Da literatura sobre a prova rigorosa em Educação Matemática: Um levantamento

Da literatura sobre a prova rigorosa em

EducaçÃ

Matemática Um levantamento

Antonio Vicente Marafioti Garnica UNESP - Universidade Estadual Paulista

Depuis les Grecs, qui dit matMmatique dit démonstration certains doutent mime qu'il se trouve, en dehors des mathkmatiques, des démonstration au sens prkcis et rigoureux que ce mot a reç des Grecs. (Bourbaki, Elkments de Mathématique

After some twenty years of very arduous toil, I carne to the conclusion that there was nothing more thaticould do in the way of making mathematical knowledge indubitable. (Russell, Portraits of memory)

A proof becomes a proof after the social act of 'accepting it as a proof .

This is true of mathematics as it is of physics, linguists, and biology. (Manin, A course in mathematical logic)

What mathematicians at large sanction and accept is correct. (Hersh, Proving is convincing and explaining)

Un acto de fe no consiste en creer sin ver, o en creer en 10 que no se ve, sino en creer que se ve, cualquiera que sean 10s ojos con que se mire, e independientemente de que se vea o de que no se vea. (referido em Bacca, Tres clases de actos de fe y tres tipos de crÃ-tica

No léxico tanto quanto no jargã matemático prova e demonstraçà sã tidos como sinônimos à o que atesta a veracidade ou autenticidade, a garantia, o testemunho, o processo de verificaçà da exatidã de cálculo ou raciocÃ-nios a deduçà que manté a verdade' de sua conclusã apoiando-se em premissas admitidas como verdadeiras.

A L-gica nos dà instrumental suficiente para que, dentro da Matemática concebida como ciênci formal (acadêmica) possamos definir com mais clareza a noçà de demonstraçã uma demonstraçà emS (um sistema formal, pensado como uma linguagem, um conjunto de sinais e um conjunto de regras para a manipulaçà de sinais) à uma sequênci finita nã vazia de sentença de S tal que cada uma delas à um axioma ou uma conseqüênc imediata, por regras de infesncias admitidas em S, de duas sentença anteriores na sequência Um teorema de S à uma sentença de S tal que existe uma demonstraçà em S onde A à a últim sentenç da sequência A importânci da prova rigorosa para o fazer em Matemátic pode ser atestada, a princÃ-pio por alguns matemático da envergadura do grupo Bourbaki, de cuja fala extraÃ-mo um dos trechos escolhidos para epÃ-grafe Nã bastando isso, o discurso e a atividade cotidianos da prátic cientÃ-fic da Matemátic afirmam reconhecer a prova (ou prova rigorosa, ou demonstraçã como elemento central no desenvolvi- mento do que se conhece por Matemática o que à apontado pela maioria dos artigos estudados. Tais preocupaçõ nã sã suficientes, porém para que conflitos acerca da natureza da demonstraçà inexistam. Ao contrário a cena das discussõe sobre tal noçà tem se mostrado marcada por nÃ-tida posiçõ controversas, alimentando o debate.

Por um lado, a literatura em Matemátic

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ou em L-gica, mais precisamente

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cuida em tratar do problema da prova no modo tradicionalmente tido e aceito: um mecanismo definido formalmente cujas raizes nã necessitam de investigaçà e cujos frutos compõe a conhecida produçà cientÃ-fic em Matemática As esferas nas quais questõe sobre a natureza das demonstraçõ sã debatidas tê sido, com maior frequência a da Filosofia da Matemátic ou a da Filosofia da Lógica pois nã

à necessári uma tematizaçà sobre a noçà de prova para que a prova seja utilizada. Por outro lado, a justificativa para a existênci da noçà permanece como a usual: convencer, validar, verificar.

Na literatura especÃ-fic em Educaçà Matemática prova ou demonstraçà vê sempre adjetivadas; são assim, "rigorosas". A necessidade ou nã de uma tal adjetivaçà dependerá em muito, dos aspectos que focamos: para uns -principal- mente os matemático chamados "puros" -, uma prova é já prova rigorosa. Para outros, o rigor estabeleceria, entre as vária provas matemática possÃ-veis aquelas herdeiras diretas do programa estabelecido por Euclides, n ' 0 s Elementos, no terceiro sécul antes de Cristo, programa este plasmado numa concepçà platônica assegurado e elevado ao status de elemento essencial ao fazer matemático principal- mente pelo Formalismo que intervém com maior familiaridade do que qualquer outra escola, no fazer cotidiano da sala de aula e no da própri Matemática

(conforme, por exemplo, Cury, 1988). Há ainda, autores que, seguindo Balacheff (1987), partem da explicitaçà mais minuciosa dos termos, para uma distinçà entre provae demonstraçã umaprova éumaexplicaç aceita por uma dada comunidade num dado momento, podendo ser debatida, refutada ou aceita. No interior da comunidade Matemática porém sà sã aceitas como provas as explicaçõ que adotam uma forma particular, um conjunto de enunciados váiido organizados segundo certas regras, sendo que um enunciado ou à reconhecido como verdadeiro ou 6 deduzido a partir do precedente por regras de deduçà válida e pré-fixadas do domÃ-ni da Lógica A esse tipo particular de prova Balacheff chama demonstraçã

A noçà de prova à um dos principais eixos pelo qual trafegam as concepçõ sobre Matemática Nela sã engendrados tanto o caráte mÃ-tic da Matemátic quanto a proliferaçà desmedida de uma ideologia da certeza, suas significaçõ un'vocas e seu caráte de eternidade espaço-temporal Tal caráte mÃ-tic surge quando a Matemátic procura fundamentar-se pela exclusã do sentido (Lavalle, 1977), que tem na distanciaçà entre sintaxe e semântic um de seus componentes essenciais. Fruto de um programa rigoroso e constante, esboçad e levado

i

prátic em toda e qualquer comunidade de produçà de Matemática essa exclusã de sentido

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onde na verdade o sentido nã morre, apenas tem uma "morte em moratória -possibilita a dinamizaçà das ideologias da certeza e da eternidade:

o texto formalizado serà dominivel, certo, tranquilizador e rigoroso. A formalizaçà se apresenta sempre como elaboraçã remanejamento de um discurso espontâneo natural, ingênuo centrado na intuiçà da presenç do objeto. (...) Uma 'palavra', segundo a expressã de Bourbaki, 6 um signo no texto inicial, isto 6, totalidade de um significante e de um significado. O que 6 signo para o matemitico na sua prátic primeira toma-se forma vazia na formalizaçà do seu texto. (.

.

.) O ponto capital em tudo isso 6 que a forma nã suprime o sentido, ela nã faz senã empobrecê-lo afastá-lo conservi-10 ?sua disposiçã i Crê-s que o sentido vai morrer, mas 6 uma morte em morat6ria: o sentido perde o seu valor, mas guarda a vida, da qual a forma do mito vai nutrir-se. (. . .) A Matemitica toma-se m'tica quando procura fundar-se pela exclusã do sentido (Lavalle, 1977, pp. 193-202).

Uma visada panorâmic na bibliografia disponÃ-ve nos levarà a concluir que a prova rigorosa à tomada como elemento formador do discurso matemático manifes- tado em salas de aula

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mais claramente aquelas do terceiro grau2

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pela chamada metodologia tradicional vigente, alimentando-a e sendo por ela alimentado.

Por uma arqueologia da prova:

A

transformaçÃ

da Matemátic em ciênci hipotético-dedutiv

fi

importante, aqui, ressaltar a quase inexistênci de estudos histórico sobre o desenvolvimento da noçà de prova rigorosa. Seu surgimento, como nos contam os textos disponÃ-veis à claro. Lugar e tempo sã delimitados. Nomes sã citados: Euclides, sécul

Hl

a.C., Grécia Surpreende a "ausênci de gestaçã de laboriosas tentativas, de um parto doloroso. O 'canon' vem Zi luz sob sua forma ideal." Temos vário trabalhos sobre a históri do rigor, o desenvolvimento das açõ que transfor- mam a prova no que por prova hoje entendemos. As justificaçõ para a ausênci de material sobre a históri da prova sã várias Entre as mais frequentes estão (a) o modo relativamente natural com que a prova rigorosa

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e sua necessidade

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ingressa no discurso matemático nã oferecendo problemas a priori, sendo carre- gada adiante por uma tradiçà abalizadora; (b) uma certa "repugnânci pela noçà de 'história no interior das ciências (Cazenave referido em Monchicourt, 1987, p. 31); (c) as dificuldades inerentes i s pesquisas de caráte histdrico quase arqueoló gico; e, finalmente, (d) o argumento de que, no caso do rigor, nã hà uma históri de mudanças mas de adaptaçõ ao que ditam as leis da Lógica3 No que temos de disponÃ-vel intentamos traçar a seguir, alguns aspectos sobre o surgimento d a p r ~ v a . ~

