4 Actividades GEOMETRIA ANALITICA 2017 Mtro. Mario Felix Muro

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Matemáticas III “GEOMETRIA ANALITICA”

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Unidad de Aprendizaje 1

Sistema de coordenadas

Tema 1 Coordenadas Rectangulares.

1.1 Antecedentes de la geometría analítica

La historia de las matemáticas considera a René Descartes el fundador del sistema matemático moderno y, por lo tanto, el padre de la geometría analítica.

La geometría analítica surge de la necesidad de resolver problemas para los que no bastaba la aplicación aislada de las herramientas del álgebra y de la geometría euclidiana, pero cuya solución se encontraba en el usa combinado de ambas. En este sentido, podemos entender a la geometría analítica como la parte de las matemáticas que relaciona y fusiona el álgebra con la geometría euclidiana para crear una nueva rama que estudia las figuras geométricas, referidas a un sistema de coordenadas, por métodos algebraicos.

Descartes, en su geometría analítica de 1637, considera el segmento como una unidad o como un número y transforma así la geometría en aritmética; como la suma, la resta, la multiplicación y la división de segmentos da lugar a otro segmento, Descartes relaciona los números con las mismas operaciones, y enfrenta problemas puramente algebraicos, ya que sabe que todos los problemas geométricos de carácter lineal y cuadrático pueden resolverse con regla y compás, pues los considera problemas del plano.

Descartes quiere resolver gráficamente ecuaciones de grado mayor por curvas algebraicas engendradas paso a paso par mecanismos lineales del movimiento, al usar elementos de referencia en posiciones especiales; resuelve el problema de las normales a las curvas algebraicas evitando operaciones infinitesimales; entre sus ejemplos aclaratorios figuran la concoide y el llamado óvalo de Descartes; habla de la tangente, creyendo haber resuelto todas las cuestiones principales de la matemática y que sus métodos de tangentes y normales son los más sencillos. Descartes y Fermat son los inventores de la geometría sobre ejes de coordenadas, donde el álgebra y la geometría sé reúnen en el trazado de gráficas de ecuaciones y desigualdades.

El cálculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas modernas en el siglo XVII.

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Actividad 1

Elaborar un mapa conceptual de los antecedentes históricos de la geometría analítica

Actividad 2 Investiga la biografía de René Descartes

1.2 Sistema de coordenadas rectangulares Actividad 3

Investiga las siguientes definiciones:  Plano cartesiano  Sistema de coordenadas  Punto  Pares ordenados  Ordenada  Abscisa  Eje  Origen  Cuadrante Actividad 4

En una hoja cuadriculada, Dibuja y colorea un plano cartesiano y ubica; Eje de las abscisas = color negro.

Eje de las ordenadas = color café. El origen = rojo.

Cuadrante 1 = amarillo Cuadrante 2 = azul Cuadrante 3 = verde Cuadrante 4 = gris

Ubica el par Ordenado (5,3) = Pluma azul Ubica el par ordenado (-4,2) = Pluma negra

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Tema 2 Puntos en el plano

Actividad 5

Ubica en el sistema de coordenadas de los siguientes puntos A. (4, 3) B. (10,7) C. ( -3, 5) D. (4, -7) E. (0, -3) F. (-1,0) G. (1.4,-2. 3) H. (-9.8, -4.5) I. ( 0.6, 9.7) J. (−1 2, − 8 3) K. (5 7, 12 4) L. (−1 9, 7 6) Actividad 6

Localiza los pares ordenados y cuadrantes de los siguientes puntos:

Actividad 6

Representa gráficamente la siguiente figura, formada por las coordenadas de sus vértices:

Figura 1; A (4, 5) B (-3,2) C (2,-5)

Figura 2; A (-4, 2) B (-2,-3) C (1,-6) D (0,4)

Figura 3; A(-7,0) B(-7,3) C(-5,5) D(-2,5) E(0,3) F(2,5) G(5,5) H(7,3) I(7,0) J(0,-8) K(-7,0) Punto Par ordenada Cuadrante A B C D E F G H I J K

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Tema 3 Distancia entre dos puntos.

