Operações com Números Complexos na Forma Algébrica:
Propriedades e Justificativas
Pamela Rafaela de Oliveira1, Lucas Antonio Caritá1
1Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo (IFSP)
São José dos Campos – São Paulo - Brasil
pam99130178@gmail.com, prof.carita@ifsp.edu.br
Abstract. This work aims to show mathematical proofs and justifications for the
properties valid in the complex numbers set. Giving priority to the initial theory, the basic arithmetic of complex numbers, the proofs will be carefully introduced mathematically. With this text, math teachers have another alternative to improve their specific knowledge, which can help in the development of their classes. The proofs also been prepared for the less experienced students, such as high school students or the early years students of mathematics, physics and engineering courses, can understand them without difficulty.
Resumo. Este trabalho tem como objetivo apresentar demonstrações
matemáticas e justificativas para as propriedades válidas no conjunto dos números complexos. Focando a teoria inicial, a aritmética básica dos números complexos, as demonstrações serão apresentadas de forma clara e matematicamente coerentes. Com esse texto, professores de matemática possuem mais uma alternativa para aprofundar o conhecimento específico, o que pode auxiliar no desenvolvimento de suas aulas. As demonstrações também foram elaboradas para que leitores menos experientes, como alunos de ensino médio ou dos anos iniciais em cursos superiores de exatas, possam compreendê-las sem dificuldade.
1. Introdução
O conjunto dos números reais não é capaz de solucionar todos os problemas numéricos que possam ser propostos.
Imagine o seguinte problema: Encontre um número cujo o quadrado seja igual a −1. Se 𝑥 ∈ ℝ é solução desse problema, então teríamos 𝑥2 = −1. Isto é impossível, pois
supondo 𝑥 ≠ 0 teríamos 𝑥 > 0 e −𝑥 < 0 ou 𝑥 < 0 e −𝑥 > 0 e assim, 𝑥2 = 𝑥. 𝑥 = (−𝑥). (−𝑥) > 0, ou seja, uma contradição. Consequentemente, a resposta óbvia que surge é: esse problema não pode ser solucionado no conjunto dos números reais.
Mas, afinal, para quê solucionar um problema como esse?
Uma motivação aplicada a própria natureza física pode ser dada pela seguinte equação diferencial:
𝑦′′+ 𝑦 = 0
Figura 1: Um Pêndulo1.
Note que as funções reais 𝑒𝑥 e 𝑒−𝑥 satisfazem 𝑦′′+ 𝑦 = 0 e, portanto, é natural
procurarmos uma solução para essa equação da forma 𝑦 = 𝑒𝜆𝑥. Assim, somos levados a:
(𝜆2+ 1)𝑒𝜆𝑥 = 0
Onde 𝑥 ∈ ℝ.
Observe que para a última igualdade ser verdadeira, deve-se ter 𝜆2 = −1.
Além deste exemplo, utilizado para justificar a necessidade do estudo de um conjunto que solucione problemas como o citado, números e funções complexas possuem extensa aplicação em problemas práticos, especialmente nas áreas de Física e Engenharias. É satisfatório, portanto, que o acesso a este conhecimento específico seja estudado e difundido com afinco.
2. Metodologia Científica
Como característica de uma pesquisa em matemática teórica em nível de iniciação científica, a metodologia empregada é a de revisão bibliográfica seguida da discussão e aprofundamento de ideias por parte dos envolvidos. Neste processo, as demonstrações matemáticas são refeitas e, quase sempre, alteradas, para que sejam mais bem interpretadas e compreendidas.
3. O Conjunto Complexo
Para o desenvolvimento deste trabalho, consideramos que o leitor esteja familiarizado com o conjunto dos números reais ℝ e suas propriedades.
