Exercícios resolvidos - Hidráulica básica

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com

HIDRÁULICA BÁSICA – 4ª edição

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercícios propostos do capítulo 2: 2.7, 2.10, 2.14, 2.16, 2.20, 2.21, 2.23, 2.34, 2.35, 2.36. (pg. 1) Exercícios propostos do capítulo 3: 3.1, 3.7, 3.8, 3.10, 3.13. (pg. 7)

Exercícios propostos do capítulo 4: 4.1, 4.4, 4.7 e 4.9. (pg. 11)

Exercícios propostos do capítulo 5: 5.1, 5.2 5.4, 5.6, 5.8, 5.14. (pg. 16) Exercícios propostos do capítulo 6: 6.1, 6.2, 6.6. (pg. 22)

Exercícios propostos do capítulo 8: 8.1, 8.2, 8.3, 84, 8.5, 8.6, 8.8, 8.10, 8.19, 8.20. (pg. 27) Exercícios propostos do capítulo 9: 9.5, 9.6, 9.8. (pg. 33)

Exercícios propostos do capítulo 12: 12.7, 12.9, 12.13, 12.18. (pg. 35)

2.7 Água escoa em um tubo liso, εεεε = 0,0 mm, com um número de Reynolds igual a 106. Depois de vários anos de uso, observa-se que a metade da vazão original produz a mesma perda de carga original. Estime o valor da rugosidade relativa ao tubo deteriorado.1

J → perda de carga onde f → fator de atrito

V → velocidade média

Na situação final, J0(Q) = J(Q/2). Portanto:

(

)

2

(

)

2 _{2 2} 0 / / 2 0 2 2 4 Q A Q A f f f Q f Q D g D g A A ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ =

( )

( )

2 2 5,4 5,4 6 0,9 6 0,9 0, 25 1 5,74 5,74 log 2log 3,7 10 10 5,74 5,74 log log 3,7 _{10 10} D D ε ε   ∴ = ⇔ =  + ⇔           ₊                   3 5 5,4 5,4 5,4 5,74 5, 74 100 5,74 2, 262 10 100 (1 100) 8, 370 10 3,7 3,7 27,027 10 D 10 D 10 D ε ε ε − − − ⋅   ⇔ = _ + _⇔ = − ⇔ = = − ⋅  

Resolvendo por um outro método, tem-se: (antes) 2 1 1 4 V D Q = ⋅ ⋅π 2 1 1 1 2 L V H f D g ∆ = (depois) 2 1 1 2 V = V 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 1 2 2 L V L V H H f f f f D g D g ∆ = ∆ ⇒ _{⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ =}

Recentemente, Swamee apresentou uma equação geral para o cálculo do fator de atrito, válida para os escoamentos laminar, turbulento liso, turbulento rugoso e de transmissão, na forma: 0,125 16 8 6 0,9 64 5,74 2500 9,5 ln Re 3,7 Re Re f y D y y ε −  _{ }         _{ }  =  +  + −            _{ }   

Pela equação de Swamee, aplicada no tubo liso:

2 0,9 0,25 2 _5,74 log 3,7 Re f V J f D g D y ε = =    +        

(

)

₈

(

) (

)

₆ 16 0,125 5 5 3 6,4 10 9,5 ln 2, 28 10 2,5 10 0,011597 f − − − −       = ⋅ + _ ⋅ − ⋅ _  =       Assim: 2 4 1 2 0, 046388 f = f ⇒ f =

Pela equação do tubo rugoso:

1 1 2, 04 log 1,67 2, 04 log 1, 67 2 0,046338 R D f ε ε   = + ⇒ _{=  + ⇔}  

4, 64298 2, 04 log D log 2 1, 67 1, 4573 log D log 2 log D 1, 7584

ε ε ε         ⇔ =  _ _− + ⇔ = _ _− ⇔ _ _= ⇔   0,0174 D ε ₌

2.10 Em uma tubulação circular, a medida de velocidade do escoamento, a uma distância de parede igual a 0,5 R, em que R é o raio da seção, é igual a 90% da velocidade na linha central (velocidade máxima). Determine a relação entre a velocidade média V e a velocidade central vmáx, e a rugosidade relativa da tubulação. Sugestão: utilize o resultado do Exemplo

2.2 e as Equações 2.20 e 2.34. Equação 2.20 ⇒ * 2,5ln máx v V R u− = y Equação 2.34 ⇒ 1 2 log 3,71D f ε   =     Do Exemplo 2.2, v_máx = +V 4,07u_*→ =V 0,765v_máx * * * 0,9 2,5ln 1,733 0,1 1,733 0,577 0,5 máx máx máx máx v v R v u u v u R −   = _{ }= ⇔ = ⇔ =   Pela Equação 2.32 * 2,5ln 4,73 V R u ε   = +    , tem-se: 0,765 2,5ln 4, 73 ln 3, 41 30,30 0,0165 0,577 2 2 2 máx máx v D D D v D ε ε ε ε = + ⇔ = ⇔ = ⇒ ₌

2.14 Em relação ao esquema de tubulações do exemplo 2.8, a partir de que vazão QB,

solicitada pela rede de distribuição de água, o reservatório secundário, de sobras, passa a ser também abastecedor?

Para aço soldado novo, C = 130 (Tabela 2.4). Pela Tabela 2.3, determina-se β (β1 = 1,345⋅103)

No trecho AB: D1 = 6”, C = 130 e J1 = 1,12 m/100 m →β1 = 1,345⋅10 3 1,85 3 1,85 1 1 1 1,12 1,345 10 1 1 0,0216 J =βQ ∴ = ⋅ Q ∴ =Q m3/s No trecho BC: D2 = 4”, C = 130, J2 = 1,12 m/100 m, β2 = 9,686⋅10 3 1,85 3 1,85 2 2 2 1,12 9,686 10 2 2 0,00745 J =β Q ∴ = ⋅ Q ∴Q = m3/s

A diferença é consumida na rede: QB = 0,0216 – 0,00745 = 0,01415 m

3

/s = 14,2 l/s

A cota piezométrica em A é CPA = 812,0 m. Em B é a cota menos a perda:

CPB = CPA – ∆HAB = 812 – J1L1 = 812 – 0,0112⋅650 = 804,72 m

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com Neste caso, CPB < 800m 1 812 800 0,0185 650 H J L ∆ − = = = m/m

Aço soldado novo: C = 130 (tabela 2.4) D1 = 6”, C = 130, J1 = 1,85 m/100 m, β1 = 1,345⋅103 1,85 3 1,85 1 1 1 1,85 1,345 10 1 1 0,02836 J =βQ ∴ = ⋅ Q ⇔Q = m3/s = 28,36 l/s 2 800 800 0 420 J = − =

Toda a vazão proveniente do reservatório superior é utilizada no abastecimento na iminência. Para que o reservatório inferior entre em operação, QB > 28,36 l/s.

2.16 Na tubulação da figura 2.10, de diâmetro 0,15 m, a carga de pressão disponível no ponto A vale 25 mH2O. Qual deve ser a vazão para que a carga de pressão disponível no

ponto B seja 17 mH2O? A tubulação de aço soldado novo (C = 130) está no plano vertical.

Carga de pressão em CPA = 25 mH2O. Qual deve ser a vazão para que a carga de pressão em B

seja CPB = 17 mH2O? 25 A P γ = m, B 17 P γ = m, zA = 0, zB = 5 m 2 2 , 2 2 A A B B A B P V P V z z H g g γ γ + + = + + + ∆ vA = vB ⇒ 25 = 17 + 5 +∆H ⇔∆H = 3 mH2O Pela tabela 2.3, β = 1,345⋅103 3 0, 0191 157,1 H J L ∆ = = = m/m = 1,91 m/100 m 1 1 1,85 1,85 1,85 3 1,91 28,9 1,345 10 J J βQ Q β     = ⇒ _{=  =  =} ⋅     l/s

2.20 Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo (εεεε = 0,10 mm), enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m. No ponto A, a cota piezométrica é 657,58 m e a vazão, de 38,88 l/s, e no ponto B, 643, 43 m e 31,81 l/s. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Williams.

