Códigos cíclicos - Parte 1

(1)

C´

odigos c´ıclicos - Parte 1

Luis Henrique Assump¸

c˜

ao Lolis

(2)

Conte´

udo

1

Introdu¸

c˜

ao

2

Polinˆ

omio gerador e verificador de paridade

3

Matrizes geradoras e de verifica¸

c˜

ao de paridade

(3)

Sum´

ario

1

Introdu¸

c˜

ao

2

Polinˆ

omio gerador e verificador de paridade

3

Matrizes geradoras e de verifica¸

c˜

ao de paridade

(4)

Introdu¸c˜

ao

´

E uma subclasse de c´

odigos de bloco lineares

Satisfaz as seguintes rela¸

c˜

oes:

1 Propriedade da linearidade: a soma de duas palavras-c´odigo

quaisquer tamb´em uma palavra c´odigo.

2 _{Propriedade c´ıclica: qualquer deslocamento c´ıclico de uma}

palavra código também é uma palavra código. c(1)_{= (c}

n−1, c0, . . . , cn−2)

c(i)_{= (c}

n−i, cn−i+1, . . . , cn−1, c0, c1, . . . , cn−i−1)

Para desenvolver as propriedades alg´

ebricas do c´

odigo c´ıclico,

consideramos cada componente de uma palavra c´

odigo

c(X) = c

0

+ c

1

X + c

2

X

2

+ . . . + c

n−1

X

n−1

(5)

A correspondˆ

encia entre a palavra chave e o polinˆ

omio ´

e de

um pra um.

Agora analisando o polinˆ

omio de X deslocado de i, c

(i)

(X):

c

(i)

(X) = c

n−i

+ c

n−i+1

X + . . . + c

n−1

X

i−1

+ c

0

X

i

+

c

1

X

i+1

+ . . . + c

n−i−1

X

n−1

Multiplicando c(X) por X

i

, temos:

X

i

c(X) =

c

0

X

i

+ c

1

X

i+1

+ . . . + c

n−i−1

X

n−1

+ c

n−i

+ . . . + c

n−i

X

n+i−1

Agora encontramos c

(i)

(X) dentro de X

i

c(X)

cn−1X(n+i−1) = cn−1X(i−1)(Xn+ 1 + 1):

cn−1X(n+i−1) = cn−1X(i−1)(Xn+ 1) + cn−1X(i−1)

cn−iXn= cn−i(Xn+ 1 + 1) = cn−i(Xn+ 1) + cn−i

Separando dessa maneira todos os coeficientes de X

i

c(X):

X

i

c(X) = c

n−i

+ c

n−i+1

X + . . . + c

n−1

X

i−1

+ c

0

X

i

+

(6)

X

i

c(X) = q(X)(X

n

+ 1) + c

(i)

(X),

q(X) = c

n−i

+ c

n−i+1

X + . . . + c

n−1

X

i−1

(7)

g(X) = 1 + X + X3

Mensagem Palavra código Polinômio do código (0 0 0 0) 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 · g(X) (1 0 0 0) 1 1 0 1 0 0 0 1 + X + X3= 1 · g(X) (0 1 0 0) 0 1 1 0 1 0 0 X + X2+ X4= X · g(X) (1 1 0 0) 1 0 1 1 1 0 0 1 + X2_{+ X}3_{+ X}4_{= (1 + X) · g(X)} (0 0 1 0) 0 0 1 1 0 1 0 X2_{+ X}3_{+ X}5_{= X}2_{· g(X)} (1 0 1 0) 1 1 1 0 0 1 0 1 + X + X2+ X5= (1 + X2) · g(X) (0 1 1 0) 0 1 0 1 1 1 0 X + X3+ X4+ X5= (X + X2) · g(X) (1 1 1 0) 1 0 0 0 1 1 0 1 + X4+ X5= (1 + X + X2) · g(X) (0 0 0 1) 0 0 0 1 1 0 1 X3_{+ X}4_{+ X}6_{= X}3_{· g(X)} (1 0 0 1) 1 1 0 0 1 0 1 1 + X + X4_{+ X}6_{= (1 + X}3_{) · g(X)} (0 1 0 1) 0 1 1 1 0 0 1 X + X2+ X3+ X6= (X + X3) · g(X) (1 1 0 1) 1 0 1 0 0 0 1 1 + X2+ X6= (1 + X + X3) · g(X) (0 0 1 1) 0 0 1 0 1 1 1 X2+ X4+ X5+ X6= (X2+ X3) · g(X) (1 0 1 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 + X + X2_{+ X}3_{+ X}4_{+ X}5_{+ X}6 = (1 + X2_{+ X}3_{) · g(X)} (0 1 1 1) 0 1 0 0 0 1 1 X + X5+ X6 = (X + X2+ X3) · g(X) 3 5 6 2 3

(8)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao

2 Polinˆomio gerador e verificador de paridade

3 Matrizes geradoras e de verifica¸c˜ao de paridade

(9)

Polinˆ

omio gerador

g(X) ´e um polinˆomio de grau n − k e fator de Xn+ 1: g(X) = 1 + n−k−1 X i=1 giXi+ Xn−k giigual a 0 ou 1.

