Adriano Oliveira Pires
PROJETO DE DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS DE CONCENTRAÇÃO DE FLUXO A PARTIR DE OTIMIZAÇÃO
DE FONTES DE CAMPOS MAGNÉTICOS: UM ESTUDO DE CASO BASEADO EM ARRANJOS DE
HALBACH
Dissertação submetida ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de mestre em Engenharia Elétrica Orientador: Prof. Dr. Nelson Sadowski Co-orientador: Prof. Dr. Walter Pereira Carpes Jr.
Florianópolis 2017
Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor
através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.
Adriano Oliveira Pires
PROJETO DE DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS DE CONCENTRAÇÃO DE FLUXO A PARTIR DE OTIMIZAÇÃO
DE FONTES DE CAMPOS MAGNÉTICOS: UM ESTUDO DE CASO BASEADO EM ARRANJOS DE
HALBACH
Esta Dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de Mestre e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Florianópolis, 26 de Setembro de 2017.
Este trabalho é dedicado aos aficionados por ímãs que acreditam no desenvolvimento desta tecnologia.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que direta ou indiretamente colaboraram, apoiaram e me incentivaram durante todo o curso de pós-graduação tornando viável a confecção deste trabalho.
Agradeço aos meus orientadores, professor Nelson Sadowski e professor Walter Pereira Carpes Jr., que acolheram com entusiasmo a ideia proposta e atuaram perfeitamente na condição daquele que orienta e tutora em vez de centralizar e ordenar.
Agradeço a todos os colaboradores e alunos ligados ao GRUCAD que me propiciaram um ambiente agradável de aprendizado e evolução durante estes anos. Em especial aos colegas Ricardo Elias e Thiago Bazzo que participaram diretamente deste trabalho.
Agradeço ao Fernando Maccari do MAGMA (Grupo de Materiais Magnéticos), Departamento de Engenharia de Materiais, que gentilmente cedeu seu tempo e intelecto para discutir diversos aspectos do trabalho ao longo do desenvolvimento, além de ceder a infraestrutura do laboratório para a caracterização dos ímãs.
Agradeço à unidade RTB da GE - General Electric, em Florianópolis, que me incentivou e deu toda a flexibilidade possível, tornando viável conciliar o emprego e o estudo.
Agradeço à minha companheira de todas as horas Evelise Soares Pires, que com seu carinho e paciência compartilhou meus anseios e angústias durante este período de desenvolvimento, além de diretamente auxiliar no trabalho com revisões e discussões das ideias mais mirabolantes, ajudando a filtrar o que fazia sentido ou não durante a continuação desta empreitada.
Por fim, agradeço ao meu núcleo familiar mais próximo, irmãos e meus pais Alvino José Júnior e Custódia Maria de Oliveira Pires, que não mediram esforços para que eu trilhasse o caminho do estudo, do desenvolvimento intelectual e acadêmico mesmo após a graduação.
O que move a engenharia é a preguiça. (Gustavo Lambert, 2010)
RESUMO
Tanto o Método dos Elementos Finitos quanto o Método de Otimização por Enxame de Partículas têm sido utilizados independentemente em diversos problemas eletromagnéticos. Este trabalho apresenta a concepção de um sistema computacional que combina o método de elementos finitos para problemas eletromagnéticos com o algoritmo de otimização por enxame de partículas a fim de projetar dispositivos eletromagnéticos de maneira automatizada através da combinação dessas técnicas. Para validar o sistema, é feito o estudo de caso com o projeto de arranjos de ímãs permanentes que imitam o comportamento de um arranjo de Halbach anelar, que idealmente concentra uniformemente toda a densidade de campo no centro do anel. Um dos arranjos é reproduzido experimentalmente com o auxílio de uma impressora 3D, e os campos magnéticos são medidos e digitalizados utilizando Arduino e sonda Hall, sendo comparados com os resultados simulados e teóricos para aquela estrutura.
Palavras-chave: Arranjos de Halbach. Otimização por Enxame de Partículas. Ímãs Permanentes. Ferramenta Computacional.
ABSTRACT
The Finite Elements Method and Particle Swarm Optimization have been used independently for solving many electromagnetic problems. In this work, it is shown the conception of a computational system that combines the Finite Elements Method for electromagnetic problems with a Particle Swarm Optimization algorithm in order to project electromagnetic devices in an automated way. To validate the computational system, it is used as case study the project of a permanent magnet spatial disposal with the objective to reproduce the behavior of a cylindrical Halbach array, which ideally concentrates the magnetic field at the center of the ring uniformly. One of the arrays is reproduced experimentally with the help of a 3D printer. The magnetic fields are measured and digitalized with an Arduino and a Hall probe and are compared with theoretical and simulated results.
Keywords: Halbach Array. Particle Swarm Optimization. Permanent Magnets. Computational Tool.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Quadro representativo do comportamento do campo magnético ao atravessar materiais com diferentes características magnéticas. ... 26 Figura 2 - Ilustração do corte de um transformador monofásico com núcleo de alta permeabilidade e suas linhas de fluxo. ... 26 Figura 3 - Exemplo de geração de campo magnético controlado a partir da superposição de fontes. ... 27
Figura 4 - Representação teórica das distribuições de campo devido arranjos de Halbach para diferentes quantidade de dipolos. ... 28
Figura 5 - Foto com o exemplo de um par de ímãs codificados. ... 29 Figura 6 - Exemplo de utilização de arranjo magnético para concentrar campos magnéticos em uma região de câncer. ... 29 Figura 7 - Representação da soma de diferentes fontes de campo gerando um arranjo de Halbach com campo magnético em apenas um dos lados do arranjo. ... 32 Figura 8 - Ilustração para a modelagem da distribuição de magnetização no anel. ... 33 Figura 9 - Representação de anéis de Halbach equivalentes a partir de ímãs permanentes de diferentes formatos geométricos. ... 34
Figura 10 - Representação do domínio de cálculo para a simulação por elementos finitos. ... 35
Figura 11 - Representação da malha de Elementos Finitos utilizada para a simulação. ... 36 Figura 12 - Curvas com as linhas equipotenciais obtidas a partir do resultado da simulação. As linhas pontilhadas que se encontram no centro representam a origem do sistema de coordenadas para a análise dos resultados. ... 37 Figura 13 - Resultado da simulação apresentando a distribuição de indução magnética no domínio através do mapa de cores. ... 38 Figura 14 - Gráfico com a distribuição do módulo da indução magnética ao longo do eixo X. ... 39
Figura 15 - Gráfico com a distribuição do módulo da indução magnética ao longo do eixo Y. ... 39
Figura 16 - Diagrama de fluxo de dados do pré-processamento. ... 43 Figura 17 - Fluxograma lógico com o princípio de funcionamento do sistema computacional. ... 45
Figura 18 - Fluxograma do processo de otimização gerenciado pelo aplicativo
PSOmag. ... 48
Figura 19 - Representação do Arranjo de Halbach teórico utilizado para a obtenção do alvo 1. ... 50 Figura 20 – Gráfico de convergência da função objetivo para o alvo 1. ... 53 Figura 21 - Mapa de cores com a distribuição de indução magnética no domínio obtida a partir do arranjo otimizado para o alvo 1. ... 53
Figura 22 - Distribuição do módulo da indução magnética do arranjo obtido pela otimização do campo alvo 1 ao longo do eixo X. ... 54
Figura 23 - Distribuição do módulo da indução magnética do arranjo obtido pela otimização do campo alvo 1 ao longo do eixo Y. ... 54 Figura 24 – Gráfico de convergência da função objetivo para o alvo 2. ... 56
