Dinâmica cosmológica para modelos com interações não-lineares no setor escuro

(1)

N˜

ao-Lineares do Setor Escuro

Anna Paula Ramos Bacalhau

(2)

Dinˆ

amica Cosmol´

ogica para Modelos com

Intera¸

c˜

oes N˜

ao-Lineares no Setor Escuro

Vit´oria-ES 2012

(3)

Dinˆ

amica Cosmol´

ogica para Modelos com

Intera¸

c˜

oes N˜

ao-Lineares no Setor Escuro

Disserta¸cão apresentada como pré-requisito para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em F´ısica

Orientador:

Winfried Zimdahl

Universidade Federal do Esp´ırito Santo

Vit´oria-ES 2012

(4)

Vit´oria, Estado do Esp´ırito Santo, pela banca examinadora constitu´ıda por:

Prof. Dr. Winfried Zimdahl Orientador

Prof. Dr. ?? Universidade de ??

(5)

(6)

Nesse trabalho consideramos um conjunto de intera¸cões entre matéria escura e energia escura proporcionais ao produto e/ou potências das densidades de energia e da energia total. Demonstramos que, sob determinadas condi¸cões, o estado final do Universo difere substancialmente do modelo padrão ΛCDM. Em particular, a razão entre as densidades de energia da matéria escura e da energia escura aproximam-se de um valor finito e estável ou oscila entorno dele. Solu¸cões estacionárias desse tipo requerem uma equa¸cão de estado do tipo fantômica para a energia escura, embora não leve ao Big Rip. Mostramos que a solu¸cão anal´ıtica de um caso particular é consitente com os dados de supernovas do tipo Ia (SNIa) da amostra UNION2 e para uma classe de intera¸cões fizemos a classifica¸cão dos pontos cr´ıticos através da análise de sistemas dinâmicos segundo sua relevância para o problema da coincidência.

(7)

We consider a set of non-linear interactions between dark matter and dark energy which comprises couplings proportional to products of (powers of) the energy densities of both dark components and of the total energy. We demonstrate that under such conditions the final state of the Universe may differ substantially from that of the standard ΛCDM model. In particular, the ratio of the energy densities of dark matter and dark energy may approach a stable finite value or oscillate about such a value. Stationary solutions of this type require a phantom-type “bare”equation of state of the dark energy which, however, does not lead to a big-rip singularity. A corresponding analytic solution for a particular case is shown to be consistent with the supernova type Ia (SNIa) data from the Union2 set. For a broader class of interactions, a dynamical system analysis classifies stationary points with emphasis on their potential relevance for the coincidence problem.

(8)

Lista de Tabelas

Lista de Figuras

1 Introdu¸c˜ao p. 8

2 Cosmologia: Aspectos Te´oricos p. 10

2.1 Introdu¸cão à Relatividade Geral . . . p. 11 2.1.1 Geometria Diferencial e F´ısica em Espa¸cos Curvos . . . p. 13 2.1.2 Equa¸cões de Campo de Einstein . . . p. 16 2.2 O Modelo Padrão da Cosmologia . . . p. 18 2.2.1 O Princ´ıpio Cosmológico . . . p. 18 2.2.2 O Modelo ΛCDM: . . . p. 21

3 Intera¸c˜ao no Setor Escuro p. 25

3.1 O Problema da Coincidência Cósmica: . . . p. 25 3.2 Modelos de Intera¸cão: Rela¸cões Gerais . . . p. 28

4 Sistemas Dinˆamicos: Estudo Qualitativo p. 32

4.1 Sistema de EDO’s Lineares Autˆonomas: . . . p. 33 4.1.1 Sistemas Planares: . . . p. 33 4.1.1.1 Atrator: . . . p. 34 4.1.1.2 Inst´avel: . . . p. 35 4.1.1.3 Ponto de Sela: . . . p. 35

(9)

4.1.1.5 Foco Instável: . . . p. 36 4.1.1.6 Centro: . . . p. 37 4.2 Sistema de EDO’s Não-Lineares Autônomas: . . . p. 37

5 Modelos de Intera¸c˜ao N˜ao-Lineares p. 41

5.1 Estudo Qualitativo de uma Classe de Modelos . . . p. 42 5.1.1 Pontos Cr´ıticos: . . . p. 42 5.1.2 Comportamento do Sistema em torno do Ponto Cr´ıtico: . . . p. 43 5.1.2.1 Atrator . . . p. 45 5.1.2.2 Foco Est´avel . . . p. 48 5.1.2.3 Centro . . . p. 49 5.2 Solu¸c˜oes Anal´ıticas . . . p. 51

5.2.1 Q = γ3Hρmρx ρ : . . . p. 51 5.2.2 Q = γ3Hρ2m ρ : . . . p. 53 5.2.3 Q = γ3Hρ2x ρ: . . . p. 53

5.3 Algumas considera¸c˜oes sobre o Universo temprano: . . . p. 56

6 Conclus˜ao p. 59

Apêndice A -- Estat´ıstica Bayesiana e Supernovas do Tipo Ia: p. 63 A.1 Teorema de Bayes: . . . p. 63 A.2 Aplica¸cão à SNIa . . . p. 64

(10)

1 Exemplos de intera¸cões que geram atratores. . . p. 46 2 Exemplo de intera¸cões que geram focos estáveis. . . p. 49 3 Exemplo de intera¸cões que geram centro. . . p. 51

(11)

1 Diagrama publicado por Hubble em seu artigo de 1929 [15]. . . p. 21 2 Regiões de confiabilidade para testes com supernovas e gráfico da evolu¸cão

das densidades de energia dos constitu´ıntes do Universo. . . p. 27 3 Retrato de fase para o atrator. . . p. 35 4 Retrato de Fase para o ponto cr´ıtico instável. . . p. 36 5 Retrato de fase para o ponto de sela. . . p. 37 6 Retrato de fase para o foco estável. . . p. 38 7 Retrato de fase para o foco instável. . . p. 39 8 Retrato de fase para o centro. . . p. 40 9 Retrato de fase para a intera¸cão Q = 3Hρ32r(1 + r)−2 em termos de ρ_m

e ρx. . . p. 45

10 Dinâmica das variáveis r e ΩT para a intera¸cão Q = γ3Hρ

2 x

ρ com a escolha

arbitrária: w = −1.1 e γ = 0.1. . . p. 54 11 Dinâmica das variáveis r e ΩT para o modelo ΛCDM. . . p. 54

12 Regi˜oes de confiabilidade no espa¸co de parˆametro (w, γ, Ωm0) para um

caso particular da intera¸c˜ao Q = γ3Hρ2x

ρ. Os contornos de 1σ, 2σ e 3σ

(12)

1 Introdu¸

c˜

ao

Ciência vem do latim scientia e diz respeito a qualquer conjunto de práticas e co-nhecimentos sobre determinado objeto. Em particular, investigamos a Natureza desde os primórdios evolutivos da nossa espécie, porém foi em 1637 que René Descartes lan¸cou os fundamentos da ciência moderna, o Método Cient´ıfico. Hoje o método cient´ıfico e o nosso instinto primitivo de observar o céu se encontram na Cosmologia para desvendar uma pergunta pretenciosa: como o Universo funciona?

Três fatos observacionais dos últimos 70 anos guiam a busca por um modelo que descreva o cosmos: a abundância de elementos leves na Nucleoss´ıntese Primordial, a Ra-dia¸cão Cósmica de Fundo e a Expansão Acelerada do Universo. Essas evidências apontam o modelo ΛCDM e o modelo do Big Bang como uma resposta parcial : o primeiro por não explicar as componentes matéria e energia Escura (e os problemas concetuais decorrentes disso) e o segundo por não explicar a singularidade inicial. As brechas da teoria e a liberdade fornecida pelos dados observacionais na estimativa de parâmetros permite que inúmeros modelos fisicamente motivados ou não sejam propostos como alternativas aos modelos anteriores.

Nesse trabalho estamos interessados no comportamento tardio do Universo, onde en-contramos o conhecido Problema da Coincidência Cósmica. A saber: porque atualmente matéria escura e constante cosmológica possuem aproximadamente a mesma densidade de energia se uma diminui com o tempo e a outra é uma constante? Como uma alternativa ao modelo ΛCDM propomos que no setor escuro há troca de energia. Tal comportamento caracteriza os modelos tratados nesse trabalho como Modelos de Intera¸cão.

Inicialmente proposto por Wetterich em 1988 [1], Modelos de Intera¸cão têm sido amplamente estudados na literatura ainda sem nenhuma evidência observacional que os descarte. Em geral os modelos acoplam as equa¸cões de fluido da energia e matérica escura

(13)

através de um termo de intera¸cão. Muitos dos modelos estudados na literatura remetem a termos de intera¸cão lineares nas densidade de energia. Nós, por outro lado, iremos explo-rar a dinâmica do universo frente a uma determinada classe de acoplamentos não-lineares seguindo a linha de referências como [2–5] e outros. Estudamos qualitativamente essas intera¸cões com a intensão de estabelecer v´ınculos tais que a dinâmica final do universo aliviasse conceitualmente o Problema da Coincidência Cósmica.

A disserta¸cão é composta de seis cap´ıtulos. No Cap´ıtulo 2 expomos a base conceitual da Cosmologia Moderna e especializamos no Cap´ıtulo 3 para modelos cosmológicos com intera¸cão. O Cap´ıtulo 4 é um resumo da ferramenta matemática utilizada para tratar o sistema de equa¸cões de interesse. Finalmente no Cap´ıtulo 5 aplicamos essa ferramenta e extra´ımos informa¸cões qualitativas, através dos espa¸cos de fase. Solu¸cões anal´ıticas são obtidas para três modelos particulares sendo um deles testado observacionalmente com supernovas do tipo Ia. Além disso discutimos brevemente como seria o cenário para a existência de uma Era da Matéria no universo temprano e quais restri¸cões esse v´ınculo impõe aos parâmetros. Conclu´ımos no Cap´ıtulop 6 discutindo os resultados.

