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Estudo de tensões pelo método das linhas de fluência

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Academic year: 2021

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(1)SAMUEL WASHINGTON. C. Ji . .s. CELERE. -. #. ESTUDO DE TENSOES PELO METODO DAS LINHAS DE FLUENCIA. -. DISSERTAÇÃO APRESENTADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA.. ORIENTADORPROF. Dr. ALFREDO. OTTO REHDER. SÃO CARLOS UNIVERSIDADE. DE. SÃO PAULO. CAMPUS DE SÃO CARLOS ESCOLA DE ENGENHARIA. 1973. DE. StO CARLOS.

(2) SAMUEL WASHINGTON CELERE. ESTUDO DE TE NSDCS PELO M ~ TODO DAS LINHAS DE FLUrNCIA Dissertação apresentada p~ ra a obtenção do titulo de. mas. tre em Engenharia Mecinica. Drientador- Prof. Dr. Otto Alfredo Rehder. sJ(o CARLOS UNIVER SIDADE DE sJ(o PAULO CAMPUS DE sJ(o CARLOS tSCOLA DE ENG ENHA RIA DE SJ(Q CARLOS 1973.

(3) AGRADEC HlElJTOS. Queremos nesta oportunidade oarodecor a valioso contribllição do Prof . Dr .. Otto. Alfredo Rehde r pela orionta ção e incent i vo o aos runcl onár i os do CPO pela ami stosa dedi cnção ..

(4) f1ESUí·iO Tro t a - se d o urnél an~l bw elast~. [l l ásl:i.co ,lo tn ncn o s. :llcln 8S. nos métodos do conrormar.~ão fn r j flfnfJrrtos cnu r. om. nho r to. 111;~Lriz. o u focha da e trEJfi l o r; nu . Empr~ lini~:Js. I)O- sEJ o 111Ól: odo cl<1s fl u~nc i. n 1. cleson vo lv ülo. de por. llon cky o Prél!Ju r . O estudo visa /. l'Cl')iâo plás~. ica c-1 uo c r~ nl!JO. de. vo loc i rJn des na rD!Ji Õo deformado ,. ul:ili zn ndo o. Pr nljll l' él pl ic.-HJO ana l i ti co .. il. li1t~todo Llr.l. de. rroC8'3S O.

(5) 'ABSTRACT. An elastoplastic analysis plane strain in. of. axisymmetric. flat and closad punch dia. dia. and wiredrawing was made uding the slip lines method , devellop ad by Hencky and Pregar .. Stu. dias were made to determine the strains in the plastic. z~. na and the velocities in. de. formed zona using the Prager ' s mathod applyed in an analitical process ..

(6) sur·1Mno. ... ............................................. 1-. Introdução. 2-. Fundame ntos Te6ricos. t. t. 2 .1- Estudo elas tensÕes. f. t. f. f. t. t. t. f. f. f. f. t. t. t. t. f. f. t. t. t. f. t. t. t. I. t. ............. .... ... I. t. I. 2 . ?.- Estudo rias tensÕes no ponto 2 . 3- Oescontinuidr~de no tensão •••••••••••••••••• 2 . ~- Estudo de te nsÕes. 3-. Estudo cinemáLico. t. f. t. t. I. ... .. ........ ......... ... ................................. Aplicação do mÓLodo. ......................................... 5 . 1- Oetormi naçio rios pontos inte rsecção das linh as 5 . 2- llodÓgra fo ••••••••••••• ........................... .. 5 . 3- Int orrlOlaçno elo pontos. ............ ..... ............. .... Pr o'] ramo í Oi\ TRA (~ ••• • •••• , ••• , • , •••• , •••••••• , ••• , •••••••••••. nm hlncos •••••••••••. s tn')Om o. fi . 2 .1 -. rt l ~iJ l tudnn. oh tidos. ............ 14. 18 19 19 29 29. 33 3ll. ..... .. ro nl.o s da liléllha do linhas do f"luÔnc .i a. 6 . 2. ?.- Pon t os inLerpolados. ....... ....................... 36. 44 48. 6 .2 . 3- Ton s Õns 1 ~roa s e formas no s trechos. 55. 6 . 2 . 4- Hod~Q r nfo. 74. ... ... .................. ............ .. ... 6 . 2. 5- Grá ri cos ú . 3- í·iocfo do o: Hlrn r o. 7-. 9. 14. 5-. 6 . 2- L i. 7. ...................... ........... ...... Teorema do Jlo nck y • , ••••••••••••••••••• , •••••••••••••••••••••. Oiaa r r~ mn. 1. 11. 4-. G. l-. 1. longo da l i nho de flu~n cia. RO. J . 1- C0mpo rio ve locidades. 6-. 1. rritJlitHJr a r it.l. 03 •••••••• • •••••• , •• ••• • ••• , • • •. 85. •• , •••• •••• , ••• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • •. 07. p rn iJ r r~ m a.

(7) -1 1- I n tt·o duçÕo. Os problema s so bre def orm Aç ~o pl ~stica r ecebe ram uma aLon ç ~o co n sido r~vol ap~s os trabnlho8 do Prandl om 1920 . Prandl s ugeriu. um comro do linh:-~s do ci:1Alhnnllln to corno sol uç~ o para for jama nta com. ma. triz abo rto , s upond o q uo o motoda l im8dj atarnonte aba ixo da pun•..:ão ficaE_ se r{gi rlo e in do f orm~ val . Hill e outros propuseram uma s oluç~o mais. exa. La , l a va ndo om conta o cnmpo de volocidados de def ormaç~o . He ncky. e. Prago r desenvolv eram uma s i stemát ica de es tudo que permi te d ete rminar as l inh o s do flu&nc~a (ou do máxima tonsio rl o ciaa lh am nn to) po r. proc essos. arÓfjcos .. -. Tais p r ocessos po dem dar uma boa prec i s~o mas mui t o demor ados po i s basei a m-se numa s i s temática de tentativas e. A part i r do teor ema Jo Hencky , podo- su. ~ar. erros .. moia. um estudo ana lÍt i co , rir. terminar os po ntos de cruzame nto dos linhas. é máx i ma a tensão rio. sao. de o nde. c i ~n lh nmn n to , assimilando os seQmon tos de linhas. soamon Los da rotas . Esta ap rox imação. é va lida pa ra um. n~mero d o. a. pontos. in te r se cç~o de curvas aL~ 225 correspo nd e ndo o 15 pon tos em ca da linha .. Os cá l c ulo s s ão foi tos por computado r di rJ ita l ,. pe.E_. mit i ndo a r~ pida obt e n ç ~o do resultados . 2- Funda me ntos t e~ r icos 2 . 1- Es tudo das t ons5es. Os pla nos onde ox i stern deformaç~ e s sao aquel as. de. máxima to nsão de c in a .\hé11hc nto . Estes pl a no s fo rmam um conjtrn l:.o de curv as c harnadns li nhas de f luÔncia ou linhas de ciualharnen t o.. ' O c1rculo de MOHR corrospon0cn te a urn ponto de d ostes pl a nos oncontrA - s o repr e~e nta do na fi a uro e as tens5os estão du to rminodns pelo va l or de em. f1 U B. estnmns int o ro sr:<Hios n;:'ío. (1),. onde k ~ consLante. ç-""" • O elernunto mator i a l. é for mado po r coordenadas de. s i stemas. c artezianos fixo s , mas s im por urn s i s t e ma de coord unadns curvi l{neas como mo s trnrlo na fia u ra ( 2) .. um.

(8) -2. F I G.-1. FIG .- 2. - - - - - - -- - - - ------- - -- -· Os do i s conjuntos de curvas , per pondiculoros an tr o s i, s ão chomados úe r amÜ ia s elo curvas eX.. e. 0.. A convenção de. s ina l. adotada ~ a soauinte• as úiroç5es do dua s curvas ~ c~ rormam. ~ na ul ós. po s itivos antro s i no sontido a ntihor~r io o todos os domais ;.nuulo& r5o cons id t: r ndos pos itivos no sontido a ntiho rário qun ndo t ornados. se. entre. as direções positi vas do doi s oixos quaisquer . SupÕc-so a oora o ol emonto ABCD, com os cont ornos detorrn.i.nndos pel a s linh os /\0 e BC pertencentes à uma famÍlia Lle tX.... •. '. f. o ;Jw l ns linhas • DC e AO pertencentes a uma farn1.lia de curvas. Su pÕo-se oinda ~ ue as f nmf l ias ~ entro s i .. G. r tenham as. curvas. p. s uas curvas orto gona i s -. As cur vas AO , BC, UC o AB Foram deturminauas a part ir. ponto O ( determinado pel a intersecção de curvas das FnmÍlias com os inc rornontos . :. ~.J</2.. e. ~. Â. r'h. ,. o(. do. ~. 0). como mos t rado na figura ( 3) .. Con sid era- se o e ixo z normal a xy o o. ~ n gulo. en. tre yz ~ pos iLi vo quando se torna m ângulos no sentido antihorário . O el e rnento ABCD é cons iderado s uficien ternonte poqueno para que s uas faces fS!_r mern pl a nos para lelos a xy e a l ém dis so a a ltura z do el omen to r ada co nsta nte e unitária .. é con side.