Duas teses existem. Ambas sã tratadas por Arsac (1987), que as interconecta, gerando, por exclusõe e complementaçõe uma terceira. A tese clássic sobre O

surgirnento da prova rigorosa à chamada de externalista por nã envolver diretarnen- te a comunidade matemática ou, ao menos, por nã ser engendrada no seio dessa comunidade, dependendo de parâmetro externos, a saber, a sociedade grega como um todo. Tal tese à dada na afirmaçà de que "a transformaçà da Matemátic em ciênci hipotético-dedutiv serà a 'aplicaçã das regras do debate argumentativo que governava a vida polÃ-tic na cidade grega" (Arsac, 1987, p. 271) e encontra referencial teóric bastante atual e claro. Enquanto a constituiçà do povo grego radica-se num passado muito distante, passando pela cultura das CÃ-clades pelas civilizaçõ minóic e micênica fermento da criatividade artÃ-stic dos Dórios Eólio e Jônio dos anos geométrico (século XI a VIU a. C.), à certo que a constituiçà das cidades gregas ocorre, entre os século VIII e VI1 a. C., atravé da percepçà da possibilidade de uma concepçà mais realista do soberano

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os atà entã "comedores de presentes" -, onde palavra falada e escrita desempenham papéi essenciais:

O aparecimento da P6lis constitui, na históri do pensamento grego, um acontecimento

decisivo. (.

.

.) Seu advento (.

.

.) marca um comqo, uma verdadeira invençã (.

.

.) O que implica o sistema do P6lis C? primeiramente uma extraordin6ria proeminênci da palavra sobre todos os outros instrumentos de poder. (.. .) A palavra nã k mais o termo ritual, a f6rmula justa, mas o debate contradit6ri0, a discussão a argumentaçã (.

.

.) Todas as questõe de interesse geral que o soberano tinha por funçà regularizar (.

.

.) sã agora submetidas h arte orat6ria e deverã resolver-se na conclusã de um debate; C? preciso, pois, que possam ser formuladas em discursos, amoldadas hs demonstraçõ antitética e i s argumentaçõ opostas. (...) Uma segunda caracterÃ-stic da P6lis 6 o cunho de plena publicidade dada as manifestaçõ mais importantes da vida social. (. . .) A P6lis existe apenas na medida em que se distinguiu um domÃ-ni público (. ..) um setor de interesse comum, opondo-se aos assuntos privados; prática abertas, estabelecidas em pleno dia, opondo-se aprocessos secretos. (.

.

.) Tomadados fenÃ-cio e modificada por uma transcriçà mais precisa dos sons gregos, a escrita poder6 satisfazer essa funçà de publicidade [por nã se tratar] mais de um saber especializado, reservado a escribas, mas de uma tkcnica de amplo uso, livremente difundida no públic (Vemant, 1989, pp. 34-36).

Ressaltemos que a transformaçà da Matemátic em ciênci hipotético-dedutiva segundo a tese externalista, dá-s num embate entre o públic e o privado, na criaçà das cidades gregas, dentro delas e mesmo entre elas, jà que em Esparta, entre os lacedemônios a palavra nã era assim concebida: "no lugar de Peithó a forç da persuasão [estes] celebrarão como instrumento da lei, o poder de Phobos, esse temor que curva todos os cidadão

i

obediência (Vemant, 1989, p. 47). A trajetóri posterior da prova, a históri do seu rigor, nos indicará novamente, esse embate entre o públic e o privado, entre a comunidade escolar e amatemática ummisto de Peithà e Phobos, com limitantes severos, restritos

i

avaliaçà de uma comunidade que legaliza os processos de argumentaçà em Matemática Disso trataremos adiante.

Por um outro lado, intervé a tese internalista, considerando como geradora a questão que problema tomou indispensáve a introduçà da demonstraçà em Matemática Partindo de uma tal questão considera Arsac que o surgirnento da demonstraçà à contemporâne ao problema da irracionalidade. Segundo Boyer, à possÃ-ve que a descoberta do problema da incomensurabilidade/irracionalidade tenha sido feita por pitagórico em algum momento no sécul V, sendo que "alguns atribuem especificamente a Hipasus de Metapontum durante a primeira parte do últim quarto do quinto sécul a. C., enquanto outros a colocam meio sécul mais tarde" (Boyer, 1974, pp. 53-54). Em relaçà a esta segunda tese, duas faces devem ser consideradas: o problema serà analisado por Arsac num quadro aritmétic e num quadro geométrico No primeiro, constata-se que o númer 2 nã admite raiz quadrada racional enquanto que o quadro geométric constata a impossibilidade da diagonal de um quadrado admitir partiçà comum com seu lado. A partir disso, algumas consideraçõ sã feitas. Arsac à minucioso. Disso, afirma ser absoluta-

mente impossÃ-ve constatar a incomensurabilidade únic e exclusivamente a partir do traçad gráfico

Pela figura, acredita, concluir-se-ia pela possibilidade da partiçà comum. Por outro lado, as provas da irracionalidade no domÃ-ni aritmétic implicam o uso do raciocÃ-ni por absurdo. Como nã se pode, em nenhum momento, precisar o grau de abstraçà e a necessári axiomatizaçà do conceito de númer utilizado, emprega- se o termo "prova" e nã "demonstração seguindo as especificaç'e de Balacheff (1 987), expostas anteriormente.

Baseado no exposto acima e tendo partido de uma també quase inexistênci de trabalhos sobre as influência recÃ-proca entre a Matemátic e a sociedade grega, Arsac opta por uma interconexã entre as duas teses, numa sÃ-ntes enunciada em dupla proposiçã na forma de negativas:

sem o problema da irracionalidade, a transformaçà da Matemhtica [em ciênci hipot6tico- dedutiva] nã seria produzida, mesmo dentro da sociedade grega;

num outro contexto de sociedade, mesmo se confrontados com o mesmo problema, a MatemLtica nã seria transformada como o foi possÃ-ve ser na Gréci (1987, p. 298).

També auxilia a compreender o surgimento da prova rigorosa no discurso matemhtico e suas intrincadas correlaçõ com a filosofia e a polÃ-tic o trabalho de Miguel(1995). Seu foco primeiro nã à a prova, mas a procura da constituiçà do paradigma que sustenta o Formalismo Pedagógic Clássic em Educaçà Matemá tica, esse "estilo de prátic educativa em Matemátic que extermina, consciente ou inconscientemente, o significado e o sentido do conhecimento que busca transmitir, gerando nos estudantes a sensaçà de que o únic sentido de um ato està noprópri ato " (Miguel, 1995, p. 8). Tal paradigma mostra-se plasmado num "formalismo

filosófico" que, na Filosofia da Matemática significa a opçà pelo "ideal da sistematizaçà dedutiva da Matemátic e [por] uma certa atitude em relaçà h

natureza do conhecimento matemático (p. 8). Para isso, o autor vai buscar as raizes da concepçà "clássica de Matemática para o que acredita necessári "estabelecer um laç de continuidade polÃ-tico-epistemológic por um lado entre a leitura platônic e a cosmologia pitagóric e, por outro lado, entre a leitura platônic e o empreendimento euclidiano" (p. 11). Para estabelecer tal "laço" Miguel parte das teses levantadas por Szabó em artigo de 1960. As conclusõe de Szabà sã que as explicaçõ disponÃ-vei "permanecem na esfera de generalidades abstratas, isto é

carecem de concretude (.

.

.) e [nã podem] ser confirmadas por dados históricos (p. 16). Parte, assim, para a investigaçà do desenvolvimento históric da demonstraçà matemática do conceito de evidênci e a origem dos "princÃ-pios na Matemátic

grega. Disso, nos interessa a primeira etapa dessa trajet-ria de Szabó sintetizada por Miguel:

o raciocÃ-ni de Szab- 6 o seguinte: Euclidesutiliza-se daL6gicaestrita naconstruçà de suas demonstraçõ porque em sua 6poca a validade de um teorema era mostrada por meio da L6gica. Aquilo que ele queria dizer por 'demonstratio' ('desenvolvimento') era expresso em grego pelo verbo

. õ~ncvu

Conseqüentemente esse verbo em Euclides 6 o termo técnic - - .

para 'desenvolvimento 16gico'.