Actividad 7

Halla la distancia entre A y B en cada caso: I. A(-7, 4) B(6, 4) II. A(3, 4) B(3, 9) III. A(-0.5, -1.1), B(0.6, -1.8) IV. A(8,- 4) B(5,- 3) V. A(0.9, 2.6), B(-3.9, 7.8) Actividad 8

Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos según la longitud de sus lados:

I. A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6) II. A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)

Actividad 9

Utilizando la distancia entre dos puntos, demuestre que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles:

I. A(-2,-2) , B(-2,-3) y C(0, -4) II. A(-2,-4) , B(-5,-1) y C(-6, -5) III. A(-6,-6) , B(-2,-2) y C(2, -2)

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Tema 4 Punto medio Actividad 9

Calcula el punto medio de las siguientes coordenadas; 1) M (2,-1) y N (4, 6) 2) O (6,1) y P (1,-4) 3) Q (-7,4) y R (9,-3) 4) S (5,-7) y T (-6,-2) 5) U (2,7) y V (1,0) 6) A (-2,-2) y B (9,1) Tema 5 Pendiente Actividad 10

Encuentre la pendiente y ángulo de inclinación para las rectas que se forman con los siguientes puntos;

1. A (-7, 4) B (6, 4) 2. A (3,4) B (3, 9) 3. A ( -5, -1) B ( 6, 8) 4. A (8, -4) B (5, -3) 5. A (9, -2) B (-9, 8) 6. A (1/2, 5/6) B (-1/4, -4/3) 7. A ( 1/3, 1/7) B (-3/6, -1/2) Actividad 11

Determina la pendiente de las siguientes rectas cuya inclinación es; 1. 60° 2. 120° 3. 150° 4. 35° 5. 190° 6. 260° 7. 320° Actividad 12

Determina el ángulo de inclinación para las siguientes rectas cuyas pendientes es; 1. -0.6 2. 0 3. 8/9 4. 2.1445 5. 1.34 6. -0.8

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Geometría Analítica

Actividad 13

Determina si las rectas A y B, así como también M y N, son paralelas o perpendiculares entre si 1. A (4, 1), B (-2, 5) y M (3, 7), N (-1, 1) 2. A (-7, 1), B (1, -6) y M (-4, -6), N (3, 2) 3. A (2, 4), B (6, -2) y M (1, -1), N (7, 3) 4. A (2, 2), B (9, 9) y M (6, 5), N (5, 6) 5. A (0, -2), B (5, 2) y M (-3, 1), N (0, 17/5) 6. A(4, 2) , B (2,6) y M (6, 8), N (8, 4) 7. A(1, 5) , B (-2,-1) y M (-1, -5) N (2, 1)

Tema 6 Perímetros y áreas Actividad 14

Calcula el área y perímetros, si las coordenadas de los polígonos son: 1 P (-4,2), Q (1,3), R (3,-1) y S (-2,-3)

2 A (10,2), B (12,6), C (4,8), y D (0,0) 3 M (-4,0), N (0,5), O (5,-1), y P (3,-6)

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Unidad de aprendizaje 2

Lugares geométricos

Tema 1 La recta

1 Formas de la ecuación de una recta 1.1 Forma pendiente – ordenada

Actividad 15

Halla la ecuación de la recta dado:

1. m = -6, b= - 2 2. m = -2, b= 4 3. m = -3, 4. m = 1/2, b= -9/5 5. m = 1/6, b= 7 6. m = -5, b= -6 7. m = -7/4, b= 5/3 8. m = 8, b= - 4 9. m = -3/5, b= -9 10. m =4,b=-8/7 11. b= ½ 12. m = 2, b= - 8 13. m = 6/5, b= 3/8

1.2 Forma punto - pendiente Actividad 16

Encontrar la ecuación de la recta punto – pendiente si: 1. m = -3, punto (8, 0) 2. m = -2, punto (4, -3) 3. m = 5 y el punto (-7, -2) 4. m = 3, punto (9, 0) 5 m = 3/4, punto (4, 0) 6. m = -2 y el punto (0,4) 7 m = 6/9 y el punto (6/8, -7/2) 8. A(1,2) Ø=60° 9. B(6,3) Ø=135° 10. C(-1/6,1/4) Ø=72° 11. D(4/9,2/8) Ø=10° 13 E(4.2,-5.6) Ø=160°

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1.3 Forma dos puntos.