(14)

2 Cosmologia: Aspectos Te´

oricos

A cosmologia é uma das ciências mais antigas, pois se propõe, em sentido metaf´ısico, a responder as questões: de onde viemos e para onde vamos.

No que concerne à Cosmologia como ciência f´ısica o foco da investiga¸cão é o Universo, sua origem e sua evolu¸cão. Com os avan¸cos tecnológicos do séc XX foi poss´ıvel á Cosmolo-gia deixar de ser especulativa para ser observacional. Nesse contexto, muitas teorias sobre o universo puderam ser confrontadas experimentalmente e descartadas, ou não. Dentre essas teorias a que vingou com melhor sucesso sobre os dados é o modelo do Big Bang complementado pelo modelo de concordância ΛCDM, porém as respostas fornecidas por esses modelos são incompletas ainda e geram tanto solu¸cões quanto problemas.

Dois fatos sobre a Cosmologia: primeiro que somos observadores dentro do exper-imento; segundo, esse experimento é, ao menos para a tecnologia e de um futuro não distante, único e imposs´ıvel de ser repetido. Portanto para conhecer a natureza dos fenˆ o-menos cosmológicos devemos ser capazes de fazer f´ısica independente de referenciais e devemos saber tratar os dados obtidos desse experimento levando em conta nossa in-capacidade em repeti-lo e nossa posi¸cão não-privilegiada de observa¸cão. Para que isso seja poss´ıvel nos valemos da Relatividade Geral, a ferramenta teórica, e da Estat´ıstica Bayesiana, a ferramenta experimental. Nesse cap´ıtulo os aspectos teóricos mais relevantes da Cosmologia serão apresentados. Inicialmente uma digressão breve sobre a Relatividade Geral, pois esta rege a intera¸cão relevante nas escalas de distância do sistema estudado e depois sua aplica¸cão na busca por modelos que descrevam o Universo.

(15)

2.1 Introdu¸

c˜

ao `

a Relatividade Geral

A teoria moderna da gravita¸cão surgiu no ano de 1916 proposta por Albert Einstein e é conhecida como Relatividade Geral (RG), pois amplia a teoria de 1905, a Relatividade Restrita (RR). A RR é uma teoria desenvolvida para acomodar a Teoria Eletromagnética `

a f´ısica newtoniana. A RR ´e fundamentada sobre os seguintes postulados [6]:

• Princ´ıpio da Relatividade: A f´ısica ´e a mesma para referenciais inerciais.

• Princ´ıpio da Constˆancia da Velocidade da Luz: A velocidade da luz, c, ´e a mesma independente da velocidade relativa entre o observador e a fonte.

Nas palavras de Einstein1 _:

[...] as tentativas sem sucesso de verificar que a Terra se move em rela¸cão ao “meio luminoso”[éter] levaram à conjectura de que, não apenas na mecânica, mas também na eletrodinâmica, não há propriedades observáveis associadas à idéia de repouso absoluto, mas as mesmas leis eletrodinâmicas e ópticas se aplicam a todos os sistemas de coor-denadas nos quais são válidas as equa¸cões da mecânica[...]. Elevaremos essa conjectura (cujo conteúdo será daqui por diante chamado de “princ´ıpio da relatividade”) à posi¸cão de um postulado; e, além disso, introduziremos um outro postulado que é aparentemente inconsistente com o primeiro, a saber, que a luz no espa¸co vazio sempre se propaga com uma velocidade definida V que é independente do estado de movimento do corpo que a emite.

Os postulados de Einstein tiveram implicância direta no conceito de espa¸co e tempo. Para que fossem válidos era necessário escrever as leis f´ısicas num formalismo covariante, ou seja, num formalismo em que pudessem ser entendidas independente do referencial. Nesse ponto surge a entidade espa¸co-tempo e os colorários mais importantes da RR: a dilata¸cão do tempo, a contra¸cão do comprimento do espa¸co e a equivalência massa-energia.

A gravitacional newtoniana, foi desenvolvida no séc.XVII. Baseia-se na premissa de que o espa¸co é absoluto e portanto é poss´ıvel definir referenciais privilegiados nos quais as leis f´ısicas são invariantes sobre as Transforma¸cões de Galileu. Nesse contexto os corpos 1_{EINSTEIN, Albert. Zur Elektrodynamik bewegter K¨}_{orper. Annalen der Physik 17: 891-921, 1905.}

(16)

que possuem massa interagem atravéz de um campo gravitacional que é pontualmente car-acterizado por uma for¸ca proporcional as massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os corpos:

→

F = GmM d3

→

d (2.1)

Apesar de ser uma teoria muito bem estabelecida, a gravita¸cão newtoniana não previa, por exemplo, a precessão do periélio de Mercúrio além de possuir problemas conceituais [7]. Se fizermos a massa de um dos corpos que interagem variar com o tempo então a for¸ca entre as massas é dada por:

→

F (t)= GmM (t) d3

→

d . (2.2)

Dessa forma uma massa m á uma distância d de M(t) sentirá instantaneamente a mu-dan¸ca na intensidade da for¸ca gravitacional e isso é incompat´ıvel com o fato de c é a maior velocidade que faz sentido fisico (consequência da matematiza¸cão dos postulados) [7]. É preciso então reformular a gravita¸cão para que seja compat´ıvel com a RR, partindo do pressuposto, bastante intuitivo, de que uma teoria que pretenda explicar a natureza deve ser válida em suas várias escalas, se não ela é, ao menos, incompleta.

A Relatividade Geral foi formulada para ser a teoria moderna da gravita¸cão. Ela é dita geral, pois amplia os casos tratados pela RR para referenciais não-inerciais. Sua formula¸cão iniciou com Albert Einstein guiado por alguns princ´ıpios filosóficos (alguns consenso na literatura outros não): Princ´ıpio de Mach, Princ´ıpio da Equivalência, Princ´ı-pio da Covariância, Princ´ıpio do M´ınimo Acoplamento Gravitacional e o Princ´ıpio da Correspondência [8]. Em geral na literatura apresenta-se o Princ´ıpo de Mach e o Princ´ı-pio da Equivalência como guias da constru¸cão da RG.

O Princ´ıpio de Mach afirma que todo movimento é relativo. Ou seja, num universo de apenas uma part´ıcula não há movimento, pois não há nada com rela¸cão ao que se mover. Por outro lado num universo de mais de uma part´ıcula o movimento é sempre relativo e influenciado pela inércia gerada pela presen¸ca das outras part´ıculas [8]. Do ponto de vista de Mach um referencial dito inercial é um referencial em movimento privilegiado com rela¸cão ao movimento médio dos constitu´ıntes do universo. Por exemplo, com rela¸cão à Terra o fundo de estrelas fixas é esse referencial privilegiado. A formula¸cão desse princ´ıpio

(17)

é estritamente filosófica não havendo portanto uma matematiza¸cão. Por outro lado, uma aplica¸cão simplista do Princ´ıpio de Mach eleva todos os referenciais ao mesmo patamar então as leis f´ısicas devem ser escritas de maneira que qualquer um deles seja capaz de detectá-las na natureza. Aqui nos aproximamos do Princ´ıpio Geral de Covariância o que nos leva naturalmente a trabalhar no formalismo tensorial para escrever as leis f´ısicas.

O outro pilar da RG é chamado Princ´ıpio da Equilavência. A representa¸cão usual desse princ´ıpio é o “Gedankenexperiment”2, onde um indiv´ıduo dentro de um elevador não consegue ver o que se passa no seu exterior e realiza experimentos f´ısicos. Se o ele-vador está parado sobre a superf´ıcie da Terra sugeito ao chamado ”‘campo gravitacional”’ ou se está longe da a¸cão do campo, porém acelerado, não há como distinguir com exper-imentos de mecânica os dois casos (Princ´ıpio da Equivalência Fraco). Podemos impor o Princ´ıpio de Equivalência também aos experimentos ópticos. Se um feixe de luz é emitido perpendicularmente à dire¸cão da acelera¸cão do elevador então ele se curva já que não atinge a parede oposta num ponto colinear com o emissor. Se isso ocorre num elevador acelerado, então isso deve ocorrer num campo gravitacional (Princ´ıpio Forte de equiv-alência, pois é estendido à toda as leis f´ısicas) [7]. Portanto pelo Princ´ıpio de Fermat3_,

num elevador acelerado a menor distância entre dois pontos não é uma reta, mas sim uma curva. Do princ´ıpio de equivalência o mesmo se passa num campo gravitacional. Através dessa argumenta¸cão heur´ıstica massa e geometria se associam para criar a Relatividade Geral [8].

2.1.1 Geometria Diferencial e F´ısica em Espa¸

cos Curvos

A Geometria Diferencial é a matemática da RG. Seu formalismo permite escrever as leis f´ısicas independente de referenciais além de acomodar melhor a descri¸cão sobre espa¸cos curvos. Alguns elementos da Geometria Diferencial serão abordados superficialmente a seguir, deixando o rigor matemático para nossas referências [7, 8].

