Um estudo exploratorio dos componentes da habilidade matematica requeridos na solução de problemas aritmeticos por estudantes do ensino medio

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FACULDADE DE EDUCAÇÃO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

UM ESTUDO EXPLORATÓRIO DOS COMPONENTES DA HABILIDADE MATEMÁTICA REQUERIDOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

ARITMÉTICOS POR ESTUDANTES DO ENSINO MÉDIO

Érica Valeria Alves

Orientadora: Profa _Dra_{Márcia Regina} Ferreira de Brito COMISSÃO JULGADORA: ____________________________ ____________________________ ____________________________ ____________________________ 1999

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FACULDADE DE EDUCAÇÃO/UNICAMP

Alves, Érica Valeria.

AL87e Um estudo exploratório dos componentes da habilidade matemática requeridos na solução de problemas aritméticos por estudantes do ensino médio. -- Campinas, SP : [s.n.], 1999. Orientador : Márcia Regina Ferreira de Brito

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação.

1. Matemática. 2. Aritmética. 3. Educação

matemática. 4. Ensino de segundo grau. 5. *Solução de problemas. I. Brito, Márcia Regina Ferreira de. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Educação. III. Título.

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Érica Valeria Alves e aprovada pela Comissão Julgadora.

Data .../.../...

Assinatura: ... Orientadora

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Aos meus pais, Vitor e Lurdes, principais responsáveis pela minha exist ncia.

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AGRADECIMENTOS

À orientadora e grande amiga, Profa _Dra _{Márcia Regina Ferreira de} Brito, pelos grandes ensinamentos e incentivo no desenvolvimento deste e inúmeros outros trabalhos de pesquisa realizados.

Aos meus familiares, pais e irmãs, que acreditaram e investiram em minha capacidade.

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Aos amigos do grupo de pesquisa em Psicologia da Educação Matemática, PSIEM/UNICAMP, pelas valorosas contribuições para que este estudo fosse realizado, em especial aos amigos Valéria, Viviane, Maria Helena, Nelson, Míriam, Marcos e Claudete.

À Profa Ms. Irene Maurício Cazorla, pela orientação nos cálculos estatísticos deste trabalho.

A todos os professores que tive, que com dedicação e desprendimento, contribuíram, desde a pré-escola até o mestrado, para que eu pudesse, cada vez mais aprender e, crescer como ser humano.

Aos alunos que já tive, nesta ainda curta carreira profissional, com os quais muito aprendi e que despertaram questionamentos que culminaram neste trabalho de pesquisa.

Às escolas Ateneu Campinense, FAEC-Antares/Americana, Colégio Bandeirantes/Mogi das Cruzes, Objetivo/Barão Geraldo, E.E. Dr. Heitor Penteado/Americana e E.E. Profa _{Maria José de Mattos Gobbo, pela} receptividade para que este estudo fosse realizado.

Ao CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, pelo apoio financeiro.

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SUMÁRIO

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO À ÁREA GERAL DO PROBLEMA ...1 CAPÍTULO II REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...7 A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ...7 HABILIDADES MATEMÁTICAS...16 CAPÍTULO III SOLUÇÃO DE PROBLEMAS ...23

A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS SEGUNDO A ABORDAGEM DO PROCESSAMENTO DE

INFORMAÇÕES ...26

AS HABILIDADES MATEMÁTICAS ...28

(10)

INSTRUMENTOS ...37

PROCEDIMENTOS ...41

DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS ...50

ANÁLISE DOS DADOS ...50

CAPÍTULO V RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS ...52

ESTUDO PRELIMINAR ...52

ANÁLISE DESCRITIVA DOS DADOS DOS SUJEITOS ...57

ASPECTOS GERAIS ...57

RESULTADOS OBTIDOS NO QUESTIONÁRIO DE AUTO-PERCEPÇÃO DAS HABILIDADES E DO DESEMPENHO EM MATEMÁTICA... ...58

RESULTADOS OBTIDOS NA PROVA MATEMÁTICA ...61

ANÁLISE DOS DADOS OBTIDOS ATRAVÉS DA PROVA MATEMÁTICA ...64

ANÁLISE DOS DADOS OBTIDOS ATRAVÉS DO QUESTIONÁRIO DE AUTO-PERCEPÇÃO DO DESEMPENHO E DAS HABILIDADES EM RELAÇÃO À MATEMÁTICA ... ...73

DISTRIBUIÇÃO DOS SUJEITOS DE ACORDO COM O DESEMPENHO NA PROVA MATEMÁTICA ...80

SEGUNDA ETAPA DO ESTUDO ...81

CARACTERIZAÇÃO DOS SUJEITOS ...81

RESULTADOS OBTIDOS NA ESCALA DE ATITUDES EM RELAÇÃO À MATEMÁTICA...83

RESULTADOS OBTIDOS NO TESTE PARA AVALIAR A HABILIDADE PARA PERCEBER RELAÇÕES E FATOS CONCRETOS NO PROBLEMA ...85

COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS PELOS SUJEITOS NO TESTE PARA AVALIAR A HABILIDADE PARA PERCEBER RELAÇÕES E FATOS CONCRETOS NO PROBLEMA ... ...110

RESULTADOS OBTIDOS NO TESTE PARA AVALIAR A HABILIDADE PARA FORMAR GENERALIZAÇÕES, ENCURTANDO O RACIOCÍNIO ... ...111

COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS PELOS SUJEITOS NO TESTE PARA AVALIAR A HABILIDADE PARA FORMAR GENERALIZAÇÕES, ENCURTANDO O RACIOCÍNIO...129

RESULTADOS OBTIDOS NO TESTE PARA AVALIAR A MEMÓRIA MATEMÁTICA ...131

COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS PELOS SUJEITOS NO TESTE PARA AVALIAR MEMÓRIA MATEMÁTICA...141

RESULTADOS OBTIDOS NA PROVA DE RACIOCÍNIO VERBAL DO TESTE DE APTIDÕES ESPECÍFICAS ...142

ANÁLISE DAS RESPOSTAS DOS SUJEITOS AO QUESTIONÁRIO DE AUTO-PERCEPÇÃO DAS HABILIDADES E DO DESEMPENHO EM MATEMÁTICA ... ...143 CAPÍTULO VI

(11)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

...151

ANEXOS

ANEXO 01: QUESTIONÁRIO DE AUTO-PERCEPÇÃO DAS HABILIDADES E DO

DESEMPENHO EM MATEMÁTICA ...159 ANEXO 02: PROVA MATEMÁTICA PARA AVALIAR O DESEMPENHO NA SOLUÇÃO DE

PROBLEMAS ...162 ANEXO 03: TESTES PARA AVALIAR A HABILIDADE PARA PERCEBER RELAÇÕES E

FATOS CONCRETOS NO PROBLEMA ...164 ANEXO 04: TESTES PARA AVALIAR A HABILIDADE PARA FORMAR

GENERALIZAÇÕES, ENCURTANDO O RACIOCÍNIO ...171 ANEXO 05: TESTES PARA AVALIAR A MEMÓRIA MATEMÁTICA ...186

ANEXO 06: ESCALA DE ATITUDES COM RELAÇÃO À MATEMÁTICA ...189

ÍNDICE DE TABELAS:

Tabela 01: Critérios utilizados na correção da prova matemática ...42 Tabela 02: Níveis das características observadas na execução das

atividades propostas na série I.A ...44

Tabela 03: Níveis das características observadas na execução das

atividades propostas na série II.A ...45

atividades propostas na série III.A ...46

atividades propostas na série VI ...47

atividades propostas na série VIII.A ...48

Tabela 07: Níveis das características observadas na execução da atividades propostas na série XXII.A ...49

Tabela 08: Distribuição dos sujeitos do estudo preliminar de acordo com a

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idade ...57

Tabela 11: Distribuição da freqüência dos sujeitos de acordo com a

resposta à questão “Eu aprendo Matemática:” ...58

resposta à questão “Eu compreendo as explicações do professor:” ...59

resposta à questão “Diante de problemas matemáticos novos para mim:”...60

resposta à questão “Ao solucionar problemas matemáticos:” ...60

resposta à questão “Durante as aulas de matemática:” ...61

pontuação obtida no problema 1 da prova matemática ...61

Tabela 21: Diagrama de ramo e folhas das notas na prova matemática de

acordo com a escola ...65

Tabela 22: Análise de variância das médias dos sujeitos agrupados por

escola ...65

gênero ...66

fases ...68

Tabela 25: Distribuição das médias de tempo gasto na solução dos

problemas da prova matemática, de acordo com a escola ...69

Tabela 26: Análise de variância das médias (de tempo gasto na solução

dos problemas matemáticos) dos sujeitos agrupados por escola ...69

Tabela 27: Distribuição, em porcentagens, de sujeitos de acordo com a

pontuação obtida nos problemas da prova matemática ...72

Tabela 28: Análise de variância das médias dos sujeitos no questionário de

auto-percepção de acordo com o gênero ...75

Tabela 29: Diagrama de ramo e folhas das notas obtidas pelos sujeitos no

questionário de auto-percepção de acordo com a escola ...75

Tabela 30: Análise de variância das médias dos sujeitos no questionário de

(13)

Tabela 32: Média das notas obtidas na prova matemática de acordo com a

resposta dada à questão 03 do questionário de auto-percepção ...79

Tabela 33: Distribuição das freqüências dos sujeitos, de acordo com o

desempenho na prova matemática ...80

Tabela 34: Caracterização dos sujeitos da segunda etapa do estudo de

acordo com a escola e a nota obtida na prova matemática ...81

Tabela 35: Distribuição das notas obtidas pelos sujeitos da segunda etapa

do estudo na escala de atitudes em relação à Matemática ...83

Tabela 36: Distribuição dos sujeitos da segunda etapa do estudo de acordo

com a auto-percepção do desempenho em Matemática ...84

Tabela 37: Resultados obtidos pelo sujeito B1 na Série I.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...85

Tabela 38: Resultados obtidos pelo sujeito B1 na Série II.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...86

Tabela 39: Resultados obtidos pelo sujeito B1 na Série III.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...87

Tabela 46: Resultados obtidos pelo sujeito M2 na Série I.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...95

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Tabela 48: Resultados obtidos pelo sujeito M2 na Série III.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...96

Tabela 49: Resultados obtidos pelo sujeito M3 na Série I.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...98

Tabela 50: Resultados obtidos pelo sujeito M3 na Série II.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...99

Tabela 51: Resultados obtidos pelo sujeito M3 na Série III.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...100

Tabela 52: Resultados obtidos pelo sujeito F1 na Série I.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...101

Tabela 53: Resultados obtidos pelo sujeito F1 na Série II.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...102

Tabela 54: Resultados obtidos pelo sujeito F1 na Série III.A do teste para avaliar a habilidade para perceber as relações e fatos concretos no problema ...103

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Tabela 62: Resultados obtidos pelo sujeito B1 na Série VI do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...111

Tabela 63: Resultados obtidos pelo sujeito B3 na Série VI do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...112

Tabela 64: Resultados obtidos pelo sujeito B3 na Série VIII.A do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...114

Tabela 65: Resultados obtidos pelo sujeito M2 na Série VI do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...115

Tabela 66: Resultados obtidos pelo sujeito M2 na Série VIII.A do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...117

Tabela 67: Resultados obtidos pelo sujeito M3 na Série VI do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...118

Tabela 68: Resultados obtidos pelo sujeito M3 na Série VIII.A do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...120

Tabela 69: Resultados obtidos pelo sujeito F1 na Série VI do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...121

Tabela 70: Resultados obtidos pelo sujeito F1 na Série VIII.A do teste para avaliar a habilidade para formar generalizações, encurtando o raciocínio ...122

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Tabela 76: Resultados obtidos pelo sujeito B3 na Série XXII do teste para avaliar a memória matemática ...132

Tabela 77: Resultados obtidos pelo sujeito M2 na Série XXII do teste para avaliar a memória matemática ...134

Tabela 78: Resultados obtidos pelo sujeito M3 na Série XXII do teste para avaliar a memória matemática ...135

Tabela 79: Resultados obtidos pelo sujeito F1 na Série XXII do teste para avaliar a memória matemática ...137

Tabela 82: Distribuição das notas obtidas pelos sujeitos no teste para

avaliar a memória matemática ...141

Tabela 83: Distribuição dos pontos obtidos pelos sujeitos na prova de

raciocínio verbal do DAT ...142

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 01: Estrutura do estado de prontidão para uma atividade ...02 Figura 02: Modelo da relação entre o raciocínio verbal e o raciocínio

matemático durante a solução de problemas com enunciados verbais ...20

Figura 03: Boxplot do desempenho dos sujeitos do estudo preliminar na

prova matemática de acordo com a escola ...53

Figura 04: Porcentagem de acertos por questão em ordem decrescente de

dificuldade no estudo preliminar ...55

Figura 05: Histograma das notas dos sujeitos na prova matemática ...64 Figura 06: Box-plot das notas obtidas na prova matemática de acordo com o

gênero ...67

Figura 07: Box-plot das notas obtidas na prova matemática, de acordo com

as fases de idade dos sujeitos ...68

Figura 08: Porcentagem de acertos por questão, em ordem decrescente de

dificuldade ...70

Figura 09: Histograma da nota obtida pelos sujeitos no Questionário de

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acordo com as fases de idade dos sujeitos ...77

Figura 12: Scatterplot do tempo gasto pelos sujeitos selecionados para a

segunda fase do estudo com a nota obtida na prova matemática ...82

RESUMO

O presente estudo teve o objetivo de verificar a influência do desenvolvimento de alguns componentes da habilidade matemática e de outros fatores sobre o desempenho de estudantes concluintes do ensino médio na solução de problemas aritméticos.

Esta pesquisa foi dividida em duas etapas, sendo que a primeira etapa investigou a auto-percepção e o desempenho na solução de problemas aritméticos de 53 estudantes concluintes do ensino médio de uma escola pública estadual e uma escola particular das cidades de Campinas e Americana, ambas localizadas no Estado de São Paulo. Na segunda etapa foram analisados os componentes da habilidade matemática: habilidade para perceber relações e fatos concretos no problema, habilidade para formar generalizações, “encurtando” o raciocínio e memória matemática, além do raciocínio verbal e das atitudes em relação à Matemática de nove sujeitos selecionados a partir dos resultados obtidos na primeira etapa do estudo.

Através da análise dos resultados obtidos foi verificado que os sujeitos apresentaram maior dificuldade no primeiro estágio da solução de problemas, em que ocorre a obtenção da informação matemática a partir do enunciado verbal. Na segunda etapa do estudo foi verificado que o

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influenciado pelo raciocínio verbal e outros fatores não estudados.