Figura 25 - Mapa de cores com a distribuição de campo magnético no domínio obtida a partir do arranjo otimizado para o alvo 2. ... 57 Figura 26 - Distribuição do módulo da indução magnética do arranjo obtido pela otimização do campo alvo 2 ao longo do eixo X. ... 57 Figura 27 - Distribuição do módulo da indução magnética do arranjo obtido pela otimização do campo alvo 2 ao longo do eixo Y. ... 58
Figura 28 - Foto do histeresígrafo utilizado durante a caracterização dos ímãs. 60 Figura 29 - Renderização do molde criado a partir do arranjo otimizado com a identificação dos eixos x, y e z. ... 61 Figura 30 - Imagem do aparato experimental completo, com o microcontrolador para a aquisição e digitalização dos dados da sonda Hall e o arranjo montado no molde impresso pela impressora 3D. ... 61 Figura 31 - Diagrama geral de instrumentação. ... 63
Figura 32 - Comparativo entre os módulos das induções ao longo do eixo x. ... 66 Figura 33 - Comparativo entre os módulos das induções ao longo do eixo y. ... 67 Figura 34 - Comparativo entre os módulos das induções ao longo da diagonal 1. ... 67 Figura 35 - Comparativo entre os módulos das induções ao longo da diagonal 2. ... 68
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Coordenadas cartesianas dos pontos de prova para a análise dos resultados ... 51 Tabela 2 - Ângulos de magnetização obtidos por otimização para o campo alvo 1 e desvios angulares percentuais em relação ao arranjo ideal. ... 52 Tabela 3 - Módulo da indução magnética e desvio percentual para cada um dos pontos de prova para o campo alvo 1. ... 55
Tabela 4 - Ângulos de magnetização obtidos por otimização para o campo alvo 2 e desvios angulares percentuais em relação ao arranjo ideal. ... 55
Tabela 5 - Módulo da indução magnética e desvio percentual para cada um dos pontos de prova para o campo alvo 3. ... 58
Tabela 6 – Desvio de módulo de indução magnética nos pontos de prova para os arranjos obtidos pelos campos alvo 1 e 2. ... 59
Tabela 7 - Módulo da indução magnética nos pontos de prova para o campo medido, simulado e alvo ... 64 Tabela 8 - Desvios entre os campos medido, simulado e alvo nos pontos de prova. ... 65
SUMÁRIO
SUMÁRIO ... 45
INTRODUÇÃO ... 25
2 ARRANJOS DE HALBACH ... 32
2.1 ARRANJOS ANELARES ... 32
3 SISTEMA COMPUTACIONAL PARA A OBTENÇÃO DE ARRANJOS MAGNÉTICOS ... 41
3.2 MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE PARTÍCULAS ... 41
3.3 SUÍTE DE SOFTWARE EFCAD ... 42
3.4 ARQUITETURA E FLUXOGRAMAS ... 44
3.6 CARACTERÍSTICAS DE IMPLEMENTAÇÃO ... 47
4 ESTUDO DE CASO ... 49
4.1 DEFINIÇÃO DOS CAMPOS MAGNÉTICOS ALVO ... 49
4.1.1 Campo Alvo 1 – Magnetização baseada no modelo teórico ... 49
4.1.2 Campo Alvo 2 – Magnetização baseada no modelo real ... 50
4.2 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO E RESULTADOS NUMÉRICOS ... 51
4.3 APARATO E RESULTADO EXPERIMENTAL ... 59
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 69
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INTRODUÇÃO
Concentradores de fluxo podem ser entendidos como mecanismos que tenham a capacidade de, passivamente, aumentar o fluxo de uma dada grandeza entre regiões de estudo. Intuitivamente pode-se utilizar como exemplo uma tubulação com canos de diferentes diâmetros e uma fonte de vapor d’água constante: nos trechos onde o diâmetro for menor, o mesmo volume de vapor irá passar por uma área menor, concentrando o fluxo naquele trecho. Outro exemplo é o uso de uma lupa que concentra, de forma cônica, o fluxo de raios solares incidentes na superfície da mesma. Com estes exemplos mostram-se duas grandezas alteráveis distintamente para se controlar algum tipo de fluxo: modificar densidade do elemento físico associado ao fluxo ou a área pela qual uma dada densidade está passando.
No caso de campos magnéticos estáticos ou quase-estáticos, o comportamento dos fluxos é regida pelas leis de Gauss e Ampère para magnetismo (Bastos J. A., 2008), e concentrá-los é difícil devido a característica natural dos campos, que tendem a se dispersar para reduzir a densidade de energia (Sessel & Hofsajer, 2014), porém dois mecanismos diferentes podem ser usados para o efeito de concentração de fluxo: mudança de propriedades magnéticas do meio ou soma vetorial de fontes de campo magnético.
Concentradores baseados na variação de propriedades magnéticas entre materiais são matematicamente explicáveis pelas equações de Maxwell, o princípio da conservação de fluxo magnético e pela relação constitutiva descrita na equação 1, onde para uma mesma indução magnética (𝐻), a densidade de fluxo (𝐵) varia com a permeabilidade magnética (𝜇).
𝐵 = 𝜇𝐻 (1) O quadro da Figura 1 ilustra o comportamento das linhas de campo magnético ao passar por materiais com diferentes valores de permeabilidade magnética.
Para materiais cuja permeabilidade magnética é igual à permeabilidade magnética do vácuo (𝜇 = 𝜇!), o campo magnético não se altera; já os materiais cuja permeabilidade é muito maior do que a do vácuo (𝜇 ≫ 𝜇!), chamados de ferromagnéticos, fazem com que as linhas de campo se concentrem naquela região, aumentando a densidade de campo; e materiais cuja permeabilidade é muito menor do que a do
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vácuo (𝜇 ≪ 𝜇!), chamados de diamagnéticos, têm o comportamento de
dispersar as linhas de campo, diminuindo a densidade de campo magnético (Bastos J. A., 2008).
Figura 1 - Quadro representativo do comportamento do campo magnético ao atravessar materiais com diferentes características magnéticas.
Fonte: Do autor
Dispositivos eletromagnéticos se baseiam nos conceitos de concentração e separação de fluxo para exercerem suas funcionalidades. Um exemplo são os transformadores, que formam um caminho magnético de altíssima permeabilidade magnética entre o enrolamento primário e o secundário, permitindo que praticamente todo o fluxo seja concentrado no núcleo do dispositivo no processo de conversão de energia, como mostra a Figura 2.
Figura 2 - Ilustração do corte de um transformador monofásico com núcleo de alta permeabilidade e suas linhas de fluxo.
Fonte: Do Autor
Outro modo de concentrar campos magnéticos é utilizar diferentes fontes de campo com diferentes posições geométricas e orientação de magnetização de modo a obter um vetor campo magnético
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resultante que possua uma dada distribuição espacial desejada (Leupold & Potenziani, 1996).
A Figura 3 apresenta um exemplo onde a montagem de ímãs permanentes, magnetizados de acordo com a direção indicada pelas setas menores, faz com que o centro da peça tenha um campo aproximadamente constante com baixa dispersão (Leupold & Potenziani, 1996).
Figura 3 - Exemplo de geração de campo magnético controlado a partir da superposição de fontes.
Fonte: (Leupold & Potenziani, 1996)
Dentro deste mecanismo de soma de campos destacam-se metodologias específicas: os chamados arranjos de Halbach (Halbach
Array) (Halbach, 1980) e os ímãs programáveis (Coded Magnets)
(Fullerton & Roberts, 2010).
Os arranjos de Halbach são arranjos em estruturas cíclicas de fontes de campo que têm a capacidade de controlar uma distribuição de campo magnético em ambientes com permeabilidade magnética próxima à do vácuo, como o ar.
Na Figura 4 está a representação teórica de diversos arranjos de Halbach compostos por materiais magnetizados de acordo com a direção das setas dentro do anel cinza; o comportamento do campo magnético resultante é representado no interior do anel.
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Figura 4 - Representação teórica das distribuições de campo devido arranjos de Halbach para diferentes quantidade de dipolos.
Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Halbach_array
Alguns exemplos de uso para os arranjos de Halbach são levitadores magnéticos, otimização de densidade magnética, aceleradores de partícula e máquinas de ressonância magnética. Os detalhes sobre as estruturas de Halbach serão mais bem discutidos na seção 2 deste trabalho.