O espa¸co-tempo concebido como entidade única é curvo devido a presen¸ca de mas-sas, argumento central da RG. Devemos ser capazes de definir entidades matemáticas como vetores e produto escalar sobre o que chamamos de variedade diferenciável que, no nosso caso, é o espa¸co-tempo. Uma variedade diferenciável m-dimensional é um

con-2_{”‘experimento mental”’}

(18)

junto que pode ser mapeado em Rm utilizando uma carta ou várias cartas (atlas). De maneira simplista: definimos sobre a variedade conceitos matemáticos para escrever as leis f´ısicas e quando for preciso calcular com essas leis fazemos uma coordenatiza¸cão no espa¸co dos números reais onde sabemos integrar, derivar, etc. Para tanto definimos duas entidades matemáticas: o vetor tangente a variedade (ou covariante) e as 1-formas (ou contravariante). Essas entidades são coordenada independentes e caracterizam um tensor. Assim um tensor (s p) é s vezes covariante e m vezes contravariante. As propriedades dos tensores é que carregam a informa¸cão f´ısica do sistema independente de coordenada. Representamos o tensor como sendo:

T = Tα...βλ...µeα⊗ ... ⊗ eβ ⊗ θλ⊗ ... ⊗ θµ, (2.3)

onde eµ e θµ s˜ao as bases dos vetores e das 1-formas respectivamente.

Para recuperar as estruturas matemáticas presentes, por exemplo na gravita¸cão newto-niana e na teoria eletromagnética, opera¸cões como: produto escalar, deriva¸cão, integra¸cão, etc... devem ser representadas no formalismo tensorial. O produto escalar, por exemplo, é realizado através do Tensor Métrico, gµν_{. A m´}_{etrica ´}_{e tal que a norma de um vetor}

qualquer v ´e dada por:

v2 = gµνvµvν = g11(v1)2+ (g12+ g21)v1v2+ etc... (2.4)

Em espa¸cos curvos um vetor, quando é transportado paralelo a si mesmo ao longo de uma curva fechada, não se assemelha ao original. Porém dentre os espa¸cos tangentes associados à uma variedade é poss´ıvel identificar uma classe de vetores tangentes auto-paralelos. No caso cartesiano dada uma linha reta, a tangente à essa linha num ponto é paralela a tangente em qualquer dos outros pontos. Em analogia, se um vetor é auto-paralelo quando transportado sobre uma determinada curva parametrizada C(γ) então essa curva é uma geodésica. Isso significa que, assim como a linha reta no espa¸co euclidiano, C é o caminho mais próximo entre dois pontos. A curva C deve satisfazer a equa¸cão da geodésica, onde a deriva¸cão é feita em rela¸cão a parametriza¸cão γ:

¨

(19)

A equa¸cão de movimento para a part´ıcula livre é ˙p = 0, onde p é o momento linear da part´ıcula. Se utilizamos a o princ´ıpio de covariância encontramos a seguinte equa¸cão de movimento: d2_xν dτ2 Γ ν λγ dxλ dτ dxγ dτ = 0 (2.6)

que é precisamente a equa¸cão da geodésica. Ou seja, num espa¸co curvo uma part´ıcula livre se comporta como uma part´ıcula num campo gravitacional atuando num espa¸co plano, como dito no Princ´ıpio da Equivalência.

Se fazemos o transporte paralelo de um vetor ao longo de uma curva fechada ent˜ao podemos caracterizar a curvatura da variedade se comparamos o vetor antes e depois de transportado. Seja δVβ _{a varia¸c˜}_{ao da componente β do vetor Vquando transportado ao}

longo de uma curva fechada qualquer, ent˜ao deduzimos que ela vale:

δVβ = δxµδxν∂νΓβαµ− ∂µΓβαν + Γ γ αµΓ β γν − Γ γ ανΓ β γµ V α _(2.7)

Denominamos o Tensor de Curvatura ou Tensor de Riemann, Rβ ανµ: Rβ_ανµ= ∂νΓβαµ− ∂µΓβαν + Γ γ αµΓ β γν − Γ γ ανΓ β γµ, (2.8)

ondeΓβ_αν s˜ao denominados S´ımbolos de Christoffel. Outras quantidades podem ser definidas apartir do tensor de Riemann, por exemplo o Tensor de Ricci e o Escalar de Ricci, respectivamente:

Rµν = Rαµαν (2.9)

R = Rµ_µ(= gµνRµν). (2.10)

Um colorário da defini¸cão do Tensor de Riemann são as identidades de Bianchi:

Rµ_νρσ;λ+ Rµ_νρλ;ρ− Rµ_νλρ;σ = 0, (2.11) onde o ; é a deriva¸cão absoluta, i.e., a varia¸cão do vetor e a varia¸cão da base ao longo da variedade.

(20)

2.1.2 Equa¸

c˜

oes de Campo de Einstein

A RG deve possuir a Gravita¸cão Universal como caso particular para que seja válida. O limite newtoniano é obtido quando consideramos campos fracos, estacionários e veloci-dades baixas, nessa situa¸cão a métrica deve ser apenas um pequeno desvio da métrica de Minkowski. Impondo essas considera¸cões na equa¸cão da geodésica obtemos a seguinte expressão:

¨

xi = −c2Γi₀₀.

Uma observa¸cão interessante é que ¨xi é a acelera¸cão da part´ıcula, mas nesse contexto quem fornece a acelera¸cão não é mais uma for¸ca e sim a curvatura do espa¸co está impl´ıcita nos s´ımbolos de Christoffel . Vemos que o princ´ıpio de equivalência surge naturalmente quando consideramos as geodésicas de um espa¸co curvo. O s´ımbolo de Christoffel pode ser escrito em termos da métrica da seguinte forma:

Γµ_νσ = 1 2g

µρ_(g

νρ,σ+ gσρ,ν − gνσ,ρ) (2.12)

Utilizando essa express˜ao para uma das componentes da m´etrica:

g00 = − 1 + 2φ c2 , (2.13)

onde φ é o potencial gravitacional newtoniano. Então, como esperado, a distribu´ı¸cão de matéria determina a geometria do espa¸co-tempo. Devemos encontrar uma equa¸cão para a métrica tal que envolva a distribu´ı¸cão de matéria. Em analogia com as equa¸cões de campo (Laplace e Poisson) devemos obter equa¸cões que envolvam a segunda derivada da métrica (considerando a expressão anterior e recordando que a equa¸cão de Poisson contém ∇2_{φ), nesse caso o tensor de Riemann e suas contra¸c˜}_{oes podem ser usadas. A}

parte que envolve a mat´eria ´e o tensor momento-energia, Tµν que pode ser constru´ıdo para

cada sistema de interesse e que no caso do vácuo é identicamente nulo em todas as suas componente. A primeira hipótese de Einstein era a seguinte expressão:

Rµν = αTµν.

(21)

ser válido covariantemente devemos impor a deriva¸cão absoluta tal que T_{µ ;ν}ν = 0, mas, manipulando das identidades de Bianchi [7], sabemos que Rµν_;ν 6= 0. Então a expressão acima não contempla os requesitos necessários. Ainda manipulando as identidades de Biachi chegamos a seguinte expressão:

Rρλ− 1 2g ρλ_R ;ρ = 0.

Definimos a express˜ao acima como Gµν, o Tensor de Einstein, tal que Gµν_;ν = 0

e a proporcionalidade com Tµν _´_{e ajustada conforme o limite newntoniano. Obtemos ent˜}_ao

a Equa¸c˜ao de Einstein: Gµν = 8πG c2 T µν_, _(2.14) ou mais explicitamte: Rρλ− 1 2g ρλ_{R =} 8πG c2 T µν_. _(2.15)

A Equa¸cão de Einstein é não-linear uma vez que ela se retroalimenta: curvatura gera energia e energia gera curvatura. Não há solu¸cão geral, mas para o caso do vácuo na vizin-han¸ca de uma distribu´ı¸cão de massa esférica temos a conhecida solu¸cão de Schwarzschild [7], essas hipóteses se aproximam muito para o caso do nossos Sistema Solar para uma região exterior ao Sol.

Uma vez constru´ıda a RG é poss´ıvel identificar vários fenômenos associados à cur-vatura do espa¸co-tempo, por exemplo, o redshift gravitacional, ondas gravitacionais, bu-racos negros, precessão de periélios e deflexão de feixes luminosos sendo esse último o experimento considerado como prova da RG. Duas expedi¸cões uma á Guinea e outra ao Brasil mediram a deflexão da luz durante o eclipse solar do ano de 1919 e com uma precisão da ordem de quatro casas decimais mostraram que a RG explicava o fenômeno [7, 8].

(22)

2.2 O Modelo Padr˜

ao da Cosmologia

Atualmente o Modelo do Big Bang e o modelo ΛCDM são os mais aceitos pela comu-nidade cient´ıfica, apesar de possu´ır o maior discrepância modelo-experimento, conhecido como Problema da Constante Cosmológica. A idéia de cosmos como sinônimo de ordem e perfei¸cão associada á uma matemática mais tratável fez com que as primeiras hipóteses so-bre seu funcionamento reca´ıssem soso-bre a estaticidade, homogeneidade e isotropia, os dois primeiros devido á Newton e o terceiro devido á uma generaliza¸cão do princ´ıpio coperni-cano. As duas últimas hipóteses evolu´ıram para o patamar de Princ´ıpio Cosmológico e se por um lado facilitam a constru¸cão de modelos e são uma boa aproxima¸cão para os dados observacionais4_{, por outro s˜}_{ao incansavelmente questionados [10].}

2.2.1 O Princ´ıpio Cosmol´

ogico

A Cosmologia Moderna é constru´ıda sobre Princ´ıpio Cosmológico que possui o respaldo de duas evidências: a Radia¸cão Cósmica de Fundo (Cosmic Microwave Background, CMB), distribu´ı¸cões de galáxias e abundância de elementos leves..

