Cintra-Cintra - O Teorema de Pitágoras

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O Teorema de Pit´

agoras

... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... ... ... ... ... ..._...... ... ... ... ... ... .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .

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Caitano de Oliveira Cintra

Renato Jos´

e de Sobral Cintra

O Teorema de Pit´

agoras

Recife 2003

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Editora¸cão Eletrônica (LA_{TEX 2ε): Renato José de Sobral Cintra.} Capa: Renato José de Sobral Cintra.

Ilustra¸c˜oes (PICTEX, TEX, PostScript e Xfig): Renato Jos´e de Sobral Cintra.

Cintra, Caitano de Oliveira & Cintra, Renato Jos´e de Sobral

O Teorema de Pit´agoras: / Caitano de Oliveira Cintra e Renato Jos´e de Sobral

Cintra. — Recife : O Autor, 2003. 93, x folhas : il., fig., tab., diagramas. Inclui bibliografia, ´ındice e apˆendice. 1. Geometria Euclidiana. I. T´ıtulo.

513.81 CDU (1.ed.) BC-FABEJA

Impresso no Brasil.

1a _edi¸c˜_ao _setembro ₂₀₀₃

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`

A minha esposa, S ˆONIA, pela compreens˜ao e o carinho.

A meu filho, HENRIQUE, pelo amor que tem pelos estudos. Aos meus pais, OTAVIANO e CAMILA (in memoriam), que n˜ao pouparam sacrif´ıcios para que eu pudesse aprender alguma coisa.

√

2

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Pref´

acio

A idéia em escrever esse pequeno livro foi apenas para divulgar um pouco mais o teorema de pitágoras, que, como sabemos, se trata de um dos mais importantes teoremas da geometria plana. Não são demonstra¸cões de nossa própria autoria, apenas as refizemos com mais detalhes para que sejam mais fáceis de ser entendidas.

Também aproveitamos a oportunidade para realizar um pequeno acompanhamento histórico dos homens que contribuiram com o Te-orema de Pitágoras. Nunca é demais um pouco de história da ma-temática. Tomamos também algumas notas sobre as generaliza¸cões do Teorema e suas conexões com outras áreas da matemática.

Não poder´ıamos deixar de agradecer ao professor José Vieira da Costa, da Faculdade de Forma¸cão de Professores de Belo Jardim, que encontrou tempo para uma rápida leitura do texto original livrando-nos de muitos erros lingu´ısticos.

Recife, agosto de 2003. c.o.c. r.j.s.c.

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Sum´

ario

Prefácio ix 1 O Teorema 1 1.1 Os Eg´ıpcios . . . 3 1.2 Os Babilônicos . . . 4 1.3 As Subalsutras . . . 6 1.4 Pitágoras . . . 9 1.5 Zhoubi suanjing . . . 16 2 Demonstra¸cões 19 2.1 Demonstra¸cão #1 . . . 20 2.2 Demonstra¸cão #2 . . . 21 2.3 Demonstra¸cão #3 . . . 22 2.4 Demonstra¸cão #4 (Bhaskara) . . . 25 2.5 Demonstra¸cão #5 . . . 27 2.6 Demonstra¸cão #6 (Euclides) . . . 29 2.7 Demonstra¸cão #7 (Garfield) . . . 33

2.8 Demonstra¸c˜ao #8 (Da Vinci) . . . 36

2.9 Demonstra¸cão #9 (Papus) . . . 38 2.10 Demonstra¸cão #10 . . . 40 2.11 Demonstra¸cão #11 (Euclides) . . . 41 2.12 Demonstra¸cão #12 (Pólya) . . . 43 2.13 Demonstra¸cão #13 . . . 49 2.14 Demonstra¸cão #14 . . . 51 2.15 Demonstra¸cão #15 (Perigal) . . . 53 2.16 Demonstra¸cão #16 (Heron) . . . 57 xi

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3 Se. . . Ent˜ao. . . 61

3.1 Norma Euclidiana . . . 61

3.2 Lei dos Cossenos . . . 62

3.3 Irracionalidade da Constante Pitag´orica . . . 62

3.4 Cortes de Dedekind . . . 66

3.5 N´umeros Complexos . . . 67

3.6 Ultimo Teorema de Fermat. . . 71´

3.7 Axioma das Paralelas . . . 75

√

2 85

Referˆencias Bibliogr´aficas 87

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Cap´ıtulo 1

O Teorema

“Os n´umeros regem o Universo”.

Pit´agoras

Nosso propósito é apresentar algumas demonstra¸cões do Teorema de Pitágoras (em grego, ΠΥΘAΓOPEION ΘEΩPHMA), um dos mais

im-portantes teoremas da Geometria Plana, que pode ser anunciado da seguinte forma:

“A ´area do quadrado cujo lado ´e a hipotenusa de um

triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos quadrados cujos lados são cada um dos catetos desse mesmo triângulo”.

Se indicarmos a hipotenusa por a e os catetos por b e c, temos:

a2 = b2+ c2.

A demonstra¸cão desse teorema pelos pitagóricos foi muito lenta e penosa. Inicialmente eles conheciam o fato para os triângulos que têm lados proporcionais a 3, 4 e 5, como também para o triângulo de lados 5, 12 e 13. Um resultado mais geral foi obtido para o triângulo retângulo isósceles, que tem a seguinte demonstra¸cão.

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Considere o triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa mede a e cada um dos catetos mede b.

Construindo quadrados de lados a e b, temos:

A b b a B C ① ② ③ ④ ⑧ ⑦ ⑥ ⑤ Figura 1.1 ´

E fácil verificar que os triângulos numerados são todos congruentes (Rela¸cão de Tales), logo:

área(⑤ + ⑥ + ⑦ + ⑧) = área(① + ②) + área(③ + ④) ∴ a2 = b2+ b2.

No caso geral, não se conhece a demonstra¸cão de Pitágoras (eles não costumavam escrever seus trabalhos), no entanto, os historiadores acreditam que foi uma demonstra¸cão fundamentada em compara¸cão de áreas.

Existem muitas demonstra¸c˜oes do Teorema de Pit´agoras. Por exemplo, o professor Elisha Scott Loomis, que lecionou em Cleve-land, Ohio, E.U.A., publicou um livro intitulado “The Pythagorean

Proposition1” que cont´em 370 demonstra¸c˜oes diferentes. A primeira

1_{Este livro foi reimpresso em junho de 1968 pelo National Council of Teachers}

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1.1. OS EGÍPCIOS 3 edi¸cão desse livro foi publicada em 1927 com 270 demonstra¸cões e em 1940 saiu a segunda edi¸cão com mais 100 demonstra¸cões. Em nenhuma delas foram utilizados argumentos trigonométricos, pois a identidade sen2_{x + cos}2_{x = 1 já é um caso particular desse teorema,}

sendo utilizados apenas argumentos geométricos e algébricos. Em ver-dade, é mostrado que é poss´ıvel se ter um número infinito de provas por métodos algébricos ou geométricos; e não pode haver prova que utilize trigonometria, geometria anal´ıtica e cálculo [18].

1.1 Os Eg´ıpcios

Muitos anos antes de Cristo, os Eg´ıpcios conheciam o fato de que todo triângulo cujos lados medem 3, 4 e 5, necessariamente é um triângulo retângulo.

O historiador Cantor sugere que eles utilizavam esse fato para cons-truir ˆangulos retos. Os usos mais evidentes dos ˆangulos retos no coti-diano da sociedade eg´ıpcia seriam:

• remarca¸c˜ao das terras situadas `as margens do rio Nilo, toda vez

que eram inundadas e tinham suas divisas destru´ıdas;

• constru¸cão de paredes verticais em rela¸cão ao solo; • elabora¸cão de cobertas de casas.

Dessa forma, no Antigo Egito, a Geometria era utilizada para fins práticos da constru¸cão — as pirâmides são os exemplos mais expres-sivos desse fato.

O uso da tripla pitagórica (3, 4, 5), pelos eg´ıpcios, parece ter sido pontual. Não há registros do uso de outra tripla, nem para fins práticos de Engenharia, nem de generaliza¸cões. Assim, não há evidências con-clusivas que nos permitam afirmar que os eg´ıpcios conheciam de fato o Teorema, apesar de fazerem uso prático do seu resultado.

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1.2 Os Babilˆ

onicos

O Teorema de Pitágoras já era conhecido dos babilônicos por volta de 1900 a 1600 a.C. — época do Primeiro Império Babilônico.

Figura 1.2: Imp´erio Babilˆonico, atualmente Iraque.