Os ímãs codificados, conceito descrito na patente de Larry Fullerton e Mark Roberts (Fullerton & Roberts, 2010), seguem o mesmo princípio de soma vetorial de campos advindos de múltiplas fontes para concentrar as linhas de fluxo em posições específicas de um espaço de permeabilidade magnética semelhante ao vácuo. Porém, neste caso, as fontes são pequenos dipolos magnéticos alinhados de maneira controlada dentro de uma mesma pastilha de ímã permanente, de modo a permitir uma série de novas aplicações.
Na Figura 5, é mostrada uma foto de duas pastilhas de ímãs codificados, de modo que os hexágonos vermelhos indicam os trechos com magnetização num sentido e os hexágonos azuis com o sentido oposto. O resultado deste arranjo é que ao se aproximar as pastilhas, apenas uma dada posição espacial fará com que a força de atração dos ímãs seja máxima, atuando próximo a um sistema chave-fechadura.
Outras aplicações divulgadas para este tipo de tecnologia são (Correlated Magnetics, 2017):
• Ímãs com maior densidade energética para aplicações específicas;
• Aplicações para alinhamento de precisão de instrumentos, como microscópios;
• Centralização de precisão de objetos;
• Molas magnéticas;
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Figura 5 - Foto com o exemplo de um par de ímãs codificados.
Fonte: http://www.neverthelessnation.com/2010/10/correlated-magnetic-power-with.html
Aplicações de arranjos de Halbach são vistas para diferentes tipos de dispositivos magnéticos, incluindo segurança (Bildbrey, et al., 2012), coleta de energia (He, Li, Wen, Zhang, Lu, & Yang , 2013) e diversos focados em uso médico (Manson, 2012), (Hayden & Häfeli, 2006) e para guia de substâncias, como o descrito por (Sarwar, Nemirovski, & Shapiro, 2011). Neste caso, um arranjo ótimo de ímãs foi desenvolvido de modo a direcionar nanopartículas de remédio em uma região cancerígena na região do rosto, como mostra a Figura 6.
Figura 6 - Exemplo de utilização de arranjo magnético para concentrar campos magnéticos em uma região de câncer.
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Apesar das diversas aplicações e vantagens de mecanismos magnéticos, ainda existe uma dificuldade em projetar, analisar e determinar as características destes dispositivos analiticamente.
Uma ferramenta utilizada para a solução de problemas eletromagnéticos é o Método dos Elementos Finitos (MEF), já implementado em softwares validados como o EFCAD (Bastos & Sadowski, 2003). Com este método, o domínio em estudo é discretizado em uma quantidade finita de elementos menores, cada um contendo suas propriedades físicas, de modo a dividir um dado problema em pequenas partes com menor complexidade, viabilizando o uso de cálculo numérico para a obtenção da solução.
Outra ferramenta utilizada, dentre outras aplicações, para o auxílio a soluções de problemas de eletromagnetismo é o método de otimização por enxame de partículas (Particle Swarm Optimization -
PSO). Este método de otimização é inspirado na biologia e no
comportamento social de algumas sociedades sem líderes, como por exemplo um cardume de peixes, um bando de pássaros ou um enxame de insetos no seu método empregado na busca por recursos para sobrevivência. Sem um líder, cada membro do grupo procura os recursos de maneira aleatória e quando um dos membros se aproxima do objetivo (uma potencial solução), o grupo todo se beneficia através de comunicação entre seus membros. A otimização por enxame de partículas aplica a mesma lógica dos grupos sociais, de modo que a posição de cada partícula representa uma potencial solução (Rini, Shamsuddin, & Yuhaniz, 2011).
Alguns trabalhos abordam a combinação de ambos os métodos para a modelagem de dispositivos magnéticos. Cheng et al estudam a densidade de fluxo magnético em uma dada região do espaço, a partir de um arranjo circular de ímãs permanentes, utilizando enxame de partículas para otimizar a posição ou o tamanho dos ímãs. O MEF é utilizado em cada iteração do algoritmo de PSO para verificar a uniformidade do campo no domínio de estudo (Cheng, Xia, He, & Zhu, 2013).
Wrobel e Mellor projetaram motores brushless de modo a maximizar o acoplamento de fluxo magnético das fases para um dado volume magnético. Neste trabalho, o PSO é usado para alterar a direção de magnetização dos ímãs bem como suas dimensões, empregando o
FEM para calcular o acoplamento de fluxo magnético (Wrobel &
Mellor, 2006).
Este trabalho apresenta a concepção de um sistema computacional utilizando o MEF 2D e otimização por PSO para a
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obtenção automática de um projeto de dispositivo eletromagnético, sendo o objetivo da otimização a obtenção de uma densidade de fluxo magnético alvo. As variáveis de controle são os ângulos de magnetização dos ímãs fontes de campo magnético.
Para validar a ferramenta, é utilizado como caso de estudo um arranjo de ímãs permanentes em forma de anel de modo a se obter uma densidade de fluxo magnético alvo no interior do anel comparada à distribuição de campo dos arranjos de Halbach (Halbach, 1980). O projeto ótimo resultante é construído fisicamente com o auxílio da impressão 3D, e medições experimentais são realizadas para fins de análise da ferramenta.
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2 ARRANJOS DE HALBACH
Arranjos de Halbach são arranjos de fontes magnéticas com distribuição semelhantes a ímãs permanentes em estruturas cíclicas que, em ambientes paramagnéticos, geram densidades de campos magnéticos com comportamentos específicos e analiticamente modeláveis (Halbach, 1980).
A Figura 7 detalha na parte superior a representação de dois ímãs, com direções de magnetização dadas pelas setas escuras dentro de cada um dos ímãs, com suas respectivas linhas de campo e direções apontadas na figura. Na parte inferior tem-se a representação de um ímã que contém a soma das magnetizações dos anteriores. O resultado é um arranjo de Halbach: uma fonte de campo magnético com magnitude de magnetização constante e ângulo variando ciclicamente. As linhas de campo resultante são mais densas na parte superior do arranjo e nulas na parte inferior.
Figura 7 - Representação da soma de diferentes fontes de campo gerando um arranjo de Halbach com campo magnético em apenas um dos lados do arranjo.
Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Halbach_array
Apesar da literatura utilizar o termo “arranjo de Halbach”, Mallinson já abordava este efeito dos arranjos, observado nas fitas de gravação magnética utilizadas na época (Mallinson, 1973). Em 1980, Klaus Halbach descreve e modela este tipo de arranjo, com foco em amplificação de campo magnético devido a ímãs permanentes de terra-rara, para uso em aceleradores de partículas (Halbach, 1980).
2.1 ARRANJOS ANELARES
Arranjos de Halbach cilíndricos são modelados num plano bidimensional se baseando no anel homogêneo representado na Figura
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8, magnetizado de modo que a indução magnética 𝐵 é aquela dada pela equação 2.
Figura 8 - Ilustração para a modelagem da distribuição de magnetização no anel.
Fonte: Do autor
𝐵 = 𝐵!𝜌 + 𝐵!𝜙
𝐵! = 𝐵!cos ( 𝑘 − 1 𝜙 −!! ) 𝐵!= ±𝐵!sen ( 𝑘 − 1 𝜙 −!! ) (2)
onde 𝐵! é o módulo da indução no ímã, 𝜙 é a coordenada espacial com a
qual a direção de magnetização deve variar e 𝑘 é um número inteiro que pode ser compreendido como a quantidade de dipolos no anel.
Para cada conjunto de dipolos, a distribuição de campo magnético interno ao arranjo tem uma característica diferente, como representado na Figura 4. Para o caso de 𝑘 = 2, por exemplo, o campo interno resultante aponta sempre para a direção das ordenadas conforme o descrito pela equação 3 (Soltner & Blümler, 2010).
𝐵 = 𝐵!ln !!!