O código é calculado da seguinte maneira: c(X) = a(X)g(X) a(X) é um polinômio em X de grau k − 1

Para o c´odigo (7,4) podemos ter os seguintes polinˆomios geradores:

Fatorando Xn_{+ 1.}

X7_{+ 1 = (1 + X)(1 + X + X}3_{)(1 + X}2_{+ X}3₎

Tanto (1 + X + X3_{) quanto (1 + X}2_{+ X}3_{) s˜}_{ao polinˆ}_omios

(10)

Colocando o c´

odigo c´ıclico na forma sistem´

atica

Agora definimos que a mensagem vai ser codificado num c´odigo sistem´atico c´ıclico.

(b0, b1, . . . , bn−k−1 | {z } n−k bits de paridade , m0, m1, . . . , mk−1 | {z } k bits da mensagem ) m(X) = m0+ m1+ . . . + mk−1Xk−1 b(X) = b0+ b1+ . . . + bn−k−1Xn−k−1 c(X) = b(X) + Xn−k_m(X) a(X)g(X) = b(X) + Xn−km(X) Xn−km(X) g(X) = a(X) + b(X) g(X)

(11)

Procedimento de codifica¸c˜

ao

1 Multiplicar m(X) por Xn−k

2 Dividir Xn−k_{m(X) pelo polinˆ}_{omio gerador g(X), obter o resto b(X)}

(12)

Polinˆ

omio verifica¸c˜

ao de paridade

1 O polinˆomio h(X) de tamanho k ´e definido da seguinte forma: h(X) = 1 +

k−1

X

i=1

hiXi+ Xk

2 _{E equivalente a matriz H de verifica¸}´ _c˜_{ao de paridade, de tal maneira que:}

g(X)h(X)mod(Xn+ 1) = 0 g(X)h(X) = (Xn+ 1)

(13)

Exerc´ıcio

Calcular a palavra c´odigo para o c´odigo c´ıclico (7, 4), com g(X) = 1 + X + X3 e a mensagem a ser codificada m = (1001).

1 _{O polinˆ}_{omio da mensagem ´}_{e m(X) = 1 + X}3

2 _{Multiplicar m(X) por X}n−k_{= X}3 _{⇒ X}3_{m(X) = X}3_{+ X}6_. 3 Dividir X3m(X) por g(X): X3 +X (quociente) X3_{+ X + 1|} _X6 _X3 X6 +X4 +X3 X4 X4 +X2 +X X2 +X (resto) 4 _{b(X) = X + X}2 5 _{c(X) = b(X) + X}n−k_{m(X) = X + X}2_{+ X}3_{+ X}6_{. Portanto} c = (0111001)

(14)

Exerc´ıcio

2 _{Multiplicar m(X) por X}n−k_{= X}3 _{⇒ X}3_{m(X) = X}3_{+ X}6_. 3 Dividir X3m(X) por g(X): X3 +X (quociente) X3_{+ X + 1|} _X6 _X3 X6 +X4 +X3 X4 X4 +X2 +X X2 +X (resto) 4 _{b(X) = X + X}2 5 _{c(X) = b(X) + X}n−k_{m(X) = X + X}2_{+ X}3_{+ X}6_{. Portanto} c = (0111001)

(15)

Exerc´ıcio

2 _{Multiplicar m(X) por X}n−k _{= X}3 _{⇒ X}3_{m(X) = X}3_{+ X}6_. 3 Dividir X3m(X) por g(X): X3 +X (quociente) X3_{+ X + 1|} _X6 _X3 X6 +X4 +X3 X4 X4 +X2 +X X2 +X (resto) 4 _{b(X) = X + X}2 5 _{c(X) = b(X) + X}n−k_{m(X) = X + X}2_{+ X}3_{+ X}6_{. Portanto} c = (0111001)

(16)

Exerc´ıcio

2 _{Multiplicar m(X) por X}n−k _{= X}3 _{⇒ X}3_{m(X) = X}3_{+ X}6_. 3 Dividir X3m(X) por g(X): X3 +X (quociente) X3_{+ X + 1|} _X6 _X3 X6 +X4 +X3 X4 X4 +X2 +X X2 +X (resto) 4 _{b(X) = X + X}2 5 _{c(X) = b(X) + X}n−k_{m(X) = X + X}2_{+ X}3_{+ X}6_{. Portanto} c = (0111001)

(17)

Exerc´ıcio

2 _{Multiplicar m(X) por X}n−k _{= X}3 _{⇒ X}3_{m(X) = X}3_{+ X}6_. 3 Dividir X3m(X) por g(X): X3 _+X _(quociente) X3+ X + 1| X6 X3 X6 +X4 +X3 X4 X4 +X2 +X X2 _+X _(resto) 4 _{b(X) = X + X}2 5 _{c(X) = b(X) + X}n−k_{m(X) = X + X}2_{+ X}3_{+ X}6_{. Portanto} c = (0111001)