MA

como os gregos interpretavam a 'demonstratio' antes dessa kpoca? Por meio de vário argumentos, Szab- conclui que a t6cnica de demonstracã

_-

na Matemitica grega antiga era a simples visualizaçü Diz que os antigos pitag6ricos consideravam a Geometria como wropiq, isto 6, como uma ciênci inseparáve da visü e que, por volta da 6poca de Platão os gregos ainda tinham consciênci do antigo significado do verbo, deiknu, isto 6, 'concretamente visÃ-vel' Disso decorre imediatamente que a passagem da concepçà primitiva para a concepçà euclidiana da 'demonstratio' deve ter sido provocada por uma tendênci anti-ilustrativa e anti-empÃ-ric da ciênci grega. Onde buscar as razõe para o surgimento dessa tendênci e da sua ligaçà com o desenvolvimento daciênciadedutiv grega?Medianteverificaç' da surpreendentefreqüênciadademonstrq indireta nas provas do Livro Vii dos Elementos de Euclides (.

.

.) Szab- levanta a conjetura deque foi devido ao uso dademonstraçà indiretaque a Matemitica se transformou em uma ciênciadedutiva sistemática (.

.

.) EstaÚlti~conjeturapermiteaSzab explicar aconexã orgânic existente entre forma indireta de demonstraçà e tendênci anti-empÃ-ric e anti- ilustrativa. Isso porque, na Filosofia eleitica, esses dois fenômeno eram inseparhveis, uma vez que os fil6sofos eleiticos usavam o m6todo da demonstraçà indiretapara provar apenas aqueles teoremas que flagrantemente feriam a experiênci do senso-comum (Miguel, 1995, pp. 17-18).

Segundo Otte (1990, 1993 e 1994), envolvidas com a constituiçà da prova formal como revisitaçà da postura grega, estã a Revoluçà Industrial e suas consequências como a divisã do trabalho e os processos de individualizaçã Com efeito, "a maior revoluçà econômica antes da Revoluçà Industrial, foi a intensi- ficaçà na produtividade da agricultura atravé do controle hidráulico algum tempo antes do final do quarto milêni a.C., que transformou o insalubre pântano-jâng no berç das civilizaçõ surnério-acadian e egÃ-pcia (Toynbee, 1987). Jà que uma revoluçà do porte da Industrial nã surge sem uma bem determinada trajetóri que a faz emergir num dado momento, partindo do controle hidráulic da Antiguidade e passando, por exemplo, pela invençà da imprensa, chegamos aos teares ingleses dos século XVI e XVII. A imprensa escrita representa um momento chave em nossas especulaç'es

Essa tecnologia [da imprensa escrita] tomou a comunicaçà e o conhecimento relativamente autônomo de agentes e deu-lhes uma qualidade genuinamente social. A viagem para Florenç permitiu a Galileu relacionar o mundo da pesquisa

cientÃ-fic com o da tecnologia, relaçà estaque deve ser entendidacomo tendo sido estabelecida mais pelas prensas venezianas do que pelo contato pessoal. (. . .) O que diferencia a utilizacã de artefatos mecânico pelos antigos de sua versã na P6s- Renascenç 6 a ênfas no processo secreto e noconhecimento secreto. A mecânic dos antigos, nesse sentido, assemelhava-se alquimia. (...)No momento hist6rico em que a prensa permitiu que o conhecimento fosse transformado em objeto de mercado, esse conhecimento ganhou muito em sua ~ i g ~ c à ¢ n c i a (.

.

.) Em termos hist6ricos, o fato b6sico relacionado ao papel da imprensa foi que ela mudou fundamentalmente a relaçà entre as pessoas e o conhecimento e, da', o conceito de conhecimento na sociedade. (...) Assim, dinamizou-se o crescimento do conhecimento, de modo que, no sécul XVI, podia-se falar de uma explosã de conhecimentos (. . .) o que continua presente em nossos dias e I? a mais importante

raiz da Era Mecanicista na qual operamos (Otte, 1993a, p. 282).

Se da produçà de conhecimentos foi desvinculado seu ingrediente secreto, pois permitia a imprensa a divulgaçà cada vez mais ági dessa produçã vinculou-se a ela a individualizaçâ "para nós nos dias de hoje, o tema central dos matemhticos do perÃ-od romântic pode soar como nã romântic e atà como repelente. Os novos matemático devotaram-se ao rigor (.. .). O que a nova geraçà de matemfiticos descobriu foi o matemático do mesmo modo que os romântico haviam descoberto que na poesia havia o poeta e na músic havia o músico (Wiener, referido em Otte, 1990, p. 60). Sendo assim, a individualizaçà que caracteriza apesquisa exige, para uma divulgaçà de resultados, método mecânico como os que sã efetivados numa prova rigorosa de concepçà contemporânea pois "parece ser um exercÃ-ci em lógic e a lógic nada tem a dizer sobre algo que nã seja uma proposiçã (.

.

.) A prova transformou-se num exercÃ-ci de arranjar corretamente certas proposiçõe sendo uma atividade da lógic proposicional" (Otte, 1994, p. 299). Arigorosa prova matemátic mecanizou-se.

O publico e o privado:

um

espaç

de

conflitos

Sobre a questã do conflito entre o públic e o privado na constituiçà da noçà de prova rigorosa e, por conseguinte, no estabelecimento de

um

dos marcos mais fundamentais e caros ao modo de produçà em Matemática hà mais pontos a explorar.

Segundo Davis e Tymoczko (referidos em Hanna, 1989, p. 21), "as filosofias tradicionais do Logicismo, Formalismo e Intuicionismo5 sã 'teorias privadas' que descrevem uma Matemátic ideal. Mas, sendo uma atividade social, a Matemátic necessita de uma 'teoria pública'" Alé disso, a quase totalidade do material disponÃ-ve sobre o tema apresenta, decorrente de uma reconstruçà da históri do rigor nas provas, a afirmaçã sempre bem argumentada, de que as provas, como

concebidas no seio de uma dominante matemátic platônica sã uma espéci de ficeo. O programa de rigor sistematizado por Euclides, dizem, nã é nem nunca foi, seguido rigidamente na produçà em Matemática passos, axiomas, regras de infesncia, entre outros elementos substanciais ao processo de prova nem sempre sã explicitados, donde a aceitaçà de um resultado, entre os que produzem Matemática ser mais um processo social de negociaçà de significados dentro do grupo de especialistas ao qual o resultado em questã se relaciona, do que o mero seguir cego das regras impostas pela proposta formal. De acordo com Maslow (referido em Hanna, 1989, p. 22), "compreensão sigmficânci e argumentaçà convincente sã 'motivadores positivos' para a aceitaçà [da prova]: sã esses fatores que retê a atençà do matemátic praticante para um novo teorema e o move 2 aceitaçà ativa. (.

.

.) Por outro lado, a validade estrutural do argumento matemátic para um novo teorema, isto é a validade atual ou potencial de sua forma como distinta de seu conteúdo é meramente, um 'fator higienizante', reconhecido como essencial mas tido como garantido."

Assim, a posiçà da veracidade acima de qualquer suspeita dada pela prova rigorosa vem sendo desafiada. Os próprio matemático admitem que uma prova completa seria demasiadamente enfadonha e sem sentido para, por exemplo, sua divulgaçã Mais ainda, sugerem a existênci de diferentes graus de validade formal em suas provas, obtendo o mesmo grau de aceitaçã Alé disso, os matemático concordam "que quando uma prova à válid somente por sua forma, sem considerar seu conteúdo acrescenta-se muito pouco

i

compreensã de seu objeto e, ironica- mente, pode nã ser muito convincente" (Hanna, 1989, p. 20). Tais afirmaçõ podem ser atribuÃ-da tanto a Hanna (1989, 1993), de onde vem a citaçã quanto a Davis e Hersh (1985), Davis (1972), Kitcher, Tyrnoczko, Manin e Maslow (referido em Hanna, 1989), entre outros. Existe nisso uma certa confusã entre a concepçà de prova e a funçà que ela desempenha ou deveria desempenhar. Essa confusã foi abordada com mais profundidade por Otte (1992), ao tratar das conexõe entre a prova, a Matemátic Aplicada e a Matemátic Pura, afirmando que ela se deve a diferentes noçõ de prova consideradas (meros cálculos processo algorÃ-tmic das provas computacionais e concepçà formal). Ainda assim, concordamos que os conceitos de prova vigentes na prátic podem ser amalgamados num sà conceito, aquele plasmado numa visã platônic de Matemática

O sécul XX ainda nã delineou o que, de modo genérico chamamos de Matemitica Platônica Alguns de seus princÃ-pio sã os que seguem:

a crenç na existênci de certas entidades matemiticas ideais (. . .) ; a crenç em certos modos de deduçã

a crenç de que se uma afirmaçà matemitica faz sentido, entã pode ser provada como sendo verdadeira ou falsa;

a crenç de que, fundamentalmente, a Matemhtica existe separada dos seres humanos que a fazem. O pi estaria no ceu.

Embora tais crença tenham sido muito questionadas por matemiticos do porte de Kronecker, G ~ d e l , Borel, Brouwer, weyle, mais recentemente, Bishop, ascrenÇaspfatônicascontinu areger o dia-a-diadapriticamatemática (. . .

