Processos de abstração e de generalização no ensino e na aprendizagem de conceitos algébricos a partir de uma abordagem geométrica

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DE UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA

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Bruna Maroso de Oliveira2 Resumo: A álgebra é o campo da matemática que estuda a manipulação formal

de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas, o estudo da álgebra permite ao aluno ampliar sua capacidade de abstração e de generalização. O presente texto se constitui a partir de uma pesquisa que tem como objetivo ampliar entendimentos acerca de processos de ensino e de aprendizagem de conceitos algébricos no contexto escolar. Tal pesquisa é delimitada a partir da problemática: quais entendimentos são produzidos por alunos de uma turma do oitavo ano do ensino fundamental com relação ao conceito de produto notável, a partir do desenvolvimento de atividades que consideram uma abordagem geométrica? Que elementos da abstração e da generalização se mostram no desenvolvimento de atividades realizadas pelos referidos alunos no estudo do produto notável trinômio quadrado perfeito? A pesquisa tem uma abordagem qualitativa e o material empírico considera o diário de campo, gravações e transcrições de áudios de aulas de matemática, planejamento do professor e registros produzidos pelos alunos. Tais produções se constituem por meio de aulas de matemática desenvolvidas pela pesquisadora. A investigação evidenciou a potencialidade da articulação entre o campo da geometria e o campo da álgebra no processo de aprendizagem do conceito do produto notável trinômio quadrado perfeito. A representação geométrica que possibilita a visualização entende-se, como um dos aspectos relevantes no processo de abstração e generalização e, portanto, deve ser considerada na organização do ensino de tal conceito.

Palavras-chave: trinômio quadrado perfeito; processos de abstração e de generalização;

conceitos algébricos; abordagem geométrica.

Introdução

A matemática compõe-se de ideias, métodos e procedimentos que são utilizados para analisar e resolver situações-problema, desenvolver raciocínios, bem como para representar e comunicar. Para haver possibilidades de se estabelecer processos de abstração e de generalização em matemática há a necessidade da busca de regularidades, e do testar e validar conjecturas, como também, de localizar-se no tempo e no espaço (RIO GRANDE DO SUL, 2009).

Para Ponte; Branco; Matos (2009, p. 10), a generalização é “[...] descobrir e comprovar propriedades que se verificam em toda uma classe de objetos”, considerando movimentos do geral ao particular e do particular ao geral.

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Texto elaborado para o Componente Curricular Estágio Curricular Supervisionado; trabalho de sistematização do curso de M atemática, sob orientação da professora M a Isabel Koltermann Battisti.

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Graduanda do Curso de M atemática – Licenciatura da UNIJUI – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.

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A capacidade de generalização é um dos aspetos centrais da atividade matemática e assume um papel de destaque na álgebra. Já a abstração é uma das características fundamentais da matemática ela está ligada a algo que não é real; um dos principais objetivos do ensino de matemática é a formação de conceitos decorrentes de representações simbólicas que compõem uma linguagem específica a partir de processo de abstração (DAVIS; HERSH, 1985).

A álgebra é o campo da matemática que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas. Teve sua origem na Babilônia, onde os matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, no qual conseguiram realizar cálculos algébricos. Por outro lado, os matemáticos Indianos, Gregos e Chineses do primeiro milênio a.C., resolviam estas equações por métodos geométricos.

O estudo da álgebra permite ao aluno ampliar sua capacidade de abstração e de generalização, lhe possibilitando uma importante ferramenta para a resolução de problemas. No contexto escolar, o currículo de matemática considera a álgebra em quatro dimensões, como exposto na Figura 1.

Figura 1 - Dimensões da álgebra para o Ensino Fundamental

Fonte: Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p.116)

Segundo Brasil (1998), as quatro dimensões a serem tratadas nas aulas de matemática no ensino fundamental são: Aritmética Generalizada, Funcional, Equações e Estrutural. Tais dimensões estruturam o currículo dos anos finais do Ensino Fundamental. Dentre as dimensões da álgebra (Figura 1), encontra-se a álgebra estrutural que diz respeito a um conjunto diferente de operações realizadas, não com números, mas sim com expressões

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algébricas, sendo que o resultado final também é apresentado por meio de uma expressão algébrica.

Conforme Rio Grande do Sul (2009) a álgebra estrutural dá uma ênfase muito grande à exploração de expressões algébricas e à fatoração, surgindo, dessa forma, os produtos notáveis, dentre os quais, o trinômio quadrado perfeito.

Conceitos algébricos podem estar articulados à geometria plana como forma de representar expressões algébricas,

[...] porque os objetos e relações dela correspondem aos das outras; assim sendo, conceitos, propriedades e questões aritméticas ou algébricas podem ser clarificados pela geometria, que realiza a tradução para o aprendiz (LORENZATO, 1995, p. 07).

