Simulação numérica da camada limite térmica turbulenta

SIMULAÇÃO N U MÉRICA DA CAMADA LIMITE T É RMICA TURBUL EN TA

D I SS ER TA ÇÃ O S U BM ETIDA Ã UNIVER S ID AD E FEDERAL DE SANTA C AT A RI NA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE M ESTRE E M ENGEN H AR IA

D YLTON DO VALE P E RE IR A FILHO

FLORIA N Ö P O L IS DEZEMBRO DE 1984

D YLTON DO VALE P EREIRA FILHO

E ST A DISSERTAÇÃO FOI J UL GA DA A D E Q U A D A PARA OBTEN Ç ÃO DO T ÍTULO DE

MESTRE E M E N GE NH A RI A

ES P ECIALIDADE E NG EN HA RI A M E C Â N I C A E A P R O V A D A E M SUA FORMA FINAL PELO P R OGRAMA DE P Ó S- GRADUAÇÃO

Ao m eu irmão Paulo de Tarso Aos meus pais.

A G R A D E C I M E N T O S

Ao orientador, Prof. H yp pólito do Valle Pereira Filho, pe lo apoio e dedicação dispensados;

Ao D ep artamento de E n g e nh ar ia Mecânica, pelo suporte f i ­ nanceiro ;

Ao Núcleo de P r o c es s am en to de Dados, pela execução dos trabalhos c o m p u t a c i o n a i s ;

 Rita de Cássia Broering Nascimento, pela datilografia;

à Kari A v il a do Vale Pereira, pelo apoio dedicado ao l o n ­ go do p e ríodo de mestrado;

A todos que direta ou indiretamente colaboraram p a r a a realização deste trabalho.

Í N D I C E Pág. S I M B O L O G I A ... viii R ESUMO ... ... ... xii A B S T R A C T ... xiv CAPÍTU LO 1 1. INTRODUÇÃO ... 1 C AP Í TU LO 2 2. F O R M U L AÇ Ã O DO P R OBLEMA ... 9 2.1. P robl em a Proposto ... ... 9 2.2. E q ua çõ e s Gerais ... 10

2.2.1. Equação da Conservação da M assa ... 10

2.2.2. Equação da Conservação da Quantidade de Movimento.. 12

2.2.3. Equaç ão da Energia Cinética Turbulenta ... 15

2.2.4. Equação da Taxa de Dissipação da Energia C i nét ic a Turbule nta ... 18 2.2.5. E qu aç ã o da E ne rg ia ... 20 2.3. S is t em a de Equações ... 22 2.4. Condições de Fechamento ... 24 2.5. M o d e l o M at e m á ti c o p a ra a Viscosidade Turbul e nt a e o C o e f ic i en te de Difusão Térmica T u r b ul e nt a .... 27 2.6. E q ua çõ es p a ra u m Escoamento Bidimensional E l í p t i co ... 31

2.7. Equações Bidimensionais para a Camada Limite T u r b u le nt a ... 33

CAPÍTULO 3 P a S'

3. A L G OR I TM O NUMÉRICO ... 40

3.1. Equações Adimensionais ... 40

3.2. M o d el o Computacional em Diferenças Finitas ... 46

3.3. F l u xo gr am a ... ... 53

C A PÍTULO 4 4. A NÁ L IS E DOS RESULTADOS OBTIDOS ... 55

4.1. Introdução ... 55

4.2. A na li se do Ajuste da Hipótese da V i s c o si da de Turbul e nt a ... 55

4.3. A juste da T ra nsformação do Sistema de Coordenadas ... 58

4.4. Discussão dos Resultados ... 59

4.5. A n al is e dos Perfis Obtidos ... ... 61

4.5.1. Velocidade ... ... 61

4.5.2. T emp eratura ... 70

4.5.3. Ener gi a Cinética Turbulenta ... 79

4.5.4. Taxa de Dissipação ... ... 82

4.6. C om po rt am en to da Viscosidade e do Coeficiente de Difusão T é rmica Turbulentos ... 86

4.7. Análise de Parâmetros Auxiliares ... 90

4.7.1. Coeficiente de Fricção ... 90

4.7.2. Fator de Forma ... 93

4.8. A n ál i s e dos Números Característicos do E s co am e nt o ... 96

4.8.1. Número de Nusselt ... ... 96

4.8.2. Número de Stanton ... ... 100

Pág.

4.9. A n á l i s e dos Balanços nas Equações do Problema .... .105

4.9.1. E q ua çã o da E nergia Cinética T u rb ul en ta ... .106

4.9.2. E q u a ç ã o da Taxa de Dissipação da E n ergia C in é ti ca Turbulenta ... .107

4.9.3. E q u a ç ã o da E n er gi a ...109

4.10. Relação entre T emperatura e V e lo ci d a d e ... .115

C A P ÍT U L O 5 5. C O N C L U S Ã O E SUGESTÕES ... .118 5.1. Concl us ã o ... ... ... .118 5.2. Sugestões ... .120 B I BL I O GR AF IA ... .122 A PÊ N DI C ES A P Ê N D I C E A - ANÃLISE DA O R D E M DE G R ANDEZA ... .127

A PÊ N D IC E B - A NÁLISE DE PRODUTOS DE FLUTUAÇÕES ___ _140 AP Ê ND IC E C - A D I M EN S IO NA LI ZA ÇÃ O DAS E Q UAÇÕES ... 144

AP Ê ND IC E D - DISCRETIZAÇÂO DAS E Q UAÇÕES ... .158

A PÊ N D IC E E - PERFIS DAS VARIÁVEIS NUM PONTO x Q ___ _174 A PÊ N DI CE F - PARÂMETROS A UX IL IA RE S ... .181

S I M B O L O G I A

VARIÁVEIS

u - Velocidade segundo a direção do escoamento

v - Velocidade segundo a direção perpen d ic ul ar ao escoamento

U - V elocidade no escoamento potencial u* - V elocidade de fricção

1/ - Velocidade definida pela equação (C.14) x - Eixo coordenado na direção do escoamento

y - Eixo coordenado p e rp e nd i c u la r a direção do escoamento Ç - Forma adimensional do sistema coordenado

n - Forma adimensional do sistema coordenado T - Tempe r at ur a no escoamento

e - Forma adimensional da t emperatura

q - E n er g i a cinética turbulenta

V - Taxa de dissipação da energia cinética turbulenta p - Pressão

(f) - Forma adimensional da pressão

b - Força de campo na equação (2.7)

PROPRIEDADES ** 3 p - M a ss a específica (kg/m ) y - Viscosidade absoluta (kg/ms) ? v - Viscos i da de cinematica (m /s) h - E nt al pi a do fluido na equação (2.46) (kJ/kg) Cp - Calor específico a pressão constante (kJ/kg K)

em - V is co si da de turbulenta no escoamento (m /s)