! 𝑦 (3)
Neste caso, o módulo da indução magnética é dependente da indução no ímã, do raio externo (𝑅!) e do raio interno (𝑅!) do arranjo, de modo que quando a relação entre os raios for superior ao número de Euler (e = 2,71828...), o valor de indução no interior do arranjo é superior ao conjunto de ímãs que o forma.
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Usando um princípio similar, expandindo o conceito para o caso esférico, em 2003 foi atingida a marca de 5,16 T sem a necessidade de energia elétrica (Kumada, Antokhin, Iwashita, Aoki, & Sugiyama, 2014).
Apesar da modelagem, não se consegue reproduzir na prática uma condição de geração de campo magnético conforme o necessário para formar o arranjo proposto devido a impossibilidade de se obterem fontes de campo homogênea e ciclicamente magnetizadas. Portanto, as implementações são realizadas a partir de um conjunto fixo e finito de fontes de campo com magnetização constante.
Soltner e Blümer discutem diversas configurações de arranjos de ímãs que sejam capazes de reproduzir o efeito do arranjo teórico, como apresenta a Figura 9 (Soltner & Blümler, 2010). O anel teórico a é implementado de diversas formas, através de arranjos de ímãs com diversas formas geométricas e direções de magnetização diferentes. Figura 9 - Representação de anéis de Halbach equivalentes a partir de ímãs permanentes de diferentes formatos geométricos.
Fonte: (Soltner & Blümler, 2010) 2.1.1 Simulações
É simulado, utilizando o método dos elementos finitos bidimensionais, o arranjo cujo domínio de cálculo é apresentado na Figura 10, com raio externo de 70 mm e raio interno de 60 mm. De forma prática, o arranjo é representado pelo conjunto de 12 ímãs com
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um módulo de indução remanente de 1,15 T e direção de magnetização que varia de acordo com a modelagem do arranjo teórico, mudando dependendo da posição de cada ímã no anel.
Figura 10 - Representação do domínio de cálculo para a simulação por elementos finitos.
Fonte: Do autor.
Os parâmetros escolhidos levam em consideração disponibilidade dos materiais e métodos disponíveis para o estudo de caso experimental que será apresentado em seções posteriores.
Para a simulação, é utilizado o conjunto de ferramentas EFCAD (Bastos & Sadowski, 2003), desenvolvido pelo Grupo de Concepção e Análise de Dispositivos Eletromagnéticos – GRUCAD, da Universidade Federal de Santa Catarina, com o objetivo de calcular a distribuição de campo magnético no domínio para fins de comparação futura.
A Figura 11 apresenta a malha utilizada, composta por 982 elementos de primeira ordem e 538 nós onde serão calculados os potenciais vetor magnéticos, de onde todas as outras grandezas avaliadas são derivadas. As fontes de campo do problema são modeladas como a presença de uma indução magnética constante na região dos ímãs e a
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solução é obtida desconsiderando as não linearidades do sistema. Para as condições de contorno, é aplicada a condição de Dirichlet, com potencial vetor magnético nulo nas extremidades do domínio.
A definição da malha leva em conta que a mesma base será utilizada futuramente para o processo de otimização, portanto seria computacionalmente oneroso refiná-la em mais elementos.
Figura 11 - Representação da malha de Elementos Finitos utilizada para a simulação.
Fonte: Do autor.
Na Figura 12 está o resultado da simulação através das linhas equipotenciais de campo magnético (representadas por linhas sólidas contínuas). Os eixos das abcissas e das ordenadas que compõem o plano de análise são traçados pelas linhas pontilhadas.
A partir do padrão das linhas nota-se, qualitativamente, a existência de homogeneidade de campo no interior do anel com uma perda relativa dessa característica de acordo com a aproximação com os
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ímãs, nas extremidades do arranjo. Com as linhas equipotenciais, também é possível observar o efeito de espalhamento de campo devido à fragmentação do anel continuamente magnetizado em uma quantidade finita de fontes de campo.
Figura 12 - Curvas com as linhas equipotenciais obtidas a partir do resultado da simulação. As linhas pontilhadas que se encontram no centro representam a origem do sistema de coordenadas para a análise dos resultados.
Fonte: Do autor.
A Figura 13 apresenta a distribuição dos valores de indução magnética calculados através do mapa de cores. A análise deste resultado é bastante similar àquele feito a partir das linhas equipotenciais, acrescentando-se a observação de que na parte exterior ao arranjo a indução magnética decai abruptamente conforme se afasta das fontes, reforçando as características teóricas levantadas por Halbach. A Figura 14 e a Figura 15 apresentam os valores de indução no interior do anel ao longo do eixo x e eixo y, respectivamente. As linhas com variações mais abruptas representam os valores de indução
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calculados no elemento, que são constantes por se tratarem de elementos de primeira ordem. A outra linha nas mesmas figuras apresenta uma média entre o elementos.
Em ambos os eixos, é possível notar simetria dos resultados em relação à origem e que a indução de campo é praticamente constante em torno de 0,052 T até 3 milímetros de distância dos ímãs que compõem o arranjo.
Figura 13 - Resultado da simulação apresentando a distribuição de indução magnética no domínio através do mapa de cores.
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Figura 14 - Gráfico com a distribuição do módulo da indução magnética ao longo do eixo X.
Fonte: Do autor.
Figura 15 - Gráfico com a distribuição do módulo da indução magnética ao longo do eixo Y.
Fonte: Do autor.
Qualitativamente, os resultados da simulação representaram os efeitos dos arranjos previstos teoricamente, de forma que o campo magnético é constante no centro do anel e minimizado para fora do mesmo. Desvios da teoria são visíveis nos efeitos de borda que
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apresenta uma densidade de fluxo 200 vezes superior ao encontrado em até 20mm antes das bordas.
Quantitativamente, pela expressão 3, esperava-se obter uma intensidade de indução magnética no centro do anel de 0,177 T, o que corresponde a um desvio de 71,2% entre o resultado teórico e o simulado. Tal diferença se atribui às simplificações e à quantidade finita de fontes utilizadas entre o caso simulado e as definições teóricas.
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3 SISTEMA COMPUTACIONAL PARA A OBTENÇÃO DE ARRANJOS MAGNÉTICOS
O sistema computacional para a obtenção de arranjos magnéticos utiliza o método da otimização por enxame de partículas combinado com elementos finitos para achar o conjunto ótimo de direções de magnetização capaz de formar uma indução magnética alvo.
Como entrada de dados para o software, o usuário informa a indução magnética desejada dentro do domínio de cálculo. A cada iteração do método de otimização, é executado o solver dos elementos finitos para calcular os valores de indução magnética no domínio e comparar com o informado pelo usuário, até que seja atingido o critério de parada de um número limite de iterações do algoritmo.
3.2 MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO POR ENXAME DE PARTÍCULAS O método de Otimização por Enxame de Partículas, do inglês Particle Swarm Optimization (PSO), é um algoritmo meta-heurístico baseado no comportamento biológico de enxames desenvolvido para buscar um ponto ótimo global para uma dada função objetivo. (Rini, Shamsuddin, & Yuhaniz, 2011).
O princípio do algoritmo pressupõe a existência de um enxame de partículas que irão explorar um domínio finito em busca dos mínimos ou máximos da função objetivo, semelhante a um enxame de abelhas na procura de um local com a maior densidade de flores (Rahmat-Samii & Jin, 2007).
Uma característica importante deste enxame é que cada partícula tem a memória de qual foi a sua melhor posição (𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡!) em relação à
função objetivo até o momento e o enxame conhece qual foi a melhor posição geral (𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡).
Na equação 4, é apresentado como o algoritmo utiliza estas informações e fatores randômicos para definir a velocidade (𝑣!) de cada partícula 𝑖 em cada iteração 𝑡. Após calculada a velocidade, o algoritmo atualiza as posições (𝑥!) conforme descrito na equação 5.