.

.)Numa séried conferência sobre Matemitica não-platônic um comentári t'pico era: '-Bem apresentado, mas irrelevante. Voltemos ao nosso (platônico quadro negro.' Como a prátic 6 realizada numa comunidade, pode-se dizer que o rei pode estar nu, mas se toda a corte també estiver, tudo bem (Davis, 1972, p. 252).

Sobre tal "atmosfera platônica" segue a afirmaçà de Hanna (1989): O desenvolvimento da Matemitica e os comentário de matemiticos praticantes sugerem que se aceita um novo teorema quando alguma combinaçà dos seguintes fatores està presente:

eles compreendem o teorema, os conceitos nele incorporados, seus antecedentes l6gicos e suas implicaçõ e nada existe que sugira que ele nã seja verdadeiro;

o teorema 6 significativo o suficiente para ter implicaçõ em um ou mais ramos da Matemátic (eentãoeimportante úti o suficiente paragarantirestudoe análisedetalhados)

o teorema 15 consistente com o corpo dos resultados matemhticos aceitos;

o autor tem uma reputaçà impecivel como expert na áre i qual se refere o teorema; existe um argumento matemátic convincente (rigoroso ou não para ele, de um tipo que j i tenha sido encontrado antes. (. ..)

O papel da prova no processo de aceitaçà 6 similar ao seu papel na descoberta. As ideias matemiticas sã descobertas por um ato de criaçà no qual a l6gica formal nã està diretarnente envolvida6. Elas nã sã derivadas ou deduzidas, mas desenvolvidas num processo cuja significânci para o corpo existente da Matemitica e seu futuro potencial sã reconhecidos pela intuiçà informal. Embora a prova seja um pre-requisito essencial para a publicaçã ela nã precisa ser nem rigorosa, nem completa. (.

.

.) Os matemiticos, mesmo os matemiticos ideais, sã hibeis para fazer e conhecer Matemhtica somente por participarem de uma comunidade matemAtica (pp. 21-22).

Investigando as intrincadas ligaçõ existentes na esfera da prátic cientÃ-fica o trabalho de Silva (1993), por exemplo, complementa o de Hanna, esclarecendo como a criaçã aceitaçã homologaçà e divulgaçà dos resultados em Matem5tica se dá no cÃ-rcul pensamento <=> individualidade <=> tutela, onde a certeza matemátic Ã

preservada.

O trabalho com Matemátic 6 um ato de verificaçà interna no sentido em que a verificaçà da validade de uma determinada afirmativa, ou o encadeamento/conexã de elementos das ou para afirmativas, dispensam, emúltimainstânci referência outras, de naturezamaterial

(pessoas, bibliografia, experimentos etc). Ultrapassados os elementos iniciais para o desenrolar da tarefa, a continuidade do trabalho depende do aluno ter adquirido ou nã o esquema de verificaçà na situaçà determinada pela especificidade do trabalho (estudo), passando, 'aluno-orientador-grupo restrito de especialistas' a um nÃ-ve de cumplicidade que se constituir6 como um grupo em si na medida em que exercerem um esforç para impedir o deslize dos significantes matemkticos (Silva, 1993, p. 219).

Os trabalhos atà aqui citados, de forma quase unânime apontam a existênci de critério pr6prios definidos dentro e para a comunidade matemática onde a prova rigorosa tem sido, hà muito, concebida como fundante do conhecimento, metodologia básic da produçà cientÃ-fica definidora, por excelência de um caráte exato, correto, unÃ-voc que caracteriza a Matemática Muito embora tais consideraçõ sejam frequentemente trazidas

i

luz, os autores estudados afirmam que o conheci- mento matemátic tem sido desenvolvido numa atmosfera quase avessa

i

prova, sendo que a validade das proposiçõ feitas, conseqüentemente à meramente probabilÃ-stica Escapa a tais autores, entretanto, a prova hÃ-brid levada 2s salas de aula que sã o medium propÃ-ci para a proliferaç' da cultura do saber institucional regido pelos critério dos grupos de especialistas.

6

atravé de um deslizamento da prátic cientÃ-fic para a prátic pedagógic que a tradiçà se manifesta,'cristaliza-se e, revigorada, assume proporçõ insondávei para os nã familiarizados com a cultura matemátic vigente. Foge das açõ que sã própria da sala de aula a prova rigorosa como a concebida-mas nã realizada-no seio da comunidade cientÃ-fica O que ingressa na sala de aula de Matemátic à uma prova hÃ-brida reconhecidamente uma colagem de propostas formais. Tal hibridismo, entretanto, reforç a existênci e o poder de um formalismo fictÃ-cio o mesmo que determinaria a atividade matemática Nã existindo, de fato, a prova formal, seria necessári estabelecer quais e como sã as provas levadas a essas salas de aula, os porquê de assim serem levadas, possibilitando visõe alternativas para seu tratamento nesse contexto.

Na esteira dessas referências um material de referênci básic em se tratando de questionar o formalismo matemátic -e, conseqüentemente o modo "clássico de açà com as provas rigorosas em salas de aula

-

à a obra de Irnre Lakatos, principalmente seu Proofs and refutations-The logic of mathematical discovery de 1976, organizado por J. Worral e E. Zahar e publicado pela Cambridge University Press. Na traduçà brasileira (Lakatos, 1978), e, a julgar pela introduçã també na versã original, a tese doutoral do autor ocupa o primeiro capÃ-tulo A obra, de inegáve importânci históric para a Filosofia da Matemátic e, conseqüentement para a Educaçà Matemática tem como objetivo explÃ-cito desafiar o formalismo, "escola de filosofia matemátic que tende a identificar a Matem5tica com a sua

abstraçà axiomátic formal e a filosofia da Matemátic como metamatemática (Lakatos, 1978, pp. 13-14), o que Lakatos faz apoiado na conjectura Descartes- Euler sobre poliedros. Os fundantes para as posiçõ assumidas no corpus do texto sã dados por Popper e Polya, sendo que atacar a proposta a partir da trajetóri de construçõ e reconstruçõ de prova da conjectura foi sugerida ao autor pelo própri Polya (Davis e Hersh, 1985). Embora nã pudéssemo deixar de tecer esses comentários a revisitaçà desses fundantes de Lakatos e sua proposta do mktodo das provas e refutaçõe merecem estudo especial e pormenorizado, visto que, mais do que meramente desafiar o formalismo, Lakatos contribui com um conceito realrnen- te inovador de prova "rigorosa" e indica (implicitamente) possÃ-vei modos de açà para a sala de aula. Alé disso, suas afirmaçõ dã luz ?filosofia quasi-empiricista i

da Matemática que tem servido de elemento básic para a constituiçà de uma filosofia própri para a Educaçà Matemática e tem exercido flagrante fascÃ-ni nos educadores matemáticos Há porém crÃ-tica ao trabalho de Lakatos. Como repre- sentante de um ponto de vista crÃ-tico apresentamos as consideraçõ de Gila Hanna8 (1 994):

Em minha opinião temos tendido a glorificar certos aspectos do Provas e refutaçõ e os nossos esforço para modelar tais aspectos na sala de aula de Matemitica podem ser muito artificiais e, em muitos casos, contra-produtivos. Desde a publicasã do Provas erefutaçcjes

de Lakatos, temhavido muitadiscussã entrefil6sofos, matemiticos eeducadores matemático sobre esse novo modo de ver a descoberta matemitica. Mas os serios resultados associados 2 descoberta matemitica, certamente, nã foram, ainda, totalmente estabelecidos. (. ..) Eu tenho receio de nã estarmos sendo tã crÃ-tico como deverÃ-amo sobre o trabalho de Lakatos. E tal trabalho sofre de muitas fraquezas. Por exemplo: o metodo da analise daprova defendido por Lakatos funciona no caso dos poliedros, mas ele 6 realmente aplicivel para toda a Matemitica? Para alguma outra parte da Matemitica? Devemos notar que o metodo da anális da provarepousa sobre um exemplo particular, o estudo dos poliedros, um campo onde 6 relativamente ficil sugerir os contra-exemplos que o mktodo de Lakatos exige. Mas nunca nos aventurarÃ-amo a generalizar tendo por base um únic exemplo! Nã h6 garantia de que o metodo seja igualmente váiid para outras partes da Matemitica. Muito pelo contrário nã 6 difÃ-ci acharmos exemplos onde o processo da descoberta matemitica ou aquele de se achar uma prova seria radicalmente diferente daquele descrito no Provas e refutaçõ

.

