Existencia e concentração de solução para o p-Laplaciano com condição de Neumann

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Tese de Doutorado

Existência e Concentração de Solução para

o p-Laplaciano com Condição de Neumann

Autor:

Everaldo Souto de Medeiros

Orientador:

Prof. Dr. Yang Jianfu

Existência e Concentração de Solução para o

p-Laplaciano com Condição de Neumann

Banca Examinadora: 1-Yang Jianfu (orientador) 2-0rlando Francisco Lopes 3-Elves Alves de Barros e silva 4-0limpio Hiroshi Miyagaki 5-Claudianor Oliveira Alves.

Este exemplar corresponde à redação final da tese devi-damente corrigida e defen-dida por Everaldo Souto de Medeiros e aprovada pela comissão julgadora.

Campinas, 3 de outubro de 2001

Pro f. r.: Yang Jianfu Orientador

Tese apresentada ao Insti-tuto de Matemática, Es-tatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito parcial do Título de Doutor em Ma-temática.

Medeiros, Everaldo Souto de

M467e Existência e concentração de solução para o p-laplaciano com condição de Neumann I Everaldo Souto de Medeiros -- Campinas, [S.P. :s.n.], 2001.

Orientador : Y ang Jianfu

Tese (doutorado) -Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Equações diferenciais elípticas. I. Jianfu, Y ang. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Tese de Doutorado defendida em 03 de outubro de 2001 e aprovada

Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

CISCO LOPES

Prof (a). Dr (a).

Prof(a). Dr (a). ELVES ALVES DE BARROS E SILVA

Agradecimentos

Quero agradecer primeiramente ao meu orientador Prof. Dr.Yang Jianfu pela ori-entação e paciência em todos os momentos que o procurei.

Especialmente, agradeço as minhas tias: Alzira, Adélia, Filomena e Francisca e aos meus imãos, especialmente a Ediglei, que me proporcionaram esta oprtunidade única em minha vida.

Ao prof. Djairo que sempre esteve a minha disposição em todos os momentos que o procurei, que Deus o ilumine nesta luta intensa na orintação de tantos jovens ma-temáticos.

Gostaria de agradecer aos profs. Orlando Lopes, Elves, Olimpio, e Claudianor por terem aceito fazer parte da banca examinadora.

Meus sinceros agradecimentos aos prof. Olando Lopes e Claudianor pelas inúmeras sugestões em nosso trabalho.

Quero expressar o meu agradecimento ao prof. João Carlos que foi o principal res-ponsável pela minha entrada no doutorado e ao prof. Vandik que teve a coragem de acreditar em mim no começo da minha graduação.

À Lucélia pelo companherismo.

Aos colegas da pós-graduação do IMECC: Leonardo, Sófia, Odair, Zé Carlos, Amauri, entre tantos.

Agradeço ao Emerson, pelos conselhos e discusões que foram muitos proveitosas para o meu crescimento matemático.

Aos professores e funcionários(Cidinha, Tânia e Ednaldo) do IMECC.

Aos colegas Roberto Cabrales, Fernando e PC pelo esclarecimento das minhas dúvidas do Latex.

Neste trabalho, vamos estudar a existência de solucão de energia mínima e fenômeno de concentração para o seguinte problema de Neumann quasilinear perturbado:

em D em D sobre

an,

onde, -.6.P é o operador p-Laplaciano, E é um parâmetro positivo, 1

<

p

<

N, p

<

q :::;

p* :=

/:!.P,

D C IRN um domínio limitado suave e 77 é o vetor normal unitário exterior à fronteira de D.

No caso subcrítico, p

<

q

<

p* :=

/:!:P

vamos usar métodos variacionais para obter a existência de uma solução u€ com energia mínima. Para mostrar que esta solução é não trivial, vamos comparar a energia de u€ com a energia do ground state do problema limite

Primeiro vamos mostrar a existência de um ground state para este problema, e usando argumento de blow up estudamos o comportamento assintótico de u€ e mostramos que o máximo de u€ é assumido em um ponto P€ que tende para

F

E 80, o ponto onde a

curvatura generalizada é máxima.

No caso crítico, ou seja, quando q

=

p* usamos uma desigualdade devido a Cher-rier [14] para provar uma versão do Lema de concentração de compacidade. Usando este resultado juntamente com argumento de minimização, vamos mostrar a existência de uma solução com energia mínima e estudar o comportamento assintótico da solução por argumento de blow up.

Abstract

In this work, we study the existence of least energy solutions and phenomenon of concentration for the following Neumann perturbated Quasilinear problem:

m D in D on âD,

where -t:::.P is the p-Laplacian operator, E is a positive parameter, 1

<

p

<

N, p

<

q ::;

p* :=

!/!.P'

D c IRN is a bounded smooth domain and TJ is the outer unit normal to âD.

In the subcritical case p

<

q

<

p* :=

!/!:P

we use variational methods to obtain the existence of solution u< with the least energy. To prove that u< is not trivial, we compare

the energy of ué with the energy of ground state of the limit problem

First we show the existence of a ground state for this problem, and then using blow up

argument, we study the asymptotic behavior of u< and show that the maximum of ué

is assumed at point Pé which tends to

P

E âD, the point where generalized curvature

maximizes.

In the criticai case, that is, when q

=

p* we use an inequality due to Cherrier [14], to prove a version of the compactness of concentration Lemma. Using this result together

with the minimizing method we show the existence of a least energy solution and study the asymptotic behavior of the solution by the blow up argument.

Neste trabalho usaremos as seguintes notações: S1: domínio de JRN,

• : fim de uma demonstração,

Br ( x): bola aberta com centro x e raio r,

n :

fecho do conjunto

n,

---+: convergência forte,

~: convergência fraca,

w;·P(S1) := {u E W1·P(S1): u(x) = u(lxl)},

JS11: denota a medida de Lebesgue do conjunto D,

fn

f:

denota

fn

f(x)dx,

lfls

:= (Jn lf(x)Jsdx)~, O< s ~

oo,

P* ·= _{. N-p'} Np 1

<

p

<

N,

A( h) :=

o(lhl)

desde que I~~~)

I

---+O,

Ih

i

---+O,

Conteúdo

Introdução 1

1 Existência de um Ground State 9

1.1 Introdução . 9

1.2 Prova do Teorema Principal 12

2 Caso Subcrítico 17

2.1 Introdução .

...

.

.

17

2.2 Existência de Solução Positiva . 21

2.3 Uma Estimativa para c€ .. 24

2.4 Uma Estimativa Uniforme para u€ . 30

2.5 Concentração da Solução . 35 2.6 Prova do Teorema 2.3 . 37 2.7 Apêndice . 44 3 Caso Crítico 51 3.1 Introdução . . . . .

.

51 3.2 Preliminares . .. 53

3.3 Existência de Solução Positiva . 56

3.4 Comportamento Assintótico de U>.. • 61

3.5 Regularização da Solução . 64

3.6 Apêndice.

...

67

Bibliografia 79

Introdução

Neste trabalho, vamos estudar a existência de solução de energia mínima e o fenômeno de concentração para o problema de Neumann Quasilinear Perturbado

I

-E.Ó.pU

+

uP- 1 - uq-1 em

n

(QN)€ _fJu u

>

o

em

n

OrJ

o

sobre

an,

onde N -.6.pu := -div(l\i'ujP-2\i'u)

=-""'

0° (j\7ujP-20°u) L x· x· i=l ~ ~

é o operador p-Laplaciano definido para uno espaço de Sobolev W1·P(Q), E é um parâmetro positivo, 1

<

p

<

N, p

<

q :::; p* := N~p,

n

c

JRN um domínio limitado suave e 7J é o vetor normal unitário exterior à fronteira de

n.

