u = ± v. Daí, u v v u = v u e v têm sentidos contrários Por outro lado, suponhamos que podemos escrever u como combinação linear de v

3. ur ≠or e vr ≠or. Como ur//vr, temos uro =± vro. Daí, | v | v | u | u | u | o r r r r r _{=± , ou seja, v} | v | | u | u r r r r _{=± . Assim, se u}r _{e v}r _{têm mesmo} sentido podemos escrever v

| v | | u | u r r r r _{= . E se u}r _{e v}r _{têm sentidos contrários} temos v | v | | u | u r r r r _{=− .}

Por outro lado, suponhamos que podemos escrever ur como combinação linear de vr, ou seja, ur =tvr. Pela definição de produto de um número real por vetor, temos que ur e vr têm a mesma direção, logo são paralelos.

2. Os vetores ur,vr e wr são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros.

Prova: Suponhamos que ur,vr e wr são coplanares, temos então os seguintes casos:

1) Um deles sendo o vetor nulo, digamos ur = or. Podemos escrever: ur =0vr+0wr .

2) Dois deles são paralelos, digamos ur//vr e vr ≠or. Podemos escrever: ur =mvr =mvr +0wr, m∈IR. 3) Quaisquer dois desses vetores não paralelos. Vamos considerar a figura ao lado, onde α é um plano que contém representantes dos vetores ur,vr e wr .

Tomemos OA=vr, OB=ur e OC=wr

→ →

→

. Tracemos pelo ponto C uma reta paralela ao vetor OB=ur

→

, que intercepta a reta OA no ponto P. Assim podemos escrever: → → → + = =OC OP PC wr . Como → → OA // OP e → → OB // PC temos: wr =mvr+nuv, m,n∈IR. P O A C B vr ur wr αα

Por outro lado, suponhamos que wr =mrv+nur, n,m∈IR. Assim, pela definição de adição de vetores, temos que ur,vr e wr são coplanares.

1.8 Dependência linear

Definição 1: Dizemos que um vetor vr é linearmente dependente, se o

v r r _{= .}

Definição 2: Dizemos que dois vetores ur e vr são linearmente dependentes se eles são paralelos.

Definição 3: Dizemos que três vetores ur,vr e wr são linearmente dependentes se eles são coplanares.

Definição 4: Dizemos que mais de três vetores do espaço (IR ), são3 sempre linearmente dependentes.

Quando os vetores do espaço não são linearmente dependentes (LD), dizemos que eles são linearmente independentes (LI).

Exemplos:

Considerando o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE, temos: LI é AB ) 1 → . 2)AB BC CA é LD → → → + + . AE e AD ) 3 → → são LI. LD são AB 2 1 e AB ) 4 → → . . são LI AE e AD , AB ) 5 → → → . são LD. DC e AB , AE ) 6 → → → são LD. FF e AD , AB ) 7 → → → 8)AB, BF BC e AG são LD. → → → → C H F E A B D G

Propriedades:

1. Se um vetor vr é LI, então dado ur//vr, temos que existe um único escalar m tal que ur =mvr.

Prova: Como vr é LI, temos pela prova da propriedade 1 de 1.7, que v

m

ur = r e m é único.

2. Se dois vetores vr₁ e vr₂ são LI, então dado vr coplanar com 2

1 e v

vr r , temos que existe um único par de escalares (m, n), tal que 2 1 nv v m v= r + r _.

Prova: Como vr , vr₁ e vr₂ são coplanares e, vr₁ e vr₂ são LI, temos pela prova da propriedade 2 de 1.7, que vr = mvr₁ + nvr₂.

Para mostrar que esses escalares são únicos, vamos supor que existam m’e n’, tais que : vr= m′vr₁ + n′vr₂. Então (m −m′)vr₁ +(n− n′)rv₂=or. Se m −m′≠ 0, podemos escrever ₁ v₂ ) m m ( ) n n ( vr r ′ − ′ − − = . Daí, vr₁//vr₂, o que contradiz o fato de vr₁ e vr₂ serem LI. Logo, m −m′=0, ou seja,

m m= ′.

Analogamente podemos mostrar que n =n′.

3. Se três vetores vr₁, vr₂ e vr₃ são LI, então dado um vetor vr qualquer, temos que existe único terno de escalares (m, n, p), tal que

3 2 1 nv pv v m v r r r _{= + + .}

Prova: Suponhamos que vr₁, vr₂ e vr₃ são LI, temos então os seguintes casos:

1) vr= or. Podemos escrever: vr =0vr₁ + 0vr₂ + 0vr₃.

2) vr paralelo a um dos vetores rv₁, vr₂ e vr₃, digamos vr//vr₁. Então podemos escrever: vr =mvr₁ + 0vr₂ + 0vr₃.

3) vr coplanar com dois dos vetores vr₁, vr₂ e vr₃, digamos vr,vr₁ e vr₂ são coplanares. Assim temos: rv= mvr₁ + nvr₂ =mvr₁ + nvr₂ +0vr₃.

4) vr não é coplanar com quaisquer dois dos vetores vr₁, vr₂ e vr₃. Vamos considerar a figura a seguir, onde α é o plano paralelo ao plano

2 1A

OA passando pelo ponto A. Seja B é o ponto de interseção da reta 3 OA com o plano α. . Temos então: → → → + = =OA OB BA vr . Como OB//vr₃ → e → BA é coplanar com vr₁ e vr₂, temos:

3 v p OB= r → , BA=mvr₁ +nvr₂ → . Logo vr = mrv₁ +nvr₂ + pvr₃.

Para mostrarmos que esses escalares são únicos, vamos supor que 3 2 1 n v p v v m v r r r r _{= ′ + ′ + ′ . Então temos:} o v ) p p ( v ) n n ( v ) m m ( − ′ r₁ + − ′ r₂ + − ′ r₃ = r. Se m− m′≠0, podemos escrever: 3 2 1 v m m p p v m m n n vr r r ′ − ′ − − ′ − ′ − − = ,

ou seja, vr₁ é coplanar com vr₂ e vr₃. O que contradiz o fato de 3

2 1, v e v

v r r

r _{serem LI. Logo m −m′= 0, ou seja, m=m′.} Analogamente podemos mostrar que n==n′′ e p==p′′.

1.9 Base – Coordenadas de vetor

Definição 1: Dado um vetor vr LI, dizemos que

{{ }}

vr é uma base para o conjunto de vetores paralelos a vr .

1 vr O B αα vr 3 A 3 vr A 2 A 1 A 2 vr

Definição 2: Dados dois vetores vr₁ e vr₂ LI, dizemos que

{{

v rr₁,v₂

}}

é uma base para o conjunto de vetores coplanares com vr₁ e vr₂

Definição 3: Dados três vetores vr₁ ,vr₂ e vr₃ LI, dizemos que

{{

rv1,vr2,vr3

}}

é uma base para o conjunto de vetores do espaço (IR ).3

Definição 4: Dizemos que uma base é ortogonal, quando seus vetores são dois a dois ortogonais.

Definição 5: Dizemos que uma base é ortonormal, se ela for ortogonal e seus vetores unitários.

Costumamos representar uma base ortonormal por

{ }

ri,rj,kr .

Fixada uma base

{

vr₁,vr₂,vr₃

}

do espaço, pela propriedade 3 de 1.8, para todo vetor vr, temos vr= mvr₁+nvr₂ +pvr₃, onde m, n e p são únicos. Dizemos que mvr₁ ,nvr₂ e pvr₃ são as componentes de vr na direção dos vetores rv₁ ,vr₂ e vr₃ , respectivamente. Os escalares m, n e p são as coordenadas de vr em relação à base

{

vr₁,vr₂,vr₃

}

.

Geralmente, representamos o vetor vr através de suas coordenadas, ou seja, vr =

(

m,n,p

)

.

Exemplo 1:

Consideremos o cubo ao lado e fixemos a base {AB,AC,AE} → → → . Podemos escrever: 1. AB→ =1AB→ +0AC→ +0AE→ , daí AB=

(

1,0,0

)

→ . Analogamente, AC=

(

0,1,0

)

→ e AE=

(

0,0,1

)

→ .

Podemos concluir então que, dada uma base qualquer

{

vr₁,vr₂,vr₃

}

, as coordenadas desses vetores em relação a esta base são:

(

1,0,0

)

vr₁ = , vr₂ =

(

0,1,0

)

e vr₃ =

(

0,0,1

)

. A B C F G H D E

2. AF→ =1AB→+0AC→ +1AE→ , daí AF=

( )

1,0,1

→

.

Observamos que se a base considerada for {AB,AE,AC}

→ → → , temos

( )

1,1,0 AF= → . 3. AG→ =0AB→ +1AC→ +1AE→ , daí AG=

( )

0,1,1 → . Exemplo 2:

Consideremos vr=(−1,1,1) em relação base {AB,AC,AE}

→ → → do exemplo anterior. Assim, → → → → = + + − = AB AC AE AH vv .

Analogamente ao que foi feito para o conjunto dos vetores no espaço, podemos fazer para conjuntos de vetores coplanares e colineares. Assim, um vetor num conjunto de vetores coplanares tem duas coordenadas e um vetor num conjunto de vetores colineares tem uma coordenada.

Propriedades:

Seja {vr₁, vr₂, vr₃} uma base do espaço. Consideremos os vetores w e v ,

ur r r , representados através de suas coordenadas em relação a esta base. 1. Se ur = ( a₁, a₂, a₃), vr = ( b₁, b₂, b₃) e t ∈ IR então: a) ur = vr ⇔ a₁=b₁, a₂=b₂ e a₃=b₃. b) ur + vr = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃). c) t ur = (t a₁, t a₂, t a₃). Prova: a) Como ur =a₁vr₁ +a₂vr₂ + a₃vr₃ e vr =b₁vr₁ + b₂vr₂ + b₃vr₃ , temos: o v ) b a ( v ) b a ( v ) b a ( ₁ − ₁ r₁ + ₂ − ₂ r₂ + ₃ − ₃ r₃ = r Daí, or =(a₁ −b₁,a₂ − b₂,a₃ −b₃) . Logo, a₁ − b₁ =0, a₂ − b₂ =0 e a₃ − b₃ =0. De maneira análoga podemos mostrar os itens b) e c).

Observamos que os vetores ur = (0, 0, 0) e vr= ( b₁, b₂, b₃) são LD, visto que o vetor nulo é paralelo a todo vetor do espaço.

2. Sejam ur = ( a₁, a₂, a₃) e vr = ( b₁, b₂, b₃) vetores não nulos. Os vetores ur e vr são LD se, e somente se, existe um t ∈IR tal que :

1 a = t b₁ 2 a = t b₂ 3 a = t b₃

Prova: Se ur e vr são LD, então ur // vr . Como vr é LI, podemos escrever: ur = t vr , ou seja, 1 a = t b₁ 2 a = t b₂ 3 a = t b₃. Por outro lado, se existe t ∈IR , tal que

1 a = t b₁ 2 a = t b₂ 3 a = t b₃

então ur = t vr . Logo ur // vr e portanto ur e vr são LD.

3. Três vetores ur =(a₁,a₂,a₃), rv=(b₁,b₂,b₃) e wr =(c₁,c₂,c₃) são LD se, e somente se,

∆ = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a = 0.

Esta propriedades pode ser demonstrada através de propriedades de determinantes.

Concluímos que se t não existe na propriedade 2, ou se ∆ é diferente de zero, na propriedade 3, temos que os vetores considerados nessas propriedades são LI.