Entre cada iteração, as posições são testadas na função objetivo e 𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡! e 𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡 são atualizados. Ao atingir o critério de parada, a posição de cada partícula representa um subespaço do domínio que contém uma solução do problema.
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𝑣! 𝑡 + 1 = 𝑤!𝑣! 𝑡 + 𝑐!𝑟!! 𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡!− 𝑥! 𝑡 + 𝑐!𝑟!!(𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡 − 𝑥! 𝑡 ) (4) 𝑥! 𝑡 + 1 = 𝑥!(𝑡) + 𝑣!(𝑡 + 1) (5)
Na equação 4, além dos parâmetros já explicitados: • 𝑤! é o coeficiente de inércia de cada partícula;
• 𝑐! é o coeficiente de aceleração local do enxame;
• 𝑐! é o coeficiente de aceleração global do enxame;
• 𝑟!! e 𝑟!! são parâmetros definidos randomicamente entre
[-1 e 1] que simulam o comportamento de busca exploratória
• 𝑥(0) é definido aleatoriamente dentro do domínio 𝑈 ⊂ (𝑋!"#, 𝑋!"#).
3.3 SUÍTE DE SOFTWARE EFCAD
A suíte de software EFCAD é um conjunto de aplicativos, iniciados pelo prefixo EF, desenvolvidos pelo Grupo de Concepção e Análise de Dispositivos Eletromagnéticos – GRUCAD da Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC, em parceria com o grupo de pesquisas do Laboratoire d’Electrotechnique et Electronique
Industrielle de Toulouse para solucionar equações diferenciais parciais
bidimensionais relacionadas a fenômenos térmicos e eletromagnéticos utilizando o método dos elementos finitos (GRUCAD & LEEI, 2008).
O simulador é dividido em três seções principais: o pré-processamento, os solucionadores das equações (solver) e o pós-processamento. Além disso, existem outros dois aplicativos responsáveis pelo gerenciamento das propriedades térmicas e eletromagnéticas dos materiais.
Na Figura 16 é apresentado o fluxo de dados do pré-processamento, onde um arquivo de desenho .pre no formato de uma lista de pontos e conexões, no padrão definido pelo EFCAD, pode ser gerado por: um aplicativo ou script proprietário; um software similar ao Autocad, que exporte um arquivo no formato .dxf convertível para .pre através do aplicativo EFCONV; um editor de texto convencional; ou através do aplicativo gerador de desenhos EFD.
O arquivo .pre é entrada de dados para o EFM, que identificará todas as regiões fechadas do desenho, permitindo que se possa associar materiais a regiões. É também no EFM que se definem as condições de contorno e a formação da malha de elementos finitos. Após todas as
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definições efetuadas, um arquivo no formato .elf é gerado, pronto para ser usado por um dos solvers.
Figura 16 - Diagrama de fluxo de dados do pré-processamento.
Fonte: Editado a partir de (GRUCAD & LEEI, 2008).
O EFCAD até sua versão oito é composto por 16 solvers capazes de interpretar o arquivo .elf e, em conjunto com os arquivos efmat.dat e efterm.dat que definem as características de cada tipo de material no momento da criação no EFM, calcular as equações diferenciais que solucionam o problema modelado. O resultado é armazenado no próprio arquivo .elf na forma de uma lista de solução dos potenciais nos nós (GRUCAD & LEEI, 2008).
Do ponto de vista do sistema computacional, na sua arquitetura atual, é relevante conhecer somente o solver EFCS, que soluciona problemas estáticos, lineares para elementos de primeira ordem, utilizando a formulação em potencial escalar para problemas eletrostáticos e formulação em potencial vetor para o problema magnetostático.
A partir da solução do problema para os nós, o usuário pode obter diversas grandezas. Para esta função, existe a ferramenta EFGN, que dispõe de uma interface gráfica para a obtenção de informações como, por exemplo, densidade de campo em um dado ponto, fluxo e força em uma região, além de outras possiblidades.
Para fins do desenvolvimento deste sistema computacional, foi criado também o aplicativo EFCSOUT que, a partir de uma solução .elf, gera uma lista de dados em formato de texto com o campo na direção x e y para todos os elementos da malha, facilitando o processo de avaliação da função objetivo descrita na seção 3.4.
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3.4 ARQUITETURA E FLUXOGRAMAS
Do ponto de vista mais geral, o sistema computacional se divide na entrada e definição dos parâmetros de configuração da otimização, no aplicativo PSOmag, desenvolvido para este trabalho e que gerencia todo o processo de otimização e cálculo da função objetivo, e no solver EFCS.
A arquitetura completa do sistema é baseada no fluxograma da Figura 17, onde três definições ocorrem em paralelo: a definição do arquivo .elf que servirá como parâmetro de entrada como malha e domínio para o solver EFCS; a definição do arquivo .alvo contendo a lista com os valores de campo magnético alvo para a simulação; e o arquivo .cfg contendo todos os parâmetros que o aplicativo PSOmag necessita conhecer para executar o processo de otimização.
O arquivo .alvo é uma lista em formato comma separated values – CSV, que descreve a magnitude do campo magnético alvo em x e y com o formato: <posição em X>, <posição em Y>, <Balvo_x>, <Balvo_y>.
O arquivo .cfg tem uma série de parâmetros com nomes pré-definidos que são interpretados pelo aplicativo PSOmag para se configurar e conseguir executar o processo de otimização, por exemplo: o número de partículas do enxame, com quantas variáveis cada partícula lidará, os valores do coeficiente de inércia e dos coeficientes de aceleração, o caminho dos arquivos .elf e .alvo e parâmetros para a avaliação da função objetivo e avaliação da qualidade do resultado.
Após a criação dos três arquivos de entrada, é possível executar o aplicativo PSOmag, que irá gerenciar o processo de otimização de acordo com o fluxograma da Figura 18.
Finda a otimização, ao atingir o critério de parada, são gerados os arquivos de saída: resultados das simulações para elementos finitos das 𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡! para todas as N partículas configuradas e para 𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡 em formato analisável pelo analisador gráfico EFGN; resumo com a direção de magnetização dos ímãs das posições 𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡! e 𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡; tabela com a
convergência da otimização para cada partícula e de 𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡; e o arquivo
imas.scad, que contém os parâmetros descritos em linguagem openScad
para a criação de um modelo 3D de forma que se consiga recriar o arranjo otimizado de modo experimental.
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Figura 17 - Fluxograma lógico com o princípio de funcionamento do sistema computacional.
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O fluxograma da Figura 18 apresenta em detalhes o processo de otimização já no aplicativo PSOmag. Inicialmente são inicializadas as posições e velocidades das N partículas, de acordo com o descrito na seção 3.1.
Dois laços principais são executados: um laço cuja variável de controle é o iterador t atuando como um conceito de avanço temporal para o algoritmo; e um laço cuja variável de controle é i indicando o índice da partícula que se está trabalhando.
Para cada partícula i em cada iteração t, são calculadas as equações 4 e 5 a fim de definir a nova posição dos elementos do enxame. Para este sistema computacional, essas posições são entendidas como o vetor de ângulos que define a direção de magnetização dos M ímãs do arranjo a ser otimizado.
Uma vez que se têm os ângulos associados à posição da partícula, é gerado o arquivo efmat.dat, alterando as propriedades dos materiais do tipo ímã para que sua direção de magnetização seja compatível com os valores indicados pelo método de otimização.
Com os materiais modificados, é rodado o solver de elementos finitos bidimensionais EFCS, e a solução para aquela partícula é extraída no formato de lista de dados com os valores de indução magnética para todos os elementos da malha.
O aplicativo PSOmag armazena os elementos que contêm a posição espacial de cada um dos 𝑇 alvos dentro do arquivo .alvo, configurado para logo após calcular a função objetivo apresentada na equação 6. 𝑭 = (| 𝑩𝒙𝒂𝒍𝒗𝒐𝒌− 𝑩𝒙𝒇𝒆𝒎𝒌 | 𝒌!𝑻 𝒌!𝟎 + | 𝑩𝒚𝒂𝒍𝒗𝒐𝒌− 𝑩𝒚𝒇𝒆𝒎𝒌 |) (6) Onde:
• 𝑘 representa um elemento da lista de alvos configurados.
