Gravitação com dimensões extras e uma interpretação da matéria escura

(1)

Instituto de Físi a Gleb Wataghin

Gravitação om dimensões extras e uma

interpretação da matéria es ura

Carlos Henrique Coimbra-Araújo

Orientador: Prof. Dr. Patri io Anibal Letelier Sotomayor

Tese apresentada ao Instituto de Físi a Gleb Wataghin,

Uni amp, omo requisito par ial para a obtenção do

Título de Doutor em Ciên ias.

Este exemplar orresponde

à redaçãonalda tese dedoutorado

defendida pelo aluno

Carlos HenriqueCoimbra-Araújo

e aprovada pelaComissão Julgadora.

Prof. Dr. Patri io A.Letelier Sotomayor

(2)

(3)

(4)

.

(5)

(Johann Sebastian Ba h, BWV565)

.

Pro urad tambiénque, leyendo vuestra historia, el melan óli o se mueva a risa, el

risueño la a re iente, el simpleno se enfade, el dis reto se admire de la inven ión,

el grave no la despre ie, ni el prudente deje de albarla.

(Miguelde Cervantes Saavedra, no prólogo deEl Ingenioso Hidalgo Don Quijote dela

Man ha 1

)

Suponhamos uns homensnuma habitação subterrânea em forma de averna, om

uma entrada aberta para a luz, que se estende a todo o omprimento dessagruta.

Estão lá dentro desde a infân ia, algemados de pernas e pes oços, de tal maneira

que só lhes é dado permane er no mesmo lugar e olhar emfrente; são in apazesde

voltar a abeça,por ausa dos grilhões; serve-lhes de iluminação um fogo que se

queima ao longe, numa elevação, por detrás deles(...). Certamente, pessoas nessas

ondições não pensavam que a realidade fosse senão a sombra dos objetos.

(Platão, ARepúbli a 2

,LivroVII)

O mistério das alturas

Desfaz-se em ritmos sem forma

Nas desregradas negruras

Com que o ar se treva torna.

(Fernando Pessoa, Bóiam farrapos de sombra)

1

in: M.deCervantes,Don Quijotede la Man ha (Madrid: RealA ademiaEspañola,2004)

(6)

Agradeço ao Prof. Patri io Letelier pela maestria na orientação oerente e

dinâmi a,pelari aoportunidadedeofere erum tematãoenvolvente, pelaamizade,

pelos ensinamentos e dis ussões, tudo istofrutode uma ex ep ional ompetên ia e

profunda experiên ia ientí a. Tenha ele erteza que tal aráter a adêmi o

on-tribuiu enormementepara minha independên ia prossional.

TambémaproveitooensejoeagradeçoaoProf. BryanWebberpelahospitalidade

e orientação na University of Cambridge, ao Prof. Roldão da Ro ha, da UFABC,

pelaamizade e olaboraçãoa adêmi a ea adaamigo que z duranteo doutorado.

Fi a aquia lembrança daenorme ajuda dada por Daniel,Manuela, Andreia, Tizei,

Hugo, Crazy, Giovani, Ronaldo, Karl,Renato, Diego etantosoutros.

Devo também enorme gratidão a todos que ompõem a Comissão de

Pós-Gra-duação do IFGW/Uni amp. Ao oordenador Prof. George Kleiman e ao Prof.

Eduardo Miranda pela oportunidade de ofere er espaço para o trabalhono IFGW,

e pelo ompetente trabalhodaequipe se retariada porMaria Ignez Morkazel.

Aopovo quemoranoBrasil,quemesmonão sabendo, nan iouminhapesquisa

ao pagar a alta arga tributária. Agradeço pelo sa rifí io e espero ontribuir para

que ele seja re ompensado via meu trabalho a adêmi o futuro. E espero também

que a arga tributáriabrasileiraum dia re upere asua razão.

À Capesporter disponibilizadoosre ursosnan eiros apartir dasbolsas Proex

e PDEE 3874-07-9.

À UniãoAstronmi a Interna ional,à International Union of Pure and Applied

Physi s e à University of Oxford por nan iar algumas das onferên ias

interna- ionais de que parti ipei.

Não poderia esque er do enorme apoio dado por todos do TRE-PE, a força e

amizade de Cláudio, Claudiany, Cosme, Igor, Mário, Mirian, Serginho, Simone, e

em espe ial, arei devendo imensamente, até o m da vida do universo, a André

Nevese FlávioCosta, todos da Sete /Sti.

Agrade imentosem ma meuavLuiz CoimbraFilho, que omseu entusiasmo

e onhe imentorela ionadosàastronomialevou-meao aminhoda uriosidadesobre

as estrelase galáxias.

E sobretudo agradeço a meus pais Diana e José Araújo pelo onstante apoio,

motivação e arinho, e à noiva Tamara Pedron pela pa iên ia, ajuda perene em

muitos sentidos e amor sin ero. Te vuio ben e elxe stà pigrande delmóndo.

Háaindaumainnidadedepessoasaquemdevoenormegratidão. Algumasdelas

já partiram, omo Hipatia, Ba h, Mahler, Santoro, Einstein, Thoreau, Mukunda e

(7)

Neste trabalho é apresentada uma nova abordagem teóri a e

semifenomenoló-gi a a er ado quedimensões extras poderiamrepresentar naexpli açãodoque éa

matéria es ura. Aqui mostra-se que a gravitação baseada numa ação de

Einstein-Hilbert para espaços-tempo om dimensão a ima de quatro, produz um termo de

forçaextranasequaçõesdemovimentodeumsistemadepartí ulasteste,oquepode

ser apli ado ao problema do ampo gerado por alguma estrutura autogravitante,

omo lustersesféri os ou dis os, porexemplo.

Talresultadoéexploradono ál ulode onguraçõesquepossammimetizaruma

galáxia real. As ongurações al uladas são o dis o no a partir do método de

imagens etambémadistribuição isotrópi ade Miyamoto-Nagaique reproduz o

omportamentoidealizadode umagaláxiaespiralgraçasàestrati açãode matéria

num bojo entral mais um dis o galáti o. Para tais ongurações são al uladas

as urvas de rotação bem omo a sua estabilidade, pers de densidade e pressão,

e mostra-se que no domínio onde as urvas são estáveis há a possibilidade de se

reproduzirosresultados observa ionaisusualmenterela ionadosà in idên iade um

halo es uro. Nos modelos apresentados, no entanto, não há in lusão de matéria

es ura.

O ál ulode lentes gravita ionaispara lustersesféri os tambémédesenvolvido,

indi andoqueasdimensõesextraspromovemdesvios apazes deexpli ar as

anoma-liasnas observaçõesastronmi as de aglomerados de galáxias.

Os resultados são amplamente dis utidos e algumas omparações

fenomenoló-gi as são feitas. Dos resultados em estruturas autogravitantes, on lui-se que a

presença de dimensões extras (sem matéria es ura) é equivalente ao pro edimento

usualdeseadi ionarmatériaes uraàs ongurações al uladas,oquepoderialevar

àinterpretaçãode queamatériaes uraéapenas oprodutode umdes onhe imento

(8)

In the present work it is showed a new theoreti al and semiphenomenologi al

approa h on erning what extra dimensions ould represent to explain the nature

ofdarkmatter. Here the gravitation basedonanmultidimensionalEinstein-Hilbert

a tion reveals that an extra for e term appears in the equations of motion for a

system of test parti les, that an be applied for the problem of the eld produ ed

by a self gravitatingstru ture, asfor instan e spheri al lustersor disks.

Su h results are explored in the al ulation of ongurations that mimi real

galaxies. The omputed ongurationsarethethindiskfromtheinversemethod

andalsotheisotropi distributionofMiyamoto-Nagaithatreprodu estheidealized

behavior of a disk galaxy thanks to the strati ation of matter in a entral bulge

plus a disk. The rotation urves, the stability, density and pressure proles are

al ulated. In the domain where the urves are stable it is possible to reprodu e

observational results usually related to a dark halo. In present models, however,

there isno in lusionof dark matter.