A prova disso é encontrada em várias tábuas babilônicas. Em uma tábua, em particular, encontra-se a seguinte tradu¸cão:

“4 ´e o comprimento e 5 a diagonal. Qual a abertura? Seu

tamanho não é conhecido. 4 vezes 4 é 16. 5 vezes 5 é 25. Se tomar 16 de 25, restam 9. O que vezes o que devo ter para obter 9? 3 vezes 3 é 9. 3 é a abertura”.

Outra tábua é ainda mais reveladora. Esta tábua é conhecida pelo nome de “YBC 7289” (Yale Babylonian Collection, #7289). E tem a seguinte aparência:

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1.2. OS BABIL ˆONICOS 5

(a) Foto (b) C´opia

30

42,25,35 1,24,51,10

(c) Diagrama

Figura 1.3: A t´abua babilˆonica YBC 7289.

Trata-se de uma tábua circular com a figura de um quadrado com suas duas diagonais. Em um dos lados do quadrado vê-se o número 30 e nas diagonais os números 1;24,51,10 e 42;25,35. Os mesopotâmicos usavam o sistema sexagesimal (base 60), assim, convertendo 1;24,51,10 para o sistema decimal, temos:

1; 24, 51, 10₍₆₀₎=1 × 600+ 24 × 60−1+ 51 × 60−2+ 10 × 60−3 =1,414212963.

Sem d´uvida, uma impressionante aproxima¸c˜ao para √2 = 1,414213562 . . .. Calculando 30×1; 24, 51, 10, temos o segundo n´umero

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42;25,35, ou seja, 30√2.

Resta, entretanto, uma d´uvida: Por que foi feita a escolha de um quadrado de lado 30?

´

E sabido que os babilônicos atribu´ıam grande importância aos números rec´ıprocos. A escolha do valor 30 é a única que faz com que a diagonal (42,25,35) seja igual ao rec´ıproco de (1,24,51,10). Mais claramente: (42,25,35) ≈ 1/√2.

1.3 As Subalsutras

Entre 2000 e 1500 a.C. o povo ária invade a região conhecida por Vale do Pendjab, a noroeste da Índia. Esta vinda é descrita nos Vedas, livros sagrados que contêm hinos, rituais, poesias e magia. Este texto sagrado traz grande ênfase ao sacrif´ıcio como forma de salva¸cão. Nos rituais védicos, não raro, animais eram sacrificados e os Vedas traziam descri¸cões detalhadas de como se proceder a estas cerimônias, com detalhes dos recitais e cantos a serem executados.

As Subalsutras constituem um apêndice dos Vedas, que continham instru¸cões minuciosas de como se construir altares. Para que um ri-tual de sacrif´ıcio fosse aceito pelos deuses, o altar deveria ter medidas exatas. Os sacrif´ıcios também tinham objetivo de pedir aos deuses boas colheitas, saúde e longa vida. Entretanto, para agradar aos deu-ses, tudo tinha que ser feito com o máximo de aten¸cão poss´ıvel aos detalhes. Essa precisão só seria atingida com aux´ılio da matemática. Assim, as Subalsutras contêm a matématica dos Vedas.

As regras matemáticas contidas nas Subalsutras não são demons-tradas, apenas relatadas de maneira procedural. As Subalsutras se aproximavam mais de um manual de constru¸cão de formas geométricas do que de um tratado puramente matemático. Algumas fórmulas eram exatas e outras aproxima¸cões, entretanto, o texto não faz distin¸cão, o que pode nos levar a acreditar que os autores julgavam estar sempre

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1.3. AS SUBALSUTRAS 7 diante de procedimentos exatos.

Muito pouco ´e sabido dos autores das Subalsutras, a menos de seus nomes. Os principais textos foram escritos por Baudhayana (800 a.C.), Apastamba (600 a.C.) e Katyayana (200 a.C.).

No documento Subalsutra de Baudhayana temos o primeiro ind´ıcio do Teorema de Pit´agoras com o seguinte texto (vide tamb´em a Fi-gura 1.4):

“Uma corda esticada sobre a diagonal de uma quadrado

produz uma ´area de duas vezes a ´area do quadrado origi-nal”. F A B C D E Figura 1.4

Uma vers˜ao mais geral ´e encontrada no documento Subalsutra de Katyayana:

“Uma corda esticada sobre a diagonal de um retˆangulo

produz uma ´area que os lados vertical e horizontal fazem juntos.”

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A D C E F B Figura 1.5

Na Subalsutra de Apastamba há uma descri¸cão para a constru¸cão de ângulos retos através do uso de triângulos retângulos “racionais”. Apastamba denominava de “racional” um triângulo em que todos os lados são racionais. Assim, algumas triplas pitagóricas foram estabe-lecidas. As mais usadas foram:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (12, 35, 37), (15, 20, 25), (15, 36, 39).

Uma constru¸cão bem interessante está presente na maioria das Subalsutras. Trata-se de uma constru¸cão baseada no próprio Teorema de Pitágoras e tem o objetivo de construir um quadrado com área igual à soma das áreas de dois quadrados dados.

Q D C Z R Y X B S A P Figura 1.6

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1.4. PIT ´AGORAS 9 Observe a Figura 1.6. Sejam ABCD e P QRS dois quadrados dados. Marque o ponto X em P Q de modo que P X seja igual a

AB. Assim, o quadrado em SX tem área igual à soma das áreas dos

quadrados ABCD e P QRS. E isto é um reflexo do próprio Teorema de Pitágoras, pois

SX2 = P X2+ P S2.

Uma outra conquista dos matemáticos das Subalsutras, presente tanto no texto de Apastamba quanto no de Katyayana, é a apro-xima¸cão para √2:

“Some a uma unidade sua ter¸ca parte e a quarta parte

dessa ter¸ca parte menos a trig´esima quarta parte dessa quarta parte”. Ou seja: 1 +1 3 + 1 3 × 4 − 1 3 × 4 × 34 = 577 408,

que dá aproximadamente 1,414215686. Comparado com o valor co-nhecido de √2 até a nona casa decimal (1,414213562 . . .), vemos que até a quinta casa decimal o valor contido nas Subalsutras é correto.

Cabe aqui um comentário. Apesar de terem obtido grandes êxitos, os indianos não desenvolviam a matemática per se, como faziam os gregos. Eles meramente procuravam formas de resolver problemas bem espec´ıficos de sua religião, sem nunca ter a preocupa¸cão de provar seus resultados ou tentar generalizá-los.

1.4 Pit´

agoras

Os triângulos cujos lados medem 3, 4 e 5 têm a propriedade de que 52 = 32+ 42. Esse fato foi generalizado por Pitágoras para um triângulo retângulo qualquer.

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Figura 1.7: Pit´agoras de Samos.

Pitágoras nasceu por volta do ano 570 a.C. em Samos, república grega. Foi disc´ıpulo de Tales, além de ter estudado com Ferecides (Pherekydes) e Anaximandro.

Figura 1.8: Gr´ecia antiga. Destaques das ilhas de Samos e Chios. ´

E dito que Pitágoras viajou a Mileto quando tinha entre 18 e 20 anos. Lá encontrou Tales, já um ancião, que provavelmente não teve oportunidade de ensinar-lhe muito. Apesar disso, Tales influenciou fortemente Pitágoras e despertou-lhe o interesse por matemática e astronomia. Gra¸cas aos conselhos de Tales, Pitágoras empreenderia uma jornada ao Egito, onde deveria — segundo Tales — se aperfei¸coar

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1.4. PIT ÁGORAS 11 naquelas ciências. Na mesma cidade de Mileto, lecionava um aluno de Tales — Anaximandro. Pitágoras esteve presente às suas aulas, que lhe ofereceram novos pontos de vista para a interpreta¸cão do mundo.

Anaximandro de Mileto. Anaximandro (610-546 a.C.) foi o pri-meiro a escrever um tratado em prosa sobre filosofia. Este tratado, conhecido por Sobre a Natureza, tem importância seminal, pois é o responsável pelo in´ıcio da história da filosofia grega escrita. Não há mais cópias deste importante trabalho, sendo provável que algumas cópias estivessem sido abrigadas na Biblioteca de Alexandria, pois há registros de que Apolodorus (séc. II a.C.) tenha feito uso desse exem-plar. Outras evidências apontam que a obra de Anaximandro foi parte da Biblioteca de Taormina, na Sic´ılia, onde um fragmento do texto foi encontrado contendo o nome de Anaximandro. Apenas uma única pas-sagem — um excerto — do livro sobreviveu ao teste do tempo e chegou até nós. Assim mesmo, sob a forma de cita¸cão feita por Simplicius no século VI:

Como as coisas tˆem sua origem,

Então sua destrui¸cão também acontece, Como é a ordem das coisas;

Executam a senten¸ca uns aos outros — A condena¸c˜ao por um crime — Em conformidade com a lei do Tempo.

