Método dos elementos finitos aplicado a treliças com comportamento dinâmico

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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO A TRELIÇAS

COM COMPORTAMENTO DINÂMICO

FINITE ELEMENT METHOD APPLIED TO TRUSSES WITH

DYNAMIC BEHAVIOR

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO A SISTEMA

DE ENTRAMADO CON COMPORTAMIENTO DINÁMICO

Gustavo Nascimento da Silva1

Marcos Antônio Silvestre2

Paulo Bezerra Neto3

João Paulo Barros Cavalcante4

Resumo: O presente trabalho consiste no desenvolvimento de rotinas consistentes para determinação de deslocamentos nodais, esforços internos, velocidades e acelerações nodais de treliças com comportamento dinâmico. Referente aos problemas dinâmicos, a solução da equação de equilíbrio é alcançada através da discretização temporal perante os algoritmos de integração temporal de Newmark e Houbolt. A implementação dos problemas consiste no desenvolvimento de rotinas computacionais, sendo os resultados numéricos da formulação proposta confrontados com exemplos encontrados na literatura especializada. A partir dos resultados obtidos, enfatiza-se a necessidade de um estudo específico sobre as condições de estabilidade e convergência dos algoritmos de integração temporal.

Palavras-chave: Treliças. Dinâmica. Elementos Finitos. Integração Temporal.

Abstract: The present paper consists in the development of consistent routines for determination of nodal displacements, internal stresses, velocities and nodal accelerations of trusses with dynamic behavior. Regarding the dynamic problems, the solution of the equilibrium equation is achieved through the temporal discretization with the time integration algorithms of Newmark and Houbolt. The implementation of the problems consists in the development of computational routines, and the numerical results of the proposed formulation being confronted with examples found in the specialized literature. From the obtained results, it is emphasized the necessity of a specific study on the conditions of stability and convergence of the temporal integration algorithms.

Keywords: Trusses. Dynamics. Finite elements. Temporal integration.

Resumen: El presente trabajo consiste en el desarrollo de rutinas consistentes para la determinación de desplazamientos nodales, esfuerzos internos, velocidades y aceleraciones nodales de celdas con comportamiento dinámico. En cuanto a los problemas dinámicos, la solución de la ecuación de equilibrio se alcanza a través de la discretización temporal ante los algoritmos de integración temporal de Newmark y Houbolt. La implementación de los problemas consiste en el desarrollo de rutinas computacionales, siendo los resultados numéricos de la formulación propuesta enfrentados con ejemplos encontrados en la literatura especializada. A partir de los resultados obtenidos, se enfatiza la necesidad de un estudio específico sobre las condiciones de estabilidad y convergencia de los algoritmos de integración temporal.

Palabras-clave: Cerchas. Dinámico. Elementos Finitos. Integración temporal.

Envio 30/04/2018 Revisão 08/05/2018 Aceite 10/09/2018

1 _{Graduando em Engenharia Civil. Centro Universitário UNIFACEX. E-mail: [email protected].} 2 _{Graduando em Engenharia Civil. Centro Universitário UNIFACEX. E-mail:}

[email protected].

3 _{Graduando em Engenharia Civil. Centro Universitário UNIFACEX. E-mail: [email protected].} 4 _{Mestre. Professor do Curso de Engenharia Civil do Centro Universitário UNIFACEX. E-mail:}

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O emprego do Método dos Elementos Finitos (MEF) como ferramenta de auxílio no dimensionamento de elementos estruturais é bastante difundido na engenharia. De acordo com Soriano (2003), o método nada mais é que uma análise matemática, onde um meio contínuo é fragmentado em vários elementos, cujos mesmos mantém as propriedades idênticas às originais. Esses elementos serão descritos por equações diferenciais e resolvidos por modelos matemáticos, onde tal processo torna-se complexo se resolvido analiticamente.

Atualmente, o MEF tornou-se uma das ferramentas mais utilizadas para análise de estruturas, e, embora vários modelos de elementos finitos já tenham sido desenvolvidos, esse ainda é um tema importante no meio técnico-científico, tendo em vista a dificuldade de se modelar o comportamento real das estruturas (Stramandinoli, 2007).

