relação “um a muitos” envolvida no Primeiro Instrumento. Pudemos identificar ainda maiores dificuldades nos problemas que necessitavam de procedimentos

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 19 de divisão.

3.3 TERCEIRO INSTRUMENTO

O terceiro instrumento envolve três problemas, que contemplam a ideia de “configuração retangular”, pertencentes à classe de problemas produto de medidas conforme figura 3 a seguir.

Figura 3: Terceiro Instrumento de Pesquisa – Problemas de configuração retangular

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 20 Problema 1: Em uma caixa com formato retangular cabem 96 maçãs. Sabendo que as maçãs estão organizadas em fileiras e que em cada fileira cabem 12 maçãs, quantas fileiras de maçãs há nessa caixa?

Neste problema, esperávamos que os alunos solucionassem-no realizando a divisão entre o número total de maçãs que cabem na caixa e o número de maçãs que cabem em cada fileira, chegando ao total de 8 fileiras. Na tabela a seguir, é possível visualizar os resultados encontrados.

protocolos

não utilizam os procedimentos corretamente 7 Não identificam a operação e acertam os

procedimentos/algoritmos utilizados 8

Problema 2: Uma caixa de ovos tem formato retangular. Os ovos estão organizados em 6 fileiras com 8 ovos em cada fileira. Quantos ovos há nessa caixa?

Para solucionar este problema, esperávamos que os alunos realizassem a multiplicação entre o número de fileiras e o número de ovos contidos em cada fileira, chegando ao total de 48 ovos. A tabela a seguir apresenta os resultados da análise.

protocolos

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Não identificam a operação e erram os procedimentos 3

Indicam apenas o resultado e acertam 3

Problema 3: Numa fábrica de chocolates, os bombons estão organizados em diferentes tipos de caixas retangulares. Cada caixa é organizada em fileiras e colunas. Todas as fileiras têm a mesma quantidade de bombons e todas as colunas também. Organize esses bombons em diferentes tipos de caixas.

Neste problema, procuramos ampliar as possibilidades de resolução, em que os alunos poderiam indicar diferentes disposições de fileiras e colunas das caixas de bombons. Por meio do raciocínio multiplicativo, o aluno poderia associar esta ideia às tabuadas já conhecidas, apoiando-se nestas multiplicações para organizar os bombons. A partir dessa organização podemos levantar a hipótese de que o aluno já possua a ideia de produto de medidas. Os resultados observados encontram-se na tabela a seguir.

protocolos

Não resolvem 18

Analisando o terceiro instrumento, pertencente ao grupo de problemas descrito por Vergnaud (2009) como Produto de Medidas, evidenciamos que a maioria dos alunos demonstrou compreender a ideia de configuração retangular envolvida no problema chegando ao resultado esperado.

Evidenciamos também que os menores êxitos obtidos estão relacionados ao problema 1 que envolvia a ideia de multiplicação, o que pode indicar a não apropriação de procedimentos requeridos na operação de divisão,

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 22 foco dos outros dois problemas.

3.4 QUARTO INSTRUMENTO

O quarto e último instrumento envolve dois problemas que contemplam a ideia de “combinatória”, também pertencentes à classe de problemas produto de medidas. Para cada problema levantamos hipóteses quanto à identificação ou não da operação que resolve o problema e aos procedimentos dos alunos utilizados para sua resolução.

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 23 Problema 1: Uma lanchonete oferece as seguintes opções de sucos e lanches: sucos de laranja, uva, abacaxi e morango e lanches de misto quente, x salada, bauru.

Para solucionar este problema esperávamos que os alunos multiplicassem a quantidade de opções de sucos pela quantidade de opções de lanches, chegando ao total de 12 combinações possíveis. Na tabela a seguir são apresentados os resultados observados.

protocolos

Não identificam a operação e erram os procedimentos 11

Não resolvem 1

Problema 2: João vai passar alguns dias na praia e levou 6 camisetas e 3 bermudas. Quais são as diferentes combinações que ele poderá fazer?

Neste problema, esperávamos que os alunos realizassem a multiplicação entre o número de camisetas e o número de bermudas, chegando ao total de 18 combinações possíveis. Os resultados verificados foram compatibilizados na tabela a seguir.

protocolos

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Não resolvem 1

Analisando o quarto e último instrumento, pertencente ao grupo de problemas descrito por Vergnaud (2009) como Produto de Medidas, no que se refere ao raciocínio combinatório, evidenciamos que grande parte dos alunos conseguiu chegar ao resultado esperado. No entanto, observamos que os alunos usaram não somente procedimentos multiplicativos para a resolução dos problemas, mas também verificamos a utilização de procedimentos próprios de resolução.

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4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Como contribuição desse estudo, elencamos algumas situações e intervenções que podem facilitar a prática do professor:

 Observação do contexto utilizado nos enunciados dos

problemas: Constatamos por meio da interação com a professora

da sala que estes contextos pertenciam a realidades dos alunos, e isso contribuiu para o interesse dos alunos em solucioná-los, além de facilitar a compreensão das situações envolvidas, que tratavam de condições reais.