O p-Laplaciano é um operador quasilinear elíptico que aparece em vários problemas da Física e Mecânica, tais como: Glaciologia, Climatologia e Fluidos não-Newtonianos. Por exemplo, no estudo de sensitividade de um modelo estacionário não-linear que apa-rece em climatologia com relação a variação da constante solar (ver Arcoya-Diaz-Tello [9] e suas referências).

De uma forma mais rigorosa, o p-Laplaciano é o operador não-linear -.6.P : W1·P(Q)

H-w-l,p' (n), ~

+?

= 1 definido por

Por ser um operador não-linear definido em um espaço de Banach, os problemas que envolvem este tipo de operador apresentam várias dificuldades tais como: unicidade, re-gularidade, degeneracidade, etc.

No caso semilinear, ou seja, quando p

=

2 o problema correspondente { -E.6.u

+

u = uq-l u

>

o

au

=

o

3T)

em D em D sobre

an,

com 2

<

q ~ 2* :=

J:!_

₂, tem sido objeto de extensa pesquisa nos últimos anos. O recente

progresso no estudo de problemas com condição de fronteira de N eumann, tem atraído menos atenção por parte dos pesquisadores em contra-partida com o problema de Diri-chlet Semilinear. Uma explicação para isto, talvez seja o fato de que qualquer solução para o problema de Neumann é instável quando vista como uma solução da equação parabólica correspondente. Entretanto, o estudo de (SN)€ é motivado pelo fato do

pro-blema aparecer em vários modelos em biologia. Na verdade, (SN)€ é equivalente a um

sistema de equações que aparece no estudo de um problema de agregação chemotactic,

de um modelo proposto por Keller e Segal [23]. Ele pode também ser visto como um

shadow-systems de algum sistema do tipo ativador-inibidor (ver Li-Ni-Takagi [25]).

Outro ponto importante, tem sido o progresso no estudo de simulação numérica, e tem-se observado um fenômeno conhecido como ponto de condensação, isto é, a solução

tende a zero quando E -t O, exceto para um número finito de pontos. Assim, torna-se importante conhecer não somente a existência de solução para (SN)€ mas também o

comportamento assintótico da solução.

Para o problema semilinear (SN)€, os primeiros resultados de existência no caso subcrítico, ou seja, 2 < q < 2* são devido a Ni-Takagi [31]. Após este trabalho, despertou-se um grande interesdespertou-se no estudo de problemas elípticos com condição de Neumann. Com relação a este tipo de problema, existe uma extensa literatura da qual destacamos: Lin-Ni-Takagi [25], Lin-Ni-Takagi [31], Del Pino-Felmer [15]. Nestes trabalhos, eles mostraram a existência e o comportamento assintótico da solução de energia mínima. Em seus métodos, foi fundamental conhecer a existência de um ground state para o problema limite

-.6.w

+

w

=

wq-l u >O em JRN

' '

ou seja, uma solução radial positiva w, tal que w e suas derivadas de primeira ordem têm

decaimento exponencial.

Em 1991, Adimurthi-Mancini [3] e Wang [48] obtiveram, em trabalhos independentes, os primeiros resultados de existência para o problema semilinear (SN)€ para o caso crítico.

A grande diferença entre o caso subcrítico e o caso crítico, está na falta de compacidade da imersão de Sobolev

H1_{(D) <-t L}2 ' (D).

Na tentativa de usar minimização no caso crítico, as estimativas do tipo Brezis-Nirenberg [13] não são suficientes pelo fato de estarmos minimizando em H1(D).

En-Introdução 3

tretando, o grande mérito de Wang [48] e Adimuthi-Mancini [3], foi certamente ter per-cebido a contribuição da fronteira nestas estimativas, tornando estas bem diferentes das estimativas do problema de Dirichlet correspondente obtidas por Brezis-Nirenberg [13].

Em [32], Ni-Pan-Takagi usaram uma desigualdade tipo Harnack e estudaram o com-portamento da solução de energia mínima para o mesmo caso. Por outro lado, usando um argumento de blow up, Adimurthi-Pacella-Yadava [4] mostraram a influência da

geo-metria da fronteira na existência e no comportamento da solução de energia mínima. Ao tentar adaptar estas técnicas para operadores mais gerais como o p-Laplaciano

(p =f. 2), surge naturalmente inúmeras dificuldades de ordem bastante técnicas, essen-cialmente pelo fato do operador não ter estrutura hilbertiana. Na verdade, a questão mais delicada é certamento o fato de não se conhecer a unicidade de solução positiva. Outra grande diferença está no argumento de blow up usado no caso semilinear onde foi

fundamental a regularidade C2 _{da solução, ao contrário do nosso caso onde a solução é}

somente C1_,a.

Aqui, entendemos por uma solução de (QN)€, uma função u E W1_{,P(O) tal que}

1

(Ej\i'ujP-2\i'u\i'cp

+

jujP-2ucp)

-1Ju/ª-

2

ucp

= 0, 'V

cp

E W1'P(f2). Motivado pelas imersões de Sobolev

surge naturalmente a necessidade de estudar separadamente o caso subcrítico, que

cor-responde aos valores de q na faixa 1 < q < p* e o caso crítico, que corresponde ao maior

valor para qual esta imersão existe, ou seja, q = p* que é o expoente crítico de Sobolev.

No caso subcrítico, usando técnicas variacionais, mais especificamente o Teorema do Passo

da Montanha, vamos obter uma solução u€ de ( QN)€ como sendo um ponto crítico do

funcional energia J€ : W1_{,P(D) 1--7 IR definido por}

J€(u) =

~

r

(éj\7ujP

+

jujP)-

~

r

jujª.

P

Jn

q

Jn

Como veremos, o bem conhecido Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti-Rabinowitz [5] implica que

c€ := inf max J€(g(t))

gEr o::;t:SI é um valor crítico positivo do funcional J€, onde

r:= {

g E C([O, 1], W1'P(O)) : g(O) =O, g(1)

=e}

e e O é uma função em W1,P(fl) tal que J€(e) <O. Além disso, por uma caracterização de c€ (veja Lema 2. 5), ele é o menor valor crítico positivo de J€. Dessa forma, u€ é

Notando que ü = -1, ü =O e ü = 1 também são soluções de (QN)€, a primeira difi-culdade é mostrar que a solução obtida pelo Passo da Montanha é diferente dessas. Para isto, vamos adaptar as técnicas usadas em Ni-Takagi [31

J.

A idéia é usar a caracterização do nível c" e comparar com a energia I ( w) de uma solução radial positiva do problema limite

-!:lpw

+

wP-1 _{= wª-}1 _{em IRN, (1)}

onde I: W1,P(JRN) r-+ IR é o funcional energia associado, definido por

Para fazer esta comparação é necessário conhecer a existência de um ground state, ou seja, uma solução radial w com energia mínima tal que w e suas derivadas tenham

de-caimento exponencial.

Quando q = p*, após um reescalonamento da forma v

(QN)€ é equivalente ao problema E- 1/(p*-p)u, o problema (QN)>, em O em O sobre 80,

onde À = 1/ E. A principal dificuldade nesse caso é a falta de compacidade da imersão de

Sobolev

W1_{'P(O) y LP. (n).}

Nesse caso, soluções de (QN)À são pontos críticos do funcional energia definido por

JÀ(u) :=

~

r

(j\7ujP

+

ÀjujP)-

~

r

jujP*.

