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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE FLUXOS EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO
FELIPE OLIVEIRA DE FARIAS
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO
FELIPE OLIVEIRA DE FARIAS
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE FLUXOS EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Monografia apresentada ao Curso de Engenharia de Petróleo da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro de Petróleo.
Orientadores: Claudia Ossanai Ourique, Arturo Rodrigo Ferreira Pardo
Niterói 2011
iii AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus orientadores Claudia Ossanai e Arturo Pardo pelo equilíbrio que me proporcionaram.
Agradeço à Universidade Federal Fluminense por ter dado os irmãos que minha mãe não gerou.
Agradeço à minha mãe e minha avó pelo amor que eu não sei se seria capaz de retribuir. Agradeço aos meus amigos, Leonardo Moura e Lucas Macedo pelo apoio durante esses anos.
iv
Resumo
Esse trabalho é o estudo no qual é baseado a implementação do algoritmo IMPES, utilizando o método das diferenças finitas e a linguagem de programação Visual Basic.Net, para a resolução das equações diferenciais parciais que regem o fluxo multifásico em meios porosos. Para resolver as equações parciais o algoritmo, todas as propriedades dos fluidos relevantes para a resolução das equações parciais devem ser calculadas em cada ponto da malha.
PALAVRAS-CHAVE: IMPES; Diferenças Finitas; Fluxo Multifásico; Propriedades dos Fluidos.
v
Abstract
This work is the study which is based IMPES the implementation of the IMPES algorithm, using the finite difference method and the programming language Visual Basic.Net to solve partial differential equations witch govern multiphase flow in porous media. To solve the partial equations algorithm, all the relevant fluid properties to the resolution of partial equations must be calculated at each grid point.
vi Sumário
Lista de Gráficos ... viii
Lista de Tabelas ... ix 1. Introdução ... 1 2. Fundamentos Teóricos ... 2 2.1. Reservatório de Petróleo: ... 2 2.2. Porosidade: ... 2 2.3. Permeabilidade: ... 3 2.4. Saturações: ... 3 2.5. Fluidos de Petróleo: ... 4 2.6. Métodos finitos: ... 5 2.7. Malhas ... 7 3. Modelagem ... 12
3.1. Escoamento em meios porosos – Lei de Darcy ... 12
3.2. Utilização do método das diferenças finitas para modelar um reservatório ... 20
3.3. IMPES ... 43
3.4. Cálculo das propriedades dos fluidos ... 44
3.3.1. Fator volume formação da água : ... 44
3.3.2. Razão de solubilidade da água : ... 45
3.3.3. Compressibilidade isotérmica da água : ... 46
3.3.4. Viscosidade da água : ... 47
3.3.5. Razão de solubilidade gás- óleo : ... 47
3.3.6. Compressibilidade isotérmica do óleo : ... 49
3.3.7. Fator volume de formação do óleo : ... 50
3.3.8. Viscosidade do óleo :... 51
3.3.9. Fator volume de formação do gás : ... 52
3.3.10. Viscosidade do Gás : ... 55
3.5. Modelos de permeabilidade relativa... 57
3.6. Compressibilidade da rocha : ... 60
4. Simulação e discussão de resultados ... 61
5. Conclusões e Sugestões ... 76
vii Lista de Figuras
Figura 2.1 -Curvas de permeabilidade relativa em um sistema trifásico . ... 3
Figura 2.2 - Malha não estruturada ... 8
Figura 2.3 - Malha não estruturada. ... 8
Figura 2.4 - Malha não estruturada com as células numeradas ... 9
Figura 2.5- Domínio discretizado por uma malha tetraédrica ... 9
Figura 2.6 – Malha com estruturada numerada ... 10
Figura 3.1 - Volume de controle ... 13
Figura 3.2 - Reservatório representado por uma malha 3x3x3 ... 20
Figura 3.3 - Algoritmo IMPES ... 43
Figura 3.4 - Curvas de permeabilidade relativa nos sistemas bifásicos ... 57
Figura 4.1 - Tela do programa com o resultado das pressões na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório C ... 72
Figura 4.2 - Tela do programa com o resultado das pressões na 7ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório C ... 73
Figura 4.3 - Tela do programa com o resultado das pressões na 7ª camada no tempo 0.018 dias do reservatório D ... 74
Figura 4.4 - Tela do programa com o resultado das pressões na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório D ... 74
Figura 4.5- Tela do programa com o resultado das saturações na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório D ... 75
viii Lista de Gráficos
Gráfico 4.1- Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A ... 62 Gráfico 4.2 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A ... 62 Gráfico 4.3 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A ... 63 Gráfico 4.4 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório A ... 63 Gráfico 4.5 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias segunda rodada do reservatório A
... 64
Gráfico 4.6 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório A ... 64 Gráfico 4.7 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da terceira rodada do reservatório A ... 65 Gráfico 4.8 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias terceira rodada do reservatório A
... 65
Gráfico 4.9 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da terceira rodada do reservatório A ... 65 Gráfico 4.10 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da quarta rodada do reservatório A ... 66 Gráfico 4.11 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias quarta rodada do reservatório A
... 66
Gráfico 4.12 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da quarta rodada do reservatório A ... 67 Gráfico 4.13 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório B ... 68 Gráfico 4.14 - Perfil de saturações de óleo no tempo 0.02 dias da primeira rodada do
reservatório B ... 68 Gráfico 4.15 - Perfil de permeabilidade do reservatório B ... 69 Gráfico 4.16 - Perfil de saturações de água no tempo 0.02 dias da primeira rodada do
reservatório B ... 70 Gráfico 4.17 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório B ... 70 Gráfico 4.18 - Perfil de saturações de óleo no tempo 0.02 dias da segunda rodada do
reservatório B ... 71 Gráfico 4.19 - Perfil de saturações de água no tempo 0.02 dias da segunda rodada do
ix Lista de Tabelas
Tabela 3.1 - Tabela de coeficientes para a correlação do fator volume formação com pressão abaixo da pressão de bolha ... 44 Tabela 3.2 - Tabela de coeficientes para a correlação do fator volume formação com pressão acima da pressão de bolha ... 45 Tabela 3.3 - Coeficientes utilizados no cálculo de : ... 48 Tabela 3.4 – Coeficientes para o cálculo de quando a pressão está abaixo da pressão de bolha ... 50 Tabela 3.5 – Coeficientes utilizados no cálculo do : ... 53 Tabela 3.6 - Tabela Coeficientes utilizados na correlação de Lee-Gonzalez ... 56
1
1.
Introdução
“Se, a princípio, a ideia não é absurda, então não há esperança para ela.” Albert Einstein
A necessidade de energia e matérias-primas cresceu no século XX de forma vertiginosa, principalmente a necessidade por petróleo fonte tanto energética quanto de matérias-primas. Para acompanhar tal demanda a indústria de petróleo evoluiu de uma atividade artesanal em meados do século XIX para uma das indústrias mais tecnologicamente desenvolvidas e com grande peso na economia global, no final do século XX.
Devido à grande demanda por petróleo, o estudo de todas as etapas das operações para a obtenção desse recurso é de grande interesse para a sociedade.
O estudo dos reservatórios de petróleo teve grande desenvolvimento com o avanço da capacidade computacional, mas o uso de softwares como ferramenta de ensino no meio acadêmico tem sido alvo de duras críticas por serem considerados caixas pretas, onde são inseridos valores, são expelidos resultados e o usuário não precisa saber o que aconteceu dentro dessa caixa mágica ou acaba perdendo o interesse por saber como acontece.
Em resposta às criticas à utilização de simuladores, esse trabalho foi feito para desenvolver uma solução computacional para as equações que regem o fluxo de fluido em meios porosos e que possuísse características didáticas, permitindo o maior controle possível ao usuário e ao mesmo tempo fornecendo informações com bases teóricas para a tomada de decisões durante a criação do modelo e de como ele deve ser executado.
Acredito que o desenvolvimento de uma solução de alto nível não seja algo trivial a ser realizado ou que possa ser realizado sozinho, mas sim que um bom trabalho possa ser o início talvez não da solução idealizada inicialmente, mas de uma cadeia de bons trabalhos que culminem em um resultado satisfatório para os indivíduos que participaram e para a instituição de ensino.
2
2.