Esta frase2 é uma das mais discutidas na história da Filosofia [16]. Ao contrário dos babilônicos e eg´ıpcios que obtiveram seus êxitos no campo da astronomia observacional, Anaximandro fez marcantes

2_{Tradu¸c˜ao livre do inglˆes: Whence things have their origin, \\ Thence also their}

destruction happens, \\ As is the order of things; \\ For they execute the sentence upon one another \\ — The condemnation for the crime — \\ In conformity with the ordinance of Time.

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contribui¸c˜oes `a astronomia especulativa. Entre suas conjecturas mais importantes, podemos destacar:

• que os corpos celestiais tra¸cam ´orbitas circulares, passando por

debaixo da Terra;

• que a Terra está livre no espa¸co sem apoio algum (pilares, águas); • que os corpos celestes podem se localizar um por trás dos outros

(profundidade).

No Egito. Durante sua viagem ao Egito, Pitágoras aprendeu dos clérigos eg´ıpcos sobre a caracter´ıstica do triângulo (3, 4, 5). Os sa-cerdotes do Egito associavam ao cateto de comprimento 3 o nome do deus Os´ıris3_{; ao cateto de comprimento 4, a deusa Ísis}4_{. E, finalmente,}

a hipotenusa designava Hórus5_{. Por essa razão, tal triângulo também}

´e conhecido por triˆangulo eg´ıpcio.

Figura 1.9: Mapa da regi˜ao mediterrˆanea oriental, evidenciando a cidade de Crotona.

3_{Deus do mundo do al´em, encarreado de julgar as almas. Foi assassinado e}

retalhado pelo seu irmão Set. Hórus e Thot o ressucitaram, com a ajuda de Anúbis e Ísis.

4_{Irmã e esposa de Os´ıris; mãe de Hórus.}

5_{Deus antropozoom´orfico era ilustrado como tendo corpo de homem e cabe¸ca}

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1.4. PIT ÁGORAS 13 Após ter viajado bastante pelo Egito e Sic´ılia, foi muito bem recebido por Milos, tirano de Crotona, cidade localizada ao sul da pen´ınsula itálica (vide Figura 1.9). E lá, aos 56 anos, criou uma Es-cola que era uma verdadeira sociedade secreta e tinha forte influência dos costumes que ele observou no Egito.

Essa Escola tinha como emblema um pent´agono estrelado — o pentagrama. A Figura 1.10 ilusta o pentagrama pitag´orico.

Υ I EI A Γ Figura 1.10: Pentagrama.

As letras gregas nos vértices do pentagrama têm inúmeras inter-preta¸cões [24]. Uma delas é que cada vértice representa um elemento, segundo a seguinte tabela:

Υ Υδωρ (Hudor) Agua´ Γ Γαια (Gaia) Terra I Iδ²α (Idea) Id´eia EI Eιλη (Eile) Calor solar

A Aηρ (Aer) Ar

Os membros da Sociedade Pitagórica estavam proibidos de divul-gar as suas descobertas. Não havia propriedade individual. Tudo pertencia à Sociedade, inclusive as descobertas cient´ıficas.

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(a) Moeda (b) Medalhão (c) Moeda Figura 1.11: (a) Pentagrama numa moeda de bronze de Pitana, (b) Medalhão com o perfil de Pitágoras gravado entre 395 e 410 d.C., (c)

Observe a inscri¸cão em grego: ΠΥΘAΓOPAΣ (Pitágoras). A admissão na Escola era baseada em regras exigentes, incluindo um per´ıodo probatório de cinco anos e a exigência de total silêncio perante os membros mais antigos da Sociedade Pitagórica. Os alunos dessa Escola eram divididos em dois grupos: os “ouvintes” e os “ma-temáticos”. Os “ouvintes” só passavam à categoria de “matemáticos” após três anos de rigorosos estudos. Somente aos “matemáticos” eram revelados os verdadeiros segredos dessa Sociedade.

A expressão “Teorema de Pitágoras” não significa necessariamente que foi o filósofo e matemático grego Pitágoras que o descobriu e o demonstrou, mas que foi a sua Escola.

A Escola Pitagórica tinha a concep¸cão de que tudo no universo era regido e explicado pelos números (números naturais). Para seus membros, a razão entre dois segmentos era sempre dada pelo quoci-ente de dois números naturais, isto é, dois segmentos quaisquer eram sempre múltiplos de um mesmo segmento. Ao verificarem que no triângulo retângulo isósceles de catetos unitários, a hipotenusa não era um número natural, ficaram tão surpresos que procuraram escon-der esse fato. Entretanto, o amor pela verdade fez com que eles não só o aceitassem, como o divulgassem.

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1.4. PIT ÁGORAS 15 Foram os pitagóricos os primeiros a fazer a distin¸cão entre números pares e ´ımpares. Deve-se também a eles a demonstra¸cão de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180◦_{, bem como a cria¸cão das}

escalas musicais.

Os pitagóricos dividiam sua doutrina em quatro partes: 1. Os números absolutos (Aritmética);

2. Os n´umeros aplicados (M´usica); 3. As grandezas em repouso (Geometria); 4. As grandezas em movimento (Astronomia).

Conheciam o cubo, o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o dode-caedro que eles chamavam de sólidos “cósmicos”, por serem formados cada um por justaposi¸cão de um mesmo pol´ıgono regular.

Por volta de 513 a.C., Pit´agoras viaja a Delos a fim de tratar de seu velho mestre, Ferecides, que estava bastante enfermo.

Em 510 a.C., Crotona ataca e vence a cidade vizinha de Sibaris e, aparentemente, Pitágoras tem algum envolvimento nessa disputa. Alguns anos mais tarde, em 508 a.C., Cilon, um nobre de Crotona que não foi admitido na Sociedade, ataca os pitagóricos, for¸cando Pitágoras a fugir para Tarento e em seguida para Metaponto.

O que ocorre após esse ponto é envolto em dúvidas. Alguns acre-ditam que o governo de Milos foi derrubado, for¸cando Pitágoras a fugir e cometer suic´ıdio, provavelmente por causa dos ataques a sua Sociedade, por volta do ano 500 a.C.

Outra vertente é que o ataque de Cilon foi um evento menor e Pitágoras haveria retornado a Crotona e vivido bem até 480 a.C., vindo a falecer, em idade avan¸cada, por volta de 475 a.C.

Em 460 a.C., a Sociedade recebeu outro ataque violento e várias de suas casas foram destru´ıdas. Há relatos de que 50 a 60 pitagóricos fo-ram assassinados num único ataque e que muitos fugiram para Tebas.

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A Sociedade, inicialmente apol´ıtica, alinha-se politicamente e se frag-menta em façcões. O fato é que a Sociedade Pitagórica ainda existiu por mais de 4 ou 5 séculos, espalhando-se por outras cidades.

1.5 Zhoubi suanjing

O método de calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo também era conhecio na China antiga. Dois trabalhos sobre ma-temática e astonomia escritos do per´ıodo de Han trazem o Teorema: o Zhoubi suanjing6_{, a compila¸cão mais importante, e o Jiuzhang}

su-anshu7_{, um volume de nove cap´ıtulos, ´e o livro de Matem´atica da}

China Antiga mais influente.

De acordo com David E. Joyce [14], a prova mais antiga do Teorema de Pitágoras está no Zhoubi. O Jiuzhang é um livro bem eclético. Observe os seus assuntos:

Cap´ıtulo 1 Medi¸cão de áreas de figuras planas, cálculos de m.m.c. e m.d.c..

Cap´ıtulo 2, 3 e 6 Propor¸c˜oes, distribui¸c˜oes proporcionais, impostos (taxas).

Cap´ıtulo 4 Sobre o problema de dado o volume ou área, encontrar os lados. Contém algoritmos para extra¸cão de raiz quadrada e cúbica.

Cap´ıtulo 5 Volumes de sólidos. Usa aproxima¸cões como π ≈ 3. Cap´ıtulo 8 Matrizes retangulares, algoritmo de elimina¸cão para

solu-¸cão de sistemas com três ou mais equa¸cões lineares. Regras para sinais de números.

6_{Uma tradu¸cão livre seria: “O Clássico Aritmético do Gnômon e dos Caminhos}

Circulares do C´eu”. Manteremos o nome original.

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1.5. ZHOUBI SUANJING 17 Cap´ıtulo 9 Triângulos retângulos, aplica¸cões do Teorema de

Pit´a-goras.

Estas obras s˜ao datadas de aproximadamente 100 a.C. a 100 d.C na dinastia Han.

O Zhoubi suanjing mostra figuras importantes conhecidas como “diagrama da hipotenusa”. Acredita-se que este diagrama não estava no texto original, mas foi adicionado numa edi¸cão comentada por Zhao Shuang por volta do século III d.C.

... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... ... ... ... ... ..._...... ... ... ... ... ... .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .

Figura 1.12: O Diagrama da Hipotenusa.

O diagrama é constru´ıdo como se segue. Constrói-se, adjacente aos lados de uma quadrado de lado unitário, quatro retângulos de dimensões 3 × 4, resultando num quadrado de lado sete. As quatro diagonais dos retângulos formam um novo quadrado, cuja área é dada por 7 × 7 − 4 × µ 1 2 × 3 × 4 ¶ | {z } ´

Area dos quatro triˆangulos

= 25.

Desse fato conclu´ımos que cada um dos lados desse quadrado tem medida igual a 5. Portanto, o quadrado inclinado tem lado 5 e seu lado ´e a diagonal dos retˆangulos originais de lados 3 e 4.

Zhao Shuang se referia ao diagrama de modo bem geral, explici-tando como cada lado, hipotenusa e quadrados poderiam ser encon-trados em termos dos outros [13].

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Cap´ıtulo 2

Demonstra¸c˜

oes

“Se ‘os números regem o Universo’ como disse Pitágoras, eles apenas nos levam ao trono, pois nós os regemos”.

Eric Temple Bell (1883–1960)

Apresentaremos algumas provas interessantes do Teorema de Pitá-goras, tanto do ponto de vista matemático quanto dos detalhes histó-ricos por trás das provas. São mostradas provas oriundas de mentes matemáticas brilhantes, tais como Bhaskara e Pólya; e também de matemáticos amadores, como o ex-presidente americano J .A. Garfield ou do entusiasta pelas ciências H. Perigal.

De modo geral, as provas do Teorema de Pit´agoras se dividem em trˆes tipos:

• por áreas; • por similaridade; • por disseçcão.

As provas por área dependem fundamentalmente dos teoremas de áreas dos paralelogramos e triângulos: paralelogramos de mesmas base

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e altura têm mesma área, assim como triângulos. Já as provas por si-milaridade dependem das rela¸cões de proporcionalidade entre os lados de triângulos similares. E, finalmente, temos as provas por disseçcão, que estão ligadas ao fato de que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares (somam 90◦) [2].

As provas do Teorema permeiam várias civiliza¸cões durante diver-sas épocas. Como vimos no cap´ıtulo anterior, de maneira indepen-dente, vários povos chegaram à prova do Teorema. A Figura 2.1 traz alguns excertos de provas que percorreram o mundo e os tempos.

(a) ´Arabe (b) Chinˆes (c) Grego

(d) Latim (e) Francês (d) Inglês Figura 2.1: Prova do teorema por várias civiliza¸cões.

2.1 Demonstra¸c˜

ao #1

Considere o triângulo retângulo ABC (Figura 2.2), onde a, b e c são os comprimentos dos lados desse triângulo e h é o comprimento da altura relativa à hipotenusa BC.

(33)

2.2. DEMONSTRAC¸ ˜AO #2 21 h D n c A b m a B C Figura 2.2

1. Os ângulos A ˆBC e C ÂD têm como complemento o ângulo B ÂD,

logo s˜ao congruentes. Disso resulta que A ˆBC ≡ D ˆAC.

2. Os triângulos DAC e DBA são semelhantes ao triângulo ABC (três ângulos congruentes). Dessas semelhan¸cas temos

b a = m b e c a = n c, e da´ı b 2 _{= am e c}2 _{= an.}

3. Somando membro a membro essas duas ´ultimas igualdades e observando na figura que a = m + n, obtemos

b2+ c2 = am + an = a(m + n) = a · a = a2.

2.2 Demonstra¸c˜

ao #2

No triˆangulo retˆangulo ABC, construa sobre seus lados quadrados

(34)

m G F b I A H c B C a a E _J D R2 R1 n Figura 2.3

1. Nesta figura, R1 ´e um retˆangulo cujos lados medem a e m, e R2

´e outro retˆangulo de lados medindo a e n.

2. ´E claro que área(BCDE) = área(R1) + área(R2), ou seja a2 =

am + an.

3. Do item 2 da Demonstra¸c˜ao #1, temos que am = b2_{, an = c}2_{, e}

da´ı

a2 = b2+ c2.

2.3 Demonstra¸c˜

ao #3

Seja ABCD um quadrado de lado L. Tome b e c de modo que

(35)

2.3. DEMONSTRAÇ ÃO #3 23 1. Forme os triângulos ②, ③, ④, ⑤ e o quadrado ① como na

Fi-gura 2.4. ④ C D a B c c b L A ② ⑤ ③ ① Figura 2.4

2. Esses quatro triângulos são todos congruentes entre si. E, por-tanto, têm a mesma área, dada por

1

2bc. (Verifique!)

3. Conclu´ımos da Figura 2.4 que área(ABCD) = área(①)+4 área(②), ou seja,

L2 = a2+ 41

2bc = a

2_{+ 2bc.} _(2.1)

4. O mesmo quadrado ABCD pode ser dividido como mostra a Figura 2.5.

(36)

⑦ b c b c B A C D b c ⑥ ⑧ ⑨ Figura 2.5

Observando a Figura 2.5, temos que

L2 = área(⑥) + área(⑦) + área(⑧) + área(⑨) =bc + c2+ b2+ bc.

Ou seja,

L2 = b2+ 2bc + c2. (2.2) Comparando as equa¸c˜oes 2.1 e 2.2, temos

a2+ 2bc = b2+ 2bc + c2.

Donde conclui-se que

a2 = b2+ c2.

Observa¸cão. Na época de Pitágoras ainda não era conhecido o de-senvolvimento de (b + c)2. No entanto, esse resultado pode ser obtido facilmente por compara¸cão de áreas, como fizemos na Figura 2.5. Isto

(37)

2.4. DEMONSTRAÇ ÃO #4 (BHASKARA) 25 é

´area(ABCD) = L2 = (b + c)2. (2.3) Comparando as Equa¸c˜oes 2.2 e 2.3, temos

(b + c)2 = b2+ 2bc + c2.

2.4 Demonstra¸c˜

ao #4 (Bhaskara)

Bhaskara é também conhecido pelo nome de Bhaskara II, devido a existência de um outro matématico homônimo. Nascido em 1114, em Vijayapura, Índia, Bhaskara é conhecido em sua terra natal pelo nome de Bhaskaracharya — Bhaskara, o Professor. Filho de astrólogo eminente, Bhaskara assumiu o posto de chefe no Observatório As-tronômico em Ujjain, o centro avan¸cado de matemática indiana na época. Neste mesmo Observatório trabalhou Brahmagupta (introdu-tor do conceito de numero zero e de aritmética com números negati-vos).

O trabalho de Bhaskara é concentrado em seis livros. O Lilavati (A Beleza) sobre matemática de modo geral; o Bijaganita (Extra¸cão de Ra´ızes) sobre ´Algebra; o Siddhantasiromani sobre astronomia ma-temática e sobre esferas; o Vasanabhasya que são os comentários de Bhaskara sobre o Siddhantasiromani; o Karanakutuhala (Cálculo das Maravilhas Astronômicas) que é uma versão reduzida do

Siddhanta-siromani e, finalmente, Vivarana que são comentários sobre o livro Shishyadhividdhidatantra de Lalla. Lalla foi astrônomo e seu livro é

dividido em duas partes: Sobre o C´alculo da Posi¸c˜ao dos Planetas e

Sobre a Esfera.

Bhaskara foi capaz de reliza¸cões notáveis como a expansão dos conceitos de aritmética com o número zero de Brahmagupta. Bhaskara comentou:

(38)

Uma quantidade dividida por zero torna-se uma com denominador zero. Esta fra¸cão é chamada de quantidade infinita. Nesta quantidade consistindo daquela que tem zero como divisor, não existe altera¸cões, assim muito pode ser inserido [adicionado] ou extra´ıdo [subtra´ıdo]. . .

Bhaskara estava tentando resolver n/0 = ∞, obviamente sem sucesso. Os matem´aticos indianos estavam presos ao paradigma de que esta equa¸c˜ao poderia ser resolvida!

Outro resultado importante devido a Bhaskara s˜ao as f´ormulas do seno da soma e da diferen¸ca de dois arcos:

sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b sen(a − b) = sen a cos b − cos a sen b.

No nosso trabalho, estamos preocupados com um outro feito de Bhaskara: a prova do Teorema de Pit´agoras!

Considere o triˆangulo retˆangulo ABC com hipotenusa a e cate-tos b e c. Construa um quadrado BCDE de lado a, como mostra a Figura 2.6. E a C b B c A D Figura 2.6

(39)

2.5. DEMONSTRAC¸ ˜AO #5 27 A c B D E C a b Figura 2.7

2. Os quatro triângulos sombreados são congruentes e cada um tem área 1

2bc, enquanto o quadrado Q tendo por lado b − c, tem ´area

(b − c)2_.

