Resolução / Critério de Avaliação

(1)

FEUP - ENGENHARIA CIVIL Exercício Complementar nº 2 TEORIA DAS ESTRUTURAS 1 Ano lectivo 2002/2003

Resolução / Critério de Avaliação

Figura 1 – A estrutura a calcular

a) Indica-se pelo menos uma razão pela qual a estrutura não pode ser considerada

como sistema base.

A. Não. Elemento CD é hipóstatico. B. Não. Corpo ABCD-CE é hiperstático.

C. Sim. D. Sim.

E. Não. Corpo ABCD-CF é hipóstatico (CIR em C).

F. Não. Não resiste a uma acção horizontal.

G. Sim.

H. Não. CD bem como ABCE-CF são hipóstaticos. I. Não. Corpo ABCD-CF e CE são hipóstaticos.

d

e

Nota sobre a Avaliação: Cada item avaliado ou está completamente certo ou está completamente errado. Apenas está certo se o resultado for idêntico ao da solução, ou se for rigorosamente demonstrado que a substituição dos valores de entrada correctos conduz exactamente aos resultados da solução. Consideram-se correctos os valores com um erro inferior a 2%.

9x2% ABC, CD e CE: E=20GPa I=0.005m4 α=10-5_/o_C BFE: E=200GPa A=0.20 m2 α=10-5_/o_C 10 kN/m 0.001m 3,00m + 10°C 4. 00 m 4. 00 m 3,00m 3,00m + 10°C + 20°C + 20°C + 20°C + 20°C A B C D E F roldana

Características das Barras Convenção usada para diagramas de esforços:

M - V + N + M + V - N - EI = 100000 kN/m2 EA = 80000 kN

(2)

b) Cálculo dos esforços para Xi=0.

Cálculo das reacções da estrutura.

kN V V M_E = _D⋅3−60⋅6=0⇒ _D =120

∑

kN V V F_y =−120+60+ _E =0⇒ _E =60

∑

Figura 2 – Solicitação Xi=0

Cálculo dos momentos M0

kNm M_B ₌₋10_⋅32 /2₌₋45 kNm M_meioBC ₌₋10_⋅4.52/2₌₋101.25 kNm M M_CB ₌ _CE ₌₋10_⋅62/2₌₋180 kNm M M_AB = _EC =0

Cálculo dos esforços axiais N0

kN

N_CE =60⋅4/5=48

kN

N_CD =−120

Cálculo dos esforços transversos V0

kN V_CA =−10⋅6=−60 kN V_CE =60⋅3/5=+36 10 kN/m 0.001m 3,00m 4. 00 m 4. 00 m 3,00m 3,00m t = 1 5°C A B C D E F roldana V =120kND V =60kNE 0 ∆t = -1 0° C ∆t = -10°C t = 15°C0 t = 2 0°C 0 ∆t = 0° C t = 1 0° C 0 ∆ t = 0° C t = 1 0° C 0 t = 2 0°_C 0

(3)

-45 -101.25 -180 -180 M0 [kN] [kN]N0 -120 +4 8 0 V [kN] +3 6 -30 -60

Figura 3 – Esforços associados a Xi=0 c) Cálculo dos esforços quando a incógnita X1=1.

kN V V M_E = _D⋅3=0⇒ _D =0

∑

kN V V F_y =0= _E −8 73⇒ _E =8 73=0.936329

∑

kN H H F_x =0=− _E +3 73⇒ _E =3 73=0.351123

∑

3/ 0 73 73 8/ 73 3/ 3/5 1 4/5 8/73 4/5 3/5 1 1 X₁=1 Figura 4 – Solicitação X1=1

kNm M_CB =0.8⋅3=2.4 kNm M_CF =4⋅(35−3 73)=0.995506 kNm M_CE =3⋅8 73−4⋅3 73=12 73=1.404494 kNm M M M_BC = _FC = _EC =0

kN N_BFE =1 kN N_BC =−3/5=−0.6 kN N_CF =−(4/5+8 73) =−1.736329 5x15/4%+0%+0%

(4)

kN N_CE =−(4 5⋅8 73+3 5⋅3 73)=−0.959737 Cálculo dos esforços transversos N1

kN V_BC =4 5=0.8 kN V_CE =4 5⋅3 73−3/5⋅8 73 =−0.280899 kN V_CF =3 73−3/5=−0.248877 1 M [kN] +2.4 +1.404494 +0.995506 N1 [kN] -0.6 -1.736 329 +1 +1 -0.959 737 1 V [kN] 0.8 -0.24887 7 -0.28089 9

Figura 5 – Esforços associados a X1=1

d) Cálculo dos esforços quando a incógnita X2=1.

kN V V M_E = _D⋅3−1=0⇒ _D =13

∑

kN V V F_y =0= _E −13⇒ _E =13

∑

1/3 _1/3 1 =1 2 X Figura 6 – Solicitação X2=1

kNm

M_EC =1

kNm

M_CE =0

kN

N_CD =−13

kN N_CE =4/5⋅13=0.266667

(5)

Cálculo dos esforços transversos V2 kN V_CE =35⋅13=15 2 [kN]M +1 [kN]N2 -1/ 3 +0.2 66 66₇ [kN]V2 +1/ 5

Figura 7 – Esforços associados a X1=1

e) Cálculo dos δ10, δ11 e δ12 aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais.