D = 150 mm QA = 38,88 l/s QB = 31,81 l/s ε = 0,10 mm CPA = 657, 58 m

L = 500 m CPB = 643,43 m

Fórmula universal da perda de carga:

2 ; 2 L V H f D g ∆ = 2; 2 fV J Dg = H∆ = ×L J • A – C: 3 2 38,88 10 2, 20 0, 075 A A Q v A π − ⋅ = = = ⋅ m/s; ƒA = 0,0191; 2 0,0191 2,20 0,0314 2 2 0,15 9,8 A A A f V J Dg ⋅ = = = ⋅ ⋅ m/m • B – C:

3 2 31,81 10 1,80 0,075 B B Q v A π − ⋅ = = = ⋅ m/s; ƒB = 0,0193; 2 0,0193 1,80 0,0213 2 2 0,15 9,8 B B B f V J Dg ⋅ = = = ⋅ ⋅ m/m

Pela ideia de que a energia total se mantém constante, e como o escoamento é constante, pode-se usar a equação 2 2 , 2 2 A A B B A B p V p V z z H g g γ + + = γ + + + ∆ onde n n n. p z CP γ + = Colocando os valores do problema, tem-se: 2 2 2, 20 1,80 657,58 643,43 657,83 643,60 14, 23 2 9,8 2 9,8 H H H + = + + ∆ ⇔ = + ∆ ⇔ ∆ = ⋅ ⋅ m

Sabe-se que a perda de carga total é devida à perda de carga nos pontos A e B. Assim:

(

)

0,0314 0,0213 500 14, 23 A B A A B B A A H H H J L J L L L ∆ = ∆ + ∆ = + = ⋅ + ⋅ − = ⇔ 3,58 0, 0101 14, 23 10,65 354, 45 0,0101 A A L L ⇔ ⋅ = − ⇔ = = m

Pela fórmula de Hazen-Williams: J = βQ1,85, βA = βB = 1,345⋅10 3 JA = 1,345⋅10 3 (38,88⋅10–3)1,85→ JA = 3,309 m/100 m JB = 1,345⋅10 3 (31,81⋅10–3)1,85→ JB = 2,283 m/100 m Portanto: ∆HA + ∆HB = ∆H ⇔ JALA + JBLB = ∆H ⇔ 0,0314LA + 0,02283(500 – LA) = 14,2 ⇔ ⇔ 14, 23 500 0,02283 274,37 0, 03309 0, 02283 A L = − ⋅ = − m

2.21 Em uma tubulação horizontal de diâmetro igual a 150 mm, de ferro fundido em uso com cimento centrifugado, foi instalada em uma seção A uma mangueira plástica

(piezômetro) e o nível d’água na mangueira alcançou a altura de 4,20 m. Em uma seção B, 120 m à jusante de A, o nível d’água em outro piezômetro alcançou a altura de 2,40 m. Determine a vazão. D = 150 mm = 0,15 m C = 130 Tabela 2.3 →β = 1,345⋅103 1,85 J = ⋅β Q e J H L ∆ = 1,85 3 4,20 2,40 1,5 100 0,0253 120,00 1,345 10 J = _ − _→ =Q ⇒Q= ⋅   m 3 /s = 25,3 l/s Outro método: D = 150 mm = 0,15 m CPA = 4,20 m CPB = 2,40 m DAB = 120 m VA = VB ⇒ 4, 2=2, 4+ ∆ ⇔ ∆ =H H 1,8m 1,8 0,015 120 H J L J ∆ = ⋅ ⇒ = = 1,85 1,85 4,37 1,85 4,37 1,85 1,85 4,37 0,015 130 0,15 10,65 10,65 10,65 Q J C D J Q C D ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = = 1,85_{2,878 10} 3 _0,0423 Q − ⇔ = ⋅ = m3/s = 42,3 l/s 2 2 2 2 2 2 2 2 A A B B A B A B A B P V P V V V z z H CP CP H g g g g γ + + = γ + + + ∆ ⇔ + = + + ∆

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com

2.23 A ligação entre dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é feita por duas tubulações em paralelo. A primeira, com 1500 m de comprimento, 300 mm de diâmetro, com fator de atrito f = 0,032, transporta uma vazão de 0,056 m3/s de água. Determine a vazão transportada pela segunda tubulação, com 3000 m de comprimento, 600 mm de diâmetro, e fator de atrito f = 0,024.

A perda de carga é a mesma:

1 2 1 1 2 2 f f h =h ⇔J L =J L 2 2 5 8 f Q J g D π = ⇒ 1 12 2 22 2 5 2 1 2 2 2 4 2 4 5 1 2 8 8 0,032 600 1500 0,056 0, 259 0,024 300 3000 f Q f Q L L Q g D g D π π ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ _{= =} ⋅ ⋅ m 3 /s

Por outro método:

1. L1 = 1500 m 2. L2 = 3000 m D1 = 300 mm = 0,3 m D2 = 600 mm = 0,6 m f1 = 0,032 f2 = 0,024 Q1 = V1A1 Q2 = ? 2 1 1 0,0707 4 D A =π⋅ = m2 2 2 2 0, 2827 4 D A =π⋅ = ₁ 1 1 0,7922 Q V A = = m/s _{2 2 2 2} 2 ₂ 2 3,5368 Q Q V A V Q A = ⋅ ⇔ = = Tubulações em paralelo →∆H1 = ∆H2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 f V f L V f L V f L V f L V f L V H J L H L D g D g D g D g D D  _⋅  _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅} ∆ = ⋅ ⇔ ∆ =_ _ = ∴ = ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   2 2 2 2 0,032 1500 0,7922 0,024 3000 3,5368 0,3 0,6 Q ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ₌ ⇒ 2 2 2 2 0, 032 1500 0,7922 0,6 0, 25864 0, 3 0,024 3000 3,5368 Q ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ _{= =} ⋅ ⋅ ⋅ m 3 /s = 258,64 l/s

2.34 Uma tubulação de 0,30 m de diâmetro e 3,2 km de comprimento desce, com inclinação constante, de um reservatório cuja superfície está a uma altura de 150 m, para outro reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 120 m, conectando-se aos reservatórios em pontos situados 10 m abaixo de suas respectivas superfícies livres. A vazão através da linha não é satisfatória e instala-se uma bomba na altitude 135 m a fim de produzir o aumento de vazão desejado. Supondo que o fator de atrito da tubulação seja constante e igual a f = 0,020 e que o rendimento da bomba seja 80%, determine:

a) a vazão original do sistema por gravidade;

b) a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de 0,15 m3/s;

c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba, desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora;

d) desenhe as linhas de energia e piezométrica após a instalação da bomba, nas condições do item anterior.

(Sugestão: reveja a equação 1.36, observando os níveis d’água de montante e jusante.) a) hf = J⋅L =150 – 120 = 30 m 2 2 2 5 2 5 2 5 8 9,81 0,30 30 30 30 0,117 8 8 0,020 3200 f Q g L Q D Q f L g D π π π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ m 3 /s b) Pot = ? para Q = 0,15 m3/s ⇒ Q = V⋅A ⇔V Q 2,1221 A = = onde 2 0,0707 4 D A=π =

9,8 Q H_B Pot η ⋅ ⋅ = 2 2 3 2 2 4 1 0,020 3,2 10 4 0,15 1 150 120 2 0,3 0,3 2 9,8 a b c B L Q z H z f H D πD g π   ⋅ ⋅ ⋅   + = +   ⇔ + = +   ⇔ ⋅ ⋅     3 2 2 2 4 0, 020 3, 2 10 4 0,15 30 19, 01 0, 3 0, 3 2 9,8 B H π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = − + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 9,8 19, 01 0,15 34,93 0,8 Pot ⋅ ⋅ ∴ = = kW c) 2 2 1 1 2 2 A A antes A antes A B A B p V p V p z z H z z H g g γ + + = γ + + + ∆ ⇔ = γ + + ∆ 1 150 pantes 135 H γ ∴ = + + ∆ onde: 2 2 1 0,02 533,33 2,1221 8,17 2 2 9,8 0,3 L V H f D g ⋅ ⋅ ∆ = = = ⋅ ⋅ 6,83 antes p γ = mH2O 2 2 1 150 19,01 135 8,17 2 2 depois depois A A B B A B p p p V V H z z H g g γ γ γ + + + = + + + ∆ ⇔ = + − − ⇔ 25,84 depois p γ ⇔ = mH2O

2.35 Na figura 2.14 os pontos A e B estão conectados a um reservatório mantido em nível constante e os pontos E e F conectados a outro reservatório também mantido em nível constante e mais baixo que o primeiro. Se a vazão no trecho AC é igual a 10 l/s de água, determine as vazões em todas as tubulações e o desnível H entre os reservatórios. A instalação está em um plano horizontal e o coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Willians, de todas as tubulações, vale C = 130. Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas das tubulações.