Palavras-chave: Solução de Problemas, Habilidades Matemáticas, Diferenças Individuais.

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ABSTRACT

The present study had the aim to verify the influence of development of mathematical abilities components and other factors over the high school students performance on arithmetical word problem solving.

This research was divided into two stages. The first stage investigated the self-concept and the performance of 53 students on the last year of high scholl, from a public and a private school situated in São Paulo state. In the second stage the following components of mathematical abilities were analysed: ability to perceive relations and concrete facts in the problem, ability to forming generalization (curtailment of reasoning process) and mathematical memory, beyond the verbal reasoning and the attitudes toward Mathematics, from nine subjects selected from the results on the first stage.

Through the analysis of the results it was verificated that the subjects of this work showed more difficulty on the first stage on problem solving process, which was the obtention of the mathematical information from a word problem. In the second stage of this study it was verificated that the subjects performance on arithimetical problem solving wasn’t determinated by the mathematical abilities' components have been studied and the attitudes toward Mathematics, but could be influenced by verbal reasoning and other factors wasn’t analysed.

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INTRODUÇÃO À ÁREA GERAL DO PROBLEMA

“Caminhar e falar são habilidades relativamente

assombrosas, mas a humanidade realmente começa a

se distanciar muito do resto do reino animal quando o

pensamento é adicionado.” (Eysenck & Keane,

1994, p. 323)

O que diferencia a espécie humana das demais espécies do reino animal é a capacidade de pensar, raciocinar, formular hipóteses, representar mentalmente situações, operar sobre uma situação inicial visando uma situação desejada, enfim, solucionar problemas. Esses problemas podem ser originados em situações práticas cotidianas ou propostos através de um enunciado verbal, contendo informações sobre uma situação definida, em que deseja-se obter um estado final, sendo que o caminho, ou operações necessárias para isso não são imediatamente disponíveis: os problemas escolares ou acadêmicos.

No entanto, não há um consenso sobre o que a solução de problemas acadêmicos representa. Segundo Gagné (1974) a solução de problemas é o tipo mais elevado de aprendizagem, em que um sujeito, a partir da combinação de princípios já aprendidos, elabora novos princípios, com a finalidade de solucionar situações estimuladoras, “adquirindo assim maior

reserva de habilidades”. Para outros autores (Krutetskii, 1976 ; Klausmeier,

1977; Henderson & Pingry, 1953; Chi & Glaser, 1992) a solução de problemas é um processo cognitivo no qual o sujeito recorre aos conceitos e princípios previamente aprendidos para elaborar uma estratégia adequada com a finalidade de encontrar a resposta ou solução desejada, aperfeiçoando esquemas já existentes em sua estrutura cognitiva. De acordo com os

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Parâmetros Curriculares Nacionais (Secretaria de Educação Fundamental, 1997/1998), a solução de problemas deve ser um recurso que possibilite aos estudantes “mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para

gerenciar as informações que estão ao seu alcance.” Dessa forma solucionar

um problema na aula de Matemática deve ter o papel de “ponto de partida”, dando significado ao conhecimento matemático. Ao solucionar um problema, o indivíduo elabora um ou vários procedimentos de solução, compara os resultados obtidos a outros possíveis e valida os procedimentos utilizados, representando mentalmente situações, formulando hipóteses, operando sobre determinadas situações e transformando-as.

Segundo Krutetskii (1976), um indivíduo está em estado de prontidão (“readiness”), ou seja, tem facilidade para executar uma determinada atividade, em particular, a solução de um problema matemático, quando possui alguns fatores favoráveis a esta atividade. Esses fatores são divididos em dois grandes grupos: primeiro, a habilidade para realizar a atividade com êxito, e segundo algumas condições psicológicas necessárias para a realização da atividade com sucesso. Essas condições seriam uma atitude positiva em relação à atividade (interesses, inclinações), alguns traços da personalidade, o estado mental do sujeito e os conhecimentos, hábitos e destrezas prévios do sujeito:

Habilidades Atitudes positivas em relaç ã o à atividade Traç os de personalidade Estado mental Conhecimentos, destrezas e há bitos Condiç õ es gerais psicoló gicas necessá rias

para obtenç ã o de sucesso na atividade Prontidã o ("readiness ") para uma atividade

Figura 01: Estrutura do estado de prontidão para uma atividade (Krutetskii, 1976, p. 74) Habilidades, segundo Krutetskii(1976), são características psicológicas do indivíduo relacionadas a atividades mentais, que propiciam o sucesso

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escolar dos sujeitos em uma determinada disciplina (neste caso particular, na Matemática), ou ainda um domínio criativo, rápido e fácil do assunto.

Ao definir o que é essencial no ensino de Matemática para o próximo século, o NCSM (National Council of Supervisors of Mathematics) afirma que não é suficiente que os estudantes tenham domínio dos conceitos e princípios matemáticos componentes dos programas: mediante as constantes mudanças sociais eles precisam ser capazes de raciocinar com clareza e comunicar-se efetivamente, além de serem capazes de reconhecer e aplicar conhecimentos matemáticos ao abordar situações-problema inéditas da vida cotidiana (NCSM , 1989). Em outras palavras, o ensino de Matemática deve propiciar aos estudantes o desenvolvimento das habilidades matemáticas.

Krutetskii (1976) considerou que o desenvolvimento dessa classe de habilidades não se dá por meio de exercícios típicos repetitivos; esta estratégia somente é válida para estudantes com habilidades matemáticas medianas ou fracas. Neste sentido, a Psicologia Soviética tem aprofundado seus estudos a respeito das questões relativas à dinâmica dos processos mentais e dos princípios dos processos de aprendizagem.

Tal desenvolvimento pode ser verificado nas diferenças existentes nos livros-texto de Matemática utilizados pelas escolas elementares soviéticas: seus livros são elaborados visando uma reflexão cuidadosa das atividades de aprendizagem, apresentando maior variedade de tipos de problemas, com seqüências variadas de tipos de problemas e abordando operações aritméticas com vários dígitos e cálculos mentais (Kilpatrick, 1992).

A educação básica1, por sua vez, deve preparar os estudantes para o ingresso no ensino superior. No Brasil, o acesso à universidade ocorre através dos chamados Exames Vestibulares, cuja disputa por vagas torna-se

1_{A educação básica no Brasil corresponde ao ensino fundamental e ensino médio, com}

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mais acirrada em Universidades Públicas, sejam elas Federais ou Estaduais. A Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) é uma instituição que se destaca neste aspecto, devido às inovações em seus exames, definindo um perfil de estudantes almejados pela instituição: “ i) que sejam capazes de

exprimir-se com clareza; ii) que sejam capazes de organizar suas idéias; iii) que sejam capazes de estabelecer relações; iv) que demonstrem capacidade para interpretar dados e fatos; v) que sejam capazes de elaborar hipóteses; vi) que dominem o conteúdo das disciplinas do ensino médio” (Balzan, 1998).

Dessa forma, a prova de Matemática do exame Vestibular da universidade “é

organizada de maneira a não exigir muita memorização e cálculos formais. Procura-se antes enfatizar as questões que avaliem no candidato sua capacidade de pensar e de recorrer a vários elementos do raciocínio, revelando ao mesmo tempo visão crítica e pensamento independente”

(Coordenadoria Executiva dos Vestibulares da UNICAMP, 1998).