Para melhor entendimento, os produtos notáveis podem estar associados à expressão da área do quadrado em que seus lados estão representados por letras ou por uma expressão algébrica, conforme mostra a Figura 2.

Figura 2: Representação trinômio quadrado perfeito por meio da área do quadrado

Fonte: Rio Grande do Sul, 2009, p. 151.

A Figura 2 apresenta uma situação que relaciona o produto notável quadrado trinômio perfeito, a um contexto geométrico. Nesta, tem-se figuras geométricas cujas medidas são indicadas de forma algébrica, e também o desenvolvimento algébrico da área do quadrado formado pelas figuras menores. Assim, entende-se que um dos caminhos para o estudo de produto notável pode estar relacionado a contextos geométricos, como também que a representação geométrica pode ser uma importante aliada no processo de abstração.

Para a melhor compreensão dos conceitos e procedimentos algébricos, faz-se importante que, em suas proposições, o professor considere as singularidades de cada dimensão, mas também as implicações de uma dimensão nas tratativas de outra e que isso ocorra de forma

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contextualizada. Nesse sentido, Rio Grande do Sul (2009) traz em suas proposições a álgebra, em muitas situações, articulada a conceitos da geometria.

Diante do exposto, o presente artigo se constitui a partir de uma pesquisa a qual tem por centralidade a generalização e a abstração na aprendizagem e no ensino de conceitos algébricos em aulas de matemática no Ensino Fundamental. Através das proposições apresentadas por Davis e Hersh (1985), Lins e Gimenez (1997), Lorenzato (2009), Brasil (1998), Rio Grande do Sul (2009), Iezzi (1977) e Ponte; Branco; Matos (2009) busca-se ampliar entendimentos acerca de processos de ensino e de aprendizagem de conceitos algébricos no contexto escolar. Tal pesquisa é delimitada a partir da problemática: Quais entendimentos são produzidos por alunos de uma turma do oitavo ano do ensino fundamental com relação ao conceito de produto notável, a partir do desenvolvimento de atividades que consideram uma abordagem geométrica? Que elementos da abstração e da generalização se mostram no desenvolvimento das atividades realizadas pelos referidos alunos?

1. Procedimentos Metodológicos

A pesquisa realizada tem uma abordagem qualitativa. Garnica (2004, p.86) caracteriza pesquisa qualitativa como aquela que tem as características a seguir indicadas:

[...] (a)a transitoriedade de seus resultados; (b) a impossibilidade de uma hipótese a priori, cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou refutar; (c) a não neutralidade do pesquisador que, no processo interpretativo, vale-se de suas perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais não consegue se desvencilhar; (d) que a constituição de suas compreensões dá-se não como resultado, mas numa trajetória em que essas mesmas compreensões e também os meios de obtê-las podem ser (re)configuradas; e (e) a impossibilidade de estabelecer regulamentações, em procedimentos sistemáticos, prévios, estáticos e generalistas. (apud BORBA, 2004, p. 1).

A pesquisa configura-se um estudo de caso, que para Fiorentini e Lorenzato

[...] busca retratar a realidade de forma profunda e mais completa possível, enfatizando a interpretação ou a análise do objeto, no contexto em que ele se encontra, mas não permite a manipulação de variáveis. (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p.110)

Ou seja, consiste, geralmente, em uma forma de aprofundar uma unidade individual. Ele serve para responder questionamentos que o pesquisador não tem muito controle sobre o fenômeno estudado.

Para o desenvolvimento da pesquisa foram realizados alguns procedimentos metodológicos, sendo que inicialmente foi realizado um levantamento de pesquisas já

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publicadas acerca do tema, para que, posteriormente, fosse realizada a leitura com apontamentos acerca da temática envolvida.

Num segundo momento, foi elaborado um planejamento com atividades desencadeadoras de aprendizagem que consideraram o conceito de produto notável trinômio quadrado perfeito, a partir do uso de material concreto, utilizando como contexto elementos da geometria plana. Por meio do desenvolvimento de tais atividades junto a uma turma de alunos busca-se identificar e analisar, entendimentos produzidos por estes alunos acerca do referido conceito, bem como ampliar compreensões acerca da abstração e da generalização no processo de ensino e de aprendizagem de conceitos algébricos.

O planejamento das atividades considera a álgebra a partir de representações geométricas e do uso de materiais manipuláveis, e estrutura-se em cinco momentos. Primeiramente (Momento 1 – M1) os alunos receberam peças (31 peças) confeccionadas com papel firme para que identifiquem as suas formas e indiquem a medida dos lados da face que possui a maior superfície, o valor da área e do perímetro de cada peça. A maior face das peças3 é representada por quadrados grandes (4), por retângulos (15) e por quadrados pequenos (12), cujas dimensões são: o quadrado grande de lado x, o retângulo com seu lado maior medindo o mesmo tamanho do quadrado grande e seu lado menor com o tamanho do quadrado pequeno, e o quadrado pequeno medindo uma unidade. Salienta-se que os alunos da turma foram organizados em pequenos grupos de trabalho e que cada um destes grupos recebeu figuras com tamanhos diferentes, considerando o critério de medida já indicado. O tamanho das figuras foi diferente intencionalmente para que os alunos percebessem a necessidade da utilização de uma letra como um símbolo abstrato para padronizar a medida dos lados das peças.