AC BC A B f f CP =CP ⇒h =h _1,85 ( , ) Hazen Willians J β Q tabela D C − = ⋅ → 1,85 1,85 3 1,85 3 1,858 100⋅β_AC⋅Q_AC ⋅L_AC =100⋅β_BC⋅Q_BC ⋅L_BC ⇔9,686 10 10⋅ ⋅ ⋅100=1,345 10⋅ ⋅Q_BC ⋅100⇔ 3 1,85 1,85 1,85 3 9,686 10 10 509,83 29,07 1,345 10 BC Q ⋅ ⋅ ⇔ = = = ⋅ l/s

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 29,07 10 39, 07 CD BC AC Q =Q +Q = + = l/s DE E F f f DF CP =CP ⇒h =h ( , )DE ( , )DF DE DF D C D C β β = = 1,85 1,85 1,85 1,85 250 1,85 100 100 200 DF DE DE DE DF DF DF DE DF DF DE L Q L Q L Q Q Q L β β ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = = ⇔

(

_{1,85 1,85}

)

1,85 1, 25 1,128 DE DF DE DF Q Q Q Q ⇔ = ⇒ ₌ Conservação da matéria ⇒ QDE + QDF = QCD 39,1 1,128 39,1 18, 37 DE DF DF DF DF Q Q Q Q Q ⇔ + = ⇔ + = ⇒ = l/s ⇒ QDE = 20,73 l/s AC CD DE A E f f f H =CP −CP =h +h +h ⇔ 1,85 1,85 1,85 1 100 AC AC AC CD CD CD DE DE DE H = _β ⋅Q ⋅L +β ⋅Q ⋅L +β ⋅Q ⋅L _⇔ 3 1,85 2 1,85 3 1,85 1 9,686 10 0, 01 100 3,312 10 0,0391 300 1, 345 10 0,02073 200 100 H   ⇔ = _ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ _⇔ 6, 47 H ⇔ = m

2.36 Determine o valor da vazão QB, e a carga de pressão no ponto B, sabendo que o

reservatório 1 abastece o reservatório 2 e que as perdas de carga unitárias nas duas tubulações são iguais. Material: aço soldado revestido com cimento centrifugado. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas.

810 800 0, 00758 860 460 AB BC J =J = − = + m/m

Aço soldado revestido com cimento centrifugado. C = 130 β1 = 1,345⋅10 3 , β2 = 9,686⋅10 3 1,85 _{0,758 1,345 10}3 1,85 _0,0175 AB AB AB AB J = ⋅β Q ⇒ = ⋅ ⋅Q ⇒Q = m3/s = 17,5 l/s 1,85 _{0,758 9,686 10}3 1,85 _0,00603 BC BC BC AB J = ⋅β Q ⇒ = ⋅ ⋅Q ⇒Q = m3/s = 6,03 l/s QB = QAB – QBC ⇒ QB = 11,47 l/s Cota B = 810 – ∆HAB = 810 – JABLAB = 810 – 0,00758⋅860 = 803,48 m 803, 48 780 23, 48 B p γ = − = mH2O

3.1 A instalação mostrada na Figura 3.17 tem diâmetro de 50 mm em ferro fundido com leve oxidação. Os coeficientes de perdas localizadas SAP: entrada e saída da tubulação K = 1,0, cotovelo 90° K = 0,9, curvas de 45º K = 0,2 e registro de ângulo, aberto, K = 5,0.

Determine, usando a equação de Darcy-Weisbach: a) a vazão transportada;

b) querendo-se reduzir a vazão para 1,96 l/s, pelo fechamento parcial do registro, calcule qual deve ser a perda de carga localizada no registro e seu comprimento equivalente.

2 2 1 1 2 2 1 2 , 2 2 p V p V z z perdas g g γ γ + + = + + + onde p1 = p2 =patm 1 2 f 50 45 5 perdas z z h h ∴ = − = + ∆ = − = m a) Fórmula de Darcy-Weisbach: 2 2 2 2 5,0 5,0 2 2 2 2 V L V V V L JL K H f K f K g D g g g D   +∑ ⋅ = ∆ ⇒ +∑ ⋅ = ⇔ _ +∑ _=  

Ferro fundido com leve oxidação: ε = 0,30 mm (Tabela 2.2)

(

_{) (}

₎

2 2 _{2,0 13,0 5,0 25,0} 5,0 2 1,0 0,9 2 0,2 5,0 5,0 2 2 9,81 0,05 V L V f K f g D  _{+ + +}    +∑ = ⇔ _ + ⋅ + + ⋅ + _= ⇔   _⋅   _{ }

(

)

(

)

2 2 900 8,3 5,0 5,0 48,87 0, 423 , 19,62 V f f V ⇔ + = ⇔ = + ε =0, 30mm, D = 50 mm

(

)

(

)

2 2 ₂ 1 3,71 1 1 1 2 log

2 log 3,71 / 2 log 3,71 0,05 / 0,0003 2 log 618,333

D f D f ε ε     _{ }   =  ⇔ =  = _⋅  =  =   _ _ _ _   2 1 5,58   =_{ }   = 0,032 ∴ 5,0 = 1,987V2⇔ V = 1,586 m/s ⇒ Q = V⋅A = 1,586⋅π⋅0,0252 = 3,114⋅10-3 m3/s b) Q = 1,96 l/s ⇒ 2 2 4 4 0,00196 1,0 0, 05 Q V D π π ⋅ = = = ⋅ m/s 2 2 2 5,0 2 2 2 L V V V L f K f K D g g g D   +∑ = ⇔ _ +∑ _   ε = 0,30 mm, V = 1 m/s →f = 0,0341

(

)

2 _{2,0 13,0 5,0 25,0} 1,0 0,034 2 1,0 0,9 2 0,2 5,0 2 9,81 0,05 K  _{+ + +}  ∴  + + ⋅ + + ⋅ = ⇔ ⋅   30,6 K 3,3 98,1 K 64, 2 ⇔ + + = ⇒ ₌ 2 _1,02 64, 2 3,27 2 2 9,81 reg V h K g ∆ = = = ⋅ m 2 2 _{1, 0}2 3, 27 3, 27 0,034 3, 27 2 2 0, 05 2 9,81 eq eq reg eq eq L L f V V h JL L f Dg D g  _⋅  ∆ = ⇒ =_ _ ⇔ ⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅   94,35 eq L ≅ m

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com

3.7 A instalação hidráulica predial da figura está em um plano vertical e é toda em aço galvanizado novo com diâmetro de 1”, e alimentada por uma vazão de 2,0 l/s de água. Os cotovelos são de raio curto e os registros de gaveta. Determine qual deve ser o comprimento x para que as vazões que saem pelas extremidades A e B sejam iguais.

Tabela 3.6 – Comprimentos equivalentes: cotovelo 90°_raio curto

LE = 0,189 + 30,53D registro_gaveta aberta LE = 0,010 + 6,89D Perdas de carga: 2, 0 1,5 0,3 3,80 AC L = + + = m

(

) (

)

2 0,189 30,53 0,010 6,89 0, 388 67,95 0,025 2,09 CA E L = + D + + D = + ⋅ = m 0,5 0, 3 (0,8 ) CB L = + +x = +x m

(

) (

)

2 0,189 30,53 0,010 1,89 2,09 CB E L = + D + + D = m

Para que QA = QB, devemos ter:

(

)

(

)

1,5 3,80 2, 09 2, 09 0,80 A B A T B T z +JL =z +JL ⇔ + ⋅J + = +x J + +x ⇔

(

3,0

)

1,50 J x x ⇔ − = − Hazen-Williams: 1,85 1,85 1,17 2 2 4 4 0, 001 69,81 2,04 0,025 V Q J V C D πD π ⋅ = ⇒ = = = ⋅ m/s C = 125 (Tabela 2.4) 1,85 1,85 1,17 2,04 69,81 0, 2518 125 0,025 J = ⇒J = m/m Logo: 0, 2802x+ =x 0,8406 1,50+ ⇔ =x 1,83m

3.8 Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta através de uma tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro 50 mm, de P. V. C. rígido, como mostra o esquema da Figura 3.23. Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um registro de gaveta parcialmente fechado, cujo comprimento equivalente é LE = 20,0 m, e usando a fórmula de Hazen-Williams, adotando C = 145,

determine:

a) a vazão de canalização supondo que o registro esteja colocado no ponto A; b) idem, supondo o registro colocado no ponto B;

c) máxima e mínima carga de pressão na linha, em mH2O, nos casos a e b;

Equação da continuidade: 2 2 2 2 A A B B A B p V p V z z perdas g g γ γ + + = + + +

• pA = pB (os dois reservatórios com NA = 1,0 m) • vA = vB (vazão constante) perdas = zA – zB = 3,0 m

(

)

1,85 1,85 1,85 1,17 1,85 1,17 3,0 6,31 6,31 10, 0 20, 0 3 145 0,05 T V V JL L C D = = ⋅ ⇔ ⋅ + = ⇔ ⋅ ⋅ 1,85 _{4,397 2, 227} V V ⇔ = ⇒ _{= m/s} 2 0, 05 2, 27 4, 37 4 Q=VA= π⋅ = l/s

a) A pressão é mínima no ponto mais alto e máxima no ponto mais baixo:

1,85 1,85 1,85 1,17 1,85 1,17 2, 227 6,81 6,81 0,1000 145 0, 05 V J C D = = = ⋅ ⋅ m/m 1 2 3 4 4 A B z m z z z z z = = = = • 12 22 22 1 2 ( 1 2) 2 2 2 A A A E E atm mín mín p V p V p V z z JL z z JL g g g γ γ γ       +_{ } + = +_{ } + + ⇒_{  = − − − ⇔}       2 2,227 1,0 0,1000 20,0 1, 25 2 9,81 A A mín mín p p γ γ     ⇔  = − − ⋅ ⇔  = − ⋅     m • 12 42 42 1 4 ( 1 4) 2 2 2 A A A T T atm máx mín p V p V p V z z JL z z JL g g g γ γ γ       +_{ } + = +_{ } + + ⇒_{  = − − − ⇔}       2 2,227 4,0 0,1000 30 0,75 2 9,81 A A mín máx p p γ γ     = − − ⋅ ⇔ =     ⋅     m b) • 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2,227 ( ) 1,0 2 2 2 2 9,81 B B B máx máx máx p V p V p V z z z z g g g γ γ γ       +  + = +  + ⇔  = − − = − ⇔ ⋅       0,75 B mín p γ   ⇔  =   m • 12 32 22 1 3 ( 1 3) 2 2 2 B B B ATM máx máx p V p V p V z z JL z z g g g γ γ γ       +  + = +  + + ⇔  = − − ⇔       2 2, 227 1,0 0,1000 10 2 9,81 B máx p γ   ⇔  = − − ⋅ ⋅   = 2,75 m

3.10 Uma tubulação retilínea de 360 m de comprimento e 100 mm de diâmetro é ligada a um reservatório aberto para a atmosfera, com nível constante, mantido 15 m acima da saída da tubulação. A tubulação está fechada na saída por uma válvula, cujo comprimento

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com

equivalente é de 7,5 m de comprimento da tubulação. Se a válvula é aberta instantaneamente, com escoamento livre, determine o tempo necessário para que a velocidade média atinja 98% da velocidade em condições de regime permanente. Assuma o fator de atrito f = 0,020 e adote como coeficiente de perda de carga na entrada K = 0,5.

Sugestão: utilize a Equação 1.11 e a metodologia do problema 1.4.

Equação 1.11 → 2 2 1 1 2 2 1 2 12 2 2 p V p V L dV z z H g g g dt γ + + = γ + + + ∆ +

Comprimento equivalente na entrada: Equação 3.16 →Le K D = f ⇒ 0,5 0,1 2,5 0, 02 e K D L f ⋅ ⋅ = = = m Equação 3.15 → 2 2 e L V H f D g ∆ = ⇒ 2_{(7,5 2,5 360)} 2 (0,02) 74 0,1 2 2 V V H g g + + ∆ = = ⋅

Equação da energia para A e B:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A A A A p V p V L dV V L dV z z H z H g g g dt g g dt γ γ + + = + + + ∆ + ⇔ = + ∆ + ⇔ 2 2 2 15 74 36,7347 3,8265 36,7347 15 0 2 2 V V dV dV V g g dt dt ⇔ = + + ⇔ + − =

Resolvendo-se a equação diferencial, encontramos V(t). A partir de V(t), calculamos t. 3.13 Sabendo-se que as cargas de pressão disponíveis em A e B são iguais e que as diferenças entre as cargas de pressão em A e D é igual a 0,9 mH2O, determine o comprimento

equivalente do registro colocado na tubulação de diâmetro único, assentada com uma inclinação de 2° em relação à horizontal, conforme a Figura 3.26.

2 2 0,9 2 2 A D A D A D D A A p V p V p p z z H z z H z H g g γ + + = γ + + + ∆ ⇔ γ − γ = − + ∆ ⇔ = − + ∆ 2 13,96 0,9 13, 96 14, 46 400 h sen ° = ⇔ =h ∴ = − + ∆ ⇔ ∆ =H H 0 H JL ∆ = onde 6, 98 0, 0349 14,86 0,0349 425, 79 200 J = = ∴ = L⇔ =L Como LAD = 400, Le = 25,79.

4.1 Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, ambos com o mesmo fator de atrito f = 0,028. A vazão total que entra no sistema é 0,025 m3/s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora, desprezando as perdas localizadas ao longo da adutora.

F = 0,028 D1 = 0,15 m L1 = 1500 m D2 = 0,1 m L2 = 900 m Qm = 0,025 m 3 /s 5 1 2 1,042 10 Q q L L − = = ⋅ + m 3 /ms Para o trecho 1: 5 3 3 1 0,025 1,042 10 1500 9,375 10 / j m j Q =Q − ⋅ =q L − ⋅ − ⋅ ⇔Q = ⋅ − m s 0,025 0,009375 0,0171875 2 2 m j f f Q Q Q = + = + ⇔Q = m3/s

Pela equação universal:

2 ₂ 3 1 5 5 0,0827 0,028 0,0171875 0,0827 9,008 10 0,15 f f Q J J D − ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ = ⋅ m/m Assim: 1 1 1 1 13,512 H J L H ∆ = ⋅ ⇒_{∆ =} m Para o trecho 2: 0 3 m j f Q Q = →Q = 2 1 0,01443 m J f Q =Q ⇒Q = m3/s 2 ₂ 3 2 5 5 0,0827 0,028 0,01443 0,0827 6,3528 10 0,15 f Q J f J D − ⋅ ⋅ = = ⇒ _{= ⋅} m/m 2 2 2 2 5, 717 H J L H ∆ = ⋅ ⇒∆ = m Finalmente: 1 2 19, 229 T T H H H H ∆ = ∆ + ∆ ⇔ ∆ = m

4.4 Quando água é bombeada através de uma tubulação A, com uma vazão de 0,20 m3/s, a queda de pressão é de 60 kN/m2, e através de uma tubulação B, com uma vazão de 0,15 m3/s, a queda de pressão é de 50 kN/m2. Determine a queda de pressão que ocorre quando 0,17 m3/s de água são bombeados através das duas tubulações, se elas são conectadas (a) em série ou (b) em paralelo. Neste último caso, calcule as vazões em cada tubulação. Use a fórmula de Darcy-Weisbach. Tubulação A: QA = 0,20 m 3 /s ∆P = – 60 kN/m2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 V p V p z z H g + + γ = g+ + γ + ∆ 3 1 2 3 . 60 10 60 6,1224 . A 9,8 10 A A 9,8 V const p p H H H z const γ γ → _{− = ∆ ⇔} ⋅ _{= ∆ ⇔ ∆ = =} → ⋅ m 2 2 2 5 5 5 0,0827 A A A 0,0827 A A A 6,1224 A A A 1850,801 A A A f L Q f L Q f L Q H D D D ∆ = ⇒ ₌ ⇒ ₌ Tubulação B: QB = 0,15 m 3 /s ∆P = – 50 nK/m2

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 2 2 1 2 2 2 p V p V z z H g g γ + + = γ + + + ∆ . 50 . A 9,8 V const H z const → ∆ = → 2 5 5 50 0,0287 2741,927 9,8 B B B B B B B f L Q f L D = D ⇒ ₌ a) Em série QA = QB ∆H = ∆HA + ∆HB→∆P = ∆PA + ∆PB 2 5 0,0827 A A A A A P f L H Q D γ ∆ ⋅ ∆ = = ⋅ ⋅ 2 0,0827 1850,801 0, 27 9,8 A P ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆PA = 43,35 kN/m 2 2 5 0,0827 B B B B B P f L H Q D γ ∆ ⋅ ∆ = = ⋅ ⋅ 2 0,0827 2741,927 0,17 9,8 B P ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆PB = 64,22 kN/m 2 ∆P = 43,35 + 64,22 = 107,57 kN/m2 b) Em paralelo QA + QB = 0,17 2 2 2 2 A B 5 5 H H 0,0827 _A A _A 0,0827 _B B _B 1850,801 _A 2741,927 _B A B L L f Q f Q Q Q D D ∆ = ∆ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ 43, 021Q_A 52,363Q_B Q_A 1, 217Q_B ⇔ = ⇔ = 2, 217Q_B 0,17 Q_B 0, 0767 ∴ = ⇔ = m3/s ⇒ QA = 1,217⋅0,0767 = 0,0933 m 3 /s 2 5 0,0827 A A 0,0933 9,8 13,06 A A A P f L H P H P P D γ γ ∆ ⋅ ∆ = ⇒_{∆ = ∆ ⋅ ⇔ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ∆ =} kN/m2

4.7 O sistema de distribuição de água mostrado na Figura 4.20 tem todas as tubulações do mesmo material. A vazão que sai do reservatório I é de 20 l/s. Entre os pontos B e C, existe uma distribuição em marcha com vazão por metro linear uniforme e igual a q = 0,01 l/(s.m). Assumindo um fator de atrito constante para todas as tubulações, f = 0,020 e desprezando as perdas localizadas e a carga cinética, determine:

a) a carga piezométrica no ponto B;

b) a carga de pressão disponível no ponto C, se a cota geométrica desse ponto é de 576,00 m; c) a vazão na tubulação de 4” de diâmetro.