P

Jn

p*

Jn

Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange, o problema (QN)>. é equivalente ao seguinte problema de minimização

fn(!VujP

+

>.jujP)

Un JujP*)P!P*

Uma outra dificuldade surge pelo fato de estarmos minimizando em W1,P(f2). Entretanto, adaptando as técnicas de Wang [48] vamos obter uma comparação entre SÀ e a constante ótima da imersão de Sobolev n;'P(fl) y

v·

(fl)' onde n;'P(O) é o completamento de

Introdução 5

Usando uma desigualdade devido a Cherrier [14], vamos obter uma versão do Lema de concentração de compacidade e provar a existência de um minimizador paraS>.,.

Observação: De agora em diante, vamos nos referir a (QN)<- para o caso subcrítico e

(QN)>.. para o caso crítico.

Nosso trabalho foi escrito em três capítulos e está organizado da seguinte forma:

No capítulo 1, vamos utilizar técnicas de simetrização de Schwarz para estabelecer a existência de um ground state para o problema (1). Uma dificuldade está no fato de que as soluções das equações que envolvem o operador p-Laplaciano não serem clássica. O principal resultado obtido neste capítulo, estende um resultado devido a Strauss [38] que trata o caso em que p = 2. Precisamente, mostramos o seguinte resultado

Teorema 0.1 O problema (1) possui uma solução radial positiva w tal que :

i) O

<

I ( w) :::; I ( u) para toda solução u de ( 1),

ii) existe r0 >O tal que w'(r) :::; O para r;:::: r0 e w E C

2_(r

0 , oo),

iii) w juntamente com suas derivadas de primeira ordem tem decaimento exponencial, ou seya, existem C

>

O, 6

>

O tais que

para Jo:J :::; 1.

Portanto, do Teorema 0.1 fica estabelecido a existência de um ground state para o pro-blema (1).

No capítulo 2, vamos usar o ground state obtido no capítulo 1 para obter uma solução de energia mínima u€ para o problema quasilinear (QN)<-. Em nosso primeiro resultado de existência provamos

Teorema 0.2 Existe E0

>

O tal que o problema (QN)e possui ao menos uma solução

positiva não trivial u€, para qualquer E E (0, E0 ) . Além disso, a solução satisfaz a seguinte

estimativa

c€ = J€(ue) :::;

/f; {

~I(w)- 0:1~ +o(~)},

onde a= (N- 1)H, H a curvatura média em algum ponto da fronteira de

n

e

Adaptando o método de iteração de Moser, vamos obter uma estimativa uniforme para

u€ quando E - t O. Em seguida, usando argumento de blow up estudamos o comportamento assintótico de Ue e mostramos que o máximo de Ue concentra-se, após passagem para uma

Teorema 0.3 Seja Uç a solução de energia mínima obtida no Teorema 0.2 e PE um ponto de máximo de Uç em

D,

então

dist(PE, 8D) =O( y;E). (2) Em particular, PE -t

p

E

an,

após passagem para uma subsequência.

Como no caso semilinear, poderíamos indagar se Pé o ponto da fronteira que tem curva-tura média máxima. Uma grande dificuldade para responder este tipo de pergunta, esta no uso das técnicas ultilizadas no caso semilinear, onde foi fundamental a unicidade de solução positiva do problema limite. Além disso, no nosso caso não existe um resultado do tipo Gidas-Ni-Nirenberg [21] para o problema quasilinear (1), ou seja, não sabemos se toda solução positiva de (1) é radial. Entretanto, usando uma técnica devido a Del Pino e Felmer [15] vamos introduzir a curvatura generalizada(veja introdução do capítulo 2) e mostrar o seguinte resultado

Teorema 0.4 Seja P E 8D o ponto limite obtido no Teorema 0.3. Então

c€ =e

~f

{

~I(w)-

y;€1-l(P) +o( y;E) }, onde 1-l é a curvatura generalizada. Em particular,

1-l(P)

=

max 1-l(z).

zEôíl

(3)

(4)

No caso particular em que 1

<

p

<

2, um resultado recente devido a Serrin e Tang [39] mostra que toda solução positiva do problema (1) é radial. Nesse caso, a curvatura ge-neralizado(como veremos) coincide com a curvatura média.

No capítulo 3, vamos estudar o problema (QN);... Nesse capítulo, mostramos uma versão do Lema de concentração de compacidade, e com auxílio desse Lema vamos usar argumento de minimização para provar a existência de uma solução u;.. com energia mínima, porém para À grande. Mais precisamente,

Teorema 0.5 Existe Ào >O tal que para À> Ào o problema (QN)>... admite uma solução positiva não-trivial w;,. Além disso, a solução de energia mínima obtida satisfaz a se-guinte estimativa

(5)

Observemos que o argumento de iteração usado no caso subcrítico não se aplica para o caso crítico. Entretanto, adaptando um argumento de blow up devido a Adimurthi-Pacella-Yadava [4], vamos estudar o comportamento assintótico deu;.. e mostrar que nesse caso o ponto de máximo também se concentra em algum ponto da fronteira de D. Temos então o seguinte resultado

Introdução

Teorema 0.6 SejaM>..= ma..;x:u>..(x)

=

U>..(P>..), então

xEll

i) M>.. ---+ oo quando .À ---+ +oo,

N

ii) dist(P>.., 8D)

=

0(1/M!), quando .À --t oo.

Em particular, após passagem para uma subsequência, P>.. ---+

P

E 8D.

7

Finalmente,· nos Apêndices dos capítulos 2 e 3 apresentamos as provas de alguns re-sultados técnicos que foram usados no decorrer desses capítulos.

Para facilidade da leitura desse trabalho, resolvemos repetir os enunciados dos teore-mas na introdução de cada capítulo.

Capítulo

1

Existência de um Ground State

1.1

Introdução

Neste Capítulo, vamos estabelecer a existência de uma solução radial positiva para o problema quasilinear

(1.1) onde -.6.Pw := -div(/'Vw/P-2\i'w) é o operador p- Laplaciano, 1

<

p

<

q

<

p* := !:!.P

e 1

<

p

<

N.

No caso particular em que p = 2, o problema semilinear

(1.2)

foi bastante estudado, e existe uma extensa literatura referente a este problema. No trabalho pioneiro de Strauss

[38],

usando técnicas de simetrização de Schwarz, ele mostra que a imersão

2N

wrl,2(JRN) <-+ Ls (JRN), 2

<

s

<

2* := N- 2

é compacta. Usando argumento de minimização, ele mostra a existência de uma solução conhecida na literatura por ground state, ou seja, uma solução radial positiva w com energia mínima tal que w e suas derivadas de primeira ordem tem decaimento

exponen-cial.

Em [11] Berestycki e Lions, fizeram um estudo mais completo do problema (1.2) tornando-se assim, uma das principais fonte de referências para este tipo de problema.

Em muitos trabalhos, o ground state tem sido fundamental no estudo de vários pro-blemas com características variacionais, onde a idéia é comparar a energia do problema considerado com a energia de algum problema limite.

Na literatura, não conhecemos este tipo de resultado para p =J 2. Nosso objetivo aqui, é provar a existência de um ground state para o problema (1.1). Para isto, seja

I: W1_{,P(fflN) -t}

mo

_{funcional energia associado ao problema (1.1)}

Entendemos por uma solução fraca de (1.1), uma função w E W1_{,P(JRN) tal que}

para toda 'P E W1,P(JRN), ou seja, w é um ponto crítico de I.

Em contraste com o caso semilinear, não existe um resultado do tipo Gidas-Ni-Nirenberg [21] para o problema (1.1), ou seja, não sabemos se toda solução positiva de (1.1) é radial. Entretanto, em [40] Serrin e Zou estabelece uma condição suficiente

para que toda solução positiva de uma classe de problemas quasilineares mais gerais que (1.1) sejam radiais. Mais precisamente, se uma solução positiva tem um único ponto crítico, então a solução é radial.