A partir da maior face de cada peça, sem deixar espaço entre as peças solicita-se para que os alunos representem uma figura, façam a representação por meio de desenhos e que encontrem a área e o perímetro de cada figura formada.

Já o segundo momento (M2) os alunos deveriam representar retângulos contendo as peças selecionadas e novamente encontrar a área e o perímetro destes retângulos. No terceiro momento (M3) com as peças definidas, os alunos deveriam montar quadrados e posteriormente calcular a área e o perímetro destes quadrados. No quarto momento (M4), foi

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realizada a formalização a partir das conclusões sobre a área dos quadrados representados pelos alunos. Num quinto momento (M5) os alunos realizaram algumas questões que envolveram conceitos explorados no decorrer das atividades propostas.

O planejamento foi desenvolvido em aulas de matemática ministradas pela pesquisadora4, em uma turma de oitavo ano do Ensino Fundamental, de uma escola da Rede Pública de Ensino, em um município do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul. A turma contava com 13 alunos, sendo que a atividade foi desenvolvida em três encontros, equivalentes a seis períodos de aula, os quais foram gravados para posteriormente serem transcritos. Esta escola foi escolhida para desenvolver a pesquisa pelo fato da autora atuar nesta como Bolsista de Iniciação à Docência e ter uma relação já estabelecida com a turma.

Os dados empíricos foram produzidos considerando o planejamento das atividades desencadeadoras de aprendizagem elaborado pela pesquisadora, anotações no diário de campo relacionadas ao desenvolvimento das aulas, registro dos alunos e também as transcrições das gravações das aulas. Ressalta-se ainda, que, no presente texto, os alunos serão identificados como: A1, A2, A3 e assim por diante.

Para a análise da atividade são indicadas as seguintes unidades de análise: (i) Reconhecimento do material: articulação entre dois campos da matemática a álgebra e a geometria; e (ii) Trinômio quadrado perfeito: um conceito da dimensão estrutural da álgebra que precisa ser significado5 pelos alunos do Ensino Fundamental. As análises serão baseadas em Davis; Hersh (1985), Lins e Gimenez (1997), Iezzi (1977), Brasil (1998), Rio Grande do Sul (2009).

2. Reconhecimento do material: articulações entre dois campos da matemática a álgebra e a geometria

Ao entrar na escola as crianças já possuem um conhecimento, e esse conhecimento é capaz de contribuir para que as aprendizagens que se estabelecem nesse contexto sejam significativas. A valorização desse saber já constituído pela criança, é uma das vertentes as quais devem ser consideradas para a construção da formação dos conceitos.

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Denominada, em alguns momentos do texto, como professora/pesquisadora.

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“o significado é um traço constitutivo indispensável da palavra. [...] Deste modo, parece que temos todo o fundamento para considerá-la como um fenômeno do discurso. [...] Do ponto de vista psicológico o significado da palavra não é senão uma generalização ou conceito. Generalização e significado da palavra são sinônimos. Toda generalização, toda formação de conceitos é o ato mais específico, mais autêntico e mais indiscutível de pensamento. Consequentemente, estamos autorizados a considerar o significado da palavra como um fenômeno do pensamento (VIGOTSKI, 2001, p. 398) [grifos do autor].

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No ensino de matemática, é ainda mais importante levar em conta esse conhecimento, uma vez que a realidade da qual faz parte já apresentou ao aluno, informalmente, muitos dos conteúdos a serem trabalhados na sala de aula de uma forma aplicada. Na escola, o professor não pode partir do pressuposto de que o saber adquirido informalmente pelo aluno não tenha valor para a constituição do conhecimento científico dele.

Desse modo, é fundamental que o professor, antes de elaborar situações de aprendizagem, investigue qual é o domínio que cada criança tem sobre o assunto que vai explorar, em que situações algumas concepções são ainda instáveis, quais as possibilidades e as dificuldades de cada uma para enfrentar este ou aquele desafio . (BRASIL, 1998, p.45).

Pensando no conhecimento já adquirido pelo aluno, considerando sua inserção numa determinada realidade, a pesquisadora busca na elaboração do planejamento, por atividades que pudessem proporcionar uma compreensão acerca dos conteúdos, considerando o conhecimento prévio dos alunos e o estabelecimento de relações com conceitos já elaborados.