Definição 1. Definimos como sendo o conjunto complexo, o conjunto
ℂ = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑦 ∈ ℝ},
munido das seguintes operações de adição e multiplicação: para todo z, w ∈ ℂ, onde, 𝑧 = (𝑥, 𝑦) e 𝑤 = (𝑎, 𝑏)
𝑧 + 𝑤 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) 𝑧𝑤 = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏, 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)
1Disponível em <
Definição 2. Os elementos pertencentes a ℂ são chamados de números complexos. Definição 3. Para 𝑧 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℂ, definimos o oposto de z, denotado por – 𝑧 e o inverso
de z, denotado por 𝑧−1, por:
−𝑧 = (−𝑥, −𝑦) 𝑧−1 = ( 𝑥
𝑥2+𝑦2,
−𝑦
𝑥2+𝑦2) se 𝑧 ≠ 0.
O número 𝑧−1 é também denotado por 1 𝑧.
Observação 1. Denotamos o número complexo (0,0) simplesmente por 0 e o número
complexo (1,0) simplesmente por 1.
Propriedade 1. As seguintes propriedades são verificadas para quaisquer números
𝑧, 𝑤, 𝑡 ∈ ℂ:
(a) 𝑧 + (𝑤 + 𝑡) = (𝑧 + 𝑤) + 𝑡 (associatividade da adição). (b) 𝑧 + 𝑤 = 𝑤 + 𝑧 (comutatividade da adição).
(c) 0 + 𝑧 = 𝑧 (elemento neutro). (d) 𝑧 + (−𝑧) = 0 (elemento oposto).
(e) 𝑧(𝑤𝑡) = (𝑧𝑤)𝑡 (associatividade da multiplicação). (f) 𝑧𝑤 = 𝑤𝑧 (comutatividade da multiplicação). (g) 1𝑧 = 𝑧 (elemento unidade).
(h) 𝑧𝑧−1 = 1 (elemento inverso).
(i) 𝑧(𝑤 + 𝑡) = 𝑧𝑤 + 𝑧𝑡 (distribuitividade da multiplicação em relação à adição).
Demonstrações: Sejam 𝑧 = (𝑥, 𝑦), 𝑤 = (𝑎, 𝑏), 𝑡 = (𝑐, 𝑑) ∈ ℂ, temos:
(a) 𝑧 + (𝑤 + 𝑡) = (𝑥, 𝑦) + ((𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑)) = (𝑥, 𝑦) + (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) = (𝑥 + (𝑎 + 𝑐), 𝑦 + (𝑏 + 𝑑)) = ((𝑥 + 𝑎) + 𝑐, (𝑦 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = ((𝑥, 𝑦) + (𝑎, 𝑏)) + (𝑐, 𝑑) = (𝑧 + 𝑤) + 𝑡. (b) 𝑧 + 𝑤 = (𝑥, 𝑦) + (𝑎, 𝑏) = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦) = (𝑎, 𝑏) + (𝑥, 𝑦) = 𝑤 + 𝑧. (c) 0 + 𝑧 = (0,0) + (𝑥, 𝑦) = (0 + 𝑥, 0 + 𝑦) = (𝑥, 𝑦) = 𝑧. (d) 𝑧 + (−𝑧) = (𝑥, 𝑦) + (−𝑥, −𝑦) = (𝑥 + (−𝑥), 𝑦 + (−𝑦)) = (0,0) = 0.