Solução 1: 4” = 0,1 m (Caminho 1) 6” = 0,15 m (Caminho 2) 2 2 2 2 A B A B p V p V z z H g g γ + + = γ + + + ∆ onde A A A p CP z γ = + e CP_B pB z_B γ = + 590 590 A B B B CP CP H CP H CP H ∴ = + ∆ ⇔ = + ∆ ⇔ = − ∆ Cálculo de ∆H: 2 1 2 2 2 1 2 5 5 5 1 2 0,0827 f L 0,0827 f L 0,0827 f L H Q Q Q D D D ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⇒ _{⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔} 2 2 1 2 1 2 5 5 800 750 0,3514 0,1 Q 0,15 Q Q Q ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = Mas 1 2 A 20 Q +Q =Q = l/s ⇒1, 3514Q₂=20⇔Q₂ =14, 799l/s = 1,48⋅10–2 m3/s

(

₂

)

2 5 0,02 790 590 0,0827 1,48 10 586,42 0,15 B CP ⋅ − ∴ = − ⋅ ⋅ = m Solução 2: Tubo de 6” = 0,15 m e 4” = 0,10 m 1,85 1,85 6 4 6 4 6 6 4 4 10,65 1,85 _(0,15)4,87 750 10,65 1,85 _(0,1)4,87 800 Q Q H H J L J L C C ∆ = ∆ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ 1,85 1,85 1,85 1,85 1,85 1,85 6 4 6 4 6 4 4,87 4,87 750 800 7.717.858,853 59.304.819,31 7,684 0,15 0,1 Q Q Q Q Q Q ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 6 3, 011 4 Q Q ⇔ =

Do enunciado, tem-se que Q4 + Q6 = 0,020. Portanto:

Q4 = 4,986⋅10 –3 m3/s Q6 = 15,014⋅10 –3 m3/s

Para as respectivas vazões, tem-se:

6 6 ₂ 6 0,8496 / 4 Q V D π = = m/s 6 4 ₂ 4 0,6348 / 4 Q V D π = = m/s

Na tubulação de 6” de diâmetro, tem-se:

2 _{750 0,8496}2 0,02 3,6827 2 0,15 2 AB AB L V H f H D g g ∆ = = ⋅ ⋅ ⇒_{∆ =} m

Equação da energia na superfície I e em B:

2 2 1 1 1 590 3,6827 586,3173 2 2 B B B AB B B p V p V z z H CP CP g g γ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + ⇔ = m b) pB z_B pC z_C H 586, 42 pC 576 H pC 10, 42 H γ + = γ + + ∆ ⇔ = γ + + ∆ ⇔ γ = − ∆ 0,02 0,01 0,015 2 2 BC m j F F Q Q Q = + = + →Q = m3/s,

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com 2 5 0,02 1000 0,0827 0,015 4,90 0,15 H ⋅ ∴∆ = ⋅ ⋅ = m 10 42 4,9 5,52 C p γ ∴ = − − = mH2O c) Da letra a, tem-se: Q1 = 0,3514Q2 = 0,3514⋅1,48⋅10 –2 = 5,2⋅10–3 m3/s

4.9 No sistema de abastecimento d’água mostrado na Figura 4.21 faz parte de um sistema de distribuição de água em uma cidade, cuja rede se inicia no ponto B. Quando a carga de pressão disponível no ponto B for de 20 mH2O, determine a vazão no trecho AB e verifique

se o reservatório II é abastecido ou abastecedor. Nesta situação, qual a vazão QB que está

indo para a rede de distribuição? A partir de qual valor da carga de pressão em B a rede é abastecida somente pelo reservatório I? Material das tubulações: aço rebitado novo. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas e utilize a fórmula de Hazen-Williams.

Tabela 2.4 → C = 110 8” = 0,20 m

6” = 0,15 m

carga de pressão disponível no ponto B = 20 mH2O → B 20

p γ = mH2O 740 B B B p CP z γ

= + = m → Em B a cota piezométrica é CPB = 740 m. Como este valor é maior

que a cota piezométrica do N. A. de II, este reservatório é abastecido. Por Hazen-Williams: 1,85 1,85 1,85 1,85 4,87 1,85 4,87 10, 65 10, 65 4,516 110 0, 2 AB AB AB Q Q J J Q C D ⋅ ⋅ = = ⇒ = ⋅ ⋅ 1,85 1,85 1050 4,516 4741,83 AB AB AB AB AB H L J H Q Q ∆ = ⋅ → ∆ = ⋅ =

Equação da energia na superfície do reservatório I e em B:

2 2 1 1 1 754 720 20 14 2 2 B B B AB AB AB p V p V z z H H H g g γ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + + ∆ ⇒_{∆ =} m Assim: 1,85 1,85 3 14=4741,83⋅Q_AB ⇒Q_AB= 2.95244663 10⋅ − =0,04291m3/s = 42,91 l/s Como CPB > NAII, o reservatório II é abastecido, ou seja:

AB B BC Q =Q +Q C = 110, D = 6” ⇒ β = 1,831⋅103 (Tabela 2.3) Portanto: 1,85 1,85 18,31 BC BC J = ⋅β Q → =J Q 1,85 1,85 650 18,31 _BC 11901,5 _BC H L J H Q Q ∆ = ⋅ → ∆ = ⋅ ⋅ =

Equação da energia superfície do reservatório II e em B:

2 2 2 2 2 2 720 20 735 2 2 B B B B AB B AB BC p V p V p z z H z z H H g g γ γ γ + + = + + + ∆ ⇔ + = + ∆ ⇔ + = + ∆ ⇔ 5 BC H ⇔ ∆ = m

Assim: 1,85 1,85 5 11.901,5= Q_BC ⇒Q_BC =14,95l/s Finalmente: 42, 91 14, 95 27,96 B AB BC B B Q =Q −Q ⇔Q = − ⇔Q = l/s

Para a rede ser abastecida somente por I, a cota piezométrica em B deve ser igual ou maior que NA de II. Portanto:

735 B 735 B 15 B B p p CP z γ γ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ mH2O

5.1 As curvas características de duas bombas, para uma determinada rotação constante, são mostradas na tabela a seguir. Uma dessas duas bombas deverá ser utilizada para bombear água através de uma tubulação de 0,10 m de diâmetro, 21 m de comprimento, fator de atrito f = 0,020 e altura geométrica de 3,2 m. Selecione a bomba mais indicada para o caso. Justifique. Para a bomba selecionada, qual a potência requerida? Despreze as perdas localizadas. Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 Bba A H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 ηηηη (%) 0 32 74 86 85 66 28 Bba B H (m) 16,2 13,6 11,9 11,6 10,7 9,0 6,4 ηηηη (%) 0 14 34 60 80 80 60 Para a tubulação, 2 2 5 0,0827 3, 2 3473, 4 g g F Q E H H H L E Q D  _{⋅ ⋅}  = + ∆ = + _ _⇒ = +  

Para as vazões marcadas,

( )

( )

3_{/ 0,0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,03 0,036} 3,20 3,32 3,70 4,32 5,20 6,33 7,70 Q m s E m

Então, no ponto de funcionamento de A, Q1 = 0,030 m 3 /s →η1 = 66 % Q2 = 0,036 m 3 /s →η2 = 28 % QA = 0,033 m 3 /s Interpolando, 1 1 2 1 2 1 0,033 0,03 66 47 0,036 0,03 28 66 A A A A Q Q Q Q η η η _η η η − ₌ − _⇒ − ₌ − _{∴ =} − − − − %

Fazendo o mesmo para o ponto B, tem-se: Q1 = 0,030 m 3 /s →η1 = 80 % Q2 = 0,036 m 3 /s →η2 = 60 % QA = 0,035 m 3 /s Interpolando, tem-se: 1 1 2 1 2 1 0,035 0,03 80 63,33 % 0,036 0,03 60 80 B B B A Q Q Q Q η η η _η η η − ₌ − _⇒ − ₌ − _{∴ =} − − − −

⇒ O melhor rendimento é o da bomba B.

Para encontrar a potência requerida, usaremos o ponto (QB, HB) do funcionamento de B.

Pela equação de B, tem-se:

2

396,83 222,62 15,536 B

H = − Q − Q+

Para Q = 0,035 m3/s, HB = 7,26 m. Com os valores de Q e H,

9800 0,035 7, 26 3,93 0,6333 Q H Pot γ η ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = kW

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com

5.2 O esquema de bombeamento mostrado na Figura 5.21 é constituído de tubulações de aço com coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams C = 130. Da bomba até o ponto B, existe uma distribuição de vazão em marcha com taxa de distribuição constante e igual a q = 0,005 l/(SM). Para a curva característica da bomba, dada na figura, determine a vazão que chega ao reservatório superior e a cota piezométrica no ponto B. Despreze as perdas localizadas e a carga cinética.