A CMB nos indica que um fundo de radia¸cão, cujo espectro se assemelha ao de corpo negro e possui pico na faixa do microondas, chega até nós mantendo as mesmas pro-priedades f´ısicas em qualquer dire¸cão no céu5_{. Essa radia¸c˜}_{ao viajou at´}_{e n´}_{os por 14 bilh˜}_oes

de anos e portanto conclui-se que, ao menos até essa escala, o Universo é isotrópico, i.e., possui as mesmas propriedades f´ısicas em qualquer dire¸cão.

A homogeneidade do universo é conclu´ıda pela distribu´ı¸cão de galáxias. Uma vez que não somos observadores privilegiados, então conclu´ı-se que qualquer um outro em qualquer outra parte do universo veria a mesma coisa, e portanto, o universo é homogêneo [11].

Na escala cosmológica a intera¸cão relevante é a gravidade descrita pra RG. As Equa¸cões de Campo de Einstein, (2.15), são não-lineares, portanto busca-se inicialmente as solu¸cões mais simples. No caso de uma fonte de massa esfericamente simétrica temos a solu¸cão de Schwarschild [7, 8]. Outra solu¸cão das equa¸cões de Einstein foi descoberta inicicial-4_{O confronto observa¸}_c˜_{ao-modelo no ˆ}_{ambito da cosmologia ´}_{e um tema de ampla discuss˜}_{ao. At´}_{e que}

ponto utiliziar modelos para interpretar dados e utilizar dados para escolher modelos n˜ao ´e uma c´ırculo vicioso que leva sempre aos mesmos resultados [9] ?

(23)

mente por Friedmann6 e corresponde a única métrica poss´ıvel que acomoda o princ´ıpio cosmológico, i.e., homogeneidade e isotropia. Quanto escrita para um referencial t´ıpico em queda livre, ou seja, um referencial comóvel, e em coordenadas esféricas toma a forma:

ds2 = dt2− a2_(t) dr2 1 − Kr2 + r 2_dΩ (2.16) O termo K remete á curvatura espacial, pois um o universo que satisfa¸ca as hipóteses acima só pode ser plano (K = 0), esférico (K = 1) ou hiperbólico (K = −1). O termo a(t) é conhecido como fator de escala, a razão com a qual os termos espaciais da métrica mudam com o tempo. Calculando a distância própria da origem até um desses referênciais comóveis encontramos:

d(r, t) = a(t)R(r), (2.17)

onde R(r) é sen−1(r) quando K = 1; senh−1(r) quando K = −1 e r quando K = 0. Se derivamos a expressão anterior em rela¸cão ao tempo temos:

˙ d = d˙a

a. (2.18)

Se _a˙a = 0 temos um universo estático, _a˙a > 0 um universo em expansão e _a˙a < 0 um universo se contraindo. Devemos observar que as equa¸cões de campo de Einstein continuam sendo satisfeitas se acrescentamos um termo constante. Historicamente esse liberdade foi usado por Einstein para introduzir a Constante Cosmológica, Λ:

Rµν− 1 2g

µν_{R + g}µν_{Λ =} 8πG

c2 T

µν_. _(2.19)

A constante Λ seria necessária para contrabalancear a atra¸cão gravitacional, pois Einstein estava ainda sobre a idéia newtoniana do universo estático. Ainda em vida reconheceu o acréscido da constante cosmológica como um grande equ´ıvoco, porém sua constante foi ressucitada á luz da expansão acelerada do Universo. A solu¸cão da equa¸cão anterior é a conhecida solu¸cão de de Sitter [7, 8, 11].

A Lei de Hubble

Em 1910 as primeiras observa¸c˜oes feitas por Slipher [12] e posteriormente por Wirtz 6_{Foi independentemente obtiva por Lemaˆıtre, Robertson e Walker [11]}

(24)

[13] e Lundmark [14] detectaram que o espectro de algumas nebulosas espirais possu´ıa um desvio para o vermelho. Para medir esse desvio definimos uma grandeza denomi-nada redshift. Utilizando um referencial de Robertson-Walker, i.e., com a origem no laborat´orio, e, considerando um feixe luminoso dτ2 _{= 0 que chega at´}_{e n´}_{os radialmente,}

podemos integrar (2.16) e obter o intervalo de tempo que a luz gasta para sair da fonte até nós. Seja (t0, r0, 0, 0) o evento “emissão da primeira frente de onda” e (t1, r1, 0, 0) o

evento “emissão da segunda frente de onda” , então o intervalo de tempo δt para essas frentes de onda chegarem até laboratório é dado por :

δt1

a(t1)

= δt0 a(t0)

. (2.20)

Se consideramos esses sinais como sendo frente de ondas sucessivas, então em termos da frequência de emissão encontramos:

ν0 ν = a(t1) a(t0) . (2.21) Definimos : 1 + z = a(t0) a(t) . (2.22)

Se a(t) aumenta então a frequência diminui e observamos um redshift nos espectro luminosos. Nesses caso z é positivo. Se a(t) diminui então a frequência aumenta e obser-vamos um blueshift, nesse caso z é negativo. a velocidade radial das fontes luminosas é dada por v = zc. Essa rela¸cão não significa que o movimento das galáxias inflinja a RR, pois para redshifts z > 1 não há significado f´ısico a velocidade radial.

As observa¸cões de Slipher, Wirtz e Lundmark identificavam desvios, mas as galáxias observadas possu´ıam velocidade peculiar influenciado mais pelas intera¸cões gravitacionais de galáxias próximas do que por uma poss´ıvel expansão ou contra¸cão do espa¸co. Para que fosse poss´ıvel observar qualquer outro tipo de movimento é necessário redshifts da ordem de 10−3. Em 1929 Edwin Hubble anuncia ter encontrado uma rela¸cão aproximadamente linear entre distância e redshift [15] utilizando observa¸cões somente até o algomerado de Virgem. Somente em 1930 haviam medidas até o aglomerado de Coma com z ≈ 0.02. Nessa escala foi poss´ıvel verificar a rela¸cão linear entre o redshift e a distância própria . Essa rela¸cão ficou conhecida como Lei de Hubble ou Lei de Hubble-Humanson7_:

(25)

v = H0d. (2.23)

Figura 1: Diagrama publicado por Hubble em seu artigo de 1929 [15].

Em terms do redshift temos que:

z = H0

d

c. (2.24)

Expandindo 2.22 em torno de t0 para objetos pr´oximos encontramos que:

z = ˙a(t0) a(t0)

(t − t0). (2.25)

Lembrando que para a luz temos dτ2 _{= 0, ent˜}_{ao (t − t}

0) = d_c ent˜ao comparando (2.24)

e (2.25) (considerando t0 o tempo em que foi realizada medida) temos H0 ≡ _a(t˙a(t0₀)₎ como

era de se experar dada a métrica FLRW, onde H0 é chamado parâmetro de Hubble.

Para um tempo qualquer t, temos H(t) = _a(t)˙a(t) .

2.2.2 O Modelo ΛCDM:

Até o ano de 1998 acreditava-se que o universo era constitu´ıdo de fótons, bárions e DM e se expandia desaceleradamente devido á atra¸cão gravitacional dos seus constitu´ıntes.

(26)

Riess , Pearlmutter e Schmidt publicam nesse ano evidências extra´ıda da observa¸cão de Supernovas do tipo Ia (SNIa) de que o universo está na verdade se expandindo acelerada-mente [16, 17]. Para que o Universo se expanda aceleradaacelerada-mente é necessário que a maior parte da sua energia provenha de um fluido exótico com equa¸cão de estado negativa. De-nominamos esse fluido de energia escura (Dark Energy, referida daqui em diante como DE) interpretada como a energia do vácuo e sendo referida como Λ em homenagem á constante cosmológica de Einstein (2.19). A introdu¸cão desse novo fluido e sua interpre-ta¸cão como energia do vácuo, apesar de garantir a expansão acelerada do universo cria dois problemas: primeiro que a densidade de DE obtida observacionalmente está de 50 á 120 ordens de magnitude abaixo do estimado pela Teoria Quântica de Campo, chamamos essa discrepância de Problema da Constante Cosmológica (PCC) [18]; o segundo prob-lema, conhecido como Problema da Coincidência (PC) surge da constata¸cão de que as densidades de DM e DE são da mesma ordem de magnitude. O último consititui moti-va¸cão central desse trabalho e será abordado a parte.

`

A luz da descoberta da expans˜ao acelerada o modelo que melhor se ajusta aos dados observacionais dispon´ıveis, SNIa, CMB e BAO8 _´_{e o modelos ΛCDM ou Modelo de}

Con-cordância. Nesse modelo o universo é praticamente plano (K=0 em (2.16)) e possui os constitu´ıntes não interagentes: bárions, radia¸cão, matéria escura Fria9 (CDM) e energia escura (Λ). Dado o conteúdo a composi¸cão do Universo utilizando as equa¸cões de Einstein para descrever a dinâmica do espa¸co-tempo.