No entanto, o ensino de Matemática nas escolas é baseado em aulas expositivas sobre os conceitos, seguidas de aulas de exercícios e solução de “problemas-tipo”, todos com mesma estrutura, abordando os mesmos conceitos, modificando apenas algumas quantidades. Esse tipo de estratégia no ensino dessa disciplina pode propiciar aos estudantes a aquisição de alguns hábitos, destrezas e conhecimentos relacionados aos conceitos e princípios abordados, mas pode estar dificultando o desenvolvimento das habilidades matemáticas, um dos principais fatores que influenciam a obtenção de sucesso na solução de problemas.

Este estudo foi elaborado com o objetivo de verificar a influência do desenvolvimento de alguns componentes da habilidade matemática e de outros fatores (Krutetskii, 1976) sobre o desempenho de estudantes concluintes do ensino médio em uma prova contendo problemas matemáticos adaptados dos exames Vestibulares da UNICAMP. Assim, o problema de estudo é o seguinte:

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Quais componentes da habilidade matemática são requeridos para que estudantes concluintes do ensino médio obtenham sucesso na solução de problemas aritméticos?

No segundo capítulo encontra-se uma breve revisão de pesquisas desenvolvidas nas áreas de solução de problemas e habilidades matemáticas. A partir dessa revisão foi possível identificar o que já se estudou sobre o assunto, facilitando a fundamentação teórica do trabalho.

O terceiro capítulo apresenta algumas definições de “problema”. Traz ainda uma esquematização dos estágios básicos do pensamento durante a solução de problemas, descrevendo o processo à luz da Teoria do Processamento de Informações. A seguir descreve a Teoria Geral da Estrutura das Habilidades Matemáticas de Krutetskii, relacionando-a aos estágio de pensamento na solução de problemas. O capítulo encerra-se com a proposição do problema pesquisado e as hipóteses que foram verificadas.

No quarto capítulo estão descritos os procedimentos utilizados para realizar a pesquisa e responder as perguntas propostas pelo problema. Descreve as duas fases distintas pelas quais passou o estudo: a primeira fase, analisando o desempenho e a auto-percepção de um grupo maior de sujeitos, e a segunda fase com um grupo reduzido de sujeitos, onde foram analisados alguns componentes da habilidade matemática, as atitudes e o raciocínio verbal, mostrando os procedimentos e os instrumentos.

No quinto capítulo estão apresentados os resultados obtidos no estudo preliminar, e a análise dos dados obtidos na primeira e na segunda fase deste trabalho.

O sexto capítulo apresenta as considerações finais e conclusões elaboradas a partir do resultado da análise dos dados obtidos nas duas fases do estudo.

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CAPÍTULO II

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A revisão da literatura científica relevante para este estudo foi direcionada a dois temas principais: a solução de problemas e as habilidades

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matemáticas. Os trabalhos aqui referenciados foram desenvolvidos ou publicados nos últimos anos e foram considerados relevantes para este estudo em razão do problema de pesquisa, da fundamentação teórica utilizada ou dos métodos de pesquisa empregados.

A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Durante a solução de problemas matemáticos os estágios do pensamento e as formas mais eficazes de levar os estudantes a obter sucesso na execução de todos os passos necessários para a solução tem sido objetivo de muitos pesquisadores. Com o objetivo de verificar se a estrutura semântica do enunciado verbal de problemas matemáticos influenciava o desempenho dos sujeitos na atividade, De Corte, Verschaffel e Win (1985), sustentaram a hipótese que rescrever o problema de tal forma que as relações semânticas se tornassem mais explicitas, facilitaria ao sujeito a construção de uma representação mental apropriada da situação. Os autores admitiam que a estrutura semântica dos problemas verbais exercia forte influência sobre a dificuldade relativa de alguns problemas e as estratégias empregadas para a solução por estudantes de primeira e segunda séries. Assim, os autores sugeriram que, tanto a estrutura semântica como outras características da atividade, tinham um efeito importante sobre os processos de solução de problemas. Esses fatores eram a seqüência dos termos conhecidos no enunciado verbal do problema e o grau em que as relações semânticas entre as quantidades dadas e as desconhecidas eram explicitados no texto. Como fundamentação teórica para o estudo usaram seu próprio modelo dos estágios da solução de problemas matemáticos, no qual o processo semântico foi considerado o componente crucial para os sujeitos habilidosos em solução de problemas:

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“1) Ocorre uma atividade de processamento de texto complexa e com objetivo determinado: iniciando pelo texto verbal, a criança constrói uma representação mental, abstrata e global do problema em termos de conjuntos e relações entre conjuntos; 2) baseado nessas representações, o solucionador do problema escolhe uma operação aritmética formal apropriada ou uma estratégia de contagem informal para encontrar o elemento desconhecido na representação do problema; 3) a ação ou operação selecionada é executada; 4) o solucionador do problema reativa a representação inicial do problema, substitui o elemento desconhecido pelo resultado da ação desenvolvida, e formula a resposta; 5) a verificação das ações é executada para confirmar a exatidão da solução encontrada no estágio precedente.”(De Corte, Verschaffel e Win, 1985, pp. 462)

A hipótese utilizada foi que, especialmente para crianças menos habilidosas e inexperientes, rescrever os problemas verbais de forma que as relações semânticas fossem melhor explicitadas, sem que se afetasse a estrutura semântica e matemática do problema, facilitaria a própria construção da representação do problema e, em conseqüência, o encontro de uma solução correta. Foram sujeitos dessa pesquisa 173 estudantes de primeira e segunda séries do ensino fundamental, aos quais foram aplicadas duas séries de problemas com graus de dificuldade distintos. Na primeira série os problemas eram apresentados na forma usual como são apresentados nos livros didáticos. Na segunda série, os mesmos problemas foram reformulados de forma que as relações entre os conjuntos ficassem mais claramente estabelecidas para as crianças. Na primeira série de problemas os sujeitos obtiveram desempenho inferior à segunda série, em que os problemas de livros didáticos foram reescritos, apresentando mais claramente as relações entre os termos contidos no enunciado verbal. Como conclusão, salientaram que os autores de livros didáticos dão muito mais ênfase aos aspectos puramente aritméticos dos problemas que à escrita e compreensão dos mesmos. Com isso as crianças freqüentemente fracassam na solução de problemas. Fracassam não porque lhes falta habilidade

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matemática, mas porque não são bem sucedidos na construção apropriada da representação do problema.