• 𝐵𝑥𝑓𝑒𝑚! e 𝐵𝑦𝑓𝑒𝑚! são induções magnéticas
resultantes da simulação para o 𝑘 alvo analisado; • 𝐵𝑥𝑎𝑙𝑣𝑜! e 𝐵𝑦𝑎𝑙𝑣𝑜! são as induções alvo
pré-estabelecidas.
Como o objetivo da otimização é a minimização desta função objetivo, o algoritmo usa o resultado desta partícula i no instante t para
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atualizar 𝑃𝑏𝑒𝑠𝑡! e 𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡 sempre que o resultado atual for menor que o
valor correspondente destas posições.
Ao fim do laço das partículas, é salvo um resumo dos resultados para rastreamento da convergência de modo a avaliar se o critério de parada foi atingido, para finalizar o processo de otimização.
Por simplicidade de implementação, o critério de parada adotado para este sistema é a quantidade de iterações do método de otimização, configurável pelo arquivo .cfg como parâmetro de entrada do aplicativo PSOmag.
3.6 CARACTERÍSTICAS DE IMPLEMENTAÇÃO
Todo o sistema computacional foi desenvolvido orientado a módulos com entradas e saídas bem definidas para auxiliar implementações futuras, bem como tornar possível que com poucas mudanças seja possível que outros solvers, além do EFCS, possam interagir com o sistema.
O aplicativo PSOmag foi desenvolvido em linguagem C, sem o uso de nenhuma biblioteca com dependência específica de um sistema operacional, sendo multiplataforma, facilitando a evolução do sistema.
Salienta-se que para a otimização foi utilizada a técnica de paralelização de processamento através da aplicação de múltiplas
threads, permitindo que as operações de cada partícula fossem
realizadas de modo simultâneo, uma vez que todas, exceto a Pbest e Gbest, são interdependentes. Tal implementação resultou num ganho de desempenho superior a quatro vezes em relação à versão sem paralelismo, indicando o potencial da técnica combinada com o método de enxame de partículas.
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Figura 18 - Fluxograma do processo de otimização gerenciado pelo aplicativo
PSOmag.
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4 ESTUDO DE CASO
A fim de apresentar o sistema computacional desenvolvido e ter parâmetros para sua validação, é avaliado o estudo de caso da obtenção automática de um arranjo de ímãs permanentes sendo o campo alvo definido a partir de arranjo cilíndrico de Halbach com dois dipolos. Tal arranjo de comparação é escolhido por conta de ser conhecido na literatura tanto do ponto de vista de modelagem matemática analítica quanto numérica por elementos finitos.
4.1 DEFINIÇÃO DOS CAMPOS MAGNÉTICOS ALVO
Para a definição das induções magnéticas alvo, são considerados dois arranjos de Halbach anelares, similares ao apresentado na seção 2.1, com raio externo 𝑅! de 70 mm e raio interno 𝑅! de 60 mm,
composto por um material magnético linear com indução remanente 𝐵! de 1,15 T, compatível com ímãs de neodímio ferro-boro disponíveis para os estudos experimentais posteriores.
O primeiro arranjo tem sua magnetização definida pelo modelo teórico, em que a magnetização varia continuamente, semelhante ao apresentado na Figura 9a.
O segundo arranjo tem magnetização baseada num modelo mais realista, com ímãs quadrados igualmente espaçados e magnetizados, semelhante ao representado na Figura 9c.
4.1.1 Campo Alvo 1 – 𝑴agnetização baseada no modelo teórico
Na definição deste campo alvo são consideradas as equações 2 e 3, que para os valores acima definidos descrevem uma indução magnética com valor constante na direção y de acordo com a expressão abaixo:
𝐵 = 𝐵!ln !!!
! 𝑦
𝐵 = 0,177𝑦 [𝑇] (7) Para a geração do arquivo .alvo é definido um raio de avaliação 𝑅! igual ao raio interno 𝑅! do arranjo conforme o apresentado na Figura 19. Este círculo de avaliação é segmentado em 40 divisões tanto no eixo das abcissas (𝑁!) quanto no eixo das ordenadas (𝑁!) dentro de cada
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elemento da malha o campo alvo é definido de acordo com a expressão 7.
Figura 19 - Representação do Arranjo de Halbach teórico utilizado para a obtenção do alvo 1.
Fonte: Do autor.
4.1.2 Campo Alvo 2 – 𝑴agnetização baseada no modelo real Na definição deste campo, a modelagem do anel cuja magnetização varia continuamente é substituída por 12 ímãs cúbicos de 10 mm igualmente espaçados, como mostra a Figura 10.
Os 12 ímãs são igualmente modelados com remanência 𝐵! de
1,15 T, e as direções de magnetização variam de acordo com a expressão 8 para um arranjo de dois dipolos (𝑘 = 2), sendo 𝜙 a abertura angular formada entre o centro do ímã e o centro do anel, em acordo com a Figura 8.
𝑎𝑛𝑔 𝜙 = 𝑘𝜙 −!! (8) Este caso é idêntico ao simulado na seção 2.1.1, sendo utilizado o EFCSOUT, programa que gera um arquivo .out com a lista de todos os elementos e seus respectivos valores de campo magnético.
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Para esta situação, é feita uma varredura do arquivo .out e os elementos cujos baricentros pertençam ao círculo de raio interno de 25mm tem sua posição cartesiana e campos x e y adicionados ao arquivo .alvo deste caso.
4.2 PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO E RESULTADOS NUMÉRICOS Para obter o arranjo a partir do processo de otimização, é necessário primeiramente determinar o desenho, as regiões que são fontes de campo magnético, a malha e as condições de contorno.
Neste caso de estudo, todos estes parâmetros são exatamente os mesmos do caso simulado na seção 2.1.1: um desenho de um conjunto de 12 ímãs cúbicos de 10 mm dispostos em forma de anel, aplicando a condição de Dirichlet com potencial magnético nulo nas extremidades da malha.
Os parâmetros utilizados no processo de otimização foram os mesmos que se mostraram eficientes na solução de funções objetivo de teste descritas em (Ávila, 2002) e são listados abaixo:
• 𝑁 = 20 partículas;
• Direção angular de cada uma das variáveis que compõem a posição das partículas limitadas a ±𝜋; • Coeficiente de inércia 𝑤! = 0,5;
• Critério de parada: Número máximo 2000 iterações; A função objetivo avaliada é a descrita na expressão 6 e os alvos são os definidos nas seções 4.1.1 e 4.1.2. Ao final do processo de otimização, é considerado o arranjo ótimo obtido aquele formado pelo conjunto de direções de magnetização dos ímãs que correspondem ao resultado da 𝐺𝑏𝑒𝑠𝑡 partícula.
Todo o ambiente do sistema computacional foi executado num
MacBook Pro 13-inch, late 2011 com processador Intel Core i5 de 2,4
GHz, com uma disponibilidade de memória DDR3 1600 MHz de 16 Gigabytes, sistema operacional macOS Sierra 10.12.4.
São definidos 25 pontos de prova a serem avaliados numericamente tanto na simulação quanto na medição experimental dos arranjos obtidos pela otimização com as coordenadas apresentadas na Tabela 1.
Tabela 1 - Coordenadas cartesianas dos pontos de prova para a análise dos resultados
52 x (mm) 0 -10 10 0 0 10 -10 y (mm) 0 0 0 -10 10 10 -10 Ponto 8 9 10 11 12 13 14 x (mm) 10 -10 0 20 0 -20 -30 y (mm) -10 10 20 0 -20 0 0 Ponto 15 16 17 18 19 20 21 x (mm) 0 0 30 -30 30 30 -30 y (mm) -30 30 0 30 -30 30 -30 Ponto 22 23 24 25 - - - x (mm) 0 40 -40 0 - - - y (mm) 40 0 0 -40 - - - Fonte: Do Autor.
