IFBA – INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA – ÁLGEBRA LINEAR
PROF.: GUSTAVO COSTA
ALUNO: ______________________________________________________
Lista de Exercícios – Matrizes e Sistemas Lineares
E
XERCÍCIOS DEA
PRENDIZAGEM1
–
O
PERAÇÕES E MATRIZES ELEMENTARES1 – Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes:
a)
1 4 0 0 0 1 0 0 0 A =
b) 0 1 0 0
0 0 0 1 B =
c) 1 4
0 2 C = −
d)
1 0 0 1 0 0 1 2 D = e)
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 X = f)
1 0 0
1 4 3
2 3 6
Y − =
2 – Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. Utilizando a notação n A( ) para nulidade de A e p A( ) para o posto de A.
a) B2 3× e ( )p B =2. b) C3 2× e ( )p C =3.
c) D2 4× e ( )p D =3. d) F2 3× e ( )n F =2.
e) G4 3× e ( )n G =0. f) H3 e ( )n H =0.
g) J3 e ( )p J =2. h)
3 – Considere as matrizes:
1 1 0
0 0 1
0 3 0
A − =
; 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1 / 3 E =
e 2
a)Diga, justificando se E1 e E2 são matrizes elementares e, em caso afirmativo, indique as
operações elementares O1 e O2 que transformam a matriz identidade de ordem 3 em E1 e E2,
respectivamente. b)Calcule as matrizes:
i) B =E A1 ii) C =E B2 iii) D =E E A2 1
c) Determine as matrizes , e F G H tais que:
i) F é obtida de A aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O1 do item a);
ii) G é obtida de B aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O2 do item a);
iii) H é obtida de A aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O1 e O2, nesta ordem.
d)Compare as matrizes encontradas nos itens b) e c). Conclua sobre a multiplicação de matrizes elementares à esquerda de uma matriz A e aplicação de operações elementares nas linhas de A, correspondentes às matrizes elementares.
4 – Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
a) 1 3
2 7 A=
b)
2 5 1
4 1 2
0 4 1
B
−
= −
c)
1 1 2
3 2 4
0 1 2
C
−
= −
−
5 – Considere a matriz A=
( )
aij 3 3× , tal que, 2 ,
, ij
i j i j
a i j i j
j i i j + <
= − = − >
. Determine X na equação
AX =B, onde
2 0 1 B
−
=
.
E
XERCÍCIOS DEA
PRENDIZAGEM2
–
D
ETERMINANTE1 – Calcule o determinante das matrizes abaixo:
3 1
−
d) cossenxx −sencosxx
e)
1 3 4
5 2 3
1 4 2
− f)
1 4 6
0 2 5
0 0 3
− − − − − − g)
1 3 2 0 3 1 0 2 2 3 0 1 0 2 1 3
h) 0 1
0 1 0 0 0
1 0
a b
a a b b a i)
1 2 3 4 5
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
0 0 0 0 a b c d
2 – Determine x nas equações abaixo:
a) 2 2 11
4 5 3 1
x x
x x
− =
+ − b)
1 1
1 1 0
1 1 x x x − = − c)
1 1 2 3
2 2 1
2
3 2 1 0
1 1 2 0
x − − − = − −
3 – Seja
4 0 1 2 3 2 1 0 4 A =
. Determine todos os valores reais de λ tais que det
(
A−λI3)
=0.4 (Wronskiano) – Sejam ϕ ϕ1, ,...,2 ϕn ∈C( , )I \ funções reais n−1 vezes deriváveis no intervalo I ⊆\. O Wronskiano de ϕ ϕ1, ,...,2 ϕn (denotado por W( , ,...,ϕ ϕ1 2 ϕn)) é calculado por
1 2
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 2
( , ,..., ) det
n n n
n n n
n
W
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ − ϕ − ϕ −
′ ′ ′ = " "
# # " #
"
Calcule o Wronskiano de cada conjunto de funções:
a)
{
1, , t t2}
b){
2t−3, 2t2 +1, 3t2 +t}
c)
{
at, , bt ct}
E
XERCÍCIOS DEA
PRENDIZAGEM3
–
S
ISTEMAS DEE
QUAÇÕESL
INEARES1 – Em cada um dos seguintes itens é dada a matriz escalonada linha equivalente à matriz ampliada de um sistema linear. A partir dessas matrizes, discuta o sistema linear original e dê o conjunto solução, quando for o caso.