(e) 𝑧(𝑤𝑡) = (𝑥, 𝑦)((𝑎, 𝑏)(𝑐, 𝑑)) = (𝑥, 𝑦)(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) = (𝑥(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) − 𝑦(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐), 𝑥(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) + 𝑦(𝑎𝑐 − 𝑏𝑑)) = (𝑥𝑎𝑐 − 𝑥𝑏𝑑 − 𝑦𝑎𝑑 − 𝑦𝑏𝑐, 𝑥𝑎𝑑 + 𝑥𝑏𝑐 + 𝑦𝑎𝑐 − 𝑦𝑏𝑑) = (𝑥𝑎𝑐 − 𝑦𝑏𝑐 − 𝑥𝑏𝑑 − 𝑦𝑎𝑑, 𝑥𝑎𝑑 − 𝑦𝑏𝑑 + 𝑥𝑏𝑐 + 𝑦𝑎𝑐) = ((𝑥𝑎 − 𝑦𝑏)𝑐 − (𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)𝑑, (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏)𝑑 + (𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)𝑐) = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏, 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)(𝑐, 𝑑) = ((𝑥, 𝑦)(𝑎, 𝑏))(𝑐, 𝑑) = (𝑧𝑤)𝑡. (f) 𝑧𝑤 = (𝑥, 𝑦)(𝑎, 𝑏) = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏, 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎) = (𝑎𝑥 − 𝑏𝑦, 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥) = (𝑎, 𝑏)(𝑥, 𝑦) = 𝑤𝑧. (g) 1𝑧 = (1,0)(𝑥, 𝑦) = (1𝑥 − 0𝑦, 1𝑦 + 𝑂𝑥) = (1𝑥, 1𝑦) = (𝑥, 𝑦) = 𝑧. (h) 𝑧𝑧−1= (𝑥, 𝑦) ( 𝑥 𝑥2+𝑦2, −𝑦 𝑥2+𝑦2) = (𝑥 𝑥 𝑥2+𝑦2− 𝑦 −𝑦 𝑥2+𝑦2, 𝑥 −𝑦 𝑥2+𝑦2+ 𝑦 𝑥 𝑥2+𝑦2) = (𝑥2𝑥²+𝑦2+𝑥2𝑦²+𝑦2,𝑥−𝑥𝑦2+𝑦2+𝑥2𝑥𝑦+𝑦2) = (𝑥𝑥²+𝑦²2+𝑦2,−𝑥𝑦+𝑥𝑦𝑥2+𝑦2 ) = (1,0) = 1. (i) 𝑧(𝑤 + 𝑡) = (𝑥, 𝑦)((𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑)) = (𝑥, 𝑦)(𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) = (𝑥(𝑎 + 𝑐) − 𝑦(𝑏 + 𝑑), 𝑥(𝑏 + 𝑑) + 𝑦(𝑎 + 𝑐)) = (𝑥𝑎 + 𝑥𝑐 − 𝑦𝑏 − 𝑦𝑑, 𝑥𝑏 + 𝑥𝑑 + 𝑦𝑎 + 𝑦𝑐) = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏 + 𝑥𝑐 − 𝑦𝑑, 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎 + 𝑥𝑑 + 𝑦𝑐) = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏, 𝑥𝑏 + 𝑦𝑎) + (𝑥𝑐 − 𝑦𝑑, 𝑥𝑑 + 𝑦𝑐) = (𝑥, 𝑦)(𝑎, 𝑏) + (𝑥, 𝑦)(𝑐, 𝑑) = 𝑧𝑤 + 𝑧𝑡.
Observação 2. As propriedades demonstradas acima dão aos números complexos o status
de corpo.
Proposição 1. Seja 𝑧 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℂ, temos que 𝑧0 = 0.
Demonstração: 𝑧0 = (𝑥, 𝑦)(0,0) = (𝑥0 − 𝑦0, 𝑥0 + 𝑦0) = (0,0).
Definição 4. Sejam 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ, definimos as operações de subtração, divisão e potenciação
como:
𝑧 − 𝑤 = 𝑧 + (−𝑤) 𝑤𝑧 = 𝑧𝑤−1se 𝑤 ≠ 0
𝑧0 = 1, 𝑧𝑛 = 𝑧 … 𝑧 (n-vezes) e 𝑧−𝑛= 𝑧−1… 𝑧−1 (n-vezes) se 𝑧 ≠ 0 (𝑛 ≥ 1). Proposição 2. Sejam 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ, se 𝑧𝑤 = 0, então 𝑧 = 0 ou 𝑤 = 0.
Demonstração: Se 𝑧 ≠ 0, então:
𝑧−1𝑧𝑤 = 𝑧−10 ⇒ 𝑧𝑧−1𝑤 = 0
⇒ 1𝑤 = 0 ⇒ 𝑤 = 0
Se 𝑤 ≠ 0, então:
𝑧𝑤𝑤−1= 0𝑤−1 ⇒ 𝑧𝑤𝑤−1= 0
⇒ 𝑧1 = 0 ⇒ 𝑧 = 0.