Equa¸c˜ao de Friedmann

Considerando a métrica de Friedmann (referida usualmente como métrica FLRW) (2.16) podemos calcular as componentes do tensor de Ricci e o escalar de Ricci (2.9). Além disso é poss´ıvel demonstrar que, para satisfazer as hipóteses de homogeneidade e isotropia o tensor momento-energia deve ser:

T00= ρ Ti0 = 0 Tij = a2ρδij, (2.26)

onde ρ é a densidade própria e p a pressão própria. Além disso adotamos unidades em que c = 1. Utilizando as quantidades anteriores da equa¸cão de Einstein (2.15) e fazendo manipula¸cões simples encontramos:

8_Oscila¸_c˜_{ao Ac´}_{ustica de B´}_arions

(27)

H2 = 8πG

3 ρ + ΩK. (2.27)

O termo ΩK diz respeito ´a curvatura, maior, menor ou igual a zero. Da equa¸c˜ao de

conserva¸c˜ao da energia Tν

µ;ν = 0 encontramos:

˙

ρ + 3H(ρ + p) = 0. (2.28)

´

E necessário que se forne¸ca uma equa¸cão de estado (abreviada daqui pra frente como EoS de “equation of state”) do fluido para que se resolva (2.28) e (2.27). Temos um fluido com equa¸cão de estado p = wρ encontramos a solu¸cão ρ(t) ∝ a−3(1+w). Utilizando a equa¸cão de Friedmann definimos a densidade cr´ıtica:

ρcr = 3H2 8πG = 1.878 · 10 −29 h2 g cm3, (2.29)

onde h é o parâmetro de Hubble que hoje possui valor em torno de 0.7 . Se ρ(t) é maior, igual ou menor que ρcr temos um universo esférico, plano ou hiperbólico. As medidas do

parâmetro de Hubble atualmente e as estimativas da quantidade de matéria no universo indicam que estamos muito próximos á densidade cr´ıtica o que é conhecido como Prob-lema da Planitude, pois demonstra-se que desde os estágios iniciais o Universo já possu´ıa densidade próxima á densidade cr´ıtica. A alternativa mais simples é portanto de que o universo é plano, ρ(o) ≈ ρcr [19]. Daqui em diante adotaremos ΩK = 0.

Como dito, a equa¸cão (2.28) é válida separadamente para os constitu´ıntes do universo se assume-se a hipótese de que não há troca de energia entre eles. Para resumir, as equa¸cões propostas pelo modelo ΛCDM são:

H2 = 8πG 3 ρ, (2.30) ˙ ρb+ 3Hρb = 0, (2.31) ˙ ρr+ 4Hρr= 0, (2.32) ˙ ρdm+ 3Hρdm= 0, (2.33) ˙ ρΛ= 0, (2.34)

(28)

“dm” á matéria escura com EoS10 p = 0 e por fim “Λ” refere-se á constante cosmológica, pΛ = −ρΛ.

10_{Dada a intera¸}_c˜_{ao puramente gravitacional e o comportamento n˜}_{ao-relativ´ıstico sup˜}_{oe-se que a mat´}_eria

(29)

3 Intera¸

c˜

ao no Setor Escuro

O Modelo Padrão da Cosmologia, Big Bang-ΛCDM apesar de ter evidências observa-cionais muito fortes também possui problemas muito graves, como citado na se¸cão 2.2.2, e portanto atualmente a cosmologia é terreno fértil para um sem-número de teorias que modelam o Universo, não só pelos hiatos deixados pelo modelo ΛCDM, mas também pelo total desconhecimento da natureza da matéria escura e da energia escura. As teorias ex-istentes se dividem em duas categorias. De um lado temos as modifica¸cões da RG, como por exemplo, MOND, modelos DGP, teorias f (R) [20] e de outro estão as especula¸cões sobre o setor escuro, por exemplo, DE como quintessência, k-essência, holográfica, phan-tom, constante cosmológica; Modelos de Unifica¸cão, por exemplo, Gás de Chaplygin, Gás de Chaplygin Generalizado; Modelos de Intera¸cão no setor escuro, etc. Podendo esses modelos serem ou não levados um no outro dependendo da interpreta¸cão. Para uma visão geral dos problemas e dos modelos acerca da DE [20] é uma boa referência.

No presente trabalho estamos interessados em uma classe particular de Modelos de Intera¸cão. Em geral, modelos desse tipo fornecem uma dinâmica mais rica para DE e DM. O argumento central é que, uma vez que se desconhece a natureza do setor escuro, é tão válido supor que seus constitu´ıntes conservam-se separadamente, como em (2.33) e (2.34), quanto se supor que interagem [21].

3.1 O Problema da Coincidˆ

encia C´

osmica:

O modelo ΛCDM é também conhecido como Modelo de Concordância, pois é moti-vado por evidências observacionais diversas que indicam que o Universo é constitu´ıdo de radia¸cão, bárions e um setor escuro como citado na última sessão. Podemos apresentar a equa¸cão de Friedmann (2.27) em termos das contribu´ı¸cões de cada constitu´ınte para a densidade total, ρ. Se normalizamos em rela¸cão a ρc, (2.29), e resolvemos as equa¸cões de

conserva¸c˜ao (2.31), (2.32), (2.33), (2.34) para saber a dependˆencia de cada termo com o fator de escala encontramos:

(30)

H2 H2 0

= Ωb0a−3+ Ωr0a−4+ Ωdm0a−3+ ΩΛ, (3.1)

onde Ω = _ρρ

c para cada componente e os subescritos já estão definidos na se¸cão 2.2.2.

COnvenciona-se que a0 = 1.

A densidade de radia¸cão é estimada através da CMB. Seu espectro é de radia¸cão de corpo negro, então utilizasse a estat´ıstica de Bose-Einstein numa aproxima¸cão de ordem zero para relacionar a temperatura da CMB, que é medida com uma incr´ıvel precisão como sendo T = 2.725 ± 0.002K (Mather et al 1999) pelo pelo satélite COBE citato em [19]. Encontra-se:

Ωr0 = 2.47 × 10−5 (3.2)

A densidade de matéria pode ser calculada com diferentes experimentos. Destaca-se dois tipos de experimentos. O primeiro grupo utiliza a intera¸cão radia¸cão-matéria, chamaremos de Ωb0 a grandeza medida por eles, pois seguramente abarcam a matéria

bariônica. O segundo grupo utiliza fenômenos puramente gravitacionais e portanto de-pendentes da densidade total de matéria, chamaremos essa densidade de Ωm0. Com

rela¸cão ao primeiro grupo de experimentos uma séries de medidas envolvendo clusters, abundância de elementos do Universo primordial e outros (para uma rela¸cão completa consultar [22]) indicam Ωb0= 0.02. Com anisotropias de CMB (Prybe 2001 e Netterfield

2001, [19]):

Ωb0= 0.024 (3.3)

A densidade observada corresponde a apenas 2 − 5% da densidade cr´ıtica. Por outro lado, experimentos do segundo grupo, que utilizam fenômenos puramente gravitacionais, como espectro de potência e o estudo do Campo de Velocidade Cósmica nas distribu´ı¸cões de galáxias (Strauss e Willick, 1995) encontram o valor de Ωm0 = 0.3 [19]. Anisotropias

de CMB e Raixo-X de Clusterssão sens´ıveis á razão Ωb

Ωm e concordam com essa

estima-tiva [19]. Portanto, da quantidade total de matéria do tipo poeira e que interage gravita-cionalmente, Ωm0, apenas 20% é bariônica. Aos 80% restantes, como não interagem com

(31)

Ainda sim apenas 30% da densidade cr´ıtica pôde ser medida diretamente. Ao outros 70% chama-se de energia escura e sua existência é corroborada por testes com supen-ovas do Tipo Ia [20] (mais detalhes no apêndice A) realizados por Pearlmutter, Schmidt e Riess1 _{[16, 17]. O primeiro e mais simples candidato ´}_{a DE ´}_{e a Constante Cosmol´}_ogica

(2.19), cuja densidade ´e referida como ΩΛ. A an´alise conjunta dos dados DE CMB, BAO

e supernovas exclue com muita precisão um Universo sem uma energia escura, Figuras 2(a) e ao mesmo tempo permite valores de w em torno de w = −1, dando margem á muitos candidatos à DE, Figura 2(b).

(a) Regi˜oes de confiabilidade para densidade de mat´eria e en-ergia escura [17].

(b) Evolu¸c˜ao das densidades de energia dos constitu´ıntes do Uni-verso [19].

(c) Regi˜oes de confiabilidade para w [17].

Figura 2: Regiões de confiabilidade para testes com supernovas e gráfico da evolu¸cão das densidades de energia dos constitu´ıntes do Universo.

Com essas determina¸c˜oes de densidades observa-se que os dois elementos desconheci-1_{Ganhadores do Prˆ}_{emio Nobel em F´ısica 2011 pela constata¸}_c˜_{ao da acelera¸}_c˜_{ao do Universo}

(32)

dos possuem a mesma ordem de grandeza nos dias de hoje, Figura 2(c). Dois fluidos que evoluem de maneira completamente distinta possuem densidades de energia da mesma ordem de grandeza recentemente na história do Universo e só recentemente. Esse fato é conhecido como Problema da Coincidência Cósmica (PCC) [18, 20, 21, 23].

“ É poss´ıvel que, uma vez que se saiba a natureza fundamental da energia escura o problema da coincidência seja automatico e naturalmente explicado. Por outro lado o contrário também pode ser verdade: compreender a origem da coincidência poderia clari-ficar sobre a natureza da energia escura e sua rela¸cão com o resto do mundo”2 _[23].

A cita¸cão anterior pontua o esp´ırito dos trabalhos motivados pelo PCC. Na literatura é poss´ıvel identificar dois grandes grupos de modelos que aliviam o PCC. Primeiro mod-elos com “scaling solution” que necessitam de uma DE dinâmica que será chamada daqui por diante de ρx. Solu¸cões desse tipo são estáveis e satisfazem r ≡ ρ_ρm_x = constante

para algum tempo ou para todo o tempo [20, 23]. Segundo, modelos que geram um com-portamento periódico de todo setor escuro [24] ou de uma de suas componentes [25, 26] (devido à v´ınculos observacionais, geralmente essa componente periódica é a DE). Uma outra possibilidade é apresentada por campos fantasmas. É poss´ıvel relacionar o tempo necessário para atingir o ponto de coincidência e o tempo de vida do Universo (que é finito no contexto do Big Rip). Se a razão entre esses tempo não é pequena, então o que é observado sobre as densidades de energia não é uma coincidência, e sim uma situa¸cão comum na história do Universo [27].