(9) -3. y. o<a {3. o {3. <af3 +. o •ea. .áJ1 2. 6a. oa. 2. +a. X. F I G.- 3. p~. As curvon ostão orient a dos sogundo as direçÕes si tiv as indicadas na figura (3 ) e os â11g ulos são positi vos no sentido. '. antihorário . Os nngu l os ra a curva e os rnios l'~. e. r-.,. re e ScP. são tomado s das tang entes. sorão positivos ou ne gativos conforme des. cr a vam âng ulo s positivos ou nogn tivos a partir do ponto rJUB. P.ê.. u.. pa ra a curva. os c.Jor inom , l~a di r ação positi va das curvas <><. a fÔrça normal. Fo<. +. tem cor,lpOnBnte :. F. o(. 1-. =. (G:x. +. \J .l.AB.l.o~(~ -~~ ). (i).

(10) -4. ' Na direção neaat iv o sa ra: .) Vr.x ~) ç)d... . L.. 2.. (2). O nng ulo entre as curvas DA e CO ( considera ndo-se. 30. quo os arcos compreondern Ônaulon muito pequenos) será. E. tArnbérn :. (3) O r a io ue curvatura de AB sara' :. ( 4) e. ''~ C3 ge :: ( '(?. AB -. ou. Al3. L\~. -. ~. +. b.. ~ .) SG. (5). b,o( L)(~. 1-. (6). 1 ~~. da rnosma manoira , !::,oi.. s~. (7). ~. ÍO(.. e como. { --~C/>) -. (, 0 .'>. e. c...o~(. +Sf). 1. ~. 2.. (8) (9). ~~ .6~. CD - ~r~. 2. Íf). -. Sub s ti tui ndo os valores de AB e CO nas equaçoes. (l) o (2) , teremos a componente de Flf. na direção o( ,~ Vcl. . A_\)(., ) . I r-(JI + ~o( tl~. c. ~ ;: ( v-. _. G:. _- '. "'-. -+. ( ()c'. _. \.. 2... r)cJ.. ,j c,-:._ ,) oi.. _ é~ <A L\(). t:.,o.. ) . ( 6 (). '2. L.. As forças nas direçÕes da s linhas ponentes nas direç?os das linhas o< . pois as es tão inclinado s de ( "/2.. + ;;; e12. ). ) -. 2'(;. 1-l. f(}. (lO). ). íç;. 0. terão com-. e seus increme ntos. em relação às linh as. o(. •. Portanto a res ultnnto se rá :. ~ ) iS<... L . ~~. ·\- ( c:Jrr -. 0. ~ ~\ ~Ç~. 2. ). A. D. • L.. se) ·r. SeV'\ ( - 2-. ~ L"'. cs?~ )lJ. <11 ).

(11) -5. o com. (. ~c ::;. ;:. f\(). ,-""'. -. 2. - ~t )sQ>. ( - Ío{. /).eX L). ~!?.. )sq> -::: /:Jo<. -. 4·. )_ Ío<. 4-. (12). LJt). [J ""-. Dd-. f'. 2. Ío(. (13). (14). Ç(n. diroção. r. A ro s ul ta nte da força de vido as tensÕes da como compo nente na di r oção o< sará: C. Vf = ~ [ (vp t-. ~ 0Q ) ( ·' -. Q0. 2. D.v-. ~. Â<Á. /)0) 60 + 2 r(}. 2 f"oe.. ~\ ~. +(ar--~~~ )(Ao~.. -l. ~13. 2í'-'). (15 ). A força dovido a t ensão de ci za1hamento na f ace AB tem como componente na direção ~. :. Na f aco CO se rÓ:. ·. .I ( _ -~ t::. .~- \ ( 6 ~~ L 6p·<Â : G(>d. .J ~ <. ). Act~0 \ ~. r. r8. ). (t~~'). T' (l 7 ). '\P.v\. Para ambos as fac es ~{Y\. (. J &' ~) ) ,....; -. -. 2. (l .f, 1)\j/. ~. (18 ). -. Na f a ce DA. c z;...l(}. -- - (6o(~ - 0 G,J(" ~(3. L) 2. r) ( 6 c~. &. + ·-~. [~ ). (!9). o(. Na f ace BC I. c 0o~.p. :; l Geo( ('. +-. ~ ) ,) p ~ l. ( LJI:Á -. éJ ç/_ -~. (? ). ~ (~. Soma ndo todos os termos e cance l ando. os. t ermos iguais e de ordem s uper ior, t e r emos, na a usênc i a de f or ças ex t ernas :. (20).

(12) -6. (21). ou. --. , ) Ç, x_ .) ........ c) lv(l -4·. v;b 1). Q:; -. -l-. ;) (). 2. 0t~ (>. -::._·o r-c.<.. ( 22). para as linhas o< • Da mnsma ma ne i ra , para as linhas. ,) v,,. -~ (J ·\-. s urondo Ci[J ~ V..,t ::... (22) e (23). -~o(. 0~. t eremos , pel as equa çoes. válidas para as linhas o<. e. r) k ,). N. zi)(P = zl<:: k. e. rT....... 2 k. ~~. d"'. \'. (23). í c-... r espect iv ~mente. J c-.__,. teremos:. vr--v()(.. ~~~ ~. ~ ·tó.X. p. ,)•"'-. +. '(. k. -~. q) -. o. ~. ( l, ...;"' <'.} <..><.). (24). .'!...{. ~::-o. o(ll. (I'"' \,.,d 1. (J ). ( 25). intearando as equaç Ões ( 24) e ( 25 ):. ~ I<. cp +. ()""". -. ()""'. + 'L k.. ~. -1--. J ~d~ ~~ j ~JP d•" J. .::;. C:.<.. c{>. ( \I."' V.. c I. (;.). ). ( l """ l.,,tlf f => ). ( 26). (27 ). para um material perfeitament e plástico:· (28). -. as equaçoes ( 26 ) e ( 27 ) fic~m:. v--. v""'. - ~ k cp 4-. ~. )(. -..... L (I"'~ c I o< ). (c.>(. (.li -- c f.>. (. !,..;~ c! I. p). (2 9). (30).

(13) -7. As (29) o (30) s~ o cs o~ u açoos de Hencky .. a. xsen2p FI G.- 5 FIG.- 4. Do c Í rculo de Mohr da fig ura (4) repre s entando o. O da. estado de tensões do ponto. u (}. fiQura. X. ::.. u"""' - l<.. ~. (T,..,...,. :. +. l<.. (5), <;, c. .,. toremos :. (31). <cp. <;. e "' 'l... cl). ( 32) ( 33 ). 2.2- Est udo das ten s Ões no pon t o Tbma-se a gora um ponto intersecção de uma. linha. de fl uência com outra s , co nforme a fi gura ( 7) e seu cÍrculo Moh r corresponrlonte , r epr es entado pel a fi gura. de. (6).. Seja então um ponto P sob uma deforma ção p l ~sti­ ca plana , esto ponto ost~ om um campo de linhas de flu~ncia (o pl ~ · no do papel r epres enta o plano f Í sico), Este po nto também á a ori gem de um sistema de coordenadas cartesia nas , como mostrado na gu_ra ( 7) .. fi.

(14) -o I. y. X. FI G.- 6. F I G.- 7. Os Ô n ~ u los , medidos no senti do antihor~ do ,. es. t5o rolncionarlos n5o com as ten s 3os , mas com os pl a nos sobre os quais el as a~em , e são contados a pa rtir do ramo nega tivo do e ixo dos As tens3es atuantes no pl ono PX estão represent adas pelo ponto X' cÍrculo de Mohr da figura. (6) .. Se conside rarmos um plano. PQ. que. y. • no fa. ça um ângulo ~com o lado negativo do oixo dos y, e neste ponto coloc<~rrnos uma tens5o re sul ta nte T, osta ten são terá cornr onentes. ""Gs e. c-._,. que irão determinar o ponto Q' no c Írc ul o de Mohr . Para se dete rminAr a LlirAção do vetor T, a normal. H ~o. )& , mas no sentido a ponto . O d iagrama. plano fÍ s ico deve ser rodada ele F11.bt'. rosul tanto é chamado. plano ele ton s3os . O ângulo c ontra l quo compreende o arco X' Q' i gua l a. l ~ o medido no sentido n nLihor ~rio a pnrtir do raio. de de , 8. que.