Fundamentos Teóricos
“Nenhum homem realmente produtivo pensa como se estivesse escrevendo uma dissertação” Albert Einstein
2.1.
Reservatório de Petróleo:
Para a formação de reservas de petróleo existem três tipos de rochas, a rocha geradora, onde o petróleo é formado, a rocha-reservatório, onde o petróleo é armazenado e a rocha selante, que impede a dispersão do fluido.
As rochas-reservatório são rochas dotadas de permeabilidade possibilitando o fluxo e armazenamento do petróleo. A permeabilidade dessas rochas pode ser conferida pela presença de poros interconectados formando canais entre as rochas, como é o caso de rochas sedimentares que possuem porosidade intergranular, como os arenitos, ou ainda pela presença de fraturas na rocha possibilitando o fluxo de fluidos por esses canais.
2.2.
Porosidade:
A porosidade pode ser classificada em quatro tipos1: absoluta, efetiva, primária e secundaria.
A porosidade absoluta é definida como a razão entre o volume ocupado pelos poros, volume poroso, e o volume total da rocha2. A porosidade efetiva é a porosidade de interesse para a simulação de reservatórios, já que é a razão entre o volume de poros interconectados e o volume total. A porosidade efetiva sofre influência da existência de material entre os grãos que formam a rocha. Porosidade primária é a porosidade causada
1
ROSA, A. J. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIO DE PETRÓLEO. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. EDITORA INTERCIÊNCIA. 2006.
2 THOMAS, J. E. FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro.
3 pelo modo como foi formada a rocha sedimentar. A porosidade secundária é a porosidade ocasionada após a formação da rocha sedimentar, seja por uma fratura sofrida pela rocha ou por um agente químico.
2.3.
Permeabilidade:
Da mesma forma que em outros fenômenos de transporte, o fluxo é dado, de forma simplificada, pelo produto entre a capacidade que o meio possui de conduzir pelo diferencial de potencial que gera o fluxo. A permeabilidade é a capacidade que o meio possui para que haja deslocamento de fluido3.
A permeabilidade ainda pode ser dividida em absoluta e relativa. A permeabilidade absoluta é um valor medido através de um teste realizado com uma amostra da rocha reservatório e é medida em miliDarcy, (md). A permeabilidade relativa é uma função das saturações de água, óleo e gás e das interações da rocha com os fluidos.
Figura 2.1 -Curvas de permeabilidade relativa em um sistema trifásico4 .
2.4.
Saturações:
3
ROSA, A. J. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIO DE PETRÓLEO. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. EDITORA INTERCIÊNCIA. 2006.
4
CHEN, Z. COMPUTATIONAL METHODS FOR MULTIPHASE FLOWS IN POROUS MEDIA. Dallas, Texas. SIAM. 2006
4 A saturação de um fluido é a razão entre o volume ocupado por ele e o volume de poroso5.
= (2.1)
Dessa forma podemos concluir que a soma das saturações de todos os fluidos do mesmo sistema seja um.
+ + = 1 (2.2)
2.5.
Fluidos de Petróleo:
Os fluidos que formam a mistura chamada petróleo podem ser divididos em três grandes grupos: Água, Óleo e Gás.
Fator volume de formação é a razão entre o volume que o fluido ocupa em condições de diferentes das condições padrão (60 °F e 14,7 psia) e o volume de fluido no tanque, que está nas condições padrão6.
= í í + á" "" %&" ' % çõ " #& *ã # $ (2.3)
Razão de solubilidade é a razão, em uma determinada pressão e temperatura, entre o volume de gás dissolvido medido nas condições padrão e o volume de líquido medido nas condições padrão.
," = í í + á" "" %&" ' % çõ " #& *ã # $ (2.4)
5
ROSA, A. J. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIO DE PETRÓLEO. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. EDITORA INTERCIÊNCIA. 2006.
6 ROSA, A. J. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIO DE PETRÓLEO. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. EDITORA
5 Compressibilidade é a característica que a matéria possui de alterar o seu volume de acordo com as alterações dos esforços aos quais ela está submetida.
Viscosidade é a capacidade que o fluido possui para resistir ao cisalhamento.
- = .//0 (2.5)
2.6.
Métodos finitos:
Primeiramente devemos estabelecer a diferença entre os “métodos finitos” que por causa da nomenclatura são geralmente confundidos. Existem os métodos das diferenças finitas, os métodos dos volumes finitos e os métodos dos elementos finitos.
Os métodos das diferenças finitas
Os métodos das diferenças finitas são considerados os métodos mais simples e mais antigos utilizado na resolução de EDPs (Equações Diferencias Parciais) e são os mais utilizados na resolução de problemas com geometrias simples.
Nos MDF (métodos das diferenças finitas) a equação é mantida na sua forma diferencial e o domínio é discretizado por uma malha, nos pontos da malha é feita uma aproximação, substituindo as derivadas parciais por valores das equações nos nós da malha, resultando em sistema algébrico com uma equação por nó da malha7.
Teoricamente, o MDF pode ser utilizado com todos os tipos de malhas, mas o MDF é preferencialmente usado com malhas estruturadas, onde as linhas das malhas estão alinhadas com as coordenadas espaciais.
7 Mattiussi, C. A Reference Discretization Strategy for the Numerical Solution of Physical Field Problems.
6 Séries de Taylor e/ou regressões polinomiais são utilizadas para obter aproximações para a primeira e segunda derivadas da variável em função das coordenadas, e também em pontos que não estejam localizados sobre os nós da malha, utilizando para isso uma interpolação8.
Em geometrias relativamente simples que utilizem malhas estruturadas, o MDF é um método eficiente. As desvantagens do MDF são: a simplicidade da geometria do domínio que está sendo estudado, a necessidade de inserir controles (para que a conservação seja mantida) e a falta de associação das grandezas físicas e a geometria, a não ser nos pontos.
Os métodos dos volumes finitos
Enquanto o MDF utiliza a equação em sua forma diferencial, o MVF (método dos volumes finitos) utiliza como ponto de partida a forma integral da equação da conservação. É aplicada uma malha sobre o domínio estudado, que divide esse espaço os volumes de controle são justapostos, e nesses volumes de controle é aplicada a equação de conservação. Os valores das variáveis são calculados no centróide de cada VC (volume de controle) e os valores das propriedades nas superfícies do VC são calculadas por interpolação, assim como no MDF.
Diferente do MDF, o MVF é mais flexível na adaptação a geometrias mais complexas, pois a malha representa apenas as fronteiras do VC e não necessita estar relacionada com um sistema de coordenadas. Esse método não necessita de um controle externo para que seja garantida a conservação, se as integrais de superfície sejam as integrais das faces do VC.
A desvantagem do MVF é que existe a necessidade de três níveis de aproximação: interpolação, diferenciabilidade e integração.
Os métodos dos elementos finitos
8
Gonçalves, N. D. F. Método dos Volumes Finitos em Malhas Não-Estruturadas. 2007. Dissertação(Mestrado em Engenharia Matemática) - Departamento de Matemática
Aplicada/Departamento de Matemática Pura Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal. 2007
7 Os MEF (métodos dos elementos finitos) foram inicialmente utilizados para resolver problemas relacionados à mecânica dos sólidos, mas devido a sua flexibilidade, especialmente pela possibilidade de uso de mais variáveis, e os bons resultados alcançados têm sido empregado em vários outros áreas9. A mais notável desvantagem apresentada tanto por esse método quanto pelos MVF é o fato das equações linearizadas não serem tão bem estruturadas como os métodos que utilizam malhas estruturadas, essa característica torna mais difícil encontrar algoritmos eficientes para a resolução das equações10.
2.7.
Malhas
A malha é o objeto que divide o domínio, que pode ser um reservatório, uma barra metálica, ou um avião, em um número finito de subdomínios onde serão calculadas as variáveis do problema. No caso do método dos volumes finitos, as variáveis são calculadas no baricentro dos subdomínios, também chamados de células.
Existem diferentes tipos de malhas classificadas com relação a sua geometria, mas as malhas podem ser divididas em dois grandes grupos: malhas estruturadas e não estruturadas.
As malhas não estruturadas são malhas que utilizam uma geometria variada, Figura 2.2, se dispondo em quadriláteros e/ou triângulos de tamanhos e formas diversos para poder representar o domínio com maior precisão, Figura 2.3.