— - 2

eh - Coeficiente de difusão térmica turbulenta (m /s)

GRUPOS A DI ME N SI O N A IS 2 Nu - Número de Nusselt P£ - Número de Péclet PJL - Número de Prandtl Re - Número de Reynolds S t - Número de Stanton CONSTA N TE S 6^ - Constante da E quação (2.61) Cj - Constante da E q ua çã o (2.64) - Constante da E q uação (2.65) - Constante da E q ua çã o (2.66) A ’ - Constante da E q uação (2.79) a - Constante da E q ua çã o (2.81) b ' - Constante da E q uação (2.81)

A, B , C , V - Constantes das Equações (3.34) a (3.38) obtidas do Apênd i ce D, relac i on an do valores conhecidos com o perfil a ser calculado

O U TR OS SlMBOLOS

6 - E sp es su ra da camada limite

F - Relação d e fi n id a na equação (3.13) P - Relação d ef inida na equação (3.14)

h - Coefic i en t e de convecção

H - Fator de forma

q^. - Fluxo de calor na parede

q ^ - Forma adimen s io na l do fluxo de calor na p arede a - Difusi b il id a de térmica do fluido

Lj - E s c al a referencial de grandeza na direção do escoamento

L2 ~ E sc a la referencial de grandeza na direção p e r pe n d i cu l a r ao escoamento

& - Função genér i c a do problema

G , g - Relações entre as constantes A, B, C e V , que p ermite o b ­ ter o p e rfil de u m a variável no ponto subseqüente, confor me a equação (3.39)

BK - Coeficiente de crescimento do incremento em n

n - Coeficiente de ç, conforme equação (3.7)

WP - Número de pontos necessários p ar a p er co rr er a e sp es su ra da camada limite

A ( ) - Incremento de uma variável

0( ) - Ordem de g r andeza de uma variável ou u m termo 6* - E sp es su ra de deslocamento

0 j - E s p es s ur a de quantidade de movimento

6 - ■ - Delta de Kronecker

e.- - Taxa de deformação do fluido em escoamento t - Tensão cisalhante

X - M i c r o e s c a l a de turbulência

oty - Critério de conve rg ên ci a na velocidade

olj - C r itério de c on vergência na temperatura gq - Fator de fluxo de calor

ÍNDICES

SUPERIORES

--- - V a lo r médio da variável

' - V a lo r da flutuação da variável

. + yu

+ - V ar iavel adimensionalizada em relação a y = —

-v

INFERIORES

í - Eixos coordenados na notação tensorial

( ) , j j b ~ D er iv a da de uma função segundo as direções coordenadas na n o tação tensorial

- Relativo â região externa a camada limite turbulenta - Relativo a parede

- Turbul e nt o

- R ef e rê n c i a inicial

x - Função variável ão longo do escoamento, calculada no p on t o x

°°, ó

P X

R E S U M O

O objetivo deste trabalho é o calculo da Camada Limite Térmica, de u m escoamento i n c o m p r e s s í v e l , turbulento, não i s o t é r ­ mico, sujeito a u m gradiente de p re s sã o variável, usando as e q u a ­ ções da C onservação da Massa, Quantidade de Movimento, da E n e r ­ gia, da E n er g ia Cinética T ur bu l en ta e da Taxa de Dissipação da E- n e r g i a C i né ti ca Turbulenta.

Nestas equações, que são não lineares, o caráter aleatório do escoam e nt o turbulento origina vários termos devido ao produto de flutuações dos parâmetros que o caracterizam. Isto cria a n e ­ cessidade de m o d e l a g e m matemá t ic a para se expressar estes termos e m função das características medias do escoamento, tal que o n ú ­ mero de incógnitas e de equações do sistema seja igual.

Desta forma, para a solução do sistema, é proposto um a l ­ goritmo numérico que permita obter a solução numérica do p r o b l e ­ ma.

0 d e se nvolvimento deste algoritmo numérico, aplicável ao mo d e l o matemático, que representa o p r ob l em a físico proposto, per m i t i r ã a obten çã o do comportamento da Velocidade, Temperatura, E- n e r g i a C in ét i ca T ur bu le nt a e Taxa de Dissipação da Energia C in é t^ ca T u rb u l e n t a na Camada Limite, que r e pr e s en ta m o resultado deste t r a b a l h o .

Estes resultados obtidos a p re se n ta m valores satisfatórios sendo que o erro máximo apresentado não é maior do que 101, em re lação a valores experimentais tidos como padrão. Outros r e s u lt a ­ dos locais derivados dos perfis a n t e r i o r e s , tais como número de

jos erros em relação a valores experimentais, estão numa faixa a- c e i t ã v e l .

A hipótese u t il i za da p a ra a Viscos id ad e Turbulenta, ao ser comparada com a hipótese de Van-Driest, mostrou-se semelhante a ela, tendo como v a n t a g e m a continuidade de seu perfil.

A B S T R A C T

The m ai n objective of this w o r k is the development of a numerical a l g o r i t h m for the c omputation of a turbulent thermal boundary layer.

The a l g o r i th m b a si cally consists in the s o lution of five n o n- li ne ar partial differential equations.

Since those equations form a n on-linear s y stem for which a solution is not a nalytically available, they were linearized, d is c re ti ze d by an appropriate finite difference technique and finally solved by an algebraic numerical method.

The five equations, w h i c h form the main scope of the algorithm are: mass, m o m e n t u m and thermal energy conservation, turbulent k i ne t i c e nergy and rate of d i ssipation of turbulent kinetic energy.

Since in those equations there are many higher order moments * it becomes n ec es s ar y to model several terms. The p r op or t io n al i t y of the gradients to the average quantities of the turbulent m o ti o n has been u se d for the n ec e ss a ry modelling.

Several cases were solved, such as, flow w it h adverse and favorable pressure gradients and with temperature and heat flux especi f ie d at the boundary.

All the results thus far obtained have confirmed that the a l go ri th m here d ev eloped is a powerful tool for numerical analysis of turbulent flows.

C A P Í T U L O

,1

INTRODUÇÃO

O estudo do escoamento de fluidos ê um campo de p e s q u i ­ sa que há muito tempo atrai o interesse dos pesquisadores. Atê o início deste século, os principais trabalhos realizados neste campo eram r el ac io na do s com o escoamento potencial dos fluidos.

Em 1904, Ludwig Prandtl lançou suas idéias sobre as equa ções aplicáveis a uma região do escoamento, fina e p r óx i ma da parede, que sofre grande influência da c ar ac terística viscosa do fluido e das c aracterísticas do escoamento. Para esta região junto a parede, a p ar ti r de uma borda de ataque, ocorre no i n í ­ cio do escoamento uma estrutura laminar onde a caract er ís t ic a v iscosa do fluido tem grande influência.