Na solução de problemas matemáticos, após a compreensão do enunciado verbal o sujeito elabora uma representação da situação analisada. Um dos fatores responsáveis pela representação correta de um problema é a leitura correta de seu enunciado verbal. Diante da falta de estudos a respeito das falhas na leitura de problemas em aritmética e da necessidade dos professores da área desenvolverem técnicas especializadas para a leitura de textos matemáticos, Terry (1992) investigou os métodos usados por pessoas adultas na aquisição gradual de poder de leitura de numerais. Foram sujeitos da pesquisa todos os estudantes de pós-graduação em educação da Universidade de Chicago, sendo que todos apresentavam experiências com números similares a outros adultos com mesmo nível de escolarização. Foram realizados quatro estudos sendo que cada um contou com quatro a dez sujeitos. Foi solicitado aos sujeitos que utilizassem seus procedimentos habituais de solução de problemas. A partir disso, o autor propôs uma divisão da leitura do problema aritmético, com critérios de tempo despendido e atenção aos elementos do problema, em duas fases distintas: a primeira leitura e a releitura. A primeira fase foi caracterizada como uma leitura com atenção média aos numerais, tendo como objetivo “pegar o sentido” do problema. Na segunda fase o sujeito tinha a atenção voltada para os numerais do texto, sendo levado a percebê-los de maneira precisa e completa. A primeira leitura foi diferenciada em dois tipos: uma primeira leitura geral, em que havia uma percepção detalhada do numeral e uma primeira leitura parcial, na qual o numeral foi apenas reconhecido como tal, sem atentar aos seus detalhes. Nesta experiência existiu pelo menos, uma leitura parcial do numeral por todos os sujeitos e em quase todos os casos, a quantidade de dígitos foi anotada. Alguns detalhes do numeral aparentemente tiveram o mesmo valor que as condições gerais do problema, ocorrendo a obtenção simultânea das duas informações

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contemporaneamente. Uma das conclusões a que o autor chegou foi a de que numerais demandam mais atenção que palavras na leitura do texto do problema:

“A explicação para esse contraste provavelmente consiste na diferença entre numerais e palavras do ponto de vista da construção. As letras nas palavras aparecem e desaparecem nas mesmas combinações regulares, tornando-se familiares nos primeiros anos de escolarização e lidas de forma geral. Os dígitos nos numerais, contudo, aparecem em combinações constantemente mutáveis. Cada dígito individual é significativo nele mesmo e todos os dígitos devem ser percebidos antes do numeral ser lido. É óbvio, então, que a mente está mais ocupada com processos de análise e combinação de dígitos componentes quando os numerais são lidos que com o processo similar quando as palavras são lidas.” (Terry, 1992)

Além disso, a releitura iniciava-se imediatamente após concluída a primeira leitura, sendo direcionada invariavelmente aos numerais e despendendo um tempo sensivelmente menor que o necessário à primeira leitura. A releitura pode ser subdividida em dois tipos distintos: uma releitura cuidadosa com objetivo de assegurar as informações adicionais a respeito do numeral antes da decisão de como proceder na solução do problema, e a releitura para uma cuidadosa inspeção dos numerais como passo preliminar para copiá-los. Em ambos os casos, imediatamente após a releitura, o sujeito copiava o numeral.

Ainda relacionado à compreensão do enunciado verbal, visando uma representação completa do problema a ser solucionado, Lewis (1989) afirmou que a principal questão na educação matemática é a necessidade de haver uma instrução mais explícita para que os estudantes adquiram destreza para compreender a estrutura semântica de um problema aritmético. Através da análise das atividades cognitivas, a autora chegou à conclusão que o processo de solução de problemas divide-se em duas partes principais: representação e solução do problema. A representação, envolve dois subestágios: a tradução do problema (em que a linguagem de

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cada uma das frases do enunciado verbal é substituída pela representação matemática do problema), e a integração do problema (na qual o sujeito relaciona o problema a um tipo de problema já conhecido e coerente). A solução pode ser caracterizada pelo planejamento da solução (que envolve a seleção dos procedimentos) e a execução da solução (que envolve os cálculos necessários para se chegar a uma resposta numérica). De acordo com a estrutura semântica dos problemas aritméticos, estes podem ser classificados em três tipos distintos: problemas de transformação, de combinação e de comparação. Nesse estudo, a autora optou por trabalhar com problemas aritméticos de comparação, e essa escolha ocorreu devido à dificuldade que os estudantes têm para representar tais problemas. Os estudantes foram treinados para solucionar problemas que consistiam basicamente em rearranjar os processos mentais do indivíduo, levando-o à compreensão dos problemas de comparação, através do método de diagramação. Esse método usa uma notação externa e facilita a conferência da correção da representação. Inicialmente, o indivíduo foi treinado a identificar os tipos de dados, as relações existentes entre eles e as incógnitas. Depois, em uma linha numérica, o sujeito situava o dado numérico conhecido. A seguir tentava situar a variável desconhecida de um dos dois lados do dado numérico: à esquerda se a variável procurada fosse menor que o dado inicial e à direita em caso contrário. Em seguida, o sujeito conferia o diagrama com o texto do problema, verificando se a representação estava de acordo com os dados. Caso não estivesse o sujeito deveria mudar a posição da variável para o lado oposto. Assim que o diagrama era concluído corretamente, o sujeito convertia a representação espacial em operação aritmética: se a variável desconhecida estivesse do lado direito do dado inicial a operação usada deveria incrementar o valor inicial (adição ou multiplicação); caso contrário, a operação deveria reduzir o valor inicial (subtração ou divisão). Através desse procedimento, os indivíduos formaram uma representação gráfica externa para a comparação entre as quantidades

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do problema e puderam conferir a representação com o texto do problema de forma direta .

O estudo partiu dos seguintes elementos: 1) a linguagem inconsistente em um problema aritmético de comparação (o texto do problema indica um tipo de operação, mas a operação aritmética para se chegar à resposta correta é a inversa) torna a sua representação mais difícil; 2) os grupos de sujeitos têm desempenhos equivalentes de acordo com a instrução; 3) se os estudantes, como uma pesquisa prévia havia indicado (Lewis e Mayer, 1987), têm dificuldades na representação do problema, então um treinamento efetivamente direcionado à compreensão da estrutura semântica dos problemas pode aperfeiçoar o desempenho dos estudantes nas atividades de solução de problemas; 4) aprender a identificar as propriedades estruturais mais importantes de uma situação-problema auxilia o estudante a aplicar novas habilidades a situações que tenham estruturas similares às encontradas durante o treino; 5) os efeitos desse treino para a representação de problemas aritméticos de comparação podem aperfeiçoar a compreensão da estrutura de problemas de comparação, não a compreensão do problema em si ou as habilidades de cálculo para sua solução; 6) estudantes que são instruídos a identificar os dados do problema mas não são treinados a integrar as informações do problema não conseguem aperfeiçoar a compreensão dos problemas de comparação.

Os sujeitos do pré-teste foram 299 estudantes da disciplina introdução à Psicologia. Deste total, noventa e seis apresentaram erros relativos a inversão operações aritméticas. Esses 96 sujeitos que apresentaram erro de inversão foram divididos em três grupos de trinta e dois sujeitos cada um, sendo que o primeiro recebeu treinamento em translação e em integração de informação em problemas de comparação; o segundo recebeu apenas treinamento em translação e o grupo de controle não recebeu qualquer tipo de treinamento. A autora concluiu que o treinamento para a representação remediava processos errôneos de compreensão e levava ao sucesso nas

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atividades de solução de problemas. Demonstrou ainda que os sujeitos podiam aprender e usar as representações a fim de despender menos tempo e esforço na solução.