9
Mattiussi, C. A Reference Discretization Strategy for the Numerical Solution of Physical Field Problems. Clampco Sistemi-NIRLAB. AREA Science Park. Padriciano 99. 34012 Trieste. Itália
10
Gonçalves, N. D. F. Método dos Volumes Finitos em Malhas Não-Estruturadas. 2007. Dissertação(Mestrado em Engenharia Matemática) - Departamento de Matemática
Aplicada/Departamento de Matemática Pura Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal. 2007
8 Figura 2.2 - Malha não estruturada11
Figura 2.3 - Malha não estruturada.
Por usarem uma geometria variada, as células de uma malha não estruturada nem sempre são localizadas de forma simples, e é essa complexidade na localização relativa que caracteriza uma malha não estruturada.
Não é possível criar uma lei que nos permita localizar uma célula em relação à outra, pois as posições relativas das células são variáveis (Figura 2.4).
11
MALISKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional. 2ª Edição. Rio de Janeiro: LTC Editora S.A., 2004, Janeiro: LTC Editora S.A., 2004
9 Figura 2.4 - Malha não estruturada com as células numeradas
Apesar de serem capazes de uma representação com alta precisão Figura 2.5, as malhas não estruturadas podem acabar gerando situações onde não existe ortogonalidade entre as células, o que torna o gasto computacional muito maior.
Figura 2.5- Domínio discretizado por uma malha tetraédrica
As malhas estruturadas são malhas que apresentam vantagem computacional sobre as malhas não estruturadas pela sua simplicidade, porém podem não conseguir representar o domínio a ser estudado com tanta precisão quanto a anterior. A Figura 2.6 mostra um exemplo de malha estruturada. Todas as células podem ser localizadas sabendo quem são as suas vizinhas.
10 Figura 2.6 – Malha com estruturada numerada
Na Figura 2.6 todas as células são sempre, simultaneamente, uma unidade a mais que a anterior da mesma linha, caso haja célula anterior, uma unidade a menos da próxima célula da mesma linha, caso haja uma próxima célula na mesma linha, sete unidades a mais da célula inferior, caso haja célula inferior e sete unidades a menos da célula superior.
Diferenças Finitas:
Pela definição de derivada temos que12:
1
2 = ∆4→6172 + ∆28 9 1728∆2 (2.6)
Pela série de Taylor truncada no primeiro termo temos que:
172 + ∆28 = 1728 +1:728 ∗ ∆21! (2.7)
12
PEACEMAN, D. W. FUNDAMENTALS OF NUMERICAL RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC PUBLISHING COMPANY. January, 1977. Volume 6.
11
1:728 =172 + ∆28 − 1728
∆2 (2.8)
Em um domínio que foi discretizado podemos dizer que:
1:72 8 = 172=>8 − 172 8
∆2 (2.9)
Onde ∆2 é a distância entre 2=> e 2 .
Para a derivada segunda basta seguir o mesmo procedimento já descrito, mas agora truncando a série no segundo termo:
1::728 =172 − ∆28 − 21728 + 172 + ∆28
∆2@ (2.10)
De forma análoga à primeira derivada em um domínio discretizado, temos a segunda derivada:
1::72 8 =172A>8 − 2172 8 + 172=>8
12
3.
Modelagem
“Uma vida sem desafios não vale a pena ser vivida.” Sócrates
Neste capítulo será apresentada de forma sucinta a teoria que é utilizada como base para a confecção do algoritmo que será pedra angular do simulador de reservatório.
3.1.
Escoamento em meios porosos – Lei de Darcy
A lei de Darcy, publicada em 1856, é uma equação constitutiva, pois utiliza relações entre as propriedades mecânicas, e fenomenológicas, por ser baseada em experimentos. A equação da lei de Darcy para um fluxo monofásico, horizontal, incompressível, com vazão constante em um meio poroso de comprimento L e área transversal A é dada por13:
Q =AKΔpμL (3.1)
Onde ∆p é a perda de pressão no meio poroso, K é a permeabilidade absoluta e µ é a viscosidade do fluido.
A lei de Darcy ainda pode ser escrita na sua forma diferencial:
u =QA = 9Kμδpδx (3.2)
13 PEACEMAN, D. W. FUNDAMENTALS OF NUMERICAL RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas.
13 Inserindo a componente gravitacional podemos generalizar a fórmula para:
u = −Kμ 7δpδx − ρgδDδx8 (3.3)
v = −Kμ 7δpδy − ρgδDδy8 (3.4)
w = −Kμ 7δpδz − ρgδDδz8 (3.5)
Onde D é a profundidade e u, v e w são as componentes da velocidade em x, y e z, respectivamente.
Considerando um volume de controle com uma área transversal ao fluxo A e um comprimento ∆p, conforme a Figura 3.1.
Figura 3.1 - Volume de controle Respeitando a lei da conservação temos:
ST&2& %T*&U − ST&2& "& U + ST&2& %V T& &U
14 Como a massa de um fluido, em um determinado ponto, pode ser escrita como o produto entre a sua massa específica e o volume que o mesmo ocupa em uma determina posição, a taxa de massa que entra em um volume de contorno pode ser dada por:
V7x8 = u7x8 × A7x8 (3.7)
.7x8 = ρ7x8 × u7x8 × A7x8 (3.8)
Da mesma forma a taxa de massa que sai de um volume de controle pode ser escrita como:
.7x + Δx8 = ρ7x + Δx8 × u7x + Δx8 × A7x + Δx8 (3.9)
A taxa de massa acumulada dentro da mídia porosa pode ser expressa pela variação do produto do volume de poros e a massa especifica de um fluido.
[
[T 7ϕρ8 × A × Δx (3.10)
A taxa de massa injetada é definida pela multiplicação da vazão pelo volume do meio poroso:
× ] × ∆2 (3.11)
Com os termos definidos temos:
.7x8 9 .7x + Δx8 + × ] × ∆2 = [
[T 7ϕρ8 × A × Δx (3.12) ÷ Δx
15 .7x8 9 .7x + Δx8 ∆2 + × ] =[T 7ϕρ8 × A[ (3.13) 9[2 7[ .8 + × ] = [ [T 7ϕρ8 × A (3.14) Ou 9[T 7A × ρ × u8 + × ] =[ [T 7ϕρ8 × A[ (3.15)
Para o estudo de um reservatório tridimensional seguiremos a mesma ideia. Primeiro veremos como é representada a taxa de massa que entra no volume de contorno. ._x, y +1 2 y, z +12 za = ρ _x, y +12 y, z +12 za × u _x, y +12 y, z +12 za × Δy × Δz (3.16) Onde 7x, y +> @y, z + >
@z8 é o centro da face transversal ao fluxo de massa em
qualquer ponto no eixo x.