C om o p r o s s e g u i me n t o do escoamento, p r in c i pi a uma deses- tabilização da e s tr ut ur a laminar inicial, que, p as sa nd o p o r uma fase de transição, atinge, apos p er correr uma d is tância ao l o n ­ go da parede, uma e st rutura turbulenta, onde as características do escoamento tem maior influência sobre o c om portamento de suas variáveis. E st a fase de estrutura turbulenta no escoamento é nos sa região de interesse.

As equações aplicáveis ao escoamento de fluidos são não lineares por isso seu estudo é complexo.

O e s co am e nt o de fluidos com estrutura laminar foi, e con tinua sendo, b a st a nt e estudado e ê possível encont ra re m- se méto dos de solução e xata p a r a vários tipos de tal escoamento.

C om o m el ho r conhecimento da região laminar de um e s c o a ­ mento, a p e s q u i s a foi v o lt ad a para a região turbulenta desta ca mada fina e p r ó x i m a da parede, que passou a ser chamada camada limite na região turbul en ta do escoamento ou somente camada limite tur bulenta. 0 c aráter aleatório do comportamento das variáveis do p ro blema e a não linearidade das equações aplicáveis, tem d i f i ­ cultado a o b te nç ão da solução do p ro blema nesta região.

0 caráter a l ea tório do comportamento das variáveis faz com que estas s e j a m expressas, segundo Hinze (8), em termos estatísticos, isto ê, por um valor médio e uma flutuação que, pela não l i ne a ri da de das equações, implicará em termos de produ tos de flutuações, o que torna mais complexa a solução do p r o ­ blema .

A l é m destes termos adicionais, p o de m se obter equações de produtos de flutuações, tais como a Energia C in ética T u r b u ­ lenta, nome dado ao p ro duto aja' e a Taxa de Dissipação da Ener

•’C A* ~~

gia Cinética, que será a p a rt ir de agora chamada de Taxa de D i£ sipação, nome dado ao produto a' -a' as quais são acopladas âs equações da Conser v aç ã o da Massa e Quantidade de Movimento.

Para os termos obtidos de produtos de flutuações, tais como os p r od ut os de flutuações de velocidade, veloci da de e t e m ­ peratura, v el oc id a d e e energia cinética turbulenta, velocidade e taxa de dissipação, u'-a'.,a-T', a ’.q' e u } V , respectivamente, são usados m od e lo s m at em át ic os que p er mi t am expressá-los em fun ção dos v a lores m édios das variáveis do problema.

Esta m o d e l a g e m se faz n ec es sá ri a para tornar igual o n ú ­ mero de equações e de incógnitas no sistema usado para resolver o p r o bl e m a do escoamento turbulento.

Esta m o d e l a g e m teve início segundo Hinze (8) com Bo u ss in es q que r e la ci on ou o produto de flutuações de v e l o ­ cidades, pu'-u;, conhecido como tensor de Reynolds, com a veloci- dade média do escoamento, A ele, P r a n d t l , com a teoria do C o mprimento de M i s t u r a e Von Kármán, com a Similaridade, se juntaram, relaci o na nd o a tensão tangencial devida â flutuação de veloci da de com a v elocidade m éd ia e seu gradiente na direção p er p en d i c ul a r a parede.

Para se obter a influência da t urbulência do e scoamento na difusão t é rmica turbulenta, Kays (10) usa uma relação entre características do escoamento, que são os números de Prandtl e de Peclét, e o b té m o Número de Prandtl Turbulento.

0 número de Prandtl turbulento é usado para r e la ci o na r o coeficiente de difusão térmica turbulenta com a v i s c os id ad e tur bulenta no escoamento.

Õ p ro du to de flutuações de velocidade e temperatura, u } T', é m o de la do em função do gradiente da temperatura média, T, em cada seção do escoamento, com o auxílio do c o eficiente de d i f u ­ são térmica turbulenta.

Com o modelo completo, em termos de valores m é di os das v a r i á v e i s , pode se obter u m número de equações que p e r m i ta a so lução do p r ob l em a proposto.

A não linearidade das equações do escoamento tem d if i cu ^ tado sua solução. Com o advento do computador, que p o s s i b i l i t o u a expansão de m étodos numéricos a solução de sistemas de e q u a ­ ções matemá t ic as através de algoritmos p as s ou a ter m ar c ad a i n ­ fluência na solução do escoamento turbulento.

S p a l di n g (23) , Patankar (17) , Laiinder (12) , Pereira F i ­ lho (18), entre outros, d e se n vo l v e ra m modelos numéricos para a solução do escoa me nt o turbulento, modelos estes usados largamen te por outros pesquisadores.

0 "Congresso Internacional de Computação da Camada L i m i ­ te T u r b u l e n t a ” , realizado em 1968, em S ta nf or d (25), marcou o i

nício da r eg u la ri za çã o de métodos de soluções com o uso de c o m ­ pu t ad or es das equações da camada limite turbulenta. Este C o n ­ gresso c l a s s i f i co u os métodos numéricos de acordo com a forma das equações que g ov er n am o fenômeno físico.

a) M é t od o Integral - Constituído por u m sistema de e q u a ­ ções difere nc ia is ordinárias, deduzidas a p a rt ir da integração das equações fundamentais, na forma diferencial, na camada Iíhkl te. Este m é t o d o é descrito em maiores detalhes por Schlichting

(21).

b) M ét od o Diferencial - Constituído por um sistema de e- quações d if er en ci ai s parciais aplicadas na camada limite, que é usado no p r es e nt e trabalho.

H á vários trabalhos publicados no estudo do escoamento turbulento. Cebeci e Smith (4), t ra ba l ha ra m com as equações da c on s er va çã o da m as sa e quantidade de movimento, u sando um m o d e ­ lo m a t e m á t i co em função da velocidade média para o p r oduto de flutuações de velocidade. Jones e L aunder (9) u s a r a m as e q u a ­ ções da c o ns e rv a çã o da massa, quantidade de m o v i me nt o e a e q u a ­ ção da e ne rg i a cinética turbulenta.

P e r e ir a Filho (18) usou as equações da conservação da massa, q u an ti da de de movimento, energia cinética turbulenta e a

equação da taxa de dissipação, compl et an do o sistema, propôs mo delos m atemáticos para os produtos de flutuações surgidos no p ro b l em a e desenv o lv eu u m algoritmo n um ér ic o para sua solução.

Seguindo a linha de p e s q u i s a iniciada por Pereira Filho, este trabalho dá prosse gu im e nt o aos estudos realizados por D u ­ tra (5), Ferreira (6), Lima (13) e N i colau (15).