Buscando dar significado a aprendizagem dos alunos, tal planejamento foi organizado em cinco momentos e considerou o conceito de produto notável, o quadrado trinômio perfeito, a partir de uma abordagem geométrica. Por meio de construções geométricas, as quais possibilitam aos alunos a visualização da situação considerada, desta forma, o trabalho com a álgebra poderá ser muito mais significativo para os mesmos. Essa ideia é proposta nos PCN’s6 (BRASIL, 1997), os quais também defendem ser interessante

[...] propor situações em que os alunos possam investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em representações geométricas e identificar suas estruturas, construindo a linguagem algébrica para descrevê -los simbolicamente. Esse trabalho favorece a que o aluno construa a ideia de Álgebra como uma linguagem para expressar regularidades. (BRASIL, 1997, p.117)

Considerando estes aspectos, em um primeiro momento foi proposto aos alunos o reconhecimento do material, o qual contava com quadrados grandes, retângulos e quadrados pequenos7, conforme mostra a Figura 3.

6_{Parâmetros Curriculares Nacionais}_. 7

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Figura 3 - Imagem das peças do material considerado no desenvolvimento das atividades

Fonte: Material produzido na pesquisa.

Para iniciar as atividades do M1, foi solicitado aos alunos que encontrassem o perímetro e a área da maior face de cada peça. No decorrer desta atividade percebeu-se a dificuldade dos alunos com relação às operações algébricas, pois ao calcularem a área do quadrado grande, por exemplo, vários alunos indicaram o produto da multiplicação de x por x como 2x. Quando questionados pela professora o valor da área do quadrado grande, responderam “2x”, então, de acordo com a transcrição desta aula, a professora pergunta quanto é x.x? Os alunos insistem que é “2x, diante dessa resposta a professora questiona o que acontece quando se tem uma multiplicação de bases iguais, neste momento um aluno percebe e responde: “continua com o mesmo valor da base e soma os numerozinhos de cima” (A15). Neste caso o aluno lembra que em uma multiplicação de bases iguais conserva-se a base e adiciona-se os expoentes.

Ao dar sequência à atividade, foi proposto que os alunos, com as peças disponíveis, elaborassem diferentes representações, formando figuras livres, retângulos e quadrados. Considerando cada representação realizada com o material e no caderno na forma de desenhos, deveriam encontrar a área e o perímetro da figura geométrica formada e justificar os cálculos realizados.

A Figura 4 e a Figura 5 apresentam representações de alunos a partir da indicação da construção de figuras livres, tendo como critério o uso de 2 quadrados grandes, dois retângulos e 3 quadrados pequenos, a não sobreposição das peças e não deixar espaços internos vagos na figura.

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A Figura 4 apresenta a representação da figura livre elaborada pelo aluno A1. Este opta por representar um retângulo de base x e altura 2x+3. A construção da figura atende aos critérios indicados, está correta e os cálculos algébricos apresentados também.

Figura 4 - Representação de uma figura livre realizada pelo aluno A1

Fonte: Registro do aluno A1 (M1, aula do dia 26/10/16).

Para o desenvolvimento dos cálculos o aluno A1 opta por encontrar a área a partir da adição da área das peças que formam o retângulo. Como já haviam anteriormente calculado a área da maior face de cada peça, ele percebe que não é necessário calcular a área desta figura a partir da fórmula da área do retângulo (Área=base*altura), opta em somar as áreas encontrando o valor da área total da figura.

Já, na Figura 5, o aluno A3 coloca um y para indicar a medida de um comprimento que julgava ser desconhecido, para então efetuar o cálculo do perímetro.

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A análise indica que A3 não se dá conta de que no espaço que colocou y como a medida do comprimento que faltava, caberia mais um quadrado pequeno, logo a medida do lado que supostamente faltava seria o valor do comprimento do lado do quadrado pequeno.

A3 calcula o perímetro somando todos os valores correspondentes aos lados das figuras e, com relação a área, A3 encontra a partir da soma das áreas de cada peça, as quais ele já havia, assim como A1, encontrado anteriormente.

Outro aluno, o A4, do mesmo grupo realizou a mesma representação, porém ele percebeu que no espaço onde há um recorte caberia mais um quadrado, como mostra a Figura 6.

Ao analisar a Figura 6 percebe-se que o aluno A4 coloca como lado o valor de 1, ao ser questionado sobre este valor responde: “Olha profe, neste espaço cabe um quadradinho, se cabe um quadradinho e o lado desse quadradinho é 1 então aquela medida vai ser 1 também.” Ao calcular o perímetro da figura encontra um valor diferente do colega de grupo, e como eles não conversam entre si para trocar ideias sobre a resolução do problema, cada um chega em um valor do perímetro, sem se darem conta que, considerando o material deste grupo, o valor numérico de y seria 1.

No segundo momento (M2) do planejamento proposto, os alunos deveriam que representar um retângulo com as seguintes peças: um quadrado grande e dois retângulos e os demais critérios já indicados. E, na sequência, encontrar a área e o perímetro do retângulo formado. Depois deveriam representar um retângulo considerando três retângulos, dois

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quadrados pequenos e um quadrado grande, e da mesma forma, após a representação, encontrar a área e o perímetro do retângulo formado. No decorrer desta etapa percebeu-se o envolvimento dos alunos no que diz respeito à manipulação do material disponível, sendo que cada grupo queria elaborar um retângulo diferente do outro grupo.