Para as direções y e z as taxas de massa que entram são respectivamente:
._x +1
2 x, y, z +12 za
= ρ _x +12 x, y, z +12 za × v _x +12 x, y, z +12 za × Δx × Δz
16 ._x +1 2 x, y +12 y, za = ρ _x +12 x, y +12 y, za × w _x +12 x, y +12 y, za × Δx × Δy (3.18)
As taxas mássicas de saída, em x, y e z, respectivamente, são:
._x + Δx, y +1 2 y, z +12 za = ρ _x + Δx, y +12 y, z +12 za × u _x + Δx, y +12 y, z +12 za × Δy × Δz (3.19) ._x +1 2 x, y + Δy, z +12 za = ρ _x +12 x, y + Δy, z +12 za × v _x +12 x, y + Δy, z +12 za × Δx × Δz (3.20) ._x +1 2 x, y +12 y, z + Δza = ρ _x +12 x, y +12 y, z + Δza × w _x +12 x, y +12 y, z + Δza × Δx × Δy (3.21)
A taxa mássica acumulada é dada por:
[
17 A taxa de injeção em três dimensões fica:
× Δx × Δy × Δz (3.23)
A equação da conservação da massa, então, pode ser expressa por:
._x, y +1 2 y, z +12 za + ._x +12 x, y, z +12 za + ._x +1 2 x, y +12 y, za 9 ._x + Δx, y +1 2 y, z +12 za 9 ._x +1 2 x, y + Δy, z +12 za 9 ._x +1 2 x, y +12 y, z + Δza + × Δx × Δy × Δz =[T 7ϕρ8 × Δx × Δy × Δz[ (3.24) ÷ 7Δx × Δy × Δz8 .bx, y + 12y,z +1 2 zc 9 .bx + Δx, y + 12y,z +12 zc ∆2 + .bx + 12x,y,z + 1 2 zc 9 .bx + 12x,y + Δy,z +12 zc ∆0 + .bx + 12x,y + 1 2 y, zc 9 .bx + 12x,y +12 y, z + Δzc ∆d + =[T 7ϕρ8[ (3.25)
18 9[2 7[ .7x, y, z88 9 [ [0 7 .7x, y, z88 9[d 7[ .7x, y, z88 + = [T 7ϕρ8[ (3.26) Ou 9[2 7ρu8 9[ [0 7ρv8 9[ [d 7ρw8 + =[ [T 7ϕρ8[ (3.27)
Definindo u como o vetor 7u, v, w8 teremos:
e = 79Kμ _δpδx 9 ρgδDδxa , 9Kμ _δpδy 9 ρgδDδya , 9Kμ 7δpδz 9 ρgδDδz88
(3.28)
E podemos reescrever a equação (3.27) da seguinte forma:
9∇ ∙ 7ρe8 + q =[T 7ϕρ8[ (3.29)
Substituindo (3.3) em (3.29) temos:
9∇ ∙ _ρ × 79Kμ 7∇p 9 ρg × ∇D88a + q =[T 7ϕρ8[ (3.30)
19 Para um fluido incompressível teremos i
ij7ϕρ8 = 0. Então a equação de conservação da
massa fica:
∇ ∙ lρ ×Kμ 7∇p 9 ρg × ∇D8m +qρ = 0 (3.32)
Definindo Φ = # 9 o × p:
∇ ∙ _Kμ × ∇Φ8a +qρ = 0 (3.33)
Em um reservatório isotrópico e com viscosidade constante, a equação da massa é simplificada para a equação de Poisson:
∇ ∙ 7∇Φ8 +qμρK = 0 (3.34)
No volume de controle onde o termo fonte é zero, a equação de Laplace:
20 3.2.
Utilização do método das diferenças finitas para modelar um
reservatório
Inicialmente o reservatório a ser modelado será um reservatório isotrópico, selado e com um fluido incompressível e viscosidade constante. Para isso serão utilizadas as equações de Poisson e Laplace já vistas.
Figura 3.2 - Reservatório representado por uma malha 3x3x3
O reservatório representado na Figura 2.1 é um cubo dividido em 27 partes por uma malha quadrada. No bloco 7 existe um poço injetor e no bloco 27 existe um poço produtor.
Para todos os blocos, com exceção dos blocos 7 e 27, serão usadas a equações:
21 q q q ∇@Φdxdydz = 0 s t u v w x (3.37) q q qδδx@Φ@ dxdydz s t u v w x + q q q δ@Φ δy@ dydxdz u v s t w x + q q qδδz@Φ@ dzdydx = 0 w x u v s t (3.38)
_δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0
(3.39)
As derivadas de Φ, quando não são conhecidas, podem ser aproximadas por:
δΦ δx |z =ΦsΔx9 Φs (3.40) δΦ δx |, =Φ 9 ΦΔxt t (3.41) δΦ δy |{ =ΦuΔy9 Φu (3.42) δΦ δy || =Φ 9 ΦΔyvv (3.43) δΦ δz |} =ΦwΔz9 Φw (3.44) δΦ δz | =Φ 9 ΦΔzx x (3.45)
22 Para os blocos internos, que não possuem faces no contorno, teremos:
_ΦsΔx9 Φ
s 9
Φ 9 Φt
Δxt a × ΔyΔz + _ΦuΔy9 Φu 9Φ 9 ΦΔyvva × ΔxΔz + _ΦwΔz9 Φ w 9 Φ 9 Φx Δzx a × ΔxΔz = 0 (3.46) Φ •_Δx1 s + 1 Δxta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + ΦuΔxΔzΔyu + ΦvΔxΔzΔy v + Φw ΔxΔz Δzw + Φx ΔxΔz Δzx (3.47) Definindo: ]• = _Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _ 1 Δyu + 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz (3.48)
Onde c são todos os blocos que não possuem faces no contorno:
]s =ΔyΔzΔx
s (3.49)
]t =ΔyΔzΔx
23 ]u =ΔxΔzΔy u (3.51) ] = ΔxΔzΔy v (3.52) ]w =ΔxΔzΔz w (3.53) ]x = ΔxΔzΔz x (3.54)
Podemos reescrever a equação (3.48) como:
Φ ]• = Φs]s+ Φt]t+ Φu]u+ Φv] + Φw]w+ Φx]x (3.55) Φ ]• = ΦA‚]s+ Φ=‚]t+ Φ=>]u+ ΦA>] + Φ=ƒ]w + ΦAƒ]x (3.56) Φ>„]>„= Φ…]s+ Φ@ƒ]t + Φ>…]u+ Φ>ƒ] + Φ>†]w + Φ>>]x (3.57)
Para os blocos que possuem apenas uma face no contorno: Bloco 5:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0
24 Φ…•_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + Φu ΔxΔz Δyu + Φv ΔxΔz Δyv + ΦwΔxΔzΔz w + Φx ΔxΔz Δzx (3.59) Φ…]… = 0 + Φ>„]t+ Φ‡]u + Φ„] + Φˆ]w+ Φ@]x (3.60) Bloco 11:
_δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0 (3.61) Φ>>•_Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 0a × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + Φu ΔxΔz Δyu + ΦvΔxΔzΔy v + Φw ΔxΔz Δzw + 0 (3.62) Φ>>]>>= Φ@]s+ Φ@6]t + Φ>@]u+ Φ>6] + Φ>„]w + 0 (3.63)
25 Bloco 13: _δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0 (3.64) Φ •_Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _ 1 Δyu + 0a × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + Φu ΔxΔz Δyu + 0 + ΦwΔxΔzΔz w + Φx ΔxΔz Δzx (3.65) Φ>ƒ]>ƒ = Φ„]s+ Φ@@]t + Φ>„]u+ 0 + Φ>‡]w+ Φ>6]x (3.66) Bloco 15:
_δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0
26 Φ •_Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + ΦwΔxΔzΔz w + Φx ΔxΔz Δzx (3.68) Φ>…]>… = Φ‡]s+ Φ@„]t + 0 + Φ>„] + Φ>ˆ]w+ Φ>@]x (3.69) Bloco 17:
_δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz = 0 (3.70) Φ •_Δx1 s + 1 Δxta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 1 Δyva × ΔxΔz + _0 +Δz1 xa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + Φu ΔxΔz Δyu + ΦvΔxΔzΔy v + 0 + Φx ΔxΔz Δzx (3.71) Φ>†]>†= Φˆ]s+ Φ@‡]t+ Φ>ˆ]u+ Φ>‡] + 0 + Φ>„]x (3.72)
27 Bloco 23:
_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0 (3.73) Φ •_Δx1 s+ 0a × ΔyΔz + _ 1 Δyu + 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + Φu ΔxΔz Δyu + Φv ΔxΔz Δyv + ΦwΔxΔzΔz w + Φx ΔxΔz Δzx (3.74) Φ@ƒ]@ƒ= Φ>„]s+ 0 + Φ@„]u + Φ@@] + Φ@‡]w + Φ@6]x (3.75)
Para os blocos que possuem duas faces no contorno: Bloco 2:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0
28 Φ •_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 0a × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + Φu ΔxΔz Δyu + Φv ΔxΔz Δyv + ΦwΔxΔzΔz w + 0 (3.77) Φ@]@ = 0 + Φ>>]t+ Φƒ]u+ Φ>] + Φ…]w+ 0 (3.78) Bloco 4:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0 (3.79) Φ •_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _ 1 Δyu + 0a × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + Φu ΔxΔz Δyu + 0 + Φw ΔxΔz Δzw + ΦxΔxΔzΔz x (3.80) Φ„]„ = 0 + Φ>ƒ]t+ Φ…]u+ 0 + Φ†]w+ Φ>]x (3.81)