Cálculo de δ10 L t N ds t N ds h t M L EA N N ds EI M M c a 0 1 0 1 1 0 1 0 1 10 α α α δ =

_∫

+

∑

+

_∫

∆ +

_∫

+

∑

m ds EI M M₁ ₀ ₅ ₅ 10 3482 . 880 10 ) 404494 . 1 ) 180 ( 5 3 1 )) 25 . 101 ( 2 180 ( 4 . 2 3 6 1 ( _⋅ _⋅ _⋅ ₋ ₊ _⋅ ₋ ₊ _⋅ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ − ₌₋ _⋅ − =

∫

m L EA N N 0 0 1

∑

= m ds h t M ∆ ₌₍₂_.₄_⋅₃ ₂₊₁_.₄₀₄₄₉₄_⋅₅ ₂₎_⋅₍₋₁₀_⋅₁₀−5 ₀_.₅₎₌₋₁₄₂_.₂₂₄₇_⋅₁₀−5

∫

α m ds t N c 5 5 0 1 (( 3/5 3) 15 ( 0.959737 5) 15 ( 1.736329 4) 20) 10 237.8866 10 − − ₌₋ _⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

∫

α m L t N c 5 5 5 0 1 1 20 5 10 1 20 73 10 270.8801 10 − − − ₊ _⋅ _⋅ _⋅ ₌ _⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

∑

α m 5 5 10 ( 880.3482 142.2247 237.8866 270.8801) 10 989.5794 10 − − ₌₋ _⋅ ⋅ + − − − = δ Cálculo de δ11

∫

+

∑

= c a L EA N N ds EI M M₁ ₁ ₁ ₁ 11 δ

(

)

m ds EI M M c 5 5 1 1 ₌₁_/₃_⋅₂_.₄_⋅₂_.₄_⋅₃₊₁_.₄₀₄₄₉₄_⋅₁_.₄₀₄₄₉₄_⋅₅₊₀_.₉₉₅₅₀₆_⋅₀_.₉₉₅₅₀₆_⋅₄ _⋅₁₀− ₌₁₀_.₃₆₉₀_⋅₁₀−

∫

m L EA N N a 5 1 1 ₌₍₁_⋅₁_⋅₅₊₁_⋅₁_⋅ ₇₃₎_/₈₀₀₀₀₌₁₆_.₉₃₀₀_⋅₁₀−

∑

m 5 5 11 (10.3690 16.9300) 10 27.2990 10 − − ₌ _⋅ ⋅ + = δ Cálculo de δ12

∫

+

∑

= c a L EA N N ds EI M M₁ ₂ ₁ ₂ 12 δ 5x4/5%+5x5/5%+0% 5% 4%

(6)

5 5 2 1 ₌₁_/₆_⋅₅_⋅₁_.₄₀₄₄₉₄_⋅₁_⋅₁₀− ₌₁_.₁₇₀₄_⋅₁₀−

∫

c ds EI M M m 0 2 1 ₌

∑

a L EA N N m 5 5 12 (1.1704 0) 10 1.1704 10 − − ₌ _⋅ ⋅ + = δ m

f) Cálculo dos δ20, δ21 e δ22 aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais.

Cálculo de δ20 L t N ds t N ds h t M L EA N N ds EI M M c a 0 2 0 2 2 0 2 0 2 20 1/3 0.001 α α α δ − ⋅ =

∫

+

∑

+

∫

∆ +

∫

+

∑

5 5 0 2 ₌₍₁₆_⋅₁_⋅₅_⋅₍₋₁₈₀₎₎_⋅₁₀− ₌₋₁₅₀_.₀₀₀₀_⋅₁₀−

∫

ds EI M M rad 0 0 2

∑

L= EA N N rad 5 5 2 ₀_.₅ 50.0000 10 10 ) 10 ( 1 5 2 1_⋅ _⋅ _⋅ − ⋅ − ₌₋ _⋅ − = ∆

∫

ds h t M α rad 5 5 0 2 4 10 0.266667 5 15) 10 6.6666 10 3 1 (− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ − =

∫

c ds t N α rad 0 0 2

∑

= c L t N α rad 5 5 20 ) 10 160.000 10 3 100 6667 . 6 0000 . 50 0000 . 150 (− − + + ⋅ − =− ⋅ − = δ rad Cálculo de δ21 12 21 δ δ = Cálculo de δ22