As treliças são estruturas formadas unicamente por elementos retilíneos que estão conectados entre si em suas extremidades, com o objetivo de suportar cargas. Estas são largamente utilizadas em projetos estruturais, pois possibilita leveza e praticidade na execução de coberturas e outras edificações, por exemplo (Beer e Johnston, 1994).

Devido ao avanço tecnológico e à utilização de materiais mais resistentes, estruturas mais complexas e esbeltas estão sendo desenvolvidas, necessitando para isso métodos computacionais para a sua análise, tendo em vista a dificuldade de se modelar o comportamento real destas estruturas com precisão.

Uma análise estrutural dinâmica tem como propósito quantificar a intensidade dos esforços internos, das velocidades, das acelerações e dos deslocamentos que surgem em um elemento estrutural, quando o mesmo é solicitado por um carregamento arbitrário, cuja intensidade, sentido ou direção variem ao longo do tempo. Tal procedimento deverá fornecer uma ampla gama de resultados, compatíveis com a história temporal do carregamento, cuja avaliação de forma qualitativa e quantitativa viabilizará a sua utilização na elaboração do projeto estrutural do sistema analisado. Referente aos problemas que envolvem forças inerciais, ou seja, problemas dinâmicos, os procedimentos vêm sendo aperfeiçoados ao longo do tempo, destinando-se particularmente no campo dos métodos numéricos.

Esse trabalho consiste no desenvolvimento de rotinas computacionais com a linguagem de programação FORTRAN, para análise dinâmica de estruturas do tipo treliça. Sendo assim,

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temporal implícitos, em estruturas treliçadas, através de aplicações numéricas com o MEF. A confiabilidade dos resultados é feita através da comparação com resultados presentes na literatura.

Métodos

Método dos Elementos Finitos

As primeiras pesquisas relacionadas ao MEF tinham como objetivo a solução de problemas relacionados com a resistência dos materiais, enfatizando-se a determinação de deslocamentos, além da análise de determinados estados de tensões que apresentavam certa complexidade para serem solucionados através das ferramentas analíticas da teoria da elasticidade.

Atualmente, o MEF é uma das ferramentas numéricas mais utilizadas para análise de estruturas, onde discretiza-se o contínuo do domínio de integração, em uma quantidade finita de partes, denominadas de elementos. Todos os Elementos Finitos possuem certa quantidade de pontos, com determinadas localizações, denominadas de nós. Estes, por sua vez, possuem os parâmetros nodais ou graus de liberdade, que são os valores nos respectivos nós, da função aproximada que representa a desejada grandeza, sendo assim, com estes dados é possível obter a expressão da variável do domínio do elemento e determinar outras variáveis de interesse (Pascon, 2008).

De acordo com Garzón e Alvarado (2002), o MEF é muito versátil e poderoso pois permite aos engenheiros obter informações sobre o comportamento de objetos com formas complexas em quase qualquer carga concebível (cargas pontuais, pressão, térmica, cargas dependentes do tempo e etc). Permite resolver problemas estáveis ou dependentes do tempo, lineares ou não lineares. Pode-se considerar efeitos especiais nos materiais, como: plasticidade, propriedades dependentes da temperatura, deformações. Os ramos de aplicação são variados, tais como: mecânica dos sólidos, mecânica dos fluidos, eletromagnetismo, transferência de calor e acústica, entre muitos outros.

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Método de Elementos Finitos se sobressaiu em relação aos métodos existentes, permitindo substituir o problema por um semelhante e obter soluções de geometrias complexas e para qualquer tipo de material. Conforme destaca Xavier (2008), o MEF consiste em um método numérico aproximado para análise de diversos fenômenos que ocorrem em meios contínuos, e que são descritos através de equações diferenciais parciais, com determinadas condições de contorno e possivelmente condições iniciais.

As estruturas do tipo treliça, sejam planas ou espaciais, tem vasta aplicação na engenharia, sendo que os métodos de análises destes tipos de estruturas já estão bastante consagrados. A treliça é uma estrutura simples e bastante difundida na engenharia, e assim a pesquisa desse elemento se justifica, pois, as principais características de elementos finitos mais complexos podem ser completamente aplicadas e estudadas nas treliças, tendo a vantagem de evitar a inerente complexidade das estruturas mais sofisticadas (Lacerda, 2014).