It isalso presented the al ulationfor gravitationallensingof spheri al lusters,

indi ating that extra dimensions promote deviations apable to explain anomalies

in the astronomi alobservation ofmany galaxy lusters.

The results are widely dis ussed and some phenomenologi al omparisons are

made. From results for self gravitating obje ts, one on ludes that the presen e of

extradimensions (withoutdarkmatter)isequivalenttotheee tdue toadditionof

dark matter in the al ulated ongurations. This ould lead tothe interpretation

where dark matter on erns to an unfamiliarity related to the real stru ture of

(9)

1.1 Curva de rotaçãode galáxias espirais segundo a gravitação

newtoni-ana e asobservações. . . 2

4.1 Abordagem pi tóri a do método de deslo ar, ortar e reetir para

ageração de dis os. . . 25

4.2 (a)Persde densidadesuper ialdodis o

4D

. (b)Pressõesnodis o

4D

.. . . 28 4.3 Curvas de rotação para odis o

4D

. . . 29 4.4 Estabilidade dodis o

6D

apartir do ritério de Rayleigh. . . 39 4.5 Grá o da frequên ia epi í li a quadrada para o estudo de

estabili-dade perturbativo de órbitas para odis o

6D

para

0 < r

′

_{< 7}

. . . 43

4.6 Grá o da frequên ia epi í li a quadrada para o estudo de

estabili-dade perturbativo de órbitas para odis o

6D

para

0 < r

′

_{< 22}

. . . 43

4.7 Curvas de rotaçãopara o dis o

6D

para vários parâmetros: (a)para parâmetros diversos; (b) para parâmetros estáveis; ( ) quando

r

′

tende aoinnitoas urvas aem a zero no aso do dis o no. . . 44

4.8 Comparaçãoentre os pers de densidade do dis ono

4D

e dodis o no

6D

. . . 45 4.9 Comparaçãoentreas urvasderotaçãoestáveis al uladasparadis os

nosem

6D

eas urvasderotaçãode galáxiasobservadas(NGC7331, UGC12591,NGC3198). . . 46

5.1 Curvas de rotação de NGC3198. Aqui é onsiderada a omparação

entreomodeloGEDiem

6D

omMiyamoto-Nagai,omodelodedis o no em

6D

eoutros modelos outtings . . . 52 5.2 Ográ o de urvas de nível de densidade para a galáxiaNGC 3198,

obtidoa partir dagaláxiade Miyamoto-Nagaiem

6D

.. . . 54 5.3 (a) Densidade newtoniana

ρ

N

em

M

⊙

p

−3

para o modelo

4D

de Miyamoto-Nagaipara NGC3198,onde

R

e

z

são dadosemkp . (b) Grá oem

3D

doperlde densidadeobtidopara opresentemodelo. Note que não há úspide, diferentemente do problemáti o perl de

Navarro-Frenk-White[Nav96℄. . . 55

5.4 Comparaçãoentre a densidade obtida apartir das velo idades

ir u-lares al uladas, um perl puro

4D

de Myiamoto-Nagai, e um perl de Satoh. . . 56

(10)

5.6 A novadeexão al ulada para um raiode luzusando omodelo

pro-postoémaiorqueadeexãoproduzidaporumraiopassando através

de um aglomerado al uladoapenas om arelatividadegeralem

4D

. A presença de dimensões extras atua exatamente omo se fora um

halo de matéria es urafria. . . 59

5.7 Integração numéri a da deexão por lente gravita ional produzida

por um aglomerado vivendo em um universo que ontém dimensões

extras. Aqui usa-se uma equivalên ia entre o ampo gravita ional

induzidopordimensões extras e uma matéria tí ia matériade

Kaluza-Klein (KK) para mostrar que a ontribuição devida ao

ampoextrainduzidopordimensõesextrasatua omomatériaes ura.

No exemploa ima, amatéria KK tí ia onstitui

(79, 5 ± 3, 3)%

da matéria total de um aglomerado galáti o om simetria esféri a. Foi

usado

R

y

= 0, 9

e

R

x

= 0, 4

,que onstituemvaloresestáveisdea ordo om o al ulado para dis os nos. . . 59

6.1 (a) Curvas de rotação para um poten ial efetivo onde a equação de

Poisson é resolvida a partir de um ansatz de Miyamoto-Nagai (no

limitenewtoniano). (b) Frequên iaepi í li aquadradanoestudode

estabilidadedas urvas apresentadas em(a). . . 64

7.1 CurvasderotaçãodeNGC3198usandotodososmodelosdesenvolvidos. 67

7.2 Curvas de rotação de M31 usandotodos osmodelos desenvolvidos. . . 68

7.3 Curvas de rotação de UGC 12591 usando todos os modelos

desen-volvidos. . . 69

(11)

Agrade imentos vi

Resumo vii

Abstra t viii

Lista de guras x

1 Introdução 1

2 Elementos de relatividade geral 6

2.1 Tensor métri o . . . 6

2.2 Formalismode tetradas . . . 7

2.3 Derivada ovariantee transporte paralelo . . . 7

2.4 Geodési as . . . 8

2.5 Curvatura e equações de Einstein . . . 9

2.6 Limite newtoniano . . . 10

3 Gravitação om dimensões extras 11 3.1 Exemplos históri ose preliminarespara dimensões extras emteorias físi as . . . 12

3.1.1 A on epção de Kaluza . . . 12

3.1.2 A ompa ti ação de Klein . . . 13

3.2 Geodési asa partir de uma teoria geral om dimensõesextras . . . . 14

3.2.1 Termos de uma métri a multidimensional. . . 15

3.2.2 Cal ulando e ompreendendo o TEM . . . 16

3.2.3 Expressão para asequações de movimento . . . 17

3.3 Oproblema da ompa ti ação . . . 18

3.3.1 Cordas ebraneworld . . . 18

3.3.2 Umanovamassa de Plan k? . . . 19

3.3.3 Seria possível dimensõesextras não ompa ti adas? . . . 20

4 Dis o no em

6D

22 4.1 Dis osnos em

4D

. . . 23

4.1.1 Aspe tos gerais . . . 23

(12)

4.2 Soluções axissimétri as paraqualquer número de dimensões. . . 30

4.3 Umdis o em

6D

. . . 34

4.3.1 Equaçõesde Einsteinno vá uo . . . 34

4.3.2 Conteúdomaterial dodis o . . . 35

4.3.3 Soluções . . . 36

4.4 Curvas de rotação para onovo dis o. . . 37

4.5 Cál ulodaestabilidade . . . 38

4.5.1 Critériode Rayleigh . . . 38

4.5.2 Métodoperturbativo . . . 38

4.6 Curvas de rotação estáveis . . . 44

5 Galáxias e outras estruturas 48 5.1 Galáxiade Miyamoto-Nagai . . . 48

5.1.1 Equaçõesde ampo . . . 48

5.1.2 Geodési as ir ulares . . . 51

5.1.3 Estabilidade . . . 52

5.2 Exemplo: omparando omodelo om galáxias reais . . . 54

5.3 Curvas de rotação reais não são planas . . . 55

5.4 Aglomerados de galáxias e lentes gravita ionais . . . 57

6 No limite newtoniano 61 6.1 Equação para o ampovisível . . . 61

6.2 Obtendo a a eleraçãoe testando o métodopara um aso axisimétri o 63 6.3 Poten ialefetivo de GEDi . . . 65

7 Resultados omparados (galáxias) 66

8 Considerações nais 71

Referên ias Bibliográ as 73

(13)

1

Introdução

Umdosmaioresdesaos interdis iplinaresqueosé ulo20não viurespondidofoi

a perguntaao sério problema: o que é a matéria es ura? Interdis iplinar, porque

envolve astronomia, físi a e subáreas omo osmologia, astrofísi a extragaláti a,

físi a de partí ulas, teoria quânti a de ampos, gravitação e toda uma série de

olaborações entre estas áreas. E om o m da primeira dé ada do sé ulo 21, sem

dúvida, ao menos até o momento emque esta tese foi defendida, a resposta para a

perguntaa ima ontinuaum mistério.