Por exemplo, o estudo dos poliedros na prova do Teorema de Euler, como descrito em Lakatos, serve para enfatizar o papel crucial que as definiç'e desempenham como pontos de partida no processo de provar. Uma vez que definiçõ adequadas sejam formuladas, o teorema 6 demonstrado para todos os casospossÃ-vei e nã h i mais discussão Os materniticos, porem, quando trabalhara no campo das definiç'e adequadas, ou com uma "base conceituai", para usar o termo de Bourbaki, o processo da prova nã segue aquele descrito por Lakatos,

A prova e o currÃ-culo

de suas funçõ

na pratica pedagógic

Os autores consultados concordam: uma prova deve explicar, convencer, permitir o reconhecimento do fazer em Matemática enriquecer nossa intuiçã conquistar e permitir que sejam conquistados novos objetos e, final e sinteticamente, ampliar os horizontes de compreensã dos conceitos e prática matemáticos Concordam també que as provas apresentadas nos textos didático desempenham um papel pobre na comunicaçà das idéia matemáticas herdando as lacunas apresentadas na produçà cientÃ-fic ("A outra parte à análog e deixamos para você" "6 fáci mostrar", "vocà pode verificar isso", "sendo um cálcul simples ..."), reduzindo-se a meros cálculo mecânicos tanto quanto as provas apresentadas em sala de aula.

A proposta mais claramente exposta sobre a necessidade de inclusã da prova rigorosa nos curr'culos escolares, em todos os nÃ-vei -mas com ênfas para o lQ e 2 graus, daà a novidade -, à a dos reformadores de curr'culos dos anos 50 e 60, o que ficou conhecido como o projeto "Matemátic Moderna". Harma (1983) estuda os reflexos e limitaçõ dessas tentativas de modernizaçà curricular plasmadas no uso das provas rigorosas, concluindo positivamente pela presenç das provas nos currÃ-culos mas nã como uma metodologia universal imposta, e sim como uma das maneiras de se estudar a validade de um conceito. No Brasil, por exemplo, a Matemátic Moderna tamEm teve seus efeitos perversos sentidos atà hoje -

mesmo decretada a falênci de tal proposta

-

principalmente nas abordagens de textos didático ainda disponÃ-vei e veiculados com insistênci nas escolas de ensinos básic e médi (Irnenes, 1989). Tratamos aqui, portanto, dos perigos da formalizaçà prematura e do mecanicismo que acompanhou a implementaçà da visã "bourbakista" nas salas de aula. Hanna afirma ainda que, se partirmos da proposta dos reformadores, ou seja, aprova rigorosa como recurso usado para refletir o atual estági de desenvolvimento da Matemática essa sua funçà deveria ser melhor examinada sob dois aspectos: por um lado, nã hà nem mesmo consenso sobre o que à a prova rigorosa

-

consenso este que unificaria, de certo modo, as açõ -; e, por outro lado, hà o atual desprezo quanto ao "rigor", o qual tem sido a tônic de vária atitudes em relaçà h prova, que deve convencer, mesmo que para

isso esse rigor tenha de ser relativizado. Caracteriza-se, assim, a prova rigorosa como algo que nã reflete a prátic matemátic corrente, sendo, pois, secundári para o fazer na Matemátic atual, negando a proposiçà primeira dos reformadores de currÃ-culo

Rigor ou rigores: uma revisitaçÃ

aos conceitos de rigor

e

intuiçÃ

Se temos considerado a existênci de uma históri do rigor, de concepçõ de rigor que mudam, ora com o tempo, ora ao gosto da comunidade de juizes qualificados, da importânci 2s vezes fictÃ-ci desse rigor, toma-se necessári uma incursã nesse domÃ-nio Propomos aqui, então um pequeno desvio na sequênci que vÃ-nhamo tomando para esclarecer mais apropriadamente o conceito de rigor, o que nos leva a questionar, também nesse contexto, o papel da intuiçã Em relaçà ao tema rigor fogem dos autores alguns aspectos de capital importânci para a discussão sobre qual concepçà de rigor estarnos falando? Existe uma concepçà transitóri de rigor? Bicudo (1993), partindo de um estudo etimológic do termo e estabelecendo como pontos de referênci as questõe da linguagem natural, afirma:

Na Matemktica, igualmente [com relaçà L linguagem comum], o rigor tem (.

.

.) dupla funçã sintática semântica (.

.

.) Como no âmbit dequalquerlinguagem, (.

.

.) ser rigoroso em Matemhtica significa proceder de acordo com as regras de sua gram&tica, a L ~ G I C A . (.

.

.) O que queremos afirmar com tais consideraçõe 6 que NÃ houve, ao longo dos tempos, umamodificaçà do conceito derigoremMatemhtica, o que significa sempre seguir inflexivelmente os cânone da L6gica (.

.

.). O que tem mudado, como nã poderia deixar de ser, 6 esse sistema gramatical da Matemhtica (p. 61).

Essa atençà mais detalhada ao termo rigor, embora escape a maioria dos autores estudados, em nada prejudica as afirmativas jà feitas, ao contrário reforç a existênci de um cânon rÃ-gid ditado pela L-gica, cujas limitaçõ prática tomam inviáve o que se defende como prova "rigorosa". Tã importante quanto aelucidaçà do conceito de rigor, a continuidade do artigo de Bicudo trata de estabelecer o vÃ-ncul existente, segundo ele, entre rigor e intuição

a intuiçà 6 construidano tratamento cotidiano das questõe e (.

.

.) a 'segurança daintuiçã baseadana familiaridadedasquest'es tratadas, seesboroade encontro a situaçõ novas, que ultrapassem os limites daquelas que a ajudaram a se construir. A', então o rigor 6

fundamental para liberar tais situaç'e de tudo o que seja essencial e, desse modo, preparar o terceiro terreno em que vicejarà a nova intuiçã E por essa tensã dial6tica entre intuiçà e rigor que se sobe na espiral do conhecimento matektico. Mesmo que nã percebamos, a intuiçà està impregnada do rigor que colaborou na possibilidade de sua criaçã E o equilÃ-bri das tendência de diferenciaçà (intuiçã e unificaçà (rigor). Nã h& avanç de uma sem a outra (p. 64).

Desse modo, Bicudo considera o rigor de uma prova formal como "retendo", em

si, os "momentos" intuitivos que permitiram sua manifestaçã Nesse rigor - que perdura -e na prova rigorosa

-

seu veÃ-cul -, temos os constitutivos essenciais da metodologia da Matemátic "formal". O aparecimento, aqui, de questõe do domÃ-ni da intuiçà foi o que nos fez perceber a despreocupaçà dos autores estudados com relaçà aos processos de matematizaçà não-formais exatamente aqueles aos quais a literatura atualem Educaçà Matemática-principalment a que sugere abordagens alternativas no tratamento do conteúd matemátic em sala de aula

-

vem consagrando espaç considerável categorizando-os no que chamamos "as tendência da Educaçà Matemática" do que sã exemplos a Etnomatemática a Resoluçà de Problemas, a Modelagem e a Modelaçà Matemática etclO. Ora, tratando aprova rigorosa como elemento essencial do fazer matemático campo férti para a construçà desse conhecimento, ficam descaracterizadas como sendo "Mate- mática" as intuiçõ primeiras e compreens'es pré-predicativa que, como as matemática "culturais" de certos grupos sociais, as etnomatemáticas podem ser posteriormente formalizadas vindo a integrar o mundo acadêmic com comprovadas possibilidades de reversã no quadro de negatividades que caracteriza a Matemátic formal na sala de aula. Tal despreocupaçà é tã somente, a constataçà de que os autores consideram como "Matemática a "matemátic acadêmica" pois, aparente- mente, tanto as "outras" matemática prescindiriam de uma tal noçà de prova rigorosa quanto a própri Matemátic dispensaria, aposteriori, as intuiçõ prirnei- ras conforme os próprio autores concordam na esteira de Hadarnard (1947).