(15) -9. As linhn o X' P ' a. I. nh:1S PX. I. ri' 10 c or rut;po n clr~. I. for n•nnrlo. 8. c{rculo do f•inh r .. sous rJ r> s d u. CJ Uil. él. O S B ÍIII. um. Q' P' nn a ulo. SélO. O' e. tro çndas pn r a l olas 'os com Vf!t'tico. üOI. P ' , fl Olo. li. do. ConlliJCiclo o ro lo , fJU éJ lf!UDr outro po n to do circulo , . , . urnn ::; upo rf .lCl. o podera de tu r 1nina r o ni :-; turnél de ten. se ja Lraçodo a pArtir- do polo , uma par81AléJ. , super r'J.c l.e .. <'l. clnda . A into rsocr;Õo rlesta rr:~ta com o circulo corros!•on donto a condição do trmsÕes do o l umonto .. l. k. n. FIG.- 8. ,.. -. F I G.- 9. Os po nto s I e II do circulo do ho"r ria f'i 9 ura ( 8). e o c orrusponrlnnte pl Rno ri s ico r eprese ntado pa la fi gura ( 9) , se r opo.E, ta_...n ol cmento s do s upct f .{ ci o onda so tram:;rnite a máxi ma t ons ÊÍo de c.L.;j ., lhamunto . fls clil· c çÕos dos plvnos onde a tonoão de cizn lha r.mn to é rna sã o dndas r or p:1 r a lelas o P ' I e P ' II e são chamadas de prirnoira. máx i 8. segunda t ans3 o do ci za lha rnonto corrospo nde nclo as linhas de flu6nci a ~. 2. 3- Doscontinuidacle na t e nsão Supõe-se aaora fJUB e xi s te uma s uporf{cie em. r eal.

(16) - .lO. me rln tração o quo o rest1 .l lnntu tonha um ângulo ,0 com a normal noquolo ponto fl g~ros. (10) a (11) .. X. F I G. - 11. F I G.- 10. A traçÃo T e o ân9ulo. %deter~innm. o ponto ~·. no. c Í rculo de Hohr que rorrenen ta o estado da tans~es no ponto P.. Exis. t em dois cÍrculos com raio K que podem contar o po nto~· , um. com. contra. à. direita e outro com ce ntro. te s c{rculos po dam s or uma condi ç ~e s. à esquerda da. (Q_1 • Oua lque r das -. so lução po ssÍvel , se não tivermos o ut ras. do contorno . Esta ince rteza vom do c r it~rio de r e~ i st~ncio :. c;'- - ov~ =! 2 V ~~ )_ - z); Ass i m,. 80. existorn uoi s valor es r8ra se r á fu nção de. ·I'. s omen te. cr:~. (8. 2. ~ ). com. ()X. <1.-. G xy. são conlwcidos. Z x~J ::.0 1 v va l or méÍxi rno de ú "\). Exi sto an t ão uma des continuidade om uma dss s ~ es no po nto P.. ( 34 ). t on. Devido as condiç5 os do equilÍbr io da fi QUra (12) ,. ()>._duve s8 r continuo , mas. ()~. neces s ariamonto não ..

(17) -ll. I. I I. y. FIG.-12. 2 . 4- Es tudo da t ensões ao longo da. linha. de flu ênci a. A t~ aqui conoi dB ro u-se o ·os tudo de tensÕes em. ponto . Determina-s e agora o esta do de t ensÕes qu ando nos longo de uma linha de f~u ência .. F IG.-13. mov emos. um ao.

(18) -12 I. I. I. Soja a fiaura (13) representado o plAno fÍ s ico com um cAmpo do linhas elo fluuncia non quais Pl , P2 , P3 • • • cão pon tos. do. uma dns linh os do f amÍli a do curvos·X., o Ql , <:\.2 , Q3 ••• são os rontos do umo das linhas da f amÍlia do curvos \~ • SupÕe-se a inda que os. ar. coe de curvos Pl , P2 , P3 oLc . possam ser nubs tiLuÍ dos por DHQmnntos de rotas (i sto Ó1 os distâncias. Pl-P2 1 P2-P3 ••• são muito pequenas). quo as direções ontr e o eixo e as linhas. o(. e. formem â ngulo s pos itivo s no. sentido antihorário. O estado de t ons5es ~ dado pe l as equaç5os ( 29). e. ( 30) chamadas e~ u aç 5 os do He ncky. ()""" - ~ I\ ~ : Co<. ( l cr~. +L. I<. 4) ~-. c(,. I .., •. ~\ .>. c r, ... h,'l. \. c./ ). (·, ). Pe l a convenç5o do s inal adotada , as tens Ões compros sao são nega t i vas e as do alongame nto posit ivas . Na mesma. ( 29). (3 o) de con. ve nçao, as tensÕes s urgem sobre os e lementos achurados da figura (13) .. FIG.- 14. O vetor T om P dá o ponto I da fi gura (ltl) 1 1.

(19) I. I l. -13 Examina-ao agora o que acontece ao cÍrculo de Mohr. lI. II I. II. ao longo da linha. ~. quando a pe rcorremos de Pl a P2 . O estado de ten. s3es no po nto Pl ~ r ep r esenta do pelo cÍrculo foi visto , as linhas. r1 , P1 • e r r1 , P1 1 são paralelas às. " tas linh AS do rluonci a pa la pon to pl. de. 1 da fi gura (14) . Como corr espo nd e~. e dão o pala P'l . Das equa çoes. Honcky, em Pl, temos :. ( 35 ) e em P2. O es t ad o de t e ns3es no ponto P2 pode ser r ep resent ado pe lo 29 c!rculo de Mohr a dist~ncia. (/',.,,,'- da origem e que. pela. no ssa co nv onção de s inais , Ó cons i ste nte com o c!rculo traçado .. I. I I. r2. I. e II ? pa r a l elas as li 2 2 nhas de fluência no ponto P , r esu ltando o novo pala P• • As linhas 2 2 r P 1 e I ,. p• 1 formam um ângul o S~ entro s i . Tracemos uma pa r a l ela 2 2 1' a I2 P' po r I l . Dete rmina r emos o ponto p>/: no cÍrculo L Devi do ao 2 fato que o ~niJ ulo no c e ntro do circulo que s ube ntende um arco é duas No vamente tra çamos. vozes. P1. ma ior ~que l e em cujo vó r tice est~ sua ci rcunf er~ncia e suben -. t ende o mesmo ;nco). O polo P 1. ci r cu lo a uma distância Corno o raio do c Í rculo. 2 K. 2. é det e rminado por uma translação. [,0. e urna rotação de um ângulo 2. do. ~ ,0. é K, isto é o rnesmo que des locarmos sem escor. r egamonto o cÍ rc ulo l .ao longo da linha AA '.. Por este process o tere-. mos antã o de t erminado o campo do tens3as ao l ongo de urna l inha. oi •. Do mesma maneira , pode-so ve r que o compo de tu nsÕos ao lonÇJo de urna !Hnha. ?·astorá. tle t orm inado po l as c i clÓ i des rolando ao longo da. li. nha 88 1 • O a rco P 1 P 1 ~norma l a linha 1 P 1 no ponto P • . Como 1 1 1 2 1 a linha r , p' é pa ralel a a linha P P_ do plano f{ s ico , os SOIJrnontos 1 2 1 do urna mosrna linha de rlu~nc i a sorão perpendiculares ao s seQmentos correspon dentes da linha traçada no pl a no do t onsÕes e a cada c iclÓi cl e ( curva. flUO. dotf! rrnina as tonsÕos rfn uma linha ele fluÔncia) corre sr o~. de um va lor de. [..... ou. Cp. constante..

