UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS
EM ENGENHARIA
INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO:
Uma Abordagem Moderna ,
por
Lucas Máximo Alves
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
LUCAS MÁXIMOALVES
INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO:
Uma Abordagem Moderna ,
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
LUCAS MÁXIMOALVES
INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO:
Uma Abordagem Moderna ,
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas
para obtenção de créditos da Disciplina de
INTRODUÇÃO A MECÂNICA DO CONTÍNUO do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de
Ciências Exatas, Departamento de Engenharia
Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná
Orientador: Prof. Dr. Adriano Scremin
Orientador: Prof. Dr.
CURITIBA – PARANÁ
MARÇO – 2007
Dedicatória
Agradecimentos
Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades que a vida me trouxe. Quero também agradecer:
À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. ..., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ..., e toda a galera do CESEC.
Epígrafe
“vida é um algo multidimensional cuja
imprevisível
curvatura
temporal
só
é
conhecida quando se experimenta os fatos a
cada dia e, mesmo assim, não se consegue
prever com exatidão a curvatura temporal dos
fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a
curvatura futura) numa vizinhança em torno
do fato no instante presente” (Lucas M. Alves)
Sumário
Apresentação ... 18
Capítulo – I ... 19
INTRODUÇÃO A TEORIA DO CONTÍNUO ... 19
1. 1 – Objetivos do capítulo... 19
1. 2 – Introdução a Teoria do Contínuo... 19
1. 3 – Conteúdos da Mecânica do Contínuo... 20
Capítulo – II... 23
TENSORES ... 23
2. 1 - Objetivos do capítulo ... 23
2. 2 – Introdução ... 23
2. 3 - Parte – A: A Notação Indicial ... 24
2. 4 - Parte – B: Tensores ... 40
2. 5 - Parte – C: Cálculo Tensorial ... 91
2. 6 - Parte – D: Coordenadas Curvilineas ... 126
2. 7 – Teoremas Integrais ... 151 2. 8 – Exemplos e Aplicações... 159 2. 9 – Exercícios e Problemas... 161 Capítulo – III ... 162 CINEMÁTICA DO CONTÍNUO ... 162 3. 1 - Objetivos do capítulo ... 162 3. 2 - Introdução ... 162 3. 3 – O Movimento... 163
3. 4 – Descrição do Movimento de um Meio Contínuo ... 164
3. 5 – Descrição Material e Descrição Espacial ... 168
3. 6 – Derivada Material ... 170
3. 7 – Aceleração da Partícula em um Meio Contínuo ... 172
3. 8 – O Campo de Deslocamento ... 176
3. 9 – Equação Cinemática do Movimento de Corpo Rígido ... 177
3. 10 – Exemplos e Aplicações... 179 3. 11 – Exercícios e Problemas... 180 Capítulo – IV ... 181 DEFORMAÇÃO NO CONTÍNUO ... 181 4. 1 – Objetivos do capítulo... 181 4. 2 – Introdução ... 181 4. 3 – Gradiente de Deformações ... 182 4. 4 – Deformações ... 187 4. 5 – Deformações Infinitesimais... 189
4. 6 – Significado Geométrico de E... 192
4. 7 – Deformações Principais... 196
4. 8 – Dilatação ... 197
4. 9 – Tensor Rotação Infinitesimal... 199
4. 10 – Taxa de Variação de um Elemento Material ... 201
4. 11 – Tensor Taxa de Deformação... 203
4. 12 – Taxa de Variação Volumétrica de um Elemento Material ... 207
4. 13 – Tensor de Rotação e Velocidade Angular ... 209
4. 15 – Condição de Compatibilidade para o Tensor E ... 212
4. 16 – Condição de Compatibilidade para o Tensor de Deformação ... 214
4. 17 – O Gradiente de Deformação ... 215
4. 18 – Deslocamento de Corpo Rígido... 216
4. 19 – Deformação Finita ... 217
4. 20 – Teorema da Decomposição Polar ... 222
4. 21 – Cálculo do Tensor de Estiramento a partir do Gradiente de Deformação... 223
4. 22 – O Tensor Direito de Deformação de Cauchy-Green ... 225