As Figuras 7 e 8 a seguir apresentam o modo como dois alunos elaboraram a figura solicitada, os quais possuíam a mesma área e o mesmo perímetro, pois neste o que poderia mudar seria apenas o valor do lado do retângulo.

Figura 7 - Representação de um retângulo realizado pelo aluno A9

Ao analisar a representação do aluno A9 percebe-se que ele considerou um retângulo de base x+2 e altura x+1. Para a obtenção do valor da área do retângulo o aluno realizou a soma das áreas das peças que formavam o retângulo. Já o aluno A3 também representou um retângulo de base x+2 e altura x+1, como ilustrado na Figura 8.

Figura 8 - Representação de um retângulo realizado pelo aluno A3

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O aluno A3 encontrou a área da figura somando as áreas da maior face de cada peça, que formavam o retângulo e o perímetro adicionando a medida dos lados de cada peça que formava o retângulo.

No decorrer desta atividade poderia ter sido explorado as propriedades da adição, e a exploração destas propriedades contribuiriam nas elaborações que a professora intencionava que os alunos construíssem.

Para explorar as elaborações dos alunos, de acordo com o planejamento, a professora propôs a eles uma série de questionamentos. Estes tinham por finalidade, além da socialização, possibilitar que os alunos analisassem e refletissem acerca de suas construções. Os questionamentos propostos são apresentados na Figura 9, a seguir.

Figura 9 - Questionamentos realizados pela professora

Fonte: Dados produzidos na pesquisa.

Na socialização das representações, com os questionamentos realizados pela professora, quando perguntado sobre o porquê de encontrar a mesma área e o perímetro diferente, um aluno respondeu: “Mas sora, é claro que se temos as mesmas peças para representar as figuras vamos encontrar a mesma área, porque cada grupo pode ter montado diferente, mas como temos que usar as mesmas peças então temos a mesma área e como cada um representa o sua figura da forma que quiser então temos perímetros diferentes” (A7). Na fala do aluno A7 percebe-se que ele conseguiu realizar algumas generalizações a respeito da área e do perímetro de cada figura, conseguindo assim, elaborar um pensamento algébrico, que segundo Kaput (2008 apud PONTE; BRANCO; MATOS, 2009), é uma capacidade humana que privilegia o fazer, o pensar e o comunicar sobre aspetos matemáticos e que se “[...] manifesta quando, através de conjeturas e argumentos, se estabelecem generalizações sobre dados e relações matemáticas, expressas através de linguagens cada vez mais formais” (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009, p. 9).

A representação algébrica de um procedimento geométrico pode possibilitar que a álgebra tratada neste contexto tenha sentido, e tratativas internas da álgebra possibilitam

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explorar pensamentos algébricos. Como ocorre em todo o desenvolvimento das situações desencadeadoras de aprendizagem propostas,

Blanton; Kaput (2005), caracterizam o pensamento algébrico como o

[...] processo pelo qual os alunos generalizam ideias matemáticas a partir de um conjunto de casos particulares, estabelecem essas generalizações através de discurso argumentativo, e expressam-nas de formas progressivamente mais formais e adequadas à sua idade. (BLANTOM; KAPULT, 2005, apud MATEUS, 2013, p. 18).

E para que os alunos desenvolvam esse pensamento algébrico, faz-se necessário que exista uma lógica matemática entre os conceitos algébricos, o que possibilitará ao aluno pensar algebricamente. Enquanto um processo matemático, a álgebra precisa ser desenvolvida a partir do desencadeamento dos processos de abstração e generalização. A abstração pode ser considerada como idealização ou como extração, reservando a cada um dos sentidos destacados uma conceituação do processo. A abstração como idealização pode ser entendida quando se parte da observação de uma situação do cotidiano para a criação de um modelo, usado para se analisar ou estudar um ente matemático (DAVIS; HERSH, 1995).

Para Mateus (2013), a generalização é definida como uma extensão do raciocínio, ou da comunicação desse raciocínio, para além do caso ou dos casos considerados, identificando e expondo o que existe de comum. O autor expõe também que a generalização sofreu muitas evoluções ao longo dos anos,

[...] sendo que nas salas de aula tradicion ais os alunos generalizam através de relações e objetos que já são concebidos matematicamente, tais como as tabelas da multiplicação, enquanto os outros alunos generalizam a partir de concepções retiradas de situações com significado, a partir das quais derivam as atividades de formalização próprias, promovendo desta maneira uma aprendizagem ativa, baseada na compreensão e na construção de significados. (MATEUS, 2013, p. 19).

Então o aluno deve ser motivado a partir de casos particulares para que assim, ele consiga através destes casos particulares elaborar generalizações a respeito de tal conteúdo. Ou seja, é necessário haver um movimento entre o particular e o geral e entre o geral e o particular.