(20) -14. 3- Estudo oinGmÓU.co 3 . 1- Comr>o do vulocidnrlOG Or:t flrrni nn- rw <HJ ora o c ampo de vclociclndos das pa.E, t(culos , om fun r,: Do dos .linhus do flu Ônci a .. y. FIG .-15. parLo do umu linhn. 1 f·. P - P , a te . f a zom Os s ogmo ntoo de rotas P -P 2 3 1 2 ex , como montrndo na fi ~J urn (15) 1 com .'lng ulos y1 ,. ~ %, ot c . nn senti do <~ntihor~rio a partir do oixo x .. linha. f\. Q' Ó pc:r:pr.nrJiculur U pl f1 8 (lOf'l~él n to Ulll SOIJHlO nto rio U lllél linha 2 2 2 A vulo c idéulo do ponto P t om compon•lntos ~ e v néls diruçües c.:J... e. P. 1. o a ve locidade no ponto P V.tr.-.ont. e n an cii roc;Õ os v<. o. t om compone ntes u t. 2. ('J •. ~v. e v r· ~v. p• 0. re :::.;pocti_. Parn quo não haja doscont.in u i dacle. no. ponto P , a p rojo~: ão dos vu locidaci(:S nosto ponto , na dircr,.ão P P 2 1 2 d e vo t er como ro s ult nnto u , ass i m:. lv. + ~v). <:o'l.. ~~. -. (y .,...ç v). ~l '". s, q):::. o. ( 37). o como Á~~ poque no o dusprozando os t e rmos de 2g ord em, tomos:. Sv. - v ~ ~) -= 0. ( 30).

(21) I. i. I. -15. q uo no lirlli te. ~v. -v :: o. ~ ';)v. ,)t As e q u a ~ 5oo. I. + v. L l, ~ hc í eX). -o. (39 ) e (4 0). (. "' .. ~. \c. ( 39). , ', l"\ , l 1. \)\. sao chama da s uquR ç 3os. ( •'lO). de. Goiringor . PrrtiJOI' mostro u como s e conf;trÓ i um rlin tJ r :HnH do ve. \. l or. i r!.11 l11D o u horJó,_~ rnfo ,. I. COIII·. cJ uso ela co nst8nci a rio vol umo do. rna to. r i a l e das oquRç~os do Go i rinoor .. I. Vamos conaid o rar o mosmo campo de li nha d a flu~n­ cin mostra do. na fia u ra (13) , e l:.orncunos as cornpon c n l:.es dns veloci-. da dos nas d i rações \:X e ~ corno s dndo u e v. ( f Ír:J u ra 1 6) .. l \. O". F I G. - 16. 1\ s orna dos vetores u e v. c ul t; nto P 1. o1 •. em P Ó a volo c i cla de r e 1 Da rnusma manoira a rc:J s ul t a nt e ern P é P 02 , soma 2 2.

(22) -16. uo u. ~ ~v. e v. voLoron 0 1 l't:d ll. I. -~' ~ 1/ •. plt. I. Tu1nõJ ndo u1na oriaem d o ve l oci da de O1 1 o t r ar;auo os. e 01. I. P2 1. pa r a l e lo s o pr oporcionais a ol r l e 02P2 da. I. de 1 i nh[l ::> d n r lt l ~ ncia I. [I. OrJU<H,:oo do Gui r i n~) O r ~ \) -. v f., <(! :::. c! i. 0. z. p1·o j ut,:?ío do P 1 ' P 1 ' uob ro o c:lomonto P P devo su r znro, pai s 1 2 1 2 P ' ' P ' ' Ó o cl.if ur unça om vt!locid;uJo de r o P o dava sur zoro nn. qu u o. 1. 2. 1 2 P pora uxtons õo nulo da linha do rlu Ônci a . Em ou tras 1 2 ns li nh;,s don ol omon t on do c ampo de volocirlados dP.vom so r. di r ot,:Õo P v r.H> 1. pa l 2_ no r. ma i s os linhó\s co rres pondontos do el emento no campo f {s i .co. Em gera l ,. -. o::; ul omonto s co rresponcJont es d e um campo do linh as de f lu ênc i a e o. ho. c!ÓrJ 1.1 f o ni"ío pr, r pencl i c ul a r es ont r e s i o os e l emen to s corrospondont fls ao. c ampo do t e n s~ os o o hodÓgrnfo s~o pa r a lelo s entre s i. 3.2- Oos cont i nuidado nn velocidade. A incompr es cibilidad e do ma teri a l no s diz que. a. com1 ononte norma l do vol ocidado em uma linha de fluência de ve ser. con. t{nua, ma s a compon ente tanaencial, quando e stamos em cada l a do de uma linha de fluência , neces sari amente não. ~. I. II. Como ex emplo , vamos supor que a linha AB da r a (1 7) se j a pa rte de uma linha de flu~ncia de uma famÍli a que nos pontos A e 8 t e nhamos o cruzamento de ência da famÜia. ~. .. n,. No ponto. fi g!!_ e. u(. outra s linhas de. flu. as componen tes de ve locidades nas. di. raçÕes das linhas de fluÔnci a no lado 1 da cur va AB es t~o represen ta da s , segundo · a fi gura (17) por!:!_ e ~· Se o mnterial .c omp r ess ivel , a componente v. 2. normal ao lado AB deve se r igua l a v. !também no rma l a AB a no l a do 2 da fi gura (17). • o ma t erial do l ado 2 de s l i znndo sob r e o linha. oo. é c ontÍnuo e. 1. ma t eri al do l ado 1 para l e lo a u. 2. figura (lB)o. R 1. é. a velocida de re s ulta nte no l ndo 1 e R é. 2. velocidade re s ul tante no l ado 2 1 com uma des continuidade (u l et iva a o l ado 1. O vaLor u Ônci n em A.. 2. Podamos vi s uali za r. fluên cia em A, e i s to pode ser indic ddo ve torialman t e por. di fe r ente de u. in. 2. - u. 1. a. _ u ) re 1 deve s er tang oncial a linha de f lu 2.

(23) -.1.7. A". 2. 1 I. I. FIG .-17. F IG.- 18. I \ I. l. I. 011 FIG.- 19. FI G.-20. \. I I I i. I. Pala rigura (19) podamos considerA r a descontinui dade · no campo de volocidndes como uma faixa muito pequena no pl a no. fi. sico , onde a volocida de varia r npidamente do uma maneira continua.. Se. h tende a zero a razio de cis a lt ~me nto t ende a infinito . Re ferindo- so. \ \. J. novamente. à f i gura (17) , as equaçÕes do Geiringer para o ponto A. as. t a bol ecem pa ra o lado 1. (41) e pa ra o l ado 2 ( 42).

(24) -18. lOIIIOG :. ( 43). ( 44) Ao l o nao do uma linha d o rlescontinuidnde , o sal. t o no componcmLo tonc:Joncüll Ó co nstant o n usta linha . O hocJÓQt'üfo. a. go r a rodo nu r comrl etodo pn r o o ol ornonto AO , conforme a f igtrrn ( 20). On ponto s. o. I. I~ 1\ I 1 1 o AI ' 2 r ortnorn o diélQl'Orna do velocici;Jd P.s do. to i'\ . O vut or 0 ''. 8 '' l. rnr rn :~o ntu. a vnlrt cirlndu do. 111 ::~ Lo rio l. oon '. -. ir.w rl .i.il l; ;,. mnntc ·no c;mto tio ~~!Jlor 3 , dl'tnrrni n<:1do pula s oq ua ç ÕP.G do Coirlrt~ or o o c onhtldrnont.o do ;';nau l o ~ onlre 1\ o 0 1 po.l<J .l i nh<'! ft O. 11 oqurl•;ão(<'r4) nos diz. (jU U. 011 1 0 11 2 = A' \. f'l u:ü quo r ponto d<l cut' V<l 11 ' ' :~ o nta. ,1. í~. 11. 2. o. O' •. 0' \. B11. Ó ortnQOnil l a AB . 2 rol<:t livo a o ponto f ixo 0 '' rorro-. 1 volocida dEJ rio ro nto corrospo ntlonto om /\8 do l oclo u r.c.uerdo. 1. da musma 111anoir n 7 C]Ual quor ponto de A••. 0 11 r e l ati vo ao [JO nto 0 ' 1 2 2 r oprosont a a volucidodo corros po ndente do ronto no l a do cli roito de AB .. 4-. As cu r vnn n5o pa r a l ol as . Teo r omo do He nc ky Consi do ro-s e a gora o ulemo nto 1\BPQ de uma r.1alha. t. de li nha s elo fl uência. çX. o ~ most r <~do na Fi a uro ( 21) .. Dos oqunçÕos ( 29 ) e ( 30) t~m- se quo a difArença. \. entre ns tun s Õus mÓdian G_, co l cu lncla a nt ro 11 o Q, será p elo 110nto 8 :. I. ( 4S) e tarn bÓm. I I I I. Do mcs 111a ma ne ira rulo ponto P sorá :. J. Ú Q - <fA -: ( G" (.(. _ (} > y ( <5;?- (j1\) 1. 1. :: 2 K( 1p - <f~) ~- ~. K(. til~ -~~~). -. ( 47 ).