Em [39] Serrin e Tang, estudaram um problema mais geral da forma

onde a não-linearidade

f

satisfaz as seguintes hipóteses:

(H1)f é contínua em (0, oo), com f(u) ~O em (0, b] e f(u) >O para u > b,

(H_2)f E C1_{(b, oo) com g(u) := uf'(u)/ f(u) não-crescente,}

(1.3)

para algum b

>

O. Neste trabalho, eles mostraram que o problema quasilinear (1.3) admite no máximo uma solução radial positiva. Em particular, a não-linearidade

f(u)=uq-up, p<q,

satisfaz as hipóteses acima, pois

' (q- p)2uq-p-l

g (u) = - (uq-p- 1)2 <O, u

>

1.

Portanto, o problema (1.1) tem unicidade no espaço das funções radiais. Entretanto, eles

não mostraram existência de solução.

Quanto ao decaimento de w, usando o método de iteração de Nash-Moser, Li [26]

provou a seguinte estimativa

Teorema 1.1 ( Teorema 1.1 em {26)} Seja w E W1_{,P(JRN), uma solução fraca do}

pro-blema:

-6.pw

+

lwJP- 2w = f(w), em JRN onde, 1 < p < N, p* := J:!:P e f satisfaz:

(]I)

f

E C(JR, IR) e

lim lf(t)i/itlP =O;

t-+0

1.1. INTRODUÇÃO 11

(h) Existe uma constante b ~ O tal que

lim lf(t)l/lt!P*-l = b. t-+oo

Então, w E L00_{(!RN) e existe C independente de R tal que,}

(1.5) Em particular, limrxl-+oo w ( x)

=

O.

Como consequência da estimativa (1.5), Li e Yan [27] obtiveram o seguinte resultado, que dá o decaimento exponencial de w

Teorema 1.2 (Teorema 3.1 em [27}) Seja w E W1·P(JRN) uma solução fraca de {1.4),

então w tem decaimento exponencial, ou seja, existem C

>

O, p

>

O e R

>

O tais que !w(x)! ~ Ce-J.Lixl para lxl ~R.

Recentemente, Rabier e Stuart [37] também obtiveram os mesmos resultados do Teo-rema 1.2. Entretanto, para provar o decaimento exponencial das derivadas, eles supõem que o operador seja fortemente elíptico. Para operadores mais gerais como o p-Laplaciano, nós não conhecemos nenhum resultado nesta direção. A dificuldade está no fato de que em geral, a solução não é clássica. Entretanto, conhecendo que w é radial, vamos mostrar que w E C2_(r

0 , oo), e como consequência disto, mostraremos que a derivada também tem

decaimento exponencial.

Nosso principal resultado neste capítulo é o seguinte

Teorema 1.3 O problema (1.1) tem uma única solução radial positiva w E C1•a(JRN)n

Wr1_{·P(JRN) tal que:}

i) existe T0

>

0 tal que w'(r) ~ 0 para r~ T0 e W E C2(r0 , oo);

ii) w juntamente com suas derivadas de primeira ordem tem decaimento exponencial, ou seja, existem C> O, S

>

O tais que

(1.6) para

!ai

:S

1.

iii) Além disso, w é uma solução com energia mínima, ou seja,

O< I(w) ~ I(v) (1.7)

para qualquer solução v de (1.1).

Assim, do Teorema 1.3 fica estabelecido a existência do ground state para o problema quasilinear (1.1).

1.2

Prova do Teorema Principal

Nesta seção, vamos apresentar a prova do Teorema 1.3.

Antes de provar o teorema, vamos relembrar alguns fatos que são cruciais na prova desse resultado.

O primeiro é sobre simetrização de Schwarz para funções em W1_,P(JRN)

Teorema 1.4 (veja Teorema 2. 7 em [7}) Seja u

2:

O e u* a simetrizada de Schwarz de u. Se u E W1_{,P(JRN), então u* E W/,P(JRN). Além disso, u* satisfaz as seguintes}

propriedades:

(pl) para s

>

1,

JJRN

iu*ls =

JJRN

luis.

(P2)

JJRN.

l\7u* IP

:S

JJRN

l\7ujP.

Observação 1.5 Na verdade este fato foi primeiro mostrado por Sperner em [41}.

Finalmente, vamos relembrar o seguinte resultado (veja Teorema II.1 em Lions [29]) que generaliza o resultado de Strauss. A imersão

(1.8) é compacta. Utilizando estes fatos e um argumento de minimização vamos mostrar a existência de um ground state para o problema (1.1).

Prova do Teorema 1.3: A prova desse Teorema será feita em vários passos: Passo 1: Existência

Considere o seguinte problema de minimização

onde

M := { u E W1'P(JRN);

LN

iulq = 1 }·

Afirmamos que existe U0 E W/,P(JRN) tal que

(1.9)

(1.10) De fato, considere uma sequência minimizante ( un) para C00

• Pelo Lema 7.6 em [18],

l\7lun(x)ll = j\7un(x)l q.t.p em JRN. Consequentemente, podemos supor que Un

2:

O, pois (iunl) também é uma sequência minimizante para C00

• Agora, seja u~ a simetrizada

de Schwarz de Un. Sendo ( un) limitada, pelo Teorema 1.4 temos

llu~llp

=

r

l\7u~lp

+

r

lu~lp

::; llunllp ::;

c.

1.2. PROVA DO TEOREMA PRINCIPAL 13

Assim, podemos assumir que u~ ___;. U0 E w;,P(JRN). Pela semicontinuidade fraca da

norma temos,

(1.11) Por outro lado, por (1.8)

u~ ~

Uo em Lq(JRN) e

r

luolq = 1.

JJRN

Logo, pela definição de

coo

(1.12) Portanto, de (1.11)-(1.12) temos (1.10). Além disso, u0 ~O. Pelo Teorema dos

Multipli-cadores de Lagrange temos

(1.13) para toda cp E W1_{,P(JRN). Após um reescalonamento, obtemos que w = (C}00

)1f(q-p)u₀

satisfaz

para toda cp E W1_{,P(JRN), ou seja, w = (C}00

)1f(q-p)u₀ é uma solução fraca de (1.1).

Além disso, pelo Teorema 1.1, w E L00_{(JRN) e por uma desigualdade tipo Harnack(veja} Teorema 1.1 em Trundiger [45]) w >O.

Passo 2: Energia

Para mostrar que w é uma solução com energia mínima, ou seja, que (1.7) vale, observe

que

I(w) =

(~- ~)(C

00

)qfq-p.

p q

Por outro lado, se v é uma solução fraca de (1.1),

(1.14) Agora, seja v* a simetrizada de Schwarz de

lvl.

Pelas propriedades de simetrização de Schwarz e (1.14) temos

Da definição de

coo

e (1.15) decorre que

r

(l\7v*IP

+

lv*IP)

coo

<

J

JRN

< (

r

I

v*

Iª

r-pjq

- ( r

lv*Iª)PIª -

JmN

'

lm.N

ou seja, Consequentemente, I(v) = ( - - -) 1 1

1

lvlª

p q JRN Portanto, (1. 7) vale.

Passo 3: Sinal da Derivada

Afirmamos que existe r0 >O tal que w'(r) :::; O para r~ r0 • De fato, pelo Teorema 1.2 w

tem decaimento exponencial. Sendo p

<

q, existe R1

>

O tal que

(1.16) para toda O:::; cp E Wr1

'P(O, +oo) tal que supp cp C (R1 , oo). Agora, tome r0

>

R1 + 1 e

suponha que exista r1 ~ r0 tal que, w'(r1 )

>

O. Sendo w' contínua, exite

o

>

O tal que

w'(r) >O para r E (r1-

o,

_{r 1}

+o).