De uma possÃ-ve

organizaçÃ

para a continuidade da trajectóri

Um levantamento b i b l i ~ g r ~ c o mais pontual sobre a prova rigorosa, apresentado de forma sistemática à do que nos ocupamos na sequênci desse trabalho. Junto aos demais artigos jà utilizados atà aqui, essa listagem encerra como um ciclo de referências pois foram "varridas" quase todas as indicaçõ bibliográfica de todos os artigos estudados. As sÃ-ntese que expomos podem nos auxiliar a construir uma visã panorâmic do que vem sendo dito sobre a prova rigorosa, oferecendo, por vezes, indicativos pertinentes para o tratamento desse aspecto da Matemátic nas salas de aula. Esse panorama tenta classificar as refe6ncias disponÃ-vei para um futuro leitor voltado ao mesmo tema, e por ser esta uma pretensã desse nosso artigo, oferecemos, ao final, uma listagem b i b l i ~ g ~ c a na qual figuram outros textos alé dos que serã aqui efetivamente analisados. Para uma organizaçà da sequênci de apresentaçà desses estudos optamos por categorizar os trabalhos em grandes regiõe temáticas embora haja uma nÃ-tid interconexã entre elas, alé de haver

trabalhos "intercambiáveis" pois que poderiam pertencer a duas ou mais "regiões"

A

sala de aula como objetivo de propostas e fonte de pesquisas

Leron (1983) apresenta em seu artigo o que chama de um métod alternativo para a veiculaçà da prova rigorosa em sala de aula, o métod estrutural. Posto em contraposiçà ao que chama de "métod linear" de apresentaçà de provas em textos didáticos o métod de Leron inicia-se com uma visã panorâmic do resultado a ser provado e dos elementos que contribuirã para a constituiçà de sua prova. Apartir daà sã estabelecidos vário nÃ-veis dos quais o primeiro (inicial) deve ser, normal- mente, bastante curto e livre de tecnicismos. Por outro lado, o nÃ-ve final "à bastante detalhado, assemelhando-se nisso 2s provas lineares padrão" Dentre esses dois nÃ-veis sã construidos outros tantos quanto necessário para que, pouco a pouco, todas as variávei envolvidas no processo de demonstraçà sejam esclarecidas ou mesmo demonstradas. Assemelha-se, assim, sob nosso ponto de vista, a certas exposiçõ de textos clássico de Matemática onde resultados particulares sã estabelecidos para, a seguir, serem amalgamados ou servirem de apoio a teoremas mais gerais. Sã ainda dados, em seu artigo, exemplos do método onde a resultados demonstrados linearmente em livros didático consagrados segue-se a versã do métod estrutural, enunciados todos os nÃ-vei construidos.

Hanna (1990), discutindo a existênci de tSs diferentes percepçõ de prova- a prova formal, a prova aceitáve e o ensino da prova -, enfatiza a necessidade de serem desenvolvidas provas que nã somente provem, mas que expliquem. Essa mesma discussã à a que aparece emHanna (1989a). Como diferenciar as provas que

provam das provas que explicam? Para isso, o exemplo dado à simples: considera- se a afirmaçà de que a soma dos n primeiros inteiros positivos, S(n), à dada por n(n+l)/2. Aprova por induçà finita à chamada por Hanna de nã explicativa (como em geral, argumenta, sã as provas por indução Aprova desse resultado que, alé de ser uma prova aceita em termos matemático carrega a possibilidade de ampliar a compreensã de outros aspectos à a dada por Gauss, por exemplo, ou a da representaçà geométric dos n primeiros inteiros positivos como triângulo retân gulos isóscele de pontos. O exemplo à bom, a base de discussã à pertinente, mas hà a impossibilidade de serem encontradas provas alternativas (como as apresenta- das para o resultado utilizado pela autora) para qualquer resultado em Matemática Percebendo isso, Hanna diz ser um desafio, para o professor, encontrar provas explicativas para as afirmaçõ matemáticas

Barbeau (1990) apresenta cinco exemplos de proposiçõ matemática com Quadrante, Vol. 5, NQ I, 1996

discussõe que, fugindo do escopo do puramente formal e reforçand a necessidade de uma ênfas no aspecto históric quando da veiculaçà da prova, pretendem estabelecer a possibilidade de iluminar pontos que no tratamento convencional ficam obscuros. O artigo, porém à curto demais para que as idéias apresentadas de uma forma muito geral, possam ser totalmente apreendidas.

Movshovitz-Hadar (1988) apresenta dois teoremas sobre matrizes e número primos para, depois, tecer consideraçõ sobre algumas possibilidades no tratamento com a prova rigorosa. Os modos de apresentaçà que discute vã do formal atà o da apresentaçà de exemplos particulares de uma dada situaçà para posterior genera- lizaçã passando (a) pelo que o autor chama de "uma apresentaçà verbal simbóli ca", que consiste em enfatizar, alé do que o professor escreve, o que o professor fala; (b) por uma apresentaçà "via inquérit indutivo" que consiste em separar a demonstraçà em passos

-

sub-demonstraçõ

-

que no final do processo formarã a prova na Ã-ntegra e (c) por uma apresentaçà "global", semi-formalizada, antes da formalizaçà final. Uma categorizaçà mais global das formas de apresen- taçà de demonstraçõ à entã apresentada: a categoria das apresentaçõ de "estÃ-mul h resposta" em contraposiçà ?i da "descoberta guiada".

Yackel e Cobb (1994) seguem a proposta de retomada ?i ênfas no raciocÃ-ni matemático conforme ditada pelo National Council of Teachers of Mathematics, apoiando a utilizaçà das provas explicativas de Hanna (1989a, 1990). Nesse contexto, sugerem que as provas desenvolvidas em sala de aula devem ter um caráte de interaçà social, o que pode ser basicamente traduzido como sendo o métod de levar os alunos a compartilhar método de soluçã respostas, pensamentos e caminhos por eles encontrados em exposiçõ orais perante a sala, afirmando que "mesmo generalizaçõ não-articulada e injustificadas sã produtivas para o aprendizado".

Bell (I 976) categoriza as explicaçõ de criança sobre as "demonstraçõe dadas a certas proposiçõ matemáticas Este artigo vem complementar um artigo anterior, do mesmo ano, no qual pelo menos duas categorias de explicaçõ puderam ser estabelecidas num trabalho com alunos de mesma faixa etária o "estági 1 (abstra- ção onde certos modelos ou relaçõ podem ser reconhecidos, ampliados ou descritos mas sem uma tentativa de explicá-los justificá-lo ou deduzi-los. (...) e o estági 3 (prova), no qual ou um argumento dedutivo informal - mas aceitáve e completo

-

foi dado, ou o conjunto dos possÃ-vei casos foi totalmente checado de modo empÃ-rico (p. 23). No artigo de 1976, a partir da afirmaçà de que, dados dois número consecutivos e sua soma, um e apenas um dentre esses trê número à um múltipl de três sà se pode constatar que a falha nas argumentaçõ de 48% dos

alunos ou à devida a lacunas anteriores no conhecimento ou & inabilidade para coordenar, ao mesmo tempo, todos os dados do problema.

Chazan (1 993) documenta a prefe&ncia dos alunos por argumentos empÃ-rico -

principalmente o uso de exemplos -, em vez de preferirem os dedutivos quando da apresentaçà dos conteúdo matemáticos Nisso interferem dois conjuntos de crenças o conjunto das afirmaçõ do tipo "Evidênci à prova" (por exemplo, o uso de exemplos claros, desenhos e cálculo computacionais sã suficientes) e o das afirmaçõ do tipo "A prova dedutiva à simplesmente evidência (alguns estudantes vêe as provas dedutivas como provas para um caso único o caso associado, por exemplo, ao diagrama considerado. Nã reconhecem o aspecto genéric desses auxiliares na prova dedutiva).

Radford (1994) aborda o problema da aprendizagem da demonstraçã Partindo da afirmaçà de que o conceito de demonstraçà està intrinsecamente ligado

i

concepçà que se tê dos objetos matemáticos estabelece a necessidade de uma mudanç conceitual, pensando na veiculaçà das demonstraçõ em salas de aula. Amudanç conceitual "requer, em particular, uma transformaçà das representaçõ (especialmente da figura, no caso da Geometria) e da organizaçà e informaçà (que toma a forma de um novo modo de organizaçà lógico-dedutiva) (Radford, 1994, p. 21). Para que seu texto progrida, Radford lanç mã da noçà de demonstraçà pelo "exemplo genérico" extraÃ-d da tipologia de provas proposta por Balacheff: "contrariamente ao que ocorre na demonstraçà por visualizaçà [que à embasada numa concepçà 'ingênua' aquela da crenç num mundo matemátic no qual os objetos sã a sua representaçà e se estruturam em relaçõ que nã mudam de um desenho a outro], no 'exemplo genérico [a construçà gráfic disponÃ-vel Ã

conscientemente tida como representante de uma classe" (p. 25). Disso, alguns exemplos - interessantes, todos, porém do campo da Geometria

-

surgem, como o da formaçà de um mosaico de triângulo para a demonstraçà de proposiçõ bfisicas da Geometria Euclideana. Alé disso, o texto oferece consideraçõ pertinentes sobre concepçõ que sã frequentemente detectadas nos alunos, classi- ficando-as em fenomenológica (onde Fenomenologia à termo tomado em seu "sentido mais simples, de uma referênci aos 'fenômenos observávei pelos sentidos"), dinâmico-intuitiva (onde figuram as demonstraçõ por "exemplo genérico" e abstrato-dedutivas (a categoria das provas dedutivas do "tipo euclideano"). De um modo geral, reforç a validade dos problemas abertos