Após a compreensão do enunciado verbal e representação do problema, o sujeito que soluciona um problema forma o “espaço de solução

do problema”, ou seja, o conjunto de todas as operações possíveis sobre o

estado inicial do problema, com a finalidade de encontrar o estado final desejado. E as operações que o sujeito realiza sobre as informações obtidas no enunciado do problema depende das estratégias utilizadas pelo sujeito na solução. Com a finalidade de examinar como os sujeitos usam as soluções de problemas mais simples (“subproblemas”) para explorar problemas originais mais complexos, Nunokawa (1997), utilizando a técnica “thinking-aloud”, analisou gravações (audio e vídeo) e registros escritos das soluções de um problema matemático por dois sujeitos (estudantes de pós-graduação em educação matemática). O autor partiu do pressuposto que os sujeitos podiam usar a solução de problemas mais simples para chegar à solução do problema original, apesar de reconhecer a dificuldade dos estudantes quando utilizavam a estratégia. Após a análise do material, concluiu que as soluções de problemas mais simples podiam sugerir algumas “dicas” para que o sujeito preste mais atenção ao explorar o problema original, enfatizando a importância de alguns elementos na situação. Além disso, ao solucionar problemas mais simples, o sujeito atenta para as informações relevantes da situação original. Porém, apesar da solução de “subproblemas” desempenhar um papel crucial, a solução de “subproblemas” impróprios (que não exatamente fazem parte do problema original) não necessariamente promove o fracasso da tarefa, mas ao contrário, pode ser válida por promover atividades de solução.

Também analisando estratégias que pudessem favorecer o sucesso de estudantes nas atividades de solução de problemas, Muth (1992), desenvolveu um estudo dessas estratégias empregadas por estudantes de

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oitava série. A autora considerou que os resultados da Avaliação Nacional do Progresso Educacional realizada nos Estados Unidos (National

Assessment of Educational Progress: NAEP) revelavam que os estudantes

de nível médio apresentavam um desempenho fraco nas atividades de solução de problemas que continham informações desnecessárias ou que requeriam passagens suplementares para a solução. Com a finalidade de verificar detalhadamente os tipos de erros cometidos pelos estudantes durante essas atividades, construiu um teste com quatorze problemas experimentais, adaptando os problemas utilizados na avaliação nacional (NAEP). Destes problemas, quatro apresentavam informações desnecessárias ou requeriam passagens suplementares. Em uma primeira fase, 140 sujeitos foram solicitados a registrar a fórmula necessária para a solução de cada um dos 14 problemas. A seguir foi pedido que solucionassem os mesmos. Nessa fase foi verificado que os problemas apresentados com excesso de informações ou requerendo passagens extras afetavam o desempenho dos sujeitos na solução do problema, interferindo em sua habilidade de identificar a questão do problema e a forma adequada de solução. Em uma segunda fase, que visava explorar as concepções errôneas e os erros associados a esses tipos de problemas, selecionou oito estudantes (que não haviam participado da primeira fase do estudo), e esses foram submetidos individualmente ao mesmo teste. Porém, esses sujeitos foram solicitados a solucionar os problemas em voz alta. A análise dos protocolos mostrou que alguns estudantes usam estratégias imprecisas deixando de lado estratégias mais úteis.

Além de pesquisas com problemas matemáticos, foram encontrados trabalhos sobre a influência das experiências dos sujeitos na solução de problemas. Com o objetivo de investigar as diferenças no uso de estratégias de solução de problemas entre sujeitos novatos e experts, em determinadas áreas científicas, Tudor (1992) transcreveu e analisou os protocolos verbais e examinou as características pessoais de 86 sujeitos (estudantes

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universitários, pós-graduados, profissionais da área científica ou da educação na área relacionada). A presença de diferenças significativas entre

experts e novatos mostrou que as estratégias para resolver um problema do

meio são habilidades de domínio específico da área profissional. Essas habilidades usadas para solucionar um problema em um domínio multidisciplinar, não eram adquiridas por habilidades de generalização de domínios relacionados. Foi verificado que os experts tiveram desempenho significativamente melhor que os novatos no uso de estratégias para solução de problemas, salvo para a estratégia de decomposição em “subproblemas”. Após a análise dos dados o autor concluiu que a habilidade para analisar e solucionar um problema sócio-científico oriundo do meio de trabalho é uma habilidade específica. Entretanto a habilidade requer um desenvolvimento especial com foco em um domínio multidisciplinar.

Isso significa que as experiências prévias dos sujeitos exercem influência no desempenho nas atividades de solução de problemas, ou seja, um dos fatores que influenciam o grau de dificuldade de um problema é a familiaridade do sujeito com a situação. Problemas que abordam situações cotidianas do sujeito tendem a perecer mais fáceis de serem solucionados, pois além dos conhecimentos, destrezas e hábitos que a tarefa requer para sua execução, o sujeito já desenvolveu habilidades de domínio específico.

HABILIDADES MATEMÁTICAS

Um dos fatores básicos que influenciam o sucesso de um sujeito em uma determinada atividade são suas habilidades, uma das principais fontes das diferenças individuais. Buscando evidenciar quais seriam as diferenças individuais perceptíveis durante as atividades mentais de estudantes das séries iniciais de escolarização, Dubrovina (1992) analisou alguns dados que

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considerou fundamentais no estudo da habilidade. A autora analisou o interesse dos estudantes, analisando os trabalhos feitos em classe e as avaliações; o perfil de cada aluno segundo o professor, e as discussões individuais a respeito das atitudes de cada aluno em relação às diversas disciplinas. A partir dessa análise, a autora propôs a identificação de diferentes grupos de estudantes, de acordo com o desenvolvimento de suas habilidades matemáticas. Os grupos foram divididos da seguinte forma:

“1. Os matematicamente habilidosos ... eram as crianças que aprendiam matemática sem esforço, entendiam a explicação do professor na primeira vez, resolviam os exemplos e problemas mais rapidamente que os demais, freqüentemente apresentavam soluções originais a problemas inéditos, efetuavam cálculos mentais independentes, preferiam matemática às demais disciplinas, cansavam-se o mínimo durante as aulas de matemática, etc.

2. Os estudantes médios ... foram bem sucedidos na aritmética mas despendiam mais esforço e mais tempo que os estudantes melhor dotados. Eles geralmente não aprendiam uma nova matéria imediatamente, mas apenas após numerosos exercícios. As maiores dificuldades desses estudantes consistia na transferência para a solução de problemas de um novo tipo. Mas após ter dominado os métodos de solução, eles não fizeram um mau trabalho manuseando tarefas semelhantes.

3. Os estudantes menos habilidosos ... entendiam a explicação do professor apenas com grande dificuldade e experimentavam sérias dificuldades na solução de problemas e exemplos. O professor precisou propor lições suplementares e explicar muitas vezes a matéria abordada em aula, trabalhando um único problema várias vezes. Na aula eles quase não tomavam parte nos cálculos orais, visto que não conseguiam acompanhar as outras crianças. Além disso, mostravam uma maior tendência ao cansaço durante as aulas de matemática.”2_{(Dubrovina, 1992)}

O SAT (Scholastic Aptitude Test: teste de aptidão escolar), é o teste que permite aos estudantes norte-americanos a admissão nas melhores universidades (para os de desempenho excelente) ou o impedimento de acesso às mesmas (para os estudantes de baixo desempenho).

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Byrnes & Takahira (1994), concentraram seus estudos justamente sobre o subteste de Matemática do SAT, preocupados com as seguintes questões: “que tipos de habilidades estão presentes quando alguém com grande aptidão matemática ou grande inteligência matemática está realizando uma tarefa?”, ou ainda, “ quais habilidades são necessárias para o sucesso no conjunto de itens do subteste de Matemática?” . A partir dessas questões, os autores propuseram um modelo do conjunto de elementos essenciais para o sucesso nos itens de Matemática do SAT: a) definir corretamente o problema; b) tornar disponível o conhecimento prévio; c) armar uma estratégia efetiva; d) realizar a computação (ou, efetuar as operações matemáticas) sem erros; e) evitar ser seduzido por alternativas enganosas; e f) efetuar as operações “(a)” a “(e)” tão rápido quanto se possa solucionar cada problema em um minuto ou menos.