4. 23 – O Tensor Lagrangeano de Deformação... 227
4. 24 – O Tensor Esquerdo de Deformação de Cauchy-Green ... 230
4. 25 – O Tensor de Deformação de Euler ... 234
4. 26 – Condição de Compatibilidade para as Componenetes do Tensor de Deformação Finito ... 239
4. 27 – Variação de Área devido a Deformação... 240
4. 28 – Variação de Volume devido a Deformação... 244
4. 29 – Exemplos e Aplicações... 247 4. 30 – Exercícios e Problemas... 248 Capítulo – V ... 249 TENSÃO NO CONTÍNUO... 249 5. 1 – Objetivos do Capítulo... 249 5. 2 – Introdução ... 249
5. 3 – Vetor Tensão de Cauchy ... 251
5. 4 – Componentes do Tensor de Tensão de Cauchy... 254
5. 4 – Simetria do Tensor de Tensão de Cauchy ... 256
5. 5 – Tensão Principais... 259
5. 6 – Máxima Tensão de Cisalhamento... 263
5. 7 – Equação de Movimento de um Meio Contínuo Sujeito a Um Campo de Tensão... 268
5. 8 –Tensor de Tensão de Piola-Kirchoff... 273
5. 4 – Equação de Movimento escrito na Configuração de Referência... 277
5. 4 – Potência de Tensão ... 280
5. 4 – Taxa de Fluxo de Calor por Condução ... 284
5. 4 – Equação da 1ª Lei da Termodinâmica ... 286
5. 4 – Desigualdade de Entropia... 288 5. 9 - Exemplos e Aplicações ... 289 5. 10 - Exercícios e Problemas ... 290 Capítulo – VI ... 291 O SÓLIDO ELÁSTICO ... 291 6. 1 - Objetivos do capítulo ... 291 6. 2 - Introdução ... 291 6. 3 – A Teoria da Elasticidade... 292 6. 4 – Propriedades Mecânicas ... 293
6. 5 – O Sólido Elástico Linear ... 295
6. 6 – Equação da Teoria da Elasticidade Infinitesimal ... 307
6. 7 – Princípio da Superposição ... 309
6. 8 – Onda Plana Irrotacional ... 311
6. 9 – Onda Plana Equivolumial... 313
6. 10 – Extensão Simples... 316
6. 11 - Exemplos e Aplicações ... 345
6. 12 - Exercícios e Problemas ... 346
O FLUIDO VISCOSO NEWTONIANO ... 347 7. 1 - Objetivos do capítulo ... 347 7. 2 - Introdução ... 347 7. 3 - Exemplos e Aplicações ... 348 7. 4 - Exercícios e Problemas ... 349 Capítulo – VIII ... 350
FORMULAÇÃO INTEGRAL DE PRINCÍPIOS GERAIS... 350
8. 1 - Objetivos do capítulo ... 350 8. 2 - Introdução ... 350 8. 3 – Teoremas Integrais ... 351 8. 4 – Teorema de Gauss ... 352 8. 5 – Teorema de Stokes... 353 8. 6 - Exemplos e Aplicações ... 354 8. 7 - Exercícios e Problemas ... 355 Capítulo –IX ... 356 FLUIDO NÃO-NEWTONIANO ... 356 9. 1 - Objetivos do capítulo ... 356 9. 2 - Introdução ... 356 9. 3 - Exemplos e Aplicações ... 357 9. 4 - Exercícios e Problemas ... 358 Capítulo –X ... 359 A TEORIA DA PLASTICIDADE ... 359 10. 1 - Objetivos do capítulo ... 359 10. 2 - Introdução ... 359 10. 3 - Plasticidade ... 360 10. 4 - Exemplos e Aplicações ... 372 10. 5 - Exercícios e Problemas ... 373 Capítulo –XI ... 374
INTRODUÇÃO AOS PROBLEMAS NÃO LINEARES... 374
11. 1 - Objetivos do capítulo ... 374
11. 2 - Introdução ... 374
11. 3 – Alguns Problemas Não-Lineares ... 375
11. 4 – Problemas Estruturais Não-Lineares ... 376
11. 5 - Exemplos e Aplicações ... 383
11. 6 - Exercícios e Problemas ... 384
Lista de Figuras
Figura - 1. 1. ... 22
Figura - 2. 1. ... 33
Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial... 35
Figura - 2. 3. Figura - 1. 1. ... 22
Figura - 2. 1. ... 33
Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial... 35
Figura - 2. 3. Transformação Linear Vetorial de um vetor
a
emc
. ... 40Figura - 2. 4. ... 43 Figura - 2. 5. ... 43 Figura - 2. 6. ... 44 Figura - 2. 7. ... 46 Figura - 2. 8. ... 46 Figura - 2. 9. ... 48 Figura - 2. 10. ... 50 Figura - 2. 11. ... 50 Figura - 2. 12. ... 66 Figura - 2. 13. ... 66 Figura - 2. 14. ... 68 Figura - 2. 15. ... 70 Figura - 2. 16. ... 81 Figura - 2. 17. ... 81 Figura - 2. 18. ... 83 Figura - 2. 19. ... 86 Figura - 2. 20. ... 91
Figura - 2. 21. Função potencial e o seu gradiente. ... 99