-

tarnbt5m propostos por Balacheff

-

no trabalho cotidiano com as provas, nos quais a formulaçà da questã nã conté sua resposta; e dà elementos importantes para esclarecer a dinâmic da elaboraçà da prova, o que faz munido da distinçà entre

etapas

-

a heurÃ-stic e a da redaçà do texto da demonstraçã "observamos que, ao mesmo tempo em que o processo heurÃ-stic projeta em linhas gerais a etapa da redaçã esta últim pode solicitar certas informaçõ que farã o aluno retomar e, inclusive, verificar completamente o processo heurÃ-stico (Radford, 1994, p. 30). Certamente, o que importa no trabalho de Radford à mais o desenvolvimento de seu pensamento - o que faz apoiado em inúmera refesncias fundamentais - que propriamente suas conclusões Numa dessas conclusões a f i a - s e que "se o aluno nã desenvolveu as habilidades lógica que podem assegurar o êxit do encadea- mento dedutivo das proposiçõe a heurÃ-stic (que permite propriamente ir ' h caça das proposiçõe se và fortemente debilitada, a ponto de carecer de sentido" (Radford, 1994, p. 30). Nã tendo estabelecido de modo claro quais os fundantes de suapr6pria investigaçã pode-se ver, nessa conclusão o que jh apontamos em outros textos, isto é um reforç da demonstraçà concebida como limitada ao âmbit acadêmico Finalmente, cabe ressaltar que, embora nã seja seu tema principal, Radford tece algumas consideraçõ sobre como trabalha com provas em cursos de formaçà de professores.

Mok (1992) estuda o ensino e a aprendizagem da prova por induçã concluindo que os alunos tê dificuldades de trê tipos: 1) uma inabilidade para usar o 'modus ponens' ; 2) falhas em compreender que P(k) => P(k+l) à uma afirmaçà condicional e 3) nã vêe a necessidade de assegurar a validade de P(1).

Von Asch (1992) discute a questã da prova rigorosa no contexto dos chamados "cursos de serviço" aqueles que, nã sendo cursos especÃ-fico de Matemática a utilizam como ferramenta. Von Asch questiona se a prova rigorosa deve ser tratada ou omitida nos programas de tais cursos. O nÃ-ve de abstraçà exigido pelas provas formais foi considerado e optou-se, para os cursos de serviço por provas chamadas de pré-formais consideradas suficientes.

O trabalho de Cury (1988), analisa os erros de alunos em demonstraçõ de Geometria, partindo do pressuposto de que "os erros cometidos pelos alunos nas demonstraçõ de teoremas estã relacionados com o processo de ensino-aprendi- zagem, em qualquer um dos nÃ-veis com o abandono do ensino de Geometria Dedutiva nos lQ e 2 graus; com o excesso de rigor e formalismo que exigimos nas demonstraçõ desde o inÃ-ci do curso de Matemhtica e com a falta de explicitaçà de uma Filosofia

da

Matemátic que norteie a prátic docente" (Cury, 1988, p. 11). DaÃ- categoriza os erros em oito tipos: (I) erros referentes ao emprego incorreto da linguagem matemhtica, mau uso de sÃ-mbolo e interferênci de significados diver- sos, falta de clareza e precisão (E) os relacionados ao tratamento gráfic do problema, caracterizados pela introduçà de informaçõ erradas; (ni) falha na

conceituaçã (IV) conclusõe inaceitáveis (V) nã utilizaçà de resultados jà conhecidos; (VI) uso da tese como elemento da hipótese (VII) lapsos orais, de leitura ou escrita; e (VDI) erros no uso da linguagem natural: ortografia, pontuaçã concordância nominal e verbal. Destaca que "as demonstraçõ que o professor apresenta vê imbuÃ-da de uma concepçà eclétic de Matemática aparecendo geralmente temperadas com pitadas de Logicismo e Formalismo". (Cury, 1988, p. 20).

Freitas (1993), em trabalho desenvolvido na França investiga a "produçà de provas num campo particular de problemas situado na passagem da Aritmétic para a ÕlgebraV Os objetivos são alé da identificaçà desses tipos de provas -o que Freitas faz baseado na tipologia de provas de Balacheff" -, a verificaçà dos mecanismos de interaçà entre linguagem e "nÃ-vel de prova, avaliando a represen- taçà (concepção que os alunos tê sobre a prova em Matemática Como resultados, a pesquisa indica: 1) o surgimento de duas categorias de provas, entre as utilizadas pelos alunos pesquisados, nã presentes na categorizaçà anteriormente adotada, &s quais chama de "prova por enunciado" e "prova algébrica" Consistem na utilizaçà e sistematizaçà de proposiçõ matemáticas consideradas verdadei- ras, apresentadas em linguagemnatural, no primeiro caso, eemlinguagem algébrica no segundo; 2) a dificuldade de obtençà de provas intelectuais, sobretudo nas provas algébrica e 3) a prova "algébrica corresponde mais & "representaçã de prova matemátic para os alunos: "observou-se que as provas produzidas pelos alunos estã ligadas & representaçà que eles tê de uma prova, mas à sobretudo o domÃ-ni de uma dada linguagem em relaçà a um determinado problema que vai determinar o tipo de produçã De modo geral, as provas algébrica sã mais valorizadas poré menos produzidas" (Freitas, 1994, p. 5).

Um retorno aos aspectos histórico

Siu (1993) estuda os comentário de Liu Hui, matemátic chinê do sécul terceiro, feitos aoJiu Zhang Suan Shu (Nove CapÃ-tulo sobre aArte Matemática um texto matemátic escrito entre 100 a.C. e 100 d.C.. O texto à uma coleçà de 246 problemas matemático sobre vário tópicos arranjados em nove capÃ-tulos Os comentário de Hui, apontados por Siu, podem ser tidos como uma prova explicativa (argurnentativa, discursiva, no sentido de Balacheff (l987), nã no de Hanna (1989a, 1990)). A intençà à mostrar que, caracterizada a prova como uma explicaçà com a funçà de convencer e clarificar, hà uma abundhcia de provas em outros textos antigos alé dos gregos.

Dhombres (1993), també num enfoque de procura a elementos históricos enfatiza a importância quando possÃ-vel de quebrar a tradiçà da prova únic de resultados:

E interessante notar que os geômetra meticulosos que copiam a longa prova euclideana do

livro XII [da Proposiçà 2, que introduz uma das mais poderosas ferramentas da geometria antiga: o metodo da exaustão sã bastante casuais quando tratando com outras figuras similares - eles apenas consideram alguns resultados 6bvios. (.

.

.) de acordo com essa abordagem da uma-única-prova provar o mesmo resultado de dois modos diferentes 6 um pecado mortal. (.

.

.)o que estáenvolvid aqui nã 6 apenas a questã da brevidade ou o desejo de deixar o prolixo de lado. Dar duas (ou mais) provas parece, mesmo indiretamente, implicar na existênci de dois caminhos para o conhecimento matemiitico. Isso contradiz a afirmaçà implÃ-cit de existir apenas um caminho natural, somente a sequênci autorizada dos passos l6gicos que levarã ?conclusã correia (pp. 401-402). i

A partir dessas afirmaçõe o autor usa como exemplo o matemátic belga Gregóri de Saint Vicent, autor de uma únic obra, a Opus Geometricum, publicada em 1647 (quando nem a Geometria de Descartes, nem a Geometria dos IndivisÃ-vei de Cavalieri estavam disponÃ-veis) para mostrar a forç que duas ou mais demons- traçõ de um mesmo resultado podem ter. Gregóri provou que a áre limitada por uma hipérbole uma de suas assÃ-ntota e duas linhas paralelas 2 outra assÃ-ntot pode ser expressa por meio de uma funçà logar'tmica. Em seu trabalho algumas proposiçõ sã enunciadas (as de númer 106 a 110 sã estudadas), assegurando aparentemente os mesmos mecanismos de açà e levando ao mesmo resultado. Os modos de agir (geometricamente) em uma prova, porém equivalem a modos de prova analÃ-tico na outra. A comparaçà entre tais provas permite-nos ir da Geometria Clássic 2 Geometria AnalÃ-tica A transiçã porém nã foi feita por Gregório mas um leitor moderno poderia antecipar a nova perspectiva. Daà a forç em ampliar contextos que as duas provas podem ter.