29 Bloco 6:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0 (3.82) Φ •_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + Φw ΔxΔz Δzw + ΦxΔxΔzΔz x (3.83) Φ‡]‡ = 0 + Φ>…]t + 0 + Φ…] + Φ‚]w+ Φƒ]x (3.84) Bloco 8:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz = 0 (3.85) Φ •_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 1 Δyva × ΔxΔz + _0 +Δz1 xa × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + Φu ΔxΔz Δyu + ΦvΔxΔzΔyv + 0 + ΦxΔxΔzΔz x (3.86)
30 Φˆ]ˆ = 0 + Φ>†]t+ Φ‚]u + Φ†] + 0 + Φ…]x (3.87) Bloco 10: _δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0 (3.88) Φ •_Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _ 1 Δyu + 0a × ΔxΔz + _Δz1 w+ 0a × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + ΦuΔxΔzΔy u + 0 + ΦwΔxΔzΔz w + 0 (3.89) Φ>6]>6= Φ>]s+ Φ>‚]t+ Φ>@]u + 0 + Φ>ƒ]w+ 0 (3.90) Bloco 12:
_δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0
31 Φ •_Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 0a × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + ΦwΔxΔzΔz w + 0 (3.92) Φ>@]>@ = Φƒ]s+ Φ@>]t + 0 + Φ>>] + Φ>…]w+ 0 (3.93) Bloco 16: _δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz = 0 (3.94) Φ •_Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 0a × ΔxΔz + _0 +Δz1 xa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + Φu ΔxΔz Δyu + 0 + 0 + ΦxΔxΔzΔz x (3.95) Φ>‡]>‡= Φ†]s+ Φ@…]t+ Φ>†]u+ 0 + 0 + Φ>ƒ]x (3.96)
32 Bloco 18:
_δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz = 0 (3.97) Φ •_Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _0 +Δz1 xa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + 0 + ΦxΔxΔzΔz x (3.98) Φ>ˆ]>ˆ= Φ‚]s+ Φ@†]t+ 0 + Φ>†] + 0 + Φ>…]x (3.99) Bloco 20:
_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0 (3.100) Φ •_Δx1 s+ 0a × ΔyΔz + _ 1 Δyu + 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 0a × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + Φu ΔxΔz Δyu + Φv ΔxΔz Δyv + ΦwΔxΔzΔz w + 0 (3.101)
33 Φ@6]@6 = Φ>>]s+ 0 + Φ@>]u+ Φ>‚] + Φ@ƒ]w+ 0 (3.102) Bloco 22: _δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0 (3.103) Φ •_Δx1 s+ 0a × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 0a × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + Φu ΔxΔz Δyu + 0 + ΦwΔxΔzΔz w + ΦxΔxΔzΔz x (3.104) Φ@@]@@ = Φ>ƒ]s+ 0 + Φ@ƒ]u+ 0 + Φ@‡]w+ Φ>‚]x (3.105) Bloco 24:
_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz = 0
34 Φ •_Δx1 s+ 0a × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + Φw ΔxΔz Δzw + ΦxΔxΔzΔz x (3.107) Φ@„]@„= Φ>…]s+ 0 + 0 + Φ@ƒ] + Φ@†]w+ Φ@>]x (3.108) Bloco 26:
_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz = 0 (3.109) Φ •_Δx1 s + 0a × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 1 Δyva × ΔxΔz + _0 +Δz1 xa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + Φu ΔxΔz Δyu + Φv ΔxΔz Δyv + 0 + ΦxΔxΔzΔz x (3.110) Φ@‡]@‡ = Φ>†]s+ 0 + Φ@†]u+ Φ@…] + 0 + Φ@ƒ]x (3.111)
35 Para os blocos que possuem três faces no contorno
Bloco 1:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0 (3.112) Φ •_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 0a × ΔxΔz + _ 1 Δzw+ 0a × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + Φu ΔxΔz Δyu + 0 + Φw ΔxΔz Δzw + 0 (3.113) Φ>]> = 0 + Φ>6]t + Φ@]u+ 0 + Φ„]w+ 0 (3.114) Bloco 3:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0 (3.115) Φ •_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1w+ 0a × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + Φw ΔxΔz Δzw + 0 (3.116)
36
Φƒ]ƒ = 0 + Φ>@]t+ 0 + Φ@] + Φ‡]w+ 0 (3.117)
Bloco 9:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz = 0 (3.118) Φ •_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _0 + 1 Δzxa × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + 0 + ΦxΔxΔzΔz x (3.119) Φ‚]‚= 0 + Φ>ˆ]t+ 0 + Φˆ] + 0 + Φ‡]x (3.120) Bloco 19: _δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0 (3.121)
37 Φ •_Δx1 s+ 0a × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 0a × ΔxΔz + _ 1 Δzw+ 0a × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + Φu ΔxΔz Δyu + 0 + Φw ΔxΔz Δzw + 0 (3.122) Φ>‚]>‚ = Φ>6]s+ 0 + Φ@6]u+ 0 + Φ@@]w+ 0 (3.123) Bloco 21:
_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0 (3.124) Φ •_Δx1 s+ 0a × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _ 1 Δzw+ 0a × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + Φw ΔxΔz Δzw + 0 (3.125) Φ@>]@> = Φ>@]s+ 0 + 0 + Φ@6] + Φ@„]w+ 0 (3.126)
38 Bloco 25: _δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz = 0 (3.127) Φ •_Δx1 s+ 0a × ΔyΔz + _ 1 Δyu + 0a × ΔxΔz + _0 +Δz1xa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + Φu ΔxΔz Δyu + 0 + 0 + ΦxΔxΔzΔz x (3.128) Φ@…]@…= Φ>‡]s+ 0 + Φ@‡]u + 0 + 0 + Φ@@]x (3.129)
Para os blocos 7 e 27 será usada a equação:
∇@Φ +qμ
ρK = 0 (3.130)
_δΦδx yz 9δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9δΦδy y |a × ΔxΔz + _δΦδz y} 9δΦδz y a × ΔxΔz +ρK = 0qμ
39 Φ •_Δx1 s+ 1 Δxta × ΔyΔz + _ 1 Δyu+ 1 Δyva × ΔxΔz + _Δz1 w+ 1 Δzxa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + Φt ΔyΔz Δxt + Φu ΔxΔz Δyu + ΦvΔxΔzΔy v + Φw ΔxΔz Δzw + Φx ΔxΔz Δzx 9 qμ ρK (3.132) Para o bloco 7:
_0 9δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz +ρK = 0qμ (3.133) Φ •_0 +Δx1 ta × ΔyΔz + _ 1 Δyu + 0a × ΔxΔz + _0 +Δz1xa × ΔxΔz€ = 0 + ΦtΔyΔzΔx t + Φu ΔxΔz Δyu + 0 + 0 + ΦxΔxΔzΔz x 9 qμ ρK (3.134) Φ†]† = 0 + Φ>‡]t+ Φˆ]u + 0 + 0 + Φ„]x9qρK†μ (3.135) Para o bloco 27:
_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _0 9δΦδy ||a × ΔxΔz + _0 9δΦδz | a × ΔxΔz +ρK = 0qμ
40 Φ •_Δx1 s+ 0a × ΔyΔz + _0 + 1 Δyva × ΔxΔz + _0 + 1 Δzxa × ΔxΔz€ = ΦsΔyΔzΔx s + 0 + 0 + Φv ΔxΔz Δyv + 0 + ΦxΔxΔzΔz x 9 qμ ρK (3.137) Φ@†]@†= Φ>ˆ]s+ 0 + 0 + Φ@‡] + 0 + Φ@„]x9qρK@†μ (3.138)
Com as equações encontradas é montado um sistema que poderá prever a distribuição das pressões dentro do reservatório.
A demonstração feita foi para um caso muito específico e consequentemente com aplicação reduzida no estudo de reservatórios reais, pois leva em conta a presença de uma fase, com o fluido incompressível e com viscosidade constante. Pensando em fluxos teríamos, para três fases14.
