Introdução
• A programação não linear (PNL) visa resolver
problemas nos quais a função objetivo e/ou as
restrições do problema são não lineares. O
problema pode conter restrições de igualdade
e/ou desigualdade.
• Nao existe um único algoritmo para resolver
este tipo de problemas.
Modelo de PNL restrito
s.a.
• Em que sao supostas geralmente funções convexas. é uma função
escalar, enquanto são funções vetoriais.
• Supõe-se neste tipo de problemas que existem p restrições de
igualdade, m-p de desigualdade e n variáveis, com n>p.
• Problemas de otimização não lineares com restrições usualmente são
reformulados como problemas de otimização irrestritos.
Modelo de PNL restrito
No PNL frequentemente é necessário converter todas as restrições de
desigualdade em restrições de igualdade:
s.a.
Em que:
• são as variáveis de folga para os limites superior e inferior de
• são as variáveis de folga para os limites superior e inferior de
Convexidade
Funções Convexas e Côncavas.Uma função é dita convexa num conjunto convexo S se para ∀x1 ∈ S e ∀x2 ∈ S verifica-se a condição
Uma função é dita côncava num conjunto convexo S se para ∀x1 ∈ S e ∀x2 ∈ S verifica-se a condição
Funções Convexas e Côncavas.
Uma função f (x) é convexa se um segmento de reta que une dois pontos dessa função está na superfície ou acima dela. Analogamente, uma função f (x) é côncava se um segmento de reta que une dois pontos dessa função está na superfície ou abaixo dela.
As seguintes propriedades são válidas para funções convexas e côncavas: – Se f (x) é convexa, então todo mínimo local será sempre o mínimo global; – Se f (x) é côncava, então todo máximo local será sempre o máximo global; – Se f (x) é convexa, então −f (x) é côncava (e vice-versa);
– Funções lineares são tanto convexas quanto côncavas;
– Se f (x) é convexa, então g(x) = 1/ f(x) é côncava, ∀x | f (x) < 0; – Se f (x) é côncava, então g(x) = 1/ f(x) é convexa, ∀x | f (x) > 0;
– Se f (x) é estritamente convexa, então possui no máximo um ponto de mínimo; – Se f (x) é estritamente côncava, então possui somente um ponto de máximo.
Os métodos para identificar se uma função é convexa ou côncava variam em função do número de variáveis.
Funções Convexas e Côncavas com uma Única Variável.
Por meio do cálculo da segunda derivada de uma função f (x) , representada por
ou f ''(x), pode-se determinar se esta é uma função convexa ou côncava em um conjunto convexo S.
Caso 1: Se para ∀x ∈ S , f (x) é uma função convexa em S.
Caso 2: Se para ∀x ∈ S , f (x) é uma função estritamente convexa em S. Caso 3: Se para ∀x ∈ S , f (x) é uma função côncava em S.
Caso 4: Se para ∀x ∈ S , f (x) é uma função estritamente côncava em S.
Cabe listar duas observações em relação às definições listadas anteriormente:
a) Se f(x) é uma função linear e, consequentemente, , a função é simultaneamente convexa e côncava em S.
b) Se for positivo para alguns valores de x ∈ S e negativo para outros, a
função não é nem convexa nem côncava em S.
Determine se as funções a seguir são convexas (ou estritamente convexas), côncavas (ou estritamente côncavas), convexas e côncavas simultaneamente ou nenhuma delas, em um conjunto convexo S.
Funções Convexas e Côncavas com Duas Variáveis.
Para uma função f(x1,x2) com 2 variáveis, determina-se se ela é convexa ou côncava em um conjunto convexo S por meio da matriz Hessiana H que corresponde a uma matriz quadrada (2×2) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Pode ser definida como:
em que
é a derivada parcial de segunda ordem da função f em relação à variável xi, (i=1, 2)). é a derivada de segunda ordem da função f em relação à xi e xj, respectivamente, i,j=1,2. tal que i ≠ j (primeiramente deriva-se a função f em relação à xi e depois calcula-se a derivada dessa derivada em relação à xj). A classificação, se uma função é convexa (ou estritamente convexa) ou côncava (ou estritamente côncava), depende dos elementos da diagonal principal de H, além do cálculo do seu determinante [Det (H)].
Novamente, cabe listar duas observações em relação à classificação mostrada anteriormente:
a) Se f(x) é uma função linear e, consequentemente, , a função é simultaneamente convexa e côncava em S.
b) Se Det (H) < 0 para alguns valores de x1, x2 ∈ S, a função não é nem convexa nem côncava em S.