A missão do presente trabalho está longe de responder a um questionamento

tão omplexo. No entanto, o enfoque sobre alguns pontos, a partir dos resultados

obtidos,podem sugerir algumas ontraperguntas:

1. Será que amatéria es urade fatoexiste?

2. Oqueé hamadode matériaes uranão seria algumtipode ignorân iaa er a

danatureza do espaço-tempo?

3. Seria esta ignorân ia rela ionada ao nosso des onhe imento da possível

exis-tên ia de dimensões extras?

Masoqueéamatériaes ura, nosentido emqueéatualmentedivulgada? Quais

as evidên iasobserva ionais eporque não foi diretamentedete tada?

Em relação à questão observa ional, existe uma forte evidên ia para um

fen-meno de massa faltante em es alas astronmi as, ujo apelido omum, segundo

onsta riado por Fritz Zwi ky em 1937 [Zwi37℄, é matéria es ura . Em pou as

linhas, primeiramente, têm-se os efeitos dinâmi os e de lentes gravita ionais que

apontam paraapresença de matériaes uraemgaláxias eaglomerados( lusters)de

galáxias. Também há a forte evidên ia na observação da radiação osmológi a de

fundo, indi andoque emgrande es alaouniverso tem um omponente onsiderável

de matéria es ura.

No aso dos dis os galáti os em espe ial, onde se esperava que a gravitação

newtoniana poderia ser uma ex elente teoria, a a eleração das estrelas e do gás,

onformeestimativaapartirdesuas velo idadesDoppler,émuitomaior queaquela

devidoao amponewtonianogeradopelamatériavisível. Esse éumefeito

(14)

Figura1.1: Figurailustrativaparaumagaláxiaespiral(emformadedis o),digamos

a própria Via Lá tea, o que é esperado teori amente pela gravitação newtoniana

( urva em queda) e o que é observado realmente (a urva em forma de plat).

Patrizia Caraveoe Mar o Ron adelliinS ienti Ameri anBrasil,edição 3,agosto

de 2002.

uma ilustração doque isto signi a). As urvas de rotaçãosão a maior ferramenta

para se determinar a distribuição de massa em galáxias espirais e também são

im-portantes noestudodinâmi oenainferên iadapresença de matériafaltante, i.e.,

matéria es ura nas galáxias. Para uma revisão ompleta sobre urvas de rotação,

veja porexemplo [Sof01℄.

A er ados aglomeradosde galáxias,éveri adopormedidasobserva ionaisque

eles são ompostos por três ingredientes prin ipais:

∼ 5%

em massa representa matériabarini aluminosa;

∼ 15%

está naformade gásinteraglomeradoqueemite fortemente em raios-X; e os

∼ 80%

restantes estão em alguma forma de matéria faltantenão-barini a. Histori amente,aprimeiraevidên iadetalmatériaes ura

em aglomerados remonta à épo a de Oort e Zwi ky, quando na dé ada de 1930

[Oor32,Zwi33,Smi36,Zwi37℄veri aram, apli andooteoremadovirial ao

aglome-rado de Coma (e outros), que a maioria da matéria do aglomerado era es ura.

Uma outra maneirade estimar as massas envolvidas emaglomerados de galáxias é

usando-se té ni as de lentes gravita ionais, tanto no regime forte quanto no fra o

[For94,Mel99℄. Quandointerpretadaàluzdarelatividadegeral, odesvioproduzido

devido à lente de diversos aglomerados é anomalamente grande a não ser que seja

assumida a presença de matéria es ura em quantidades e om distribuição similar

àquelas requeridas paraexpli ar a a eleração de estrelas e gás emgaláxias.

Cál ulos de nu leossíntese em osmologia[Ste94℄ e a observação das utuações

de temperaturanaradiação ósmi adefundo[Spe03,Spe07℄, aliadosàsobservações

a ima expostas, têm sido as prin ipais bandeiras para onrmar a existên ia real

da matéria es ura. Em espe ial, os pi os a ústi os da radiação ósmi a de fundo

e ál ulos da nu leossíntese são as prin ipais ferramentas para estabele er que a

matériaes ura, ouboaparte dela, deve ser não-barini a.

Umaoutrafrentequefortale eoquefoiditoa imaéadesimulações osmológi as

(15)

CDMaliadoao enáriode um universoqueseexpandea eleradamente(oquein lui

portanto a presença de onstante osmológi a, e por isso é denominado de enário

Λ

CDM).Neste aso,ini ialmenteamatériaes uraévista omoumasubstân iaque interage pou o om a matéria onven ional, formando halos es uros que envolvem

galáxias e aglomerados formados gravita ionalmente pela queda do gás no entro

dos halos. Diz-se nos modelos CDM que a matéria es ura deve ser fria, i.e.

não-relativísti a, para que as estruturas tenham o tempo su iente para se formar não

sofrendo qualquer impa todestrutivo.

As partí ulas que omporiamo halo es uroseriam essen ialmente exóti as,

teo-rizadas para que tenham baixa interação om a matéria barini a e reproduzam a

densidade

Ω

DM

h

2 _{∼ 0, 1}

observada osmologi amente [Spe07℄ (o que forne e uma

série de ara terísti as omo prováveisseções de hoque derivadas daequação de

Ri atti , ou bran hing ratios a partir do me anismo de Higgs). Os andidatos

não-barini osparapartí ulasCDMvariamdesdeminibura osnegros[Blu84,Cri06℄

até partí ulas elementares relíquias do universo primordial (muitas delas mais

o-nhe idas omo WIMPs [Ber00℄). Existe uma série de di uldades para se dete tar

todos estes andidatos, e uma innidade de experimentos estão sendo feitos, sem

muito su esso (dete ção direta, indireta, experimentos em a eleradores, om raios

ósmi os, et ). Para um sumário atualizado sobre os experimentos veja p. ex.

[Cir08℄. Nesta referên ia desta a-se a dete ção do ex esso de pósitrons na Galáxia

pelamissãoPAMELA. Estetalvezsejaoexperimentoquedealgumaforma onsegue

divisarumpou omais on retamenteapossibilidadedealgumapartí ula andidata

para a matériaes ura, porém sem on lusõesdenitivas.

Após tantos experimentos, pode-se então perguntar por que a matéria es ura

ainda não foi dete tada. Seria devido ao fato de ter tão baixa interação om a

matéria barini a? E os de aimentos previstos para partí ulas do modelo padrão,

por que não são identi ados? Ou será que a matéria es ura simplesmente não

existe? Até o momento, a melhor evidên ia, não vem da físi a experimental, e

sim da astrofísi a observa ional, sem uma denição lara porém de qual tipo de

partí ula se trataria. Um exemplo famoso de uma observação astronmi a é o da

olisãode aglomeradosdegaláxias ( omooBullet Cluster[Clo04℄). Nãoobstante, o

baixonúmerode olisõesobservadasqueforneçamevidên iassobreamatériaes ura

omprometem on lusões denitivassobre o assunto.

Complementando tudo isso, o su esso das simulações do

Λ

CDM é inequívo o para a grande es ala do universo e om ele se obtêm ex elentes resultados para o

pro esso de formação e evolução das estruturas. No entanto, apresenta diversos

problemasparaaes alade tamanhode galáxias. Umdos poten iaisproblemas, não

só no

Λ

CDM mas omo em outras versões de modelos CDM, é que eles predizem halosdegaláxia omperldedensidade omuma úspidenaparte entrale entenas

oumilharesde pequenas galáxiassatélites,em ontraposição omoqueéobservado

nomundoreal [Moo94℄.

Opróprioapeloqueenvolveotemamatériaes uraemaisosproblemaspresentes

(16)

es-poderia ser traduzido omo um efeito devido a modi ações teóri as da gravidade

newtoniana oudarelatividadegeral para es alas de tamanhoda ordemde galáxias

eaglomerados. Algunsexemplosdesseesforçosão amodi açãonewtonianade

Mil-grom[Mil83℄easmodi açõesrelativísti asdeMoat[Mof05℄e Bekenstein[Bek04℄.