(25) -19. FI G.- 2 1. Pa l a i gua l dade dns. 2. equ~ç5os. o/r - cpt.'\- ~A. (46) o (47 ) t omos : ::. <?..x. t-. t\ - 2. (Pn. ou. isto Ó1. 11. O. nnrj Ul O P.n t:ro ÚUi lS linhas do rJ. u ~ncia de uma mnsma fam{ -. lia po r 111r:t nnco constan t e no s pontos de i ntorsecção com as linhns outra famÍl i a ". da. ( H o nck y ~ .. 5- A~licn ç5o do m~todo. 5. 1- Du t orminnção dos pontos intersecção dns linhas A part ir doo to tooroma podo- s o det urminar os po ntos do int r. r ::;ocr;ão d :~ a linh as rlo fluencin polos in torsocr,;Õos de segmen t os do ro tns .. Pa ro t a nto , Vé'lmos cons i de r a r o c 1so de rorjamE_n. to ' om forra mo nta rota o paral el a a face a dorormar . IJo. CéiGO. tJn operação de ror j omonto , o rnol:ut·ia l -. irnorlia tarnunte a ba i xo el o f'urrarn nnta sarro uma dorormaçõo homogonoa • A t'l!l)Íno homogonea fie;-. dcf i nilfD por duas rot::JS 1 a primoi ro 1 sai ndo do c. 11d.o cliruito da forrarnontu , quo pertence. à. f amilia de c~rvas ~ ,.

(26) -20. i. I. f nz um ~ng ulo. I. %•. i35 Q com o oixo. x , que es tamos s upondo pc!rpondiculAr. oo oixo dn ferr nmonto , como mostrndo na fi gura (22). O s ist ema do coo.E, danados adotado ~ o carte si a no com o oixo x positivo na diroçio AS. e. pn rtindo do A para B, o origem colocada nobre o ponto A e o oixo y com a cl ir or;Õo pe rpendicular o x o sentido de cima para ba ixo .. A sogunda rota, sa indo do canto esq ue rdo da r nmo nta , pcn' t onc o ~ f omilia do curva ex e faz um ângulo % 13511 o oixo y, s uposto na diroçÕo do eixo da ferram e nta , como mo st rada. =. f er com na. fi guro ( 22) .. FIG.-22. Podemos con s truir o re s tante das linhas como. R <li) IIO +. A p :•r t.i \' d u P•>tlt SUIJI•llllt Lo. >. '(_ e. e,. t.... ··~ :i' .i t JI'I\'<1. OC com ~ n !Ju lo ~ . Pala ponto C/' pod~mos traç a r o cogm ento CO. 'f. forr.1a ndo um âng ulo. ' os scgmnnto s so e CO pe r t enc em os. ' iÍ f a m~l~ a :;>. . de curva. D(. e. p or t ogona i s .. Os pontos C, D, E, etc , pe rt encem a um arco de circulo com c entro 8 o raio BC . Os a rcos (co r das ) CO, DE , e tc . per t e ncem ~ primuira va da farnÜio. r. ... e. 1. com o s ogmonto AC. Segundo o teorema de lle nck y em cu r. os raios OC, BD , SE; etc . pert enc em r espe ctivamo~.

(27) -21. I. te Õs 1~, 2íl , 3il, ate curvas do r arn{lia. Nurno ra ndo as curv8s a ra.E.. o pr.i.lnoira. tir do ponto C ( os t e ponto portence ~ primoira da fom{lia. c:;;J._ •. curva do fam{l i a. eX.. e. 9 o por aimetria, teremos o conjun to do linhas. o po ntos momo mostrado na fia ura ( 23 ). A. B. X. y. (l,N). (N,l). FIG .- 23. Aplicando novomento o t eorema de Honcky aos. po~. to s : (1,2), (1,1) o (2,1), pod emos rlatorminar o ponto ( 2 , 2) co mo. mo s. trado na riaura ( 24) . Pe la fi gura (24) ternos j~ determi na do s :. pontos. âna ul.os. ,..,. c o. ( xc , Y ) c ( xd , Yd). = ponto (1,1). F. ( Xf. Yf). =ponto (1, 2 ). e. --. t. ::. Lt Lj. a. 59. S". po nto ( 2 , 1). -+. '(-~. ·I- '('. --. - '( =. Lj. S". ( 50). L1 5:>. ( 51) ,. e nao conh ecemos ..as coorc.Jona dns do ponto ( 2 , 2) , i sto e , ( xh , yh) ..

(28) I y. F IG .-2 4. Esta ponto pode ser dotorminado pe l a intersecção. I. I. das rotas que passam polos pontos FH e OH . Podemos e ntão , conhecidas as coordenada s do po nto H, dntcrminar de maneira semelha nte as. do. ponto I , . assim s uco : > s i vamonte .. A so qu~n c in do {\ rart ir dos. J1 1li1 LOS. {\. oo(. õ. c~lcu l o fica a nsim constitu Ída. dist8ncia AB. ó. i ~ ua l a o. COIII. r i rnonto ela. f errnmunta) o com um o i s tom<~ xy do coordonnd nn co1no ind .i.ca do na. fi. Qu r a ( 27.) , ter emo s : J. =1 , 2 ,. ••••••• N. AB • b b. x(l , J) "'b-. {2. (J-1 ). 'S. j. (52). s on [ 45+ (J-1). 'f. j. ( 5:.S). co s l45. -r. linha \..:>, y. (1 , J). =. b. f2'.

(29) - 23 I=J , 2 •••••• N x (I , 1 ) 1i. =~\..-. ex 1.. Y ( 1,1) a. coo. [ 1,5+ (1- 1) '( j. ( 5l~ ). llllél. Y (l,J). ( 55 ). B X. y. c. o. o. o. Linhos. o. o. ai. o. o. J'. o. o. o. o. o. o. o. o. •. o. o. o. o. o. •. o o. o. o. o. o. K. •. o. L. o. l. o. o. I t. } I L inhos /3 i. o. o. o. o o. o. •. p. •. o. o. •. o. •. (N 1 N).

(30) Icl , N dn linha o<.1 o os [>Onto s ( 1, J), I ficam dotllrrninados . Qualquer outro ponto poüerá se r. Os pontos (I 1 1). J=l ,. ?. N cl<:1 linha. dt~bn min <'H.lo. s tc~g uint o. da. rna n(H ra :. Estornos s u pondo a num uração indic a da na figura (25) , para os pontos , , isLo o :. (3 ~. fís linhas. e. c( (. recobom n umoraçao cresc.: nte no contido do triân-. g ulo I18C para o ponto ( N, N). x (I , J). pon to K. ponto. y (I , J). y (I,J. x(I-+ l, J). J' ponto 1•1. (I, J. X. L. y (I-tl , J). + 1). y (I-tl, J-11). -1-lr.- J) 't. ( 56). 02. - Y'> + é'J-T) O". (57). Gr. ânQulos. 1). (I·+l , J-11). X. ponto P. -1·. -:.. YS. e X(. I -t-1 ' J + 1). c. [. y ( I ' J + 1) -. ty ( I -t. 11. I. J. -1. l). x. = [X (I .0. y ( I -d I J) -. X. (. I t- 1' J). J t~. t71. +. (I , Jtl)t~1 e~j I ( ( ,~ e.J. _,.·c.~ t>L) ·t. l' J. (I,. J). A po rtir. -i. 1) -. =e. X (. I + l I J )] tb Eh. ( 5!3 ). t y ( I + 1 ' J). ( 59 ) ( 60 ). 2. do s po ntos (l , J) a. (I , 1). podemos c a lcula r to-. dos os outro s ponto s c om ns oxpru ss6os acima . Out urrnina rornoc ass im os ponto s das linh as ~\ e ~C perpe.Q. di cu lares e ntre s i e ando va lem as expross6os acima . Como cond ição de contornai pelo po nto linhas. o< Ne QN'. (N , N) ,. junção d as. passam d ua s taniJontes às curvas o< 'V e ~ "" que fazem. um. nngu lo igtral a 45º como o oixo x. ~ convcn.iento f a zermos uma tra nslação do :; i stema ele coa r rl r nadas pnra que o ponto ( N, N) coincido com a ot'ÍIJem e os ei xos x e y tG. nh am a s orie ntaç6un normais indicadas na lit erat u ra . Pa ra tanto po rlemes f a z ur :.