Assim, ao considerar atividades contextualizadas os professores podem despertar em seus alunos o pensar matemático, proporcionando a eles a oportunidade de validar suas conjecturas, formular suas hipóteses. E se essas atividades estiverem associadas ao uso da geometria, com o auxílio de algum material manipulável, possibilitara aos alunos uma melhor compreensão dos conceitos algébricos, ou seja o estabelecimento, a partir de representações geométricas, de processos de abstração.

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Desta forma, percebe-se a importância da utilização de algum material que possibilite ao aluno a manipulação, bem como conseguir conciliar a Geometria ao ensino de conceitos da dimensão estrutural da álgebra, pois isto contribuiu para que fosse possível relacionar o que estava sendo estudado com algo que os alunos convivem diariamente, no caso a área e o perímetro, fazendo da abstração e do uso de símbolos, uma consequência do trabalho desenvolvido e dando oportunidade para a construção de conceitos. Estes aspectos levam a corroborar com Lins e Gimenez (1997), os quais afirmam que “[...] a Aritmética e a Álgebra constituem, junto com a Geometria, a base da matemática escolar” (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 13).

O desenvolvimento de atividades que envolvem o perímetro e a área de figuras geométricas podem ser utilizadas para proporcionar uma melhor compreensão dos cálculos algébricos. A Geometria, segundo Fiorentini (1992), tende a subsidiar a construção dos conceitos algébricos. Por este motivo, a professora/pesquisadora buscou por uma atividade onde a álgebra estivesse relacionada à geometria, no caso a área de figuras planas, de forma especial do quadrado.

Quando a Geometria é utilizada para contextualizar o ensino da álgebra, torna-se possível propor aulas de matemática mais interessantes e motivadoras aos alunos, fazendo com que os mesmos sejam protagonistas de sua aprendizagem. Ao realizar as representações geométricas, os alunos foram motivados a organizar seu pensamento lógico, pensamento este que é fundamental para a resolução de problemas.

As construções de figuras geométricas contribuem na capacidade dos alunos expressarem algebricamente um pensamento, estabelecer relações e também inserirem-se em processos de generalização acerca do conceito estudado. Ao realizar o cálculo de área e de perímetro de figuras com indicações das medidas na forma algébrica, os alunos conseguiram produzir sentidos e a linguagem algébrica teve significado.

3. Trinômio quadrado perfeito: um conceito da dimensão estrutural da álgebra que precisa ser significado pelos alunos no Ensino Fundamental.

No Momento três (M3) das atividades propostas os alunos foram orientados a representarem quadrados com as seguintes peças: a) um quadrado grande, dois retângulos e um quadrado pequeno, b) quatro quadrados grandes e c) quatro quadrados grandes, doze retângulos e nove quarados pequenos. A partir das representações destes quadrados encontrar

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a área de cada figura e novamente justificar os cálculos realizados para encontrar a área correspondente.

As Figuras 10, 11 e 12 abaixo mostram como três alunos representaram os quadrados solicitados pela professora.

Figura 10 - Representação de um quadrado realizada pelo aluno A11

Ao analisar a Figura 10 percebe-se que o aluno A11 representou o quadrado de lado x+1 e calculou a área através as soma das áreas de cada peça.

O aluno A7 encontrou a área da figura formada com quatro quadrados grande através da multiplicação, ele multiplica 4 que é o número de quadrados pelo valor da área correspondente.

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Ao analisar o que revela a Figura 12, percebe-se que o aluno A2 encontra a área do quadrado formado a partir da soma das áreas de cada peça.

Ao analisar as Figuras 10, 11 e 12 percebe-se que os alunos realizaram os cálculos da mesma forma, mesmo sendo quadrados de medidas diferentes, somaram as áreas de cada peça e encontraram a área total do quadrado.

Em alguns casos, de acordo com a análise da transcrição da aula, os alunos apresentaram dificuldades para realizar a representação destas figuras geométricas, principalmente do quadrado de lado 2x+3, por ser uma figura muito grande, com uma maior complexidade, como é percebido em algumas respostas dos alunos: “profe, é impossível montar um quadrado com essas peças, não fecha” (A2). Diante disso, a professora o orientou a não desistir, pois existiam outras maneiras de organizar as peças, eles só precisavam elaborar uma estratégia no grupo. Nesse contexto percebe-se a importância do desenvolvimento de um pensamento geométrico na disposição das peças.

No quarto momento (M4) os alunos realizaram duas atividades contextualizadas, as quais envolviam a área de piscinas e terrenos, a Figura 13 mostra as atividades realizadas pelo aluno A11.