Figura - 2. 22. Função potencial e o seu gradiente. ... 101
Figura - 2. 23. Isotermas de um campo escalar. ... 106
Figura - 2. 24. Isotermas de um campo escalar. ... 108
Figura - 2. 25. ... 109 Figura - 2. 26. ... 151 Figura - 2. 27. ... 158 Figura - 3. 1 ... 163 Figura - 3. 2. ... 165 Figura - 3. 3. ... 167 Figura - 3. 4. ... 168 Figura - 3. 5. ... 169 Figura - 3. 6. ... 172
Figura - 3. 7. ... Erro! Indicador não definido. Figura - 3. 8. ... 185
Figura - 3. 9. ... 186
Figura - 3. 10. ... 188
Figura - 4. 1. ... Erro! Indicador não definido. Figura - 4. 2. ... 250
Figura - 4. 3. ... 251
Figura - 10. 1. ... 360
Figura - 10. 3. ... 362 Figura - 10. 4. ... 365 Figura - 10. 5. ... 366 Figura - 10. 6. ... 367 Figura - 10. 7. ... 368 Figura - 10. 8. ... 368 Figura - 10. 9. ... 369 Figura - 10. 10. ... 371
Figura - 11. 1. a) ruptura elástica b) polielasticidade c) elasticidade não-linear d) plasticidade ... 376
Figura - 11. 2. Flambagem em haste delgada com excentricidade nula ... 376
Figura - 11. 3. Flambagem em haste delgada com excentricidade e não nula ... 377
Figura - 11. 4. Flambagem em articulações com inversão do estado e recuperação de estabilidade ... 377
Figura - 11. 5. Flambagem em superfícies com inversão do estado... 377
Figura - 11. 6. Flambagem multimodal em articulações ... 378
Figura - 11. 7. Flambagem localizada em haste estruturais... 378
Figura - 11. 8. Flambagem em superfícies sujeitas a um carregamento... 378
Figura - 11. 9. Grandes deslocamentos em a) vigas engastadas e b) em cabos áereos sujeitos ao prório peso. ... 379
Figura - 11. 10. Problema de grandes deslocamentos com elipsização do diâmetro tubos em tubulação aérea. ... 379
Figura - 11. 11. Grandes deslocamentos em articulações de guindastes e robôs ... 379
Figura - 11. 12. Plastidade com Histerese Disipativa... 380
Figura - 11. 13. Viscoelasticidade com deformação não linear... 380
Figura - 11. 14. Materiais com não linearidade constitutiva a) revestimento de aeronaves b) matriz óssea ... 381
Figura - 11. 15. Fratura e plasticidade na ponta da trinca. ... 382
... 40 Figura - 2. 4. ... 43 Figura - 2. 5. ... 43 Figura - 2. 6. ... 44 Figura - 2. 7. ... 46 Figura - 2. 8. ... 48 Figura - 2. 9. ... 50 Figura - 3. 1. ... 165 Figura - 3. 2. ... 185 Figura - 3. 3. ... 186 Figura - 3. 4. ... 167 Figura - 3. 5. ... 168 Figura - 3. 6. ... 169 Figura - 3. 7. ... 172
Figura - 4. 1. ... Erro! Indicador não definido. Figura - 4. 2. ... 250 Figura - 4. 3. ... 251 Figura - 10. 1. ... 360 Figura - 10. 2. ... 360 Figura - 10. 3. ... 362 Figura - 10. 4. ... 365
Figura - 10. 6. ... 367
Figura - 10. 7. ... 368
Figura - 10. 8. ... 368
Figura - 10. 9. ... 369
Apresentação
Esta apostila de Introdução a Mecânica do Contínuo é resultado da digitação das aulas do curso ministrado pelo professor Dr. Adriano Scremin e de estudos pessoais do estudante de doutorado M. Sc. Lucas Máximo Alves, do Programa de Pós-Graduação de Métodos Numéricos para a Engenharia-PPGMNE da Universidade Federal do Paraná.
Capítulo – I
INTRODUÇÃO A TEORIA DO CONTÍNUO
RESUMO
Neste capítulo será dada uma visão geral da teoria do contínuo e suas aplicações. Em particular a definição de um meio contínuo dentro do contexto matemático e físico, no que diz respeito a constituição atômica da matéria. Neste último contexto os limites de escala inferior e superior são estabelecidos como uma forma de preservar o conceito matemático abstrato.
1. 1 – Objetivos do capítulo
i) Entender a definição de um meio contínuo
ii) Reconhecer os diferentes contextos e áreas da ciência onde o conceito de contínuo se aplica.
iii) Saber formular a idéia do contínuo para diferentes situações de interesse.