(31) - 25. O(N,N). FIG .-26.

(32) yI. (. =Y( N, N). -. y ( I , J). ( 61). :< •. (I , J) =X(I , J). -. X(N , N). (62). I. J). I. .I. . I. ). l '. ·I. I. X. FIG . -27. LC.

(33) -27. Poro mantor cota condição do contorno oxprocoa p~. las oquoçõos (61 ) o (62 ) nos coooodo trofliloção~ é necessário quo oocnlha uma linha particular do tal modo quo eua tangente no ponto quo oo encontra com o linha. co om. /tenha um ângulo igual a 450 com roloçõo. ao oixo X. Com catao imponiçõoo , a no osa origom corá dooloc~ da para o ponto (L, K) como mootrodo na fiuura (26 ). A co nrliçÕo do quo ao linhas o<. a ~ so cruz"m. origo11 formonco s nJlslon do 450 ro\~açõo do liM ônoul o. CO'll. o <Jixo X pode sor obtida por. na uma. i<Jual ao dF.> fil fl ir&, cnrno moütraclo n~ f'i gur 8 ( 27 ) .. As. oqunçÕ~n corroc~~nd~n~oo po~a. o novo oiotemado. coordunodao oorão~ X ( I,J ). a. V (I .J) oon. A. V ( I,J ) ..., 'I ( I,J) c;oo n.. t X ( l,J ) coo ...c-'X (l,J). (63 ). ( 64 ). oon s:t.. -. rlua caooo du m<truoão o fol.' j oi:Jon'i;o com r.10 Lriz f e. c~u~a o ~ute~~u uur~ da UOQ o oo oq~u~~uu ur1tori<Jroo cun'i;inuam v~lidos c ura a ot·igl!O'I. colocada no ponto (IJ.I ) . c~m 00 v~rios ponto~ das. c~ lc~l o r. linhoo, podamos o a o~n. 03 nrEOD rarclaio nas d~ro~Õoa X o v.. ~roas nas diroçõoa X e V. linha e .. .. l). (65 ). Ay =X ( I,J) - X' ( I,J 1). (6G ). AX: V2 ( I.J) - V2( I 1, J). (67 ). Ay c X ( I,J) -X ( I l, J ). (60 ). linl•.as. Tomos esuim ao tonoõcs na s direr.;Õe ::> X o V c olcu-. l odcs polao oxprasoõoa (31), ( 32 ) 1 ( 3~), ( 29 ) , ( 30 ), ao áreas exrroa oõoa ( G5 ) • ( 6G ), ( 67 ) e (60 ) o podemoo ontõo cnlcular e. palas força.

(34) -20. 0 <1s UfJU<:H,:Õns ( 31), ( 32) , ( 33 ), ( 29) o (30 ) np lici!, cfn s ao pon t o (1,1) l:l !r.tos :. ::-o. <Jx, (i,i). ( 69 ). quo su b stiLcrida no ( 31 ):. G,.,~ u )~ :: C2(1) como. c2. =. K. )<. (. (1) Ó cn nstnnta AO 1•ln1J n dfl linho. CJ", (1, il ) "\' 2. 2. 4)u,.d). (rz o). -t 2 ,0 (1 , 1)]. son?. }6 (1,1). [. ~t"'. P->. (71). 1 t nrrmos : no ronto (l 1i! ). I<. ,0. (l,i·l). cr. c2 (N). (72). K. y1. ( 1, 1-1 ). c. c1 (N). (73). a l c1rn rli s oa. 0'-.(l, i·l ) - 2. fl !.J ol uc,:ão cio (72) e (73) cia rá o V<:1 1or de. (}::"'(1 1 N) e. c1 (N) = K [4 ~ (1,N) + c on 2 - (1,1) ~. v"' (1. I. rl). = c1 ( N). ()"-( l ,rJ) :: O~(l, H ). -. 2. I<. ,0. z:t( 1 1 i~) :: K. a. cos. -+-. I< son. ('. ( I I iJ ). (J~ ( I I f·l). 6. .l~. (I, IJ). ::. (}'..,_,(I , il ). =. cos. K f\. rn1 I.'IJ!1J)!lCLi v ; ununto. (75) ( 7õ ). ,0 ( 1 , 1,1). ( 77). 2. ( 78 ). C (n) Ó CO n!;i,.o n tO <lO 10111)0 ci u 1:i.nha 1 rn rd:os tle s t r~ 1 i nha :. (!;~.-. 1. ,0 (1 1 N). 2. = c1 ( il ) t = Ôn"( I, fl ). ~ (1 1)]. 2 ,0 (l, N). C OnlO. (),._,( 1, i·l). ( i·J ). ( 1 ' N). (}..,._(1 1 N) -. K sen. = (),.., (1,N). ?.. c1. o(I>J. trH' UinO S. p n r n todu G 0 3. y; ( r 1 ri). 2. l<. -. I< ;.nn. 2 >6 ( I , r.J). lr. I< sun. 2. 2. 1. .0. f6. (79 ). ( 01). (I, N). (I, N). rorc;a um c;:ttla trecho o nns fl i ru , Õo s X o. o (Jl'tHiuto rJo. ( o o). ( 02 ). y. ( 0 0) po1<J ( G5) ou (67) 8 ela ( 01). Go-. P,.ê.. ln ( GG ) ou ( 60 ) . f\ !>OIIlél clns ror1;as U1 8f•ll'lltares ao l un go d o. Un1D.

(35) -29. linha. ou. segundo a direção X ou V será a resultante nesta mes ma. direção . 5.2-. HodÓgrafo O hodÓgrafo poda se r de terminado pela condição. perpendicularidade entre os elementos correspondentes , como Já. da da. Este perpendicularismo poder ser conseguido pela image m. mons ~rado .. inv ersa dos pontos com relação ao eixo V figura (2 8). Além da inversão do imagem em relação ao eixo V. é necessário uma troca dos indicao I e. ?. J que definem as li nhas 0( e. e uma mudança do ponto origem (o ponto (1,1) passará a ser (L,K). para trefilação ou (N,N) para forJam ento).. a•. B. A'. ~---------------------------- X. FIG.- 28. 5.3-. Interpolação de pontos ~. Queremos agora det erminar. os ;ngulos das. linhas. da cisa lhamento máximo em um ponto P que não pertença as linhas Já de terminadas. Para is so , vamos determinar o ponto O da figura ( 29), intersecção das retas que pa ssam por D,A, e C,B, pon tos das linhas da fluência. Já de t erminadas..

(36) i. l. -30. I. l. D. ~. FIG.-29. l ____________________________. Su pondo que o reta AB soja a cord a de um arco AB c om , e q ue a r e ta OC se j a tA~b6m a. da ele urn o rca OC com c ontra orn. o,. co r. podamos traça r a rota OP o.ue irá. in. t e rc e pta r ns r e t os AB e CO nos pontos $e <f, l.'espectivomente . A r ola ç~o nntre AO e AB ~ pro porc iona l a r e l aç~ o. en. tre ~ e ~' , sondo 't o ân!]ulo incr emento pa r a o t ré!Çado u n s l.i.nhas. de. r llJ\J Üncia 1 e. r. 0 0. sa pelo ponto P. e ntre. ~n iJ UlO incroruc nto dn. l inha .. ÚB. flu ~ncia. que. -. o as '. A ro l aç ~o e ntre 9P e $~ ~ p ro porcional a ru la ç~o. ~ o '( , sendo ~ o â nQulo incrernonto da li nha de fluencin. q ue. possa pelo pon to P. Uu t ur min ndos os te Ânl]u l os , po cle1nos , pelo teorema. de.

