Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de F´ısica Te´oricaDoutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de F´ısica
Mat´eria para a SEGUNDA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conte ´udo
26 Potencial El´etrico 2
26.1 Quest˜oes . . . 2 26.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 3 26.2.1 O potencial el´etrico . . . 3 26.2.2 C´alculo do potencial a partir do
campo . . . 3 26.2.3 Potencial criado por uma carga
puntiforme . . . 6 26.2.4 Potencial criado por um dipolo
el´etrico . . . 7
26.2.5 Potencial criado por distribui-c¸˜ao cont´ınua de cargas . . . 8 26.2.6 C´alculo do campo a partir do
potencial . . . 8 26.2.7 Energia potencial el´etrica de um
sistema de cargas puntiformes . 10 26.2.8 Um condutor isolado . . . 13 26.2.9 O acelerador de van de Graaff . 13 26.2.10 Problemas Adicionais . . . 14 26.2.11 Problemas da terceira edic¸˜ao do
livro-texto . . . 14
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
26
Potencial El´etrico
26.1
Quest˜oes
Q 26-1.
Podemos considerar o potencial da Terra igual a
Volts em vez de igual a zero? Que efeito ter´a esta es-colha nos valores medidos para: (a) potenciais e (b) diferenc¸as de potencial?
Sim. O potencial el´etrico num ponto pode assumir qualquer valor. Somente a diferenc¸a de potencial ´e que possui sentido f´ısico determinado. Por raz˜oes de como-didade, podemos admitir que o potencial da Terra (ou de qualquer outro referencial eq¨uipotencial ) seja igual a zero. Qualquer outro valor escolhido tamb´em serve, pois o que ser´a fisicamente relevante ´e a diferenc¸a de potencial.
Q 26-2.
O que aconteceria a uma pessoa, de p´e sobre uma pla-taforma isolada, se o seu potencial fosse aumentado
Volts em relac¸˜ao a Terra?
N˜ao aconteceria nada de grave: como a pessoa est´a isolada, ela apenas teria seu potencial aumentado em
Volts. Mas caso a pessoa resolvesse descer da tal plataforma deveria faze-lo com muito cuidado...
Q 26-3.
Por que o el´etron-volt ´e freq ¨uentemente uma unidade mais convencional para energia do que o joule?
Espac¸o reservado para a SUA resposta...
Q 26-13.
O fato de s´o conhecermos
, num dado ponto torna poss´ıvel o c´alculo de neste mesmo ponto? Se n˜ao,
que informac¸˜oes adicionais s˜ao necess´arias?
N˜ao. De acordo com a Eq. 26-8, para se calcular uma diferenc¸a de potencial, torna-se necess´ario o conheci-mento de E ao longo de um dado percurso ligando os dois pontos tomados para o c´alculo desta diferenc¸a de potencial.
Q 26-14.
Na Fig. 26-2 do Halliday, o campo el´etrico
´e maior do lado esquerdo ou do lado direito?
O m´odulo do campo el´etrico pode ser estimado da a raz˜ao , onde ´e a distˆancia entre duas
su-perf´ıcies eq¨uipotenciais. Note que do lado esquerdo da figura 26-2 a distˆancia entre duas superf´ıcies eq¨uipoten-ciais ´e menor do que a distˆancia entre duas superf´ıcies eq¨uipotenciais do lado direito. Sendo assim, conclu´ımos que o valor de
na extremidade esquerda da figura 26-2 ´e maior do que
na extremidade direita da figura 26-2. Lembre que
´e proporcional `a densidade de linhas de forc¸a (as quais s˜ao ortogonais `as superf´ıcies eq¨uipoten-ciais em cada um dos pontos destas superf´ıcies eq¨uipo-tenciais).
Q 26-24.
Vimos na sec¸˜ao 26-10 que o potencial no interior de um condutor ´e o mesmo que o da sua superf´ıcie. (a) E no ca-so de um condutor com uma cavidade irregular no seu interior? (b) E no caso da cavidade ter uma pequena “brecha” ligando-a com o lado de fora? (c) E no caso da cavidade estar fechada mas possuir uma carga pun-tiforme suspensa no seu interior? Discuta o potencial no interior do material condutor e em diferentes pontos dentro das cavidades.
(a) Teria o mesmo valor .
(b) Se o condutor est´a isolado e carregado, ter´ıamos igualmente
e constante no interior e
na superf´ıcie, mas n˜ao poder´ıamos determinar o valor num´erico da constante.
(c) Idem ao item (b), inclusive dentro da cavidade irre-gular.
A carga puntiforme ir´a induzir cargas de sinal contr´ario e de mesmo valor absoluto na superf´ıcie da cavidade e, conseq ¨uentemente, de mesmo valor na superf´ıcie exter-na do s´olido irregular. No s´olido, neste caso, devido a presenc¸a da carga ! , o potencial mudar´a de valor mas
ainda ser´a constante e o campo el´etrico nulo, pois trata-se de um condutor carregado e isolado.
26.2
Problemas e Exerc´ıcios
26.2.1 O potencial el´etrico E 26-1.
A diferenc¸a de potencial el´etrico entre pontos de descar-ga durante uma determinada tempestade ´e de #"%$& '
V. Qual ´e o m´odulo da variac¸˜ao na energia potencial el´etrica de um el´etron que se move entre estes pontos?
Use o conceito de potencial e, subseq¨uentemente, uma convers˜ao de unidades, de Joules para eV, confor-me o Apˆendice F, para obter a resposta do livro:
)( *+ , -$&/. ' C01, "%$& ' V0 23"4$&/. 65 J , 2"$78 . 95 J0:, -/#"<;="4$& 6> eV/J0 2 ?$78 > eV@ #" GeV E 26-2.
Uma bateria de carro de 8"
Volts ´e capaz de fornecer uma carga de?A;
Amp`eresBhora. (a) Quantos Coulombs
de carga isto representa? (b) Se toda esta carga for des-carregada a8"
Volts, quanta energia estar´a dispon´ıvel?
(a) Como A C/s, encontramos: !C DFEG, ?A; 0:,IH - 0G H 3"<;$& J C
(b) Usando a Eq. 4, encontramos para a energia solici-tada o seguinte valor:
K !ALH "A;$&J$7M" @NH -3" M J P 26-3.
Em um relˆampago t´ıpico, a diferenc¸a de potencial entre pontos de descarga ´e cerca de '
V e a quantidade de carga transferida ´e cerca deH
C. (a) Quanta energia ´e liberada? (b) Se toda a carga que foi liberada pudes-se pudes-ser usada para acelerar um carro de
kg a partir do repouso, qual seria a sua velocidade final? (c) Que quantidade de gelo a
5 C seria poss´ıvel derreter se toda
a energia liberada pudesse ser usada para este fim? O calor de fus˜ao do gelo ´eOPLH
H $78 J J/kg.