Análise Estática

Na análise estática de estruturas, considera-se que as ações e os respectivos efeitos não variam em relação ao tempo. As ações sobre estruturas são em geral dinâmicas, entretanto, é plausível considerar que as ações são aplicadas de uma maneira muito lenta, onde se tornam desprezíveis as forças de inércia, sendo que neste caso a análise indica-se estática. Na discretização de estruturas para análise pelo MEF, é conveniente se trabalhar com coordenadas horizontais e verticais, facilitando a aplicação forças e a medição dos respectivos deslocamentos.

Na análise estática de estruturas, o MEF adota equações matriciais do tipo = , sendo o vetor carregamento da estrutura e são os deslocamentos finais. Portanto, existe a necessidade de determinar , denominada de matriz de rigidez do elemento. Para determinar a matriz de rigidez global de uma estrutura, as matrizes de rigidez local de cada elemento são sobrepostas de forma adequada, conforme seus nós. Essa montagem é realizada conforme a localização do elemento, onde a rigidez é determinada como uma força associada a um deslocamento.

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forças relacionadas individualmente a cada elemento devem ser associadas a um sistema de referências, denominado de sistema de coordenadas locais. Porém, a estrutura é composta por vários elementos, então existe a necessidade de utilizar algum artifício para trabalhar somente com um único sistema de coordenadas. Nesse contexto, surge a matriz de rotação. Essa matriz tem a finalidade de relacionar a matriz de rigidez do sistema local com a matriz de rigidez do sistema global, conforme apresentado na Figura 1. Detalhes referentes a formulação do MEF para problemas estáticos de treliças podem ser encontrados em Bathe (1996).

Figura 1: Relação entre os sistemas de coordenadas global e local.

Fonte: Autoria própria, 2018.

Análise Dinâmica

O objetivo da análise dinâmica consiste em determinar velocidades, acelerações e deslocamentos dos graus de liberdades e esforços internos desenvolvidos nos dos elementos estruturais, provocados pelas aplicações de carregamentos externos, em função do tempo, cuja distribuição é conhecida no espaço e variação conhecida no tempo.

Define-se a energia potencial total de um sistema estrutural como o trabalho realizado pelas forças externas e esforços internos para levar o sistema estrutural da posição final deformada a posição inicial indeformada. Conforme a Eq. (1), a energia potencial total, П, é formada por duas parcelas: é a energia total de deformação e é a energia potencial das forças aplicadas.

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П = (1)

Tomando a Eq. (1) e acrescentando as parcelas de energia cinemática ( ) e perda de energia devido ao amortecimento ( ), tem-se:

П = + + (2)

A parcela pode ser interpretada como um termo que mensura a quantidade de energia dissipada no sistema mecânico, sendo que, quando adicionado ao potencial de energia total recupera a natureza estacionária do funcional. A minimização do funcional (Eq. (3)) gera a posição de equilíbrio dinâmico. A partir da minimização de todo o funcional de energia, tem-se a tem-seguinte expressão:

П

= + + = 0

(3)

= 2 (4)

Na Eq. (4), o termo C representa a matriz de amortecimento proporcional a matriz de massa M. indica o coeficiente de amortecimento. As forças inerciais empregam o caráter dinâmico a formulação, sendo definidas pelo produto da aceleração com a matriz de massa, conforme a Equação (3). A matriz de massa é um mecanismo utilizado para transferir a massa de cada elemento para seus respectivos nós. O amortecimento estrutural é uma medida de dissipação de energia, que conduz a estrutura de um estado vibratório para um estado em repouso. A estimativa da dissipação de energia em sistemas estruturais é um dos problemas mais complexos da dinâmica estrutural. Sendo assim, o amortecimento estrutural consiste na transformação da energia dissipada para outra forma de energia, consequentemente, redução de energia do sistema de vibração.

A Eq. (3) denomina-se equação do movimento, onde u representa a posição, a velocidade, indica a aceleração.

Métodos de Integração Temporal

As equações de equilíbrio dinâmico são equações diferenciais parciais no espaço e no tempo, sendo que na formulação utiliza-se a hipótese de que as variáveis sejam separáveis. As aproximações temporais baseiam-se na simplificação da variável aceleração nos intervalos de tempo.

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para a solução de um dado problema, onde tais critérios baseiam-se tanto em propriedades intrínsecas do algoritmo, como custo computacional, precisão, convergência, consistência, estabilidade e amortecimento numérico (Silveira, 2001).