3. Assim podemos escrever área(BCDE) = área(Q)+4 área(ABC), ou seja,

a2= (b − c)2+ 41 2bc.

4. Desenvolvendo o segundo membro dessa ´ultima equa¸c˜ao obtemos

a2= b2+ c2.

2.5 Demonstra¸c˜

ao #5

Considerando o triângulo retângulo ABC de lados a, b e c (Fi-gura 2.8), constru´ımos a Fi(Fi-gura 2.9, onde BCDE é um quadrado de lado a.

(40)

a A b B c C Figura 2.8 a C b B A c H I E G F D Figura 2.9

1. Os quatro triˆangulos sombreados s˜ao congruentes entre si, resul-tando que

(41)

2.6. DEMONSTRAÇ ÃO #6 (EUCLIDES) 29 2. Comparando as áreas da Figura 2.9, temos

´area(ACF H) + ´area(GEIH) =

= área(BCF GEB) + 2 área(ABC) = área(BCDE).

Conclu´ımos dessa equa¸c˜ao que

b2+ c2 = a2.

2.6 Demonstra¸c˜

ao #6 (Euclides)

Pouco se sabe a respeito de Euclides de Alexandria. Até mesmo os locais e datas de nascimento e morte são incertos, acredita-se que Euclides nasceu por volta de 325 a.C. e faleceu, aproximadamente em 265 a.C., em Alexandria. A Euclides é atribu´ıda uma das maiores obras da matemática: os Elementos.

Figura 2.10: Euclides de Alexandria.

Elementos. O mais famoso trabalho de Euclides foi o tratado

(42)

momento e este trabalho foi a base do ensino matemático por mais de 2000 anos, e é na realidade uma compila¸cão e não uma obra original. Elementos são divididos em 13 livros. Os seis primeiros volumes tratam de geometria plana, os tomos de sete a nove contemplam a Teo-ria dos Números, o livro dez lida com os números irracionais (Theaetus e Eudoxus) e o restante se dedica à geometria espacial.

O ponto marcante do trabalho de Euclides é de ter organizado o conhecimento, enunciando claramente os teoremas e provando os resultados. O método de prova por redutio ad absurdum da escola aristotélica foi fundamentalmente difundido por Euclides.

Há tanta névoa acerca da figura de Euclides que três hipóteses são levantadas:

• Euclides existiu de fato; foi um personagem hist´orico que

escre-veu os Elementos

• Euclides foi o matem´atico principal de um time de matem´aticos

de Alexandria, que contribu´ıram para a execu¸cão dos Elementos. Esses matemáticos teriam continuado a usar o nome de Euclides mesmo após sua morte.

• Euclides n˜ao existiu e as obras hoje atribu´ıdas a Euclides s˜ao

fruto de um time de matemáticos que assumiram o nome Eu-clides do personagem histórico EuEu-clides de Megara, filósofo, que viveu 100 anos antes. (Algo parecido foi feito na Fran¸ca pelo grupo Boubarki [1940–1950].)

Sobre a vida de Euclides, Proclo, o ´ultimo grande fil´osofo grego, que viveu cerca de 450 d.C. citou:

“Não muito mais jovem que estes [alunos de Platão], é Euclides, que compilou os ‘Elementos’, pondo em ordem muitos teoremas. Euclides aperfei¸coou muitos teoremas

(43)

2.6. DEMONSTRAC¸ ˜AO #6 (EUCLIDES) 31

de Theaeteus e também trouxe demonstra¸cões irrefutáveis para coisas que foram apenas fracamente ‘provadas’ por seus predecessores. Este homem viveu na época do meiro Ptolomeu; Arquimedes, que seguiu de perto o pri-meiro Ptolomeu, faz men¸cão a Euclides, e ademais diz que Ptolomeu certa vez lhe perguntou [a Arquimedes] se existe um caminho mais curto para estudar Geometria que não seja pelos Elementos, a que Arquimedes respondeu que não há estrada real até a Geometria. Ele [Euclides] é então mais jovem que o c´ırculo de Platão e mais velho que Erastótenes e Arquimedes [. . . ].”

O nosso maior interesse porquanto est´a na Proposi¸c˜ao 47 do Livro Um de Elementos:

“Em um triângulo retângulo, o quadrado do lado oposto ao ângulo reto é igual a soma dos quadrados dos lados que formam o ângulo reto”.

Esta proposi¸cão até então sem nome espec´ıfico foi batizada de Teorema de Pitágoras por Proclo séculos após Pitágoras e séculos após Euclides.

Seja o triˆangulo retˆangulo ABC, de lados medindo a, b e c (Fi-gura 2.11). c B A b C a Figura 2.11

1. Construa a figura abaixo (Figura 2.12), onde BCKF é um qua-drado de lado a, ALM C é um quaqua-drado de lado b, ABGH é um

(44)

quadrado de lado c e AD é a altura do triângulo ABC, relativa-mente à hipotenusa BC.

2. Prolongando-se DA e GH, determinamos o ponto J; prolon-gando-se F B, determina-se o ponto I sobre o segmento HJ e prolongando-se AD, determina-se E sobre F K.

a F E K C b M G H J I B c L A D Figura 2.12 3. A ˆBC = H ÂJ = C ÂD (A ˆBC e H ÂJ são complementos do

(45)

2.7. DEMONSTRAC¸ ˜AO #7 (GARFIELD) 33

HAJ s˜ao congruentes. Desse fato resulta que DE = BC = AJ.

4. O retˆangulo BDEF e o paralelogramo ABIJ tˆem a mesma base

DE e a mesma altura BD, portanto têm a mesma área, isto é,

´area(BDEF ) = ´area(ABIJ). (2.4)

5. Também o quadrado ABGH e o paralelogramo ABIJ têm a mesma base AB e a mesma altura BG, logo têm a mesma área, isto é,

área(ABGH) = área(ABIJ). (2.5) 6. Das Equa¸cões 2.4 e 2.5, conclu´ımos que

´area(ABGH) = ´area(BDEF ).

7. Com um racioc´ınio análogo, podemos mostrar que área(DCKE) = área(ACM L)

8. Desses dois ´ultimos passos, podemos escrever

área(BCKF ) = área(DCKE) + área(BDEF ) = área(ABGH) + área(ACM L).

9. E, finalmente, resulta a validade do Teorema de Pit´agoras, isto ´e,

a2= b2+ c2.

2.7 Demonstra¸c˜

ao #7 (Garfield)

Republicano, James Abram Garfield assumiu a presidˆencia dos E.U.A. em quatro de mar¸co de 1881 e seu governo terminou subi-tamente em apenas 200 dias.

(46)

Em ida a uma reuni˜ao de classe no Col´egio Williams (Williams

College) em Massachusets, Garfield foi assassinado com dois tiros por

Charles J. Guiteau (1841–1882) na esta¸cão ferroviária de Washington, d.c. Um dos tiros apenas feriu o presidente, entretanto, o outro se alojou nas costas e a medicina da época não foi capaz de salvá-lo (não se dispunha de raios-x e anti-sépticos). Após 80 dias de agonia, o pre-sidente faleceu, sendo um dos quatro prepre-sidentes americanos assassi-nados durante o mandato1_{. Seu assassino, Guiteau, que era partidário}

da façcão republicana que foi derrotada na Conven¸cão Nacional Re-publicana, atirou em Garfield dizendo: “Agora Arthur é presidente!”. Chester Alan Arthur era o vice de Garfield. . .

Figura 2.13: J. A. Garfield, 20o _{presidente dos E.U.A.}

Entretanto, o presidente Garfield não entrou para a Matemática pela sua tragédia pessoal, mas sim pela sua prova do Teorema de Pitágoras elaborada em 1876.

Seja ABC um triˆangulo retˆangulo de lados a, b e c (Figura 2.14).

(47)

2.7. DEMONSTRAC¸ ˜AO #7 (GARFIELD) 35 c A B b C a Figura 2.14

1. Prolongue AC para obter o ponto D de forma que se tenha

CD = c.

2. Construa por D o segmento DE, que seja perpendicular a AD e tal que DE = b.

3. Unindo os pontos B e E, obtemos o trap´ezio ABED de bases

AB = c; ED = b e altura b + c (Figura 2.15). a a A _c c B E D b C b Figura 2.15

4. Nessa figura, observamos que área(ABED) = área(ABC) + área(BCE) + área(CDE), ou seja,

b + c 2 · (b + c) = 1 2bc + 1 2a 2₊ 1 2bc,

(48)

que efetuando os c´alculos, resulta no que queremos, isto ´e,

a2 = b2+ c2.