Dutra (5) resolveu um s i stema com as equações da c o n s e r ­ vação da m a ss a e quantidade de movimento, usando para o produto de flutuações de velocidades, u'-a’-5 u m modelo proposto por Van- Driest, aplicado na camada limite turbulenta para uma s u p e r f í ­ cie curva.

F erreira (6) resolveu um sistema com as equações da c o n ­ servação da massa, quantidade de movimento e energia cinética turbulenta, com a hipótese de V an -D ri es t para o tensor de Reynolds, aplicado a u m a superfície curva.

Lima (13) resol ve u u m sistema com as equações da c o n s e r ­ vação da massa, quantidade de m o vi me nt o e do balanço térmico na c amada limite turbulenta, u s an do a h ip ótese de Van-Driest para o tensor de Reynolds e a h i pó te se de Rotta (20) para o p r oduto das flutuações de velocidade e temperatura, u'-T', aplicado a u ma superfície curva.

N i co la u (15) r es ol ve u u m sistema com as equações da c o n ­ s ervação da massa, quantidade de m o v im e n t o e energia cinética turbulenta, p a ra u m e scoamento p l en am en te desenvolvido, no i n ­ terior de tubos, usando p a ra o tensor de Reynolds u m modelo pro p osto por B e ckwith e Bushnell (2).

solução do p r o b l em a da camada limite térmica turbulenta com gra diente de p r es sã o variável, aplicando-se ao escoamento as e q u a ­ ções da conser v aç ão da massa, quantidade de movimento, e nergia cinét i ca turbulenta, taxa de dissipação, a equação da e ne rg ia e os modelos m a te m át i co s dos produtos de f l u t u a ç õ e s , modelados em função dos valores médios das variáveis do problema.

0 m od e l o composto por estas equações é usado por vários p es q uisadores, na solução de diversos tipos de escoamento. Nitsche et a l . (16), e m seu trabalho, realizado e xperimental e nu m ericamente, b us ca a solução do p ro bl em a sobre uma p l ac a p l a ­ na, com t em pe ra t ur a constante na parede. S chlichting (22), apre senta u m trabalho com as equações do modelo usado no p r esente trabalho, c o m g radiente de p r essão e fluxo de calor constantes. Ye r os he n k o et a l . (30) resol ve u o m o delo p r oposto para u m e s c o a ­ m en t o em tubos,, com sucção n a parede. R og a no v et al. (19) reso^í v eu o m odelo p ro po s t o p ar a u m escoamento com gradiente de p r e s ­ são adverso, em superfície permeável. 0 presente trabalho visa o cálculo da camada limite térmica t u rb ul en ta n u ma superfície, com u m e scoamento sujeito a gradiente de pressão adverso, f a v o ­ rável ou nulo, com t e mp er at ur a constante ou com fluxo de calor constante na superfície.

Para a solução do sistema, os produtos de flutuações são modelados m at e ma t i c am e nt e através da análise do seu significado físico.

O p r od ut o é m o de la do m a te ma t ic am en te como uma fun-ção das veloci da de s médias e ã j . Essa relação b a se ia-se no fato de que pa'.u; tem dimensões físicas compatíveis com a

quan-J ’

tidade de movimento. A v a riação de pu'iX; implicará numa força,

isto leva a noção de tensão turbulenta.

Esta tensão turbulenta, chamada tensão de Reynolds, por analogia com a tensão viscosa, é tradicionalmente relaci on a da ao gradiente da v elocidade média. 0 fator de p r o p ro ci on al id a - de entre o g r ad iente de velocidade média e a tensão turbulenta é uma função l o c a l , dependente do tipo do escoamento e do núme^ ro de Reynolds e n ormalmente conhecida como viscosidade t u r b u ­ lenta.

Como é p os sível determinar e xp er im entalmente o comporta mento da v i sc os id ad e turbulenta, da e nergia c i nética t u r b u l e n ­ ta e da taxa de dissipação, verifica-se que existe uma relação entre as formas como v ar i a m estas funções, o que sugere o seu i nt e rrelacionamento na obtenção da viscosidade turbulenta.

0 p ro du to das flutuações de velocidade e temperatura,

u'-T' , r ep re s en ta o transporte de energia térmica p el a turbulên

i ~

cia do escoamento. Este transporte é, fisicamente, análogo â convecção térmica. Isto leva a se relacionar o p r od ut o u'T' ao

i

gradiente da t e m p er a tu ra m éd ia do escoamento turbulento, atra vés de u m coeficiente, função das características do e s c o a m e n ­ to, conhecido como coeficiente de difusão térmica turbulenta.

Os p r odutos de flutuações a ’; q ' , u U 1 e u ' j V', onde <}> ' é

j j j

a flutuação de p re ss ão no escoamento, tem seus modelos p r o p o s ­ tos por P e re ir a Filho (18).

C om as equações, os modelos dos produtos de flutuações e os modelos da viscos i da de turbulenta e da difusão t érmica tur bulenta, obtém-se u m sistema com mesmo número de equações e in

Para s ol uc i on ar este sistema, suas equações foram discre cretizadas em diferenças finitas, obtendo-se equações a l g é b r i ­ cas não lineares. Para se resolver este sistema, as equações fo ram linea ri za da s e u m algoritmo numérico desenvolvido.

As condições de contorno, b e m como as equações, l e va m a u m p r o b le m a parabõlico. Para se obter a solução deste tipo de problema, ou seja, de valor inicial, é n ec es sá ri o especificar- se a d i st r i bu iç ão inicial das incógnitas. A p ar ti r destes v a l o ­ res iniciais são calculadas, sucessivamente, novas d i s t r i b u i ­ ções até que, ou se o b tenha o valor final desejado ou a solução desestabilise numericamente.

Como solução do problema, obtém-se os perfis de v el oc id a de, temperatura, e n er gi a cinética turbul e nt a e taxa de dissipa ç ã o , o c o m p or t am en to da viscosidade turbu l en ta e do coeficiente de difusão t é r mi ca turbulenta.

Estas v ar iáveis obtidas p o d e m ser agrupadas de forma a se ter alguns p ar â me t ro s auxiliares que p e r m i t a m d e finir m elhor o escoamento, tais como, tensão na parede, números de Reynolds, de Prandtl turbulento, de Nusselt, de Stanton, Fator de forma, fluxo de calor na parede, e coeficiente de fricção.

C A P Í T U L O

2

F OR M UL A ÇÃ O DO P RO BLEMA

2.1. P R OB L EM A P R OP OS TO

O p r o b l e m a p r op o s t o é a determinação da solução do p r o ­ blema da c o nv ecção f o rçada turbulenta sobre uma superfície n u m

escoamento com gradiente de p r essão variável.

Para o d e se nv ol v i m en t o das equações do p r o b l e ma p r o p o s ­ to, adotou-se p ri me iramente, uma placa p l a n a com a configuração dada na Figura 1 e as hipóteses de escoamento i n c o m p r e s s í v e l , permanente, n e wt o n i a n o e não isotérmico.