1. 2 – Introdução a Teoria do Contínuo
A matéria na realidade é formada de moléculas, átomos e partículas subatômicas, portanto não é contínua, ou seja, é discreta. Contudo existem muitas situações da experiência diária que a teoria fenomenológica do comportamento dos mateiriais utilizada não considera a estrutura atômica ou molecular da matéria.
A teoria que --- ao descrever relações entre fenômenos ---, desprezando a estrutura da matéria em uma pequena escala, é conhecida como a teoria do
teoria, aceita-se a idéia de um volume infinitesimal de matéria referente a uma partícula no contínuo, e em toda vizinhança de uma partícula existem sempre partículas vizinhas. A teoria do contínuo é justificada ou não dependendo da situação.
A aproximação do contínuo descreve adequadamente o comportamento de materiais reais em muitas circunstâncias. Ela fornece resultados que estão de acordo com as observações experimentais na propagação de ondas de comprimento de onda extrememamente pequenas.
Por outro lado, um gás perfeito pode ser adequadamente descrito por um contínuo em certas circuntâncias. Em todo o caso é correto justificar a abordagem do contínuo com base no número de moléculas em um dado volume. Além do que em um volume infinitesimal no limite não contém moléclas no seu interior. Também não é necessário inferir que quantidades que ocorrem na teoria do contínuo devem ser interpretadas como certas médias estatíticas particulares. Nesta situação considera-se o limite termodinâmico para as médias
estatísticas em torno de 15
10 particulas (átomos, moléculas, etc).
De fato, sabe-se que a mesma equação contínua pode ser obtida por diferentes hipóteses a respeito da estrutura molecular e por definições de variáveis ... Enquanto que a teoria estatística molecular, se disponível, não melhora o entendimento da teoria do contínuo. O ponto a ser pensado é simplesmente que se a teoria do contínuo é justificada em uma dada situação, isto é, um assunto do teste experimental e não de filosofia. É suficiente dizer que mais do que cem anos de experiência tem justificado tal teoria em uma larga variedade de situações.
1. 3 – Conteúdos da Mecânica do Contínuo
A mecância do contínuo estuda a resposta dos materiais a diferentes condições de carregamento. Sem assunto pode ser dividido em duas partes:
(1) Princípios gerais comuns a todos os meios
(2) Equações constitutivas que definem materiais idealizados.
Os princípios gerais são axiomas considerados serem auto-evidentes a partir de nossa experiência como o mundo físico, tais como:
- Conservação da Massa
- Balanço do Momentum Linear (Conservação da Quantidade de Movimento) - Balanço de Momento Angular (Momento de Momentum)
- Lei da Inegualdade da Entropia (2ª Lei da Termodinâmica). Matematicamente existem duas formas dos princípios gerais:
(1) Forma Integral, formulada para um volume finito de matéria no contínuo. (2) As equações de campo para um volume diferencial de matéria (partícula) em todo ponto do campo de interesse.
Equações de campo são frequentemente derivadas a partir da forma integral. Elas podem ser também derivadas diretamente a partir do corpo livre de um volume diferencial. Esta última abordagem é adequada para iniciantes.
Neste livro-texto as abordagens são apresentadas, com a forma integral dada na direção do fim do texto. As equações de campo são importantes se as variações das variáveis no campo são também de interesse por elas mesmas ou são necessárias para se obter as informações desejadas.
Por outro lado, as formas integrais das leis de conservação --- elas mesmas ... prontamente a certas soluções aproximadas.
A segunda maior parte da teoria da mecânica do contínuo e concernente a “equações constitutivas” as quais são usadas para definir o material idealizado. Materiais idealizados representam certos aspectos do comportamento dos materiais naturais. Por exemplo, para muitos materiais sob condições restritas, a deformação causada pela aplicação de cargas desaparece com a remoção das cargas. Este aspecto do comportamento do material é representado pela equação constitutiva de um corpo elástco.
Sob condições mais restritas, o estado de tensão em um ponto depende linearmente das variações dos comprimentos e dos ângulos (mútuos) sofridas pelos elementos de volume no ponto medido a partir do estado onde as forças externas e internas se desvanecem. A expressão acima define um sólido linearmente elástico.
Um outro exemplo, é fornecido pela definição clássica de viscosidade a qual é baseada na superposição que o estado de tensão depende linearmente das taxas instantâneas de variação dos comprimentos e ângulos mútuos do elemento de volume. Tal equação constituiva define um fluido linearmente viscoso.
O comportamento mecânico dos materiais reais varia não somente de material para material para material, mas também com diferentes condições de carregamento para um dado material. Este leva a formulação de muitas equações constitutivas que definem os muitos diferentes aspectos do comportamento material.
