Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. TPC 1 do plano de trabalho nº 11

(1)

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática – A

Tema III – Trigonometria e Números Complexos TPC 1 do plano de trabalho nº 11

Resolver as actividades 2, 3, 4 das páginas 24 e 25 e terminar a resolução da tarefa nº 1. Actividade 2

Representemos graficamente cada uma das funções seguintes e expliquemos como se podem obter estes gráficos a partir do gráfico de f x

( )

=senx. Para cada função vamos ainda indicar se têm o mesmo contradomínio e o mesmo período.

Comecemos por representar graficamente a função f definida por f x

( )

=senx, não esquecendo de colocar a máquina em radianos.

a. g x

( )

= −senx

Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de g é simétrico do de f em relação ao eixo das abcissas.

O contradomínio continua a ser

[ ]

−1,1 e o período também continua a ser 2π. b. h x

( )

sen x 2 π   =  +   

Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de h resulta do de f fazendo uma translação associada ao vector de coordenadas ,0 2 π   −    .

[ ]

−1,1 e o período também continua a ser 2π.

c. r x

( )

sen x 3 π   =  +   

Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de r resulta do de f fazendo uma translação associada ao vector de coordenadas ,0 3 π   −    .

(2)

[ ]

−1,1 e o período também continua a ser 2π.

d. s x

( )

=2senx

Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de s resulta do de f fazendo uma transformação que duplica as imagens. O contradomínio passa a ser

[

−2,2

]

e o período continua a ser

2π. e. t x

( )

1sen x 2 4 π   = _ + _  

Mantendo a mesma janela verificamos que o gráfico de t resulta do de f fazendo uma transformação que reduz a metade as imagens seguida duma translação associada ao vector de coordenadas ,0 4 π   −    .

O contradomínio passa a ser 1 1, 2 2

 

−

 

  e o período continua a ser 2π.

Actividade 3

As representações gráficas seguintes correspondem a funções da família definida por:

(

)

y= +a b cos x+d ,a,b,d IR∈ Pretendemos determinar a expressão adequada em cada caso, explicando o raciocínio que permite encontrar o valor dos parâmetros.

Comecemos por representar graficamente a função definida por y=cos xe comparemos agora com o gráfico da alínea:

a). Verificamos que o gráfico sofreu uma simetria em relação ao

eixo Ox e que as imagens duplicaram ficando o contradomínio a ser

[

−2,2

]

. A expressão é então y= −2 cos x. Os valores dos parâmetros são: a=0, b= −2 e d=0.

Comparemos agora com o gráfico da alínea:

b) Nesta o contradomínio é

[

−2,2

]

se considerarmos que a graduação é igual à dos restantes gráficos e tem o 1 ligeiramente deslocado, mas o gráfico não sofreu simetria mas sim uma

(3)

translação associada ao vector de coordenadas ,0 4 π      . A expressão é então y 2 cos x

4 π

 

=  − 

 .

Os valores dos parâmetros são: a 0, b 2 e d 4 π

= = = − .

Comparemos agora com o gráfico da alínea:

c) Nesta o contradomínio é

[ ]

1,3 pelo que b=1, mas o gráfico não sofreu simetria mas sim uma translação associada ao vector de coordenadas

( )

0,2 pelo que a=2. E d=0 porque o gráfico não sofreu deslocação horizontal

A expressão é então y= +2 cos x.

Os valores dos parâmetros são: a=2, b=1 e d=0. Comparemos agora com o gráfico da alínea:

d) Nesta o contradomínio é 3 5, 2 2

 

 

  e o gráfico sofreu uma simetria em relação ao eixo Ox pelo que b 1

2

= − , mas o gráfico sofreu ainda uma translação associada ao vector de coordenadas

( )

0,2 pelo que a=2. E d=0 porque o gráfico não sofreu deslocação horizontal

A expressão é então y 2 1cos x 2

= − .

Os valores dos parâmetros são: a 2, b 1 e d 0 2

= = − = .

Actividade 4

1º. Representar num mesmo referencial os pares de funções seguintes: a. f x

( )

=senx e g x

( )

=sen 2x

( )

na janela −π πa

b. f x

( )

=senx e h x

( )

=sen 4x

( )

na janela −π πa .

c. f x

( )

=senx e r x

( )

sen x 2  

=  

(4)

2º. Indicar o contradomínio e o período de g, h e r.

FUNÇÕES CONTRADOMÍNIO PERÍODO

( )

g x =sen 2x

[ ]

−1,1 π

( )

h x =sen 4x

[ ]

−1,1 2 π

( )

x r x sen 2   =    

[ ]

−1,1 4π

3º. Fazer uma previsão de qual deve ser o período das funções definidas por: a. s x

( )

=sen 6x

( )

tem período

3 π

b. t x

( )

senx 4

= tem período 8π

c. u x

( )

=sen 3x

( )

tem período 2 3

π

4º. Indicar o valor de c para o qual o período da função f x

( )

=sen cx

( )

é:

a. período10π c 1 5 = b. período 6 π c=12 c. período1 c= π2 d. período 2 c= π

5º. Fazer estudo idêntico para funções das famílias y=cos cx

( )

e y=tg cx

( )

=cos x e g x

( )

=cos 2x

( )

na janela −π πa

(5)

c. f x

( )

=cos x e r x

( )

cos x 2  

=  

  na janela 2 a 2− π π.

2º. Indicar o contradomínio e o período de g, h e r.

( )

g x =cos 2x

[ ]

−1,1 π

( )

h x =cos 4x

[ ]

−1,1 2 π

( )

x r x cos 2   =    

[ ]

−1,1 4π

3º. Fazer uma previsão de qual deve ser o período das funções definidas por:

a. s x

( )

=cos 6x

( )

tem período 3 π

b. t x

( )

cosx 4

= tem período 8π

c. u x

( )

=cos 3x

( )

tem período 2 3

π

4º. Indicar o valor de c para o qual o período da função f x

( )

=cos cx

( )

é:

a. período10π c 1 5 = b. período 6 π _c₌₁₂ c. período1 c= π2 d. período 2 c= π

( )

=tgx e g x

( )

=tg 2x

( )

na janela a 2 2 π π − b. f x

( )

=tgx e h x

( )

=tg 4x

( )

na janela a 2 2 π π − .

(6)

c. f x

( )

=tgx e r x

( )

tg x 2   =  

  na janela −π πa .

2º. Indicar o contradomínio e o período de g, h e r.

( )

g x =tg 2x IR 2 π

( )

h x =tg 4x IR 4 π

( )

x r x tg 2   =     IR 2π

3º. Fazer uma previsão de qual deve ser o período das funções definidas por:

a. s x

( )

=tg 6x

( )

tem período 6 π b. t x

( )

tgx 4 = tem período 4π c. u x

( )

=tg 3x

( )

tem período 3 π

4º. Indicar o valor de c para o qual o período da função f x

( )

=tg cx

( )

é:

a. período10π c 1 10 = b. período 6 π _c₌₆ c. período1 c= π d. período 2 c 2 π =

6º. Estabelecer uma conjectura sobre o valor do período da funções definidas por

( )

y=sen cx , y=cos cx

( )

e y=tg cx

( )

.

O período de uma função do tipo y=sen cx

( )

é 2 c

π O período de uma função do tipo y=cos cx

( )

é 2

c π O período de uma função do tipo y=tg cx

( )

é

c π

Para validar a conjectura devemos fazer uma demonstração igual à que está feita na resolução do exemplo 1 da página 26. (procure lá a demonstração).