Juros compostos
Cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como “juros sobre juros”.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a., teremos: Capital = 100 Juros simples Juros compostos
Nº de anos Montante simples Montante composto 1 100 + 0,1 * 100 = 110 100 + 0,1 * 100 = 110,00 2 110 + 0,1 * 100 = 120 110 + 0,1 * 110 = 121,00 3 120 + 0,1 * 100 = 130 121 + 0,1 * 121 = 133,10 4 130 + 0,1 * 100 = 140 133,1 + 0,1 * 133,1 = 146,41 5 140 + 0,1 * 100 = 150 146,41 + 0,1 * 146,41 = 161,05
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, portanto tem um crescimento muito mais “rápido”.
Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.
FÓRMULA PARA CALCULAR JUROS COMPOSTOS
Considere o capital inicial (principal C) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
...
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente:
De uma forma genérica, teremos para um principal C, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período t:
onde:
M = montante final C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Exemplo: se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, devemos considerar 2% ao mês durante .
FÓRMULA PARA CALCULAR JUROS
O valor dos juros é apurado pela diferença entre montante e capital, logo temos a expressão:
FATOR DE CAPITALIZAÇÃO (FCC)
Expressa o fator de cálculo do montante (valor futuro) no regime de juros compostos. É a derivação da fórmula já apresentada:
FATOR DE ATUALIZAÇÃO (FCA)
Expressa o fator de cálculo do valor presente no regime de juros compostos. É a derivação da fórmula já mostrada:
A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo se processa mediante a aplicação desses fatores:
EXEMPLOS
1. Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicado a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante 1 ano?
2. Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43.
LOGARITMOS
Sabemos que 5 elevado à potência 2, resulta 25, agora mudamos o contexto: - Qual o número (expoente) que devemos elevar o 5 para obtermos 25? Você deve estar pensando:
-Mas isso eu resolvo com exponenciais!!!
Sim, porque essa é bem fácil, as difíceis não saem tão simples assim. O logaritmo serve para isso!
Onde “ ” é o expoente que devemos elevar a base 5 para obtermos 25.
Como sabemos que devemos elevar o 5 ao quadrado (ou seja, à potência 2) para obtermos 25, chegamos à conclusão que o logaritmo de 25 na base 5 é 2:
Cada elemento desta estrutura possui um nome. Vamos ver:
Definição: em termos simples, é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência.
No exemplo anterior, , temos então que a base é 5, o logaritmando é 25 e o logaritmo de 25 na base 5 é 2. Note que, anteriormente, dissemos que “x” é o expoente de “b”, e na figura acima está escrito que “x” é o “logaritmo”. Isso acontece, pois o LOGARITMO É UM EXPOENTE.
PROPRIEDADE DA POTÊNCIA DO LOGARITMO
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja:
Exemplo:
EXEMPLO
3. Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89.
EXERCÍCIOS
1. Determinar os juros de uma aplicação de R$ 100.000,00, sendo a taxa de juros de 3,5% a.t. e o período de 2 anos e meio.
a. 31.680,09 b. 41.059,87 c. 16.000,00 d. 35.354,23
2. Uma aplicação de R$ 78.000,00 gerou um montante de R$ 110.211,96 numa certa data. Sendo de 2,5% ao mês a taxa de juros considerada, calcular o prazo aproximado da aplicação.
a. 18 meses aproximadamente b. 13 meses aproximadamente c. 16 meses aproximadamente d. 15 meses aproximadamente
3. Um banco lança um título pagando 6% a.t. Se uma pessoa necessitar de R$ 58.000,00 daqui a 3 anos, quanto deverá aplicar neste título?
a. 32.402,23 b. 7.118,96 c. 28.824,22 d. 14.160,15
4. Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa composta mensal cobrada pela loja?
a. 9,6% a.m. b. 4% a.m. c. 6,4% a.m. d. 5% a.m.
5. Arthur deseja comprar um terrreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:
Opção 1: pagar á vista, por R$ 55.000,00.
Opção 2: pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30.000,00, e mais prestação de R$ 26.000,00, para dali a 6 meses.
Opção 3: pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20.000,00, mais uma prestação de R$ 20.000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18.000,00 para dali a 12 meses da data da compra.
Opção 4: pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 15.000,00, e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39.000,00.
Arthur tem o dinheiro para pagar á vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores a medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo.
Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