(a) Usando a Eq. 4, encontramos o seguinte valor para a energia:
(QN!ALH %$&
'
J
(b) Igualando a energia solicitada no item (a) com a energia cin´etica do carro, encontramos: (RTS UWV=X " e, portanto, V Y " S U LZ ZA[ $&\ m/s
(c) A energia( fornece o calor] necess´ario para fundir
uma certa massa^ de gelo. Fazendo]_QO e usando
a Eq. 5 do Cap. 20, encontramos o seguinte valor para a massa^ : ^T ( O H $& ' J H H $& J J/kg 2 `8$& kg P 26-5.
Quando um el´etron se move dea at´eb ao longo da
li-nha de campo el´etrico mostrado na Fig. 26-24 (pg. 82), o campo el´etrico realiza um trabalho deH
2 ;%$c8
.
'
J sobre ele. Quais s˜ao as diferenc¸as de potencial el´etrico (a) dPecgf , (b)ghcei f e (c)ghcei d ?
(a) d ei f e K fjd ! 5 ke H 2A;$78 . ' -%$78 . ' e "l ;-V Nota: ! 5
´e uma carga-teste positiva eK
fjd o trabalho
feito pelo campo el´etrico. Observe das linhas de cam-po na figura que o cam-pontoa est´a mais pr ´oximo de cargas
negativas do que o pontob . (O vetor campo E aponta
para as cargas negativas.)
(b) A ddp ´e a mesma que a do item anterior.
(c) Zero, pois os pontosb em est˜ao sobre uma
equipo-tencial.
26.2.2 C´alculo do potencial a partir do campo
E 26-9.
A densidade de carga de um plano infinito, carregado ´e
n
/oqp
C/mX
. Qual ´e a distˆancia entre as superf´ıcies eq¨uipotenciais cuja diferenc¸a de potencial ´e de[
Volts?
De acordo com a Tabela 1, para um plano infinito uniformemente carregado, podemos escrever a seguinte relac¸˜ao: L 5 e nsr " t 5
Donde se conclui que para duas superf´ıcies eq¨uipoten-ciais separadas por uma distˆancia
r
, a diferenc¸a de energia potencial ´e dada por:
ke n " t 5 r
Portanto considerando apenas o m´odulo de
r , encon-tramos a resposta: r "At 5 n ?/? [ mm P 26-11.
O campo el´etrico dentro de uma esfera n˜ao-condutora de raiou , com carga espalhada com uniformidade por todo
seu volume, est´a radialmente direcionado e tem m´odulo dado por !Mv ;wyx 5 u \
Nesta express˜ao,! (positiva ou negativa) ´e a carga total
da esfera eu ´e a distˆancia ao centro da esfera. (a)
To-mando
no centro da esfera, determine o potencial
z, vA0 dentro da esfera. (b) Qual ´e a diferenc¸a de
poten-cial el´etrico entre um ponto da superf´ıcie e o centro da esfera? (c) Sendo! positiva, qual destes dois pontos tem
maior potencial?
(a) Como a express˜ao do campo ´e dada, para determinar-se o potencial basta calcular a integral
{,|vA0+eiz, 0}ke~P 5 v e ! ;wyx 5 u \ ~P 5 vv e ! ? wyx 5 v X u \ Comoz, 0} , temos z, vA0Qe ! ? wyx 5 v X u \
(b) Na superf´ıcie (v u ) a diferenc¸a de potencial ´e
Lz, uC0+eiz, 0}e ! ?Awyx 5 u
(c) Como a diferenc¸a acima ´e negativa, o centro tem potencial maior.
P 26-12.
Um contador Geiger possui um cilindro met´alico com
"l
cm de diˆametro, tendo estendido ao longo do seu ei-xo um fio de H $s8 . cm de diˆametro. Se aplicarmos ? [
V entre eles, calcule o campo el´etrico na superf´ıcie: (a) do fio e (b) do cilindro. (Sugest˜ao: Use o resultado do Problema 24, Cap. 25.)
Usando o resultado do problema 25-24, pag. 58, en-contramos para o campo el´etrico entre o fio e o cilin-dro a express˜ao
yl, "<wt
5
vA0 . Usando a Eq. 26-11,
pag. 68, encontramos para a diferenc¸a de potencial entre o fio e o cilindro a seguinte express˜ao:
L Ceie~ v ~ "<wt 5 v v "<wt 5| v8 v
onde v8 e v8 representam os raios do fio e do
cilin-dro, respectivamente. Desta equac¸˜ao obtemos facilmen-te que s "<wt 5 } vM<v8 A8 e, portanto, que ,|vA0 "<wt 5 v % v |} v8MvM < ??/o-A; Volts v
Portanto: (a) Na superf´ıcie do fio, temos:
? ? `8-A; Volts -/ [ $& . m H -M V/m (b) Na superf´ıcie do cilindro: ??/o- ; Volts m ?/?" kV/m P 26-13*.
Uma carga! est´a uniformemente distribu´ıda atrav´es de
um volume esf´erico de raiou . (a) Fazendo
no infinito, mostre que o potencial a uma distˆancia v do
centro, ondevu , ´e dado por
!l, Hu X e7v X 0 ?Awyx 5 u \
(Sugest˜ao: Ver o exemplo 25-7.) (b) Por que este resul-tado difere daquele do item (a) do Problema 11? (c) Qual a diferenc¸a de potencial entre um ponto da su-perf´ıcie e o centro da esfera? (d) Por que este resultado n˜ao difere daquele do item (b) do Problema 11?
(a) Forada distribuic¸˜ao de cargas a magnitude do campo el´etrico ´e
! l, ;wyx 5 v X 0 e o potencial ´e ! /, ;wyx 5
vA0 , onde v ´e a distˆancia a partir do
Dentro da distribuic¸˜ao, usamos uma superf´ıcie Gaussia-na esf´erica de raiov concˆentrica com a distribuic¸˜ao de
cargas. O campo ´e normal `a superf´ıcie e sua magnitu-de ´e uniforme sobre ela, magnitu-de modo que o fluxo atrav´es da superf´ıcie ´e; w
v
X
. A carga dentro da Gaussiana ´e
!Mv
\
Au
\
.