O objet iv o do trabalho se concentra na obtenção d o s . p e r ­ fis de veloci d ad e e temperatura médias e nos perfis de energia

cinética t u r bu le n ta e da taxa de dissipação da e ne rgia cinética t urbul en ta na c amada limite turbulenta do escoamento.

2.2. E Q UA Ç ÕE S GERAIS

Para a solução do p r ob le m a proposto, torna-se necessária a aplicação de equações de conservação que p e r m i t a m a análise das variáveis v e lo ci da de média, e n e r g i a .c i nética turbulenta, ta xa de dissipação e temperatura média, p a r a cada seção do e s c o a ­ mento, ao p e r c or re r- se o eixo x, dado na Figura 1.

As equações de conservação que p e r m i t e m tal análise são,

- equação de conservação da massa

- equação de conservação da quantidade de m ov im en to - e quação da energia cinética turbulenta

- equação da taxa de dissipação da e nergia cinética t ur ­ b u le nt a

- e qu aç ã o da energia.

2.2.1. E Q U A Ç Ã O DE C ONSERVAÇÃO DA M A SS A

Para a aplicação das equações ao problema, é n ec es sá r i a a análise de suas várias formas. Assim, a equação da c o n s e r v a ­ ção da m a s s a p a ra u m escoamento instantâneo incompressível se escreve como segue,

Para o escoamento turbulento, devido ao seu caráter alea t o r i o , a velocidade, segundo Hinze (8) ê composta de um valor médio u - e de uma flutuação u'., conforme Figura 2, de modo que

/t 'V

a equação (2.1) p as s a a ser expressa por

{\ + uV u = 0 ( 2 ‘2)

F IGURA 2 - Representaçao da Velocidade no Escoamento Tur bulento.

Na média do escoamento turbulento, tem-se

<U * <U ' h * í'i Í2 -3Í

onde

- 0 (2.4)

--C.

e a equação para a média do escoamento turbulento será expressa pe l a m édia da equação (2.2),

que leva a

u. - ■ = 0 (2.5)

Assim, para a flutuação de velocidade do escoamento t u r ­ bulento, a equação de conservação da m a ss a é obtida associando- se as equações (2.5) e (2.2) tal que,

a'. . = 0

(

.

)

2.2.2. E Q UA Ç Ã O DE CONSERVAÇÃO DA QUANTI DA DE DE MOVIMENTO

Para u m escoamento i n c o m p r e s s í v e l , n e w t o n i a n o , p e r m a n e n ­ te, instântaneo, segundo White (28) , a equação de conservação da q uantidade de movimento toma a seguinte forma,

p u . u . • = - p , - + i\iu.. ■) , ■ + b ;

i ^ , 5 i *

(2.7)

Para um escoamento turbulento, devido ao caráter a l e a t ó ­ rio das variáveis, que são expressas p el a soma de um valor m é ­ dio e de uma flutuação, as variáveis velocidade e p r essão que c om p õe m a equação (2.7) terão a seguinte forma,

u- = a ■ + u '

A. A, A,

(

.

)

p = p (2.9)

I ntroduzindo as equações (2.9) e (2.8) na equação (2.7) e d e s co ns i de r an d o as forças de campo fa^, obtem-se a equação de c on s er va çã o da q uantidade de m ov im e nt o para um escoamento turbu l e n t o ,

p ( ü j + U j ) ( ü ^ ) , y = - ( p + p ’l u + vl~uÁ *

Ao se dividir esta equaçao p el a massa específica do flujL do p , obtém-se • i onde

( 2 . 11)

(

2

.

12

)

Na m é di a do e scoamento turbulento, conforme as equações (2.3) e (2.4), a equação de c o nservação da quantidade de m o v i ­ mento, que é a m éd ia da equação (2.11) serã,

U- • ) » -1 » -_{A.' * j ] ’ i} (2.14)

Nesta expressão, segundo Hinze (8), o termo ã e s querda da igualdade pode ser expresso na forma,

u . + u ) ( a - + a '■ ) , • = a - a - - + a '• a - ■

J j * J J í (2.15)

Pelo d e se nv ol vi me nt o de uma derivada na notação tenso-r i a l ,

(2.16)

e, pela aplicaçao da e quação (2.6) n e st a derivada, obtém-se,

“ M j ' luyaV - j (2.17)

de e pa'-ü; o tensor de Reynolds.

j /L

Introduzindo a equação (2.17) na equação (2.15), seu re sultado na equação (2.14) e usando a equação (2.4), obtém-se a equação de c onservação da quantidade de movimento para a média do escoamento turbulento,

(2.18)

Para a flutuação do e scoamento turbulento, a equação de conservação da quanti da de de m ov im en to é obtida p e la diferença entre as equações para o escoamento turbulento (2.11) e o escoa mento médio (2.18), ou seja,

+ viu'. .) ,j - i a W V f J (2.19)

Nesta equação, o primeiro termo a esquerda da igualdade pode ser d e se n vo lv id o em,

- . U j + u p t u s u y . j - (2.20)

e, pelo d e se nv ol v im en to da derivada ( u ’. u ; ) , ■ e a aplicação da

j X, j

equação (2.6)

(2.21)

Introduzindo a equação (2.21) na equação (2.20) e seu re sultado n a e quação (2.19), obtém-se a equação de c o nservação da quantidade de m ov im e nt o p ar a a flutuação do escoam e nt o turbulen to,

Ao se analisar a equação (2.22), observa-se a presença do produto de flutuações de velocidade, a*.a'-. Este termo é

estuda-j

do m u l t i p l i ca n d o -s e esta equação pela flutuação de velocidade

u£ e obtendo-se a média da equação assim gerada, ou seja,

u i ui . , j ‘ík ‘ - * U a L * lvtíí j ] ’ j a k - C 2 -23)

Ao se somar a equação (2.23) com ela p r ó p ri a após sofrer uma rotação de índices, se obtém,

(va/ -) , -a'- - 2a l u ! a ' ■ + a'-a! -) -a'-a/a- ■ - u f.a'a, - . (2.24)

j * i fe i fe i * fc,j '

A análise da d e ri v ad a do p roduto de flutuações de veloci^ d a d e , e m relação a /, origina,

luW > y - * “í , j u fc C2 -2 5 )

e, o triplo p r o d u t o de flutuações de velocidade, (u'-a’a/), deri

j ^ “*

Introduzindo as equações (2.26) e (2.25) na equaçao (2.24) se obtêm,

u j l a i “ k , ' j ' - * ' k u i + K , y ] ’i u 'k *

-2 l u i a l u k > ’ j - l a } u k > \ , j - l a ] a í ] u k j C2 -2 7^

Esta equação é geralmente chamada de equação de transpor te do tensor de Reynolds (U;U;J.

x. i

At ravés uma contração de índices na equação (2.27), k

contraído por I , obtêm-se uma equação para o produto de f l u t u a ­ ções de v el oc id ad e ( a ' a ’), traço do tensor de Reynolds , p( ajaj) ,

AL A, A* j

a j l a i a V ■j ' -2la} ai ,üÁ.,j - K * ' i - 2 (“/“í“! 1 >/ * (2 -28)

A m e ta de do produto ( a ' u ’) é conhecido como energia ciné

A* A*

tica turbulenta, e serã r e presentado por,

q ’ =

1

2 A~ A*

1

q a q ' = -í- (aj-aj) . (2.30)

2 A~ A,

A equação (2.30) repres e nt a a m é d i a da e nergia cinética t u rb ul e nt a do escoamento.