4.2.1 Resultados Simulados do Arranjo Obtido por Otimização para o Campo Alvo 1
Para este caso, o sistema computacional levou 4764 segundos para determinar o arranjo cujas direções de magnetização são apresentadas na Tabela 2, onde o identificador dos ímãs é o mesmo mostrado na seção 2.1.1, Figura 10.
A mesma tabela apresenta o desvio percentual do resultado da otimização em relação ao valor ideal da direção de magnetização se comparado com o arranjo de Halbach, obtido a partir da equação 8. O desvio médio dos 12 ímãs foi de -0,58% e o desvio médio quadrático de 7,95%.
Tabela 2 - Ângulos de magnetização obtidos por otimização para o campo alvo 1 e desvios angulares percentuais em relação ao arranjo ideal.
Ímã 1 2 3 4 5 6 Ângulo (°) -91,10 -47,96 -9,22 127,77 -170,17 -121,47 Desvio (%) 0,31 4,99 10,90 -10,49 -11,06 -7,93 Ímã 7 8 9 10 11 12 Ângulo (°) -104,28 -46,01 -7,79 38,85 -161,57 -101,99 Desvio (%) 3,97 4,45 10,50 14,21 -13,45 -13,34 Fonte: Do Autor
O processo de otimização é convergente para este caso e a minimização da função objetivo, como aponta o gráfico da Figura 20, estabilizando com a soma dos desvios quadráticos entre o campo alvo 1 e o arranjo obtido em 489,2 T.
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Figura 20 – Gráfico de convergência da função objetivo para o alvo 1.
Fonte: Do Autor
A Figura 21 apresenta a distribuição de indução magnética, através do mapa de cores, para o arranjo obtido pelo processo de otimização. A Figura 22 e a Figura 23 mostram os gráficos da distribuição de módulo da indução magnética ao longo do eixo das abcissas e das ordenadas, respectivamente.
Figura 21 - Mapa de cores com a distribuição de indução magnética no domínio obtida a partir do arranjo otimizado para o alvo 1.
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Fonte: Do Autor
Figura 22 - Distribuição do módulo da indução magnética do arranjo obtido pela otimização do campo alvo 1 ao longo do eixo X.
Fonte: Do Autor
Figura 23 - Distribuição do módulo da indução magnética do arranjo obtido pela otimização do campo alvo 1 ao longo do eixo Y.
Fonte: Do Autor
A Tabela 3 lista o módulo da indução magnética no elemento que contém o ponto de prova, bem como o desvio percentual entre o campo alvo mais próximo do ponto de prova e a indução simulada.
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Tabela 3 - Módulo da indução magnética e desvio percentual para cada um dos pontos de prova para o campo alvo 1.
Ponto 1 2 3 4 5 6 7 Indução (mT) 52,65 50,38 53,50 54,53 52,24 53,54 51,80 Desvio % 70,30 71,58 69,82 69,24 70,53 69,80 70,78 Ponto 8 9 10 11 12 13 14 Indução (mT) 54,78 51,07 53,46 51,96 55,25 47,20 40,64 Desvio % 69,10 71,19 69,84 70,69 68,83 73,38 77,07 Fonte: Do Autor
Pelos resultados apresentados, o arranjo se aproxima do comportamento esperado de um arranjo de Halbach de dois dipolos, concentrando a maior parte da densidade de fluxo magnético no centro do anel, porém os desvios percentuais nos pontos de prova são altos. Tal discrepância se justifica devido o fato do campo alvo utilizado ser baseado num homogeneamente magnetizado, que não é a mesma estrutura usada como base da otimização.
4.2.2 Resultados Simulados do Arranjo Obtido por Otimização para o Campo Alvo 2
Para este caso o sistema computacional levou 4692 segundos para determinar o arranjo cujas direções de magnetização são apresentadas na Tabela 6, onde o identificador dos ímãs é o mostrado na seção 2.1.1, Figura 10.
A mesma tabela apresenta o desvio percentual do resultado da otimização em relação ao valor ideal da direção de magnetização se comparado com o arranjo de Halbach, obtido a partir da equação 8. O desvio médio dos 12 ímãs foi de -0,37% e o desvio médio quadrático de 0,72%.
Tabela 4 - Ângulos de magnetização obtidos por otimização para o campo alvo 2 e desvios angulares percentuais em relação ao arranjo ideal.
Ímã 1 2 3 4 5 6 Ângulo (°) -88,81 -33,63 28,71 88,81 148,00 -150,69 Desvio (%) -0,33 1,01 0,36 0,33 0,45 0,19 Ímã 7 8 9 10 11 12 Ângulo (°) -91,10 -40,45 64,74 91,10 148,97 -150,11 Desvio (%) 0,31 2,90 -9,65 -0,31 0,29 0,03 Fonte: Do Autor
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O processo de otimização é convergente para este caso e a minimização da função objetivo tem forma logarítmica, como aponta o gráfico da Figura 24, estabilizando com a soma dos desvios quadráticos entre o campo alvo 2 e o arranjo obtido de 23,8 T.
Figura 24 – Gráfico de convergência da função objetivo para o alvo 2.
Fonte: Do Autor
A Figura 25 apresenta a distribuição de indução magnética, através do mapa de cores, para o arranjo obtido pelo processo de otimização. A Figura 26 e a Figura 27 mostram os gráficos da distribuição de módulo da indução magnética ao longo do eixo das abcissas e das ordenadas, respectivamente.
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Figura 25 - Mapa de cores com a distribuição de campo magnético no domínio obtida a partir do arranjo otimizado para o alvo 2.
Fonte: Do Autor
Figura 26 - Distribuição do módulo da indução magnética do arranjo obtido pela otimização do campo alvo 2 ao longo do eixo X.
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Figura 27 - Distribuição do módulo da indução magnética do arranjo obtido pela otimização do campo alvo 2 ao longo do eixo Y.
Fonte: Do Autor
A Tabela 5 lista o módulo da indução magnética no elemento que contém o ponto de prova, bem como o desvio percentual entre o campo alvo mais próximo do ponto de prova e a indução simulada.
Tabela 5 - Módulo da indução magnética e desvio percentual para cada um dos pontos de prova para o campo alvo 3.
Ponto 1 2 3 4 5 6 7 Indução (mT) 50,74 51,49 50,02 49,57 51,12 50,50 50,44 Desvio % 2,26 0,90 3,64 4,52 1,41 2,59 2,91 Ponto 8 9 10 11 12 13 14 Indução (mT) 49,63 51,70 51,36 49,97 49,33 52,29 53,56 Desvio % 4,41 0,41 0,82 4,09 4,91 0,55 2,50 Fonte: Do Autor
Pelos resultados apresentados, o arranjo se aproxima do comportamento esperado de um arranjo de Halbach de dois dipolos, concentrando a maior parte da densidade de fluxo magnético no centro do anel. Neste caso, com o campo alvo é obtido a partir de uma distribuição de fontes de campo equivalentes à base do processo de otimização, os desvios percentuais estão abaixo de 5% nos pontos de prova.
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4.2.4 Comparação dos Resultados Simulados dos Arranjos. Analisando as seções 4.2.1 e 4.2.2, observa-se que ambos os processos de otimização executados em cima do campo alvo teórico e do campo alvo simulado convergiram para um arranjo de ímãs que se assemelha ao arranjo de Halbach com dois dipolos, concentrando o campo no interior do anel, como evidenciam a Figura 21 e a Figura 25 com o mapa da distribuição de campo magnético no domínio para ambos os casos.