 Leitura compartilhada e detalhamento das etapas: O professor também pode auxiliar na compreensão dos enunciados e das situações apresentadas por meio de um trabalho que não permita ao aluno trabalhar apenas no campo numérico, como pudemos visualizar em alguns protocolos, mas levar sempre em consideração a situação que lhes é apresentada. A leitura compartilhada e o detalhamento das etapas de um determinado problema podem contribuir com esse trabalho.

 Articulação entre operações: Um grande facilitador em relação ao ensino destas operações se refere a um trabalho que possa ser realizado de forma articulada entre as mesmas, para que possam ser estabelecidas as devidas relações entre ambas, o que também poderá contribuir com a diminuição das dificuldades quanto aos procedimentos da divisão, em que, a partir do momento em que o aluno o perceber sua relação com a multiplicação, esses procedimentos poderão ser compreendidos mais claramente.

 Professor pesquisador: Cabe ao professor o papel de pesquisador, buscando e encontrando novos caminhos através da constante observação dos procedimentos realizados pelos alunos, e dos indícios de compreensão revelados por eles, o que possibilitará ao docente diagnosticar as facilidades e fragilidades,

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 26 que propiciarão a elaboração de estratégias que envolvam situações de aprendizagem que possam mobilizar conhecimentos de acordo com o nível de compreensão observado.

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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Após analisarmos os dois grupos de problemas descritos por Vergnaud (2009), isomorfismo de medidas e produto de medidas, pudemos verificar que, apesar de nem todos os alunos já demonstrarem compreender a ideia por meio do raciocínio multiplicativo, no geral, grande parte dos alunos conseguiu encontrar a solução dos problemas.

Entre os que não se apropriaram dos significados do campo multiplicativo, pudemos perceber em alguns protocolos que os alunos utilizam os dados do enunciado do problema sem identificar a operação que resolve o problema ou o procedimento adequado para a resolução. Isso ocorre, talvez, pelo aluno não atribuir significado aos enunciados dos problemas que lhes são apresentados. Acerca desse fato, podemos nos apoiar na análise realizada por Saiz (1996), ao defender que a identificação dos procedimentos a serem realizados depende do significado atribuído pelo aluno à situação. Percebemos ainda que algumas vezes o aluno se preocupou em realizar um cálculo com os números contidos no enunciado do problema, abstraindo pouco a compreensão do significado.

Percebemos quanto às interpretações demonstradas pelos alunos que, os mesmos conseguiram identificar a ideia de uma multiplicação ou divisão mais facilmente em problemas de proporcionalidade simples, como os que contemplavam as ideias “um a muitos” ou os que envolviam o significado de configuração retangular.

Nos problemas que contemplavam a ideia de proporcionalidade envolvendo a relação “muitos a muitos”, ficou evidente em nossas análises as diversas interpretações equivocadas, em que a maior parte dos alunos utilizou operações e procedimentos ineficazes para a resolução desse tipo de problemas, demonstrando não compreender o significado dos mesmos. Constatamos nesse tipo de problema fragilidades quanto à interpretação do raciocínio proporcional, dificultando a resolução das situações apresentadas.

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Mariana Lemes de Oliveira Zaran 28 Quanto aos problemas que envolviam a ideia de combinatória, pudemos encontrar interpretações distintas, em que os alunos muitas vezes utilizaram procedimentos e esquemas pessoais para a resolução dos problemas ao invés da operação de multiplicação ou divisão.

Essas observações nos dão indícios de que a interpretação dada pelos alunos a estes problemas por muitas vezes não revelou a percepção da relação entre as operações, e por algumas vezes demonstraram realizar um trabalho puramente numérico, sem levar em conta o significado do contexto, o que pode ter dificultado a compreensão de algumas situações apresentadas.

Acerca dessa questão, percebemos em nossos estudos que grande parte dos alunos investigados demonstram compreender a ideia que norteia cada uma dessas operações; fato este que pode ser considerado favorável ao ensino e a aprendizagem das mesmas. Porém, também ficou evidente que, além de compreender a ideia norteadora de cada operação, é necessário que os alunos saibam identificá-las diante das mais variadas situações, como as apresentadas em nossos instrumentos; necessidade esta que por muitas vezes percebemos não ocorrer em nosso cenário de investigação, em que, os mesmos alunos que em um determinado instrumento demonstraram identificar a ideia envolvida, em outros instrumentos não conseguiam elaborar procedimentos de resolução.

Consideramos importante também destacar a necessidade de trabalhar as diversas possibilidades de problemas que contemplam o campo multiplicativo, abordando os diversos grupos de problemas e ideias multiplicativas, em que o aluno possa se deparar com diferentes situações e ter a autonomia de posteriormente identificá-las e articulá-las diante de problemas que envolvam cada grupo de ideias pertencente a este campo, como por exemplo, os descritos em nossos instrumentos de investigação, elaborados com base na categorização apresentada nos estudos de Vergnaud (2009).

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REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.

Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.

SAIZ, I. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. In: PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 156-185.

VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino da matemática na escola elementar. Tradução de Maria Lucia Faria Moro. Revisão técnica de Maria Tereza Carneiro Soares. Curitiba: Ed. Da UFPR, 2009.

VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das