2.8 Demonstra¸c˜

ao #8 (Da Vinci)

Leonardo Da Vinci nasceu na Itália em 15 de abril de 1452. Durante um bom tempo ficou a servi¸co do Duque de Milão, exer-cendo a fun¸cão de pintor e engenheiro, sendo considerado um enge-nheiro mecânico e hidráulico. Nessa época, come¸cou a ter os primeiros contatos com Geometria, estudando os trabalhos de Leon Battista e Pi-ero della Francesca (Sobre a Pintura em Perspectiva), aprofundando-se com o estudo de Euclides e Paccioli.

Figura 2.16: Auto-retrato de Leonardo da Vinci

Com tantas contribui¸cões, Da Vinci ainda nos forneceu mais uma outra prova para o Teorema de Pitágoras. Vamos analisá-la!

Considere um triˆangulo retˆangulo ABC, de lados a, b e c.

1. Construa quadrados BCDE, ABF H e ACGI sobre os lados desse triˆangulo.

(49)

2.8. DEMONSTRAC¸ ˜AO #8 (DA VINCI) 37

C B

A

Figura 2.17

2. Construa também o triângulo EDJ, congruente ao triângulo

CBA e determine os segmentos HI, F G e AJ, como mostra

a Figura 2.18. I D M F E a b c L A C J B H G Figura 2.18

3. Os quadril´ateros ACDJ e CBF G s˜ao congruentes (CD = BC,

(50)

C ˆBF ). Também são congruentes os quadriláteros ABEJ e

F HIG. Resulta, portanto, que ´area(ACDJ) = ´area(CBF G)

e área(ABEJ) = área(F HIJ), e da´ı área(F HIGCB) = área(ACDJEB).

4. Como os triângulos HIA, EDJ e BCA são congruentes, temos área(CDM L) = área(ACG) + área(ABF ) (2.6) área(BLM E) = área(AF H) + área(AIG). (2.7)

5. Das Equa¸c˜oes 2.6 e 2.7, temos que

área(BCDE) = área(ACGI) + área(ABF H), ou seja,

a2 = b2+ c2.

2.9 Demonstra¸c˜

ao #9 (Papus)

Pouco se sabe sobre Papus de Alexandria e acredita-se que tenha nascido em 290 d.C. e morrido em 350. Mas o que é certo é a sua obra máxima Synagoge (A Cole¸cão Matemática ou, simplesmente, A

Cole¸c˜ao) (aprox. 340 d.C.). Nesse trabalho, Papus reuniu em oito

volumes uma coletânea diversificada de resultados. A esse trabalho enciclopédico, foram acrescido seus próprios comentários, explica¸cões e amplia¸cões.

Os oito tomos da Cole¸cão podem ser estudados independente-mente. O Livro Um trata sobre Aritmética e no segundo volume há uma série de resultados de Apolônio. O Livro Três é sobre a constru¸cão de médias aritméticas, geométricas e harmônicas. Papus mostra que qualquer poliedro regular pode ser inscrito em uma esfera. O quarto volume é sobre curvas com muitas contribui¸cões de Arquimedes (287–

(51)

2.9. DEMONSTRAÇ ÃO #9 (PAPUS) 39 212 a.C.). É nesse exemplar que está o célebre exemplo das abelhas:

“As abelhas, então, sabem desse fato que lhes é útil, que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo; e não conterá mais mel para um mesmo gasto de material para a constru¸cão de cada [hexágono]. Mas nós, tendo mais sabedoria que as abelhas, investigaremos um pro-blema um tanto maior, nominalmente, o de todas figuras planas equiláteras e equiangulares tendo igual per´ımetro,

que aquele que tiver maior número de ângulos é sempre

maior. . . ”

O exemplar cinco traz muitos resultados sobre sólidos e suas rela-¸cões entre volume e área. Os livro seis e sete são um apanhado de resultados de outros livros (Euclides, Erastóstenes, Apolônio, Ptolo-meu, etc). O último exemplar é sobre mecânica.

A prova do Teorema de Pitágoras mostrada aqui é uma genera-liza¸cão. Considere um triângulo qualquer ABC, de lados a, b e c, e construa sobre os lados desse triângulo os paralelogramos ABF G,

ACDE e BCIJ (Figura 2.19).

a N B G H b K L A J F c E D C I M Figura 2.19

(52)

1. Os paralelogramos ABF G e ACDE são arbitrários, enquanto o paralelogramo BCIJ é constru´ıdo da seguinte forma:

i. Prolonga-se DE e F G para determinar o ponto H. ii. Prolongando-se HA, marca-se sobre BC o ponto M . iii. Prolongando-se HM , determinamos o ponto N de modo que

M N = HA.

iv. O paralelogramo BCIJ ´e constru´ıdo tomando-se CI para-lelo a M N e sendo CI = M N .

2. Os trapézios BM HK e BAN J têm a mesma área, pois, M H =

AN , BK = BJ e têm a mesma altura. Também os trapézios CM HL e CAN I têm a mesma área (Justifique!).

3. Os paralelogramos AHKB, ABF G e BM N J têm a mesma área. Também têm a mesma área os paralelogramos CAED, CAHL e CM N I.

4. Dos passos 2 e 3, conclu´ımos que

área(BCIJ) = área(ACDE) + área(ABF G).

5. No caso particular em que o triângulo ABC é retângulo em A e os paralelogramos BCIJ, ABF G e ACDE sejam quadrados, temos área(BCIJ) = a2_{, área(ACDE) = b}2 _{e área(ABF G) = c}2_.

6. Conseq¨uentemente,

a2 = b2+ c2.

2.10 Demonstra¸c˜

ao #10

(53)

2.11. DEMONSTRAC¸ ˜AO #11 (EUCLIDES) 41 A b C a B c Figura 2.20

1. Considerando os lados desse triˆangulo como vetores, temos que

a = k−−→BCk, b = k−→ACk e c = k−−→BAk.

Al´em disso,

−−→

BC =−−→BA +−→AC e −−→BA ·−→AC = 0.

2. Temos tamb´em que

k−−→BCk2= k−−→BA +−→ACk2

= (−−→BA +−→AC) · (−−→BA +−→AC)

= k−−→BAk2+ k−→ACk2.

3. E portanto, concluimos que

a2= b2+ c2.

2.11 Demonstra¸c˜

ao #11 (Euclides)

(54)

C a B A

b c

Figura 2.21

1. Construa a Figura 2.22, onde BCED, ACIH e ABF G s˜ao qua-drados sobre os lados desse triˆangulo e AJ paralelo a BE.

H D _J E B A L C G F I Figura 2.22

2. Os triˆangulos ICB e ACD s˜ao congruentes (IC = CA, CD =

(55)

2.12. DEMONSTRAÇ ÃO #12 (P ÓLYA) 43 3. Observe que área(ICB) = 1₂área(ICAH) e área(ACD) =

1

2´area(CDJL), donde obtemos

´area(ICAH) = ´area(CDJL).

4. Analogamente, ´area(BF GA) = ´area(BLJE).

5. área(BCDE) = área(CDJL) + área(BLJE) = área(ICAH) + área(BF GA).

6. Como área(BCDE) = a2, área(ICHA) = b2 e área(BF GA) =

c2_{, temos}

a2= b2+ c2.

2.12 Demonstra¸c˜

ao #12 (P´

olya)

George Pólya (1887–1985) nasceu na Hungria e come¸cou seus es-tudos em Direito. Entretanto, logo achou as ciências enfadonhas, mu-dando seus estudos para literatura e filosofia. E para entender com mais amplitude os conceitos filosóficos, acabou mudando novamente de curso, recebendo seu doutorado em Matemática no ano de 1912.

(56)

Atuou na Europa por muito tempo, trabalhando em várias áreas da Matemática, como Teoria dos Números, Probabilidade e Astronomia. Por volta de 1914, Pólya é convocado para a Guerra, algo que ele não aceitaria, pois havia adotado a doutrina filosófico-pacifista de Russell. Temendo ser preso por anti-patriotismo, Pólya se muda para os Es-tados Unidos. Só retornaria à Hungria depois da II Guerra Mundial.

Na Am´erica, em 1945, ele publica o seu mais famoso livro: How

to Solve It2_{. Pólya nos ensina: “Se você não consegue resolver um}

problema, então há um mais fácil que você também não consegue resolver: encontre-o!” Nesse livro, Pólya trata sobre estratégia de resolu¸cão de problemas. Os quatro passos de Pólya para a solu¸cão de um problema são:

1. Entender o problema: Checar a possibilidade de solu¸c˜ao, poder explicar o problema.

2. Fazer um plano de ataque: Já viu o problema antes? Já viu uma versão modificada do problema? Conhece um problema similar? Existe um problema similar já resolvido? Esta solu¸cão se aplica ao problema atual? O problema pode ser parcialmente resolvido?