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Figura 13 - Atividade 1 desenvolvidas pelo aluno A11

Como revela a Figura 13, o aluno A11 resolve a primeira atividade por meio da propriedade distributiva, porém a resolve de maneira errada, então a professora, de acordo com a transcrição desta situação, o orienta a realizar a representação das peças no quadrado dado no problema, e a partir da representação, encontrar a área e comparar com a área que ele havia obtido anteriormente, através da propriedade distributiva.

Ao comparar as duas áreas obtidas o aluno percebe que realizou a multiplicação (propriedade distributiva) errada e é questionado pela professora o porquê havia errado. O aluno responde que “tá faltando só valor do meio sora”, neste momento o aluno A11 lembra que já havia estudado a propriedade distributiva e diz “é aquela coisa né, que eu tenho que multiplicar tudo”. Nesta fala do aluno mostra que mesmo não sabendo o nome da propriedade distributiva ele lembra como se calcula mediante a intervenção da professora/pesquisadora. E neste caso a representação geométrica contribuiu, pois no momento em que ele representa as peças que formam quadrado, se dá conta de que havia feito errado a multiplicação da área.

Já o aluno A3 resolve a mesma atividade através da fórmula da área do quadrado, como mostra a Figura 14.

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A análise da Figura 14 indica que o aluno A1 conseguiu desenvolver corretamente a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição, e quando questionado sobre como resolveu a questão ele responde “essa multiplicação é fácil, eu já havia aprendido na outra escola”. Então, a professora perguntou como ele tinha aprendido lá, e ele respondeu “minha professora da outra escola ensinou na minha turma no inicio do ano a formulazinha pra resolver” o aluno A1 disse também “se eu tivesse aprendido assim antes profe eu teria lembrado quando calculei as outras áreas, agora nunca mais vou esquecer” esta fala do aluno mostra como uma atividade que envolve um contexto, neste caso matemático/geométrico, pode possibilitar a efetiva aprendizagem.

Percebe-se que o aluno A1, na segunda atividade, consegue encontrar a área através do produto notável de forma mais direta, sem precisar realizar a representação das peças no quadrado dado. Os demais alunos também realizaram a atividade 2 da mesma forma.

Após as atividades contextualizadas a professora/pesquisadora centrou esforços na formalização, considerando, de forma especial, a representação do quadrado de lado x+1, que

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eles haviam feito anteriormente. A professora representou o quadrado no quadro e os questionou quanto eles haviam encontrado na área do quadrado, os alunos responderam “x²+2x+1”; a professora continua questionando como que vocês encontraram essa área?

A1: Sora, somamos as áreas das peças que formaram o quadrado. Professora: Mas e se eu não tivesse essas peças?

A1: Dai tinha que calcula pela fórmula”,

Professora: Bom, se eu calcular pela formula como ficaria? A1: (x+1).(x+1).

Professora: E como eu resolvo essa multiplicação?

Nesta pergunta os alunos responderam que deveria multiplicar x.x+1.1, então foi solicitado que eles olhassem para a área que haviam obtido através da representação, então o aluno A? respondeu “profe tem que multiplicar cada número por cada número”. A professora os explica que essa multiplicação que eles estão falando é o produto notável e usa a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição que para Iezzi (1977) Para quaisquer números racionais não negativos a, b e c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c O produto de um número por uma soma é igual à soma dos produtos desse número por cada uma das parcelas (p.178).

A professora continua a questioná-los: e se quiser uma expressão que possibilite calcular qualquer valor no lugar do número 1, o que poderia usar? Como os alunos já haviam lembrado o produto notável, rapidamente responderam

A4: “pode colocar o y no lugar do numero sora, dai usa o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo”

Professora: Tá mas de onde vem essa expressão x²+2.x.y+y²? olhem para a representação geométrica de vocês o quadrado do primeiro termo, qual é o primeiro termo?

A4: “x²”

Professora: qual das peças representa a área do x²? A4:“o quadrado grande”

Professora: e quantos quadrados grandes têm na representação? A4: “um”,

Professora: agora o segundo termo, qual é o segundo termo? A4: “y”

Professora: e quantos peças nós temos que representam o valor de y? A4: “uma”

Professora: por ultimo a expressão duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, por que eu tenho esse dois multiplicando a área do retângulo? Olhem bem pra representação de vocês e observem, quantos retângulos eu tenho?

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Professora: então, por isso eu tenho 2.x.y. a partir da expressão (x+y)², e utilizado o produto notável quadrado trinômio perfeito, é possível encontrar de forma mais prática a expressão que representa a área de um quadrado.

Através de todo esse contexto a álgebra articulada com a geometria se mostra com um alto potencial de ensino referente produtos notáveis trinômio quadrado perfeito, que para Duval (2003, 2011) justifica-se geometricamente a igualdade (𝑎 + 𝑏)² = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 + 𝑏) a partir da decomposição de um quadrado, bem como elucida-se esta explicação com a propriedade distributiva da multiplicação. Assim possibilitando o aluno a realizar processos de abstrações e generalizações relacionados aos conceitos estudados por eles e para que ocorra essas relações de abstração e de generalização o aluno deve percorrer desde a análise do caso particular até a sua construção do raciocínio geral e vice-versa. Desta maneira, os alunos desenvolverão formas de pensar matematicamente que permitem a exploração de relações entre quantidades, a análise da estrutura e da mudança, a resolução de problemas, a generalização, a modelação, a previsão, a justificação e a prova de conjeturas.