0 triplo p r oduto de flutuações (u^u^a'), com o uso da

j A* A. j

equação (2.29), serã expresso por,

l e n t a ,

U j q . j • - ( u j u l l u ^ y - líujy. + «].*'), j * , J (2.32)

Na equação (2.32), pode se trabalhar sobre o último t e r ­ mo, onde, considerando-se a viscos id ad e cinemática v constante, obtém-se, a partir da d er ivada segunda do p roduto de flutuações de velocidade,

v l u ^ l ,yi > * 2 v a í > y y U í

que, isolando o último termo a direita da igualdade e usando a equação (2.30) conduz a,

vuí,jjui ■

* v[ul j al j )

■

(2-33)

0 terceiro termo da equação (2.33), produto das d e r i v a ­ das das flutuações de v e l o c i d a d e é u m termo de dissipação v i s ­

Introduzindo a equação (2.35) na equação (2.33) e seu re sultado na equação (2.32), obtém-se,

UÍ q , S = ~ l u j uV ui , j ' {2u,j q ' + + ' 2vV ' (2.36)

Esta ê a forma da equação da e n ergia cinética turbulenta a ser u t i li z a d a no presente trabalho.

2.2.4. E Q U A Ç Ã O DA T AX A DE D I SS IP AÇ ÃO DA E N E R G IA CINfiTICA T U R B U ­ LE N TA

Uma equação para o produto das derivadas das flutuações de veloci da de dado pela equação (2.35), ê obtida a partir da e- quação de conservação da quantidade de m ov imento da flutuação do escoamento, ao diferenciar a equação (2.22) em relação a c o ­ o rd enada x ^ , isto ê,

u. , u * - . + u'. , a . . + U; , U ; ■ + a-a'- .. + u'-u- -l

j , k Á, t j j , k Á. f j j f k.

-c,

* ■ - * U k * l v u i , j - ( 2-37)

M u lt ip li ca nd o- se a equação (2.37) p e la derivada da f l u ­ tuação de v elocidade ^ e fazendo-se a média deste produto, surge,

TL , (J ' .LL* . +LL. -U.’- , , + U 1- |U' -u' , + u * u ’ . , u \ , +

J , k í,i I p k i,j j , k u<t,k j,k J ± * j k

Partindo-se da d er ivada do p r oduto das derivadas na f l u ­ tuação de velocidade, obtém-se,

K , k ul k ' - j - íui,jk“l k

■

C2-39)

Usando-se a equação (2.39), o quarto termo do lado e s ­ querdo da i g u a l d a d e , conforme a representação dada pela equação

(2.35), passa a ser expresso por,

' Y ’j ( 2 -40)

da m e sm a forma, o sexto termo, usando a equação (2.34), será ex p resso por,

A análise do último termo a esquerda da igualdade, consi_ derando-se a viscosidade c inemática v constante, origina,

(v a '■ ■ - u '■ u '■), ., u ’■ , = vu'. . ., u ' . - u . u • <u '■ . . (2.42)

A análise dos termos da equação (2.42) mostra que o últi_ mo termo a direita da equação é descrito na equação (2.41). e n ­ quanto o outro termo a direita da igualdade pode, a p a rt ir da d er i va da -s eg u nd a do p ro du to das derivadas das flutuações de v e ­ locidade, ser expresso por,

( u ' ,a '■ , ) , . . = 2 ( a ’ , u ' , -) , •

A.,k A.,k f j j ' a., k a., kj 1 ’ j

(a , u * . = 2 u ' , a * , . . + 2 u'- . -íx'- . - (2.43) x.,fc x,,fe 'jj x,,fc X.,fejj X.,fej A . , k j ^ J

tal que

vu'. . a' - = - v(u' i u - , ) , ■ • - v í ã T T ^ ã ' . •) (2.44) Á->5i'ÍL 4->k- 2 ^ ^ i i 'L-fkj A. ,kj v ^

I ntroduzindo n a equação (2.44) a r ep resentação dada na equação (2.35), o seu resultado na equação (2.42) e, a equação daí obtida, com as equações (2.41) e (2.40), substituídas na e- quação (2.38), obtém-se a equação da taxa de dissipação do escoamento turbulento,

u - V , - = -<j>í.,fi* . - u* .u* .u* - - 2 u ’. V Í . - a- .(a* .u*. .) -j ’ -j y , -lk A-,k A.,k j , k A.f j j * j a,,j 4.,k j , k

u ■ .(a'. . u * •) - u ■ .. (u u * ,) + v V , ■ ■ - v i u ' l • u. ’ ,•) (2.45)

j,fe -C,j j 'jj

2.2.5. EQUAÇÃO DA E N E RG I A

Para se fazer o b a la nç o do fluxo de energia na forma de calor na camada limite térmica turbulenta, para um escoamento instantâneo, onde o fluxo de e n ergia é devido â d if erença de ní^ vel de e n ergia térmica, isto é, temperatura, entre a parede e o fluido em e sc oa me nt o usa-se, segundo White (28), a seguinte e x ­ pressão.

pu -h ( k T ■) . - 2y(u . -u. . + a . -a . .) = 0 (2.46)

Para um escoam e nt o i n c o m p r e s s í v e l , â entalpia é expressa em função da temperatura, segundo Van Wylen (26) como sendo,

dh * C p d T (2.47)

A introdução da equação (2.47) e a assunção para o escoa mento turbulento de que t e mp er at ur a e velocidade s e ja m de c a r á­ ter aleatório, que i m plica na p r es e nç a de um valor médio e de uma flutuação destas variáveis, ou seja, T = T + T' e u ; = a ; + a'; ,

-v 'C X, torna a equação (2.46) na seguinte expressão,

u ’.) (T+T ') , = — (T+T'),. + J i _{_pCp} , ; PCp j ia.+ u | i , y (2.48)

A equação do b al an ço térmico p a r a o escoamento t u r b u l e n ­ to médio, que é a m é di a da equação (2.48), é a seguinte e x p r e s ­ são , a -T, ■ = J ’ i li'.t; .’ í + _{_PCp} T, • + _{p Cp} ã . -u. -+a. -a - -JíL p Cp (2.49)

Na análise dos termos da equaçao (2.49), partin d o- se da derivada segunda do tensor de Reynolds, se obtém,

u ' . u ’

u u '■) , ■ • = u '■ ■ ■ u + a \ ■ u - + (u ’ u ■) , ■

-C j j A. A .,j A . j A . , j j , A . X, J , J ' U ( 2 . 5 0 )

N e st a expressão, a inversão da o rd em de derivação no pr:i meiro termo à d i re i t a da igualdade e o uso da equação (2.6) anu lam o p r im e ir o e o terceiro termo à direita, tal que,

IP. 7 ü’. _{, -}

--t j jA- (2.51)

Também, na derivada do p r oduto de flutuações de velocida de e temperatura, se obtém,

(uir1

) , .