Propriedade 2. As seguintes propriedades são verificadas para quaisquer números
𝑧, 𝑤, 𝑡 ∈ ℂ:
(a) Se 𝑤 + 𝑧 = 𝑡 + 𝑧, então 𝑤 = 𝑡 (lei do cancelamento em relação a adição).
(b) Se 𝑧 ≠ 0 e 𝑧𝑤 = 𝑧𝑡, então 𝑤 = 𝑡 (lei do cancelamento em relação a multiplicação). Demonstrações: (a) 𝑤 + 𝑧 = 𝑡 + 𝑧 ⇒ 𝑤 + 𝑧 + (−𝑧) = 𝑡 + 𝑧 + (−𝑧) ⇒ 𝑤 + 0 = 𝑡 + 0 ⇒ 𝑤 = 𝑡. (b) 𝑧𝑤 = 𝑧𝑡 ⇒ 𝑧𝑤 − 𝑧𝑡 = 𝑧𝑡 − 𝑧𝑡 ⇒ 𝑧𝑤 − 𝑧𝑡 = 0 ⇒ 𝑧(𝑤 − 𝑡) = 0 Como 𝑧 ≠ 0, logo: 𝑤 − 𝑡 = 0 𝑤 = 𝑡.
Proposição 3. Sejam 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ, tal que 𝑧, 𝑤 ≠ 0, temos que:
(a) Se 𝑧𝑤 = 1, então 𝑤 = 𝑧−1 e 𝑧 = 𝑤−1.
(b) (𝑧−1)−1= 𝑧.
(c) (𝑧𝑤)−1 = 𝑧−1𝑤−1.
Demonstrações:
(a) 𝑧𝑤 = 1, como sabemos que 𝑧𝑧−1 = 1, então:
𝑧𝑤 = 𝑧𝑧−1 ⇒ 𝑧𝑤 − 𝑧𝑧−1 = 𝑧𝑧−1− 𝑧𝑧−1 ⇒ 𝑧𝑤 − 𝑧𝑧−1= 0 ⇒ 𝑧(𝑤 − 𝑧−1) = 0
Como 𝑧 ≠ 0, logo: 𝑤 − 𝑧−1 = 0
𝑤 = 𝑧−1
Todavia, também sabemos que 𝑤𝑤−1 = 1, então:
𝑧𝑤 = 𝑤𝑤−1⇒ 𝑧𝑤 − 𝑤𝑤−1 = 𝑤𝑤−1− 𝑤𝑤−1⇒ 𝑧𝑤 − 𝑤𝑤−1 = 0 ⇒ 𝑤(𝑧 −
Como 𝑤 ≠ 0, logo: 𝑧 − 𝑤−1 = 0
𝑧 = 𝑤−1.
(b) Sabemos que 𝑧𝑧−1 = 1 e 𝑧−1(𝑧−1)−1 = 1, então:
𝑧−1(𝑧−1)−1= 𝑧𝑧−1 ⇒ 𝑧−1(𝑧−1)−1− 𝑧𝑧−1 = 𝑧𝑧−1− 𝑧𝑧−1
⇒ 𝑧−1(𝑧−1)−1− 𝑧𝑧−1 = 0
⇒ 𝑧−1((𝑧−1)−1− 𝑧) = 0
Como 𝑧−1≠ 0, logo:(𝑧−1)−1− 𝑧 = 0
(𝑧−1)−1 = 𝑧.