Com isto, a lei de Gauss fornece-nos
; wyx 5 v X !Mv \ u \
que, simplificando, mostra ser o campo fora da Gaussia-na dado por !Mv ;wyx 5 u \
Se chamarmos deg o potencial sobre a superf´ıcie da
distribuic¸˜ao de cargas, ent˜ao o potencial num ponto in-terno localizado a uma distˆanciav do centro ser´a
geP~P v ge ! ; wyx 5 u \ ~ v v e !Mv X ?Awyx 5 u \ ! ?Awyx 5 u
O valor deg pode ser encontrado colocando-sev4¡u
na express˜ao do potencial em pontos fora da distribuic¸˜ao de cargas, o que fornece-nosqN! l,
; wyx 5 uC0. Portanto ! ; wyx 5¢ u e v X " u \ " u{£ ! ?Awyx 5 u \¤ Hu X e&v X8¥
(b) No Problema 11 o potencial el´etrico foi tomado co-mo sendo zero no centro da esfera enquanto que aqui, o zero est´a no infinito.
De acordo com a express˜ao derivada na parte (a), o po-tencial no centro da esfera ´e {¦H ! l,
?Awyx
5
uC0.
Por-tanto, §e¨ ©eª!Mv
X /, ?Awyx 5 u \
0, que ´e o resultado
encontrado no Problema 11. (c) A diferenc¸a de potencial ´e
L ec " ! ?Awyx 5 u e H ! ?Awyx 5 u e ! ?Awyx 5 u
Este valor ´o mesmo dado pela express˜ao obtida no Pro-blema 11, como n˜ao poderia deixar de ser.
(d) Moral da hist´oria toda: apenas as diferenc¸as de po-tencial tem significado f´ısico, n˜ao importando qual o va-lor do potencial num s´o ponto. Analogamente ao caso gravitacional, mudar-se o ponto de referˆencia de lugar n˜ao altera as diferenc¸as de potencial.
P 26-14*.
Uma casca esf´erica espessa de carga] e densidade
vo-lum´etrica de carga « , est´a limitada pelos raiosv
ev X , onde v X¬ v . Com no infinito, determine o potencial el´etrico em func¸˜ao da distˆanciav ao centro
da distribuic¸˜ao, considerando as regi˜oes (a)v
¬ v X , (b) v ®v)®v X , (c) v®v
. (d) Estas soluc¸˜oes concordam emvC v
X e vNv
? (Sugest˜ao: Ver o exemplo 25-7.)
(a) Parav
¬
v
X o campo ´e como o de uma carga
puntiforme e o potencial ´e
;wyx 5 ] v
onde o zero do potencial foi tomado no infinito. (b) Para determinar o potencial no intervalov
¯v
v
X usamos a lei de Gauss para calcular o campo el´etrico,
integrando-o posteriormente ao longo de uma trajet´oria radial, dev
X at´e
v . A melhor Gaussiana ´e uma superf´ıcie
esf´erica concˆentrica com a casca em quest˜ao. O cam-po ´e radial, normal `a superf´ıcie, com magnitude uni-forme sobre a superf´ıcie, de modo que o fluxo atrav´es da superf´ıcie ´e °
; w
v
X
. O volume da casca ´e
;w ,|v \ X e&v \
0<H , de modo que a densidade de carga ´e « H3] ; w , v \ X e&v \ 0
Assim, a carga englobada pela Gaussiana de raiov ´e
! ; w H ,|v \ e7v \ 0+«%N] v \ e&v \ v \ X e&v \
A lei de Gauss fornece-nos
; wyx 5 v X ¨] v \ e&v \ v \ X e&v \
donde obtemos a magnitude do campo el´etrico:
] ; wyx 5 v \ e7v \ v X ,|v \ X e7v \ 0
Sendo g o potencial el´etrico na superf´ıcie externa da
casca (vs±v X ), ent˜ao o potencial a uma distˆanciav do
centro ´e dado por
geP~ 6² v ge ] ; wyx 5 v \ X e&v \ ~ ³² ve v \ v X v ge ] ; wyx 5 v \ X e&v \ v X " e v X X " v \ v e v \ v X
O valor da constanteg na superf´ıcie externa ´e
encon-trado substituindo-sev´v
X na express˜ao para o
po-tencial que foi determinada no item (a) acima, ou seja,
cµ]4l, ; wyx
5
v
X
0. Substituindo-se este valor na
ex-press˜ao acima e simplificando-a, obtemos
] ; wyx 5 v \ X e&v \ H v X X " e v X " e v \ v% Como«¯H]4 ;w ,|v \ X e v \
0F, o potencial pode ser
es-crito de uma maneira mais simples e elegante como
« H x 5q HAv X X " e v X " e v \ v
(c) O campo el´etrico anula-se na cavidade, de modo que o potencial ser´a sempre o mesmo em qualquer ponto da cavidade, tendo o mesmo valor que o potencial de um ponto qualquer sobre a superf´ıcie interna da casca. Escolhendo-sevNv
no resultado do item (b) e simpli-ficando, encontramos ] ;wyx 5 H , v X X e7v X 0 " , v \ X e7v \ 0l
ou ainda, em termos da densidade de carga« , « "Mx 5 ,|v X X e7v X 0
(d) As soluc¸˜oes concordam parav v
evC v X .
26.2.3 Potencial criado por uma carga puntiforme E 26-19.
Grande parte do material compreendido pelos an´eis de Saturno (Fig. 26-27 na terceira edic¸˜ao do Halliday, ou Fig. 26-28 na quarta) tem a forma de min´usculas part´ıculas de poeira cujos raios s˜ao da ordem de 8
.¶
m. Estes pequenos gr˜aos est˜ao numa regi˜ao que cont´em um g´as ionizado e dilu´ıdo, e adquirem el´etrons em ex-cesso. Se o potencial el´etrico na superf´ıcie de um gr˜ao for de e
;3
V, quantos el´etrons em excesso foram ad-quiridos?
Usando o resultado do Exemplo 26-3, encontramos para o potencial da esfera a seguinte express˜ao:
! ; wt 5 u Sendo
o n´umero de el´etrons em excesso, temos!·
* e, portanto, ; wt 5 Cu * "l Z ?%$& J el´etrons P 26-24.
Um campo el´etrico de aproximadamente
V/m ´e freq ¨uentemente observado pr ´oximo `a superf´ıcie da Ter-ra. Se este campo fosse realmente constante sobre a superf´ıcie total, qual seria o valor do potencial el´etrico num ponto sobre a superf´ıcie? (Veja Exemplo 26-5; su-ponha
no infinito.)
Usando o resultado do Exemplo 26-5, encontramos para o potencial da esfera a seguinte express˜ao: µ ! /,
;wt
5
v<0. Usando a Eq. 25-16, verificamos que o
cam-po el´etrico de uma esfera ´e dado cam-por
;wt 5 ! v X
Portanto, usando-se o valor para o raio m´edio da terra
vC -
H=Z $78
¶
m, dado no Apˆendice C, temos
v -H3Z M V P 26-25.
Suponha que a carga negativa de uma moeda, de um centavo, de cobre, fosse levada para uma distˆancia mui-to grande da Terra — talvez uma gal´axia distante — e que a carga positiva fosse uniformemente distribuida so-bre a superf´ıcie da Terra. De quanto variaria o potencial el´etrico na superf´ıcie da Terra? (Veja o Exemplo 23-3.)