3. Implementar o plano de ataque: Checar a consistˆencia l´ogica dos passos envolvidos no ataque.

4. Rever o que foi feito: Tentar aplicar a estrat´egia usada em outros problemas, generalizar.

Entre tantos problemas resolvidos por P´olya, um nos interessa mais (por enquanto): a prova do Teorema de Pit´agoras.

(57)

2.12. DEMONSTRAÇ ÃO #12 (P ÓLYA) 45 Suponha que seja poss´ıvel construir, sobre os lados de um triângulo retângulo, figuras semelhantes F , F0 _{e F}00_{, de modo que}

área(F ) = área(F0) + área(F00), como ilustra a Figura 2.24.

b C F B a F00 c A _F0 Figura 2.24

Sendo F , F0 _{e F}00 _{figuras semelhantes temos}

área(F ) área(F0₎ = a2 b2, área(F ) área(F00₎ = a2 c2 e área(F0₎ área(F00₎ = b2 c2.

1. Suponha agora que G, G0, e G00 são quaisquer outras figuras semelhantes constru´ıdas, respectivamente, sobre a hipotenusa e os catetos b e c do mesmo triângulo retângulo. Da´ı,

área(G) área(F ) = área(G0₎ área(F0₎ = área(G00₎ área(F00₎ = λ.

(58)

O que acarreta área(G) = λ área(F ), área(G0) = λ área(F0), área(G00) = λ área(F00). E da´ı, área(G) = λ área(F ) = λ ³ área(F0) + área(F00) ´ = λ área(F0) + λ área(F00) = área(G0) + área(G00).

2. Esses fatos nos garantem que se existirem figuras semelhantes particulares F , F0 _{e F}00_{, constru´ıdas, respectivamente, sobre a}

hipotenusa a e os catetos b e c de um triângulo retângulo, que satisfa¸ca a condi¸cão:

área(F ) = área(F0) + área(F00).

Ent˜ao, quaisquer que sejam outras figuras semelhantes G, G0 _e

G00 — constru´ıdas, respectivamente, sobre a hipotenusa a e os catetos b e c do mesmo triângulo retângulo — guardam a mesma rela¸cão, isto é,

área(G) = área(G0) + área(G00).

3. No caso do triângulo retângulo ABC de altura AD (Figura 2.25), temos claramente as semelhan¸cas dos triângulos ABC, DBA e

DAC. Al´em disso,

(59)

2.12. DEMONSTRAÇ ÃO #12 (P ÓLYA) 47 D b c a B A C Figura 2.25

Neste caso, considere ABC = F , DAC = F0 _{e DBA = F}00 _como

sendo as figuras particulares.

4. Considere agora os quadrados Q, Q0 _{e Q}00_{, constru´ıdos,}

respecti-vamente, sobre a hipotenusa e os catetos b e c do triˆangulo ABC (Figura 2.26). B c A b a C Q Q0 Q00 Figura 2.26

(60)

semelhantes, conclu´ımos que

área(Q) = área(Q0) + área(Q00). Ou seja:

a2 = b2+ c2.

Observa¸cão. O resultado obtido no item 2 é aplicável a quaisquer figuras, em particular às ilustra¸cões da Figura 2.27.

c A F00 a B F0 C F b F c F00 A B a b F0 C (a) (b) A F00 B F0 b c a F C B F00 A c a F0 b F C (c) (d) Figura 2.27

(61)

2.13. DEMONSTRAC¸ ˜AO #13 49

2.13 Demonstra¸c˜

ao #13

Considere o triˆangulo retˆangulo ABC de lados a, b e c. Sem perda de generalidade, podemos supor b > c (Figura 2.28).

C b a B c A Figura 2.28

1. Fa¸ca as seguintes constru¸c˜oes (Figuras 2.29(a), 2.29(b) e 2.29(c)).

b c a ① ② ⑥ c b − c a b ③ ⑤ ④ (a) (b) b − c b − c ⑦ (c) Figura 2.29

2. Essas figuras podem ser reagrupadas nas Figuras 2.30(a) (qua-drado de lado b) e 2.30(b) (qua(qua-drado de lado c) ou na Figura 2.30(c) (quadrado de lado a).

(62)

① b − c c a b ② ⑦ ⑥ ③ c c ④ ⑤ a (a) (b) ② a b a c ① b ③ ⑦ ⑤ ⑥ (c) Figura 2.30

3. Assim, a área da Figura 2.30(c) é igual à soma das áreas das Figuras 2.30(a) e 2.30(b). Isto é,

(63)

2.14. DEMONSTRAC¸ ˜AO #14 51

2.14 Demonstra¸c˜

ao #14

Considere o triˆangulo retˆangulo ABC, de lados a, b e c (Figura 2.31).

A c C B b a Figura 2.31

1. Construa sobre os lados desse triangulo os quadrados BCDE,

ACIH e ABF G (Figura 2.32).

E G F B A H I C D Figura 2.32

2. Sobre a Figura 2.32, fa¸ca as seguintes constru¸c˜oes, para obter a Figura 2.33:

(64)

ii. Prolongue DC at´e encontrar HI em L.

iii. Construa LK perpendicular a CL (K em AH).

iv. Construa EM paralelo a AB e DO paralelo a AC (M em

BC e O em EM ).

v. Prolongue F B at´e encontrar EM em N . vi. Marque P em BE de modo que BP = BJ.

vii. Trace P Q perpendicular a EM e marque o ponto Q em EM .

I ⑧ ⑦ K ⑥ C ① D N ④ A J G F ⑨ ⑩ ⑤ ② E ③ Q O P B M H L Figura 2.33

3. Temos EBN ≡ ABC (BC = BE e A ˆBC = E ˆBN ), da´ı segue-se

que AB = BN e conseq¨uentemente BN M ≡ BAJ. 4. CIL ≡ CAB ≡ DOE (Verifique!).

(65)

2.15. DEMONSTRAÇ ÃO #15 (PERIGAL) 53 5. Decorre então que ODCM ≡ LCAK.

6. P QE ≡ KHL (EN = AH = HI; QN = F G = AB = LI), logo

HL = HI − LI = EN − QN = EQ

E além disso, os três ângulos de P QE são congruentes aos três ângulos de KHL.

7. BF GJ ≡ BN QP (BP = BJ; F G = AB = BN ; F ˆBJ = P ˆBN

e B ˆJG ≡ B ˆP Q).

8. Dessas considera¸c˜oes, conclu´ımos que

área(① + ② + ③ + ④ + ⑤) = área(⑥ + ⑦ + ⑧) + área(⑨ + ⑩), Ou seja:

área(BCDE) = área(ACIH) + área(ABF G). Donde se tem que

a2= b2+ c2.

2.15 Demonstra¸c˜

ao #15 (Perigal)

Henry Perigal, inglês, nasceu em 1 de abril de 1801 e faleceu em junho de 1898. O que se sabe hoje a seu respeito é devido a seu irmão, Frederick Perigal (dez anos mais jovem), que, na época da morte de Perigal, reuniu em um pequeno livro dados da vida de Henry e de outros.

(66)

Figura 2.34: Henry Perigal.

Aos seus quarenta anos, conseguiu um emprego como corretor na empresa de fundos de investimentos de um amigo onde permanceu até a aposentadoria com 87 anos. Segundo ele próprio, teria se aposentado para devotar mais tempo às causas cient´ıficas.

(a) In´ıcio do s´ec. XX (b) Atualmente (c) Detalhe

Figura 2.35: Túmulo de Perigal com a Disseçcão gravada na tumba. Membro (Fellow ) da Sociedade Astronômica Real, Perigal tinha pontos de vista não ortodoxos para muitas questões da astronomia,

(67)

2.15. DEMONSTRAÇ ÃO #15 (PERIGAL) 55 como o de achar que a Lua não exibe o movimento de rota¸cão em rela¸cão às estrelas, haja vista que sempre exibe a mesma face para um observador na Terra (!).

Apesar de assumir várias posi¸cões controversas, Perigal tinha um bom relacionamento com a sociedade cient´ıfica. Durante seu ani-versário de 95 anos, estavam presentes: W. H. M. Christie, astrônomo real; Lord Kelvin; Lord Rayleigh; George Garbriel Stokes e o vice-almirante J. P. Maclear, comandante da nau cient´ıfica Challenger. Ja-mes Glaisher, pioneiro em Análise Numérica, não esteve presente, mas enviou uma carta de desculpas. . .

Em 1830, anunciou uma prova simples e elegante do Teorema de Pitágoras. Esta demonstra¸cão ficou conhecida como Disseçcão de

Pe-rigal.

Seja o triângulo retângulo ABC de lados a , b e c com b > c (não há perda de generalidade nesta suposi¸cão). Obtenha a Figura 2.36 com o seguinte procedimento.