a)
1 0 1 2 5 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 P = b)
1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 Q =
2 – Utilize o Método de Gauss (operações elementares) para resolver os seguintes sistemas de equações lineares:
a)
2 2 10
3 2 2 1
5 4 3 4
x y z
x y z
x y z
+ − = + + = + + = b) 1
2 5 2 5
2 7 8
x y z
x y z
x y z + + = + − =− + − =− c)
2 3 11
4 3 2 0
6
3 4
x y z
x y z
x y z
x y z
− + = − + = + + = + + = d) 4
2 5 2 3
7 7 5
x y z
x y z
x y z + + =
+ − =
+ − =
e) 2 3 0
2 5 6 0
x y z
x y z
− + = + + = f) 0 4 4 2 x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
+ + + = + + − = + − + =− − + + =
3 – Determine a solução de cada sistema pela Regra de Cramer.
a)
2 2 4
2 1
3 5 2 1
x y z
x y z
x y z
+ + = + + =− + + = b) 3 0
2 2 0 0 x y z
y z
x y z
+ − = + = + + = c) 0 2 1 3 1
x y z
x y z
x y z
+ − = + + = − + = d)
1 4 2 1 32
2 1 7 9 14
1 1 3 1 11
1 2 1 4 4
a b c d − − − − = − − − −
4 – Utilize operações elementares para determinar os valores de e α β que tornam o sistema ao lado possível determinado:
3 7
5 3 5 2
5 – Utilize operações elementares sobre linhas para discutir em função de k os seguintes sistemas lineares:
a)
4 3 2
5 4 0
2
x y
x y
x y k
− + =
− =
− =
b)
2 1
2 0 x y kz
kx y z
x y z
− − − =
− + =
+ + =
c)
2 5 2 0
0
2 0 0
x y z
x y z
x y kz
− + =
+ + =
+ + =
d) 1
2 4
1
x y z
x y kz k
y kz + + =−
− + =
− =
6 – É possível para uma parábola que tem equação na forma y =a+bx+cx2 passar pelos quatro
pontos (0,1), (1, 3), (2,15) P Q R e (3, 37)S ? Utilize sistemas lineares para explicar sua resposta.
7 – Considere o sistema de matriz ampliada
1 1 1 1
2 3 4
1 1 1 0
3 4 5
1 1 1 1
4 5 6
−
.
a) Obtenha a solução exata;
b) Resolva-o utilizando dois algarismos significativos;
c) Agora faça a seguinte experiência: escreva o mesmo sistema, arredondando para dois algarismos significativos, mas a partir daí ache sua solução usando o máximo de algarismos significativos que
sua calculadora permite. Compare com a solução exata. Isto mostra que o refinamento é limitado pelo arredondamento inicial que, num sistema mal condicionado, pode alterar drasticamente a solução.
8 – Fatoração LU . Seja A é uma matriz quadrada de ordem n que pode ser escrita como A=L U⋅ onde L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior. Então o sistema A X⋅ =B pode ser expresso como (L U⋅ )⋅X =B e, portanto, pode ser resolvido em dois passos:
Passo 1: Seja U X⋅ =Y de modo que (L U⋅ )⋅X =B pode ser escrito como L Y⋅ =B. Resolva este sistema em Y .