Agora, considerando a função teste

l'(r)={

o

w(r1

+

6) ( s:) 26 r - r1

+

u w(r) em (1.16) temos se se se O :::; r :::; r_{1 -} 6, r1 - 6

<

r :::; r1

+

6,. r~ r1

+

6

i

rl+õ rN-llw'IP-2w'(r) <O, r1-õ

o que é uma contradição. Portanto, w'(r) :::; O para r~ r0 •

Passo 4: Decaimento da Derivada

Afirmamos que w' tem decaimento exponencial. De fato, sendo w radial, pela formulação

fraca do problema temos

1.2. PROVA DO TEOREMA PRINCIPAL 15

onde, f(r)

=

rN-1_(wª-1_{(r)- wP-}1_(r)).

Por outro lado, definindo u(r) :=

froo

f(s)ds temos que u'(r) = - J(r). Consequente-mente, se v(r) = rN-1_{Iw'(r)IP-2w' u(r) temos}

1

00

v(s)cp'(s)ds = 0, 'i/ cp E w;'P(O, oo). Portanto, pelo Lema VIII.1 em [12] existe uma constante C tal que

rN-11w'IP-2w'

=C+

u(r). (1.18) Afirmamos que C = O. De fato, suponha que C =I= O. Pelo decaimento exponencial de u

e (1.18), existe uma constante C1

>

O tal que para r grande

rN-llw'(r)lp-1 ~C-ce-Or ~ Cl, ou seJa,

lw'(r)l

~c~,

r (1.19)

onde a= ~~

₁

1

> 1 e r >O. Integrando (1.19) de R a r e usando o fato de que w'(r) :::::; O para r~ r0 , obtemos

c1

1 1

-w(r)

+

w(R)

> - - ( - - - ) .

_{- 1 - a ra-1 Ra-1} (1.20)

Fazendo r tender a infinito em (1.20) obtemos

(R)

c1

1

w

>

-- (a-- 1) Ra-l

para R arbitrário, o que contradiz o decaimento exponencial de w. Portanto,

(1.21) De (1.21), decorre que w' tem decaimento exponencial. Além disso, w E C2

(r0 , oo). O

Capítulo

2

Caso Subcrítico

2.1

Introdução

Neste capítulo, vamos usar técnicas variacionais para estabelecer a existência e o compor-tamento de solução de energia mínima para o problema de Neumann quasilinear pertur-bado:

(QN)€

ôu

{

-Ef:..pU

+

iuiP-

2

_u

₌

_iulª-

2

_u

_{em Sl}

ÔrJ

=

o

sobre

an,

onde

!:..pu

:=

div(i'VuiP-

2

\lu)

é o operador p- Laplaciano de

u ,

p

<

q

<

p* :=

/:!:P'

1

<

p

<

N,

E>

O é um parâmetro e D

c

IRN é um domínio limitado e suave.

Aqui, entendemos por uma solução de (QN)E, uma função u E W1_{,P(D) tal que}

1

Ei'VuiP-

2

\lu\7~

+

1iuiP-

2

u~

-1iuiª-

2

wp 0, V

~E

W1,P(D). Consideremos o espaço de Sobolev W1_{,P(D) munido da norma}

e seja J€ : W1_{,P(D) -+ IR o funcional de Euler-Lagrange associado ao problema ( QN)€}

definido por

Pelas imersões de Sobolev temos que J€ está bem definido. Além disso, usando técnicas

usuais do cálculo das variações é fácil verificar que J€ E C1_(W1_{,P(D); IR) e}

Consequentemente, pontos críticos do funcional J€ são soluções fracas de (QN)€.

Usando técnicas variacionais, mais especificamente o Teorema do Passo da Montanha, vamos mostrar a existência de uma solução u€ para o problema (QN)E. Entretanto, observe que ü

=

1, ü

=

O e ü

=

1 também são soluções (denominadas de soluções triviais) de (QN)E. Usando uma caracterização do nível do passo da montanha, vamos mostrar que u€ é positiva. Para mostrar que u€ =f=. 1, usamos o fato de que

JE ( 1) = (

~

-

~)I

DI'

p q

e o ground state w do problema limite

-.6.pw

+

wp-l = wq-l

como função teste na caracterização do nível do Passo da Montanha, para obter uma estimativa superior para J€ ( u€), mostrando que

para é pequeno.

Em nosso primeiro resultado, vamos estabelecer a existência de uma solução para (QN)E quando

é> O é suficientemente pequeno.

Teorema 2.1 Existe é0

>

O tal que o problema ( QN)€ possui ao menos uma solução

positiva não trivial u€ para qualquer é E (0, é0 ) . Além disso, a solução satisfaz a seguinte

estimativa

onde a= (N- 1)H, H a curvatura média em algum ponto da fronteira de rl e

I:= N 1

r

lw'IPzNdz, z = (z', ZN ).

+

1

JJRN

+

Adaptando o método de iteração de Moser para o operador p-Laplaciano, obtivemos uma estimativa uniforme em é para u€. Usando esta estimativa e um argumento de blow up,

provamos que a solução de energia mínima tem o seguinte comportamento assintótico quando é -+ O,

Teorema 2.2 Seja u€ a solução de energia mínima obtida no Teorema 2.1 e P€ um ponto

de máximo de uE em

s1,

então

(2.1) Em particular, P€ -+

P

E ôrl, após passagem para uma subsequência, se necessário .

2.1. INTRODUÇÃO 19

Como no caso em que p = 2, poderíamos indagar:

Pé

único?

Pé

o ponto da fronteira de S1 onde a curvatura média é máxima? Para responder tais perguntas usando as técnicas existente, somos levados a velha questão: Toda solução positiva de (1.1) é radial? Que ainda é um problema em aberto. Entretanto, usando uma técnica devido a Del Pino-Felmer [15] vamos provar que

Pé

o ponto cuja curvatura generalidada é máxima. Mais precisamente, considere o problema limite

(2.1)+ { -b, w +wp-I wq-1 em IR~, w(O)

=m~w,

w

>

o

em IR~, âw

o

sobre âiR~, ÔTJ

-Observe que dada uma solução w de (2.1)+ podemos construir por reflexão uma solução de (1.1). Além disso, as soluções de (2.1)+ podem ser caracterizadas como pontos críticos do funcional energia

sobre o espaço W1·P(IR~).

Denotemos por S o conjunto de todas as soluções do problema (2.1)+ que são de energia mínima com valor crítico dados por:

Além disso, arguindo como no Lema 2.5 adiande, temos

onde

N

:= { u E W1·P(IRN)\{O}:

I~(u)u

=O} é uma variedade de Nehari.

Usando argumento de concentração de compacidade (veja Lema 2.18), vamos mostrar que Sé um subcojunto não vazio e compacto (a menos de translação) de W1·P(IR~).

Para definir a noção de curvatura generalizada , vamos fazer as seguintes considerações sobre o domínio S1: Dado z E âSl, após uma rotação e translação podemos supor que z

=

O e que existe uma vizinhança V de z de modo que

n

n

V

= { (

x', x N) E V : x N

>

G ( x')},

G(O) =O e G' (O) =O. Como em Del Pino e Felmer [15], para cada w E S vamos definir

a densidade restringida pondo

E(w,x') :=

(~(fV'w(x',O)fP+

fw(x',O)fP)-

~fw(x',O)Iq),

para x' E JRN-l (2.2) e a curvatura generalidada em z E âD. como sendo o seguinte número

1-l(z) := max -2 1

f

(x', G"(O)x')E(w, x')dx',

wES }JRN-1 (2.3)

onde G"(O) denota a matriz Hessiana de GemO. Sendo, S um conjunto compacto temos que 1-l ( z) está bem definida. Além disso, podemos verificar que 1-l ( z) não depende da

particular escolha de G, mas somente de z.