(

)

2 2 A A C C A C AC C A AC AB AB BC BC 1,85 1,85 1 2 1,85 4,87 4,87 A B A f A 1 B A AB A 2 1,85 A 1,85 P V P V z E z H 2 2 E z z H E 5 J L J L 10,65 Q Q E 5 1000 800 130 0,1524 0,1016 Q Q Q Q Q 0,0025 Q 2 Q Q qL Q 0,005 Q Q 0,0025 10,65 E 5 130 + + + = + + + ∆ γ γ = − + ∆ ⇒ _{= + +}   = +  ⋅ + ⋅    + = = = − = = − = − = − = +

(

)

(

)

(

)

1,85 A 4,87 4,87 1,85 1,85 A A Q 0,005 1000 800 0,1524 0,1016 5 12.457,12 Q 0,0025 71.179,3 Q 0,005  ₋   _{⋅ + ⋅}      = + − + − Q 5 10 15 20 H 20 17,5 12,5 5 E 5,2 10,4 23,1 42,3 Interpolando:

(

) (

)

C B A AB 17,5 x 10,4 x 12,7 17,5 x 5 10,4 x 222, 25 12,7x 52 5x 17,5 12,5 10, 4 23,1 x 15,7 m/ E H 10 y 17,5 15,7 10, y 1,8 y 11,8 Q 10 15 17,5 12,5 Q Q Q qL 11,8 5 6,8 /s − ₌ − _{⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔} − − ⇔ = = = − ₌ − _{⇔ = − ⇔ = =} − − = = − = − = ℓ ℓ A cota piezométrica em B é: 2 2 A A B B A B AB 1,85 B 1,85 4,87 F B P V P V z E z H 2 2 10,65 0,0093 15,7 CP 1000 130 0,1524 11,8 6,8 Q 9,3 2 CP 15,7 2,2 13,5 m + + + = + + + ∆ γ γ = + ⋅ ⋅ + = = = − =

5.4 Deseja-se recalcar 10 ℓ/s de água por meio de um sistema de tubulações, com as seguintes características: funcionamento contínuo 24 h, coeficiente de rugosidade da fórmula de Hazen-Williams C = 90, coeficiente da fórmula de Bresse K = 1,5 diâmetro de recalque igual ao diâmetro de sucção, comprimentos reais das tubulações de sucção e recalque, respectivamente, de 6,0 m e 674,0 m, comprimentos equivalentes das peças existentes nas tubulações de tubulação e recalque, respectivamente, de 43,40 m e 35,10 m, altura geométrica de 20 m. Com a curva característica de uma bomba, indicada na Figura 5.22, determine:

a) Associando em paralelo duas destas bombas, obtém-se a vazão desejada? b) Em caso afirmativo, qual a vazão em cada bomba?

c) Qual a vazão e a altura de elevação fornecidas por uma bomba isoladamente isolada no sistema?

d) Que verificações devem ser feitas antes de escolher a bomba, de acordo com os pontos de funcionamento obtidos?

(

)

(

)

AB BC 2 2 A A C C A C AC AB T BC T 1,85 1,85 1,85 1,85 4,87 1,85 4,87 P V P V z E z H 2 2 E 20 J L J L 10,65 Q 10,65 Q E 20 6 43, 40 647 35,1 20 19.438Q 90 0,15 90 0,15 + + + = + + + ∆ γ γ = + + = + + + + = +

Tabela para a bomba sozinha:

Q 0 2 4 6 7

H 30 28,5 26 22 18,5 E 20 20,2 20,7 21,5 22

Tabela para as bombas em paralelo:

Q 0 4 8 12 H 30 28,5 26 22 E 20 20,7 22,6 25,4 Interpolando:

(

) (

)

1,85 3 26 x 22,6 x 2,8 2,6 x 4 22,6 x 72,8 2,8x 90, 4 4x 26 22 22,6 25,4 x 24 m E 24 20 19.438Q Q 0,010 m /s (sim) − ₌ − _{⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔} − − ⇔ = = ∴ = + ⇔ = b) 5 ℓ/s

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com c)

(

)

(

)

1,85 26 x 22 x 21,5 x 0,5 22 x 3,5 21,5 x 11 0,5x 75,25 3,5x 26 22 22 18,5 21,5 22 x 21,6 m H 21,6 20 19.438Q Q 6, 2 /s (sim) − ₌ − _⇔ − _{⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔} − − − ⇔ = = ∴ = + ⇔ = ℓ

5.6 Considere um sistema de abastecimento de água por gravidade entre dois reservatórios mantidos em níveis constantes e iguais a 812,00 m e 800,00 m, ligados por uma tubulação de 6” de diâmetro, 1025 m de comprimento e fator de atrito f = 0,025. Desejando-se aumentar a capacidade de vazão do sistema, instalou-se, imediatamente na saída do reservatório superior, uma bomba centrífuga cuja curva característica é dada na tabela a seguir. Desprezando as perdas de carga localizadas e a perda de carga na sucção, determine a nova vazão recalcada. Observe que, no caso, a altura geométrica da Equação 5.38 é negativa.

Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 η (%) 0 32 74 86 85 66 28 2 2 5 Q E 12 H 12 JL 12 1025 0, 0827f 12 25.777,72Q 0,1524 = − + ∆ = − + = − + ⋅ = − +

Com uma equação para E chegamos à tabela:

Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 H (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 E (m) –12 –11 –8,3 –3,6 2,8 11,2 21,4 Interpolando:

(

)

(

)

2 14,2 x 2,8 x 8,4 14,2 x 4,5 2,8 x 119, 28 8,4x 12,6 4,5x 14,2 9,7 2,8 11, 2 x 10, 22 10, 22 12 25.777,72Q Q 29,3 / s CP z E 812 10, 22 822, 22 m − ₌ − _{⇔ − − = − ⇔ − + = − ⇔} − − ⇔ = ⇒ = − + → = = + = + = ℓ Q 0,024 0,030 H 14,2 9,7 Η _{8 66}

Interpolando para o rendimento, vem: 14, 2 10, 22 85 y 0,88 9 85 y y 77,08 % 14, 2 9,7 85 66 − ₌ − _{⇔ ⋅ = − ⇔ =} − − Portanto: 3 3 HQ 9,8 10 10, 22 29,3 10 Pot 3,8 kW 0,7708 − γ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = η

5.8 Um sistema de bombeamento é constituído por duas bombas iguais instaladas em paralelo e com sucções independentes, com curva característica e curva do N. P. S. H. dadas na Figura 5.23. As tubulações de sucção e recalque tem diâmetro de 4”, fator de atrito f = 0,030 e os seguintes acessórios: na sucção, de 6,0 m de comprimento real, existe uma válvula de pé com crivo e uma curva 90° R/D = 1. O nível d’água no poço de sucção varia com o tempo, atingindo, no verão, uma cota máxima de 709,00 m e, no inverno, uma cota mínima de 706,00 m. A cota de instalação do eixo da bomba vale 710,00 m. verifique o comportamento do sistema no inverno e no verão, determinando os pontos de funcionamento do sistema (Q e H), os valores do N. P. S. H. disponível nas duas estações e o comportamento da bomba quanto à cavitação.. Assuma temperatura d’água, em média, igual a 20°C.

( )

( )

( )

( )

1 2 R 1 bomba: Q l/s 0 3 6 9 12 15 18 1 bomba: Q l/s 0 6 12 18 24 30 36 H m 24 22,5 20 17 13 7 0 NPSH m x 2,5 3,5 4,5 5 4,5 9

Válvula de pé com crivo → L₁=0,56+255, 48D Curva 90° R/D = 1 → L₂=0,115 15,53D+ Válvula de retenção leve → L₃=0, 247+79, 43D Registro de globo → L₄=0, 01 340, 27D+ r s e 3 4 2 S r e 1 2 L L L 2L 46,563 m L 6 m D 4" 0,1 m L 70 m L L L 27,776 m f 0,030 T 20 C = + + = = = = = = + = = = °

(

) (

)

[

]

s r s r s e s r e r 2 2 5 H H H H L L J L L J 0, 0827Q H 6 27,776 70 45,563 H 37.051Q D ∆ = ∆ + ∆ ⇔ ∆ = + + + ⇔ ⇔ ∆ = + + + ⇔ ∆ = Inverno: E_i = +13 37051Q2 Verão: E_i =10 37051Q+ 2 Q (l/s) 0 6 12 18 24 30 36 Ev 10 11,33 15,33 22 31,34 43,35 58,02 Ei 10 14,33 18,33 25 34,34 46,35 61,02 Verão:

( )

( )

( )