J =ρ Š•u (3.139)
J =ρ Š•u (3.140)
J =ρ Š•u +,Š ρ Š•u +,Š ρ Š•u (3.141)
14 FANCHI J. R. PRINCIPLES OF APPLIED RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC
41 Onde oŠ• é a massa específica nas condições padrão da fase “i”, é o fator volume formação da fase “i”, ,Š é a razão de solubilidade da fase “i” e é o vetor velocidade da fase “i”, A divisão da massa específica nas condições padrão pelo fator volume de formação concede ao modelo a variação da massa específica com as condições do reservatório utilizando propriedades e correlações conhecidas. A razão de solubilidade indica que existe uma parcela da fase gasosa dissolvida dentro das outras fases. A razão de solubilidade, da mesma forma que o fator volume formação, pode ser obtida através de dados de amostras do fluido do reservatório aplicados sobre correlações em conjunto com as condições do reservatório.
Por causa da influência de outros fluidos a equação da velocidade é alterada para levar em conta essa influência.
u = K ∗ k. Œ ∗ ∇7Φ8 (3.142)
Onde K é o tensor permeabilidade e •Œ é a permeabilidade relativa na fase “i” Definindo:
λ =k. (3.143)
Somando os três fluxos, ficamos com15:
• 9 ,Š • _∇ ∗ ‘ ∗λ ∇’ + “” − o Š•a + • − ,Š • _∇ ∗ ‘ ∗λ ∇’ + “” − o Š•a + l∇ ∗ ‘ ∗ lλ + ,Š λ ,Š λ m ∇’ + “” − o Š•m = •'j/’/T (3.144)
15 FANCHI J. R. PRINCIPLES OF APPLIED RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC
42 Onde “” é a contribuição gravitacional e capilar de cada fase e pode ser definida para óleo, água e gás, respectivamente como:
“” = 9∇ ∗ ‘ ∗ 7λ 8∇71448o d (3.145)
“” = 9∇ ∗ ‘ ∗ 7λ 8∇7o d144 + ’• 8 (3.146)
“” = ∇ ∗ ‘ ∗ 7λ 8∇7’• −1448o d (3.147)
Os termos ’• e ’• são as diferenças entre a pressão de óleo e água e óleo e gás respectivamente. Com a utilização desses termos é possível escrevermos o somatório dos fluxos com apenas a pressão do óleo.
A equação anterior é uma das equações que deve ser resolvida para descobrirmos a pressão em um ponto e as saturações no mesmo. As outras equações são as equações para as saturações:
/
/T 7• 8 = ∇ ∗ ‘ ∗λ ∇’ + “” − o Š• (3.148)
/
/T 7• 8 = ∇ ∗ ‘ ∗λ ∇’ + “” − o Š• (3.149)
43 Utilizando o método das diferenças finitas de forma implícita para a pressão e de forma explícita para as saturações o sistema pode ser facilmente resolvido. Este método é chamado de IMPES, Implicit Pressure Explicit Saturation16.
3.3.
IMPES
Como foi dito anteriormente, o IMPES é um método híbrido, ele é implícito na pressão e explícito na saturação.
As pressões são calculadas iterativamente. As propriedades dos fluidos são calculadas em TA> e as pressões e propriedades dos fluidos em T6 são utilizadas como estimativa inicial da iteração do instante T . Após o cálculo ter sido realizado é verificada se a diferença entre a estimativa inicial e o valor calculado é menor que a tolerância. Se o erro entre os dois valores for menor que a tolerância, o passo convergiu e o último valor calculado é utilizado como estimativa inicial do passo seguinte, caso contrário o último valor calculado é utilizado como estimativa do mesmo passo. Após o passo ter convergido as saturações são calculadas explicitamente (Figura 3.3).
Figura 3.3 - Algoritmo IMPES
16
FANCHI J. R. PRINCIPLES OF APPLIED RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC PUBLISHING COMPANY. 2001 2ª edição
44 3.4.
Cálculo das propriedades dos fluidos
Como foi visto as propriedades do fluido variam dentro do reservatório de acordo com a posição e o tempo e para calculá-las usaremos as seguintes correlações17.
3.3.1.Fator volume formação da água :
Fx˜= ™5.1 ∗ 10Aˆ# 75.47 ∗ 10A‡9 1.95 ∗ 10A>6#87$s9 608
9 73.23 ∗ 10Aˆ9 8.5 ∗ 10A>ƒ#87$s9 608@ ¡¢£ 1 (3.151)
Onde ¡¢£ é a salinidade da água que pode variar de 0 até 25. $s é a
temperatura do reservatório em Fahrenheit e pode variar de 100 ate 250 ¤. # é a
pressão do reservatório, que no nosso caso será igual a ’ , pressão do óleo, e pode variar
de 1000 psi até 5000 psi.
Caso a pressão do reservatório esteja abaixo da pressão de bolha, empregam-se os valores da Tabela 3.1 para os coeficeientes A, B e C das equações (3.152), (3.153) e (3.154), obtendo-se B¦ pela realação (3.155).
Tabela 3.1 - Tabela de coeficientes para a correlação do fator volume formação com pressão abaixo da pressão de bolha
1 0.9911 −1.093 × 10A‡ −5 × 10A>>
2 6.35 × 10A… −3.497 × 10A‚ 6.429 × 10A>ƒ
3 8.5 × 10A† 4.57 × 10A>@ −1.43 × 10A>…
17
CHEN, Z. COMPUTATIONAL METHODS FOR MULTIPHASE FLOWS IN POROUS MEDIA. Dallas, Texas. SIAM. 2006
45 Caso a pressão do reservatório esteja acima da pressão de bolha, os valores empregados para A, B e C são dados pela Tabela 3.2.
Tabela 3.2 - Tabela de coeficientes para a correlação do fator volume formação com pressão acima da pressão de bolha
1 0.9947 −4.228 × 10A‡ 1.3 × 10A>6 2 5.8× 10Aˆ 1.8376× 10Aˆ −1.3855× 10A>@ 3 1.02 × 10A‡ −6.77× 10A>> 4.285 × 10A>…
A = ]> + ]@$s + ]ƒ$s@ (3.152)
B = >+ @$s+ ƒ$s@ (3.153)
C = “>+ “@$s+ “ƒ$s@ (3.154)
B = 7] + ∗ # + “ ∗ #@8Fx˜ (3.155)
3.3.2.Razão de solubilidade da água :
Caso a pressão do reservatório esteja acima da pressão de bolha a razão de solubilidade da água é zero. Caso contrário ela pode ser calculada pela seguinte correlação:
Rx = •]t©ª + t©ª# + “t©ª#@• ∗ ™1 − 70.0753 9 1.73
∗ 10A„$s8 ¡¢£
46 Onde:
]t©ª = 2.12 + 3.45 ∗ 10Aƒ$s9 3.59 ∗ 10A…$s@ (3.157)
t©ª = 0.0107 9 5.26 ∗ 10A…$s+ 1.48 ∗ 10A†$s@ (3.158)
“t©ª = 98.75 ∗ 10A†+ 3.9 ∗ 10A‚$s 9 1.02 ∗ 10A>>$s@ (3.159)
3.3.3.Compressibilidade isotérmica da água :
Fx« = ¬−0.52 + 2.7 ∗ 10A„$s9 1.14 ∗ 10A‡$s@+ 1.121 ∗ 10A‚$sƒ -¡¢£6.†+ 1 (3.160) AA = 3.8546 − 1.34 ∗ 10A„# (3.161) = 90.01052 + 4.77 ∗ 10A†# (3.162) CC = 3.9267 ∗ 10A…− 8.8 ∗ 10A>6# (3.163) c = •]] + ∗ $s+ ““ ∗ $s@•10A‡(1 + 0.0089,Š )Fx« (3.164)
Para a correlação ser válida a pressão deve estar entre 1000 e 6000 psi, a temperatura entre 80 e 250℉ e a salinidade entre 0 e 25.
47 3.3.4. Viscosidade da água : Fx¯ = 1 − 1.87 ∗ 10Aƒ ¡¢£> @°+ 2.18 ∗ 10A„ ¡¢£@.…+ ($s> @° − 0.0135$s)(2.76 ∗ 10Aƒ ¡¢£− 3.44 ∗ 10A„∗ ¡¢£>.…) (3.165) Fx¯ = 1 + 3.5 ∗ 10A>@#@($s− 40) (3.166) μ = 0.02414 ∗ 10@„†.ˆ°(±²A>„6)Fx¯F³¯ (3.167)
A correlação para a viscosidade da água utiliza temperaturas em Fahrenheit e Kelvin. Como padrão, usaremos a temperatura em Fahrenheit.