O Exemplo 23-3 nos diz que a carga contida em tal moeda ´e!
H3Z
$8 J
C, enquanto que do Apˆendice C vemos que o raio da Terra ´eu¹¸7
-/ H3Z
$W ¶
m. Como a carga positiva pode ser considerada como estando no infinito, vemos que a variac¸˜ao de potencial ser´a
! ; wt 5 u¹¸ , 2$& ' 0:, H=Z $78 J 0 -/ H3Z $& ¶ 2 H $& > V
Note que a resposta do livro est´a incorreta.
P 26-26.
Uma gota esf´erica de ´agua tem uma carga de H
pC e o potencial na sua superf´ıcie ´e de [
V. (a) Calcule o raio da gota. (b) Se duas gotas iguais a esta, com mesma carga e o mesmo raio, se juntarem para constituir uma ´unica gota esf´erica, qual ser´a o potencial na superf´ıcie desta nova gota?
(a) Usando a Eq. 26-12, temos º»! /, ; wt 5 uC0 [ V, ou seja, u¨ ! ; wt 5 / [AH 2 mm
(b) O raiov da nova gota esf´erica pode ser obtido da
ex-press˜ao;w v \ " , ; w u \ 0 ou seja,v% " ¼ \ u A carga total sobre a nova gota ´e dada por"
!
-$78 . C
Supondo que haja uma distribuic¸˜ao uniforme, vemos que o potencial½ procurado ´e dado por
½ " ! ; wt 5 v " ! ;wt 5 , " ³¼ \ u0 ¡Z 2 ; V
26.2.4 Potencial criado por um dipolo el´etrico P 26-32.
Uma carga puntiforme!
-* est´a fixa na origem de
um sistema de coordenadas retangulares, e uma segunda carga puntiforme!
X
¾e
* est´a fixa em¿& ?
-nm,
À
. O lugar geom´etrico de todos os pontos, no pla-no¿
À
comÁ
, ´e um c´ırculo centrado sobre o eixo
¿ , como mostra a Fig. 26-31. Determine (a) a posic¸˜ao ¿ do centro do c´ırculo e (b) o raiou do c´ırculo. (c) A
sec¸˜ao transversal no plano¿
À
da superf´ıcie equipoten-cial de[ V tamb´em ´e um c´ırculo?
(a) e (b) As equac¸˜oes que determinam¿ eu s˜ao as
seguintes, chamando dea o ponto emu
¿ e deb o
ponto emu¨e&¿ , onde o c´ırculo intersecta o eixo¿ : ;wt 5 f ! u ¿ ! X ¿ X e®, u¨e7¿ 0 ; wt 5 d ! u¨e7¿ ! X ¿ X e®, u ¿ 0
Resolvendo este sistema de equac¸˜oes parau e ¿y
en-contramos ¿ ! X ¿ X ! X ec! X X , -*<0 X , ? -0 , -*<0 X e,³e *<0 X e ; ? nm u ! ! X ¿ X ! X ec! X X , -*<0:,6e 8 *<0:, ?/ -0 , -*<0 X e,³e *<0 X ?/o nm
(c) N˜ao. A ´unica equipotencial que ´e um c´ırculo ´e aque-la para
. P 26-33.
Para a configurac¸˜ao de cargas da Fig. 26-32 abaixo, mostre quez, v<0 para os pontos sobre o eixo vertical,
supondo quevCÂ ´e dado por
;wt 5 ! v " vÃ
(Sugest˜ao: A configurac¸˜ao de cargas pode ser vista co-mo a soma de uma carga isolada e um dipolo.)
L X onde
potencial da carga do centro
e X potencial do dipolo. S7! v¯ X S ! vec S eª! v S7! v Ce&v v X e& X NS " !< v X ec X L X NS ! v " !< v X ec X
ParavÂÄ temos, finalmente,
S ! v " !< v X E 26-34.
Temos que, uma cargaeÅ[A! est´a a uma distˆancia
"
de
Æ
, uma cargaeÅ[ ! est´a a uma distˆancia de
Æ
, e duas cargas
[ ! est˜ao cada uma a uma distˆancia de
Æ
, de modo que o potencial el´etrico emÆ
´e ! ; wyx 5¢ e [ " e [ [ [ £ ke [A! ?Awyx 5
O zero do potencial foi tomado como estando no infini-to.
E 26-39.
(a) Toda carga est´a a mesma distˆanciau de m , de
modo que o potencial el´etrico emm ´e
; wyx 5N¢ ] u e -] u±£ ke [ ] ;wyx 5 u
(b) Toda a carga est´a a mesma distˆanciaÇ u X r X de Æ
de modo que o potencial el´etrico ´e
; wyx 5 ¢ ] Ç u X r X e -] Ç u X r X £ e [ ] ; wyx 5 Ç u X r X
26.2.5 Potencial criado por distribuic¸ ˜ao cont´ınua de cargas
E 26-40.
Um disco de pl´astico ´e carregado sobre um lado com uma densidade superficial de cargan
e, a seguir, trˆes quadrantes do disco s˜ao retirados. O quadrante que res-ta, ´e mostrado na Fig. 26-39, pg. 85. Com´
no infinito, qual ´e o potencial criado por esse quadrante no pontoÆ
, que est´a sobre o eixo central do disco original, a uma distˆanciar
do centro original?
Como o disco foi uniformemente carregado, isto im-plica que quando o disco completo estava presente cada quadrante contribuia de modo igual para o potencial em
Æ
, de modo que o potencial em Æ
devido a um ´unico quadrante ´e igual a um quarto do potencial devido ao disco todo.
Vamos, portanto, determinar o potencial devido ao disco completo.
Consideremos um anel de carga com raio v e
largu-ra v . Sua ´area ´e "<w
v_ v e ele cont´em uma carga 3!i
"<w
n
vcv . Toda esta carga est´a a uma distˆancia Ç v X r X deÆ
, de modo que o potencial devido a tal anel ´e 3 ; wyx 5 "Aw n v¹v Ç v X r X n v¹v "Mx 5 Ç v X r X O potencial total emÆ
´e a soma dos potenciais de todos an´eis: n "Mx 5 ~ 5 vv Ç v X r X n "Mx 5ÉÈ v X r X/Ê Ê Ê 5 n "Mx 5 ¢È u X r X e r £ O potencialgË
, devido a meio quadrante, emÆ
´e gË ; n ?Ax 5 ¢ È u X r X e r £ P 26-41.
Qual ´e o potencial no ponto Æ
na Fig. 26-40, a uma distˆancia da extremidade direita de uma barra fina de
pl´astico de comprimentoO e carga total eÅ] ? A carga
est´a distribu´ıda uniformemente e
no infinito.