Um dos objetivos deste estudo foi verificar como as habilidades “(a)” a “(e)” relacionam-se entre si. Para isso, foram selecionados 40 sujeitos (20 do gênero masculino e 20 do gênero feminino) de classe média de uma escola religiosa de ensino médio. Todos os sujeitos tinham freqüentado as disciplinas de álgebra e geometria cujo conteúdo aparecia nos tópicos do teste. Todos os sujeitos foram testados individualmente em cinco itens do teste de 1987, tendo sido pedido, inicialmente, que cumprissem a tarefa de solucionar os cinco problemas em cinco minutos, ou seja, um minuto para cada problema. Depois de esgotado o tempo, para cada item do teste eram feitas as seguintes questões ao sujeito: “(a) O que está sendo pedido no problema? O que eles querem que você faça? (b) Como você tentaria solucionar esse problema?”. A primeira pergunta era feita para determinar como o sujeito definia o problema (componente “(a)” ) e a segunda era feita para mostrar a estratégia usada pelo sujeito (componente “(b)” ).

Os resultados mostraram que para um estudante ter um bom desempenho nos itens de Matemática do SAT, era necessário que ele

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definisse corretamente um problema, acessasse as informações prévias, armasse uma estratégia efetiva, realizasse a computação dos dados sem erros, desprezasse as alternativas enganosas e efetuasse todo o processo rapidamente. Além disso, os autores concluíram que o processo cognitivo usado fornecia uma excelente descrição da competência necessária para os itens de Matemática do SAT. As operações de “(a)” a “(e)” eram independentes uma da outra, na maioria dos casos e as estratégias utilizadas pelos sujeitos reunidas são um constituinte particularmente importante da habilidade matemática. Assim, Byrnes & Takahira (1994) concluíram que os programas de ensino que meramente revêm conceitos e procedimentos de aritmética, álgebra e geometria não terão sucesso porque os estudantes também precisam praticar solução de problemas visando o desenvolvimento de estratégias.

Como o primeiro passo para a solução correta de um problema é a compreensão correta de seu enunciado verbal, Brito, Fini e Neumann Garcia (1994), com o objetivo de verificar as relações existentes entre a solução de problemas e o desempenho verbal, solicitaram a sessenta estudantes do primeiro e segundo ano de um curso noturno de licenciatura em Matemática que resolvessem uma prova com 12 problemas (de natureza algébrica, aritmética e geométrica), cujas questões não estavam formuladas. Inicialmente os sujeitos deveriam elaborar uma pergunta correspondente a cada enunciado de problema e, então, solucioná-lo. Após essa prova, os sujeitos foram submetidos ao teste de raciocínio verbal do DAT- Differential

Aptitude Tests (destinado a avaliar a habilidade de abstrair e generalizar

conceitos expressos em palavras). Através da análise de correlações e dos componentes principais, os autores concluíram que as habilidades envolvidas nas atividades de solução de problemas (flexibilidade de pensamento matemático, habilidade de abreviar passos e a memória específica para elementos matemáticos, etc.) são as mais relevantes dentre os componentes da habilidade matemática. Além disso, foi fundamental para

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a solução: a compreensão da natureza do problema, embora essa compreensão não tenha sido fundamental para o desempenho na solução, que é o passo seguinte à compreensão do enunciado verbal do problema.

Através dos dados obtidos os autores concluíram que o raciocínio verbal não é um elemento de primeira importância dentro da estrutura das habilidades matemáticas, mas apresenta alta relação com o fator matemático geral. A habilidade verbal foi fundamental para a compreensão do enunciado. A partir dos resultados obtidos, os autores apresentaram um modelo da relação entre o raciocínio verbal e o raciocínio matemático durante a solução de problemas com enunciados verbais (Brito, Fini, Neumann Garcia, 1994):

INFORMAÇÃO EXTERNA

CODIFICAÇÃO (Outras formas de VERBAL codificação não verbal)

COMPREENSÃO DA NATUREZA (Diferentes formas de MATEMÁTICA DO PROBLEMA representação interna)

PROCESSO DE SOLUÇÃO DE PROBLEMA

RESPOSTA

Figura 02: Modelo da relação entre o raciocínio verbal e o raciocínio matemático durante a solução de problemas com enunciados verbais (Brito, Fini, Neumann Garcia, 1994)

A habilidade matemática, um dos principais fatores que influencia o raciocínio matemático, e consequentemente o desempenho dos sujeitos na solução de problemas, segundo Krutetskii (1976), apresentou uma estrutura

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flexível, com diversos componentes, que combinados de diferentes formas, determinam diferentes tipos de habilidade. Um dos componentes da habilidade matemática, é a habilidade para resumir os processos matemáticos e os sistemas correspondentes de operações, ou seja, a habilidade para pensar através de estruturas resumidas ou abreviadas. Esta habilidade, segundo o autor é caracterizada pela substituição de uma seqüência de passos lógicos por uma única expressão equivalente. Quanto mais habilidoso for um sujeito, maior o número de seqüências lógicas omitidas e o meio de avaliar este componente da habilidade matemática é qualitativo: através da análise lógica de protocolos verbais da solução de problemas em voz alta.

Neumann Garcia (1996), realizou um estudo com o objetivo de verificar se a habilidade para pensar em estruturas abreviadas referia-se ao mesmo processo de automatização do pensamento durante o processamento de informações3. Os sujeitos foram sessenta e nove estudantes universitários de graduação, que foram submetidos a uma prova de raciocínio verbal, três testes para avaliar a automatização do processamento de informação e quatro testes para avaliar a habilidade para pensar em estruturas abreviadas. Os dados foram submetidos à análise fatorial e os resultados não mostraram relação entre o raciocínio verbal e a automatização, tampouco entre a automatização e os raciocínios verbal e matemático. O autor concluiu que os constructos são distintos, sendo a habilidade para resumir o pensamento, um fenômeno relacionado ao raciocínio matemático.

Além dessa capacidade de resumir o pensamento, a reversibilidade de pensamento é outro importante componente da estrutura das habilidades matemáticas, sendo considerado um ponto básico no processamento da

3_{Aspecto central da inteligência na teoria do processamento de informação, a}

automatização do pensamento é um processo não controlado que não utiliza os recursos da memória, realizando-se de forma automática, permitindo ao sujeito uma seqüência rápida e fluida das atividades durante a solução de problemas.

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informação matemática. Consiste, segundo Krutetskii (1976) em inverter uma associação corretamente sem transgredir a lógica, ou seja, o que é produto ou resultado de um problema passam a ser enunciados. No entanto, a reversibilidade não se trata de uma mera mudança de direção, pois nem sempre a reversão de um problema conta com os mesmos passos em ordem inversa.

Spalletta (1997), com o objetivo de analisar as relações entre o desempenho de estudantes universitários em Cálculo Diferencial e Integral e a reversibilidade de pensamento, realizou um estudo no qual foram sujeitos 91 estudantes de um curso de Engenharia Elétrica. Os sujeitos responderam a um questionário, cujo objetivo era identificar hábitos de estudo e também a um teste contendo 24 pares de problemas matemáticos, nas ordens direta e reversa, aleatorizados. Os resultados do teste foram comparados ao desempenho dos sujeitos na disciplina em questão. Foi verificado que os sujeitos com bom desempenho em Cálculo Diferencial e Integral tiveram também desempenho satisfatório no teste de reversibilidade de pensamento, evidenciando a relação entre o desempenho na disciplina e nos problemas constituintes do teste.