2 v v v v Q l/s 12 Q 18 E m 15,33 H 22 H m 20 H 17 Inverno: v v v v v v 15,33 H 20 H H 18,55 m 15,33 22 20 17 12 Q 20 H Q 14,9 l/s 12 18 20 17 − ₌ − _{⇒ =} − − − − ∴ = ⇒ ₌ − − i i i i i 18,33 H 20 H H 19,48 m 18,33 25 20 17 12 Q 20 H Q 13,04 l/s − ₌ − _{⇒ =} − − − − ∴ = ⇒ ₌

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com

( )

( )

( )

2 i v i i Q l/s 12 Q 18 E m 18,33 H 25 H m 20 H 17 Temos que NPSH_d =pa−pv − − ∆z H ._s

γ Pela tabela da página 158 – T = 20°C – v p _{=0, 24.} γ Portanto:

(

s

)

(

)

(

)

2 2 d s e _{5 5} Q Q NPSH 9,55 0, 24 z L L 0, 0827f 9,31 z 6 27,776 0,0827 0,03 D 0,1 = − − − + = − − + ⋅ Inverno: i 2 d NPSH =5,31 8379,8Q− Verão: v 2 d NPSH =8,31 8379,8Q− v i r 1 d d d Q 0 3 6 9 12 15 18 NPSH 8,31 8, 23 8,01 7,63 7,10 6, 42 5,59 NPSH 5,31 5, 23 5,01 4,63 4,10 3,42 2,59 NPSH x 2,5 3,5 4,5 5 7,5 9 Verão: i r máx d v d v Q 12 Q 15 NPSH 7,1 y 6, 42 NPSH 5 y 7,5 Inverno: v r máx d i d i Q 9 Q 12 NPSH 4,63 y 4,10 NPSH 4,5 y 5 ⇒ Há cavitação, já que máx v v Q >Q e máx i i Q >Q . Calculando o NPSHd: 2 i i 2 v v NPSH 5,31 8379,8Q Inverno: NPSH 3,88 m Verão: NPSH 6, 45 m NPSH 8,31 8379,8Q = − _⇒ = = = −

5.14 Uma bomba centrífuga está montada em uma cota topográfica de 845,00 m, em uma instalação de recalque cuja tubulação de sucção tem 3,5 m de comprimento, 4” de diâmetro, em P. V. C. rígido, C = 150, constando de uma válvula de pé com crivo e um joelho 90°. Para um recalque de água na temperatura de 20°C e uma curva do N. P. S. H. requerido dada pala Figura 5.25, determine a máxima vazão a ser recalcada para a cavitação incipiente. Se a vazão recalcada for igual a 15 l/s, qual a folga do NPSH disponível e do NPSH requerido. Altura estática de sucção igual a 2,0 m e a bomba é não afogada.

v v v máx v máx 7,1 y 5 y y 6,65 m 7,1 6, 42 5 7,5 12 Q 5 y Q 13,98 l/s 12 15 5 7,5 − ₌ − _{⇒ =} − − − − ∴ = ⇒ ₌ − − i i i máx i máx 4,63 y 4,5 y y 4,57 m 4,5 4,10 4,5 5 9 Q 4,5 y Q 9,42 l/s 9 12 4,5 5 − ₌ − _{⇒ =} − − − − ∴ = ⇒ ₌ − −

1 2 e e D 4” 0,1 m C 1560 L 28,6 m L 4,3 m T 20°C = = = = = =

(

)

(

)

1 2 1,85 e e e _{1,85 4,87} 1,85 1,85 4,87 1,85 Q 10,65 H L L L C D Q 10,65 H 3,5 28,6 4,3 150 0,1 H 2708, 2 Q ⋅ ∆ = + + ⋅ ⋅ ∆ = + + ⋅ ∆ = ⋅ a a 2 p 760 0,081h 13,6 1000 h 845 p 9, 40 mH O −   = _{ } γ   ↓ = = γ 1,85 a v v d v 1,85 d p p p NPSH z H 9,40 2 2708,2Q Tabela da página 158 p T 20 C 0,24 NPSH 7,16 2708,2Q − = − − ∆ = − − − γ γ ↓ = ° → = γ = − Q (l/s) 0 5 10 15 20 25 30 NPSHr (m) 0 0,6 1,2 2,8 5,2 7,6 11,2 NPSHd (m) 7,16 7,01 6,62 6,02 5,21 4,22 3,04

A interseção de NPSHr e NPSHd é em Q = 20 l/s. ⇒ Qmáx = 20 l/s. A folga para Q = 15 l/s

é:

Folg a= 6,02−2,8 =3, 22

6.1 O sistema de recalque mostrado na Figura 6.9 faz parte de um projeto de irrigação que funciona 5 horas e meia por dia. O sistema possui as seguintes características:

a) tubulação de sucção com 2,5 m de comprimento, constando de uma válvula de pé com crivo e uma curva 90º R/D = 1;

b) uma bomba que mantém uma altura total de elevação de 41,90 m, para a vazão recalcada;

c) uma caixa de passagem, em nível constante, com NA = 26,91 m;

d) vazão de distribuição em marcha (vazão unitária de distribuição) constante a partir do ponto A igual a q = 0,02 /(sm).

Determine:

a) os diâmetros de recalque e sucção (adotar o mesmo) usando a Equação 5.18 (ver a Seção 5.4.3);

b) a carga de pressão disponível imediatamente antes e depois da bomba;

c) os diâmetros dos trechos AB e BC, sendo o ponto C uma ponta seca, vazão nula. Dimensione os diâmetros pelas vazões de montante de cada trecho;

d) a potência do motor elétrico comercial. Dados:

a) rendimento da bomba: 65%;

b) material de todas as tubulações: ferro fundido novo (C=130); c) utilize a equação de Hazen-Williams;

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com a) A vazão de sucção é:

3

(240 108) 9,96 10

Q=q + = ⋅ − m3/s

Equação 5.18 → D m_r( )=1, 34X Q m( 3/ ),s em que X é a fração do dia de funcionamento do sistema. 5,5 0, 229 24 X = = e Q=0,02 240 108⋅

(

+

)

=6,96 l = 6,96⋅10–3 m3/s 3 4 1,3 0, 229 6,96 10 0,0750 r D − ∴ = ⋅ = m

b) Equação da energia em NAI e imediatamente antes de B:

2 2 2 2 1 1 1 0 0 1, 2 2 2 2 2 B B B B B B B m B m m p V p V p V p V z z H z H H g g g g γ γ γ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + + + ∆ ⇔ = + + + ∆ 3 2 3 6,96 10 1,57 / 4 4,418 10 B B r Q V V D π − − ⋅ = = ⇒ ₌ ⋅ ⋅ m/s Tabela 3.6 → 1 2 ( ) : 0,56 255, 48 19, 721 ( ) : 0,115 15,53 1,31975 e e i Crivo L D ii Curva L D = + = = + =

(

1 2

)

(

)

1,85 1,85 4,87 23,541 10,65 0,945 m s e e m Q H L L L J H C D ∆ = + + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ ∆ = m

(

)

2 1,57 0 1, 2 0,945 2,27 2 9,8 B B antes p p γ γ   ∴ = + + + ⇒_{  = −} ⋅   mH2O

Equação da energia em NAI e imediatamente depois de B:

( )

2 2 2 1 1 1 1,57 1, 2 0,945 2 2 2 9,8 B B B B m p V p V p H z z H H II g g γ γ γ + + + = + + + ∆ ⇔ = + + + ⋅ Temos 130 _ 2.3 3,932 104 0,075 Tabela C D m β = → = ⋅ =

(

)

1,85 4 3 1,85 _{3,932 10 6,96 10} 350 14 100 100 j j j j j Q H L J L β H − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = = = ⋅ ⇔ ∆ = m

ComoH =z_j−z_m+ ∆H_m+ ∆H_j =(26,91 0)− +0,945 14+ =41,855m, voltando a II, temos: 2 1,57 41,855 1, 2 0, 945 39,58 2 9,8 B B depois p p γ γ   = + + _⋅ + ⇔  =   mH2O c) Em A,

QA = 6,96⋅10 –3 m3/s Em B,

(

_{6,96 10} 3

) (

_{2 10} 5

)

_{240 2,16 10} 3 B A AB B Q =Q − ⋅q L = ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⇒Q = ⋅ − m3/s

Pela Tabela 6.1, tem-se Q_A=6,96l/s < 3,14 l/s ⇒ DAB = 0,125 m. QB = 2,16 l/s < 3,14 l/s

⇒ DBC = 0,075 m d) Equação da energia em B e no NAII, 2 2 2 2 2 2 2 2 B B B B AB B AB p V p V p z z H z z H g g γ γ γ + + = + + + ∆ ⇔ = + + ∆ ⇔ 26, 91 16, 71 pB H_AB γ ⇔ = + + ∆ (III) Temos 130 _ 2.3 3, 267 103 0,125 Tabela C D m β = → = ⋅ =

(

)

1,85 3 3 1,85 _{240 3, 267 10 2,16 10} 0,092 100 100 B AB AB AB AB AB Q H L J L β H − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ = ⋅ = ⇒_{∆ =}

Voltando a III, temos:

26, 91 16, 71 pB 0,092 pB 10,12 γ γ = + + ⇔ = mH2O e) 3 9,8 41,855 6,96 10 4,39 0,65 H Q Pot γ Pot η − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ ₌ kW 3 3 3 10 10 6,96 10 41,855 5,97 75 75 0,65 H Q Pot Pot η − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ = ⋅ cv

6.2 A rede de distribuição de água, representada na Figura 6.10, possui as seguintes características:

a) os trechos BC, CE, EF, CD e EG têm uma vazão de distribuição em marcha constante e igual a q= 0,010 l/(sm)

b) os pontos D, F e G são pontas secas; c) as cotas topográficas dos pontos são:

( ) 6,0 7,0 8,0 11,0 8,0 10,0 6,0

Ponto A B C D E F G

Cota m

Determine a cota do nível de água no reservatório, para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede seja de 12 mH2O. Determine a máxima carga de pressão estática.