Estes modelos são muito bem su edidos na maior parte dos aspe tos rela ionados

às observações, tendo apenas alguma di uldade em expli ar fenmenos dinâmi os

de olisão de lusters, omo ojá referido Bullet Cluster.

Dados os prin ipaisparadigmas a ima, que envolvem a expli ação do que seria

a massa faltanteem astronomia (esua interpretação omo matériaes ura ou não),

pode-se explanar em algumas linhas os prin ipais aspe tos do presente trabalho.

Ini ialmente, será tomado um aminho bastante onservador no sentido em que a

relatividade geral não será modi ada. No entanto, toma-se a priori que nada

im-pede que oespaço-temposeja des rito omo multidimensional. Também, nenhuma

matériaextra é evo ada ou adi ionadano ál ulode objetos autogravitantes. Uma

modi ação efetiva é en ontrada no espaço-tempo

4D

, traduzida essen ialmente a partir do que se en ontra nas equações de movimento para o sistema, dada uma

erta métri a em

d

-dimensões: um termo de força externa apare e e o poten ial gravita ional efetivo tem um omponente de orreção. Será apresentada uma nova

abordagemteóri a e semifenomenológi aa er a do quedimensõesextras poderiam

representar na expli ação do que é a matéria es ura. Aqui mostra-se que a

gra-vitação baseada numa ação de Einstein-Hilbert para espaços-tempo om dimensão

a ima de quatro, produz um termo de força extra nas equações de movimento de

um sistema de partí ulas teste, o que pode ser apli adopara o problema do ampo

gerado por alguma estrutura autogravitante, omo lusters esféri os oudis os, por

exemplo.

Nãoénovidadealgumaintroduzir-sedimensõesextrasparaexpli aramatéria

es- ura. Noentanto,emgeral,asdimensõesextrassãoevo adasparageraras hamadas

partí ulas de Kaluza-Klein,induzidas por modos extradimensionais. Assim, estas

partí ulasseriamumaespé iedeWIMP.Porexemplo,nateoriadedimensõesextras

universais [App01 ℄ obtém-se uma partí ula estável leve que apresentaria as

ara -terísti asne essárias para representar matériaes ura [Hoo07℄.

Já aqui, não será apresentada nenhuma teoria fundamental e nem se evo ará a

indução de partí ulas de Kaluza-Klein. As orreções nas equações de movimento e

no poten ial obtidos a partir da introdução de dimensões extras numa teoria

eins-teiniana objetiva, já possibilitam uma interpretação de massa faltante omo um

fenmeno asso iado à teoria de gravitação om dimensõesextras. Talenfoque será

essen ialmente debatido no Capítulo 3, que possui resultados totalmenteoriginais.

Naverdade, adis ussão produzidanaquele apítulolevaauma série de onstruções

fenomenológi astambém ompletamenteoriginaisqueserãoapresentadasnos

Capí-tulos 4, 5 e 7. Respe tivamente, os apítulos referidos modelam um dis o no a

partir do método de imagens e uma galáxia a partir do ansatz de

Miyamoto-Nagai ambos vivendo num universo multidimensional. Exemplos usando-se seis

(17)

que no domínio onde as urvas são estáveis há a possibilidade de se reproduzir os

resultados observa ionais usualmente rela ionados à in idên ia de um halo es uro.

Também no Capítulo 5 será apresentado o ál ulo de lentes gravita ionais para

lustersesféri os, indi ando queasdimensõesextras promovemdesvios apazes de

expli ar asanomaliasnas observações astronmi asde lusters de galáxias.

Como teste dos modelos relativísti os apresentados, no Capítulo 6 al ulam-se

as equações de movimentono limitenewtoniano, mostrando-seresultados similares

aos obtidos para os asos relativísti os.

OCapítulo7mostraresultadosparagaláxiasutilizando-seosmodelos al ulados

em

6D

para o dis o no relativísti o, a galáxia de Miyamoto-Nagaie para órbitas dodis o no limite newtoniano.

Assim, os Capítulos 3, 4, 5, 6 e 7 apresentam material totalmente novo. A

abordagemserá on entradano ál uloemrelatividadegeraldasestruturas

autogra-vitantes. Portanto, para uma melhor ompreensão deste material, introduz-se no

(18)

2

Elementos de relatividade geral

Para se ompreender boa parte do tratamento e resultados obtidos nesta tese,

é ne essário apresentar alguns dos aspe tos essen iais da relatividade geral. A

relatividade geral apresenta a des rição geométri a da gravitação, introduzindo

a noção de espaço-tempo urvo e sua orrelação om a distribuição de matéria.

Maiores detalhes sobre relatividade geral, bem omo apli ações, podem ser vistos

em[Crl97, Crl03,Mis73, S h85 , Wal84,Wei72℄.

Node orrerdotexto,seráusadaa onvençãodesomade Einstein,ouseja,dados

doistensores

a

κ

µ

e

b

µ

ν

quetenhamíndi esrepetidos,porémsendoumdeles omíndi e baixado e o outro om índi e levantado, será assumido que

a

κ

µ

b

µ

ν

=

P

_d−1

µ=0

a

κ

µ

b

µ

ν

, ondeosíndi esgregos,nopresente apítulo,variamde

0

a

N − 1 = 3

, i.e.,o espaço-tempo

4D

. Nos apítulos seguintes esta visão será estendida para espaços-tempo om maiores dimensões.

2.1 Tensor métri o

Intuitivamente, o on eito de métri a está rela ionadoa umadistân ia

innite-simalao quadrado, i.e., a um deslo amento aoquadrado. Um dado vetor tangente

v

_{∈ V}

a uma variedade em erto ponto pode levar ao ál ulo de taldeslo amento. Assim, dada a sua natureza de distân ia innitesimal ao quadrado, uma erta

métri a

g

deve ser uma apli ação linear que leva

V × V

em um número. Este tipo de apli ação é omumente denominada de tensor. Preliminarmente, pode-se

denirtensor omoumaapli ação multilinear(i.e. linearpara adavariável)de

vetores (ou vetores duais) em números. Ou de maneira mais formal,seja

V

um espaço vetorial ujo espaço dual é

V

∗

. Então um tensor do tipo

(r, s)

é denido omo a seguinteapli ação multilinear

T

r

_s

_{: V}

∗

_{× V}

∗

_{× ... × V}

∗

|

{z

}

r

× V × V × ... × V

|

{z

}

s

→ R.

O onjunto de todas as apli ações, para

r

e

s

xos, formam um espaço vetorial representado omo

T

r

s

(V)

. O número

r

é denominado de grau ovariante do tensor,e

s

degrau ontravariantedotensor. Umtensordotipo

(r, 0)

é hamado de tensor ontravariante de posto

r

, e um do tipo

(0, s)

é hamado de tensor ovariante de posto

s

.

(19)

Denição 2.1

◮

Uma métri a

g

denida sobre uma variedade

M

é um ampo tensorial do tipo

(0, 2)

simétri o e não-degenerado, es rito em termos de seus om-ponentes

g

µν

, numadada base, omo a somaque dene o elemento de linha

ds

2 = g

µν

dx

−

édenominado assinaturadamétri a. Ordinariamente,nageometriadiferen ialamétri aépositiva

denida, i.e., om assinatura

(+, +, ..., +)

(métri a riemanniana). Por outro lado, na relatividade geral a métri a do espaço-tempo

4D

pode ser onven ionada omo

(−, +, +, +)

(denominadalorentziana).

2.2 Formalismo de tetradas

Em alguns problemas torna-se vantajosa a es olha de uma base de tetradas

(vierbein) onstituídaporquatroquadrivetoreslinearmenteindependenteseprojetar

as grandezas físi as onvenientes nesta base. Um desenvolvimento detalhado deste

formalismopode ser en ontrado em[Cha98℄.

Em ada ponto do espaço-tempo denimos uma base de quatro vetores

(b)

_µ

_{= δ}

(b)

_(a)

_{, e}

_(a)

µ

e

(a)

_ν

_{= δ}

µ

_ν

_.