Neste texto, nós apresentaremos quatro modelos idealizados e estudaremos o comportamento que eles representam por meio de algumas soluções de simples problemas de valor de contorno. Os materiais idealizados escolhidos são:
(1) O sólido elástico linear isotrópico e anisotrópico
(2) O sólido elástico não-linear isotrópico e incompressível (3) O fluido linearmente viscoso incluindo o fluido não-viscoso e (4) O fluido não-newtoniano incompressível
Um importante requerimento que deve ser satisfeito para todos as quantidades usadas na formulação de uma lei física é que elas são coordenadas invariantes. No capítulo seguinte, nós discutiremos tais quantidades.
Capítulo – II
TENSORES
RESUMO
Neste capítulo será visto a álgebra e o cálculo tensorial. As propriedades fundamentais dos tensores serão demonstradas preparando o estudante para a sua aplicação na teoria da elasticidade, na mecânica dos sólidos e na teoria da viscosidade.
2. 1 - Objetivos do capítulo
i) Entender o conceito geral de tensor e suas propriedades. ii) Saber reconhecer um tensor.
iii) Saber expressar um vetor e/ou um tensor em diferentes sistemas de coordenadas.
iv) Saber realizar cálculos vetoriais e tensoriais.
2. 2 – Introdução
Como foi mencionado na introdução, todas as leis da mecânica do contínuo deve ser formulada em termos de quantidades que são independentes das coordenadas. Esta é a proposta deste capítulo, introduzir tais entidades matemáticas. Nós começaremos pela introdução de uma notação abreviada e enxuta, a notação indicial. Na parte A deste capítulo, que será seguida pelo conceito de tensor introduzido como uma transformação linear na parte B. O campo básico de operações necessárias para fomulações do contínuo são apresentadas na parte C e suas representações em coordenadas curvilineas na parte D.
2. 3 - Parte – A: A Notação Indicial
2.A1 – Convenção de Soma e Somatório e os Índices Mudos ou Fictícios
Considere a soma abaixo (que pode ser a forma de um produto escalar de dois vetores
a
.
b
cuja representação em termos das suas componentes ai e xi é respectivamente)n n
x
a
x
a
x
a
x
a
s
1 1
2 2
3 3
...
(2A1. 1)
Nós podemos escrever a equação (2A1. 1) de uma forma compacta usando o sinal de somatório:
3
;
1
n
x
a
s
n i i i(2A1. 2)
É obvio que as seguintes equações possuem exatamente o mesmo significado que a Eq.(2A1. 2)
)
...,
3
,
2
,
1
(
1n
j
x
a
s
n j j j
(2A1. 3)
e)
...,
3
,
2
,
1
(
1n
m
x
a
s
n m m m
(2A1. 4)
etc.O índice i na equação (2A1. 2), ou j na equação (2A1. 3), ou m in equação (2A1. 4) é um índice mudo no senso de que a soma é independente da letra usada.
Nós podemos ainda simplificar a escrita da equação (2A1. 1) se nós adotarmos a seguinte convenção: Quando acontecer de um índice aparecer repetido uma vez, este é um índice mudo que indica que a somatório com o índice percorre os valores inteiros de 1,2, ..., n. Esta convenção é conhecida como convenção de soma de Einstein. Usando a convenção a equação (2A1. 1) se encurta para a notação
i i ; 1, 2,3 índices mudos ou fictíctios s a x i
(2A1. 5)
Nós também notamos que:
...
m m j j i ix
a
x
a
x
a
(2A1. 6)
Portanto, na notação indicial de Einstein nós podemos simplesmente escrever:
1 1, 2, 3... n i i i i i índice mudo s a x s a x i
(2A1. 7)
que pode representado a decomposição de um vetor
s
com componente ai, decomposto emtermos dos vetores de uma base xi, ou o produto escalar de dois vetores
a
e
x
expresso em termos de suas componentes ai e xi.Deve-se enfatizar que as expressões tais como aibixi não são definidas dentro desta
convenção. Isto é, um índice nunca deve ser repetido mais do que uma vez, quando a convenção de soma de Einstein é usada. Portanto, uma expressão da forma:
1 n i i i i i i i s a b x a b x
(forma errada)(2A1. 8)
estaria errado e portanto deve-se reter seu sinal de somatório. A forma correta de se escrever esta soma seria:
1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 n i j j i j j i j s a b x a b x a b x b x b x a b x b x b x a b x b x b x a b x b x b x
(2A1. 9)
De agora em diante nós devemos sempre tomar n igual a 3 tal que, por exemplo,
3 3 2 2 1 1 33 22 11 3 3 2 2 1 1
e
e
e
e
ia
a
a
a
a
a
a
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
i mm ii m m i i
(2A1. 10)
A convenção de soma de Einstein obviamente pode ser usada para expressar uma dupla soma, uma soma tripla, etc. Por exemplo, nós podemos escrever:
2 3 3 1 1 3 9 ij i j i j termos S a x x
(2A1. 11)
Simplesmente como ij i j Sa x x(2A1. 12)
Expandindo totalmente, a expressão (2A1. 12) da uma soma de nove termos, i.e.,
3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1 11 3 3 2 2 1 1
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
ij i j i i i i i i
(2A1. 13)
Para iniciantes, este é provavelmente melhor executar a expansão acima em duas etapas, primeiro, a soma sobre i e então a soma sobre j (ou vice-versa), isto é,
j j j j j j j i ij
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
1 1
2 2
3 3(2A1. 14)
onde 3 3 33 2 3 32 1 3 31 3 2 23 2 2 22 1 2 21 3 1 13 2 1 12 1 1 11 3 1 13 2 1 2 1 1 1 1x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
ij j j j
(2A1. 15)
Similarmente, a soma tripla
3 3 3 3 1 1 1 3 27 ijk i j k i j k termos S a x x x
(2A1. 16)
Simplesmente será escrita como
ijk i j k
Sa x x x
(2A1. 17)
A expressão (2A1. 15) representa a soma de 27 termos.