No caso particular em que S consiste somente de soluções radiais, verificaremos que 1-l(z)

=

iH(z), (2.4) onde - ·- 2N- 1

1

I

'IP d

r .-

N wN-2 w zN z,

+

1 JRN + (2.5) e 1 H(z) := N tr( G" (O)), -1 (2.6) é a curvatura média de

an

em z.

Usando esta noção de curvatura generalizada introduzida por Del Pino e Felmer [15], vamos mostrar que o ponto limite P obtido no Teorema 2.2 tem a seguinte propriedade

Teorema 2.3 Seja P o ponto limite obtido no Teorema 2.2. Então

(2.7)

onde 1-l é a curvatura generalizada definida como acima. Em particular,

1-l(P)

=

max1-l(z).

2.2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO POSITIVA 21

2.2

Existência de Solução Positiva

Para garantir a existência de um ponto crítico para o funcional J€, vamos verificar que

J€ tem a Geometria do Passo da Montanha, ou seja,

Lema 2.4 O funcional J€ satisfaz:

i) J€(0) = O e existem r, p > O tais que J€( u) >r > O para [[u[[ = p; ii)Existe e E W1,P(Q) com J€(e) <O e [[e[[

>

p;

iii) J€ satisfaz (PS).

Prova: Pelas imersões de Sobolev,

1 1 1 1

Je(u)

= -[[u[[P-

-[u[~

2

_{-[[u[[P- -c1[[u[[q}

2

c[[u[[P; O< [[u[[ < 6.

p q p q

Agora, se <.p E W1,P(Q), r.p 2 O; r.p =/=.O temos

J€(tr.p)

=

tP

r

(E[\7r.p[P

+

r.pP)- tq

r

i.pq

P

Jn

q

Jn

sendo, p

<

q temos que J€(tr.p) -+ -oo quando t-+ oo. Portanto, existe t0

>

O tal que Je(t₀r.p) <O. Escolhendo e= t0r.p temos (ii).

Para verificar (iii), vamos proceder como em Silva-Soares [43] . Seja (un) uma sequência

em W1_{,P(Q) tal que}

e

11

E[\7un[P-2\7Un \7r.p

+

fnlun[P-2unr.p -fn[un[q-2Uni./)l

<

E[[r.p[[, V r.p E W1,P(Q). De (2.9)-(2.10) temos

(~- ~)[[un[[P =

JE(un)-

~J;(un).un

:s;

M

+

[[un[[.

p q q

(2.9)

(2.10)

Consequentemente, (un) é limitada. Assim, podemos assumir que Un ~ u em W1,P(f2), e Un-+ u em Lr(n) para 1

<r<

p*.

Tomando i./)n

=

Un- u em (2.10) e observando que [[r.pn[[

:s;

C temos lim {

r

E[\luu[P-2_{\lun \7(un- u)}

₊

r

_([un[P-2_{un -[un[q-}2

Un)(Un-u)} 0 (2.11)

n-700

ln

ln

Por outro lado, observe que

llun[ª-2_{Un -[un[P-}2_unl

_:s;

_[un[q-l

+

_[un[P-1

_:s;

_[un[q-1

₊

₍₁

+

_[un[)q-1

Logo, pela desigualdade de Hc>lder

11

(Junlp-2Un -lunlq-2Un)(un- u)[ ::; C3jjun- ujjq

+

C4Jiunllr1_{Jiun- ujjq}

::; CsJiun- ujjq.

Assim, de (2.11)

Da convergência fraca de ( un), decorre que

De (2.12)-(2.13) temos

(2.12)

(2.13)

lim

r

E(j\7unlp-2_{\7un -j\7ujP-}2_{\7u)(\7un- \7u) = 0. (2.14)}

n-roo

Jn

Se p ~ 2, para todo a, b E JRN (ver Simon [42]) temos

Assim, de (2.14)

Se 1

<

p

<

2, existe uma constante CP independente de a e b tal que (ver Simon [42])

(I l

p-2 jbjP-2b) ( ) C

ia-

bj2

a a- . a- b ~ P (jaj

+

jbj)2-p.

Logo, de (2.14) temos

lim

r

I

\7 ( Un - u) 12 =

o

n-roo

Jn

(j\7unl

+

j\7uj) 2-P ·

Por outro lado, usando a desigualdade de Holder e a limitação de ( un) temos

2.2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO POSITIVA 23

Portanto, JE satisfaz (PS).

•

Definindo,

onde,

r:= { g E C([O, 1], W1,P(D)); g(O) =O g(l) =e},

pelo Teorema do Passo da Montanha de Ambrosetti-Rabinowitz [5] temos que existe uma solução não nula u€ no nível c€.

Para provar que u€ é positiva, vamos primeiramente relembrar a seguinte

caracte-rização do nível crítico c€

Lema 2.5 Seja

N

:= { u E W1,P(D)\{O}:

J~(u)u

=O},

então

c* := inf max JE(tv) c€ c0 := inf J€,

vEWl,p(fl)\{0} t?:O N

onde c€ é o nível do Passo da Montanha.

Prova: Sendo, u€ uma solução, temos que maxt>o J€(tu€)

=

JE(u€)

c* ::; c€. Suponha que c*

<

c€. Assim existe v* E Mfi,P(D) tal que,

c€. Portanto,

Mas, da geometria de J€ decorre que existe um número t*

>

O tal que J€( e*) = O, onde

e*= t*v*.

Agora considere o subconjunto

v+:=

{>.e+ pe*: >., p ~O}

do subespaço V de W1_{,P(D) gerado por e, e*, onde e é definido pelo Lema 2.4 . Seja S}

um círculo em V de raio R de modo que, R> max{Jiell, lle*il} e JE(v)::; O em

v+

n

S.

Observe que um tal círculo sempre existe. De fato, as normas em dimensão finita são equivalentes.

Agora considere, a curva g que consiste do segmento reto

[O,

~~:jll,

o arco S

n

v+

e o

R e

segmento

[W,

e]. Claramente, temos g E

r.

Além disso, observe que max JE(g(t))

=

maxJE(tv*)

<

c€.

O que é uma contradição com a definição do nível do Passo da Montanha.

Para verificar a segunda igualdade, note que C0 :S Ce, pois

N

contém todos os pontos críticos de J€. Por outro lado, dado u E

N,

maxt>O Je(tu) = Je(u). Consequentemente,

c* :S c0 . Portanto, c0 = c€ = c*. •

Proposição 2.6 Seja u€ a solução de (QN)€ obtida pelo Teorema do Passo da Montanha,

então uE é positiva.

Prova: Denotando por u:

=

max( ue, O) e u-;

=

min( u0 O) temos que Ue = u: - u-;. Agora, suponha que

u:

O e

u-;

=/= O. Defina h : [0, oo) -+ IR pondo,

h+(t) := JE(tun = tP

f

(E!\7u:IP

+

!u:!P)- tq

f

!u:!q.

P

Jn

q

Jn

Sendo, u€ uma solução fraca de (QN)e temos maxh+(t) = h+(1). Analogamente, se

t?;O

h-(t) := J€(tu-;) tem-se, maxh-(t) = h-(1). Por outro lado, pelo Lema 2.5 temos

t::::o

c€

=

J€(ue)

=

JE(u:)

+

JE(u-;)

=

h+(1)

+

h-(1)

=

maxt?:O h+(t)

+

maxt?:O h-(t)

~ Ce

+

c€

=

2c€.