Actividad 17

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 1) A (0, 5) y B (3, 3) 2) C (-2, 3) y D (-1, -6) 3) D (-2, -1) y E (1, 7) 4) F (2, 4) y G (-7, 5) 5) H (-3, -2) y I (2, 6) 6) J (-6, 5) y K (9, 1) 7) L (0, 2) y M (7, 3) 8) (5, -4) y P (7, 3) 9) Q (-2/3, -1/4) y R (1/6, 7/8) 10) S (2/6, 1/8) y (1/5, -4/7) 1.4 Forma simétrica Actividad 18

Encontrar la ecuación forma simétrica si tienes como datos: 1) A (-5, 0) y B (0, -2) 2) C (3, 0) y D (0, 1) 3) D (-4, 0) y E (0, 2) 4) A (5/2, 0) y B (0, 11/4) 5) C (7, 0) y D (0, -5) 6) D (-1, 0) y E (0, 7) 7) a=8 y b=-6 8) a=-3/8 y b= 9/5 9) a=-5 y b=2 10) a=1/6 y b=- 5/2

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1.5 Forma general

Actividad 19.1

Dada la recta general determina la pendiente y ordenada 1) 2x + 4y + 8 = 0 2) 3x + 2y – 5 = 0 3) -9x - 7y + 3 = 0 4) -x -5y -10 = 0 5) y = -3x + 5 6) y = 8x – 6 7) y = ½x – ¾ Actividad 19.2

Determinar la pendiente paralela y perpendicular a las siguientes rectas: 1) ½ x – 2y – ¾ = 0 2) 7x - 5y + 11 =0 3). 8x - 7y + 6 = 0 4). -x + 4y - 2 = 0 5). -9x - y + 3 = 0 6) y = -4x -7 7) y = -4/8x + 6/9

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Tema 2 La circunferencia

2.1 Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

Actividad 20.1

Escribir la ecuación de la circunferencia con centro en el origen si su radio es: 1. r =2 2. r=16/2 3. r= 7 4. r= 8/9 5. r= 5 Actividad 20.2

Identificar el radio de las siguientes ecuaciones de las circunferencias con centro en el origen

1)

x2_{+ y}2_{= 8I}

2)

x2_{+ y}2_{= 49}

3)

x2_{+ y}2_{= 9}

4)

x2_{+ y}2_{= 16/9}

5)

x2_{+ y}2_{= 25/36}

2.2 Ecuación de la circunferencia forma ordinaria o fuera del origen Actividad 21.1

Escribir la ecuación de la circunferencia forma ordinaria, si tiene como: 1) C (-2, 3) y r=4 2) C (7, -5) y r=8 3) C (-1, -4) y r=3 4) C (4, 6) y r=9 5) C (7, -5) y r=5 6) C (-1, -4) y r=9

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Actividad 21.2

Identificar la el centro y radio de las siguientes ecuaciones de la circunferencia.

1. (x – 4)

2

_{+ (y – 3)}

2

_{= 25}

2. (x + 1)

2

_{+ (y + 2)}

2

_{= 49}

3. (x – 3)

2

_{+ (y – 7)}

2

_{= 9}

4. (x – 1/6)

2

_{+ (y – 1/4)}

2

_{= 36/9}

5. (x – 4/9)

2

_{+ (y +1/3)}

2

_{= 121/100}

2.3 Ecuaciones de la circunferencia forma general Actividad 22

Encuentra la ecuación genera si tiene como datos: 1. C (-4,5) Radio = 4 2. C (8,-3) Radio = 5 3. C (-5,-2) Radio = 3

4. (x – 5)

2

_{+ (y – 7)}

2

_{= 49}

5. (x + 1)

2

_{+ (y + 3)}

2

_{= 64}

6. (x + 8)