Considere um elemento infinitesimal da barra, loca-lizado entre ¿ e¿
¿ . Ele possui um comprimento ¿ e cont´em uma carga!·¾P ¿ , onde »eÅ]<O
´e a densidade linear de carga da barra. Sua distˆancia do pontoÆ
´e
¿ e o potencial que ela cria no ponto
Æ ´e 3 ; wt 5 3! ¿ ; wt 5 ) ¿ ¿
Para encontrar o potencial total no pontoÆ
basta agora integrar sobre todo comprimento da barra. Portanto,
; wt 5 ~ Ì 5 ¿ ¿ ; wt 5ªÍoÎ ,I ¿0 Ê Ê Ê Ì 5 ; wt 5ÏjÍoÎ ,I O0e Í`Î ; wt 5 ÍoÎ O eÅ]4AO ; wt 5¯ÍoÎ O q
26.2.6 C´alculo do campo a partir do potencial E 26-45.
Na sec¸˜ao 26-8, vimos que o potencial para um ponto sobre o eixo central de um disco carregado era
n "At 5 È u X r X e r
Use a Eq. 26-34 e a simetria para mostrar que
para um tal ponto ´e dado por
n "At 5 e r Ç u X r X e 3{,|vA0 v v Ð v Ð e n "At 5 v ,I! X v X 0 ¼ X e&v e n "At 5Å¢ " ,IÑ X v X 0 . ³¼ X B " ve £ n "At 5Ò e v , Ñ X v X 0 ¼ X
Portanto, Se vÂÓÑ Ô NS ! v X onde !C n w Ñ X Se vÕÓÑ Ô n "At 5 P 26-48.
(a) Mostre, calculando diretamente a partir da Eq. 26-25, que o potencial el´etrico, num ponto do eixo de um anel carregado, de raiou , ´e dado por
; wt 5 ! Ç r X u X
(b) Partindo deste resultado, obtenha uma express˜ao correspondente para
, nos pontos axiais, e compare com o resultado do c´alculo direto de
apresentado na sec¸˜ao 24-6 do Cap. 24.
(a) Seja Ö um elemento de linha do anel. A
densida-de densida-de carga linear do anel ´e! l, "Aw
uC0. O potencial = produzido por um elemento infinitesimal de carga 3!CL Ö ´e dado por
3 ; wt 5 3! v ; wt 5 ,I! "Aw u0³AÖ ,Iu X r X 0 ¼ X O potencial no pontoÆ
considerado ´e dado pela integral
~ 3 ~ ;wt 5 ! "Aw u AÖ ,Iu X r X 0 ³¼ X Note que u e r
permanecem constantes ao longo do anel, fazendo com que a integral se reduza a
;wt 5 , ! "Aw uC0 , u X r X 0 ¼ X ~ AÖ
Como a integral de Ö ´e igual aÖÅ "Aw u , o comprimen-to do anel, obtemos k ; wt 5 ! , u X r X 0 ¼ X
(b) Analisando a simetria do problema, conclu´ımos que o campo el´etrico n˜ao possui nenhuma componente or-togonal ao eixo do anel. Portanto, o campo el´etrico ´e orientado ao longo do eixo do anel (para fora do anel), sendo dado por
ke = r ;wt 5 ! r , u X r X 0 \ ¼ X P 26-49.
A barra fina com carga positiva da Fig. 26-42 tem uma densidade linear de carga uniforme e se encontra ao
longo de um eixo¿ como ´e mostrado. (a) Com¾
no infinito, determine o potencial devido `a barra no pon-to
Æ
sobre o eixo¿ . (b) Use o resultado do item anterior
para calcular a componente do campo el´etrico em
Æ
ao longo do eixo ¿ . (c) Use a simetria para determinar a
componente do campo el´etrico emÆ
numa direc¸˜ao per-pendicular ao eixo¿ .
(a) Suponha a origem dos¿ como sendo a
extremi-dade direita da barra e considere um elemento infini-tesimal da barra localizado numa coordenada negativa
¿¨¿ ½, com um comprimento¿ ½ e contendo uma
car-ga!C¨ ¿g½. Sua distˆancia de
Æ
´e¿eÿg½ e o potencial
que tal elemento cria emÆ
´e = ;wyx 5 3! ,|¿{e7¿ ½ 0 ; wyx 5 ¿g½ ,|¿ze&¿ ½ 0
Para encontrar o potencial total emÆ
, integramos sobre toda a barra: ; wyx 5 ~ 5 . Ì ¿½ ¿ze&¿ ½ e ;wyx 5 ln, ¿ze7¿ ½ 0 Ê Ê Ê 5 . Ì ;wyx 5 ln¿ O ¿
(b) Encontramos a componente ¿ do campo el´etrico
atrav´es da derivada do potencial el´etrico com respeito a¿ : ª× ezØ Ø ¿ ke ;wjwyx 5 Ø Ø ¿ ln¿ O ¿ e ; wyx 5 ¿ ¿ O ¿ e ¿ O ¿ X ; wyx 5 O ¿,|¿ O0
(c) Considere dois pontos a iguais distˆancias de ambos lados de
Æ
, ao longo da linha que ´e perpendicular ao eixo¿ . A diferenc¸a no potencial el´etrico dividida pela
separac¸˜ao dos dois pontos d´a a componente transversal do campo el´etrico. Como os dois pontos est˜ao situa-dos simetricamente em relac¸˜ao `a barra, seus potenciais coincidem sendo, portanto, zero a diferenc¸a de poten-cial. Consequentemente, a componente transversal do campo el´etrico tamb´em ´e zero.
Na Fig. 26-43, uma barra fina de comprimentoO
car-regada positivamente, colocada ao longo do eixo ¿
com uma extremidade na origem ,|¿§
0, tem uma
distribuic¸˜ao de carga linear dada por¡ÚÙl¿ , onde Ù
´e constante. (a) Considerando o potencial no infinito igual a zero, calcule o valor de no ponto
Æ
sobre o eixo dosÀ
. (b) Determine a componente vertical ªÛ
, da intensidade do campo el´etrico emÆ
, a partir do resulta-do resulta-do item(a), bem como atrav´es de um c´alculo direto. (c) Por que n˜ao podemos calcular o componente hori-zontal ( × ) do campo el´etrico em Æ usando o resultado do item (a)?