Nós enfatizamos novamente que as expressões tais como
a
iix
ix
jx
jork j i i ijk
x
x
x
x
a
não são definidas na convenção de soma de Einstein, logo elas não representam
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1ou
i j k k j i i ijk i j j j i iix
x
x
a
x
x
x
x
a
(2A1. 18)
2A2 - Índices Livres
Considere a seguinte sistema de três equações
3
/
'
2
/
'
1
/
'
3 33 2 32 1 31 3 3 23 2 22 1 21 2 3 13 2 12 1 11 1
i
p
x
a
x
a
x
a
x
i
p
x
a
x
a
x
a
x
i
p
x
a
x
a
x
a
x
(2A2. 1)
Usando a convenção de soma a equação (2A2. 1) pode ser escrita como:
3
/
'
2
/
'
1
/
'
3 3 2 2 1 1
i
p
x
a
x
i
p
x
a
x
i
p
x
a
x
m m m m m m(2A2. 2)
A qual pode ser reduzida para
'
a
x
,
i
1
,
2
,
3
x
im m livres índices i(2A2. 3)
representando um sistema de equações lineares que matricialmente fica:
3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1'
'
'
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
x
x
(2A2. 4)
Um índice que aparece somente uma vez em cada termo de uma equação tal como o índice i na equação (2A2. 3) é chamado de um “índice livre”. Um índice livre toma valores sobre números inteiros 1,2 ou 3 um de cada vez. Então a equação é (2A2. 3) é abreviada para três equações cada uma tendo a soma de três termos sobre seu lado direito (isto é, equação (2A2. 1))
Um exemplo a mais é dado por
3
,
2
,
1
,
ˆ
'
Q
e
i
e
i mi m(2A2. 5)
Representando3 33 2 23 1 13 3 3 32 2 22 1 12 2 3 31 2 21 1 11
ˆ
ˆ
ˆ
'
ˆ
ˆ
ˆ
'
ˆ
ˆ
ˆ
'
e
Q
e
Q
e
Q
e
e
Q
e
Q
e
Q
e
e
Q
e
Q
e
Q
e
i
(2A2. 6)
Nós notamos que
x
j'
a
jmx
m, j = 1,2,3 é o mesmo que a equação (2A2. 3) em mj
j
Q
e
e
ˆ
'
ˆ
, j = 1,2,3 é o mesmo que a (2A2. 4). Contudo,j i
b
a
(2A2. 7)
É uma equação sem significado. OBS:
O índice livre que aparece em cada termo de uma equação deve ser o mesmo. Então as seguintes equações são sem significado.
i i i a k c 1, 2, 3 0 i i j j i a b c d i j , 1, 2,3
(2A2. 8)
o certo seria3
,
2
,
1
b
c
i
a
i i i(2A2. 9)
Se existem dois índices livre que aparecem em uma equação tal que:
3
,
2
,
1
3
,
2
,
1
A
A
i
j
T
ij im jm(2A2. 10)
Então a equação é uma ... escrita de 9 equações; cad uma tem uma soma de 3 termos no lado direito. De fato,
33 33 32 32 31 31 3 3 33 23 33 22 32 21 31 2 3 32 13 33 12 32 11 31 1 3 31 33 23 32 22 31 21 3 2 23 23 23 22 22 21 21 2 2 22 13 23 12 22 11 21 1 2 21 33 13 22 12 31 11 3 1 13 23 13 22 12 21 11 2 1 12 13 13 12 12 11 11 1 1 11
A
A
A
A
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
A
A
T
m m m m m m m m m m m m m m m m m m
(2A2. 11)
Novamente, equações tais como:
ij ik
T T
(2A2. 12)
Não tem significado
Veja ainda o exemplo correto de equações com dupla somatória
k ijk ij
a
x
T
(2A2. 13)
possui 09 equações.