=

’

.T; .

j ’ i J ’ i (2.52)

I ntroduzindo-se as equações (2.51) e (2.52) e a represen tação dada na equação (2.35) na equação (2.49), se o bt ém a equação do comportamento térmico do escoamento t u r b u l e n ­ to, ã -T, - = i J u- -a- - J 5 +

\

]

Neste ponto, tem-se um sistema de equações diferenciais, que p e r m i t e m o b al an ço de massa, e n ergia e q ua nt id ad e de

movi-mento, n u m e scoamento turbulento, composto das seguintes e q u a ­ ções ,

u. - =

0

A* y 'C (2.54)

u -a. ■ -<f>,. + (vu. - - a'-a'),.

j A * , J A-,j j ^ ’ j (2.55) V * - y a a

* J

“y®-/

x.,fe a. , y - u . X,, j k -r ( u '-a ' ,j A-, k ) +

v V , - ■ - v ( ti i -u ' i •} ’ j j A. , k j A, t Izj (2.57) a - -u ) , ; + _{— ;} + í P ° P . . ; pCp . J a - -a - - + > í ^ > i + 2V + i a ’. u' .) , . . p Cp + J ' j*-(2.58)

Para que o sistema de equações diferenciais não linear, tenha solução é n ecessário que o número de equações e i n có g n i ­ tas no sistema sejam iguais.

Na analise do sistema, tem-se as variáveis médias v e l o ­ cidade Uy, temperatura T, energia cinética t urbulenta q , taxa de d issipação V , os momentos de o r de m superior, pttjti'-, tensor de Reynolds ou transporte de quantidade de movimento, pCp u'-T', fluxo

de calor turbulento, U yq ' , transporte de energia cinética turbu lenta, u j V > transporte da taxa de dissipaçao, devidos ã flutua ção de velocidade, além do triplo p ro d ut o de flutuações,

a', -a'- . a ' . ■ do termo de p ressão m é d i a <f> e o transporte das flu

Assim, o número de incógnitas ê maior que o número de e- quações disponíveis no sistema.

equações, e xpressam-se os momentos como funções das variáveis m édias do escoamento.

g u i n t e .

2.4. CONDIÇÕES DE FECHAMENTO

Chama-se de condições de fechamento ao conjunto de r e l a ­ ções usadas p a r a e x pr essar os m o me nt os em função das variáveis m éd i as do escoamento.

Baseado e m Spalding e Ng (24) e H a rl ow e Nakayama (7) a co n dição de fechamento do tensor de Reynolds u-^u-j, é dada pela seguinte expressão,

tuações de pressão u'.<p' como incógnitas do sistema.

J

Para se obter o número de incógnitas igual ao número de

A obtenção destas e xpressões está realizada na seção

seem e

-A.J

Na e quação (2.59) a variável em ê o coefic i en t e de trans porte turbul e nt o da quanti d ad e de movimento, c o nh ecida p or v i s ­ cosidade turbulenta, e conforme a equação (2.60), a taxa

A-j

de deformação no fluido em escoamento. Os termos da diagonal,

u ’-iij, r e p r e se n t a m a e ne r gi a cinét ic a turbulenta do escoamento. Na equação (2.56) o termo (uÿq'+uy<f> ' ) será expre ss o em função de v a r iáveis médias, tal que, segundo Hinze (8), t r a n s ­ porte de e n ergia c i nética turbul e nt a e transporte de e ne rg ia re a lizado p el a flutuação de pressão, devido a t urbulência do e s c o a ­ mento, sejam,

U 'jq ' + u j * ’ = ~eA £mul CLl j (2.61) onde

No apêndice B está d es en vo lv id a uma expressão e m termos de e nergia c i né t ic a p a r a a equação (2.61), tal que

u ’.ç’ + U;f' = - Q . e m q , . (2.63)

i í A j

Na e q ua çã o (2.57), P er e i r a Filho (18) propõe as s e g u i n ­ tes expressões que e n v o l v em produtos de f l u t u a ç õ e s , aproximadas por valores médios, nas formas,

-,

1

(

.

)

Na equação (2.64), o p ri meiro termo representa a taxa de geração de vorticidade através da ação da tensão cisalhante da própria turbulência e o segundo, a v ar iação na taxa de d i s s i p a ­ ção pela ação da viscosidade. Na equação (2.65) tem-se represen tada a difusão da taxa de dissi p aç ã o no escoamento e na equação (2.66), a géraçã;o de taxa de dissip aç ão devida ao gradiente de p re ssão no e scoamento e geração de taxa de dissipação pelo cara ter turbulento do escoamento.

mensional e física das equações, com as constantes tomando os seguintes valores, = 7,45, = 2 , 0 0 e = 0 , 9 75. Na e q u a ­ ção (2.57), o termo ã- . ), apõs a analise da sua ordem

p i íc j f

de grandeza, devido ao seu pequeno valor perante aos demais ter mos da equação, pode ser desprezado.

Reynolds, em função do gradiente de temper at ur a média do e s c o a ­ mento pela expressão,

onde e/i é o coeficiente de difusão térmica turbulenta do e s c o a ­ mento .

Introduzindo-se as condições de fechamento no sistema de equações em estudo, obtém-se o seguinte sistema,

Estas expressões são p ro postas com base na analogia

di-Na equação (2.58), o p r oduto das flutuações de v e l o c i d a ­ de e temperatura, é modelado por a na logia com o tensor de

ti'.T' = -zkT, ■

tema, faz-se necess á ri o conhecer uma relação que p e r m it a obter em, viscosidade turbulenta, e e h , coeficiente de difusão t é r m i ­ ca turbulenta, em função de parâmetros médios ou parâmetros já determinados no escoamento. Estas relações, ou modelos, serão a n alisados a seguir.