(a) Temos que3!¨ ¿ e, portanto, que ¨~= SÜ~ ! v SÜ~ Ì 5 g ¿ ,|¿ X À X 0 ³¼ X SÙª~ Ì 5 ¿ ¿ , ¿ X À X 0 ³¼ X Sabendo queÝsN¿ X À=X ,Ýs " ¿g¿ e queÞ%Ýß=ÝW àMáâ=ã ßAä , temos SÜÙ " ~ Ì 5 " ¿ ¿ , ¿ X À X 0 ³¼ X S7Ù "å ,|¿ X ÀlX 0 . ã ² ä e X N æ Ì 5 SÜÙ ,|¿ X À X 0 ¼ X Ì5 SÜÙ ¢ , O X À X 0 ³¼ X e À £ (b) ÅÛ e À ), À 0 ç eªSÙ7è " , O X À X 0 ã ² . B " À e :é ç SÙ ¢ e À , O X À X 0 . ¼ X £ ç
O c´alculo direto do m´odulo da componente ªÛ
pode ser feito da seguinte maneira:
ÅÛ LS7Ù ~ Ì 5 ¿Åê1ëìlí À X ¿ X ¿
(c) Quando calculamos o potencial {,
À
0 no item (a),
a vari´avel¿ foi integrada. Assim, n˜ao podemos usar a
relac¸˜ao dada por *
× îeï ï × D para calcular × . Is-to seria poss´ıvel somente se soub´essemos o potencial
z, ¿
À
0.
26.2.7 Energia potencial el´etrica de um sistema de cargas puntiformes
E 26-52. Duas cargas!
"/$& .¶
C est˜ao fixas no espac¸o, separadas pela distˆanciaz
"/
cm, como est´a indica-do na figura abaixo. (a) Qual ´e o potencial el´etrico no ponto m ? (b) Uma terceira carga!W
"/s$ 8 .y¶
C ´e trazida lentamente do infinito at´e o ponto m .
Quan-to trabalho foi realizado? (c) Qual a energia potencial
( da configurac¸˜ao quando a terceira carga est´a no lugar
desejado?
(a) A distˆanciav entre o pontom e qualquer uma das
duas cargas ´e dada por
vC Y " X " X Ç "
Como as cargas est˜ao a mesma distˆancia, de acordo com o Princ´ıpio de Superposic¸˜ao, basta calcular o potencial devido a qualquer uma delas e multiplicar por dois. Por-tanto, o potencial emm ´e
"%$ ¢ ;wt 5 ! vy£ "/ [ ; M Volts
(b) Sabendo-se o potencial no pontom fica f´acil calcular
o trabalho para deslocar a carga!
\
,ðL!A0 at´e tal ponto:
K ¡( \ N! \ gk, "$78 .y¶ 0:, "l [ ;)$& ¶ 0}L[ ? J
Alternativamente, usando a t´ecnica indicada no Exem-plo 26-10, encontramos para a energia potencial do con-junto das trˆes cargas a seguinte relac¸˜ao:
(} ; wt 5N¢ ! X ! X l Ç " ! X = Ç " £
! X ;wt 5¢ Ç " Ç " £ ! X ;wt 5 , ñ" Ç " 0}@ -/? ? ; J
Antes de trazer do infinito a terceira carga, a energia po-tencial inicial do conjunto das duas cargas ´e dado por:
(GòÉ ; wt 5 ! X v
Substituindo os dados num´ericos, obtemos para a ener-gia potencial inicial (
Z 2? J O trabalho que o agente externo deve realizar para deslocar a terceira car-ga do infinito at´e o pontom ´e num´ericamente igual `a
variac¸˜ao da energia potencial do sistema, ou seja,
K L( CeP(GòÉ -/? ? ; e Z 2? ¨[ ?-J
(c) A energia potencial do conjunto das trˆes cargas j´a foi calculada no item (b), ou seja,
( - ??A;
J
E 26-56.
Determine uma express˜ao para o trabalho necess´ario pa-ra colocarmos as quatro cargas reunidas como est´a indi-cado na figura abaixo.
A energia total da configurac¸˜ao ´e a soma das energias correspondentes a cada par de cargas, a saber:
( ( X ( \ ( ( X \ ( X ( \ Sñ, eª! X Ñ ! X Ñ/Ç " e ! X Ñ e ! X Ñ ! X ÑlÇ " e ! X Ñ 0 S7! X Ñ ,³e ; Ç " 0ke /#"l ! X t 5 Ñ E 26-59. (a) SejaÖ ,F ` [ m0 o comprimento do retˆangulo e óÅ,F / [
m0 sua largura. A carga !
est´a a uma distˆanciaÖ do pontoa e a carga!
X est´a a uma distˆancia ó , de modo que o potencial el´etrico ema ´e
f ; wyx 5Å¢ ! Ö ! X ô £ -/$& Volts (b) Analogamente, gd ; wyx 5¢ ! ô ! X ÖC£ eZ ?%$78 J Volts
(c) Como a energia cin´etica ´e zero no in´ıcio e no fim da viagem, o trabalho feito pelo agente externo ´e igual `a variac¸˜ao da energia potencial do sistema. A energia potencial ´e dada pelo produto da carga!
\ e o potencial
el´etrico. Sendo ( f a energia potencial quando! \ est´a
em a e ( d quando est´a em b , o trabalho feito para
mover-se! \ de b paraa ´e K ( f eP( d ! \ ,I f ec d 0 ,IH $78l.¶ 0 -/%$78 Z ?%$78 J "/ [ J
(d) O trabalho feito pelo agente externo ´e positivo e, portanto, a energia do sistema de trˆes cargas aumenta. (e) e (f) A forc¸a eletrost´atica ´e conservativa. Portanto, o trabalho ´e sempre o mesmo, independentemente da tra-jet´oria percorrida.
P 26-61.
Uma part´ıcula de carga] (positiva) ´e mantida num
pon-toÆ
fixo. Uma segunda part´ıcula de massaU
e carga (negativa) eª! move-se com velocidade constante, num
c´ırculo de raio v
, cujo centro ´e o ponto Æ
. Obtenha uma express˜ao para o trabalhoK
que deve ser realiza-do por um agente externo sobre a segunda part´ıcula a fim de aumentar o raio deste c´ırculo parav
X .
Seja K&õ
o trabalho realizado contra as forc¸as ele-trost´aticas. Ent˜ao, sendo gòª]4l,
; wyx
5
v8òð0 num ponto v8ò devido a carga] , temos
K7õ Qeª!l,ð X ec 0} ]C! ; wt 5¢ v e v X £
Como o movimento ´e circular uniforme, igualando a forc¸a centr´ıpeta com a forc¸a eletrost´atica, obtemos uma
relac¸˜ao que nos fornece UWV=X e, portanto, a energia cin´etica: ö ; wt 5 ]C! v X UWV3X v
Com isto, a energia cin´etica da cargaeª! ´e
S¦ UWV3X " " ; wt 5 ]! v
A variac¸˜ao da energia cin´etica entre as ´orbitas de raios
v ev X ´e S ecS X " ]! ; wt 5 ¢ v e v X £ P 26-64.
