Física 1 Mecânica. Instituto de Física - UFRJ

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Física 1

Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Gráfico de Energia Potencial

19/09/2014

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Gráfico de Energia Potencial

Se temos uma partícula de massa m se movendo em uma

dimensão sob a ação de uma força conservativa F x , vimos que podemos associar a ela uma energia potencial U x :

U x F x dx F x dU

dx

Analisando o gráfico de U x podemos fazer uma discussão qualitativa bastante detalhada do movimento, qualquer que seja a forma da função U x .

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Relação entre Força e U x

F x dU dx F x é 0 quando U x decresce (inclinação da tangente é 0). F x é 0 quando U x cresce (inclinação da tangente é 0). O módulo de F é em x1do que em x2

Pontos em que F x 0 são

pontos de equilíbrio F x é máxima nos pontos de inflexão

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Movimentos possíveis

Vamos supor agora que saibamos o valor da energia mecânica total E da partícula.

E 1

2mv2 U x constante 1

2mv2 E U x

‹ _{O movimento só é possível em regiões em que}

U x E

v x 2 m E U x

A velocidade troca de sinal quando v 0 ‹ _E _{U x ,}

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Ex: Um objeto solto de uma altura y1

2

k 9

hogget

_¥8

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Ex: Dois poços de potencial separados por uma barreira de potencial

A distância entre a reta de E e a curva U é a energia cinética o movimento só é possível para

energias E0

Se E E1 ‹movimento limitado

e oscilatório entre x7e x9

para E1 E E3‹dois

movimentos oscilatórios possíveis

para E3 E E4movimento é

ilimitado à esquerda com velocidade decrescente.

para E4 E E5não há mais

movimento oscilatório, sendo limitado apenas em x13

Se E E6 movimento é ilimitado

Note: o movimento é unidimensional

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Potencial de Lennard Jonnes

A energia potencial associada à força entre dois átomos neutros em uma molécula pode ser modelada pelo chamado potencial de Lennard-Jones

U x D a x 12 2 a x 6 F x 12D a a x 13 _a x 7 F 0 em x a distância de

equilíbrio, raio da molécula diatômica

U a D

Se fornecermos uma energia E < 0, teremos movimento oscilatório, com amplitude aumentando conforme E aumenta. Se E 0 a molécula se dissocia. D é a energia de dissociação da molécula. a - D ..- . . Z

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Uma partícula se desloca sobre o eixo x sob ação de uma força resultante conservativa, cuja energia potencial está representada no gráfico. No instante inicial a partícula estava no ponto x1, afastando-se da origem do eixo x .

(a) Descreva o movimento da partícula quando a energia mecânica total é E1.

Caso existam, quais são os pontos de inversão neste movimento? (b) Repita o item (a) no caso em que a energia mecânica total é E2. (c) Idem para o caso em que a energia mecânica total é E3.

(d) Em que regiões do eixo x a força resultante aponta para a origem do eixo x ? Justifique todas as suas respostas.

E E E 1 2 3 . Hanger : ( :O

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Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x está sujeito a uma força dada por

F x 2x onde x é dado em metros e F em Newtons.

(a) Determine a energia potencial U em função de x , considerando U 0 0.

(b) Trace o gráfico de U contra x . (c) Qual o ponto de equilíbrio estável ?

(d) Se em x 0 o corpo tem velocidade v0 1 m/s, qual a

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12/ 18 milky F ( se ) = - 2k se U ( m ) - UCo) ₌ -

ff

( a ) du =

μ

o -

€2

.de#e2=xs

- - -; . . -

-;

; - -

-E.

a c) F = 0 _got re = 0 d) V= 1 - Is em e=° U (° ) = o k=

}m5=

{ J =] E =

IT

° path de nth - e-qnondo U = E ( 1<=0 ) Uc se ) = t u2= tz m= ±

if

= to .tn 2

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Uma partícula de massa m 2 kg move-se ao longo de uma linha reta em uma região em que a sua energia potencial varia como na figura. (a) Sabendo-se que a partícula se aproxima da origem (x 0) e que sua energia cinética quando está muito longe dela é de 10 J, determine o módulo de sua velocidade ao passar pelos pontos x1 e x2. (b) Em que região a partícula pode

ser encontrada se sua energia total for de 3 J? (c) Neste caso, quanta energia deve ser fornecida à partícula para que ela se afaste indefinidamente da origem?