2.5. M O DE LO M A TE M Ã T I C O P A RA A VISCOS I DA DE T UR BU LE NT A E 0 C O E F I ­ CIENTE DE D IF US ÃO T É R M I C A T URBUL E NT A

Para a solução do sistema dado no item anterior, é n e c e ^ sãrio se obter em e e h em função de valores conhecidos ou

pré-d e t e r m i n a pré-d o s .

Hinze (8), com base n a analogia dimensional, por s e m e ­ lhança com a viscos i da d e cinemá ti ca do fluido, m o de lo u em como segue,

em = v ' l (2.73)

Nesta equação, v ' é uma flutuação de velocidade e l ê um comprimento determinado por características locais do e s c o a m e n ­ to. Utilizando-se a m i c r o e s c al a de turbulência X , e o n úmero de R eynolds Re.,, b a seado n e st a e scala sendo,

A

R e x = — (2.74)

v

Hinze (8) relaci o no u

l

X

l = Cx R e A (2.75)

Introduzindo-se a equação (2.75) na equação (2.73) e uti^

1

lizando ao inves de {v ') , a e ne rg ia cinética turbulenta q , o b ­ tém-se ,

2 em

Ai n da segundo Hinze (8), p a ra u m escoamento turbulento, localmente isotropico, ocorre a seguinte relação entre a taxa de dissipação e a e n ergia cinética turbulenta,

Introduzindo a equação (2.77) em termos de X na equação (2.76), obtêm-se

e4q2

em = — — v D

A equação (2.78) é o modelo proposto para se relacionar em, v i sc os id ad e turbulenta, com parâmetros médios do escoamento.

Para a região p r óx i ma da placa, determinada por t/+ < 8 0 ,

onde a m i c r o e s c a l a X tem seu significado alterado p e l a i n f l u ê n ­ cia v i scosa do fluido, P ereira Filho (18) propôs o uso da e x ­ p r essão ,

em = vA' { / ) 2 (2.79)

Nesta expressão, A ’ tem valor 0 , 0 0 925.

Para a r egião y + > 8 0 , ê p ro po st a a expressão para na f o r m a ,

C â = a y + + b ' . (2.80)

Com isto, a equação (2.78) para y + > 80 ê expressa da se guinte forma,

- 2

em = [ a y + ò ’ ) . (2.81)

Nesta expressão, a e b ' são determinados tal que as equa ções (2.79) e (2.81) tenham um ponto de encontro contínuo q u a n ­ do y + = 8 0 .

Portanto, o modelo proposto p ar a a obtenção da viscosida de turbu l en ta em ê, em = vA'(í/+ )^ para y + < 80 (2.79) e , 7 2 . em = { a y + b') para y > 80 (2.81) vV

U sando a relação dada por R otta (20) e Kays (10) entre

e h , difusão térmica turbulenta e em, v iscosidade turbulenta, se o b té m e h como sendo,

eh = em

? A .

(2.82)

Nesta expressão, Pa^. é o n úmero de Prandtl turbulento, que, segundo Kays (10) é obtido por,

Pa . 2 Pa . + C P z . CPe Pa . t 7-EXP c?ít ' V / j (2.83)

e, segundo Rotta (20), pela expressão,

? A t = 0 , 9 5 - 0 4 5 [ y / 5 ] (2.84)

Na equação (2.83), segundo Kays (10), (1 = 0 , 2 , Pa . = 0 , 8 6

e Pe^ é o número de Péclet turbulento, obtido por,

? z t = ( e m / v ) P A (2.85)

Estes modelos propostos para o calculo do número de Prandtl turbulento são validos para um e scoamento de ar, de tal forma que isto limita o presente trabalho a solução de escoamen tos de ar.

C o m os modelos p r op ostos p ar a em e e h , forma-se um siste m a de equações diferenciais baseado nos parâmetros médios do es c o a m e n t o .

2.6. E Q U AÇ ÕE S PARA UM E SC OA M E NT O B I- DIMENSIONAL ELÍPT IC O

A p e s ar de saber-se que u m escoamento turbulento é t r i d i ­ mensional, ir-se-ã, para o p r ob le ma físico proposto, adequar as equações a um sistema coordenado b i - d i m e n s i o n a l , guardando nas constantes experimentais as implicações da tridimensionalidade do escoamento turbulento.

C onsiderando para o escoamento turbulento o sistema coor denado dado na Figura 1 e as equações indiciais relatadas na se ção (2.4), tais equações p a s s a m a ser escritas na seguinte f o r ­ ma ,

— + — = 0 (2.86)

- 9U L - 9U U -- + V -- I t + _ A Sx a y ax 9 X (v + 2 e m) — - 2q 9 X 9 9 y ï , , 9ti d v (v + em) — + em -— 9 y 9 X (v + em) — + em — 9 X 9 y 9 9 £/ (v + 2em) — - 2q 9 i/ U l^- ü

là

(

.

)

- ar A

u -- +

- ar

Uh

9 X 9 y 9 X p Cp 9 X 9 y pCp 9 t/

0 sistema composto por estas equações, cujas incógnitas são u , v , q , V , T e $, ê passível de solução numérica.

2.7. E QU AÇ ÕE S B I D IM E NS I ON A I S P A RA A CAMADA LIMITE TURBUL E NT A

Í

Conforme a seção 2.6, o sistema composto pelas equações (2.86) a (2.91) é aplicável ao escoamento turbulento bidimensio n a l .

Porém, se for c on si de ra da apenas a região deste escoa m en to p r óx i m a ã parede, isto é, na camada limite, alguns termos po dem ser s im plificados p e la sua p eq ue n a influência nos balanços que tais equações representam.

Para se o bt er e m as simplificações desejadas, usa-se a a- nãlise da o r de m de g r andeza dos termos das equações, com base nas escalas de compri m en to Lj e L representantes de x e y r e £ p e c t i v a m e n t e , na camada limite, tal que,

Com o uso da relação (2.92), a equaçao da conservação da massa, quanto a sua grandeza é expressa por,

0 [ h ) 0 [ L ou seja, 0 [ v ) 0 [ L o 0 (u) s 0 { i 2 ] O l ã ) 0 { L j) << 7 (2.93)

Estas ordens de grandeza indicam termos das equações c u ­ jas influências no balanço estudado são desprezíveis. Na camada limite, define-se uma escala de velocidades, e de c o m p r i m e n ­ to em y , a e s pe ss u ra da camada limite, 6. Com estas escalas e as relações dadas e m (2.92) e (2.93), a analise da grand ez a e influência de cada termo nas equações analisadas, está feita no apêndice "A", do qual se obtém os seguintes resultados p a ra o sistema de equações em estudo,

(2.94) ü M + v — = + — 9 x 9 y 9 x 9 y (v + em) M 9 y_ (2.95)

li =