O que é uma contradição. Portanto, uE não muda de sinal. Agora, note que se J;(ue) =O, então J' ( -ue) = O. Assim, podemos supor u€ ~ O.

Para mostrar que Ue

>

O, observe que

ou seJa,

Sendo, g(t) = tP-l uma função não-decrescente tal que g(O) O e

t

1

lo

(g(s)s)-"Pds

=

oo,

o Princípio do Máximo devido a Vasquez ([47], Teorema 5) implica que ué

>

O.

2.3

Uma Estimativa para

cE

Obser:vando .. que

u

=

1 é uma solução positiva de (QN)€, vamos proceder como em Ni-Takagi [31] para obter uma estimativa assintótica do nível crítico c€, para mostrar que a

2.3. UMA ESTIMATIVA PARA Cf. 25

solução obtida acima satisfaz Uç ~ 1.

Agora, usando a caracterização de ué dada pelo Lema 2.5 e o ground state w do problema limite (1.1) obtido no Capítulo 1, vamos construir uma função comparação adequada para comparar Cç com I ( w), onde

Para fazer isto, seja P E éJQ um ponto arbitrário da fronteira de r2, após uma translação e uma rotação, podemos supor sem perda de generalidade que P

=

O (origem) e que

o eixo.:.xN coincide com a normal interior a éJQ em P, pois o operador p-Laplaciano é

equivariante, ou seja, a formulação fraca é invariante por uma transformação ortogonal. Sendo

n

suave, existe uma função suave 'ljJ: BRJO)

n

{xN O}-+ IR tal que

i) '1/J(O) =O e \7'1/J(O) =O;

ii)

an

n

BRo(O) = { (x',xN)/xN =

'1/J(x')} e

n

n

BRo(O) = { (x',xN) E BRo(O);xN

>

'1/J(x') }, onde (x1, ... xN)

=

(x', XN ).

Para y E IRN com JyJ suficientemente pequeno, defina a aplicação 1? : IRN -+ IRN

pondo 1?(y) = (1?1(y), ... , 1?N(Y)) = x, onde

1? ·(y) = { Yj- YN

g~

(y') para

J YN

+

'1/J(y') se

j = 1, ... ,N -1

j=N.

Sendo \7'1/J(O) = O, é fácil verificar que D1?(0) = I, onde D1?(0) denota a matriz jacobiana de 1? e I é a matriz identidade. Portanto, 1? tem uma inversa y

=

1?-1(x) para Jxl

<

8'.

Denotemos por \ll(x)

=

(w1(x), ... , WN(x))

=

1?-1(x)

=

y. Fixemos, 11,

>

O

suficiente-mente pequeno de tal forma que 1? esteja definida em B3,.,.

Para p

>

O, defina a função truncamento f,p : [0, +oo) -+ IR por

Seja w o ground state do problema limite

se se se

obtido no Capítulo 1, e w* a função definida por

o~ t ~ p,

p

<

t ~ 2p,

Além disso, denote por

DJ := 1>(Bjk) para j = 1, 2.

Onde

B:

= Br n

IRf_.

Note que D₁ c D2 c

n.

Agora, defina a função comparação cp€ como segue:

( ) _ { w*(w(x)/ y!E) cp€ X - 0

se x E D2, caso contrário.

Pela caracterização de c€ estabelecida no Lema 2.5, c€ :=:; max JE(tcp€). Por outro lado,

t;::o

da geometria do funcional J€, existe ta

=

ta (E)

>

O tal que c€ :::;

t~

r

(JV'cp<JP

+

~)

_

tâ

r

cp~.

P

ln

q

ln

(2.15)

Para calcular o lado direito em (2.15), vamos usar os seguintes lemas técnicos que pro-varemos no Apêndice deste capítulo. De agora em diante, w sempre denotará o ground state obtido no Capítulo 1.

Lema 2.7 Para 1:::; j:::; N- 1, temos

e onde Lema 2.8 w satisfaz Além disso,

k::

Jw'JP-

2

_(z)(~~fzNdz

= 1 ;

1

,1 1 N

+

1 l-wP - -wª)zNdz

=

21

-m:;

P q P

Lema 2.9 Quando E -7 O, temos

1

cp;(x)dx = EN/p{

LN

wr(z)(1- ay/EzN)dz

+

0(E21P) }, +

2.3. UMA ESTIMATIVA PARA C€ 27

Lema 2.10 Quando E -+ O,

Como consequência dos Lemas acima temos o sequinte resultado:

Proposição 2.11 Seja h€: [0, oo)-+ IR definida por hé(t) := Jé(trp€). Então para cada

E> O suficientemente pequeno, h€ atinge seu máximo em um único ponto t0

=

t0(E) >O.

Além disso,

to= 1 + ;Jy/E +o(

\IE)

quando E-+ O, onde

/3

é uma constante.

Prova: Se hE : [0, oo) -+ IR é definida por, hé(t) := JE(t'l/J€) temos que h~(to) = O se, e somente se, to

=

O ou,

E

1/\7rpEJP

+

1

<P:

=

t~-p

1

rp~.

Consequentemente, h€ atinge um único máximo em t0

=

t0(E)

>

O. Para mostrar que t0 = 1

+

/3 :e/E+

o(

:e/E),

ponhamos s =

:e/E

e defina

ou seja,

Portanto, pelos Lemas 2.9 e 2.10 temos

a(s, t) = tP- 1

r

(/w'/P

+

wP)- tª- 1

r

wª- tP- 1(N

+

1-p)o:rs

Jm~

Jm~

+s

LN

(tP-lwP- tª- 1wª)zNo:

+

O(s2). +

Agora, observe que a(O, 1) =O e

O"t(O, 1)

=

(p- 1)

r

(/w'jP

+

wP)dz- (q- 1)

r

wª

=

(p

Pelo Teorema da Função Implícita, existe t(s) definido em sE [0, s**) tal que o-(s, t(s))

=

O e t(O)

=

1. Além disso, quando E--+ O

t(E) = t(O) t'(O)y/E +o( y/E)

=

1 + t'(O)y!E +o( y/E)

=

1 + ;1y!E +o( y!E).

Notando que h~(t)0(s)) = sN o-(s, t0(s)) =O temos t0(E) = 1 + j1y/E +o( y!E). O que prova

a Proposição 2 .11. •

Agora estamos pronto para provar o principal resultado desta seção

Proposição 2.12 Para E suficientemente pequeno,

c€:::;

/f; {

~I(w)- O:(~+ o(~)}·

Prova: Pela caracterização de c€ dada pelo Lema 2.5 temos

Cç

:S:

maxJ<(tr.p€) = J<(tor.p<) =

t~

r

(EIV'r.pEIP + <pn- tb

r

<p~.

(2.16)

t;:::o p

ln

q

ln

Agora, vamos calcular o lado direito de (2.16). Usando fórmula de Taylor, Lema 2.9 e Proposição 2.11 segue

= E%(1 + (/1 + o(1))y!E)q{

LN

wq(1-

o:~zN)dz

+ 0(E21P)}

+

=E !f; ( 1 + q(/1 + o(1))y/E + 0(E2/P)) {

r

N Wq(1-

O:~ZN

)dz + 0(E2/P) }·

}IR+

Pelo decaimento exponencial de w, obtemos

Analogamente,

Por outro lado,

= E%((1 + p(/1 + o(1))y!E + 0(E2/P)){

LN

iw'IP- (N

+ 1-

p)o:r~

+ 0(E21P)}

+

=E% {

LN

iw'IP

+

p/1~

LN

iw'IP- (N

+ 1-

p)o:r~

+ o(E11P) }·

2.3. UMA ESTIMATIVA PARA C€

Consequentemente,

O fato de w ser radial implica em

r

(~(fw'fP

+

wP)dz-

~wq)dz

=

~J(w).