(37) -31. Hencky 1 traçar. l i nhas oé. e. llS. r que passam pelo ponto P do m;:mui r a iuên. t ica o utili znda pora a do t r.rrni nar; ão elos pontos da malho . Tendo as coordena da s dos ponto s de f ormados no. ma. torial, podemos , com a colocação dostos pontos no gráfico oriundo da passagem do programa polo computarlor , deturminar os linhas I e J mafu , . prox~mas do ponto . Entra ndo com ns coo rdenados Jos pontos o as li nlloS I o J mais prÓximas , t e r emos os pontos /\ 1 0 1 C e O com coordena do s ro s pectivomente i gua i s a ( X(I , J), y (I,J)), (X (I +l, J) , (Y(I +l, J )) , (X(It-l , J+l) , Y(I-+1 , Jl-1)) e (X(I,J ·H ), Y(I , J+l)). o. X (I' J) y (I' J). A. ( 83 ). 8. X(I;-l , J). ( 8l1}. y ( I-t-1 ' J). X (I l,J + 1) y (I l , Jtl). c yp. pont o O tu:r á coor r:onadas, com. (05). o. X( I , J·\.l). (86). Y(I , J41). = (XB YC -XC. YB). (YB - YC). (Y/\ - Y0 ) - (XA Y0 - X0 YA) (XO - XA) - (XC - XB). (Y 8 - YC). ( 87). (YA - YO). Xp: Yp (X 0 - XA)i-XA Y0 - X0 YA. ( 88 ). YO - YA. 1. O po nto B te L' á coo r denadas , com ponto lido X, Y. j. !. ( 89 ). xe. =. y8 ( X - Xp}+ XPY- XYP y - y. I l f. j. Y.y. =. p. 8. o ponLo '-('. (X. A YB - XB y/\ ) (Yp - Y) -(XpY - XYP) (Y/\ - Y8 ) (X - Xp ). ( 90). (YA - Y0 ) - (X 8 - XA) (Yp - Y). ( 91).

(38) -32. Xy a (XA Y8 - x0 Y/\ ) - Y'f' ( X8 - XA ). ( 92 ). YB - YA Os pon tos da linha. p. que passam pel o po nto. (X,Y) , pala teororna do lloncl<y , t orãa as coordonadas :. = (xe-. x ( J). xA) ( x ( I+ l,J ) ). 1. (x. 8. v (J) = (Ye - vA) ( Y(hl,J) - Y(I , J)) os. r onto ~. 0 1'0018 1. 1. (v. 8. ( 93). - vA)+ v( r , J). (94). que passam p olo ponto ( X, Y) , pulo 1nesmo tn Lorão un coord (:n<Jdas : rl<J. linlws. - xA) t x(I , J). X( I). = (X -. Y( I). =. o1... X O). (Y - y t1 ). (X(IIl, J) - X (I,J))I (Xo/- Xo ) +X (I, J). ( 95 ). (Y(I+l, J) - y (l,J))I (Yq>- X êi). ( 96). -t. Y (I, J). ., Com L e M, rospecti vame n ta I , J, o numoro das lin~ As o<.. e. f? menores. rnnis prÓximos do po nto lido , t e remos P.Q. ra o h odÓa r a fo, se9 undo a rioura (30) ,. D'. F I G. - 3 O. o os pnntos (). vo - v/\. t. 1. 1. ,. y. 1. e P 1 f i ca r ão corn coorde nmbt;:. • ( Y8 - Y8 ) r Y1 8. = v•8. ( 97).

(39) I. -33. Xn - X{\. ·~. X' o-. x•A. y. vc. o. -. yr · - Y'. o. I. • (X 8 - Xo) -t. (x• B = x•e. • <ver - vc) +. ~I. (98 ). c. a. Y'. (99). XC) + X' c. c. XI 'r. (1 00 ). 'r. c. Xo - Xc. . (X't' -. X' o- X' c Xg. - x'l'. • ( >: -Xr)-'tXf. I. 1. X\) - X''f'. 1. y. J. 8. -. y't'. • (Y - Y<f ) t. = X'r. (1 01). v r -- v•p. (102). v''V - Yf 6- Proarama FORTRAN PAra se obt e r os resul tados em maior velocidade e. proc i s~o ,. e l abo rou-se um proa r ama FORTRAN , com as equaçEes acima ,. cujo cli agrmna em blocos , rrograrna c omo se segue :. 6 . 1- OiaQré.HOa em blocos. lt. 8. informaçEos es t~o reiac.i.ona dos.

(40) -34. 6 . 1- nia g rama om blocos. 300. LEIA O, ANG , N, IAI< , NA L, IAP. l CALL EXIT. 1. j ESCREVA CA BEÇ ALHO (1). 1 t '. ! l I I. l. -=. i. l. ESC REVA. y. ESCREVA CABEÇA LH0 (3. Cl\BEÇ ALH0 (4. .. 1 ~. ·1. JZ c O LCDr·lP : O. ~. 9. NÃO. JL,.

(41) -35. l NÃO. - - -1. ~ - --. CÁLC ULO !lOS PON. I. TOS E 1'1UDANÇAS. I. I. 1. lJE COOI!lJ[NI\DI\S. .. I_ - - - - -. - -. I. - .._.. 253. NÃO. --,. ~ ---. I CALCULO DE TENSÕ5~. AncAs E ronr;As. CÁLCUL O GRAFO. I. 1. DO HODÓ-. WTrH i' OLfl ÇAO 005 POIJT(J5 riO HODÓ-. -I - - - - - - - - '. .---1---, I CALCULO DA S L I NIIASI NO PONTO E CUil2_1 TI\NTES PAHfl IN -1 TE IWfi LI\ÇAO DOI HOOÓGRAFO I. _L _. __ l ___. _J. LC O I ~ P. LOGO. ., 1 - JZ. Vfi. VA. a 3 00. a 9. Os va lor es adiante nã o correspondem à fÔrça de forjamento no exemplo dado , mas sim. às fÔrças devidas à uma linha de fluência ..

(42) (• . 2- U. s LHJ L.;n 1~ l't)~;tJlt ;• clds. P/\GI: II. l. -3ú. nbU.JoG. SMI U:: L. J OII f. l. LlJG UIUV t:. C/\ I{T S P EC 00 16. 0 000. V2 Ml O. ACTUAL 3 2 K. C/\RT AVAIL. PHY DRI VE. 0016. 0000. CONFIG 3lK. ~EQ UA T ( PRNTZ , P RN Z ). 1 1 FOR. .. * I O CS ( CA RD ,ll 3?PRIN T ~ It 7 TYP [ W R IT E R 7 KEYDOARD,DI S K 7 PLOTT E R 7 14 0 3PRINT ER ) >:tL I S T ~D U !{C 1: PROG IU'd·1. DIM tNS I ON X( lU 7 18 ) ,Y ( l0,1 8 ) 7 /\N ( lH 7 18 ) 7 XGAMA ( l0 ) 7 YGANA ( l 0 ) 7 1 X AL F/\( 1 O ) , YALI- A ( 1 O ) , X t-1 [ ( 1 O ) , YME ( 1 O ) 7 RO1 ( 1 O ) t IW 2 ( 1 O ) 7 2 L OC ( 1 ~l ) , t~ O C ( l O ) , l~0 3 ( l O ) , 1<0 4 ( 1 O) 3 0 0 I~I: J\D ( ?. ,l) IJ , ,~NG , N , IAK,NAL,IA P 1 FORMA T( 2 F6 . 3 7 41 1 ) PAU ~I ·. (. ~00. NUM=N- JJ\ 1< 11: < • n J u1, 3 o1, 2 9 <J 29') CU 'H I NUt: 1-l l l 1- ( J 1 ó 9 ) I 6 9 F l) JH', AT ( 1 oX ' ' 1: sT uou. oAs. T ENso E s p E Lo METo oo. oAs. LI NHAs Dt. F L uE Nc I A. . 1 , / /). I F( .'/\ L-1 ) 61, 62 7 63 6 1 \•U I T :.: ( 3 7 6 4 ) B , N . ' 64 F()I.:.M AT ( l 0 Xy 1 UP EK J\CJ\O FURJM'II: NTO C01'1 t~A T I UZ FECHADA ' , // ., 1l OX, 1 J\ LTU :tJ\ DO HJR JJ\0 0= 1 ,F6. 3 , ' 2 l OX 7 T2 , 1 LINI IAS 1 7 / / / ) GU TU l<Jú. 62. W R IT ~ ( 3 , 65 ) 0 7 J\NG. 6?. FOI ~li\ T ( l O X,' IJ P ERA CAO. 1 t- 6 • -q ' ( c ;.j ) GO f t, 2 'JU 6 3 \·l R I I L ( .:.J , 6 f> ) n. I 7. ( CJ'-' )',1 ,. TREF lL AC A0 1 , / / 7 lOX 1 1 LARGURA DA TR t:FI LA 1 7 I I , 1 o X ' ' l\ NG uL o oA T RE F I L A =' 7 F 6 • 3 1 I ( G f{) I 7 I I I ). 6 6 I-O JU1AT ( l OX, ' UP E[{ACAO FORJAI1 J:N TO COM MATRIZ ( CM )',///) l'LI\I<GUI<A DA Ft:R l M1 cN TA= ' ,F6 . 3 , 1 290 CON TI NUE J L= I) LC ONP=O. 9 l f ( IAP ) 6 7 7, 6 G R[A D ( 2 , 2 } X~~ 1.: O , Y ME D , J L , J M, J Z ~. I. FflKí1J\T ( 2fó . 3 7 3 l %) CU NTI NlJ [ I~ ( LCUMP } 2~1 , 252 7 25 1. 1. '. I I •. 251 GO TO 2~3 25l CU11TI NUE Xl\= <J • YA=U . Xl3=13 Yl3= 0 . BANC=MIG/ ') . (;AJ-1= 5 . Cllfl =3 .1 4 16/ li30 . I{ l\ I 11 =IJ I ( 2 . >'P,'< ••~ ). DO 20 J =l 7 N C= .J 3~= ( ~5.+ ( C-1 . ) * GJ\M ) * CA D. X ( 1 , J ) =B -I~ A I U>:c C t l S ( 13 r: Y ( l , J ) :{A I U>:c S I i'! ( B t: ). =. ~. •. ". •. '. ,.... '. I. • '. '. ) \. AB ~ RTA. 1. 7 // 7 1 0 X 7. I.