(c) Sabemos que 𝑧𝑤(𝑧𝑤)−1= 1, então devemos mostrar que 𝑧𝑤𝑧−1𝑤−1 = 1:
𝑧𝑤𝑧−1𝑤−1 = 𝑧𝑧−1𝑤𝑤−1 = 1 . 1 = 1
Logo (𝑧𝑤)−1= 𝑧−1𝑤−1. Proposição 4. Sejam 𝑤𝑧1
1,
𝑧2
𝑤2 ∈ ℂ com 𝑤1, 𝑤2 ≠ 0, temos que:
(a) 𝑧1 𝑤1+ 𝑧2 𝑤2 = 𝑧1𝑤2+𝑧2𝑤1 𝑤1𝑤2 (b) 𝑤𝑧1 1 𝑧2 𝑤2 = 𝑧1𝑧2 𝑤1𝑤2 Demonstrações: (a) 𝑧1𝑤𝑤2+𝑧2𝑤1 1𝑤2 = (𝑧1𝑤2+ 𝑧2𝑤1)(𝑤1𝑤2) −1= (𝑧 1𝑤2)(𝑤1𝑤2)−1+ (𝑧2𝑤1)(𝑤1𝑤2)−1= (𝑧1𝑤2)(𝑤1−1𝑤2−1) + (𝑧2𝑤1)(𝑤1−1𝑤2−1) = 𝑧1𝑤1−1𝑤 2𝑤2−1+ 𝑧2𝑤2−1𝑤1𝑤1−1= 𝑧1𝑤1−1+ 𝑧2𝑤2−1= 𝑧1𝑤1 1+ 𝑧2 1 𝑤2 = 𝑧1 𝑤1+ 𝑧2 𝑤2. (b) 𝑧1 𝑤1 𝑧2 𝑤2 = (𝑧1𝑤1 −1)(𝑧 2𝑤2−1) = 𝑧1𝑤1−1𝑧2𝑤2−1= 𝑧1𝑧2𝑤1−1𝑤2−1= (𝑧1𝑧2)(𝑤1𝑤2)−1 = 𝑧1𝑧2 𝑤1𝑤2.
Definição 5. De modo geral denotamos um número complexo (𝑥, 0) simplesmente por
𝑥, onde 𝑥 ∈ ℝ. Dessa forma passamos a ver o conjunto ℝ, como um subconjunto de ℂ.
Observação 3. A princípio, a inclusão ℝ ⊂ ℂ pode gerar uma ambiguidade. Dados 𝑥 ∈
ℝ e 𝑦 ∈ ℝ, o que se entende por 𝑥 + 𝑎 e 𝑥𝑎? A soma e o produto dos números reais ou dos números complexos? Isso não faz diferença, pois:
(𝑥, 0)(𝑎, 0) = (𝑥𝑎 − 00, 𝑥0 − 𝑥𝑎) = 𝑥𝑎.
Agora perceba que para o número complexo (0,1), temos: (0,1)2 = (0,1)(0,1) = (00 − 11 , 01 + 01) = (−1,0) = −1.
Observe que o número −1 possui uma raiz quadrada em ℂ. Denotamos o número complexo (0,1) por 𝑖, e o denominamos de unidade imaginária. Note que:
𝑖² = −1.
Observação 4. Sendo (𝑦, 0), (0,1) ∈ ℂ, tem-se:
(𝑦, 0)(0,1) = (0, 𝑦).
Demonstração:(𝑦, 0)(0,1) = (𝑦0 − 01, 𝑦1 + 00) = (𝑦, 0).
Finalmente, dado um número complexo 𝑧 = (𝑥, 𝑦), podemos denotar:
𝑧 = (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0) + (0, 𝑦) = 𝑥 + (0, 𝑦) = 𝑥 + (𝑦, 0)(0,1) = 𝑥 + 𝑦𝑖, onde 𝑖 = (0,1) é chamado de unidade imaginária.
Chamamos a expressão 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 de forma algébrica do número complexo 𝑧 = (𝑥, 𝑦). Quando utilizarmos o número complexo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 estaremos assumindo, automaticamente que 𝑥 ∈ ℝ e 𝑦 ∈ ℝ.
A forma algébrica facilita as operações com números complexos, pois elimina a necessidade de utilizar a soma e produto da Definição 1. Sejam 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 e 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖, note que:
𝑧 + 𝑤 = (𝑥 + 𝑦𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑥 + 𝑎) + (𝑦𝑖 + 𝑏𝑖) = (𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏)𝑖 𝑧𝑤 = (𝑥 + 𝑦𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑥𝑎 − 𝑦𝑏𝑖² + 𝑥𝑏𝑖 − 𝑦𝑖𝑎 = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏) + (𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)𝑖.