(2.2) Assume-se ainda que

e

(a)

µ

_e

(b)µ

= η

(a)(b)

, onde

η

(a)(b)

são os elementos da matriz diagonal om elementosdiagonais

(−1, 1, 1, 1)

. Assim, são obtidas

η

(a)(b)

e

(a)

µ

= e

(b)µ

,

η

(a)(b)

e

(a)µ

= e

(b)

µ

,

(2.3) além da importante propriedade

e

(a)µ

e

(a)

ν

= g

µν

. Dado um vetor ou tensor, pode-se projetá-los na base de tetradas para obter-se seus omponentes de tetradas da

seguinte maneira

A

(a)

= e

(a)µ

A

µ

= e

(a)

µ

A

µ

,

(2.4)

T

(a)(b)

= e

(a)µ

e

(b)ν

T

µν

= e

(a)

µ

e

(b)

ν

T

µν

.

(2.5)

2.3 Derivada ovariante e transporte paralelo

Ini ialmente, supondo que um dado espaço-tempo seja uma variedade

M

, deve existir sobre

M

um operador derivada

∇

, denido omo um operador que leva um tensor do tipo

(r, s)

em um do tipo

(r, s + 1)

, realizando assim uma operação ovariante. Esta derivada, denominada de derivada ovariante, deve ser onsistente

(20)

um tensor de postogenéri o, tem-se

∇

µ

T

ν

1 ...ν

r

τ

1 ...τ

s

= ˜

∇

µ

T

ν

1 ...ν

r

τ

1 ...τ

s

+

X

i

C

ν

i

µκ

T

ν

1 ...κ...ν

r

τ

1 ...τ

s

−

X

j

C

κ

_µτ

_j

T

ν

1 ...ν

r

τ

1 ...κ...τ

s

,

(2.6) onde

C

= ∂

µ

v

ν

+

_ν

µτ

v

τ

.

(2.7)

_τ

µν

=

1

2 g

τ κ

_[∂

µ

g

νκ

+ ∂

ν

g

µκ

− ∂

κ

g

µν

] .

(2.8) Dado um operadorderivada ovariante

ν

1 ...ν

r

τ

1 ...τ

s

= 0.

(2.10)

2.4 Geodési as

Quando aEq. (2.9) é es ritaa partir dosímbolode Christoeltem-se

t

µ

_∂

µ

v

ν

+ t

µ

_ν

µτ

v

τ

_{= 0,}

(2.11)

ou, dado que

t

dv

ν

dt

+ t

µ

ν

µτ

v

τ

= 0.

(2.12)

Quando o transporte paralelo a ima o orre para um vetor

v

que é o próprio vetor tangente a

C

em dado ponto, i.e,

v

µ

_{= t}

µ

, então é dito que

t

µ

sofre um transporte

paralelosobre si mesmoe agora a urva

C

é hamada de geodési a om equação

d

2 _x

µ

dt

2 + {

µ

ντ

}

dx

ν

dt

dx

τ

dt

= 0.

(2.13)

Para um ampo físi o, omo o gravita ionalp.ex., a equação a ima des reve a

(21)

das atravésda variação dalagrangiana

L = g

µν

dx

µ

dt

dx

ν

dt

.

(2.14)

2.5 Curvatura e equações de Einstein

A falha de um vetor em retornar a seu valor original após sofrer transporte

paralelo em uma urva fe hada é governada pelo tensor de urvatura de Riemann

R

µντ

κ

. Será bastante útil estudar os tensores de posto menor asso iados ao tensor de Riemann. Assim, tem-seo tensor de Ri i, denido omo

R

µν

= R

µτ ν

τ

,

(2.15)

e oes alar de urvatura, oues alar de Ri i

R = R

µ

.

(2.16)

Pode-se mostrar que o tensor de Ri i é es rito em termos dos símbolos de

Christoel omo

R

αβ

= ∂

µ

{

_αβ

µ

} − ∂

β

_µ

αµ

+ {

αβ

ν

}

_µ

νµ

− {

αν

ν

} {

µ

νβ

}

(2.17)

Agora, suponhaque osistemaesteja sob apresença de um ampogravita ional.

Neste aso, a equação geodési a de uma partí ulalivre apresentará termos que

po-demser asso iadosà urvaturadoespaço-tempo(esteéuma brevesentençadaquilo

que pode ser hamado de prin ípio da equivalên ia). Logo, omo o espaço-tempo

apresenta urvatura, não existe mais uma famíliaglobalde observadores iner iais.

Narelatividadegeral,os amposeadistribuiçãodematériasãodes ritos através

dotensor

T

αβ

, hamado de tensor de energia-momento,ouTEM. O TEMpara um uido perfeito é dado por

T

αβ

= ρu

α

u

β

+ P (g

αβ

+ u

α

u

β

),

(2.18)

que devesatisfazer à equação de movimento

T

;α

αβ

= 0

.

As equações apazes de des rever a relação entre a geometria do espaço-tempo

e adistribuição de matéria, onhe idas omoequações de Einstein de ampo,são

G

αβ

≡ R

αβ

−

1

2 Rg

αβ

= 8πT

αβ

,

(2.19) onde

G

αβ

é hamadodetensordeEinstein. AsequaçõesdeEinsteintambémpodem ser obtidas variando-se a ação de Hilbert

S = −

Z 1

_16π

R + L

M

√

−g d

4 x,

(2.20)

onde

√

(22)

métri o

g

µν

, e

L

M

é a densidade lagrangiana referente à distribuição de matéria. OTEM é então obtido apartir dadenição

T

αβ

:= −2

1 √

−g

δ(

√

_−gL

M

)

δg

αβ

= −2

δL

M

δg

αβ

+ g

αβ

L

M

.

(2.21) 2.6 Limite newtoniano

Impondo a ondição de baixas velo idades e ampos fra os, etomando as

om-ponentes

T

00 = T

tt

para o TEM de um uido perfeito, Eq. (2.18), tem-se

T

tt

≈

ρu

t

u

t

≈ ρ

e o traço

T = T

µ

= ρ − 3P

. Outra forma de es rever as equações de Einstein (2.19) é tomando o seu traço, o que impli a em

R

αβ

= 8π T

αβ

−

1

2 T g

αβ

.

Desta forma,obtêm-se para otratamento ora utilizado

R

tt

≈ 4π(ρ + 3P ).

(2.22)

Como o ampo é fra o, pode-se imaginar que a métri a é aproximadamente plana,

i.e. oespaço-tempoéMinkowski om umaperturbação

h

µν

talque

g

µν

= η

µν

+ h

µν

. O omponente

R

tt

reduz-se a

R

tt

≈

1

2 ∇

2 _h

tt

.

(2.23)

Comparando-se a Eq. (2.22) om (2.23) e usando a relação

h

tt

= 2φ

, obtêm-se a equação

∇

2 φ = 4π(ρ + 3P ) = 4πρ

N

,

(2.24) onde

ρ

N

éa densidade efetivanewtoniana. Na matéria omum, apressão (

P/c

2

em

unidades não geométri as) é muito menor do que a densidade de energia e assim

(23)

3

Gravitação om dimensões extras

As teorias de gravitação om dimensões extras (algumas vezes referidas omo

teorias de Kaluza-Klein 1

) ompreendem um onjuntode on epções onde o

espaço-tempopossuimaisde

1+3

dimensões. Originalmente,ostrabalhosdeKaluza[Kal97℄ eKlein[Kle26℄tinhamoobjetivode uni arambasagravitação

4D

de Einsteinea teoria eletromagnéti a de Maxwell, usandoo artifí ioda introdução de uma quinta

dimensão. Noentanto,atualmente,estas teoriastemuma grandeprofusãode novas

motivações: a uni açãodas interaçõesgravita ional,eletromagnéti a, fra aeforte

via uma teoria de supergravidade em

11D

[Wit81℄ ouvia teoria de super ordas em

10D

[Gre82℄; a resolução do problema da hierarquia em teoria de ampos, através das hamadasdimensõesextraslargas(ondeoraiode ompa ti açãonãoselimita

a ser do tamanho do omprimento de Plan k i.e.

p

~

_G/c

3 _{= 10}

−33

m, omo em

super ordas [para

~

onstantede Plan k,

G

onstantegravita ionale

c

avelo idade daluz℄maspodeadquirirvaloresbemmaiores, omoatédaordemde

∼ 1

mm). No asodestaúltima,osprin ipaisrepresentantes são: osmodelosdeRandall-Sundrum

(RS) [Rsu99a, Rsu99b℄, de Arkani-Hammed-Dmopoulous-Dvali(ADD) [Ark98℄ ou

de dimensõesextras universais (UED)[App01℄.