(43) - :n :, 11 1,., 1J I I. ('(d. l. 20 Y(J ,l ) =Y(l ,J) I) ( I. J. I) l l. ··H). J. IÕ. =j. 7. i•J. J =l , N. Cl=l. l: 2. =j. H I· T l ='' 5 • + ( C l-C 2 ) >:• C J\ I~ 1\t T ?=45 . + ( C 2 -C 1) >:<G/\M U I L 2=1J!-: T2. ôi. Ll =llt TI. BF l=H F. T 1 >:<C: /\ a BL2=1H: r ?~'CJ\ll. L= I + l M=J ·: l ACHL=SIN ( ~.t l )I C O S ( O~ l). f,C l tl. - S I N ( BL 2 ) I Ci lS ( n r.; 2 ). X(L, Ml = (Y(I,M )-Y (L,J) +X ( L, J) *ACHl+X(I, Ml *ACH2 )1( ACHl+ACH2 ) Y( L 1 i-\ ) = ( X( L 1 r~ ) - X ( L , J ) ) >.'c J\ C111 + Y( L., J ) 3 0 ld'J (T,J) =IIt: Tl y A= y ( ;'\, ' I ! ) - y 1\ XA=X.\ -X( t\. 7. !~ ). Xu=X I,- X ( I• ' N ) Y B= Y ( ,'l 7 i'l ) -YI\. T= t, l\ J =l , t XCI ,J) =X(J 7 J)-X(N, N) Y( J 7 J ) =Y( N7 N) -Y ( l 7 J). tHI. .:-{. {) I.J. .~ 1. 37 C:flnll i 1Ul: GA= t\ -~ G"'r. A l3. c J\ ~ = (. '. ~) ( (j J\ ). suI -:.: s I N ( Gi\. ). KA= N-JAK. DO 33 J =l 7 N Drl. 3~. I = l,K!-\. AN ( I, J) = AN ( I, J)- ANC. 1 ' I. I I. 1. I. 3 3 COtH I NUI: i F ( J\ N ( K i\ , N ) ) 1t O7 7 4 O9 , 4 O9 4 O7 DO Lt l O J = 1 , N ,, o Lt 30 I=l , KA. 1\N ( I ,J) =- J\ N( f 1 J) '•3 0 CON TI I'l Ut . 40 ) CO IH I .'\ U t:. Y.\ =YA- Y ( KJ\ , N ). Y'3= Y \-Y( KA , N) X/\= X!\ - X ( K1\ , i'! ) XH=XI ·-X ( KA , N) DO ":'J lt J =l , N On :1Lt I = l 1 K i\ X ( l 1 J) =X ( f,J )- X(K/\ , N) 3 4 Y(I,Jl =Y(I,JJ - Y( KJ\ 7 N) AX=XI:S AY=Y ij. XU=AY*SUN+AX*CA S YU=J\ Y* CAS -A X* SUN 1\X= XJ\. AY= YII XIJ...= !\ Y>:• S UN+/\ X>:<C A~. Y1\=J\ Y >'~Ct\ S -A X>:< S IJN ~: . ~. 't l 2. I. ~. ( 3 , ' ' 1 2 ) X /\ , Y /1.. , X B , Y O J\ ( 1 , 1~. i [, ,\11tf\ f ( l OX , ' I' llNfO. 1'. 7 I , : , .. . 1 I. ( • -' 1 I ) I 1 I. , J• ) '. II ). /. 3 , '7', r7 . 3 ,') ' ,. l OX , ' PON T O B (. 1. ,F7.37.

(44) - 3ü :-.M\l J, I.. '1. ?1\GE. 3 9 I tt { ~~ :\ T ( l 1 ' S t ,-;? 1: I. X 1 ' P 11N f I) 1 , 4 X, ' X ( C/-1 ) ' , 3 X, ' Cll .. .. F I 2 F I ( I< Á I) ) ' , I I ) tll 1 J ~ r =1 , :<. 11 )ti ~ ' j J = t , N AX=X ( l 7 .J ) t.. Y ( CI·U. 1. :1 Xv ' s\ NC ( (; tt ) '. 1. ? Xw. t\Y-Y (I ,J) X( f 1 J ) -· •• Y >:'S II •'1 +AX>i• C A ~ Y ( l ,Jl ~ A Y *C A~ -A X*S U N. J\L I' l. ,,-, ,\j ( l. 1. J l. :.~C l\ d. ~ id.> ~ I ' H ? • * t LI- I C /1 L =Ci 1~ ( ? • •:< ,'I L 1· I ,t, L I· I l=2 • ::. AL ; I IH I r :,: ( 3 , 3 6 ) I , J, 3 6 f l l I< ~1 A T ( l 1.) X , I 2 , ' 3:.i L lr'H I ~ Lh_. ) ) X ( I , J ) , Y ( I , J ) , J\ N ( I , J) , SAC , C AC , Á Lí- O , 1 , I 2 , 3 X , F 7 • ) , F 7 • :J r 2 X , F 1 • 3 , F 8 • '> 1 F 8 • 4 , F ll • 4 1 I ). I ~ ( A~G -~ 0 . ) 440 1 4 31 1 4 3 1. 4 3 1 ·"i'!G U=- l. 'J 7 I 11 '1 = -?O .. c/11) =() . I~ /\0 = .. 5 BJ\ D= l. 'J. 1\UU=O . GU 1 l t 4 .:) 7.. 4 4 0 CONTI NUE I{AO= O . CAO= . ';> !HI D=O .. /1 UU-= l. 'J !U\ r =,). /\,\I~,; LJ= I.l .. 4 3 / L L.'Irl t'-J UL CAL L S C11 L F ( O• 4 r n • 4 , - 6 O• L=X (l 7 l) \·1.:: y ( l ' l ) CAL L F P UI T ( - 2 , Z , vil C i1 L L F P L OT ( O , XA y Y J\ ) Ct\ LL FPLOT ( O,X U 7 YB ) ChL L f P LOT ( - 2 ,Z ,W ) IJU 800 J = l , N DO 001 I = l, KA Z=X (f,J) vJ -: v < I , J > 3 Ol C1\ L L f· P L UT ( - I , Z , vi). 1. ~~ A r. ). Z=X ( KA , J ) -AUD. i. i. I '. I I. \·t = v ( 1< A , , 1 > + n.'IIJ. CJ\ LL F-CH tii<( Z , vl 1. lO , . l O, AN GU ) ao o \·I,, I f 1· (7, i, 02 >J 6 o 2 H 11 ,,, {\ T ( I J =I ' I 2 ) L=X { l ,l) vJ= Y < t. ,1>. CA LL í- PL OT ( - 2 ,L,W). CALL. fJ ll HiT ( l ). no. Hd 3 1 = l, t<.A 00 ll0 'tJ = l 1 N Z=X ( !,J) ~I= Y ( I , J) 804 CIILL r- !JLIJT ( -2 , Z v H ) L= X ( I , ~~ ) +C AIJ 't/= Y ( I , rJ ) - RJ\D C/11 I o. \.1 ,., J. •. '. [. r. c. f. li/\ I{ I. I. ( /. '. to ' •'". \. Y. \·i ' • 1 o '. • l o' ÃI'H~ u ).

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Referências

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