X *

A Tmolicon afro wine

daunt no

gnefi

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14/ 18 a ) _Wmd _esta mi _to longe do on ' for U ( h ) = 0 _k = ii J =] E = 10 J . U ( x _, ) = - 5J K , t U , = 10 => Ki = 10+5 J

±my2

= 15 = > Q isI = - 3.9 - Is U(k2 ) = 6 J =) K< +02 = 10 = > Kz= 10 - 6=4 J

lzmvi

= 4 v< = - 2- Is d) 9 J .

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A energia potencial de uma partícula de massa m em função de sua posição x esta indicada na figura. Calcule o período de uma oscilação completa, caso a partícula tenha uma energia mecânica total dada por E 3U0 2.

3b / 2

Desert

Sim

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Energia Potencial Gravitacional

Usando o Teorema do Trabalho-Energia Cinética e a Conservação de Energia Mecânica, vimos que podemos definir uma Energia Potencial a Forças Conservativas:

U x U x0

x

x0 F x dx

No caso da Força gravitacional sobre objetos próximos à superfície da Terra (h RT), usamos

F y mg

Escolhemos U y0 0 onde y0 0 (ponto mais baixo, eixo y

orientado para cima) Ug 0

h

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Energia Potencial Gravitacional

Se considerarmos agora distâncias grandes, de forma a não ser mais razoável usar a aproximação h RT, a força é

F GmM r2 r

Antes de calcularmos a Energia Potencial utilizando essa força precisamos mostrar que esta é uma força conservativa :

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Energia Potencial Gravitacional

Uma Força é conservativa quando o Trabalho realizado por ela para levar uma partícula de um ponto a outro não depende da trajetória.

Vamos calcular o Trabalho de uma Força central para levar uma partícula de P para Q

W rf

ri

F dr rf

ri

F dr o W não depende do caminho

Toda força central é conservativa

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Energia Potencial Gravitacional

Uf Ui rf ri F r dr G M m rf ri 1 r2 dr G M m 1 r rf ri Uf Ui G M m _r1 f 1 ri

Como sempre, a escolha do zero de energia potencial é arbitrária. Uma escolha adequada é Ui 0 em ri

Energia Potencial Gravitacional

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Energia Potencial Gravitacional

F

G

mM_r2

r

U

G M m_r

para r

R

T

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Movimento de Satélites

Para estudarmos o movimento de satélites, consideramos que temos um objeto de massa m M de forma que a Terra possa ser considerado um referencial inercial, e esfericamente simétrica. A Energia Total do sistema é

E 1

2mv2

G M m r

Pela Segunda Lei de Newton:

G M m r2 mv 2 r

‹

G M m2r mv 2 2 Substituindo na equação de E E G M m 2r G M m r G M m r

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Velocidade de Escape

Ao lançarmos um objeto para cima ele sobe e retorna à Terra. Se aumentarmos a velocidade ele sobe a uma altura maior.

Qual a menor velocidade que devemos dar a um objeto para que ele escape do campo gravitacional Terrestre?

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Velocidade de Escape

A Energia é constante e em qualquer ponto vale E 1

2mv2

G M m r

Na superfície da Terra: v vi e ri RT. No infinito (r

1

2mvi2 G M m_R T

1 2mv a menor velocidade será tal que v 0

1 2mvesc2 G M m_R T 0 vesc 2GM_R T 2

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28/ 33 vescT 2GM RT 2 6 67 10 11 _{5 98 10}24 6 37 106 1 12 104m s vescT 40 320km h vesc km h Mercúrio 15.480 Vênus 37.080 Terra 40.320 Lua 8.280 Marte 18.000 Júpiter 216.000 Saturno 129.600 Urano 79.200 Netuno 86.400 Plutão 3.960 Sol 2.224.800

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