A presente tese vemmostraruma possível motivação astrofísi apara dimensões

extras: haveria alguma onexãoentre dimensõesextras ematéria es ura? Algumas

teorias de dimensões extras já possuem uma resposta preparada. Por exemplo,

na on epção UED é possível obter fenomenologi amente uma partí ula que tem

propriedades similares à da matéria es ura supersimétri a (para uma revisão ver

[Hoo07℄). Aqui, no entanto, será argumentado o fato de que a simplespresença de

dimensõesextrasjáésu ienteparaproduzirefeitos apazes deexpli aroproblema

damassa faltante sem ane essidade de uma partí ulade matéria es ura.

Está fora do es opo do presente trabalho adentrar as teorias de super ordas,

supergravidade oualgumateoriade dimensõesextras largas. Seráapresentada,no

entanto,umabreveintroduçãoà on epçãodeKaluza-Klein,parapermitiruma

me-lhor ompreensãodapropostado aráterdas equaçõesde movimentonum universo

om mais de

1 + 3

dimensõese ainterpretaçãodo problema damassa faltante. Neste apítulo, a não ser quando espe i ado,

c = 1

,

G = 1

e a assinatura 1

Estaterminologiaéalgumas vezes onsideradaerrneapoisnemtodasasteorias om

(24)

adotada para a métri a é

(−, +, +, +)

para a parte

4D

(e em omplemento, será onsiderado ab initio quea parte extra representa oordenadas espa iais).

3.1 Exemplos históri os e preliminares para

dimen-sões extras em teorias físi as

3.1.1 A on epção de Kaluza

Na on epção de Kaluza [Kal97℄ (para uma revisão, veja [Duf94℄), o

eletro-magnetismo pode ser uni ado à gravitação, ao in luir-sena relatividadegeral um

espaço-tempo de in o dimensões. Tal pro edimento pode ser sumarizado omo se

segue.

As equações de Einstein em

5D

para um tensor de energia-momento pentadi-mensional nulo são

G

AB

= 0,

(3.1)

ouequivalentemente

R

AB

= 0,

(3.2)

onde

A, B = 0, 1, ..., 4

, e omo já visto no Cap. 2, o tensor de Einstein é

G

AB

≡

R

AB

− Rg

AB

/2

, om

R

AB

e

R = g

AB

R

AB

otensor e oes alar de Ri i

pentadimen-sionais, respe tivamente, e

g

AB

é o tensor métri o pentadimensional. A versão

5D

das equaçõesde Einsteinpodemser obtidasdavariaçãodaversão

5D

daaçãousual de Einstein-Hilbert[Eq. (2.20)℄

S = −

_16π

1 ₍₅₎

_G

Z

R

√

_{−g d}

4 xdy

(3.3) onde aqui

y = x

4

representa a oordenada extra e

(5)

_G

simboliza a onstante

gravi-ta ionalpentadimensional.

A idéia de Kaluza era queo universo deveria ser vazionas dimensõessuperiores

e asdimensõesextras deveriam expli ar a própriaexistên ia da matériaem quatro

dimensões omouma manifestação da geometria.

Umaoutra ara terísti adestateoriaéaes olhadamétri a

5D

omoalgo essen- ial. Emgeral,seidenti aaparte

4D

damétri a om

g

αβ

,e ostermos

g

α4

om

A

α

(opoten ialeletromagnéti o)ea parte

g

44

om um ampo es alar

φ

. Umamaneira onveniente de es rever amétri aé

g

AB

=





g

αβ

+ κ

2 φ

2 A

α

A

β

|

κφ

2 A

α

− − −

κφ

2 _A

β

|

φ

2 



,

(3.4)

onde o poten ial eletromagnéti o

A

α

está es alonado de uma onstante

κ

de forma a obter-se os valores multipli ativos orretos na ação. Como es rito em (3.4) a

(25)

4D

( ondição ilíndri a). Assim,asequaçõesde ampo al uladassão[Les82 ,Thi87℄

G

αβ

=

1

2 κ

2 _φ

2 _T

EM

αβ

−

1 φ

[∇

α

(∂

β

φ) − g

αβ

φ],

(3.5)

∇

α

_F

αβ

= −3

∂

α

_φ

φ

F

αβ

,

(3.6)

φ =

1

4 κ

2 _φ

3 _F

αβ

F

αβ

,

(3.7)

onde

G

αβ

≡ R

αβ

−Rg

αβ

/2

éotensor onven ionaldeEinstein,

T

EM

αβ

≡ g

αβ

F

µν

F

µν

/4−

F

µ

α

F

βµ

éotensordeenergia-momentoeletromagnéti o, om

F

αβ

≡ ∂

α

A

β

−∂

β

A

α

e

éodalambertiano. Existem umtotalde

10 + 4 + 1 = 15

equações, oin idindo omo esperado om osquinze elementosindependentes da métri apentadimensional.

3.1.2 A ompa ti ação de Klein

A idéia de que as quantidades físi as não dependeriam das dimensões extras

( onforme sugerido por Kaluza) foi onsiderada inadequada por Klein [Kle26℄, que

postulouportantoa idéiade queadependên ia deveria existir, mas elaseria

ondi- ionadaa uma dimensão extra extremamente pequena.

Klein assumiu que a quinta oordenada deveria ter es ala de omprimento e

possuiria duas propriedades prin ipais: (1) topologia ir ular (

S

1

), e omo já dito

(2) pequena es ala. Sob a propriedade (1), qualquer quantidade

f (x, y)

[onde

x =

(x

0 _{, x}

1 _{, x}

2 _{, x}

3 ₎

e

y = x

4

℄ setorna periódi a, talque

f (x, y) = f (x, y + 2πr)

onde

r

é o parâmetro de es ala da quinta dimensão (ou o raio daquintadimensão). Assim,

todos os ampossão expandidos omoséries de Fourier:

g

αβ

(x, y) =

∞

X

m=−∞

g

_αβ

(m)

(x)e

imy/r

,

A

α

(x, y) =

∞

X

m=−∞

A

(m)

_α

(x)e

imy/r

,

φ(x, y) =

∞

X

m=−∞

φ

(m)

e

imy/r

,

(3.8)

onde o superes rito

(m)

refere-se ao

m

-ésimo modo de Fourier. Graças à teoria quânti a,estesmodospossuemmomentonadireção

y

daordemde

|m|/r

. Aquientra a propriedade (2): se

r

é su ientemente pequeno, então os momentos na direção

y

serão tão grandes que estarão fora da dete ção de qualquer experimento, para qualquer

m 6= 0

. Apenas nos modos em que

m = 0

, os quais são independentes de

(26)

3.2 Geodési as a partir de uma teoria geral om

dimensões extras

Na relatividade geral, ao lado das soluções que ofere em importante suporte

para entender bura os negros e osmologia, também observa-se um res ente

inte-resse pelo aso de soluções para espaços-tempo multidimensionais. Existem muitas

motivaçõespara se onsiderar uma tal abordagem. Atualmente a idéia de

Kaluza-Klein de unir ampos desenvolveu-se na direção da teoria de ordas. Além disso,

desde os últimos dez anos tem-se feito um esforço para ompreender o problema

hierárqui o em teoria de ampos a partir da diluição da gravidade em dimensões

extras submilimétri as [Ark98, Rsu99a, Rsu99b℄. No entanto, há uma motivação

maisbási adopontode vistapuramentegravita ional/geométri oquevemapartir

da tentativa de ompreender se as dimensões extras poderiam desempenhar um

papel importantena natureza intrínse ado espaço-tempo. Neste sentido, o esforço

desenvolvido apare e na forma de algumas soluções das equações de Einstein para

espaços-tempo multidimensionais, omo podem ser vistas naseguinte série de

refe-rên ias: [Leu60,Dob82,Cho82,Pol83,Gib82,Gib86,Let93,Cve95 ,Ras95,Emp02℄.