Uma part´ıcula de carga! ´e mantida fixa num ponto
Æ
e uma segunda part´ıcula de massaU
com a mesma car-ga! est´a inicialmente em repouso a uma distˆanciav
de
Æ
. A segunda part´ıcula ´e, ent˜ao, liberada, sendo repeli-da pela primeira. Determine sua velocirepeli-dade no instante em que ela se encontra a uma distˆanciav X de
Æ . Dados: !÷H op C;U " mg; v 2 mm ev X "l [ mm.
Pela lei da conservac¸˜ao da energia, temos:
; wt 5 ! X v ;wt 5 ! X v X UsV=X "
Donde se conclui que
V X " U ! X ;wt 5¹¢ v e v X £
Substituindo os dados num´ericos, obtemos a seguinte resposta: V "l;?%$78 \ m/s P 26-65.
Duas pequenas esferas de metal de massaU
§[ g e massaU X
g tˆem cargas positivas iguais,!i¦[
p
C. As esferas est˜ao ligadas por uma corda de massa desprez´ıvel e de comprimentoN
m, que ´e muito maior que o raio das esferas. (a) Calcule a energia po-tencial eletrost´atica do sistema. (b) Qual ´e a acelerac¸˜ao de cada uma das esferas no instante em que cortamos o fio? (c) Determine a velocidade de cada uma das esferas muito tempo depois do fio ter sido cortado.
(a) A energia potencial inicial ´e dada por
( inicial ; wt 5 ! X /#" " [ J (b) A forc¸a ö
existente depois do fio ser cortado ´e dada pela forc¸a de interac¸˜ao Coulombiana. Portanto,ö
; wt 5 ! X X /#" "<; ZA[ N
De acordo com a Terceira Lei de Newton, esta forc¸a ´e a mesma (em m´odulo) para as duas esferas. Portanto, as magnitudes das acelerac¸˜oes s˜ao dadas por
Ñ ö U ; [ m/sX Ñ X ö U X ""l [ m/s X
(c) Muito tempo depois do fio ser cortado, as esferas est˜ao suficientemente afastadas de modo que a ener-gia potencial ´e igual a zero. Neste caso, pela Lei da Conservac¸˜ao de energia, temos:
( final " U V X " U X V X X
Da conservac¸˜ao do momento linear sabemos que
U V e U X V X e, como temos U U X " , segue que V " V
X . Substituindo-se este valores de
V
eU
na express˜ao da energia final(
finalacima encontramos fi-nalmente que ( final H " U X V X X ¡( inicial "" [ Portanto, V X LH ? ZAH m/s V " V X ¡Z Z ;3-m/s P 26-70.
Considere a energia potencial como sendo zero quan-do o el´etron que se move estiver muito distante quan-dos el´etrons fixos e use o princ´ıpio de conservac¸˜ao da ener-gia.
A energia potencial final ´e (
" * X /, ;wyx 5 30, onde
´e a metade da distˆancia entre os el´etrons. A energia cin´etica inicial ´e S ò
UWV3X " , onde V ´e a velocidade inicial eU
a massa do el´etron que se move. A nergia cin´etica final ´e zero.
Portanto,S{òÒL( ou, isto ´e, UWV3X " " * X l, ; wyx =0 de onde se obt´em V ø ; * X ;wyx 5 U NH "$& X m/s
26.2.8 Um condutor isolado
P 26-75.
Qual ´e a carga sobre uma esfera condutora de raio
vc /o
[ m sabendo-se que seu potencial ´e
[ V e que no infinito?
Sendo zero o potencial no infinito, o potencial na su-perf´ıcie da esfera ´e´Á! /,
; wyx
5
v<0 , onde ! ´e a carga
sobre a esfera ev o seu raio. Portanto
!C ;wyx 5 , /o [ m01, [ V0 2 $& '7ù B U X m X "/ [ $) . > C P 26-79.
Duas esferas met´alicas tˆem raio de H cm e cargas de $P
.
> C e eªH $ 8
.
> C. Suponha que estas
car-gas estejam distribu´ıdas de maneira uniforme e que os centros das esferas estejam afastados "
metros um do outro. Sendo assim, calcule: (a) o potencial do ponto situado `a meia distˆancia entre os centros das esferas e (b) o potencial de cada esfera.
(a) No ponto situado `a meia distˆancia, o potencial ´e dado por ; wt 5¹¢ C$& . > m eªH $78 . > m £ 2$& ' $ ,6e " 0 $78 . > e ? V
(b) Como ´e muito maior que v , para calcular o
po-tencial de cada esfera podemos desprezar a influˆencia m´utua entre as esferas. Portanto,
;wt 5 ! v 2$78 ' , $& . > 0 H $& . X H V X ;wt 5 ! X v 2$78 ' ,6eªH $& . > 0 H $78 . X e 2 V
26.2.9 O acelerador de van de Graaff
P 26-84. (a) SÚ " Ñl " , -$& . ' C0:, $78 ¶ V0 H "%$& . X J (b) S¦NÑl , -$78 . ' C0:, $& ¶ V0 -$& . X J (c) ComoSÚ UWV X " , temos V Y " S U Y " !A U
Como a part´ıculaú tem o dobro da carga de um pr ´oton
e;
vezes mais massa, a raz˜ao das velocidades finais ´e
V8û V ü ¡Ç " . Para 8 ¶ Volts, temos V8û ;$& m/s V ü 2/?$& ¶ m/s P 26-86.
Um eletrodo de alta voltagem de um acelerador ele-trost´atico ´e uma casca esf´erica met´alica, carregada, que possui um potencial ý
¹2/
MV. (a) Descargas el´etricas ocorrem no g´as desta m´aquina num campo
8
MV/m. Que restric¸˜ao a respeito do raio v
da casca deve ser feita para evitar que tais descargas acontec¸am? (b) Uma longa correia de borracha em mo-vimento transporta cargas para a casca a H
p
C/s, e o potencial da casca permanece constante devido ao es-coamento. Qual ´e a potˆencia m´ınima necess´aria para transportar a carga? (c) A correia tem larguraô
[
m e se movimenta com velocidadeV ¯H
m/s. Deter-mine a densidade superficial de carga sobre a correia.
O potencial da esfera ´e dado por_¡! l, ;wt
5
vA0 e o
campo el´etrico nas vizinhanc¸as da superf´ıcie externa da esfera ´e dado por
! l, ; wt 5 v X 0. Portanto, N<v . Para um valor 8
> V/m, ´e necess´ario que
v Ü, 2$& ¶ 0:, . > 0} / 2 m 2 cm
(b) O trabalho realizado pela forc¸a externa para carregar a esfera com uma carga total ] ´e dado por
K
¾]4 .