JJRN

p q 2 + Além disso,

21

([w'[P

+

wP- wq)dz IR !f_

=

r

([\i'w[P

+

wP- Wq)dz

JJRN

Pelo Lema 2.8, Portanto, a -[(N+1-ph p

=

r

([\i'w[P- 2\i'w\i'w

+

wP- Wq)dz

=

Ü.

JJRN

+

r

wPzN-

E

r

wqzN]

JJR!j_

q

JJR!j_

a

1

wP wq

=

-[(N

+

1-P)!

+

p ( - - -)] p ~ p q a

= - [ (

N + 1 - p h + ( 2p - ( N + 1) h] p

=a,.

c€:::; //; {

~I(w)-

a1f/E

+o(

f/E)}·

O que prova a proposição 2.12.

Prova do Teorema 0.2: Sendo, u€ uma solução de (QN)€ temos

1

é[V'u€1p-2V'u€V'<p

+

fnru€rp-2u€<p = fnru€rq-2u€<p, 'rf <p E W1,P(f2). Escolhendo, <p = u€ obtemos

Consequentemente, pela estimativa de c€

29

N

Por outro lado, JE(u) = (~- ~)JOJ. Assim, escolhendo

E

tal que C0EP

<

(~- ~)JOJ, temos

que uE =I=

u.

O que prova o Teorema 2.1. •

2.4 Urna Estimativa Uniforme para

uE

Baseado no método de iteração de Moser, vamos obter uma estimativa uniforme para a solução de energia mínima uE. Sobre a regularidade do problema (QN)E temos a seguinte observação:

Observação 2.13 Seja uE a solução obtida no Teorema 2.1. Como consequência do

Lema3.12 e Teorema 2 em Lieberman [24} uE E C1_,a(f2)

Proposição 2.14 Seja uE a solução de energia mínima do problema (QN)E obtida no

Teorema 2.1, então existe C0 = Co ( N, p, q) tal que

(2.17) Em particular, uE -7 O em medida em

n

quando E -7 O. Além disso, existe uma constante C1

>

O,C1 = C1(p,q,N) tal que

(2.18)

Prova: Da prova do Teorema 2.1 temos (2.17). Para mostrar a estimativa (2.18), vamos

usar o método de iteração de Moser.

Fixado E0 >O, para v E W1·P(Q) e E E (0, E0 ) , segue dos teoremas de imersão de Sobolev

que

( fnlvJP*)

?- :::;

,-pE-k (

1

EjV'vJP

+

JvJP)

dx, (2.19) onde K = N~;::P), e 1 depende somente de N e

E

0 •

2.4. UMA ESTIMATIVA UNIFORME PARA U€ 31

Agora, observe que a constante de imersão 1€ depende somente de N e da propriedade do cone. De fato, pelo Lema 5.14 e Corolário 5.16 em Adams [1], 1€ não depende do volume de

n€.

Portanto, fE é uniforme para é E (0, éo]·

Para obter uma estimativa uniforme para u€, note que

Em particular, tomando cp

=

u~s-l)p+l E W1,P(n); (s 2: 1) segue

((s- 1)p

+

1)s-P

l

é/\7u:JP

+

1

u? =

l

u~+(s-l)p.

(2.20)

Fazendo v= u~ em (2.19) temos

(2.21)

Note que se s 2: 1 e p

>

1, então ((s- 1)p

+

1) 2: s, ou seja, ((s- 1)p

+

1)s-P 2: s-P+1.

Assim, (2.20) - (2.21) implica que

:::; ,-pcK (

l

(/\7u~JP

+

u!P)) :::; ,-pé-K ( sP-l

1

(sP~l/\7u~JP

+

sP-lu~P))

:::;

~-pé-K

Sp-l ( 81-p

1

(é/\7u!JP

+

u:P)) :::; ,-pcKsp-l(((s -1)p+ 1)s-P

l

(é/'lu!JP + u?))

<

_ 1 -p -K p-lj q+(s-l)p é s u€ n

Consequentemente, para s 2: 1 temos

Agora vamos definir duas sequências, (sj)j?:.O e (Mj)j?:.O pondo

{

q

+ (

80 - 1 )p

=

p*, q

+

(sj+l- 1)p

=

p*sj,

e

{

Sendo, p

<

q

<

p* temos Sj

>

1 e Sj --t oo. De fato, q-p Sj+l- Sj

=

p*- p Afirmação: e

1

uq+(sJ-l)p

<

M./f;

€ - J ' n M·

<

emSj-l J - ' 'V . _{] _}

>o

para algum m >O.

De fato, por (2.19) e (2.17) para E E (0, E0 ) obtemos

:s; (

,-pcK

r

(E/\7ue/P

+

U~))

"i

Jn

.

:s; (

,-pcKC₀

Elf)

%-!f.._K i:_ !:!..

=

Mo (E P ) P

=

M0E P •

ou seja, (2.23) vale para j = O. Por indução segue que

De modo que (2.23) vale.

Para mostrar (2.24), defina f.i,j := lnMj. Logo,

MJ+l

=

lnMj+l

=

_{ln(1 -Psr}1Mj)"i

=

~

ln(1-Psr1Mj) =

P;

{ln Mj

+

ln(

,-p

s:;-l)}

=

P.:...u. _{p r ]}

+

(J· _{] '}

onde J.Lj

=

ln Mj e (Jj --:- ln(

,-p

sr

1) "i. Consequentemente,

(Jj = P; ln(ArPsr1) = P; [ ln(ArP) +In

s:;-

1] = c1

+

c2ln Sj.

Sendo S0p

=

p* - q

+

p, temos S0p* =

'?

(p* - q

+

p). Logo,

So(P* - p) =-(p* p* q+p)-(p*-q+p) p p* * = - [ (p - q

+

p) - p]

+

q p ~ p ( * ) = - p -q +q-p. p (2.23) (2.24) (2.25)

2.4. UMA ESTIMATIVA UNIFORME PARA U€

De modo que

Usando indução temos

Portanto, de (2.25)-(2.26) obtemos onde c*(p*,N,"(,p,q,A). Defina (Tj)j20 pondo, p* . CJj :S c1

+

c3ln(-)1+1 :::; c*(j

+

1), p

{

To = f-lo, Tj+l

=

p;

Tj

+

c*(j

+

1). Observe que /-lj :::; Tj para j ~ O. Além disso,

p* * * * T1

=

-To

+

c =? PT1

=

p f-lo

+

pc 2 * P* * * e p TI

=

-!-lo

+

p c . p p Assim, p* p * p T1

=

-(!-lo

+

c ) - c*. p p*- p p*- p

Usando indução encontramos que Tj é dada explicitamente por

p* . p p*

Tj=(-)1(!-lo+ c*)-pc*(p*)-1

[j+

].

p p*- p p*- p

Consequentemente,

Por outro lado, de (2.26) obtemos

Sj-1

~

(p* - p)-1(p* )j (p* - q)

~

C2Tj, p

ou seja, /-lj = ln Mj :::; Tj :::; msj_ 1. Logo, Mj :::; emsj-l, o que mostra (2.24).

Agora, vamos mostrar a estimativa (2.18). De (2.24)-(2.25) segue que

~ m~ = ep• E•J-lP . 33 (2.26) (2.27)