A notação indicial também aceita a mudança de índices.
l k ijkl k ijk ij
a
x
a
v
v
T
(2A2. 14)
Para l k ijkl m ijm ija
x
a
v
v
T
(2A2. 15)
2A3 – Delta de Kröenecker
O delta de Kroenecker, denotado por é definido como:
j
i
se
j
i
se
ij0
1
(2A3. 1)
Isto é:0
1
32 31 23 21 13 12 33 22 11
(2A3. 2)
Em outras palavras, a matriz do delta de Kröenecker corresponde a matriz identidade, isto é:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
33 32 31 23 22 21 13 12 11 ij ijI
I
(2A2. 16)
onde nós observamos as seguintes propriedades: (a)
3
1
1
1
33 22 11
ii(2A3. 3)
(corresponde ao traço da matriz identidade) (b)
)
3
/
(
)
2
/
(
)
1
/
(
3 33 2 32 1 31 3 3 23 2 22 1 21 2 3 13 2 12 1 11 1
i
p
a
a
a
a
i
p
a
a
a
a
i
p
a
a
a
a
m m m m m m
(2A3. 4)
ou de forma geral:)
3
,
2
,
1
(
a
a
i
a
m ii i i im
(2A3. 5)
que são três possiveis termos: (c) mj m mj m mj m mj im
T
1T
2T
3T
(2A3. 6)
ou)
3
/
(
)
2
/
(
)
1
/
(
3 33 2 32 1 31 3 3 23 2 22 1 21 2 3 13 2 12 1 11 1
i
p
T
T
T
T
i
p
T
T
T
T
i
p
T
T
T
T
j j j mj m j j j mj m j j j mj m
(2A3. 7)
ou ainda de forma geral:
ij mj im
T
T
(2A3. 8)
33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 111
0
0
0
1
0
0
0
1
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
(2A3. 9)
Particularmente temos outras propriedades:
33 33 22 22 11 11 3 3 2 2 1 1
T
T
j i j i j i mj im
(2A3. 10)
ou ij mj im
(2A3. 11)
e para o caso ij nj mn im n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m n mn m nj mn im nj mn m nj mn m nj mn m nj mn im
....
3 3 33 2 3 33 1 3 33 3 2 32 2 2 32 1 2 32 3 1 31 2 1 31 1 1 31 3 3 23 2 3 23 1 3 23 3 2 22 2 2 22 1 2 22 3 1 21 2 1 21 1 1 21 3 3 13 2 3 13 2 3 13 3 2 12 2 2 12 2 2 12 3 1 11 2 1 11 1 1 11 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 2 1(2A3. 12)
d) Seja
e
ˆ
1,
e
ˆ
2,
e
ˆ
3 uma base de vetores unitários perpendiculares um ao outro (base ortonormal), então o produto escalar:ij j i
e
e
ˆ
.
ˆ
(2A3. 13)
pode ser expresso como:
0
0
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
0
0
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
1
1
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
(2A3. 14)
e0
0
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
1
1
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
0
0
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
(2A3. 15)
e finalmente1
1
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
0
0
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
0
0
.
1
.
1
)
ˆ
,
ˆ
cos(
.
ˆ
.
ˆ
ˆ
.
ˆ
3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
(2A3. 16)
2A4 – Símbolo de Permutação ou Tensor de Levi-Civita
O símbolo de permutação, denotado por
ijk é definido por:1 1, 2,3
0 1, 2,3
1 1, 2, 3
ijk
se formam permutação par ou cíclica de se não formam uma permutação de
se formam permutação ímpar ou não cíclica de
(2A3. 17)
123 231 312 132 321 213 111 112 113 221 222 223 331 332 333 121 313 212 232 211 323 122 133 131 311 322 233 1 1 0 0 0 0 0 0 0 com permutação sem permutacão
(2A3. 18)
Nós notamos que: jik kji ikj kij jki ijk
(2A3. 19)
Podemos observar também o numero de permutações:
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
312 132 231 213 123
(2A3. 20)
Veja que:1) As permutações pares (0,2,4) ou cíclicas: 123, 231, 123 no sentido horário possui como resultado o valor +1
2) As permutações ímpares (1,2,3) ou não-cíclicas: 132, 321, 213 no sentido anti-horário possui como resultado o valor -1
3) As não-permutações pares possui como resultado o valor 0. conforme mostra a Figura - 2. 1.