$´ = 273.15 + ($s− 32)/1.8 (3.168)
A correlação usada para o cálculo da viscosidade da água é valida se a temperatura estiver entre 32 e 572 ℉ e a salinidade entre 0 e 25. Não foi encontrado limite para a temperatura.
Verificando as correlações para as propriedades da água como um todo, podemos dizer que a temperatura deve estar entre 100 e 250 ℉, a pressão deve estar entre 1000 psi e 5000 psi e a salinidade entre 0 e 25.
Correlações para o óleo:
3.3.5. Razão de solubilidade gás- óleo :
48 Onde Υ· é a densidade do gás em condições padrão, Υ·x é a densidade corrigida do gás, TŠ¸ é a temperatura do separador em Fahrenheit, pŠ¸ é a pressão em psi e A³£ é o grau API que é definido como:
]³£ = 141.5o − 131.5 (3.170)
Caso o grau API seja maior ou igual a 30, a relação
RŠ = ]6∗ Υ·x ∗ #¼˜½∗ («
¾¡¿À
±Á ) (3.171)
é utilizada, com os coeficientes da Tabela 3.3.
Tabela 3.3 - Coeficientes utilizados no cálculo de :
]³£ < 30 ]³£ ≥ 30
]6 0.0178 0.0362
6 1.1870 1.0937
“6 23.931 25.724
Para determinarmos a razão de solubilidade do gás no óleo precisamos entrar com o valor de pressão no ponto de bolha p¼ em psi. Nesse caso como a temperatura aparece sozinha no denominador, para evitarmos uma divisão por 0 está sendo utilizada a escala absoluta, Rankine.
49 3.3.6. Compressibilidade isotérmica do óleo :
A compressibilidade pode ser obtida a partir das fórmulas empíricas,
c =−1,433 + 5,Š + 17.2$100,000#s− 1,180Υ·x+ 12.61]³£
¼ (3.173)
c = 6.8257 ∗ 10A‡∗ ,
¸Ä6.…66@∗ # ∗ $6.†‡‡6‡∗
Υ·xA6.ƒ……6… 18 (3.174)
Ou pela sua definição19:
c = −[1 //’ − /,/’ ]Š (3.175)
Podemos verificar que a compressibilidade isotérmica do óleo depende do fator volume formação do gás, , o que implica na necessidade da fase gás presente e que o fator volume formação do gás seja calculado antes da compressibilidade isotérmica do óleo, o que poderia gerar redundâncias no código, acarretando maior tempo computacional. Em contra partida não foi encontrada na literatura limites para a correlação para ' . A correlação será usada e serão usados os limites do fator volume formação do óleo, que serão logo descritos.
18
TRIJANA KARTOATMODJO, New Correlations for Crude Oil Physical Properties.SPE Techinical Publications, Tulsa, junho, 1991.
19 FANCHI J. R. PRINCIPLES OF APPLIED RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC
50 3.3.7. Fator volume de formação do óleo :
Caso o reservatório esteja a uma pressão acima da pressão de bolha:
B (#, #¼) = B (#¼) ∗ A•½∗( A Å) (3.176) Caso contrário, B (#¼) = 1 + Aa ∗ (Ts− 60) ∗]Υ³£ ·x + _ Ç + “' ∗ (Ts− 60) ∗ ]³£ Υ·xa ∗ RŠ (3.177)
Os coeficientes da equação (1.77) são apresentados na Tabela 3.4.
Tabela 3.4 – Coeficientes para o cálculo de quando a pressão está abaixo da pressão de bolha
]³£ ≤ 30 ]³£ > 30
]& 1.1 ∗ 10A… 1.751 ∗ 10A…
Ç 4.67 ∗ 10A„ 4.677 ∗ 10A„
“' 1.337 ∗ 10A‚ −1.811 ∗ 10Aˆ
As correlações (3.176) e (3.177) são validas somente se a pressão e a temperatura do separador estiverem respectivamente entre 30 e 535 psi e 76 e 150 ℉ e o grau API estiver entre 15.3 e 59.5. Caso a pressão do reservatório for superior à pressão de bolha, a densidade do gás deve estar entre 0.511 e 1.351 e a pressão do reservatório entre 111 e 9485 psi. Caso a pressão do reservatório esteja abaixo da pressão de bolha, deve-se verificar o grau API: se o grau API for igual ou menor que 30, a densidade do
51 gás deve estar entre 0.511 e 1.351 e a pressão do reservatório entre 14.7 e 4542 psi. Caso contrário, a densidade do gás deve estar entre 0.53 e 1.259 e a pressão do reservatório entre 14.7 e 6025 psi, para um valor limite do grau API de até 59.5.
Viscosidade do óleo :
3.3.8. Viscosidade do óleo :
A viscosidade pode ser obtida pela correlação de Beggs-Robinson: Caso a pressão do reservatório esteja acima da pressão de bolha,
aA = 10.715 ∗ (RŠ + 100)A6.…>… (3.178) bB = 5.44 ∗ (RŠ + 150)A6.ƒƒˆ (3.179) cc = 3.0324 − 0.02023]³£ (3.180) cC = 10••∗ $sA>.>‡ƒ (3.181) μË = 10•« − 1 (3.182) μ (p ) = aA ∗ μË ¼˜ (3.183)
Caso contrário, a viscosidade pode ser calculada levando em consideração ou não a compressibilidade viscosa 'Ì.
52 Não levando em consideração a compressibilidade viscosa, temos que:
aa = 2.6#>.>ˆ†∗ (Aˆ.‚ˆ∗>6ÍÎ A>>.…>ƒ) (3.184)
μ (#, #¼) = μ (p ) ∗ (## ¼)
ÏÏ (3.185)
A correlação é válida para grau API entre 15.3 e 59.5, densidade do gás entre 0.511 e 1.351 e pressão do reservatório entre 111 e 9485 psi.
Utilizando a informação da compressibilidade viscosa, temos que:
bb = 2.6 ∗ (1 + #¼)>.>ˆ†∗ (Aˆ.‚ˆ∗>6ÍÎ(>= Å)A>>.…>ƒ) (3.186)
cÌ = (1 + #¼A>)¼¼− 1 (3.187)
μ (#, #¼) = μ (#¼) ∗ (1 + cÌ ∗ (# − #¼)) (3.188)
Correlações do gás
3.3.9. Fator volume de formação do gás :
p •6 = ] •+ • ∗ Υ·+ “ • ∗ Υ·@ (3.189)
T •6 = ]& •+ Ç •∗ Υ· + “' •∗ Υ·@ (3.190)
Os valores para os coeficientes das expressões (3.189) e (3.190) são apresentados na Tabela 3.5, para gás condensado e gás de superfície.
53 Tabela 3.5 – Coeficientes utilizados no cálculo do :
Gás condensado Gás de superfície ] • 706 677 • -51.7 15 “ • -11.1 -37.5 ]& • 187 168 Ç • 330 325 “' • -71.5 -12.5 W¡ = 120 ∗ b•Y«ÒÓ+ YÔÓx• 6.‚ − •Y«ÒÓ + YÔÓx• >.‡ c − 15 ∗ •YÔÓx6.…+ YÔÓx„• (3.191)
Onde Õ«ÒÓ e ÕÔÓx são respectivamente as frações de “Ö@ e ×@ presentes no gás. Para o cálculo das pressões pseudo-críticas devemos primeiro calcular as pressões pseudo-reduzidas. T • = T •6− |¡ (3.192) p • = $ p •6∗ ($ •6− |¡) •6+ YÔÓx∗ •1 − YÔÓx• ∗ |¡ (3.193) pŒ¸Ë =#p • (3.194) TŒ¸Ë =$Tt • (3.195)
54 As correlações para as propriedades reduzidas são validas quando o gás for um gás condensado com densidade entre 0.36 e 1.3 ou for um gás com impurezas, com densidade entre 0.56 e 1.71 e o somatório das frações de “Ö@ e ×@ não chegar a 0.8.
Caso #Œ¸Ë e $Œ¸Ë estejam respectivamente entre 0 e 30 e 1.05 e 3 então podemos utilizar a seguinte correlação para o desvio da idealidade do gás,
Z =0.27 ∗ po Œ¸Ë
Œ∗ TŒ¸Ë (3.196)
A correlação não é linear, mas podemos obter o desvio da idealidade do gás utilizando um método iterativo, como por exemplo, Newton-Raphson.