Apesar do arranjo obtido a partir do campo alvo 1 ter convergido para um valor 20,55 vezes maior em relação ao campo alvo 2 e a Tabela 3 e Tabela 5 apresentarem desvios percentuais em ordens de grandeza diferentes, a Tabela 6, com o desvio dos módulos das induções magnéticas entre os dois arranjos, evidencia que os arranjos têm desvios na ordem de militeslas nos pontos de prova. Isso é um indício de que a discrepância dos outros resultados está associada com a impossibilidade física de se atingir o campo alvo 1, considerando a quantidade e disposição de fontes de campo utilizadas.
Tabela 6 – Desvio de módulo de indução magnética nos pontos de prova para os arranjos obtidos pelos campos alvo 1 e 2.
Ponto 1 2 3 4 5 6 7
Desvio (mT) 1,91 -1,11 3,48 4,96 1,12 3,04 1,36
Ponto 8 9 10 11 12 13 14
Desvio (mT) 19,47 19,49 18,48 20,72 19,50 21,09 23,51
Fonte: Do Autor
Ao comparar qualitativamente o módulo da indução magnética ao longo das abcissas do arranjo 1, na Figura 22, com o arranjo 2, na Figura 26, nota-se uma diferença de comportamento nas curvas, sendo o primeiro menos constante do que o segundo.
Outra discrepância entre os arranjos é o desvio médio quadrático, obtidos a partir da Tabela 2 e Tabela 4, entre o ângulo de magnetização teórico e o resultado dado pelos processos de otimização, que é 11,04 vezes maior para o conjunto de ímãs obtidos a partir do campo alvo 1. 4.3 APARATO E RESULTADO EXPERIMENTAL
Devido aos desvios encontrados e o fato de que o arranjo baseado em simulação tem uma proximidade maior com um arranjo de Halbach que possa ser fisicamente construído, os experimentos e os
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procedimentos aqui citados são referentes somente ao arranjo gerado a partir do campo alvo 2.
4.3.1 Caracterização dos ímãs utilizados
Foram utilizados 12 ímãs de neodímio ferro-boro, grade N35, cúbicos com 10 milímetros de lado, obtidos já magnetizados do mesmo fabricante e lote.
Para a obtenção da indução remanente medida e da precisão na direção de magnetização dos ímãs, foi utilizado o sistema do histerisígrafo da Brockhaus Messtechnik – Advanced Measuring
Technologies fechando o circuito com o ímã no centro do equipamento,
conforme ilustrado na foto da Figura 28.
Figura 28 - Foto do histeresígrafo utilizado durante a caracterização dos ímãs.
Fonte: Do autor.
Foi realizada uma verificação dos ímãs para confirmar os valores fornecidos pelo fabricante, sendo a indução remanente de 1,15 T e a direção de magnetização orientada normal a uma das faces do cubo.
4.3.2 Obtenção do molde para a montagem do arranjo Para a obtenção do molde para a montagem do arranjo, foi usado o ambiente openScad (Kintel, 2010), que é multiplataforma e renderiza o objeto a partir de uma linguagem, homônima, baseada em formas
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geométricas simples, além de instruções de extrusão, união e intersecção destas formas.
O modelo é gerado a partir de um arquivo base que importa o arquivo imas.scad obtido ao final do processo de otimização. Nesse arquivo, é contida a lista de ângulos de magnetização de cada um dos ímãs, como descrito no fluxograma da Figura 17, e a lista de posições onde serão posicionados os pontos de prova.
Para representar as mesmas direções de magnetização dadas pela otimização sem precisar remagnetizar os ímãs, foi utilizada a abordagem de girar os espaços dos cubos dentro do anel de modo que, ao ser montado o arranjo, o norte magnético dos ímãs seja coincidente com os ângulos de magnetização. A Figura 29 apresenta uma captura de tela com a renderização do molde criado a partir das definições acima. Figura 29 - Renderização do molde criado a partir do arranjo otimizado com a identificação dos eixos x, y e z.
Fonte: Do autor.
Na Figura 30 é apresentada, na parte inferior, uma foto do arranjo completo com o molde impresso com plástico ABS branco e os ímãs indicando o seu norte magnético pelas setas vermelhas.
A impressão foi feita com uma impressora MakerBot Replicator
2x baseada em extrusão de filamento, com um bico de 0,4 mm de
diâmetro e uma precisão de posicionamento no plano xy de 11 micras. Figura 30 - Imagem do aparato experimental completo, com o microcontrolador para a aquisição e digitalização dos dados da sonda Hall e o arranjo montado no molde impresso pela impressora 3D.
62
Fonte: Do autor.
4.3.3 Instrumentação para a medição
A instrumentação para a medição foi realizada com o auxílio de um Arduino Mega, em que foram implementadas no software embarcado duas funcionalidades: (1) comunicação serial, para a interação com o computador que armazena os dados das medições; e (2) conversão analógica-digital de 10 bits traduzindo um nível de tensão de entrada para uma escala de sensoriamento.
Para a sonda Hall, foi utilizado o circuito integrado A1301, encapsulamento SOT23W, que contempla um sensor de efeito Hall direcional associado a um circuito de instrumentação e amplificação para uso em aplicações industriais. O A1301 tem sensibilidade de 25 mV/mT e saída em tensão entre 0 V a 5 V e resposta linear entre -100 mT e +-100 mT, sendo a tensão de saída para campo nulo 2,5 V.
63
O diagrama geral de instrumentação é apresentado na Figura 31, mostrando que a sonda Hall, alimentada diretamente pelo Arduino
Mega, mede campos magnéticos em uma direção definida e o
mecanismo de amplificação embutido condiciona a medição a um sinal analógico entre 0 V e 5 V que é digitalizado pelo software embarcado através do conversor analógico digital disponível na placa. A partir do sinal digitalizado, o software embarcado transmite via comunicação serial a medição já convertida para a escala correta. No computador um software simples de gerenciamento faz a interface com o usuário para que este escolha calibrar o ponto de 0 T de medição do ambiente ou fazer e armazenar uma medição. Ao final do processo, o resultado da medição é guardado em forma de tabela e apresentado na tela.
Figura 31 - Diagrama geral de instrumentação.
Fonte: Do autor.
4.3.4 Resultados e Análises Experimentais
O experimento foi realizado no centro de uma sala, não deixando nada que pudesse gerar campo magnético de baixa frequência próximo ao sensor ou ao arranjo, para evitar ruído na medição.
Inicialmente o sistema de instrumentação foi inicializado e a calibração da sonda foi realizada no ambiente do teste, resultando na correção de offset de 1,3 mT.
Após a calibração, o arranjo foi posicionado numa superfície fixa e estável de modo a facilitar o encaixe da sonda em cada um dos 25
64
pontos de medição posicionados nos eixos x e y e nas diagonais 1 e 2, conforme o apresentado na Figura 30.
Os valores para o módulo das induções: (a) medida com correção de offset; (b) simulada; e (c) do alvo 3 são apresentadas na Tabela 7. Na Tabela 8 estão apresentados os desvios percentuais entre o campo alvo e o simulado em relação ao medido, bem como o desvio do campo simulado e o alvo para os pontos de prova.
Tabela 7 - Módulo da indução magnética nos pontos de prova para o campo medido, simulado e alvo
Ponto |B| medido (mT) |B| simulado (mT) |B| alvo (mT)
1 48,09 50,74 51,91 2 47,70 51,49 51,95 3 49,57 50,02 51,91 4 50,,78 49,57 51,92 5 51,29 51,12 51,85 6 53,16 50,50 51,84 7 48,83 50,44 51,95 8 53,91 49,64 51,93 9 51,68 51,69 51,91 10 62,50 51,36 51,79 11 53,79 49,97 52,10 12 64,41 49,34 51,88 13 50,12 52,29 52,01 14 58,59 53,56 52,25 15 63,58 45,71 51,77 16 95,58 51,54 51,83 17 62,23 50,30 52,52 18 60,55 49,35 46,11 19 56,64 37,93 40,51 20 69,57 50,39 48,74 21 46,61 62,06 51,80 22 145,90 66,75 53,73 23 71,61 51,24 51,26