Seja
e
ˆ
1,
e
ˆ
2,
e
ˆ
3 uma tríade de vetores que formam uma base ortonormal positiva, onde:0
ˆ
ˆ
;
0
ˆ
ˆ
;
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ
;
ˆ
ˆ
ˆ
3 3 2 2 1 1 2 3 1 1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2 3 2 1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
(2A3. 21)
que pode ser escrito de forma resumida como:
k kij k jki k ijk j i
e
e
e
e
e
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(2A3. 22)
Desenvolvemos temos:0
ˆ
ˆ
;
0
ˆ
ˆ
;
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
)
1
(
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
)
1
(
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
1
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)
1
(
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
0
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3 3 2 2 1 1 1 3 2 1 3 323 2 322 1 321 32 2 3 1 3 2 1 3 233 2 232 1 231 23 3 2 2 3 2 1 3 133 2 132 1 131 13 3 1 2 3 2 1 3 313 2 312 1 311 31 1 3 3 3 2 1 3 213 2 212 1 211 21 1 2 3 3 2 1 3 123 2 122 1 121 12 2 1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
k k k k k k k k k k k k
(2A3. 23)
Figura - 2. 2. a) base ortonormal e b) regra da mão direita para o produto vetorial.
Agora, sejam
a
eb
vetores com representação na basee
ˆ
1,
e
ˆ
2,
e
ˆ
3 dada por:i i i i
e
e
b
b
e
a
a
ˆ
ˆ
(2A3. 24)
Então o que seria o produto vetorial
a
b
?
k ijk j i j i j i j j i i
e
b
e
a
b
e
e
a
b
e
a
b
a
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
ˆ
)
ˆ
(2A3. 25)
Isto é: k ijk j ib
e
a
b
a
ˆ
(2A3. 26)
que possui 27 termos.
As seguintes identidades úteis podem ser provadas (veja o Problema – 2A7)
Identidades Importantes
i)6
pqr pqr
(2A3. 27)
ii) ij pqj pqi
2
(2A3. 28)
iii) jk il jl ik pkl pij
(2A3. 29)
2A5 – Manipulações com a Notação Indicial
a) Substituição Se m im iu
b
a
(2A3. 30)
e
n n m m m i m iv
c
b
.
(2A3. 31)
Então a ordem para substituir os bi’s em (ii) para dentro de (i) é: nós primeiro mudamos o
índice livre em (ii) de i para m, necessariamente, e o índice mudo m para alguma outra letra, como n por exemplo, tal que:
n mn
m
v
c
b
.
(2A3. 32)
Agora, (i) e (ii) fornece
)
(
mn n im iu
v
c
a
(2A3. 33)
Logo n mn im iu
v
c
a
(2A3. 34)
Agora (2A3. 34) representa três equações cada uma tendo a soma de nove termos em seu lado direito.
É errado, por exemplo, simplesmente substituir:
( ) i im im m a u v c
(2A3. 35)
obtendo i im im m a u v c(2A3. 36)
b) Multiplicação Se m mb
a
p
(2A3. 37)
em m
d
c
q
(2A3. 38)
Então n n m mb
c
d
a
pq
(2A3. 39)
É importante notar que:
m m m m
b
c
d
a
pq
(2A3. 40)
De fato, o lado direito desta expressão não é mesmo definido na convenção de soma e, além disso, é obvio que:
m m m m m
b
c
d
a
pq
3 1(2A3. 41)
Desde que o produto de vetores é distribuitivo, portanto, se
i i i i
e
e
b
b
e
a
a
ˆ
ˆ
(2A3. 42)
Se em particular, se e e e sào vetores unitários perpendiculares um ao outro, então ˆ ˆ ˆ1, 2, 3
ˆ ˆi. j ij e e tal que: 3 3 2 2 1 1
)
ˆ
.
ˆ
(
)
ˆ
).(
ˆ
(
.
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
e
e
b
a
e
b
e
a
b
a
j j i i ij j i j i j i j j i i
(2A3. 43)
c) Fatoração Se0
i j ijn
n
T
(2A3. 44)
Então, usando o delta de Kröenecker, nós podemos escrever:
j ij
i
n
n
(2A3. 45)
Tal que (2A3. 44) usando-se a equivalência (2A3. 45), torna-se:
0
ij j j ijn
n
T
(2A3. 46)
Então
T
ij
ij
n
j
0
(2A3. 47)
d) Contração de Índices Livres (índices livres índices mudos)
A operação de identificação de dois índices e tal soma sobre eles é conhecida como contração. Por exemplo, Tii é a contração de Tij.
33 22 11
T
T
T
T
T
ij
ii
(2A3. 48)
OBS: só se contrae índices livres. Se ij ij ij