4. O conjugado de um número complexo
Definição 6. Seja 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, definimos a parte real denotada por Re e a parte
imaginária denotada de por Im, do número complexo z, respectivamente, por:
Re z = 𝑥 e Im z = 𝑦.
Observação 5. Quando a parte real de z for igual a 0, dizemos que z é imaginário puro.
Como 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 é a forma algébrica do número complexo 𝑧 = (𝑥, 𝑦), podemos representá-lo graficamente no plano cartesiano por um par ordenado (𝑥, 𝑦), tal que, a
parte real seja sua abcissa e a parte imaginária seja sua ordenada. Ou, pode ser representado por um vetor que liga a origem a esse ponto, como representado na Figura 2.
Figura 2: Representação geométrica de um número complexo.
Observação 6. Nessa conjuntura, chamamos o plano cartesiano de plano complexo, onde
o eixo das abcissas é chamado de eixo real e o eixo das ordenadas é chamado de eixo
imaginário.
Definição 7. Definimos o conjugado de 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, denotado por 𝑧, como sendo o ponto
do plano complexo obtido através da reflexão de z, tomando o eixo real como eixo de simetria. Sendo assim, o conjugado de z é o número complexo 𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖, como ilustrado na Figura 3.
Figura 3: Representação geométrica do conjugado de um número complexo.
Propriedade 3. As seguintes propriedades são verificadas para quaisquer números
𝑧, 𝑤, 𝑡 ∈ ℂ: (a) 𝑧 = 𝑧.
(b) (𝑧 ± 𝑤) = 𝑧 ± 𝑤. (c) 𝑧𝑤 = 𝑧𝑤.
(e) 𝑧 + 𝑧 = 2 (𝑅𝑒 𝑧). (f) 𝑧 − 𝑧 = 2𝑖 (𝐼𝑚 𝑧).
(g) 𝑧 ∈ ℝ se, e somente se 𝑧 = 𝑧.
(h) 𝑧 é imaginário puro se, e somente se 𝑧 = −𝑧.
Demonstrações: Sejam 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, 𝑤 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂ, temos: (a) 𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 = 𝑥 − (−𝑦𝑖) = 𝑥 + 𝑦𝑖. (b) 𝑧 + 𝑤 = (𝑥 + 𝑦𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏)𝑖 = (𝑥 + 𝑎) − (𝑦 + 𝑏)𝑖 = (𝑥 − 𝑦𝑖) + (𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑧 + 𝑤. 𝑧 − 𝑤 = (𝑥 + 𝑦𝑖) − (𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)𝑖 = (𝑥 − 𝑎) − (𝑦 − 𝑏)𝑖 = (𝑥 − 𝑎) + (−𝑦 + 𝑏)𝑖 = (𝑥 + (−𝑦)𝑖) + (−𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑥 − 𝑦𝑖) + (−𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑥 − 𝑦𝑖) − (𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑧 − 𝑤. (c) 𝑧𝑤 = (𝑥 + 𝑦𝑖)(𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏) + (𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)𝑖 = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏) − (𝑥𝑏 + 𝑦𝑎)𝑖 = (𝑥𝑎 − 𝑦𝑏) + (−𝑥𝑏 − 𝑦𝑎)𝑖 = (𝑥 − 𝑦𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑧𝑤. (d) (𝑤𝑧) = (𝑧𝑤−1) = 𝑧𝑤−1 = 𝑧 𝑤. (e) 𝑧 + 𝑧 = (𝑥 + 𝑦𝑖) + (𝑥 − 𝑦𝑖) = (𝑥 + 𝑥) + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑖) = 2𝑥 = 2 (𝑅𝑒 𝑧). (f) 𝑧 − 𝑧 = (𝑥 + 𝑦𝑖) − (𝑥 − 𝑦𝑖) = (𝑥 − 𝑥) + (𝑦𝑖 − (−𝑦𝑖)) = (𝑦𝑖 + 𝑦𝑖) = 2𝑦𝑖 = 2(𝐼𝑚 𝑧).