3.2 Modelos de Intera¸

c˜

ao: Rela¸

c˜

oes Gerais

Das hipóteses do modelos ΛCDM em geral mantêm-se a homogeneidade, a isotropia e a planeza do Universo. Considerando genericamente dois fluidos perfeitos como consti-tu´ıntes do setor escuro com parâmetro da EoS3 _w

m, wx, reescrevemos ent˜ao as equa¸c˜oes

do modelo ΛCDM (lembrando que estamos usando unidades em que c=1):

2_{Do Inglˆ}_{es: “It is possible that once we know the fundamental nature of dark energy the problem of}

coincidence will be automatically and naturally explained. On the other hand, the reverse could be true as well: understanding the origin of the coincidence could shed light on the nature of dark energy and its relation to the rest of the world.” [23]

(33)

H2 = 8πG 3 ρ, (3.4) ˙ ρb+ 3Hρb = 0, (3.5) ˙ ρr+ 4Hρr = 0, (3.6) ˙ ρm+ 3H(1 + wm)ρm = Q, (3.7) ˙ ρx+ 3H(1 + wx)ρx = −Q. (3.8)

As contribu´ı¸cões de matéria bariônica e radia¸cão são pequenas como visto anterior-mente, portanto reescrevemos a equa¸cão de Friedmann assumindo que o comportamento de H será predominantemente influenciado pela evolu¸cão das densidades de energia do setor escuro:

H2 = 8πG

3 (ρm+ ρx). (3.9)

Vamos escolher de anti-mão a EoS das componentes que estão interagindo. Para uma abordagem de modelos de intera¸cão lineares e não-lineares para um setor escuro genérico consultar referência [3]. Nesse trabalho em particular escolhemos DM como poeira, wm = 0, por causa dos fortes v´ınculos observacionais (Se¸cão 3.1) e DE com EoS

p = wρ, dessa forma o sistema de equa¸c˜oes que a ser estudado ´e:

H2 = 8πG 3 (ρm+ ρx), (3.10) ˙ ρm+ 3Hρm = Q, (3.11) ˙ ρx+ 3H(1 + w)ρx = −Q, (3.12)

Abaixo temos algumas escolhas comuns para Q encontrados na literatura. As refer-ências foram escolhidas a t´ıtulo de exemplo e relevância e não cobrem a totalidade dos acoplamentos sugeridos nem a totalidade dos autores que publicaram sobre cada um deles:

• Q = c1ρx+ c2ρm [18, 28]

• Q = 3H(c1ρx+ c2ρm) [2, 3, 5, 29–31]

• Q = cρxαρmβρδ [24, 32]

(34)

• Q = 3Hρmφ [4, 33]˙

• Q = Q(F (r), ρm) [34]

• Q = Q(f (η), ˙f (η)) [3, 35] • Q = Q(ρ, 0ρ) [3].

Acima ci, α, β δ s˜ao constantes (escolhidas em cada referˆencia citada para gerar um

modelo em particular), η = lna3, φ é referente ao campo escalar que interage nesses mod-elos espec´ıficos e f e F são fun¸cões arbitrárias.

Além da liberdade de escolher o acoplamento Q, as entidades interagentes também variam: quintessência com CDM [4, 23, 31, 36, 37], campo fantasma com CDM [27, 29, 33], w −CDM com intera¸cão [24,28,35,38], energia escura holográfica (que satisfaz o Princ´ıpio Holográfico) com CDM [2, 30, 32], gás de chapligyn e gás de chapligyn generalizado com CDM [5]. Novamente aqui vale a ressalva de que as referências não se esgotam nesse assunto.

Modelos de Unifica¸cão do setor escuro podem ser reproduzidos por alguma intera¸cão entre as duas componentes [38]. Além disso em [28] argumenta-se que alguns acoplamen-tos são, em última instância, modifica¸cões da RG. Portanto modelos de intera¸cão não só são uma alternativa para abordar o PCC como também indicam quando pode haver “degenerescência” de modelos frente os dados observacionais, principalmente no que diz respeito á dinâmica de fundo [28, 38]. Para eleger entre um ou outro modelo de intera¸cão é poss´ıvel fazer testes com, por exemplo, forma¸cão de estruturas (para um certa classe de modelos de intera¸cão lineares essa abordagem é feita em [28]).

Do ponto de vista do comportamento de fundo a grandeza relevante ´e a densidade total de energia ρ e, no contexto do PCC, a raz˜ao entre as densidades de energia, r =

ρm

ρx. Buscamos dinˆamicas diferente de ΛCMD onde r vai para zero no limite futuro. As

seguintes rela¸cões são válidas:

ρm = r 1 + rρ (3.13) e ρx = 1 1 + rρ (3.14)

(35)

Definimos: Q = −3HΠ (3.15) e d da = 3H d d(lna3₎. (3.16)

Essas rela¸c˜oes levam o sistema (3.11) e (3.12) em :

ρ0_m+ ρm = −Π, (3.17)

ρ0_x+ (1 + w)ρx = Π. (3.18)

O acoplamento é dado portanto pela fun¸cão Π que também pode ser entendido como um termo de pressão efetiva nas equa¸cões de fluido anteriores. Essas equa¸cões em termos de r e ρ são: ρ0 = − 1 + w 1 + r ρ (3.19) e r0 = r " w − (1 + r) 2 rρ Π # . (3.20)

A intera¸cão é escolhida de maneira a gerar solu¸cões nas quais r → rc, constante

para um Universo futuro. Estudaremos essas equa¸cões em termos de uma determinada intera¸cão não-linear no Cap´ıtulo 5. No próximo faremos uma introdu¸cão à ferramenta matemática para Sistemas Dinâmicos utilizada para se estudar qualitativamente o sistema acima. Uma vez que para alguns modelos não é poss´ıvel encontrar solu¸cões anal´ıtica o comportamento qualitativo tem ganhado destaque na literatura [5, 18, 24].

(36)

4 Sistemas Dinˆ

amicos: Estudo

Qualitativo

Para os cientistas pós-Galileu o sucesso de uma teoria era explicar fenômenos e ser consistente com os dados experimentais. No caso da ciência f´ısica a modelagem de um fenômeno através de equa¸cões matemáticas e suas solu¸cões são os objetivos finais de um estudo, pois nos permitem criar tecnologia. Porém modelar a natureza via de regra nos coloca frente as chamadas equa¸cões não-lineares que não podem ser resolvidas analiti-camente. Por outro lado, mesmo quando as equa¸cões são integráveis esbarramos num segundo empecilho, muitos fenômenos da natureza são aparentemente irreprodut´ıveis, no sentido de que não possuem comportamento periódico (a priori). Essas duas limita¸cões da ciência pareciam não se relacionar até a década de 60 quando Edward Lorenz desco-bre a Sensibilidade a Condi¸cões iniciais. Desde então a Teoria do Caos e dos Sistemas Dinâmicos tem tomado destaque cada vez maior no meio cient´ıfico em conjunto com su-percomputadores modelando e explicando fenômenos intratáveis sob a ótica da ciência não-caoticista.

Nos interessa nesse trabalho o estudo qualitativo das equa¸cões não-lineares quando não for poss´ıvel resolvê-las, pois no contexto de uma intera¸cão entre dois fluidos essa análise nos auxilia a identificar dinâmicas que aliviam o PCC.

Um sistema dinâmico n dimensional consiste em um fluxo cont´ınuo de n variáveis num espa¸co de fase n-dimensional caracterizado por um sistema de equa¸cões diferenciais relacionando essas variáveis.

Analiticamente somos capazes de resolver um número limitado de sistemas de equa¸cões. Se não possu´ımos solu¸cões anal´ıticas extra´ımos da estrutura das equa¸cões não-lineares as informa¸cões qualitativas sobre as solu¸cões poss´ıveis que diferem á menos de condi¸cões

(37)

iniciais. Para conhecer o comportamento global das solu¸cões do sistema não-linear estu-damos comportamento do sistema linear em torno do ponto cr´ıtico. Esse método será brevemente discutindo nesse cap´ıtulo.

4.1 Sistema de EDO’s Lineares Autˆ

onomas:

Um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias (EDO) lineares é escrito na forma matricial como sendo:

˙x = F(x) (4.1)

Onde x = (x1, x2, ..., xn)T. O ˙ representa a derivada em rela¸cão á um parâmetro

comum, por exemplo o tempo t, e F(x) = (F1(x), ..., Fn(x))T ´e tal que Fi n˜ao depende

explicitamente do parâmetro t caracterizando assim o sistema como autônomo. O sistema é linear se Fi é uma combina¸cão linear das variáveis xi.

Define-se como ponto cr´ıtico de um sistema de EDO’s o conjunto (x1

c, x2c, ...) tal

que:

Fi(x1c, x2c, ...) = 0

onde Fi representa aqui cada EDO que constitui o sistema [39].

4.1.1 Sistemas Planares:

Sistemas Planares são sistemas bi-dimensionais para os quais o conjunto de equa¸cões (4.1) se reduz á:

˙x = Ax + By ˙

y = Cx + Dy. (4.2)

São interessantes, pois são simples de se resolver utilizando métodos tradicionais de resolu¸cão de EDO’s [40] através da equa¸cão caracter´ıstica. O estudo dos autoval-ores da matriz dos coeficientes nos fornece condi¸cões simples para caracterizar o sistema

(38)

em torno do ponto cr´ıtico como veremos a seguir. O ponto cr´ıtico do sistema acima ´e (xc, yc) = (0, 0)1.