Os trabalhos apresentados neste capítulo mostraram que alguns componentes da habilidade matemática estão diretamente relacionados ao raciocínio matemático, influenciando o desempenho dos estudantes, em diferentes níveis de escolarização, nas atividades de solução de problema. Entretanto, alguns estudos mostraram que a habilidade matemática não é o único fator do desempenho. Estudos mostraram que as destrezas e experiências do sujeito com situações semelhantes aos problemas a que são submetidos podem influenciar seu desempenho.

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CAPÍTULO III

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Problema, segundo Mayer (1992b), em qualquer definição, consiste de uma situação, verbal ou não, apresentada em um estado determinado, em que se deseja estar em outro estado e não há um caminho direto e óbvio de um estado ao outro.

Díaz e Poblete (1995) definem problema como uma tarefa que requer solução sob condições específicas, em que o sujeito compreende a tarefa mas não dispõe de estratégia imediata para a solução e é então, motivado a procurar a solução. Segundo esses autores, uma característica dessa tarefa é que ela requer, do sujeito, a capacidade de transformar os elementos do enunciado verbal em expressões matemáticas.

Conceituando problema, Henderson e Pingry (1953) diferenciam dois tipos de conceito: o primeiro e mais comum aquele segundo o qual um problema é uma questão proposta que pede uma resposta ou solução; o segundo conceito, apesar de admitir a necessidade de uma questão a ser solucionada, requer ainda que esta situação seja inédita para o sujeito, ou seja, sua solução não esteja imediatamente disponível, enfatizando que “o

que pode ser um problema para um indivíduo pode não ser um problema para um outro; ou ainda, um problema hoje para um indivíduo em particular, pode não ser um problema para ele amanhã”. E para que um sujeito aprenda

a resolver problemas existe um único modo: resolvendo-o e estudando o procedimento.

O processo de solução de problemas, segundo Klausmeier (1977), é uma seqüência de operações. O autor mostra algumas seqüências distintas

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de operações. Embora o número de operações varie em cada seqüência, devido aos diferentes métodos usados nas pesquisas, a ordem das operações que um sujeito executa ao solucionar um problema é semelhante. Em primeiro lugar o sujeito percebe a dificuldade da situação; a seguir entra em contato com o problema a fim de defini-lo; levanta então todos os dados do problema e passa a selecionar dentre as estratégias já conhecidas a mais adequada à situação. Feito isto, aplica a estratégia à situação e verifica se a resposta encontrada é a correta.

Com o objetivo de aperfeiçoar o desempenho dos estudantes em atividades de solução de problemas, Polya (1986) elaborou uma lista de indagações e sugestões4 a fim de basear a seqüência correta de operações. Em “Como Resolver um Problema”, esse autor dividiu o processo de solução em quatro fases distintas, a saber: primeiro, a compreensão do problema a partir de questões acerca dos fatos que são conhecidos, dos que são desconhecidos e sob que condições apresentam-se; a segunda fase caracteriza-se pela necessidade de se estabelecer um plano para a solução, buscando na memória o que existe de soluções de problemas correlatos; na terceira fase o plano é executado, sendo que cada passo da execução deve ser passível de verificação; e finalmente, a solução obtida deve ser examinada, procurando se utilizar do resultado ou método na solução de outros problemas.

Porém, nem todos os sujeitos obtém o mesmo desempenho na solução de um problema. Com o objetivo de evidenciar “o que bons

solucionadores de problemas possuem que os outros não têm”, Mayer

(1992a) descreveu o que é a “capacidade matemática”, diferenciando inicialmente, duas abordagens básicas: uma psicométrica e outra do processamento de informação. Na abordagem psicométrica, a capacidade matemática seria equivalente à capacidade para um bom desempenho nos

4_{À essa lista de indagações e sugestões para direcionar a solução de um problema deu o nome de}

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testes matemáticos e na abordagem do processamento de informação a capacidade matemática seria o conjunto de todas as operações cognitivas, habilidades e conhecimento matemático. Segundo o autor a abordagem do processamento de informação supera algumas deficiências da abordagem psicométrica.

Segundo Sternberg (1992) “a psicologia do processamento de

informação busca estudar a mente em geral, e a inteligência, em particular, em termos das representações mentais e processos subjacentes ao comportamento observável.” Isto se dá através de modelos explícitos

(programas de computador, gráficos, esquematização de fluxo do processamento cognitivo, etc.) sobre como determinadas atividades mentais são executadas.

Quando a capacidade matemática é enfocada a partir do processamento de informação, a solução de problemas matemáticos é dividida em duas partes: primeiro a representação do problema e, a seguir a solução em si, onde as operações são efetuadas visando a obtenção de uma resposta. A partir da análise da tarefa, Mayer (1992a) apresentou quais conhecimentos foram considerados relevantes nessas duas fases da solução de problemas:

• o conhecimento lingüístico (conhecimento sobre a língua ou idioma); • o conhecimento factual ( conhecimento sobre o mundo);

• o conhecimento do esquema (conhecimento de tipos de problemas); • o conhecimento de estratégias (conhecimento de como desenvolver um plano de solução);

• o conhecimento algorítmico (conhecimento dos procedimentos necessários para realizar corretamente as operações matemáticas).

Com isso, a habilidade matemática para solucionar um problema pode ser analisada através desse conjunto de conhecimentos que tornam-se disponíveis quando o sujeito realiza uma tarefa.

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A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS SEGUNDO A ABORDAGEM DO PROCESSAMENTO DE INFORMAÇÕES

Apesar de haver concordância que um problema é uma situação inicial quase sempre desconhecida, da qual se deseja partir e, através de uma série de operações sobre a mesma, chegar a um estado final definido, existe uma distinção entre problemas escolares ou acadêmicos (de Matemática, Física, Química, Geometria, etc.) e problemas do cotidiano. Geralmente, os últimos mostram-se mais difíceis que os primeiros, devido à quantidade de conhecimentos necessários à sua solução. Dessa forma, a natureza do problema, e o tipo de conhecimento prévio apresentado pelo sujeito que executa a tarefa são dois fatores relevantes no estudo dos processos de solução de problemas.

Ao deparar-se com uma situação-problema, o sujeito busca interpretar a situação. Essa compreensão do problema pelo sujeito que o soluciona, chamada de representação do problema, é determinante do grau de dificuldade do problema a ser solucionado. Além disso, um problema é um conjunto composto por um estado inicial definido, um estado final desejado e uma série de operações possíveis sobre o estado inicial, visando o estado final. Este conjunto de operações possíveis, denominado espaço de solução

do problema, diferencia solucionadores mais habilidosos dos menos

habilidosos: os primeiros, a partir de uma representação mais concisa são capazes de escolher a melhor estratégia de solução, sem ao menos considerar as demais possíveis, reduzindo assim o espaço de solução do problema; enquanto os últimos, ao omitir restrições necessárias ou acrescentar restrições desnecessárias à representação do problema tornam-na menos clara, assim como o espaço do problema (Mayer, 1992).