1. Construa sobre o lado a desse triˆangulo o quadrado BCDE.

2. Construa o retˆangulo BACF e marque G sobre BF de modo que BG = AB = c.

3. Prolongue EG para determinar H em AC.

4. O quadrilátero BGHA é um quadrado de lado c (os triângulos

(68)

D B G J E C A _H I F Figura 2.36

5. Trace DI paralelo a AC e prolongue CF para determinar J em

DI.

6. Os triângulos GBE, JDC, IED e F CB são todos congruentes ao triângulo ABC.

7. Considerando esses quatro triˆangulos e o quadrado F GIJ de lado b − c, temos

área(BCDE) = 4 · área(ABC) + área(F GIJ). Ou seja,

a2 = 4 ·1

2bc + (b − c)

2_.

8. Desenvolvendo (b − c)2 _{e fazendo os devidos c´alculos, obtemos}

(69)

2.16. DEMONSTRAC¸ ˜AO #16 (HERON) 57

2.16 Demonstra¸c˜

ao #16 (Heron)

Geômetra e mecânico, Heron (10?–75) viveu em Alexandria e tudo leva a crer que trabalhou (lecionando) no Museu de Alexandria. É dele a solu¸cão do problema dos raios luminosos que é enunciado da seguinte forma. Sejam dois pontos P e Q do mesmo lado de uma reta r, que ponto R em r faz a trajetória P R + RQ ser m´ınima (Figura 2.36)?

Este problema pode ser generalizado para o caso de mais de uma reta. Por exemplo, dadas as retas r e s e os pontos P e Q, como na Figura 2.37, que pontos R em r e S em s fazem a trajet´oria P R +

RS + SQ ser m´ınima? R Q r P Figura 2.36 S r Q P s R Figura 2.37

Heron escreveu vários livros e muitos deles chegaram até nós [19]: Metrica Sobre métodos de medi¸cão. Tratava fundamentalmente do cálculo de áreas e volumes de figuras planas e sólidos. É talvez o seu trabalho mais importante.

Geometria Uma vers˜ao de Metrica com muitos exemplos.

Stereometrica Sobre a medi¸cão de sólidos. Trata-se de uma versão ampliada de um cap´ıtulo de Metrica.

(70)

Mensurae Sobre medi¸c˜ao de forma geral.

Sobre a Dioptra Trabalho sobre o uso de teodolitos e sobre o cálculo de distâncias através da diferen¸ca da hora local em pontos dis-tintos no momento de um eclipse lunar.

Catoprica Trabalho sobre ´optica, especialmente espelhos. Heron acreditava que as imagens se formavam a partir de feixes de luz emitidos pelos olhos e que a luz tinha velocidade infinita.

Mechanica Dividido em tomos. O Livro I trata sobre constru¸cão de formas, examina também problemas de estática, movimento e teoria do equil´ıbrio. No segundo Livro, as máquinas elementares são estudadas: alavancas, roldanas, parafuso e cunha, bem como uma análise sobre o centro de gravidade de figuras planas. E o Livro III contempla o transporte de objetos através do uso de trenós e guindastes. É um trabalho fortemente arquimediano.

Pneumatica Consiste de dois volumes sobre fluidos e pressões. Nesse trabalho, há descri¸cões de mais de 100 máquinas, como um órgão musical à água, máquinas operadas a moedas (!) e um motor a vapor: o aeolipile (“bola de vento” em grego).

O aeolipile foi o primeiro engenho concebido pelo homem que transforma energia térmica em energia mecânica. Entretanto, os gregos só utilizaram essa fantástica inven¸cão para diversão e curiosidade. Uma máquina similar concebida para o trabalho só seria inventada em 1698 pelo inglês Thomas Savery, posterior-mente melhorada por James Watt (1739–1819). Esta inven¸cão seria pe¸ca chave para a revolu¸cão industrial.

(71)

2.16. DEMONSTRAC¸ ˜AO #16 (HERON) 59

Figura 2.38: A Bola de Vento: aeolipile.

Belopoeica Sobre a arte de construir engenhos de guerra. Cheirobalistra Sobre catapultas.

Usando os conhecimentos obtido através do Livro I de Metrica, uma prova do Teorema de Pitágoras pode ser encontrada. Considere o triângulo retângulo ABC de lados a, b e c como mostra a Figura 2.39.

b c a C B A Figura 2.39

Pela f´ormula de Heron, proposi¸c˜ao oito no Livro I do tratado

Me-trica, a área desse triângulo é dada por

(72)

1. Efetuando os produtos dentro do radical, com p = 1 2· (a + b + c), obtemos ´area(ABC) = 1 4 · p 2a2_b2_{+ 2a}2_c2_{+ 2b}2_c2_{− a}4_{− b}4_{− c}4_.

2. Por outro lado

´area(ABC) = 1

2· bc.

3. Comparando essas duas equa¸c˜oes, temos 1 4 · p 2a2_b2_{+ 2a}2_c2_{+ 2b}2_c2_{− a}4_{− b}4_{− c}4₌ 1 2 · bc. Ou seja, 2a2b2+ 2a2c2+ 2b2c2− a4− b4− c4 = 4b2c2.

4. Rearrumando essa última expressão e efetuando as devidas sim-plifica¸cões, temos

(b2+ c2− a2)2 = 0 ∴

(73)

Cap´ıtulo 3

Se. . . Ent˜

ao. . .

Os desdobramentos do Teorema são fabulosos. Neste cap´ıtulo, fa-remos alguns comentários sobre a influência do Teorema de Pitágoras em alguns ramos da Matemática.

3.1 Norma Euclidiana

O uso do Teorema define a norma euclidiana: Sejam dois pontos (x₀, y₀) e (x₁, y₁) pertencentes a R2_{(espa¸co de dimens˜ao 2), a distˆancia}

(ou norma) euclidiana ´e dada por

d =p(x₁− x₀)2_{+ (y} 1− y0)2. d x0 x1 y0 y1

Figura 3.1: Distˆancia entre dois pontos. 61

(74)

O conceito de norma pode ser estendido para espa¸cos n-dimensio-nais.

3.2 Lei dos Cossenos

Uma generaliza¸cão do Teorema de Pitágoras é verificada na Lei dos Cossenos. c C a B A b

Figura 3.2: Lei dos Cossenos.

Em um triˆangulo qualquer ABC de lados a, b e c, temos que

a2 = b2+ c2− 2bc cos(B ˆAC),

onde B ˆAC representa o ˆangulo determinado pelos lados b e c. No caso

em que B ˆAC = 90◦_{, temos o Teorema de Pit´agoras.}

3.3 Irracionalidade da Constante Pitag´

orica

`

A época de Pitágoras, os números conhecidos eram os inteiros e as razões entre eles, i.e., os racionais. Entretanto, uma conseqüência imediata do Teorema de Pitágoras é o fato de que um quadrado de lado unitário tem diagonal cujo quadrado vale dois. O comprimento dessa diagonal é conhecido como constante pitagórica.

Reza a lenda que Hippasus, um dos membros da Sociedade Pi-tagórica, provou por métodos geométricos a irracionalidade de √2 durante uma viagem mar´ıtma. Ao comunicar a prova aos seus compa-nheiros, tivera um fim trágico: os pitagóricos mais fanáticos teriam-no jogado ao mar para morrer. . .

(75)

3.3. IRRACIONALIDADE DA CONSTANTE PITAG ÓRICA 63 Romantismo à parte, mostraremos aqui uma das provas mais co-nhecida para a irracionalidade de √2. Esta prova usa a técnica de

reductio ad absurdum, t˜ao usada por Euclides. Partiremos de uma

hipótese e chegaremos a um absurdo, fazendo-nos, assim, concluir que a nega¸cão da premissa original é verdadeira.

√

2

1

Figura 3.3: O quadrado que desafiou Pitágoras. Lema 1 A constante pitagórica é irracional.

Prova:

1. Suponha que √2 ´e um n´umero racional.

2. Como ´e um numero racional, pode ser escrito da forma p/q, onde

p e q são inteiros primos entre si. Ou seja,√2 = p/q é uma fra¸cão

irredut´ıvel.

3. Tomando o quadrado, temos que p2 _{= 2q}2_{. Isto ´e, p}2 _{´e par. Se}

p2 _{é par, implica que p também é par (Verifique!)}

4. Como p ´e par, p2 _{= 4k. Ou seja, p}2 _{´e divis´ıvel por quatro.}

5. J´a que p2 = 2q2, temos que 4 tamb´em divide 2q2.

6. Simplificando, temos que 2 divide q2_{. Isto nos diz que q}2 _{´e par.}

7. Usando o mesmo argumento anterior, temos que se q2 é par, q também é par.