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com EXEMPLO 8.1

Estime o valor do fator de atrito f, do coeficiente de rugosidade C de Chézy e do coeficiente de rugosidade n de Manning em um canal largo de 1,50 m de profundidade, no qual as medidas de velocidades a 20 % e 80 % da altura d’água foram, respectivamente, v0,20 = 0,80

m/s e v0,80 = 1,20 m/s.

Assuma distribuição de velocidade logarítmica na vertical, escoamento turbulento rugoso e que a altura d’água é igual ao raio hidráulico. A Equação 2.31

* 8, 48 2,5ln v R u ε   = +    ,

desenvolvida a partir da hipótese de perfil logarítmico, pode ser posta em forma mais conveniente como: * 29,84 5,75log v R u ε   =    

Em que y é uma ordenada medida a partir do fundo e v, a velocidade pontual. Para y = 0,80h e y = 0,20h, fica: 0,80 * 23,87 5,75log v h u ε   =     0,20 * 5,97 5,75log v h u ε   =     Fazendo 0,80 0,20 v X v

= , dividindo uma equação pela outra e desenvolvendo, vem: 0,776 1, 378 log 1 h X X ε −  ₌   ₋  

Usando o conceito de diâmetro hidráulico, a velocidade média é dada pela equação 2.32

* 2,5ln 4, 73 V R u ε   = +    , na forma: * 2

5, 75 log 4, 73 5,75log 4,73 5,75log 4, 73 5,75log 6, 46 2 h V R D R h u = ε + = ε + = ε + = ε + Pela equação 2.26 * 8 V u f   =  

 , que relaciona a velocidade média com o fator de atrito, tem-se: * 8 0, 776 1, 378 2 1, 464 6, 46 1 1 V X X u f X X − +   = = ₋ + = ₋   Para 1, 20 1,5, 0,80

X = = o fator de atrito vale f = 0,100 e da Equação 8.7

0 0 8 8 , h h g g V R I V C R I C f f   = ⇔ = ⇐ =     8 78, 4 28 0,100 g C f = = = e, finalmente, como h = Rh = 1,50 m e 1/6 h R C n =

o coeficiente de rugosidade de Manning vale n = 0,038. EXEMPLO 8.2

Determinar a altura d’água em uma galeria de águas pluviais, de concreto n = 0,013, diâmetro igual a 0,80 m, declividade de fundo I0 = 0,004 m/m, transportando uma vazão de

600 l/s em regime permanente e uniforme. O coeficiente dinâmico vale:

3/8 3/8 0 0,013 0,60 0,456 0,004 nQ M I    _⋅  =_ _ =  =     Pela Equação 8.47 1 M D K   =    : 1 1 0, 456 0,80 K 0,570 K = ∴ =

Na Tabela 8.1, para K1 = 0,570, determina-se o valor da lâmina d’água relativa, isto é, a

altura normal dividida pelo diâmetro. Para K1 0,570, tira-se y0/D = 0,625, e daí y0 = 0,50 m.

EXEMPLO 8.3

Qual a relação entre as vazões transportadas, em regime permanente e uniforme, em uma galeria de águas pluviais, com lâmina d’água igual a 2/3 do diâmetro e a meia seção.

Na Tabela 8.1, para lâminas d’água iguais a y0/D = 0,666 e y0/D = 0,50 m, os coeficientes

K1 valem, respectivamente, 0,588 e 0,498. Pela Equação 8.47 3/8 1 0 , em que M= , M nQ D K I  _{ }   _{=  }     _{ }   

fórmula de Manning, como o diâmetro é o mesmo, tem-se:

1 2 1

1 2 2

1,18

M M M

K = K ∴M =

e para a mesma declividade e rugosidade, fica: 3/8 1 1 2 2 1,18 1,56 Q Q Q Q   = ∴ =     EXEMPLO 8.4

Dimensione um canal trapezoidal dom taludes 2H:1V, declividade de fundo I0 = 0,0010

m/m, revestimento dos taludes e fundo em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares, para transportar uma vazão Q = 6,5 m3/s. Utilize uma razão de aspecto m = b/y0

= 4. Calcule a velocidade média e verifique se a seção encontrada é de mínimo perímetro molhado.

Na Tabela 8.5, determina-se o coeficiente de rugosidade n = 0,025. Na Tabela 8.2, determina-se o coeficiente de forma K, em função de m = 4 e Z = 2, e vale K = 1,796. O coeficiente dinâmico vale:

3/8 3/8 0 0,025 6,5 1,847 0,001 nQ M I    _⋅  =_ _ =  =    

Pela fórmula de Manning, Equação 8.39

3/8 0 0 , em que : M nQ y M K I  _{ }   _{= = }     _{ }    0 1,847 1, 03 1, 796 M y K = = = m Então: 0 4 4,12 b m b y = = ∴ = m (largura do fundo) A área molhada vale:

(

)

2

(

)

2

0 4 2 1,03 6, 36

André Barcellos Ferreira – andrepoetta@hotmail.com A velocidade média é igual a 6,5 1,02

6,36

Q V

A

= = = m/s.

Para que a seção dimensionada tenha o mínimo perímetro molhado, é necessário que seja verificada a Equação 8.53, isto é:

(

2

)

(

)

2 1 2 1 4 2 0, 47 4

m= +Z −Z = + − = ≠

Conclusão: a seção não é de mínimo perímetro molhado.

8.1 Um canal de drenagem, em terra com vegetação rasteira nos taludes e fundo, com taludes 2,5H:1V, declividade de fundo I0 = 30 cm/km foi dimensionado para uma

determinada vazão de projeto Q0, tendo-se chegado a uma seção com largura de fundo b =

1,75 m e altura de água y0 = 1,40 m.

a) Qual a vazão de projeto?

b) A vazão encontrada é de mínimo perímetro molhado? c) Se o projeto deve ser refeito para uma vazão Q1 = 6,0 m

3

/s e a seção é retangular, em concreto, qual será a altura de água para uma largura de fundo igual ao dobro da anterior? Taludes 2,5H:1V → Z = 2,5 Q0: vazão de projeto I0 = 30 cm/km = 0,0003 m/m B= 1,75 m y0 = 1,4 m a) Q0 = ? 3/8 0 , nQ M I   =_ _   onde M = y₀⋅ ⇔K M =1,4 1,423 1,9922⋅ = 3/8 _{3/8 4} 3/8 4 ₄ 0,025 0,025 1,9922 3 10 1,78 1,9922 4,35 0,025 3 10 _{3 10} Q Q Q − −⋅ ₋ ⋅   ⇒ _{= } ⇒ ₌ ⇒ _{= =} ⋅   _⋅ m 3 /s b) m=2

(

1+Z2 −Z

) (

=2 1 2,5+ 2 −2,5

)

=0,3852≠1,25 ∴ não c) 3 1 6,0 m / 0,014 ' 2 3,5 Q s seção circular concreto n b b  ₌    ⇒ ₌   _{= =}  8/3 _{8/3 4} 0 0,014 6 0,1717 3,5 3 10 n Q K K b I − ⋅ ⋅ = ⇒ _{= =} ⋅ Pelo ábaco, 0 0 0,29 0, 29 3,5 1,01 y y b = ⇒ = ⋅ = m

8.2 Uma galeria de águas pluviais de 1,0 m de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning n = 0,013 e declividade de fundo I0 = 2,5⋅⋅⋅⋅10

–3

m/m transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de 1,20 m3/s.

a) Determine a altura d’água e a velocidade média.

b) A tensão de cisalhamento média, no fundo, e a velocidade de atrito.

c) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funciona na condição de máxima vazão? D = 1,0 m N = 0,013 I0 = 2,5⋅10 –3 m/m Q = 1,2 m3/s 0 1, 75 1, 25 1, 4 b m y = = = 0 ? y =