Determine se a função
é convexa (ou estritamente convexa), côncava (ou estritamente côncava), convexa e côncava simultaneamente ou nenhuma delas, em um conjunto convexo S.
A matriz Hessiana de f(x1, x2) pode ser calculada como:
Primeiramente, verifica-se que os elementos pertencentes à diagonal principal da matriz Hessiana são todos negativos. Já o determinante
Conclui-se, portanto, que f(x1, x2) é uma função côncava em S.
Idem para a função
A matriz Hessiana de f(x1, x2) pode ser calculada como:
O determinante de
Conclui-se, portanto, que f(x1, x2) não é nem convexa nem côncava em S.
Funções Convexas e Côncavas com Múltiplas Variáveis.
Para uma função f(x1,x2 ,...,xn) com n variáveis, determina-se se ela é convexa ou côncava por meio do cálculo dos determinantes dos menores principais da matriz Hessiana (determinantes das submatrizes 1×1, 2×2 ,..., n×n de H), representados por Det1,Det2,...Detn , respectivamente:
em que:
é a derivada parcial de segunda ordem da função f em relação à variável xi, (i=1,...,n)
é a derivada de segunda ordem da função f em relação à xi e xj, respectivamente, i, j=1,...,n
tal que i ≠ j (primeiramente deriva-se a função f em relação à xi , e depois calcula-se a derivada dessa derivada em relação à xj).
A tabela abaixo mostra a classificação das funções com mais de duas variáveis a partir do cálculo dos determinantes dos menores principais da matriz H (Det1,Det2,...,Detn).
Novamente, cabe listar duas observações em relação à classificação listada anteriormente:
a) Se f(x) é uma função linear e, consequentemente, Det1,Det2,...,Detn = 0, a função é simultaneamente convexa e côncava em S.
b) Se nenhuma das condições foi atendida, a função não é nem convexa nem côncava em S.
Determine se a função
é convexa (ou estritamente convexa), côncava (ou estritamente côncava), convexa e côncava simultaneamente ou nenhuma delas, em um conjunto convexo S.
A matriz Hessiana de f(x1, x2, x3) pode ser calculada como:
Calcula-se Det1, Det2 e Det3:
Como todos os determinantes são positivos, conclui-se que a matriz é estritamente convexa em S.
DEFINIÇÃO DE MÍNIMO LOCAL
Seja o PNL onde apenas as variáveis são restritas a um conjunto
Em que é um função escalar, um vetor em e um subconjunto
factível de
• Definição:
Um ponto x* é dito ser um mínimo relativo ou local em se existe um
tal que para todo em uma distância de (ou seja, ). Se para todo ,
em uma distância de , então é um mínimo local estrito de em
DIREÇÃO FACTÍVEL
• Proposição (condição necessária de primeira ordem)
Seja m subconjunto de e uma função sobre Se x* é
um ponto mínimo relativo de sobre , então para
qualquer , ou seja, uma direção factível em x*, temos
• Corolário (caso PNL irrestrito):
Seja m subconjunto de e uma função sobre . Se x* é
um ponto mínimo relativo de fsobre e x* é um ponto
interior de , então
Exemplo de PNL irrestrito
• Problema de despacho de geração:
s.a.
Condições necessárias de otimalidade de
primeira ordem
Condição de otimalidade de segunda ordem
• Proposição (condição necessária de otimalidade de segunda ordem): Seja um ponto interior do conjunto , e suponha um ponto mínimo relativo sobre da função . Então:
–
– Para todo ,0
• Na proposição anterior é a Hessiana de .
• Observação: Lembre a aproximação de Taylor de segunda ordem em torno do ponto a:
• Proposição (condição suficiente de otimalidade de segunda ordem): Seja uma função definida em uma região na qual o ponto é um ponto interior. Suponha também que:
– é definida positiva
Então é estritamente um ponto mínimo relativo de .
• Observação: é definida positiva se os determinantes dos menores principais da matriz H (Det1,Det2,...,Detn) são todos estritamente positivos.
Exemplo
• Resolva o seguinte problema de minimização
não linear irrestrito:
Condições necessárias de otimalidade de primeira ordem
(CNOPO) de Karush Kunh Tucker - caso restrito
• Para o caso de PNL restrita, define-se a função de lagrange: As CNOPO de KKT são:
• Condição dual: • Onde:
– : Matriz jacobiana de – : Matriz jacobiana de h
• Condição primal: Condição de desigualdade primal:
• Condição de complementariedade e factibilidade dual e
Observação: O desafio neste tipo de problemas é saber quais restrições estão ativas e quais não no ponto ótimo