Utilize fatoração LU para resolver o sistema
2 0 0 3 5 2 4
4 1 0 0 4 1 5
3 2 3 0 0 2 2
x y z
−
=−
− −
.
9 – Determine , , a b c∈ \ tais que o gráfico do polinômio p x( )=ax2+bx +c passe pelo ponto ( 1, 0)
A− e tem uma tangente horizontal em ( 2,9)B − .
10 – Um engenheiro supervisiona a produção de três tipos de automóveis. Considera-se que três tipos de material (metal, plástico e borracha) são necessários para produção de cada automóvel. A quantidade necessária para produção de cada tipo de automóvel está ilustrada na tabela
Marca do automóvel Metal (kg/carro) Plástico (kg/carro) Borracha (kg/carro)
1 4000 25 100 2 1700 80 120 3 1900 42 250
Admitindo-se que um total de 106 ton de metal, 2.17 ton de plástico e 8.2 ton de borracha estão disponíveis por dia, monte um sistema de equações relacionando a produção máxima (no carros/dia) para cada marca de automóvel. Quantos carros de cada marca são produzidos?
11 – Um combustível automotivo é composto da mistura de 90% gasolina e o restante de álcool. Outra mistura possui 96% de gasolina e o restante de álcool. Quanto devemos adicionar de cada um desses combustíveis para obter 90 litros de um combustível que tenha 94% de gasolina e o restante de álcool?
12 – A tabela abaixo exibe as porcentagens de albumina, carboidrato e lipídio em cada um dos alimentos A, B e C. Verifique se é possível combinar esses alimentos formando uma refeição que contenha 40% de albumina; 40% de carboidrato e 20% de lipídio
A B C
Albumina 30% 50% 20%
E
XERCÍCIOS DEA
PRENDIZAGEM4
–
A
PLICAÇÕESCircuitos Elétricos. Em um circuito elétrico é possível determinar a corrente em cada trecho em termos da resistência e da diferença de potencial. Na figura a seguir o símbolo “
|
” representa uma bateria (medida em volts) que gera uma carga que produz uma corrente. A corrente sai da bateria do lado que contém a reta vertical mais longa. O símbolo representa um resistor. As resistências são medidas em ohms. A letras maiúsculas representam os nós, e i ou I (medida em ampères) representa a corrente entre os nós. As setas indicam o sentido do fluxo da corrente. Se uma corrente é negativa isso significa que a corrente naquele trecho flui no sentido oposto ao da seta.Para obter as correntes são utilizadas as seguintes leis 1. Lei de Ohm
A diferença de potencial elétrico E em cada resistor corresponde a E =RI , onde R é a
resistência em ohms. 2. Leis de Kirchhoff
i) Em cada nó a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem
ii) Em cada ciclo fechado, a diferença de potencial total é zero
Podemos utilizar esses conhecimentos no circuito da figura. Vejamos,
Nó 1: I1− −I2 I5 =0
Nó 2: − −I1 I3 +I4 =0
Nó 3: I3 +I5 +I6 =0
Nó 4: I2− −I4 I6 =0
Loop A: I R1 1−I R3 3 +I R5 5 =E1−E3 Loop B: I R2 2−I R5 5 +I R6 6 =E2 Loop C: I R3 3+I R4 4 −I R6 6 =E3 +E4
Figura 1 Figura 2
2 – Siga a idéia do exercício anterior ou consulte algum livro para determinar o sistema linear que calcula a corrente elétrica em cada um dos trechos indicados nos circuitos ilustrados a seguir:
(a) (b)
Balanceamento de Reações Químicas. As reações químicas estão presentes em muitos fenômenos naturais e os químicos para compreendê-las, representam tais reações por equações químicas, sendo que algumas precisam ser balanceadas, ou seja, verificar se o número de átomos dos reagentes antes da reação é igual ao número de átomos dos produtos.