(g) (⇒) Se 𝑧 ∈ ℝ a sua parte imaginária é 0, então 𝑧 = 𝑥 + 0𝑖 = 𝑥 onde 𝑥 ∈ ℝ. E portanto:
𝑧 = 𝑥 + 0𝑖 = 𝑥 − 0𝑖 = 𝑧.
(⇐) Se 𝑧 = 𝑧, então: 𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖⇒𝑥 − 𝑦𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖⇒𝑥 = 𝑥 e −𝑦 = 𝑦. Portanto 𝑦 = 0 e 𝑧 = 𝑥 + 0𝑖 = 𝑥 ∈ ℝ.
(h) (⇒) Se 𝑧 é imaginário puro, a sua parte real é 0, então 𝑧 = 0 + 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖. E portanto:
𝑧 = 0 + 𝑦𝑖 = 0 − 𝑦𝑖 = −𝑦𝑖 = −𝑧.
(⇐) Se 𝑧 = −𝑧, então: 𝑥 + 𝑦𝑖 = −𝑥 − 𝑦𝑖⇒𝑥 − 𝑦𝑖 = −𝑥 − 𝑦𝑖⇒𝑥 = −𝑥 e −𝑦𝑖 = −𝑦𝑖. Portanto 𝑥 = 0 e 𝑧 = 0 + 𝑦𝑖 = 𝑦𝑖.
Demonstração: Sabemos que𝑧−1 = (𝑥2+𝑦𝑥 2,𝑥2−𝑦+𝑦2) para 𝑧 ≠ 0. Desse modo, devemos provar que (𝑥2+𝑦𝑥 2,𝑥2−𝑦+𝑦2) = 1𝑧𝑧𝑧. 𝑧−1 = ( 𝑥 𝑥2+𝑦2, −𝑦 𝑥2+𝑦2) = 𝑥 𝑥2+𝑦2− 𝑦 𝑥2+𝑦2𝑖 = 𝑥−𝑦𝑖 𝑥2+𝑦2 = 𝑥−𝑦𝑖 (𝑥+𝑦𝑖)(𝑥−𝑦𝑖)= 1 𝑥+𝑦𝑖 𝑥−𝑦𝑖 𝑥−𝑦𝑖= 1 𝑧 𝑧 𝑧. 5. Considerações Finais
Os números complexos possuem grande importância e extensa aplicação na própria Matemática e em problemas práticos ligados a Física e Engenharia. Justificada a importância de se estudar um tema como este, neste trabalho foram demonstradas propriedades imprescindíveis sobre a aritmética complexa. Permitiu-se, desse modo, ter uma visão básica do que são os números complexos e como são realizadas as operações na sua forma algébrica.
Tratando-se de um conteúdo introdutório da Análise Complexa, os estudos aqui abordados podem ser lidos por alunos durante o ensino médio ou início de graduação. Enfatiza-se, também, a utilidade deste material como um modo de se recapitular e aprofundar o conhecimento específico de professores bem como alunos interessados em se aplicar mais à Matemática.
Para leitores mais experientes, este texto também constitui o início de uma boa revisão para estudos mais específicos, como funções complexas, análise complexa ou aplicações dos números complexos em eletromagnetismo, ondas, equações diferenciais, equações algébricas, teoria do caos, entre outros.
6. Referências
CARMO, M. P.; MORGADO, A. C.;WAGNER, E. (2005) “Trigonometria Números
Complexos.” – 3. ed. – São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática.
FERNANDEZ, C. S.; BERNARDES N. C. (2008) “Introdução às Funções de uma
Variável Complexa.” – 3. ed. – São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática.
FERNANDEZ, C. S. (2011) “Estudo de Algumas Funções Complexas de uma
Variável Complexa: Aspectos Algébricos e Geométricos.” 1º Colóquio de
Matemática da Região Sudeste. Disponível em: <http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE-1.03.pdf>. Acesso em: 13 de mar. 2016. ZANI, S. L. “Funções de uma Variável Complexa.” USP/ICMC. Apostila. Disponível