Hanna e Jahnke (1993), traçand inicialmente um históric da prova matemátic (nã de sua constituiçà na história como fez Arsac (1987), mas elementos de uma históri do rigor), expõe que a prova rigorosa, aliada desde seu inÃ-ci as questõe geométricas nã era amplamente utilizada -nã pelo menos namesma acepçà em que o era na Geometria - em Õlgebr e Análise sendo prátic comum nos século

XVII e XVIIi a não-explicitaç de exceçõ que um resultado poderia exigir. Atà o s6culoXIX (...)era aceito que avalidadeuniversal dos teoremas em Õlgebr e Anális era garantida pelo fato de que todas as operaçõ eram realizadas simbolicamente, com o uso de letras. Vistacomo ummodo de levar adiante uma sequênciad operaçõe aprova poderia

consistir, tamMm, de cálculo feitos sobre um exemplo numkrico desde que nã fossem usadas propriedades especiais dos número que se tinha ?mão iNã era necessário ainda,

explicitar as regras de cálculo (...) A expiicaçà dos domÃ-nio numkricos e regras alg&bricas, dada no inÃ-ci do sécul XIX, tomou-se um processo que partia da Matemátic elementar para a çlgebr e, então passando por Weierstrass e outros, na aritmetizaçà da análise culminou com a noçà do metodo axiom6tico de Hilbert. Esse processo trouxe a adaptaçà da hlgebra e da Anális ao esquema dedutivo de Euciides. Paradoxalmente, a çlgebr tomou-se o modelo da prova rigorosa em Matemátic (pp. 423-425).

Da proposta formalista de exclusã da semânticanademonstraç de proposiçõ matemáticas Hanna e Jahnke extraem dois tipos de sistema matemático um em sentido estrito e outro em sentido amplo. Um sistema matemátic estrito 6 um sistema axiomátic na acepçà de Hilbert, um campo sintaticamente estruturado onde a semântic nã toma parte. A introduçà da semântic nesse sistema (consti- tuindo, assim, o de sentido amplo) se dà com a inclusão nele, de um conjunto, o das aplicaçõ pretendidas

(0,

de onde se forma um par (C f ) , cujo núcle estrutural C

à o sistema no sentido estrito. Aprova formal, ou "puramente dedutiva", pertence ao sistema em sentido estrito, enquanto os autores advogam a importânci de serem concebidas as provas no sistema (CJ), sendo esse o domÃ-ni únic no qual a prova adquiriria significado:

Da definiçà formal de número negativos pode-se provar a equaçà (-l).(-1) = 1, por exemplo, da qual podemos dizer ter uma interpretaçà intuitiva aplicivel em todos os casos. E somente por suas aplicaçõ a cáiculo com número negativos, por exemplo, que tal equaçà adquire significado. (.

.

.) Oconceitopuramentededutivo deprova tratadaderivaçà formal, enquanto que a justificaçà pela aplicaçà refere-se ao fato de que toda justificaçà deve apelar a alguma base, e a base última do ponto de vista do significado, k a aplicaçà (p. 427).

De matemático e máquinas a validade da prova por computador

Pretendemos, aqui, considerar a utilizaçà do computador no domÃ-ni das demonstraçõe focando, especificamente, o debate sobre a validade das provas rigorosas desenvolvidas com o recurso da informática O pano-de-fundo dessa cena à composto de argumentaçõ divergentes. Por umlado, hà os matemático advogan- do pela inaceitabilidade do recurso e, por outro lado, os educadores matemáticos que creditam aos computadores uma possibilidade de ruptura com o reiterado fracasso do ensino e aprendizagem da Matemática Estã em jogo, portanto, mais uma vez,

as concepçõ advindas da prátic cient'fica da Matemátic e as fundadas na preocupaçà com a utilizaçà de recursos alternativos para a sala de aula de Matemática no cÃ-rcul da Educaçà Matemática

Uma maior atençà ao tema da validade das provas desenvolvidas pelos compu- tadores foi dada a partir de 1976, quando a demonstraçà da conjectura das Quatro Cores, feita por Appel e Haken chegou a ganhar as página da revista Times. A publicidade explica-se face ao embaraç que o uso do computador na demonstraçà causou na comunidade de matemáticos A maior fonte de referênci sobre o tema vem dos trabalhos de Davis e Hersh (1 985), Hersh (1 993) e Davis (1 993), acompa- nhadospelos textos de Otte (1992,1993). Entre os autores citados, Davis e Hersh tê sido colaboradores em alguns dos textos mais conhecidos sobre Matemátic e Ensino de Matemática entre especialistas e não-especialistas Mesmo quando estudamos seus trabalhos individuais, vemos uma certa coerênci e complementaridade difÃ-ci de ignorar. E esse o caso quando tratam das provas realizadas via computador.

Num dos artigos aqui em foco, Davis (1993) advoga sobre a importânci dos "teoremas visuais" para a sala de aula. O que sã "teoremas visuais"? Um teorema visual é grosso modo, um output visual ou grkfico de um programa de computaçà que os olhos organizam em um todo coerente e identificável sendo úti para inspirar quest'es matemática de natureza tradicional ou que contribuem para nossa compre- ensã e enriquecimento de algumas situaçõ matemática ou reais. "E a passagem da iteraçà matemátic i figura percebida, tida ou intuÃ-d em toda sua complexidade visual, expl'cita ou não (Davis, 1993, p. 339). Em outros termos, Davis clama por uma retomada

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importânci do olhar num contexto sócio-cultura que à mais visual do que verbal, afmando que deverÃ-amo restituir aos olhos seu posto de órgã legÃ-timo para a descoberta. "No final do sécul XIX a Geometria declarou sua total independênci do espaç como percebido pelos humanos ou como funciona em FÃ-sica" Os livros-textos de Geometria dizem:

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nã confie em seus olhos, mas esquecem de dizer, segundo o autor, queuma representaçà geométric acurada à um suporte bastante úti para o desenvolvimento de uma prova, ao contrári do que indica a prova clássic que estabelece serem isóscele todos os triângulo (conforme Saad, 1991). Assim, acredita que a frase "os olhos mentem" pode ser re-colocada: o que os olhos indicam pode ser interpretado de modo subjetivo e a interpretaçà ocorre como resultado da experiência sendo expressa na linguagem natural ou em açõe Por esse motivo, à ao cérebr - dizem

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que precisamos render homena- gens, pois ele à "o raciocinador por excelência O cérebr à puro, doce, simples e bom. Mas quem tem um cérebr assim?" (Davis, 1993, p. 335). Desse modo, segue

que, independentemente da aprovaçà ou nã da comunidade de matemático praticantes, os teoremas visuais devem ser adotados nos processos de ensino e aprendizagem.

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hora da procura de um equil'brio entre as metodologias da Matemática

O computador aà tem seu papel. O própri autor esclarece, em outros textos, as limitaçõ que a comunidade de juizes impõ para a aceitaçà de um resultado que envolva o uso da máquina Davis (1972) afirma:

A coisa toda [a noçà de prova formal] é. em princÃ-pio perfeitamente mecanizáve sendo trabalho para um escravo ou seu moderno equivalente: o computador. (.

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.) uma prova pode ser comparada com um programa. Os axiomas sã análogo ao input. O teorema, análog ao output, enquanto a prova é o programa. Encontrar uma prova consiste em encontrar um programa. Para verificar uma dada prova precisamos somente fazer o programa correr novamente (p. 256).

Mas a chance de falhas nesse "correr", em termos probabilÃ-sticos nã Ã

infinitesimal. A verificaçà "introduz novas fontes de erro: os erros randômico causados por flutuaçó nas caracterÃ-stica fÃ-sica da máquin e os inevitávei erros humanos no design e produçà de hardware e software. (. ..) Para a maioria da Matemátic nã trivial, a esperanç de uma tal prova formal permanece apenas hipotética [e à rejeitada] porque os detalhes da computaçà da própri máquin permanecem (inevitavelmente) escondidos." O livro de Davis e Hersh (1985) traz mais elementos para a discussão

nã h6 como negar que a aceitaçà do teoremade Haken- Appel envolve umcerto tipo de f612. Mesmo se eu ler e verificar cada linha que eles escreveram, tenho ainda que acreditar que cáiculo de computador efetuam realmente o que se supõ que efetuem. Assim, minha crenç na demonstraçà do teorema das quatro cores depende nã somente da crenç em minha pr6pria habilidade em compreender e verificar raciocÃ-nio matemiticos, mas també de minha crenç de que os computadores funcionam e fazem o que se espera que façam Isso é uma crenç de um tipo totalmente diferente. Nã tenho mais razõe para tal crenç do que para qualquer outra sobre factualidade ou confiabilidade do 'conhecimento comum' - coisas que todos sabem e em que eu acredito por que aceito 'o que todo mundo sabe'. Dessa maneira, o conhecimento matemitico kreduzido ao nÃ-ve do conhecimento comum (p. 427).

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realmente intrigante! As provas formais, jà foi afirmado, têm na produçà cientÃ-fic costumeiramente divulgada, lacunas que as tomam incompletas, sujeitas, por isso, exclusivamente 2 avaliaçà de um grupo determinado de juizes quaiiica- dos. Mais ainda: alé de uma prova formal integral raramente ser feita, se fosse feita, dizem, nã seria verificada. O própri artigo de Davis (1972) afirma

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com o aval