Napresenteseçãoserãodesenvolvidasasequaçõesdemovimentodeumapartí ula

teste que vivaem um universo multidimensional, om o objetivo de observar o que

poderiaa onte er om asórbitas ir ularesse amétri afosseaxisimétri a. Esse

úl-timo enárioserámelhordesenvolvidonopróximo apítulo,ondeserão al uladasas

órbitas expli itamentepara um dis o. No presente apítulo,o aso será mais geral,

e oobjetivo será mais teóri oque fenomenológi o. No Cap. 7,testes

fenomenológi- os de orrentes do seguinte desenvolvimento serão omparados a outros modelos

também aqui desenvolvidos.

Ini ialmente, usando uma on epção alla Kaluza, i.e., assumidas as ondições

ilíndri as e onde não há preo upação om a ompa ti ação, pode-se expandir a

métri ade umuniverso multidimensionalemsetores

1 + 3

esetoresextras, ondenão há a priori nenhum impedimento para os ampos a essarem as dimensões extras.

Esse é o enário mais geral que pode ser imaginado. Portanto, para tal enário, a

ação de EinsteinHilbertmultidimensional( om matéria) édada por

S =

1 16π

Z

d

4 xd

n

y

p

₋

(4+n)

_{g (}

(4+n)

R + L

M

),

(3.9)

que remeteàs equações de ampo

(4+n)

_G

AB

= 8π

(4+n)

T

AB

,

(3.10)

onde

A, B = 0, 1, ..., 4 + n − 1

,

y

são as oordenadas extras e os índi es

(4 + n)

informam sobre a natureza multidimensionalda ação. A partir de agora, por

sim-pli ação,

(4+n)

_G

AB

e

(4+n)

_T

(27)

3.2.1 Termos de uma métri a multidimensional

Imaginando um universo om mais de

1 + 3

dimensões, i.e.,

(1 + 3 + n)D

, a métri amais geral para este aso édada por

g

AB

=





g

αβ

|

g

αb

− − −

g

aβ

|

g

ab





,

(3.11)

onde

α, β = (0, .., 3)

e

a, b = (4, .., n)

, para um inteiro

n > 4

, e onde os elementos da métri a são apenas funções das oordenadas

1 + 3

. De fato, a Eq. (3.11) pode ser rees rita, por onveniên ia, de uma maneiradiferente omo

g

AB

= g

αβ

δ

A

α

δ

β

B

+ g

ab

δ

a

A

δ

B

b

+ g

αb

δ

A

α

δ

B

b

+ g

aβ

δ

A

a

δ

β

B

,

(3.12) para

A, B = (0, .., 3 + n)

e onde

δ

i

j

são os símbolosde Krone ker. As derivadas dos elementos de talmétri a são

g

AB,C

=

g

αβ,γ

δ

α

A

δ

β

B

δ

γ

C

+ g

ab,γ

δ

a

A

δ

b

B

δ

γ

C

+g

αb,γ

δ

A

α

δ

B

b

δ

γ

C

+ g

aβ,γ

δ

a

A

δ

β

B

δ

γ

C

.

(3.13)

Por simpli idade, pode-se tratar o aso onde a métri a é diagonal, i.e.,

g

AB

=

g

αβ

δ

A

α

δ

β

B

+ g

ab

δ

a

A

δ

b

B

. Aqui,a inversa da métri aserá

g

AB

= g

αβ

δ

A

_α

δ

_β

B

+ g

ab

δ

_a

A

δ

_b

B

,

(3.14) e asderivadas vêmdiretamentedaEq. (3.13)

g

AB,C

= g

αβ,γ

δ

A

α

δ

β

B

δ

γ

C

+ g

ab,γ

δ

A

a

δ

B

b

δ

γ

C

.

(3.15)

Pode-se derivar osseguintes símbolosde Christoel

_A

BC

=

1

2 g

AM

_(g

BM,C

+ g

CM,B

− g

BC,M

).

(3.16) Desenvolvendo estes através das Eqs. (3.14)e (3.15) obtém-se

_A

BC

=

α

βγ

δ

A

α

δ

β

B

δ

γ

C

+

1

2 h

g

am

_(g

bm,γ

δ

a

A

δ

B

b

δ

γ

C

+ g

cm,β

δ

a

A

δ

β

B

δ

C

c

) − g

αµ

g

bc,µ

δ

α

A

δ

B

b

δ

c

C

i

.

(3.17)

Os omponentes dotensor de Ri i são es ritos omo

R

AB

= ∂

M

_M

AB

− ∂

B

_M

AM

+

_AB

N

_{N M}

M

₋

_AM

N

_{N B}

M

.

(3.18) Desenvolvendo para o aso em que a métri a depende apenas de

x

α

(28)

R

AB

= R

αβ

δ

A

α

δ

β

B

+ R

ab

δ

a

A

δ

B

b

,

(3.19)

esemtermos ruzadosentreaparte

(1+3)

eaparteextra. Introduzindo(3.14)esuas derivadas(3.15) nos símbolosde Christoel(3.17) obtêm-se asseguintes expressões

para a Eq. (3.19)

R

αβ

= R

αβ

−

1

2 g

mc

_,β

g

mc,α

+ g

mc

g

mc,αβ

+

1

2 g

nc

_g

mc,α

g

me

g

ne,β

,

(3.20)

R

ab

=

−

1

2 g

µγ

_,µ

g

ab,γ

+ g

µγ

g

ab,γµ

−

1

2 (g

nc

_g

ac,µ

g

µγ

g

nb,γ

+g

νγ

_g

am,γ

g

mc

g

bc,ν

− g

νγ

g

ab,ν

g

mc

g

mc,γ

)]

(3.21) onde

R

αβ

é o tensor de Ri i onven ional para a parte

(1 + 3)D

(i.e.

R

αβ

=

∂

µ

{

αβ

µ

} − ∂

β

_µ

αµ

+ {

ν

αβ

}

_µ

νµ

− {

ν

αν

} {

µ

νβ

}

).

3.2.2 Cal ulando e ompreendendo o TEM

Agora, para

G

AB

= R

AB

− 1/2Rg

AB

e

R = g

M N

_R

M N

, serão obtidos os ompo-nentes estendidos do tensor de energia-momento (onde para a métri a diagonal o

TEM pode ser es rito omo

T

AB

= T

αβ

δ

α

A

δ

β

B

+ T

ab

δ

A

a

δ

B

b

)

8πT

αβ

= R

αβ

−

1

2 (g

M N

_R

M N

)g

αβ

,

(3.22)

8πT

ab

= R

ab

−

1

2 (g

M N

_R

M N

)g

ab

.

(3.23)

O tensor

T

αβ

representa o onteúdo de energia/pressão em

(1 + 3)D

, e pode ser observado que a inuên ia das dimensões extras é evidente. De (3.20), (3.21) e

(3.22) tem-se

T

αβ

= T

αβ

+ T

αβ

,

(3.24)

onde

T

αβ

representa aparte doTEMem

(1 + 3)D

que ontém apenas omponentes do espaço-tempo onven ional e

T

αβ

é a orreção que apare e devido às dimensões extras, onde têm-se expli itamente

8πT

αβ

= R

αβ

−

1

2 (g

µν

R

µν

)g

αβ

,

(3.25)

8πT

αβ

= −

1

2 R

_αβ

₋

1

2 (g

µν

_R

µν

)g

αβ

+ (g

mn

R

mn

)g

αβ

.