Portanto, a potˆencia Æ
fornecida para o gerador ele-trost´atico deve ser dada por
Æ K E N 3] E " Z W "/ Z kW
(c) Sendon
a densidade superficial de cargas e¿ o
com-primento da correia, encontramos]
n a» n , ô ¿0 Com isto =] E n ¿ E n ôªV
Donde se conclui que
n =]4A E ôÅV "%$& . J C/mX " Gp C/mX 26.2.10 Problemas Adicionais P 26-89.
Duas cargas iguais
! est˜ao fixas nas extremidades de
uma linha de comprimento"
Ñ . Uma carga
] , de
mas-sa U
, ´e colocada no centro da linha e pode mover-se livremente. (a) mostre que o movimento de] ´e inst´avel
para pequenos deslocamentos perpendiculares ´a linha, e est´avel para pequenos deslocamentos ao longo da linha. (b) Se a carga] for deslocada, ao longo da linha, por
uma distˆancia¿N_Ñ , qual ser´a o potencial el´etrico no
local de] , devido ´as duas cargas
! ? (c) Aplique a
ex-pans˜ao binomial ´a express˜ao desse potencial e retenha somente o termo de mais baixa ordem em¿ . A seguir,
determine o m´odulo da forc¸a eletrost´atica que atua sobre
] na posic¸˜ao¿ . (d) Se a carga] for abandonada nesta
posic¸˜ao¿ , qual ser´a a freq ¨uˆencia angular da oscilac¸˜ao
resultante de] em torno do centro da linha?
(a)
26.2.11 Problemas da terceira edic¸˜ao do livro-texto
E 26-64.
Duas esferas condutoras, idˆenticas, de raio vN `
[
cm, est˜ao afastadas por uma distˆanciaÑ
m. Qual ´e a carga de cada esfera se o potencial de uma delas ´e
[ V e o da outrae [
V? Que suposic¸˜oes foram feitas?
ComovCÕÓÑ , podemos supor que as duas esferas
pos-suem uma distribuic¸˜ao uniforme de cargas, uma vez que podemos desprezar a ac¸˜ao do campo el´etrico de uma das esferas sobre a outra esfera. Portanto,
;wt 5 ! v ¡þ [ V
Donde se conclui que parav ` [ m, as cargas valem !C¨þ " [ nC. P 26-29ÿ .
Uma grossa camada esf´erica, com densidade de carga uniforme, ´e limitada pelos raiosv
ev X , onde v Xz¬ v . Calcule o potencial el´etrico em func¸˜ao da distˆanciav
ao centro da distribuic¸˜ao, considerando as regi˜oes onde: (a) v ¬ v X ; (b) v X7¬ v ¬ v e (c)vP§v . (d) Estas soluc¸˜oes concordam sevC v X e se v v ?
(a) Seja] a carga total contida na camada esf´erica.
Para v
¬
v
X ´e claro que o potencial
´e dado pelo
po-tencial de uma carga puntiforme, portanto,
] ;wt 5 v
A carga total tamb´em pode ser expressa em func¸˜ao da densidade de cargas« de seguinte modo:
]kL~«3= «
$
,volume da camada esf´erica0
« $ ; H w ,|v \ X e&v \ 0
Sobre a superf´ıcie da camada esf´erica, o potencial
calculado acima fornece
² ] ; wt 5 v X « H t 5¢ v X X e v \ v X £
(b) Para determinar o potencial
na regi˜ao entrev
e
v
X , ´e conveniente utilizar a Eq. 26-8, g ecgòke~
ò B1
Considere um caminho retil´ıneo ligado a um ponto da superf´ıcie a um ponto situado a uma distˆanciav do
cen-tro da esfera. Logo, integrando a Eq. 26-8 entre estes limites, encontramos: ei ² Qe ~ 6² B
Para determinar o campo el´etrico entrev
ev
X ´e
conve-niente utilizar a Lei de Gauss. Construa uma superf´ıcie gaussiana esf´erica de raio igual a v . De acordo com a
figura indicada na soluc¸˜ao deste problema, vemos que existe uma carga total ]
no interior desta superf´ıcie gaussiana esf´erica. Portanto, aplicando a Lei de Gauss, podemos escrever a seguinte relac¸˜ao:
, ; w v X 0} ] t 5 « t 5 $ camada
onde
camadarepresenta o volume da camada esf´erica que cont´em a carga]
.
Portanto, podemos escrever a seguinte relac¸˜ao para o m´odulo do campo el´etrico:
« H t 5 v X , v \ e7v \ 0 Para integrar eñ X ÷e Þ ²
B note que o campo
el´etrico E ´e orientado para fora enquanto que o percurso escolhido (dev X at´ev ) est´a orientado para dentro.
No-te tamb´em que¾eª v (porque quando aumenta a
distˆancia at´e o centrov diminui). Portanto, levando em
conta a relac¸˜ao tirada da Eq. 8 e a acima citada, temos:
6² eP~ 6² ¢ « H t 5 v X , v \ e7v \ 0 £ v 6² e « H t 5¢: v X " e v X X " v \ v e v X £
Substituindo o resultado encontrado anteriormente para
X na relac¸˜ao acima, encontramos a seguinte resposta
para o potencial
em func¸˜ao dev para a regi˜ao entre
v ev X : « H t 5 ¢ HAv X X " e v X " e v \ v £
Caso vocˆe deseje obter
em termos da carga total]
da camada esf´erica, basta substituir « por ] usando a
relac¸˜ao encontrada entre estas grandezas no item (a). (c) Em todos os pontos da cavidade, como n˜ao existe ne-nhuma carga nesta regi˜ao e levando em conta a simetria esf´erica, concluimos que o potencial ´e constante e igual ao potencial na superf´ıcie esf´erica de raio v
. Em ou-tras palavras, concluimos que todo o volume delimitado pela superf´ıcie esf´erica de raiov
´e um volume eq ¨uipo-tencial. Este potencial comum ´e igual ao potencial na superf´ıcie esf´erica de raio v
, ou seja, fazendov§v
na relac¸˜ao encontrada para
encontramos a resposta: ã « " t 5¢ v X X e7v X £
Caso vocˆe deseje obter
em termos da carga total]
da camada esf´erica, basta usar a relac¸˜ao para ela, encon-trada no item (a).
(d) Fac¸avsv
X na express˜ao para
, item (b), e vocˆe encontrar´a o potencial na superf´ıcie esf´erica de raiov
X ,
ou seja, vocˆe encontrar´a o potencial na superf´ıcie exter-na da camada esf´erica pela relac¸˜ao
X [item (a)]. Fac¸a vPÚv
na express˜ao para
e vocˆe encontrar´a o po-tencial na superf´ıcie esf´erica de raio v
, ou seja, vocˆe encontrar´a o resultado