Sistemas desse tipo possuem solu¸c˜ao em termos de exponenciais:

x(t) = ζ1eλ1t+ ζ2eλ2t, (4.3)

onde x(t) = ( ˙x(t), ˙y(t))T_{, λ}

1,2 e ζ1,2 são solu¸cão da equa¸cão de autovalor que surge quando

substitumos (4.3) em (4.2). Chamemos, T a matriz dos coeficientes. Então a equa¸cão caracter´ıstica é:

λ1,22− T r(T )λ1,2+ Det(T ) = 0. (4.4)

Os autovetores são solu¸cões da equa¸cão matricial:

T ζ1,2 = λ1,2ζ1,2. (4.5)

Estudando a solu¸cão (4.3) podemos caracterizar o comportamento do ponto cr´ıtico, ou seja, se ele atrai as solu¸cões, se repele ou se em torno dele há solu¸cões periódicas. Para autovalores não-degenerados2 surgem os seguintes casos:

4.1.1.1 Atrator:

Se os autovalores s˜ao Reais, λ1,2 < 0 e λ1 6= λ2 ent˜ao (4.3) pode ser escrito

(con-siderando que |λ2| < |λ1| sem restri¸c˜ao de generalidade):

x(t) = e−|λ2|t_(ζ

1e−(|λ1|−|λ2|)t+ ζ2) (4.6)

Para t → ∞ observamos que x(t) → 0, ou seja, independente das condi¸cões iniciais o sistema tende ao ponto cr´ıtico. Podemos observar também por (4.6) que as solu¸cões tendem para origem por um dos autovetores Figura 3, no caso da escolha |λ2| < |λ1|, por

ζ2 como mostrado abaixo.

1_{Uma transforma¸}_c˜_{ao de coordenadas x → x − x}

c e y → y − yc coloca o ponto cr´ıtico na origem 2_{Para os casos onde os autovalores s˜}_{ao degenerado, n˜}_{ao h´}_{a um ´}_{unico m´}_{etodo de an´}_{alise e podem}

(39)

-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 x y

Figura 3: Retrato de fase para o atrator. 4.1.1.2 Inst´avel:

Se os autovalores s˜ao Reais, λ1,2 > 0 e λ1 6= λ2 ent˜ao (4.3) pode ser escrito

(con-siderando novamente que λ2 < λ1):

x(t) = eλ1t_(ζ

1+ ζ2e−|λ1−λ2|t) (4.7)

Para t → ∞ observamos que x(t) → ∞, ou seja, independente das condi¸cões o sistema se afasta do ponto cr´ıtico. Podemos observar também por (4.7) que as solu¸cões tendem ao infinito por um dos autovetores em destaque na Figura 4, no caso da escolha λ2 < λ1,

por ζ1.

4.1.1.3 Ponto de Sela:

Se os autovalores s˜ao Reais, λ1 > 0 e λ2 < 0 ent˜ao (4.3) pode ser escrito:

x(t) = ζ1eλ1t+ ζ2e−|λ2|t (4.8)

Para t → ∞ observamos que x(t) → ∞, porém diferente dos outros casos as solu¸cões se aproximam do ponto cr´ıtico pelo autovetor ζ2 e depois vão para infinito pelo autovetor

(40)

-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 x y

Figura 4: Retrato de Fase para o ponto cr´ıtico inst´avel. 4.1.1.4 Foco Est´avel:

Se os autovalores são Complexos então λ1,2 ≡ α ± iβ. O foco estável ocorre quando

α < 0, ent˜ao (4.3) ´e escrito:

x(t) = e−|α|t(ζ1eiβt+ ζ2e−iβt) (4.9)

Aqui os autovetores são imaginário. A dinâmica do foco estável corresponde á dinâmica do Oscilador Harmônico Super Amortecido, Figura 6, ou seja, as exponenciais com ex-poentes imaginário geram oscila¸cões no espa¸co de fase que são amortecidas pelo termo e−|α|t. Esse termo é responsável por fazer com que, para t → ∞ o sistema atinja o ponto cr´ıtico.

4.1.1.5 Foco Inst´avel:

Em contraposi¸cão ao caso anterior o foco instável possui α > 0 e portanto nõa amortece as oscila¸cões e para t → ∞ as solu¸cões se afastam cada vez mais do ponto cr´ıtico.

(41)

-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 x y

Figura 5: Retrato de fase para o ponto de sela. 4.1.1.6 Centro:

´

E o caso para α = 0:

x(t) = ζ1eiβt+ ζ2e−iβt. (4.11)

Os sitema nunca atinge o ponto cr´ıtico, pois as solu¸cões, dada uma condi¸cão inicial, permanecem numa trajetória c´ıclica no espa¸co de fase, Figura8.

Outra dinâmica interessante além das citadas acima é a dos espa¸cos de fase que apresentam Ciclos Limites que são trajetórias fechadas no espa¸co de fase que repelem ou atratem outras solu¸cões. O estudo de ciclos limites abarca uma quantidade muito grande de sistemas dinâmicos. De acordo com o Teorema de Poincaré-Bendixon num espa¸co de fase em <2 _s´_{o h´}_{a trˆ}_{es poss´ıveis dinˆ}_{amicas: atratoras, repulsoras ou ciclos limites, com isso}

exclu´ımos a poss´ıbilidade de caos nos sistemas tratador nesse trabalho [39, 41].

4.2 Sistema de EDO’s N˜

ao-Lineares Autˆ

onomas:

Consideremos agora que no sistema (4.1) as fun¸c˜oes Fi sejam n˜ao-lineares nas

var-iáveis, porém permane¸cam não dependendo explicitamente de t. Para estudar o compor-tamento desse sistema linearizamos expandindo Fi em série de Taylor em torno dos pontos

(42)

-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 x y

Figura 6: Retrato de fase para o foco est´avel.

utilizar as informa¸cões extra´ıdas no sistema planar da se¸cão 4.1.1. Em geral sistemas n˜ ao-lineares podem possuir mais de um ponto cr´ıtico, ou até infinitos, cada um possu´ındo um tipo distinto de comportamento. Para cada ponto cr´ıtico haverá portanto um sis-tema linear de equa¸cões como (4.2) onde a matriz dos coeficientes, T é agora a Jacobiana calculada sobre ele:

J (x, y) = " _∂F 1(x,y) ∂x ∂F1(x,y) ∂y ∂F2(x,y) ∂x ∂F2(x,y) ∂y # . (4.12)

Como dito anteriormente, uma simples transforma¸cão de coordendas coloca o ponto cr´ıtico na origem e assim as informa¸cões obtidas sobre o comportamento do sistema linear poderão ser utilizadas para se estudar o sistema não-linear sob algumas condi¸cões como demonstrado por Hartmann [39]:

Teorema de Hartman

Seja o ponto cr´ıtico um ponto hiperbólico, então há uma vizinhan¸ca em torno desse ponto em que o espa¸co de fase do sistema não-linear se assemelha qual-itativamente ao comportamento desse sistema, porém linearizado.

Um ponto cr´ıtico hiperb´olico ´e aquele tal que λ1,2, do sistema linearizado em torno

dele, possui parte real diferente de zero. Não é dif´ıcil observar que essa correspondência não é válida para o caso dos centros, onde os autovalores são do tipo λ1,2 = ±iβ, ou seja,

(43)

-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 x y

Figura 7: Retrato de fase para o foco inst´avel.

um ponto não-hiperbólico. Para esses casos, se o sistema de equa¸cões que estamos tra-balhando for anal´ıtica, então uma extensão do Teorema de Poincaré-Lyapunov realizada em [42] garante a equivalência dos espa¸cos de fase.

Uma aplica¸cão direta da abordagem descrita anteriormente será feita no próximo cap´ıtulo para o sistema de equa¸cões (3.19) e (3.20) para uma generaliza¸cão de modelos de intera¸cão não-lineares. Essa abordagem tem sido utilizada em Cosmologia para o estudo qualitativo de solu¸cões, por exemplo, em [5, 18, 24] para citar alguns.

(44)

-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30 x y

(45)

5 Modelos de Intera¸

c˜

ao

N˜

ao-Lineares

Nesse cap´ıtulo vamos aplicar o formalismo descrito no Cap.4 para estudar qualitati-vamente uma classe de modelos não-lineares. Em geral esse tipo de modelo não possui solu¸cão anal´ıtica e portanto conhecer o comportamento e a estabilidade das solu¸cões é o melhor que se pode fazer sem partir para solu¸cões numéricas. Se por um lado a ferra-menta matemática utilizada não fornece pistas de qual modelo é melhor, por outro exclui, por constru¸cão, os modelos que não aleviam o PCC e nesse sentido é poss´ıvel fazer uma classifica¸cão bastante geral dos poss´ıveis modelos de intera¸cão.