Humphry Davy, no início do século XIX, aproveitou a invenção da pilha de Alessandro Volta para mostrar que a água é formada por dois gases que receberam o nome de hidrogênio e oxigênio e como o volume de hidrogênio era duas vezes maior que o de oxigênio, Davy concluiu que
2 2 2
2H +O →2H O
É claro que se os coeficientes na equação química acima fossem 4, 2 e 4 ao invés de 2, 1 e 2 a equação também estaria balanceada, mas isto seria redundante, por isso adotamos a regra que os coeficientes na equação química devem ser os menores inteiros positivos.
Algumas reações químicas são facilmente balanceadas, por exemplo, a reação química
2
Começar com o elemento que aparecer apenas uma vez no lado dos reagentes e no lado dos produtos;
Dar preferência aos elementos que possuir maior índice.
Através desta técnica podemos fazer o balanceamento da reação química devido a queima do álcool comum que é dada por
2 6 2 2 2
C H O+O →CO +H O.
O método alternativo que propomos e que funciona para todos os tipos de reações químicas e que é uma aplicação interessante dos sistemas lineares é denotar por variáveis os coeficientes de cada composto e resolver um sistema linear equivalente. No exemplo acima, sejam , , e x y z w tais que
2 6 2 2 2
xC H O+yO →zCO +wH O
Para que haja balanceamento, o número de átomos dos reagentes deve ser igual ao número de átomos dos produtos, de forma que obtemos o sistema de equações lineares:
2
6 2
2 2
x z
x w
x y z w
=
=
+ = +
Segue-se que z =2x, 3w = x e y =3x. Assim, a equação química é dada por
2 6 3 2 2 2 3 2
xC H O+ xO → xCO + xH O
E, para x =1, temos a equação balanceada com os menores inteiros positivos possíveis.
3 – Resolva os problemas envolvendo equilíbrio de fórmulas químicas.
a) – A decomposição térmica de mol de dicromato de amônio é representada pela equação
4 2 2 7 2 2
(NH )Cr O →N +Cr Ox y +zH O . Determine os valores de x, y e z na equação química dada.
b) – Num “sapato de cromo”, o couro é tratado com um banho de “licor de cromo”, preparado através da reação representada pela equação:
2 2 7 2 2 ( ) 4 2 4
Na Cr O +xSO +H O →yCr OH SO +Na SO
Determine os valores de x e y na equação química acima.
4 – Utilize o método de resolução de sistemas lineares em cada caso a seguir para obter a equação química balanceada (mínima).
Observação
3 : amonia
NH O2 : oxigênio N2 : nitrogênio H O2 : água
2 : dióxido de carbono
CO C H O6 12 6 : glicose C H4 10 : gás butano
5 – Discretização. Queremos determinar a distribuição de temperatura no interior de uma placa (representada na figura abaixo) sabendo que a temperatura em volta desta placa é dada conforme indicado na figura. Para isto vamos utilizar um princípio físico que garante (de forma aproximada) que a temperatura em um vértice é igual a média das temperaturas dos quatro vértices mais próximos. Deste modo, a temperatura a, por exemplo, é igual a (20+25+ +b d) / 4. Procedendo desta forma vamos obter seis equações correspondendo a cada uma das seis variáveis , , , , ,a b c d e f :
4 45
4 15
4 25
4 55
4 20
4 35
a b d a b c e b c f a d e b d e f c e f
− − =
− + − − =
− + − =
− + − =
− − + − =
− − + =
Placa aquecida Determine as temperaturas e interprete o resultado.
Comentário. Neste exemplo poderíamos utilizar, ao invés de uma malha 4 5× , uma malha 100 100× (em torno de 10 mil variáveis). Ou então considerar a distribuição de calor em uma peça sólida, com três dimensões espaciais. Neste caso, utilizando uma malha de 100 100 100× × , chegamos a cerca de 1 milhão de variáveis. Desta forma surge, naturalmente, a resolução de sistemas com muitas equações e o \n com