∫

+

∑

= c a L EA N N ds EI M M₂ ₂ ₂ ₂ 22 δ 5 5 2 2 ₌₁_/₃_⋅₅_⋅₁_⋅₁_⋅₁₀− ₌₁_.₆₆₆₇_⋅₁₀−

∫

c ds EI M M rad 0 2 2 ₌

∑

a L EA N N rad 5 5 12 =(1.6667+0)⋅10− =1.6667⋅10− δ rad g) Equação resolvente 2 12 1 11 10 0=δ +δ X +δ X 2 22 1 21 20 0=δ +δ X +δ X 2 1 1.1704 2990 . 27 5794 . 989 0=− + X + X 2 1 1.6667 1704 . 1 000 . 160 0=− + X + X kN X₁ =33.131 kNm X =72.732

{

3% 5% 3% 2%

(7)

h) Cálculo dos esforços MM, NN e VV da estrutura, por utilização do princípio da sobreposição dos

efeitos.

Cálculo dos momentos MM

kNm M_CB =−180+2.4⋅33.131=−100.486 kNm M_CF =0.995506⋅33.131=32.982 kNm M_CE =−180+1.404494⋅33.131=−133.468 Cálculo dos esforços axiais NN

kN N_BC =−3/5⋅33.131=−19.879 kN N_CD =−120−1/3⋅72.732=−144.244 kN N_CF =−1.736329⋅33.131=−57.526 kN N_CE =48−0.959737⋅33.131+0.266667⋅72.732=35.598 Cálculo dos esforços transversos VV

kN V_BC =−30+4/5⋅33.131=−3.495 kNm V_CF =−0.248877⋅33.131=−8.246 kN V_CE =36−0.280899⋅33.131+1/5⋅72.732=41.240 [kN] M +72.732 -133.468 +3 2.9 82 -45 -100.486 [kN]N +3_5.598 -144 .244 -57. 52 6 +3 3.131 +33. 131 -19.879 [kN]V -30 -33.495 -3.495 -8 .2 46 +41 .240

Figura 8 – Esforços finais i) Cálculo da variação de comprimento do cabo

m L t A E L N l (33.131/80000 20 10 5) (5 73) 0.00832 0 = + ⋅ ⋅ + = + ⋅ ⋅ = ∆ _α −

j) Cálculo da rotação e deslocamento horizontal do nó C.

Cálculo da translação horizontal de C

Aplicando o teorema dos trabalhos virtuais, usando como estrutura em equilibrio a que corresponde o sistema base D da alínea a) solicitada por uma carga unitária na direcção direita/esquerda aplicada em C e a deformada virtual a verdadeira deformada da estrutura vem:

ds t N ds h t M ds EI M M ca c C H

∫

+

∫

∆ ⋅ + ⋅ = ⋅1 α α ₀ δ 5x3/5%+5x3/5%+5x3/5% 5%

(8)

m ds EI M M C 5 5 ₃₉_.₉₈₆₇ ₁₀ 10 5 ) 468 . 133 632 . 72 2 ( ) 4 ( 6 / 1 ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − =− ⋅ − = ⋅

∫

m ds h t M c 5 5 ₂₀₀ ₁₀ 10 2 5 ) 4 ( 5 . 0 ) 10 (− _⋅ − ⋅ _⋅ − ₌ _⋅ − = ∆ ⋅

∫

α m ds t N ca 5 5 0 0.6 5 15 10 45 10 − − ₌ _⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

∫

α m H ( 39.9867 200 45) 10 0.00205 5 ₌ ⋅ + + − = − δ 1 1 4 [kN]M -4 [kN]N +0.6

Figura 9 – Solicitação unitária e respectivos esforços para o cálculo

do deslocamento horizontal de C Cálculo da rotação de C

Aplicando o teorema dos trabalhos virtuais, usando como estrutura em equilibrio a que corresponde o sistema base D da alínea a) solicitada por um momento unitário no sentido directo no ponto C e a deformada virtual a verdadeira deformada da estrutura vem:

1 1 [kN] M -1 [kN] N 0 0 0 0

Figura 10 – Solicitação unitária e respectivos esforços para o cálculo da rotação do ponto C

ds t N ds h t M ds EI M M ca c C C

∫

+

∫

∆ ⋅ + ⋅ = ⋅ Θ 1 α α ₀ rad ds EI M M C 5 5 ₁₅₁_.₈₄₀ ₁₀ 10 ) 1 ( 5 ) 2 732 . 72 468 . 133 (− + _⋅ _⋅ ₋ _⋅ − ₌ _⋅ − = ⋅

∫

rad ds h t M c 5 5 ₁₀₀ ₁₀ 10 ) 1 ( 5 . 0 ) 10 ( 5⋅ − _⋅ ₋ _⋅ − ₌ _⋅ − = ∆ ⋅

∫

α rad ds t N ca 0 0 =

∫

α rad 0025184 . 0 10 ) 100 840 . 151 ( ₊ _⋅ 5 ₌ = Θ − _5% 5%