1 No regime de juros compostos, que tem grande importância financeira por retratar melhor a realidade, o juro gerado pela aplicação à mesma taxa passando a participar da geração de juros no período seguinte. Dizemos então que os juros são capitalizados, e como não só o capital inicial rende juros mas estes são devidos também sobre os juros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos.
COMPARAÇÃO ENTRE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Exemplo
Seja um principal de R$2.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a.por um período de 4 anos a juros simples e composto.
A tabela a seguir ilustra a situação:
Juros simples Juros compostos n Juro/período Montante Juro/período Montante 1 2.000x0,1 = 200,00 2.200,00 2.000x0,1 = 200,00 2.200,00 2 2.000x0,1 = 200,00 2.400,00 2.200x0,1 = 220,00 2.420,00 3 2.000x0,1 = 200,00 2.600,00 2.420x0,1 = 242,00 2.662,00 4 2.000x0,1 = 200,00 2.800,00 2.662x0,1 = 266,20 2.928,20 O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime de juros simples e de juros compostos. Verificamos que a formação do montante em juros simples é linear e em juros compostos é exponencial.
Montante
Juros compostos
Juros simples 2.000
2 MONTANTE: Cn ou N
Imagine um capital inicial Co aplicado n períodos à taxa fixa i por período, então o montante será dado pela expressão:
C1 = Co + Co.i.1 = Co(1 + i)
C2 = C1 + C1.i.1 = C1(1 + i) = Co(1 + i).(1 + i) = Co(1 + i)² C3 = C2 + C2.i.1 = C2(1 + i) = Co(1 +i)².(1 + i) = Co(1 + i)³ .
. . .
APLICAÇÕES
1-Qual o montante a ser devolvido, quando uma pessoa toma R$15.000,00 emprestado a juros de 3% a.m. pelo prazo de 8 meses
2- Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$15.000,00 à taxa de juros compostos de 3% a.m. pelo prazo de 8 meses?
3- Qual é a taxa mensal de juros recebida por um empréstimo que aplica R$1.000,00 e resgata o montante de R$1.340,10 em 6 meses?
4- Em quanto tempo um capital dobrará de valor a 24% a.a. capitalizados mensalmente?
3 1- Qual é o montante gerado por um capital de R$1.000,00 aplicado pelos prazos e taxas abaixo:
a) 1% a.m. - 12 meses b) 3% a.t. - 3 anos
2- Que juro receberá uma pessoa que aplique R$3.000,00 conforme as hipóteses abaixo:
a) 2% a.m. - 1 ano b) 7% a.s. - 36 meses
3- Certa pessoa pretende comprar uma casa por R$50.000,00, daqui a 6 meses. Quanto deve aplicar esta pessoa hoje para que possa comprar a casa no valor e prazo estipulado, se a taxa de juros for:
a) 3% a.t. b) 1% a.m
4- O preço de um carro é R$11,261,62, podendo este valor ser pago até o prazo máximo de 6 meses. Quem optar pelo pagamento a vista beneficia-se de um desconto de 11,2% Qual é a taxa mensal de juro cobrada nesta operação?
5- O banco X anuncia que sua taxa para empréstimo pessoal é de 2,5% a.m.. Um cliente retirou R$20.000,00 e quando foi saldar sua dívida o gerente lhe disse que esta importava em R$31.193,17. Quanto tempo levou o cliente para restituir o empréstimo?
TAXAS EQUIVALENTES
Taxas equivalentes são taxas de períodos diferentes, que geram um mesmo montante, de um mesmo capital Co a um mesmo prazo n.
Vejamos por exemplo
No prazo de um período, a taxa i, podemos ter k capitalizações, dentro do período, gerando o mesmo montante. Isto é:
1
... 1/k 1/k 1/k
4 Após 1 período, à taxa i:
C1 = Co(1 + i)¹
Aplicando o mesmo capital Co por k períodos, à taxa ik, para que dê o mesmo
montante no mesmo intervalo de tempo da aplicação da taxa anterior, tem-se: Ck = Co(1 + ik)k
Para que as taxas sejam equivalentes, devemos ter: C1 = Ck Portanto:
Co(1 + i) = Co(1 + ik)k
( 1 + i) = (1 + ik)k
(converte a taxa de um período para a taxa do nº de capitalizações dentro do perío- do).
(converte a taxa do nº de capitalizações de um período para a taxa do período). Exemplos:
1- Dada a taxa de juros de 9,2727% a.t., determinar a taxa de juros compostos equivalente. a) mensal b) anual. 1 1 k k i i (1 k)k 1 i i 1 k1 k i i
5 Taxa nominal de juros é quando o prazo de formação e incorporação dos juros ao capital inicial não coincide com aquele a que a taxa se refere. Nesse caso, adota-se a convenção de que a taxa do período de capitalização seja proporcional à taxa nominal.
Exemplo
Um banco empresta a importância de R$3.000,00 por 2 anos. Sabendo-se que o banco cobra a taxa de 18% a.a. com capitalizações mensais, pergunta-se.
a) Qual é a taxa nominal anual?
b) Qual é a taxa efetiva anual?
c) Qual é o montante a ser devolvido no final dos 2 anos?
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS
Como já foi visto no caso das operações de desconto, é frequente a necessidade de antecipar ou prorrogar títulos nas operações financeiras. Às vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. Podemos também ter vários títulos que queremos substituir por um único ou por vários.
Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros.
Na prática, estas comparações são feitas utilizando-se o critério de juros compostos.
DEFINIÇÕES: 1- Data focal
6 Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes.
A data focal também é chamada data de avaliação ou data de referência. 2- Equação de valor
A equação de valor permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos a datas diferentes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada uma certa taxa de juros.
Em outras palavras, a equação de valor pode ser obtida igualando-se em uma data focal as somas dos valores atuais e/ou montantes dos compromissos que formam a alternativa em análise.
Co =V Cn = N 0 n
N = Cn Valor nominal do título na data n. Cn =
(cálculo do valor nominal)
V = A = Co Valor atual do título na data 0. (cálculo
do valor atual)
Exemplos
1- Certa pessoa tem uma nota promissória com valor nominal de R$8.000,00 que vencerá em 2 anos. Além disso, possui R$5.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m., durante 2 anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje é de 2% a.m. (taxa de juros vigente no mercado), pergunta-se:
a) Quanto possui hoje?
b) Quanto possuirá daqui a um ano? c) Quanto possuirá daqui a dois anos? Solução x y z 5.000 0 12 24 meses (1 )n N V i N = V(1 + i)n
7 2- Admitamos o conjunto de capitais seguinte:
R$1.000,00 em 6 meses, R$2.000,00 em 12 meses,
R$5.000,00 em 15 meses, à taxa de juros de 3% a.m. Qual o valor atual deste conjunto de capitais na dato focal zero?
Exercícios Propostos:
1- Uma pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a 3,5% a.m. no mercado de capitais. Se um amigo lhe pedir emprestado R$ 12.000,00 por um ano, quanto deverá devolver para que sua aplicação seja equivalente neste período?
2- Certo aplicador possui em seus haveres dois títulos, de R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00, com vencimentos para 180 e 360 dias. Pretendendo comprar uma máquina de calcular, procura descontar os títulos em um banco. O gerente, que é seu amigo, avisa-lhe que a taxa nominal é de 30% a.a., contudo a
8 capitalização é mensal. O cliente aceita as condições do banco, pois o valor a receber é igual ao preço da máquina. Qual é o seu valor?
3- Para viajar daqui a um ano. Maria vende seu carro hoje e seu apartamento daqui a 6 meses, aplicando o dinheiro em uma instituição que paga 40% a.a. O carro será vendido por R$ 30.000,00 e o apartamento por R$ 250.000,00, sendo que na viagem ela pretende gastar R$ 300.000,00. Que saldo poderá deixar aplicado?
4-João comprou uma enciclopédia, sem dar nada de entrada sob a condição de pagá-la em 4 parcelas quadrimestrais de R$ 1.000,00. Como opção, o gerente da livraria lhe propôs uma entrada de R$ 1.500,00 e o saldo para 1 ano. De quanto será este saldo, se a taxa de juros for de 3% a.m?
5- O preço de um terreno é de R$ 50.000,00 a vista, ou R$ 60.000,00 a prazo. No segundo caso, o comprador deverá dar 20% como entrada e o restante em duas parcelas iguais semestrais. Se a taxa de juros de mercado for de 30% a.a., qual será a melhor opção?
6- Uma pessoa deve R$ 2.000,00 hoje e R$ 5.000,00 para 1 ano. Propõe a seu credor refinanciamento de sua dívida, comprometendo-se a liquidá-la em 3 parcelas semestrais iguais, vencendo a primeira em 6 meses. De quanto serão as parcelas, se a taxa contratado for de 20% a.a.?
7- O Sr. Carlos vendeu um carro para um amigo seu, pelo preço de R$ 50.000,00. Quanto às condições de pagamento, ele disse que o amigo pagar-lhe-ia na medida do possível, sendo os juros de 40% a.a. Os pagamentos efetuados foram:
R$ 5.000,00 no 3º mês R$ 10.000,00 no 5º mês R$ 20.000,00 no 6º mês.
No final do 12º mês o comprador diz querer saldar seu débito total. Qual é o valor do acerto final?
8- Uma dívida de R$ 150.000,00 para 12 meses e de R$ 300.000,00 para 24 meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a primeira a 6 meses. Qual é o valor das parcelas se considerarmos a taxa de 25% a.a.? 9- Se uma instituição financeira paga 20% a.a., quanto deverei depositar trimestralmente para, ao fim do 4º depósito, possuir R$ 10.000,00?
10- Uma loja vende uma maquina fotográfica digital por R$ 600,00 a vista, ou a prazo em 3 pagamentos mensais de R$ 200,00 e uma pequena entrada. A taxa de juros adotada pela loja é de 7% a.m.; portanto, de quando deve ser a entrada?
9 0 -1.000,00 1 2.000,00 2 3.000,00 3 4.000,00 Pede-se calcular:
a) O valor atual às taxas de juros de 5% a.a., 10% a.a., 15% a.a., e 20% a.a.
b) A taxa interna de retorno.
12- Um aplicador tem duas opções de investimento mutuamente exclusivas. Isto é, ele só pode optar por um a das alternativas.
Os fluxos de caixa das opções são os seguintes: Períodos (anos) Alternativa A (R$) Alternativa B (R$) 0 -100 -70 1 30 20 2 60 40 3 30 25
Qual é a melhor alternativa, sabendo-se que sua taxa de desconto é de 5% a.a.?
O que aconteceria se a taxa fosse para 10% a.a.?
Qual é a taxa de retorno marginal, ou seja, qual é a taxa de Fisher para estas alternativas?
REFERÊNCIAS
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 3ª ed. São Paulo: Atlas S.A, 2002.
DE FRANCISCO, Walter. Matemática Financeira. 6ª ed. São Paulo: Atlas S.A, 1988.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 5ª ed. São Paulo: Saraiva S.A, 1998.