AŒ = 0.06423 (3.197) BŒ = 0.5353 ∗ TŒ¸Ë− 0.6123 (3.198) CŒ = 0.3151 ∗ TŒ¸Ë− 1.0467 −0.5783T Œ¸Ë@ (3.199) EŒ = TŒ¸Ë (3.200) FŒ =0.6816 TŒ¸Ë@ (3.201) GŒ = 0.6845 (3.202) HŒ = 0.27 ∗ pŒ¸Ë (3.203)
55 ρ Œ6 = 0.27 ∗ pT Œ¸Ë Œ¸Ë (3.204) ρ Œ=> = ρ Œ − ℱ(ρ Œ ) ℱ° :(ρ Œ ) (3.205) ℱ•ρ Œ • = AŒ∗ •ρ Œ •‡+ Œ∗ •ρ Œ •ƒ+ “Œ∗ •ρ Œ •@+ {Œ∗ •ρ Œ • + zŒ∗ •ρ Œ •ƒ∗ b1 + ”Œ∗ •ρ Œ •@c ∗ A·Ý∗•ÞßÝà• Ó − HŒ (3.206) ℱ:•ρ Œ • = 6AŒ∗ •ρ Œ •…+ 3 Œ∗ •ρ Œ •@+ 2“Œ∗ •ρ Œ • + {Œ+ zŒ ∗ •ρ Œ •@∗ b3 + ”Œ∗ •ρ Œ •@∗ (3 − 2”Œ∗ •ρ Œ •@)c ∗ A·Ý∗•ÞßÝà•Ó (3.207)
Finalmente temos que o fator volume formação do gás é:
B =0.00504 ∗ Z ∗ T# t (3.208)
3.3.10.Viscosidade do Gás :
A viscosidade do gás pode ser calculada utilizando a correlação de Lee-Gonzalez.
μ• = (1.709 ∗ 10A…− 2.062 ∗ 10A‡∗ Õ·) ∗ $s + 8.188 ∗ 10Aƒ− 6.15 ∗ 10Aƒ∗ log(Õ·) + Õw
Ó
∗ (9.59 ∗ 10Aƒ+ 8.48 ∗ 10Aƒ∗ log(Õ·)) + Õ«Ò
Ó
∗ (6.24 ∗ 10Aƒ+ 9.08 ∗ 10Aƒ∗ log(Õ·)) + ÕÔ
Óx
∗ (3.73 ∗ 10Aƒ+ 8.48 ∗ 10Aƒ∗ log(Õ·))
56 Empregando-se os valores para as constantes apresentadas na Tabela 3.6.
Tabela 3.6 - Tabela Coeficientes utilizados na correlação de Lee-Gonzalez
Ad Bd Cd Dd
0 −2.4621182 2.80860949 −0.793385684 0.0839387178 1 2.97054714 −3.49803305 1.39643306 0.186408848 2 −0.286264054 0.36037302 −0.149144925 0.0203367881 3 8.05420522 × 10Aƒ −1.04432413 × 10A@ 4.41015512 × 10Aƒ 6.09579263 × 10A„
Na equação (3.209) ÕwÓ é a fração de }@ na mistura gasosa.
] = ] 6+ ] >∗ pŒ¸Ë+ ] @∗ pŒ¸Ë@+ ] ƒ∗ pŒ¸Ëƒ (3.210) = 6+ >∗ pŒ¸Ë+ @∗ pŒ¸Ë@+ ƒ∗ pŒ¸Ëƒ (3.211) “ = “ 6+ “ >∗ pŒ¸Ë+ “ @∗ pŒ¸Ë@+ “ ƒ∗ pŒ¸Ëƒ (3.212) p = p 6+ p >∗ pŒ¸Ë+ p @ ∗ pŒ¸Ë@+ p ƒ∗ pŒ¸Ëƒ (3.213) F = ] + ∗ TŒ¸Ë+ “ ∗ TŒ¸Ë@+ p ∗ TŒ¸Ëƒ (3.214) μ = s$∗ μ• Œ¸Ë (3.215)
Para aperfeiçoar o cálculo podemos dividir as propriedades em 3 blocos, água, óleo e gás e utilizar a tecnologia de multithreding, do Visual Basic, recurso que permite
57 processamento paralelo, para calcular simultaneamente os três blocos, o que nos gera um ganho em relação a um algoritmo linear.
3.5.
Modelos de permeabilidade relativa
A permeabilidade relativa em fluxos trifásicos apresenta grande dificuldade de medição e gastos elevados para a sua medição por isso são utilizados modelos que acoplam as permeabilidades relativas nos sistemas bifásicos, óleo-água e óleo-gás.
Figura 3.4 - Curvas de permeabilidade relativa nos sistemas bifásicos
Para estimar o valor da permeabilidade relativa do óleo •Œ podemos simplesmente considerar a permeabilidade relativa do óleo como o produto das suas permeabilidades relativas nos sistemas bifásicos20.
•Œ = •Œ ∗ •Œ (3.216)
20
CHEN, Z. COMPUTATIONAL METHODS FOR MULTIPHASE FLOWS IN POROUS MEDIA. Dallas, Texas. SIAM. 2006
58 Além dessa hipótese existem outros modelos como o modelo de Stone21:
Modelo I:
Esse modelo utiliza dados de saturação irredutível do óleo Œ e saturação de água conata •. Sâ =1 − −S Œ •−S Œ (3.217) Sâ = 1 − −S • •−S Œ (3.218) Sâ = 1 − •−S Œ (3.219)
Somando as três equações, podemos verificar que o resultado é um.
Deve se tomar o cuidado de lembra que deve ser maior ou igual Œ, assim como deve ser maior ou igual a •.
β =k1 −Œ (S ) â (3.220) β =k1 −Œ (S ) â (3.221) kŒ = â ∗ β ∗ β (3.222)
21 CHEN, Z. COMPUTATIONAL METHODS FOR MULTIPHASE FLOWS IN POROUS MEDIA. Dallas, Texas.
59 Como pode ser observado, é necessário conhecer o valor de •Œ e •Œ em função das saturações, respectivamente, de e . Para isso, se possuirmos dados de permeabilidade relativa contra a saturação, podemos utilizar um ajuste de curvas utilizando o método dos mínimos quadrados para a expressão:
•Œ = Ç ∗ Ï (3.223)
A única crítica à utilização desse método é que para utilizá-lo é necessário linearizar a equação, o que resulta em:
ln (•Œ ) = %(Ç) + & ∗ ln ( ) (3.224)
Se em um dos dados de entrada o valor da permeabilidade relativa for zero, então o logaritmo da permeabilidade tende para −∞, impossibilitando o cálculo. Além disso, esse modelo só é valido para saturações muito baixas.
Modelo II:
kŒ = (kŒ + kŒ ) ∗ •kŒ + kŒ • − •kŒ + kŒ • (3.225)
Ainda podemos citar um dos modelos de Dietrich and Bonder22, baseado no modelo de Stone.
kŒ = (kŒ + kŒk) ∗ •kŒ + kŒ •
Œ ∗ − •kŒ + kŒ • (3.226)
22 FANCHI J. R. PRINCIPLES OF APPLIED RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC
60 Onde •Œ ∗ é o valor da permeabilidade relativa do óleo no sistema óleo e água quando a saturação de água é mínima.
3.6.
Compressibilidade da rocha :
A compressibilidade da rocha é a propriedade que a rocha possui de alterar o seu volume de acordo com os esforços sobre ela exercidos. Pela definição, æç é23:
'Œ= •1/’/• (3.227)
Resolvendo a equação diferencial temos:
'Œ∗ •’4,â− ’4,â=>• = ln••4,â− •4,â=>• (3.228)
Onde ’> é a pressão no tempo 1 e ’@ é a pressão no tempo 2, da mesma forma que •> é a porosidade no tempo 1 e •@ é a porosidade no tempo 2. Os dois pares de medida devem ser tomadas na mesma posição x. Da mesma forma que foi feita para a permeabilidade relativa, deve ser feito um ajuste de curvas com dados experimentais.
23 CHEN, Z. COMPUTATIONAL METHODS FOR MULTIPHASE FLOWS IN POROUS MEDIA. Dallas, Texas.