O pensamento algébrico deve ser estimulado desde os primeiros anos de escolaridade, através da identificação de regularidades numéricas que os alunos podem procurar por si próprios, ajudando a desenvolver a capacidade de abstração através da aritmética generalizada. (MATEUS, 2013, p.18).

As análises permitem indicar que tanto a álgebra, como a geometria tem procedimentos e raciocínios específicos, mas que no estudo de produtos notáveis, de forma especial do trinômio quadrado perfeito, a articulação destes dois campos promove relações importantes no processo de generalização e abstração pelos alunos. Nas atividades propostas um campo não exclui o outro, mas complementam-se na produção de sentidos pelos alunos e na negociação de significados estabelecidos pela professora/pesquisadora.

Considerações Finais

A referida pesquisa buscou ampliar entendimentos acerca de processos de ensino e de aprendizagem de conceitos algébricos no contexto escolar, sendo delimitada a partir da problemática: quais entendimentos são produzidos por alunos de uma turma do oitavo ano do ensino fundamental com relação ao conceito de produto notável, a partir do desenvolvimento de atividades que consideram uma abordagem geométrica? Que elementos da abstração e da generalização se mostram no desenvolvimento das atividades realizadas pelos referidos alunos?

De acordo com as unidades de análises construídas, fica evidente a potencialidade da articulação do campo da geometria com o campo da álgebra no processo de aprendizagem do

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conceito do produto notável trinômio quadrado perfeito. A articulação se mostrou por meio de situações que envolveram o cálculo da área das figuras geométricas planas a partir o uso do material manipulável e a representação por desenhos. A visualização possibilitada pela representação geométrica entende-se ser um dos aspectos relevantes no processo de abstração e de generalização e, nesse contexto, salienta-se que o uso do material manipulável ampliou consideravelmente o estabelecimento de tais processos.

Nessa articulação entre os dois campos destaca-se que, cada um tem as suas especificidades e que um não exclui ou minimiza o outro, mas se complementam viabilizando a produção de sentidos pelos alunos e a negociação de significados por meio da intervenção da professora/pesquisadora.

Ao desenvolver os cálculos de área e de perímetro das representações das figuras com suas medidas indicadas na forma algébrica, os alunos produziram sentidos sobre a os conceitos envolvidos e a linguagem algébrica teve significado para eles.

Nas análises desenvolvidas evidenciou-se a fragilidade da percepção pelos alunos da multiplicação entre dois símbolos abstratos, no caso x.x. A compreensão desta multiplicação, assim como outras apresentadas no decorrer das análises, é relevante em se tratando do estudo da álgebra estrutural, de forma especial, do produto notável trinômio quadrado perfeito. Assim, entende-se que tratativas relacionadas ao reconhecimento do material foram fundamentais no processo de generalização estabelecido pelos alunos.

Ficou evidente também, a participação dos alunos no desenvolvimento das atividades propostas, estas motivaram os mesmos a querer representar figuras diferentes das figuras construídas pelos colegas, possibilitando assim que eles buscassem estratégias de resolução.

O desenvolvimento das operações poderia ter considerado de forma mais contundente as propriedades da multiplicação com relação à adição. Estas poderiam ter ampliado as possibilidades do estabelecimento de processos de generalização.

A partir de uma situação/contexto geométrico foi criado um modelo algébrico capaz de representar tal situação. Essa modelização algébrica estava impregnada de significados e possibilitou processos de abstração e de generalização, considerando movimentos de casos particulares para o geral e do geral para o particular.

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Referências

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1997. 82 p. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. 88 p.

BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. (Org.) Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.

DAVIS, P; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985. 481 p.

FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas, São Paulo: Autores Associados, 2006. 226 p. (Coleção Formação de Professores).

IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar: conjuntos e funções, São Paulo: Atual, 1977. 317 p. 5. ed.

LINS, R. C; GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas, SP: Papirus Editora, 1997, 176 p.

LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? A educação matemática em revista. Geometria. Blumenau, número 04, p.03-13, 1995. Edição especial.

PONTE, J; BRANCO, N; MATOS, A. Álgebra no ensino básico. Lisboa: DGIDCME, 2009. 180 p.

RIO GRANDE DO SUL. Secretaria de Estado da Educação. Referencial Curricular Lições do Rio Grande: Matemática e suas Tecnologias. Porto Alegre: SE/DP, 2009. 312 p.

VIGOTSKI, L. V.. A Construção do pensamento e da linguagem. Tradução de Paulo Bezerra. São Paulo: Martins Fontes, 2001.