(18)

Exerc´ıcio

(19)

Exerc´ıcio

(20)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao

(21)

Matrizes geradoras

Para se construir a matriz geradora G, pega-se g(X) e se desloca nas diferentes linhas at´e formar uma matriz k × n:

G =           g0 g1 g2 · · · gn−k 0 0 0 · · 0 0 g0 g1 g2 · · · gn−k 0 0 · · 0 0 0 g0 g1 g2 · · · gn−k 0 · · 0 · · · · · · 0 0 · · · 0 g0 g1 g2 · · · gn−k          

(22)

Para g(X) = 1 + X + X3_: G =     1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1    

Porém g(X) não está na forma sistemática:

Fazendo combina¸c˜oes lineares para obter a matriz identidade k × k `a direita de G:

Para retirar o ”1”da terceira linha, quarta coluna: a soma da primeira linha com a terceira linha se torna a terceira linha. Para os ”1’s”da quarta linha, quarta e quinta colunas: se soma da primeira, com a segunda e quarta colunas se torna a quarta coluna. G0=     1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1    

(23)

Para g(X) = 1 + X + X3_: G =     1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1    

Porém g(X) não está na forma sistemática:

Fazendo combina¸c˜oes lineares para obter a matriz identidade k × k `a direita de G:

Para retirar o ”1”da terceira linha, quarta coluna: a soma da primeira linha com a terceira linha se torna a terceira linha. Para os ”1’s”da quarta linha, quarta e quinta colunas: se soma da primeira, com a segunda e quarta colunas se torna a quarta coluna. G0=     1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0    

(24)

Matriz verificadora de paridade

Pode-se obter H a partir de G da maneira cl´assica. Mas tamb´em pode se obter H a partir de g(X). g(X)h(X) = (Xn+ 1). Logo h(X) = (Xn+ 1)/g(X) h(X) = h0+ h1X + . . . + hkXk: h0= hk= 1 Multiplicando c(X) por h(X): c(X)h(X) = a(X)g(X)h(X) = a(X)(Xn+ 1) = a(X)Xn_{+ a(X)}

O polinômio h(X) é de ordem k − 1, as potências Xk, Xk+1, ..., Xn−1 não aparecem no polinômio na equa¸cão acima:

j+k

X

i=j

(25)

A matriz H se constr´oi a partir dos coeficientes do polinˆomio rec´ıproco de h(X): Xkh(X−1_{) , h}k+ hk−1X + hk−2X2+ . . . + h0Xk H =       hk hk−1 hk−2 · · · h0 0 0 0 · · 0 0 hk hk−1 hk−2 · · · h0 0 0 · · 0 0 0 hk hk−1 hk−2 · · · h0 0 · · 0 · · · · · · 0 0 · · · 0 hk hk−1 hk−2 · · · h0      

(26)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao

(27)

Codificador para c´

odigos c´ıclicos

1 Multiplicar m(X) por Xn−k

2 _{Dividir X}n−k_{m(X) pelo polinˆ}_{omio gerador g(X), obter o resto}

b(X)

(28)

Codificador para c´

odigos c´ıclicos

1 _{A porta encontra-se fechada e a chave de sa´ıda direciona os bits da}

mensagem para o canal. Ao mesmo tempo os bits da mensagem se combinam com a sa´ıda dos registradores, passam pela porta e entram nos registradores. O sinal se propaga nos registradores, at´e que se abre a porta.

2 _{Abre-se a porta, abrindo a realimenta¸}_c˜_{ao. A chave de sa´ıda se}

direciona para propagar os bits de paridade na sa´ıda.

3 _{Nos ciclos seguintes o conte´}_{udo do registrador de deslocamento ´}_e

(29)

Codificador para c´

odigos c´ıclicos

2 _{Abre-se a porta, abrindo a realimenta¸}_c˜_{ao. A chave de sa´ıda se}

direciona para propagar os bits de paridade na sa´ıda.

3 _{Nos ciclos seguintes o conte´}_{udo do registrador de deslocamento ´}_e

(30)

Codificador para c´

odigos c´ıclicos

(31)

Exerc´ıcio

Desenhe o circuito do codificador para g(X) = 1 + X + X3_.

Codificando a sequˆencia m = (1011) Identifique o conte´udo dos registros em cada etapa e o valor codificado no final.

Agora calcule a palavra código usando o método da divisão polinomial. Entrada Valor 000 1 110 1 101 0 100 1 100

(32)

Exerc´ıcio

(33)

Exerc´ıcio

(34)

Exerc´ıcio

(35)

Exerc´ıcio

(36)

Exerc´ıcio

(37)

Agora fazendo a divis˜

ao de polinˆ

omio

X3 _+1X2 _+X ₊₁ X3 +X +1| X6 +X5 +X3 X6 +X4 +X3 X5 _+X4 X5 +X3 +X2 +X4 _+X3 _+X2 +X4 +X2 +1 +X3 +x +X3 _+X ₊₁ 1

(38)

(39)