(3.26)

Note que

T

αβ

possui oformato de um tensor de Einstein usual

G

αβ

. Otensor

R

αβ

, obtido a partir do desenvolvimento de (3.24), representa um termo de urvatura

(29)

R

_αβ

_{= g}

mc

,β

g

mc,α

+ g

mc

g

mc,αβ

+

1

2 g

nc

_g

mc,α

g

me

g

ne,β

.

(3.27) O prin ipal enfoque deve ser dado à parte

(1 + 3)

do TEM e na onseguinte expli ação do signi ado da parte extra ontida na expressão (3.24). Uma

me-lhor ompreensão disto virá a partir do desenvolvimento de uma equação geral de

movimentopara o sistema.

3.2.3 Expressão para as equações de movimento

Para oespaço-tempo

(1 + 3 + n)

desenvolvido anteriormente, pode-se es rever o seguinte fun ionallagrangiano

L = (g

AB

˙x

A

˙x

B

)

1/2

= (g

αβ

˙x

α

˙x

β

+ g

ab

˙x

a

˙x

b

)

1/2

,

(3.28)

onde

˙x

A

_{= dx}

A

_/ds

. A Eq. (3.28) é o lagrangiano lássi o mais geral para um

espaço-tempo om dimensões extras, onde os elementos da métri a são dados por

g

AB

= g

αβ

δ

A

α

δ

β

B

+ g

ab

δ

A

a

δ

B

b

. As equações de movimento são derivadas a partir da equação de Euler-Lagrange

d

ds

∂L

∂ ˙x

C

−

_∂x

∂L

C

= 0.

(3.29) Como

∂

A

= ∂

α

δ

α

A

+ ∂

a

δ

A

a

e

g

ab

= g

ab

(x

α

₎

então tem-se que

∂L

∂x

C

=

∂L

∂x

γ

δ

γ

C

+

∂L

∂x

c

δ

c

C

,

(3.30)

∂L

∂x

γ

=

1

2 L

−1

_(g

αβ,γ

˙x

α

˙x

β

+ g

ab,γ

˙x

a

˙x

b

)

(3.31) e

∂L

∂x

c

= 0,

(3.32) e portanto

∂L

∂x

C

=

1

2 L

−1

_(g

αβ,γ

˙x

α

˙x

β

+ g

ab,γ

˙x

a

˙x

b

)δ

C

γ

.

(3.33) Da mesma formapode-se desenvolver otermo

d

ds

∂L

∂ ˙x

C

∂L

∂ ˙x

γ

=

1

2 L

−1

_(g

γβ

˙x

β

+ g

αγ

˙x

α

) = L

−1

g

µγ

˙x

µ

,

(3.34)

∂L

∂ ˙x

c

=

1

2 L

−1

_(g

cb

˙x

b

+ g

ac

˙x

a

) = L

−1

g

mc

˙x

m

.

(3.35)

(30)

d

ds

∂L

∂ ˙x

γ

= L

−1

∂g

µγ

∂x

σ

˙x

σ

˙x

µ

+ g

µγ

x

¨

µ

,

(3.36)

Também, dado ofatoque

x

a

sãovariáveis í li as,pode-sees reveraseguinte

ons-tantede integração

g

cm

˙x

m

= N

c

,

(3.37)

i.e., um vetor onstante, eassim

d

ds

∂L

∂ ˙x

c

= 0.

(3.38)

Introduzindo estes últimos em(3.36) e multipli ando por

Lg

µγ

e usando (3.33)

e (3.37) hega-seàs seguintes equações de movimento

¨

x

µ

+

_αβ

µ

˙x

α

˙x

β

=

1

2 g

ab,γ

g

µγ

_N

c

g

ac

N

d

g

bd

,

(3.39)

onde laramente se vê que as dimensões extras induzem uma força externa no

sis-tema, quedepende de

g

ab

e

N

c

.

3.3 O problema da ompa ti ação

Atéagoranão seperguntousobre aquestãoobserva ional dasdimensõesextras.

Por que não se enxergamas dimensões extras? Se elas existiremo que previne que

os fótons não es apem na direção delas? Abaixo, uma pequena dis ussão sobre o

assunto. Ini ialmente, será dis utido o porquê da ne essidade da ompa ti ação

em muitas das teorias om dimensões extras. Em seguida, mostra-se que para a

presente proposta, o me anismo de ompa ti ação pode ser tranquilamente

dis-pensado. Outros aspe tos sobre a natureza da observação de uma dimensão extra

podem ser vistosp. ex. em [Coi05a, Coi05b,Coi05 , Coi06a℄.

3.3.1 Cordas e braneworld

O me anismo físi omais onhe ido para expli ar taisperguntas é oda

ompa -ti açãode Klein, já apresentado na Seção 3.1.2. A motivação para tal me anismo

pode ser melhor ompreendida ao se questionar por que as interações físi as são

regidas por leis dotipo inverso doquadrado. Emteorias de ordas, p.ex., se hega

à on lusão que a ompa ti ação deve o orrer na es ala de Plan k. No entanto,

as hamadas teoriasde mundobrana(braneworlds) omo aADD[Ark98 ℄falamque

a es ala de ompa ti ação poderia ser bem maior que a es ala de Plan k, omo

dis utido abaixo.

Na teoria quânti a de ampos, quando uma partí ula sem massa (um fóton,

(31)

V (r) ∝

Z

d

3 k e

i~k.~

x

1 ~k

2 ∝

1 r

,

(3.40)

onde

~k

éovetordeonda,quepodeserasso iadoaoprópriomomento

~p = ~~k

quando se trabalha em unidades naturais

~

= 1

. Basi amente,

V (r)

é a transformada de Fourier do propagador e o valor

~k

2

no propagador vem a partir da invariân ia

rota ional.

Agora, supondo aexistên iade

n

dimensõesextras, pode-se dizerque elas estão asso iadasaumaes alafundamental

R

. Agora,ainteraçãofundamentalentre duas partí ulas nesse enáriopode ser es rita omo

V (r) ∝

Z

d

3+n

k e

i~k.~

x

1 ~k

2 ∝

1 r

1+n

.

(3.41)

No entanto,nanatureza não seobservaeste tipode lei. Aexpli ação para queisto

faça sentido é então supor que a lei de quadrado inverso (i.e. a lei de Newton) é

válida para es alasdotipo

r ≫ R

. Neste regime,as oordenadasextras seriam efe-tivamentedesprezíveisquando omparadas omotamanho

r

. Assim,pensa-sequea dimensãoextradeveser ompa ti ada,ouseja,aes ala

R

deveser su ientemente pequena paraque amposeletromagnéti os,p. ex., ontinuemase omportar omo

o observado.

Uma oisainteressantenoentantoo orreriaparaes alas

r ≪ R

. Euristi amente, quando

R

é muito maior que a separação entre duas partí ulas, o uxo do ampo não sabequeas oordenadas extrassão nitas eouniverso pare erá ser

(1 + 3 + n)

. Como a gravidade nun a foi testada em es alas submilimétri as, haveria então a

possibilidade teóri ade espe ularsobre

R

: essa es alapoderiaser bemmaior quea es ala das partí ulas elementarese aindaassim bemmenor queas es alasdos

fen-menosaqueoshumanosestãoa ostumados. Esta possibilidade émelhor onhe ida

omo dimensões extras grandes, pois a ompa ti ação o orre para es alas bem

maioresque a de Plan k.

3.3.2 Uma nova massa de Plan k?

Em termos numéri os, e além disso, em termos históri os, a massa de Plan k é

denida omo

V (r) =

Gm

1 m

2 r

=

(m

1 m

2 /M

P

2 )

r

.

(3.42)

Isto signi a que

M

P

∼ 10

19

GeV. Um valor extremamente grande que traduz o

quãofra a é agravidade.

Emunidadesfundamentaisonde

~

e

c

são igualadosàunidade,agravidade apre-sentauma es alade energia muito maiorquequalquer es ala antes explorada

expe-rimentalmente. Defato,um dos mistériosmaisfundamentaisdafísi ade partí ulas

é saber por que existe esta imensa la una entre agravidade e as outras interações.