2

_{+ (y – 6)}

2

_{= 16}

2.4 Conversiones Actividad 23

Identificar el centro, radio y ecuación ordinaria de la circunferencia de las siguientes ecuaciones;

1. x

2

_{+ y}

2

_{+ 6x -14y – 6 = 0}

2. x

2

_{+ y}

2

_{- 7x - 2y – 1 = 0}

3. x

2

_{+ y}

2

_{+ 5x - y – 3 = 0}

4. x

2

_{+ y}

2

_{+ 6x + 2y + 6 = 0}

5. x

2

_{+ y}

2

_{+ 8x - 4y + 4 = 0}

6. 3x

2

_{+ 3y}

2

_{- 8x + 8y – 31 = 0}

7. 7x

2

_{+ 7y}

2

_{- 34x - 48y + 103 = 0}

8. 5x

2

_{+ 5y}

2

_{- 32x - 8y – 34 = 0}

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Tema 3 La parábola

3.1 Ecuaciones de la parábola con centro en el origen Actividad 24.1

Determina los elementos de la parábola y su grafica si tiene como ecuación;

1.

x2 20y

2.

y2 20x

3.

x2 20y

4.

y2 20x

5.

y2  x8 0

6.

x2 12x0 Actividad 24.2

Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen y grafícala.

1. Foco en (3, 0) 2. Foco en (0,3) 3. Foco en (-4, 0) 4. Foco en (0, -3) 5. La directriz es x + 4 = 0 6. La directriz es y- 4 = 0

7. La longitud del lado recto es 10 y la parábola se abre hacia la derecha. 8. La longitud del lado recto es 8 y la parábola se abre hacia arriba.

3.2 Ecuaciones de la parábola forma ordinaria o fuera del origen Actividad 25

En los siguientes ejercicios exprese la ecuación, en forma usual, de la parábola que satisface las condiciones dadas.

1. Vértice en (3, 2), foco en (3, 4). 2. Vértice en (3, -2), foco en (3, -8). 3. Vértice en (-6, -4), foco en (0, -4). 4. Vértice en (4, 1), directriz x = 2.

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3.3 Ecuaciones de la parábola forma general Actividad 26

Dada la ecuación de la parábola, calcular su vértice, foco y directriz, y ecuación forma general si tiene como ecuación ordinaria;

1.

2.

3.

´(y5)2 12(x7)

4.

´(x6)2 20(72) 4.4 Conversiones Actividad 27

Indique las coordenadas del vértice, del foco y de los extremos del lado recto. Dibuje la gráfica.

1.𝑦

2

+ 8𝑥 + 8 = 0

2. 𝑥

2

+ 4𝑦 + 8 = 0

3. 𝑦

2

_{− 12𝑥 − 48 = 0}

4. 𝑥

2

+ 16𝑦 − 32 = 0

5. 𝑥

2

+ 4𝑥 + 16𝑦 + 4 = 0

6. 𝑦

2

− 6𝑦 − 4𝑥 + 9 = 0

7. 𝑦

2

+ 8𝑦 + 6𝑥 + 16 = 0

8. 𝑥

2

+ 10𝑥 − 20𝑦 + 25 = 0

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Tema 4 La elipse

4.1 Ecuaciones de la elipse con centro en el origen Actividad 28

Identifique los vértices y los focos de la elipse.

1.

𝑥2 16

+

𝑦2 9

= 1

2.

𝑥2₁₂

+

𝑦2 18

= 1

3.

𝑥2₃₀

+

𝑦2 25

= 1

4. 25 𝑥

2

_{+ 9𝑦}

2

= 225

5. 6𝑥

2

_{+ 𝑦}

2

= 18

6. 𝑥

2

_{+ 2𝑦}

2

= 16

Identifique la excentricidad de la elipse

7.

𝑥2 25

+

𝑦2 36

= 1

8. .

𝑥2 16

+

𝑦2 4

= 1

9. 8 𝑥

2

_{+ 3𝑥}

2

= 12

10. 15 𝑥

2

_{+ 10𝑦}

2

= 5

4.2 Ecuaciones de la elipse forma ordinaria o fuera del origen Actividad 29.1