Modelos em que termo Q de acoplamento é uma combina¸cão linear das densidades de energia das componentes do setor escuro foram intensamente explorado e são capazes de gerar dinâmicas que aliviam o PCC , pois resultam em solu¸cões em termos de potências do fator de escala, as scaling solutions [3] . Por outro lado, modelos não-lineares também parecem cumprir esse papel [3, 24, 32], ora fornecendo scalingsolutions, ora fornecendo solu¸cões periódicas. Na literatura, como apresentado na se¸cão 3.2, um tipo comum de acoplamento não-linear é :

Q = 3Hγρα_mρβ_x. (5.1)

Fenomenologicamente é motivado por outros sistemas interagentes como predador-presa a rea¸cões qu´ımicas [5] onde a ausência de um dos constitu´ıntes anula a intera¸cão e o excesso de um deles aumenta a taxa e intera¸cão. Essa interpreta¸cão só é válida se por hipótese assumimos dois fluidos com EoS definida de ante-mão, no presente trabalho, CDM e DE com parâmetro da EoS w. Aplicando (3.13) e (3.14) em (5.1) encontramos, em termos de ρ e r:

(46)

Q = 3Hγρα+βrα(1 + r)α+β, (5.2) onde γ é um parâmetro constante, cuja é gcm3(m−1), e que ajusta a intensidade da inter-a¸cão. A expressão anterior é um caso particular, quando m = s de [43]:

Q = 3Hγρmrn(1 + r)s, (5.3)

onde m, n e s são expoentes constantes e a serem determinados tendo em vista o que se espera das solu¸cões. Em termos desses parâmetros vamos buscar por intera¸cões que amenizem o PCC. Recordando a redefini¸cão Q = −3HΠ, o acoplamento que vamos tra-balhar daqui em diante será referido como Π. Estudaremos o efeito desse acoplamento nas solu¸cões do sistema dinâmico (3.19) e (3.20):

Π = −γρmrn(1 + r)s. (5.4)

5.1 Estudo Qualitativo de uma Classe de Modelos

5.1.1 Pontos Cr´ıticos:

Com rela¸cão ao sistema dinâmico (3.19) e (3.20) os pontos cr´ıticos, como definido na se¸cão 4.1, são: rc ρc −1 0 0 0 −1 − w wΠ −1−w

Como o objetivo é abordar o PCC através da intera¸cão o primeiro e o segundo ponto cr´ıtico não são convenientes. O primeiro porque implica que uma das densidades de ener-gia é negativo. O segundo porque a razão entre elas é zero e que reproduz, com rela¸cão á r, o mesmo cenário de ΛCDM se for um ponto estável. Nossa análise vai se restringir por-tanto ao terceiro ponto cr´ıtico que possibilita uma dinâmica que resulte num r constante no futuro.

O ponto cr´ıtico de interesse (rc, ρc) = (−1 − w,_−1−wwΠc ) nos fornece a priori trˆes

(47)

de Energia (WEC), i.e., para que sejam sejam positivo, ent˜ao necessariamente w < −1, pois r deve ser positivo. Se w < −1 ent˜ao, novamente para satisfazer a WEC Πc, que

é a intera¸cão calculada sobre o ponto cr´ıtico, deve ser negativo: Π < 0. utilizando essa abordagem aconclusão vale para qualquer intera¸cão Π o que significa que, para um acopla-mento Q que pretenda levar o Universo á um estágio final com rc> 0 o fluxo de energia

deve ser da DE para DM. Outra conclus˜ao importante a n´ıvel principalmente de testes observacionais ´e que, dada (5.4) a constante do acoplamento deve ser necessariamente positiva, γ > 0. Resumindo:

• w < −1. • Πc< 0

• Se Π esta definido por 5.4 ent˜ao γ > 0.

Substitu´ındo (5.4) e rc em ρc encontramos que a densidade de energia total no ponto

fixo ´e:

ρc=γ|w|s+1(|w| − 1)n−1

_1−m1

. (5.5)

Aplicando as transforma¸c˜oes (3.13) e (3.14) nos pontos cr´ıticos encontramos:

ρmc =γ|w| s+m (|w| − 1)n−m 1 1−m _(5.6) e ρxc =γ|w| s+m_{(|w| − 1)}n−1_1−m1 . (5.7)

5.1.2 Comportamento do Sistema em torno do Ponto Cr´ıtico:

Como o sistema tratado é não-linear vamos aplicar o procedimento de lineariza¸cão descrito na se¸cão 4.2. As ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica da Jacobiana (4.12) do sistema (3.19) e (3.20) são: λ± = 1 2 a ±√a2_{− 4b}_, _(5.8)

(48)

onde, a ≡ w (1 + w) 1 Π ∂Π ∂r − (2 + w) (5.9) b ≡ 1 + w + w∂Π ∂ρ. (5.10)

Para a intera¸cão 3 os autovalores, em termos dos parâmetros livres são:

a = 2 + s + (1 + n + s) w, (5.11)

b = (m − 1) (1 + w) . (5.12)

No intuito de utilizar o Teorema de Hartmann devemos garantir que as ra´ızes n˜ao s˜ao degeneradas, i.e:

b 6= 0 (5.13)

Portanto nossa análise só é válida para m 6= 1. Além disso para que o caso dos centros satisfa¸ca as condi¸cões apresentadas no Cap´ıtulo 4 devemos garantir que não haja singularidades no sistema de equa¸cões, o que impõe n > 1 para os casos do centro.. Dada essas restri¸cões para todos os outros casos somos capazes de estudar as expressões para λ± e assim determinar, em rela¸cão a intervalos do espa¸co de parâmetros m, n, s e w,

como se comporta o ponto cr´ıtico, i.e, se é atrator, instável, foco, centro, ou ponto de sela. Utilizando as condi¸cões sobre os autovalores descritas ao longo da se¸cão 4.1.1 encontramos as seguintes rela¸cões entre os parâmetros tal que o ponto cr´ıtico seja [43]:

• ATRATOR: w < −1 em > 1 e +s < −2+w+nw 1+w − 2 q 1−m 1+w • INSTÁVEL: w < −1 e m > 1 e −s < +2+w+nw_1+w − 2q1−m 1+w • CELA: w < −1 e m < 1 • CENTRO: w < −1 e m > 1 e n = −2−s−w−sw_w e n ≥ 1 • FOCO ESTÁVEL: w < −1 e m > 1 e n < −2−s−w−sw_w • FOCO INSTÁVEL: w < −1 e m > 1 e n > −2−s−w−sw_w

Se observarmos os espa¸cos de fase para cada caso acima, Figuras 3, 4, 5, 6, 7, 8 identifi-camos os casos onde o ponto cr´ıtico ´e atrator ou foco est´avel como prefer´ıveis no sentido

(49)

de amenizar o PCC, pois nesses casos, independente das condi¸cões iniciais (descartando assim qualquer ajuste fino) a evolu¸cão do sistema leva a razão entre as densidades a um valor constante. Também os casos em que o ponto cr´ıtico é um centro são interessantes, pois, como argumentado anteriormente, o PCC não surge devido ao comportamento os-cilatório da densidade total de energia. No caso do centro, inclusive, é poss´ıvel identificar uma época dominada pela matéria e outra pela energia escura. É importante frizar que o sistema dinâmico escrito em termos de (r, ρ) possui o mesmo comportamento em torno do ponto cr´ıtico que o sistema escrito para as densidades de energia. Para a intera¸cão Q = 3Hρ32r(1 + r)−2 que satisfaz as critérios para o centro, a t´ıtulo de exemplo, temos

o retrato de fase em termos de ρm e ρx, Figura 9. Os parˆametros foram arbitrariamente

escolhidos como sendo w = −1.5 e γ = 1.

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Ρm Ρx

Figura 9: Retrato de fase para a intera¸c˜ao Q = 3Hρ32r(1 + r)−2 em termos de ρ_m e ρ_x.

5.1.2.1 Atrator

No caso do atrator, a solu¸cão em torno do ponto cr´ıtico é dada por (4.6) e em termos das variáveis (r, ρ) encontramos:

(50)

r(a) = rc+ a3|λ2|(r1a−3(|λ1|−|λ2|)+ r2) (5.14)

ρ(a) = ρc+ a3|λ2|(ρ1a−3(|λ1|−|λ2|)+ ρ2), (5.15)

onde r1,2 e ρ1,2 são para condi¸cões iniciais e λ1,2 são os autovalores da Jacobiana.

Usamos tamb´em o fato de que o sistema ´e resolvido em termos de lna3, que daqui para frente iremos nos referir como η:

η ≡ lna3.

Aparecem rce ρcsomados na solu¸cão acima, pois na análise desenvolvida na subse¸cão

4.1.1 hav´ıamos colocado o ponto cr´ıtico na origem por uma transforma¸cão de coordenadas. A solu¸cão acima mostra que, para os casos em que o modelo gera um atrator temos scaling solutions, como obtido também para modelos lineares como em [3]. Uma infinidade de modelos não-lineares pertencentes a classe de intera¸cões tratadas aqui podem ser geradas modificando os parâmetros livre m,n,s e w:

m n s Π Q w 3 2 0 −1 −γρ 3/2_{(1 + r)}−1 _3Hγ√_ρρ x −1.5 ≤ w < −1 3 2 1 2 − 3 2 −γρ 3/2_r1/2_{(1 + r)}−3/2 _3Hγ√_ρ mρx −1.125 ≤ w < −1 3 2 1 2 −1 −γρ 3/2_r1/2_{(1 + r)}−1 _3Hγ√_ρρ xρm −1.101 ≤ w < −1 2 1₂ −3 2 −γρ 2_r1/2_{(1 + r)}−3 _3Hγρ x √ ρρm −1.0625 ≤ w < −1

Tabela 1: Exemplos de intera¸c˜oes que geram atratores.

Uma outra maneira de visualizar o comportamento é perturbando o sistema em torno do ponto cr´ıtico, porém a análise só pode ser feita escolhendo uma intera¸cão que seja “tratável” desse ponto e vista. Faremos essa análise para o atrator (m, n, s) = (2, 0, −2),

ou seja:

Π = −γρ2(1 + r)−2. (5.16)

(5.17)

A equa¸c˜ao (3.20) fica nesse caso: