POLINÔMIOS EQUAÇÕES POLINOMIAIS

POLINÔMIOS

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

1. DEFINIÇÃO

2. VALOR NUMÉRICO

3. POLINÔMIOS IDÊNTICOS

4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS

4.1. MÉTODO DA CHAVE

4.2. BRIOT-RUFFINI

DIVISÕES SUCESSIVAS

5. TEOREMA DO RESTO

6. DIVISIBILIDADE POR PRODUTO DE FATORES

7. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO

8. RELAÇÕES DE GIRARD

(apostila voltada para questões objetivas)

Professor Marcelo Renato M. Baptista

Novembro/2010

POLINÔMIOS

E EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Professor Marcelo Renato

1. DEFINIÇÃO

Polinômio na variável real x é toda expressão P(x) da forma: 0 1 1 2 n 2 n 1 n 1 n n nx a x a x ax a a  _   _    Em que:



0 1 2 n 1 n n,a ,a , ,a ,a

a _{ }  são números reais

denominados coeficientes;



nIN ;



O maior expoente de x, com coeficiente não-nulo é

o grau do polinômio;



O grau do polinômio informa o seu número de

raízes (reais ou não);



O coeficiente não-nulo do termo (monômio) de

maior expoente é denominado coeficiente dominante;



a é o termo independente de x do polinômio; ₀



Se todos os coeficientes do polinômio forem nulos o

polinômio é chamado polinômio nulo;



O polinômio nulo não possui grau.

Exemplos:



P(x) = 2x

5 _{– 3x}4 _{+ 5x – 1 tem grau 5;}



P(x) = 0x

2

+ 10x + 10 tem grau 1;



P(x) = 2 tem grau zero;



P(x) = 3x

2

+ x não é um polinômio, pois x x1/2 1/2  IN;



P(x) = 0x

2

+ 0x + 0 não possui grau.

2. VALOR NUMÉRICO

O valor numérico do polinômio P(x) para x = a é o número que se obtém substituindo “x” por “a” e efetuando-se os cálculos necessários; representamos por P(a).

Quando P(a) = 0 dizemos que “a” é uma raiz do polinômio.

Exemplo:

(MR 2010) Sendo P(x)2x3x2x2, determine o valor numérico do polinômio P(x) para x1.

Resolução: 0 ) 1 ( P 2 1 1 2 ) 1 ( P 2 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( P 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( P 3 2                      

Verificamos, também, que x1 uma das três raízes do polinômio P(x).

Exemplo: (MR 2010) Determine mIR para que o polinômio P(x)(m4)x3(m4)x24x4 seja de grau 2.

Resolução:

Para que p(x) tenha grau 2, devemos ter:

           4 m 0 4 m 4 m 0 4 m

Portanto, não existe nenhum valor real de m para que o polinômio P(x) tenha grau 2.

Verificamos que, para m = 4, P(x) terá grau 1 e para 4

m P(x) terá grau 3.

3. POLINÔMIOS IDÊNTICOS

Dizemos que dois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, seus termos correspondentes tiverem coeficientes respectivamente iguais.

Um polinômio é chamado de identicamente nulo quando todos os seus coeficientes são nulos.

Utilizamos o símbolo "" quando indicamos a condição de identidade.

Exemplo:

(MR 2010) Sejam os polinômios reais, na variável x, 5 bx x 4 ax ) x ( A  3 2  e B(x)4x2xc. Se os polinômio A(x) e B(x) são idênticos, ou seja,

) x ( B ) x ( A  , determine o valor de (b – a – c). Resolução: ) x ( B ) x ( A  c x x 4 x 0 5 bx x 4 ax3 2   3 2  Efetuando a identidade: a = 0, b = 1 e c = – 5. Assim, 6 c a b 5 1 c a b ) 5 ( 0 1 c a b             

(FEI-SP) Determine A, B e C na decomposição 1 x x C Bx 1 x A 1 x 1 2 3 _{ }      . Resolução: ) 1 x x ( ) 1 x ( ) C Bx ( ) 1 x ( ) 1 x x ( A ) 1 x x ( ) 1 x ( 1 1 x x C Bx 1 x A 1 x 1 2 2 2 2 3                        C Bx Cx Bx A Ax Ax 1 2   2   ) C A ( x ) B C A ( x ) B A ( 1 x 0 x 0 2    2    

Da identidade polinomial podemos afirmar:

                             3 / 1 B 1 ) B 2 ( ) B ( 1 C A B 2 C 0 B C ) B ( 0 B C A B A 0 B A Logo: A = 1/3 , B = – 1/3 e C = – 2/3.

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA

1) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x + 4. O valor de a + b + c + d é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 2) (F.C. Chagas-BA)

Dado o polinômio P(x)x32x2mx1, onde IR

m , seja P(a) o valor de P para x = a. Se P(2)3P(0) , então P(m) é igual a: a) – 5 b) – 3 c) – 1 d) 1 e) 14

3) (UCMG) A soma dos valores de A, B e C tal que 1 x C Bx x A ) 1 x ( x 3 x 2 2 2 _      é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Sejam os polinômios P(x) e D(x), respectivamente de graus m e n, com mn.

Considerando gr(r) e gr(D), respectivamente, o grau de r(x) e o grau de D(x), temos que:

Dividir P(x) por D(x) é determinar outros dois polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x) tais que:

P( x )



q ( x ).D( x ) + r ( x ); gr ( r ) < gr ( D ) ou r ( x ) = 0.

grmáx ( r ) = gr ( D ) – 1



gr (r )

max significa o maior grau possível para o

polinômio resto.

4.1. MÉTODO DA CHAVE

Exemplo:

Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)6x45x34x27x11 por 3 x x 2 ) x ( D  2  .

Resolução: Notemos que tanto P(x) quanto D(x) estão escritos segundo as potências decrescentes de x. Resolução:

1º

Dividimos o termo de maior grau de P(x) pelo termo de maior grau de D(x):

2 2 4 x 3 x 2 x 6 _  ,

obtendo assim o 1º termo do quociente q(x);

2º

Multiplicamos o quociente obtido (– 3 x2

) por D(x): (– 3 x2

).(2x2 – x + 3) = – 6x4

+ 3x3 – 9x2

O resultado é colocado, com sinal trocado, sob os termos semelhantes de P(x):

3º

Somamos os termos semelhantes, e os termos de P(x) que não têm semelhantes a somar dever ser copiados (abaixados). Obtemos, então, o primeiro resto parcial:

4º

Caso o grau do resto parcial seja maior ou igual ao grau do divisor D(x), repetimos os passos anteriores, efetuando a divisão do resto parcial atual pelo divisor D(x) até que o grau do resto se torne menor que o grau do divisor ou que o resto seja zero (divisão exata):

Então, o quociente q(x) = – 3x2

+ x + 3 e o resto r(x) = 7x - 20.

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA

4) (UFR-PE)

Qual o resto da divisão do polinômio x3– 2x2 + x + 1 por x2 – x + 2 ? a) x + 1 b) 3x + 2 c) – 2x + 3 d) x – 1 e) x – 2

5) (MR 2010) O quociente e o resto da divisão de 1 x ) x ( D por 12 x 3 x 2 ) x ( P  5   2 são, respectiva-mente: a) 2x3 – 2x e – x + 12 b) – 2x3 _{+ 2x e – x + 12} c) 2x3 – 2x e – x – 12 d) – 2x3 _{+ 2x e – x + 12} e) – 2x3 + 2x e x + 12 6) (MR 2010) Se P(x) = 2x3 – 4x2 + ax + b e Q(x) = x2 – 3x +2 são polinômios, os valores de a e b, para que P(x) seja divisível por Q(x), são, respectivamente:

a) –1 e 3 b) –1 e 2 c) –2 e 3 d) –2 e 4 e) –3 e 2

4.2. BRIOT-RUFFINI

Se quisermos dividir um polinômio P(x) por (x – a) podemos nos valer de um algoritmo chamado dispositivo prático de Briot-Ruffini (Charles A. A. Briot, matemático francês, 1817–1882 e Paolo Ruffini, matemático italiano, 1765–1822) no qual trabalhamos somente com os coeficientes de P(x) e com a raiz do divisor x – a.

Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão de P(x) = x4 – 5x3 + x2 – 3x + 6 por (x – 2).

Resolução:

Em primeiro lugar, devemos dispor os coeficientes de P(x) e a raiz de (x – 2), conforme o esquema abaixo:

O 1º passo é “abaixar” o 1º coeficiente de P(x) que, neste exemplo, é 1:

Em seguida, multiplica-se 1 por 2 e soma-se o produto obtido com o 2º coeficiente de P(x). O resultado encontrado [ 1 . 2 + (– 5) = – 3 ] o 2º coeficiente do quociente procurado.

O passo seguinte é multiplicar – 3 por 2 e somar o produto obtido com o 3º coeficiente de P(x).

O novo resultado encontrado ( – 3 . 2 + 1 = – 5 ) é o 3º coeficiente do quociente.

Em seguida, de modo análogo, multiplica-se – 5 por 2 e soma-se com o 4º coeficiente de P(x). O resultado encontrado [ – 5 . 2 + ( – 3 ) = – 13] é o 4º coeficiente do quociente.

Para finalizar, repete-se o processo para o número – 13 obtendo-se – 20, que é o resto da divisão: ( – 13 . 2 + 6 = – 20 ).

O quociente procurado é q(x) = x3 – 3x2 – 5x – 13 e o resto, que é independente de x, é R = – 20.

Sugestão: Quando um polinômio é divisível por outro,

as raízes do polinômio divisor são, também, raízes do polinômio dividendo.

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA

7) (FGV-SP) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x6 – 1 pelo polinômio d(x) = x – 1. Então: a) Q(0) = 0 b) Q(0) < 0 c) Q(1) = 0 d) Q(– 1) = 1 e) Q(1) = 6 8) (UFCE)

Na divisão do polinômio P(x) = x6 por (x + 1), o quociente é Q1(x) e o resto é R1. Se R2 é o resto da

divisão de Q1(x) por (x + 1), então R2 é igual a:

a) – 4 b) – 5 c) – 6 d) – 7 e) – 8 Observação Importante:

COMO OBTER O RESTO

EM DIVISÕES SUCESSIVAS ?

Exemplo:

Um polinômio p(x), dividido por (x1), deixa resto 2. O quociente desta divisão é então dividido por (x4), obtendo-se resto 1.

O resto da divisão de p(x) por (x1)(x4) é ...

Resolução: ) 2 ( .... 1 ) 4 x ( ) x ( q ) x ( q ) 1 ( ... 2 ) 1 x ( ) x ( q ) x ( P 2 1 1         Fazendo (2)(1): 2 ) 1 x ( ] 1 ) 4 x ( ) x ( q [ ) x ( P ) x ( q 2 1                 Arrumando: P(x)q₂(x)(x1)(x4)_x__1

O Resto procurado é igual a (x + 1).

9) (MR 2010) Um polinômio p(x), dividido por (2x1), deixa resto – 1.

O quociente desta divisão é então dividido por )

1 x

(  , obtendo-se resto 2.

O resto da divisão de p(x) por (2x1)(x1) é ... a) 1 b) 2 c) 4x + 1 d) x – 1 e) 3

5. TEOREMA DO RESTO

Na divisão do polinômio P(x), de grau maior ou igual a 1, por um binômio do 1º grau do tipo (ax + b), com a e b reais, teremos q(x) como quociente e R como resto.

P(x) = q(x).(ax – b) + R

Calculando a raiz do divisor: ax + b = 0

a b x  R b a b a a b q a b P 0                                                 a b P R

Teorema do resto:

Resto = P

(raiz do divisor)

Exemplo 1: (MR 2010) Determine o resto da divisão de P(x) = 2x4 – 4 x3 – 1 por D(x) = 3x – 6.

Resolução:

Como o divisor é do 1º grau (ax + b), podemos aplicar o teorema do resto, ou seja:

Cálculo da raiz do divisor:

D(x) = 0  3x – 6 = 0  x = 2 Teorema do resto: R = P(2)

R = 2.(2)4 – 4.(2)3 – 1 R = – 1

Exemplo 2:

(Osec-SP) Um polinômio p(x), quando dividido por )

2 x

(  , dá resto 15, quando dividido por (x + 1), dá resto 3. Dividindo-o por (x – 2).(x + 1), o valor numérico do resto para x = 0 é:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

Resolução:

Pelo teorema do resto:

      ) 2 ( . ... 3 ) 1 ( P ) 1 ( . ... 15 ) 2 ( P P(x) = q(x).(x – 2).(x + 1) + R(x) ... (3)

Sabemos que o grau do resto R(x) tem que ser menor que o grau do divisor ;

Como, neste exemplo, o divisor “(x – 2).(x – 1)” é do 2º grau, logicamente, o maior grau possível para o resto será 1. O Resto R(x) é do tipo R(x) = ax + b ... (4) Fazendo (4)  (3): P(x) = q(x).(x – 2).(x + 1) + ax + b ... (5) Substituindo (1) e (2) em (5):                3 b a 15 b a 2 3 ) 1 ( P 15 ) 2 ( P

Resolvendo o sistema, temos: a = 4 e b = 7. R(x) = ax + b  R(x) = 4x + 7  R(0) = 7.

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA

10) (UFES)

O resto da divisão do polinômio P(x) = x1032 – 12x3 + 15 pelo binômio Q(x) = x + 1 vale:

a) 1032 b) 28 c) 15 d) 12 e) 4

11) (UFPA) Sabendo-se que os restos das divisões de x2 + px + 1 por x – 1 e x + 2 são iguais entre si, o valor de p é: a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2

12) (Santa Casa-SP) Dividindo-se um polinômio f por x2 – 3x + 1 obtém-se quociente x + 1 e resto 2x + 1. O resto da divisão de f por x + 1 é:

a) – 2 b) – 1 c) 3 d) 2x – 1 e) 2x + 1 13) (UFES)

O resto da divisão de um polinômio por (x + 1) é 6, e por (x – 2) é 3. Ao dividir o mesmo polinômio pelo produto (x + 1)(x – 2), o resto é: a) 18 b) 9x c) 2x + 3 d) – x + 5 e) x2 – 9x + 18

14) (UFR-PE) Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais. Assinale a alternativa certa para o resto da divisão de p(x) por x2 – 5x + 6, sabendo-se que p(2) = 2 e p(3) = 3. Dica: x25x6(x2)(x3) a) 2x + 1 b) x + 1 c) x – 3 d) x – 2 e) x

6. DIVISIBILIDADE POR PRODUTO DE FATORES 1. Se um polinômio P(x) é divisível por (x – a) e

também por (x – b), então, P(x) é divisível pelo produto (x – a).(x – b).

2. Se um polinômio P(x) é divisível por (x – a).(x – b), então, P(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), isoladamente.

Observações:

a) E ambas as situações acima, como (x – a) e ( x – b) são fatores de P(x), consequentemente, a e b são raízes de P(x).

b) A informação acima é válida para a existência de dois ou mais fatores compondo o polinômio divisor na situação de divisibilidade, ou seja, de resto nulo. Exemplo:

(FEI-SP) Dado o polinômio p(x) = 4x4 – 5x2 – 3bx + a, calcule os valores de a e b de modo que p(x) seja divisível por g(x) = x2 – 1.

Resolução:

Fazendo g(x) = (x + 1)(x – 1)

Temos que, como conseqüência, que P(x) é divisível por (x + 1) e por (x – 1). Logo: P(– 1) = 0  4(– 1)4 _{– 5(– 1)}2 _{– 3b(– 1) + a = 0} P( 1 ) = 0  4 (1)4 – 5 (1)2 – 3b (1) + a = 0 Resolvendo o sistema         1 a b 3 1 a b 3

Resposta: a = 1 e b = 0.

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA

15) (Marcelo Renato 2009) Determine p+q para que o polinômio P(x)2x34x2pxq seja divisível por (x + 1).(x – 2). a) – 2 b) 4 c) 2 d) – 4 e) – 1

16) (Mack–SP 2005) Um polinômio tem resto A, quando dividido por (x – A), e resto B, quando dividido por (x – B), sendo A e B números reais. Se o polinômio p(x) é divisível por (x – A).(x – B), então: a) A = B = 0 b) A = 1 e B = – 1 c) A = 1 e B = 0 d) A = B = 1 e) A = 0 e B = 1

7. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO

Seja P(x) um polinômio de grau n, n  1, dado por:

0 1 1 n 1 n n nx a x ax a a ) x ( P   _    , ( a0 0)

Podemos decompô-lo em “n” fatores do 1º grau sob a forma: P(x) = an .( x – x1).( x – x2).( x – x3) ... ( x – xn).

Em que x1 , x2 , x3, . . . , xn são as “n” raízes de P(x)

e an é o coeficiente dominante de P(x).

Por exemplo, seja o polinômio

P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com raízes x1 , x2 e x3 .

Decompondo o mesmo em fatores do 1º grau, teremos:

P(x)= a.( x – x1 )( x – x2 ) ( x – x3 )

Observações:

1. Se duas, três ou mais raízes forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas etc.

2. Uma raiz “c” do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x – c)2

. 3. Dizemos que cada um dos polinômios do 1º grau, (x – x1), (x – x2), (x – x3), ... , (x – xn), é um fator de

P(x).

4. P(x) é divisível, individualmente, por cada um de seus fatores.

ATENÇÃO

Utilizaremos o dispositivo de Briot-Ruffini,

abaixando o grau do mesmo,

para encontrarmos as raízes de um

polinômio P(x).

Explicação:

Usando, como exemplo, um P(x) de grau 3 ...

Sabemos que P(x)a(xx₁)(xx₂)(xx₃) Logicamente também sabemos que P(x) é divisível por cada um dos seus fatores, ou seja:

P(x) é divisível por (xx₁), assim como por (xx₂)e por (xx₃), isto é evidente!

Observe:

Na simplificação efetuada acima, o grau da equação P(x) = 0 foi reduzido para grau 2 e assim poderemos encontrar as outras duas raízes de P(x) através da fórmula de Bhaskara.

CURIOSIDADE

O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois :

* Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos

* Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ( "bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas ( resolvidas também com receiras em prosa ) , progressões aritméticas e geométricas, radicais, tríadas pitagóricas e outros.

* Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.

Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.

EXEMPLO:

Para escrevermos um polinômio P(x) na forma fatorada, ou seja, como produto de fatores do 1º grau, precisaremos do seu coeficiente dominante e de todas as suas raízes.

Vejamos o Polinômio P(x)2x38x22x12, sabendo que uma das suas raízes é x₁3.

1º passo: Utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini, com a raiz do polinômio, para abaixar o grau do mesmo.

2º passo: Igualar o quociente a zero e encontrar as demais raízes.

OBS: Neste exemplo, bastou apenas uma raiz conhecida para, com o rebaixamento encontrado, calcularmos as demais raízes com a aplicação da fórmula de Bhaskara.

Caso o polinômio tivesse grau 4, precisaríamos do conhecimento e respectiva utilização de duas raízes do mesmo para, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini por duas vezes (uma para cada raiz conhecida) chegarmos ao cálculo das outras duas raízes através da fórmula de Bhaskara.

3º passo: De posse de todas as raízes do polinômio P(x) e do seu coeficiente dominante...

            (x) 2 (x 3)(x 1)(x 2) P     

Forma fatorada do polinômio P(x).

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA

17) (MR 2010) O resto da divisão do polinômio P(x) = – 2x3 _{– 5x}2_{– x + k + 1 , k }

IR, por (x + 1) é igual a zero. O polinômio P(x), escrito na forma fatorada (produto de fatores do 1º grau) é:

a) P(x)(x1)(x2)(x1) b) (x 1)(x 2)(x 1/2) 2 1 ) x ( P     c) P(x)2(x1)(x2)(x1/2) d) P(x)2(x1)(x2)(x1) e) P(x)2(x1)(x2)(x2) 18) (MR 2010) Se o polinômio P(x)x44x37x222x24 é divisível por (x2), podemos afirmar que um dos seus fatores de 1º grau é o polinômio

a) x + 1 b) x – 3 c) x + 4 d) 2x + 6 e) x2 – 1

Sugestão: Em toda equação, sempre verifique se a soma dos seus coeficientes é igual a zero; se o for, com certeza 1 (um) é raiz da referida equação e, assim sendo, podemos utilizar esta raiz 1 (um) conhecida para, com o uso do dispositivo prático de Briot-Ruffini, abaixar o seu grau e determinarmos as demais raízes.

19) (Marcelo Renato 2009) Os zeros (ou raízes) do polinômio P(x) = x3 + x2 – 26x +24 são: a) –6, –4, 1 b) –6, 1, 4 c) –4, –1, 6 d) –1, 4, 6 e) 1, 4, 6 20) (UFES modificada)

Sabendo que o polinômio P(x) = 2x3 + mx2 + x – 2 é divisível por (x + 2), podemos decompô-lo num produto de fatores do 1º grau. O polinômio P(x) e o valor da constante m encontram-se na alternativa: a) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x – 3); m = – 2 b) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x + 3); m = – 1 c) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/3); m = 5 d) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x + 1/2); m = 5 e) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/2); m = 5

8. RELAÇÕES DE GIRARD

Algumas relações entre os coeficientes de uma equação e suas raízes, conhecidas como Relações de Girard, constituem uma ferramenta importante na resolução de equações quando conhecemos alguma informação sobre suas raízes.

ax2 + bx + c = 0 a b x x₁ ₂ a c x x₁ ₂ ax3 + bx2 + cx + d = 0 a b x x x₁ ₂ ₃  a c x . x x . x x . x_{1 2} _{1 3} _{2 3} a d x . x . x_{1 2 3} 

Observações: Para equações de graus maiores que três, deveremos, atentando-se à sequência alfabética dos coeficientes e à alternância dos sinais à direita da igualdade, seguir o seguinte procedimento com suas raízes.

Exemplo: (MR 2010) Determine o conjunto solução da equaçãoP(x)x34x2x6, sabendo que uma das suas raízes é a igual à soma das outras duas. Resolução:

Considerando x1, x2 e x3 as raízes da equação abaixo:

0 6 x x 4 x3 2   Girard: ) 1 ( ... 4 x x x 1 ) 4 ( x x x₁ ₂ ₃    ₁ ₂ ₃ Do enunciado: ) 2 ( ... ... ... ... x x x₂ ₃  ₁ Substituindo ( 2 ) em ( 1 ): x1 +(x1) = 4  2x1 = 4  x1 = 2

1) Temos quex34x2x60,ondex₁2; 2) Abaixando o grau da equação com a utilização do

dispositivo prático de Briot-Ruffini

2 1 – 4 1 6 1 – 2 – 3 0 4) Assim, 0 6 x x 4 x3 2   (x – 2).(x2 – 2x – 3) = 0 (x – 2)(x2 _{– 2x – 3) = 0} x2 – 2x – 3= 0  x2 = –1 ou x3 = 3. Resposta: S = { –1; 2; 3 }. Observação Importante:

Alguns testes sobre raízes de uma equação utilizam os termos raízes simétricas (ou opostas) e raízes recíprocas. Raízes Simétricas: x₁A e x₂ A; Raízes Recíprocas: A 1 x e A x₁ ₂

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA

21) (Cesgranrio) Se x1 e x2 são as raízes de x 2 _{+ 57x – 228 = 0, então} 2 1 x 1 x 1 _ vale: a) – 1/4 b) – 1/2 c) 1/4 d) 1/2 e) 1

22) (U.F.São Carlos-SP modificada)

Sabendo-se que a soma de duas das raízes da equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0 é igual a 5, pode-se afirmar a respeito das raízes que:

a) são todas iguais e não nulas b) somente uma é nula

c) as raízes podem constituir uma P.G. d) as raízes podem constituir uma P.A. e) nenhuma raiz é real

23) (Fuvest-SP) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3– x2

+ kx + 4 = 0 é igual a 1. Então o valor de k é:

a) – 8 b) – 4 c) 0 d) 4 e) 8 24) (Fuvest-SP) Se a equação 8x3 + kx2 – 18x + 9 = 0 tem raízes reais a e – a, então o valor de k é: a) 9/4

b) 2 c) 9/8 d) – 2 e) – 4

25) (Unificado-RJ) Se a, b e c são as raízes da equação x3– 10x2 – 2x + 20 = 0, então o valor da expressão a2bc + ab2c + abc2 é igual a: a) 400

b) 200 c) – 100 d) – 200 e) – 400

EXERCÍCIOS SÉRIE CASA

1) (U.E.CE) Sejam P(x) e Q(x) polinômios tais que P( x )  Q( x ) + x3 + 2x + 3. Se 1 é raiz de P(x) e 3 é raiz de Q(x), então P( 3 ) – Q( 1 ) é igual a: a) 30 b) 32 c) 40 d) 42 e) 48 2) (U.E.CE) Se 2x5(xm)2(xn)2, então 3 3 n m  é igual a: a) 19 b) 28 c) 35 d) 37 e) 42

3) (Unirio-RJ) O resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – x + 1 pelo polinômio D(x) = x2 + x + 1 é igual a: a) 0 b) x + 2 c) x – 2 d) – x + 2 e) – x – 2

4) (UECE-CE) Na divisão do polinômio f = (x2 + 2)2 por g = x2– x – 1, obtêm-se quociente e resto, respectivamente: a) x2 – x – 6 e 7x + 10 b) x2 + x – 6 e 7x – 10 c) x2 + x – 6 e 7x + 10 d) x2 + x + 6 e 7x – 10 e) x2 + x + 6 e 7x + 10

5) (UCMG) Os valores de a e b que tornam o polinômio P(x) = x3 + 4x2 + ax + b divisível por (x + 1)2 são, respectivamente:

a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) 5 e 3

6) (UFCE) Na divisão do polinômio P(x) = x 6 por x + 1, o quociente é Q1(x) e o resto é R1. Se

R2 é o resto da divisão de Q1(x) por x + 1, então

R2 é igual a: a) – 4 b) – 5 c) – 6 d) – 7 e) – 8 7) (MR 2010) As raízes da equação x3 – 14x2 + 56x – 64 = 0, sabendo que elas estão em progressão geométrica, são:

a) maiores que 3 b) menores que 4

c) o cubo da menor é igual à maior d) o quadrado da menor é igual à maior e) a maior é o dobro da menor

8) (Fuvest-SP) Seja P(x) um polinômio divisível por x – 3. Dividindo P(x) por x – 1, obtemos quociente Q(x) e resto R = 10. O resto da divisão de Q(x) por x – 3 é: a) – 5 b) – 3 c) 0 d) 3 e) 5 9) (Santa Casa-SP)

Na divisão de um polinômio f por (x – 2)2

, obtêm-se quociente x + 1 e resto 1 – 2x. O resto da divisão de f por x + 1 é: a) 1 – 2x b) – 3 c) – 1 d) 1 e) 3

10) (Cescea-SP) Um polinômio P(x), quando dividido por (x + 2) dá resto 5 e, quando dividido por (x – 2), dá resto 13. Dividindo-se P(x) por x2 – 4 obtém-se um resto R(x). Então, o valor de R(x) para x = 1 é: a) – 18

b) 34 c) 11 d) 2 e) 18

11) (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x2 – x resulta no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto –7x. O resto da divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12) (FGV-SP)

Sabe-se que o polinômio f = x4 – x3– 3x2 + x + 2 é divisível por x2 – 1. Outro divisor de f é o polinômio: a) x24

b) x21 c) (x1)2 d) (x2)3 e) (x1)2

13) (UFSE) Se –2 é raiz do polinômio f = 2x3 + x2 – 8x – 4, então a forma fatorada de f é: a) (x – 2)(2x + 1)(x – 4) b) (x – 2)(2x – 1)(x + 4) c) (x + 2)(x + 1)(2x – 1) d) (x + 2)(x + 1)(2x – 1) e) (x + 2)(x – 2)(2x + 1) 14) (MED-ABC/SP)

As raízes da equação x3 – 9x2 +23x – 15 = 0 estão em progressão aritmética. Suas raízes são:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 3, 5 d) 2, 4, 6 e) 3, 6, 8 15) (FEI-SP) A equação x3 – 2x2 – x + 2 = 0 apresenta duas raízes simétricas. O produto das duas maiores raízes é;

a) – 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 16) (Santa Casa-SP)

Se a equação 4x3 + kx2 – x + 2 = 0, com coeficientes reais, admite duas raízes recíprocas, então k é um número:

a) negativo

b) maior que 0 e menor que 2 b) maior que 2 e menor que 3 b) maior que 3 e menor que 5 e) maior que 5

17) (Santa Casa-SP)

Sabe-se que a equação 4x3 – 12x2 – x + k = 0, onde k



IR, admite duas raízes opostas. O produto das raízes dessa equação é: a) – 12

b) – 3/4 c) – 1/4 d) 3/4 e) 12

18) (U.F.São Carlos-SP) Sabendo-se que a soma de duas raízes reais de x3 + mx + 6 = 0 é – 2, então o valor de m é: a) 7 b) – 6 c) – 7 d) – 2 e) 2

19) (Santa Casa-SP) a soma dos inversos das raízes da equação 2x3 – 5x2 + 4x + 6 = 0 é: a) 3/2 b) 2/3 c) 1/3 d) – 2/3 e) – 3/2 20) (UFSM) A equação x3 – 5x2 + ax + b = 0 admite uma raiz dupla igual a 2. Se a e b são coeficientes reais, a razão a/b é igual a: a) 4/3

b) 1/4 c) – 1/2 d) – 1 e) – 2

GABARITO SÉRIE AULA

1

B

6

D

11

D

16

A

21 C

2

B

7

E

12

B

17

C

22 C

3

C

8

C

13

D

18

C

23 A

4

C

9

C

14

E

19

B

24 E

5

A

10

B

15

C

20

E

25 D

GABARITO SÉRIE CASA

1

D

6

C

11

E

16

A

2

C

7

C

12

C

17

B

3

D

8

A

13

E

18

C

4

E

9

E

14

C

19

D