Os procedimentos de integração temporal podem ser subdivididos em métodos explícitos e implícitos, cada qual com suas vantagens e desvantagens. Dentre os vários métodos presentes na literatura para solucionar esses problemas, pode-se citar os algoritmos implícitos de integração temporal de Newmark e Houbolt.

Quando trata-se de métodos implícitos, as posições no intervalo de tempo atual envolvem as velocidades e acelerações da própria etapa atual, + , ou seja:

= , , , , , … . (4)

Normalmente, os métodos implícitos são incondicionalmente estáveis, isto é, referente a estabilidade do algoritmo, não existem restrições quanto ao tamanho do incremento de tempo. Sendo assim, o incremento de tempo empregado é prescrito pela precisão e não pela estabilidade do algoritmo.

Dokainish e Subbaraj (1989a, 1989b) exibem uma visão abrangente sobre os aspectos dos esquemas de integração no tempo, explícitos e implícitos, onde são apresentados os procedimentos computacionais para a implementação de problemas dinâmicos de estruturas com comportamento linear e não linear.

Método de Newmark

O esquema de Newmark é o método de integração temporal mais difundido na literatura (Wriggers, 2006). Newmark (1959) apresentou um método de passo simples, descritas em função dos deslocamentos, conforme apresentado nas equações abaixo.

= + + 1

2 +

(6)

= + (1 ) + (7)

Onde, e são os Coeficientes de Newmark, responsáveis por determinar as variáveis velocidade e deslocamento ao longo do intervalo de tempo .

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= e = .

Isolando-se o termo da aceleração presente na Eq. (6) tem-se:

= 1

2 1

(8) Assim, substituindo as Eq. (7) e Eq. (9) na Eq. (3), tem-se:

П

= +

+ + = 0 (9)

Onde os vetores e estão relacionados às contribuições anteriores (passo “s”), estabelecidas pelas seguintes expressões:

= + + 1

2 1

(10)

= + (1 ) (11)

Método de Houbolt

Neste método, apresentado por Houbolt (1950), as variáveis velocidade e aceleração são aproximadas por expressões em diferenças finitas descendentes, desta forma, concebendo um método multipasso. O amortecimento numérico está presente, crescente com o tamanho do passo e de forma brusca a partir de um determinado valor desse, não havendo um parâmetro livre que permita controlá-lo (Bottura, 1997).

O método de Houbolt é obtido através da derivada de segunda ordem de polinômios cúbicos de Lagrange em relação ao tempo (Bathe, 1996). No método de Houbolt, tem-se que os vetores de aceleração e velocidade podem ser aproximados por Eq. (12) e Eq. (12), respectivamente.

= 1 (2 5 + 4 ) (12)

= 1

6 (11 18 + 9 2 )

(13) Substituindo as Eq. (12) e Eq. (13) em Eq. (3), tem-se:

П = + 2 + + +11 6 = 0 (14) Onde,

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= 1 ( 5 + 4 ) (15)

= 1

6 ( 18 + 9 2 )

(16)

Análise dos Resultados

Aplicação Numérica – Análise Estática

A treliça analisa encontra-se ilustrada na Figura 2, sendo que os elementos da mesma têm área de seção transversal igual a 0,00152 m² e módulo de elasticidade longitudinal equivalente a 205 GPa. Posto isso, determinou-se os deslocamentos, esforços internos, tensões, deformações e reações da treliça analisada.

Figura 2: Treliça Plana.

Fonte: Autoria Própria, 2018.

Os resultados gerados pelas rotinas computacionais mostram-se consistentes, onde os mesmos foram comparados com resultados obtidos pelo FTOOL para verificar sua confiabilidade, conforme apresentado nas Tabelas 1, 2, 3, 4 e 5.

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Fonte: Autoria Própria, 2018. Fonte: Autoria Própria, 2018.

Tabela 3: Esforços internos. Tabela 4: Deformações.

Fonte: Autoria Própria, 2018. Fonte: Autoria Própria, 2018. Tabela 5: Tensões.

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Aplicação Numérica – Análise Dinâmica

Neste exemplo, analisa-se a resposta dinâmica da estrutura mostrada na Figura 3, presente em Herôncio (2014), com a finalidade de se obter os deslocamentos. A barra analisada tem as seguintes características: A=1, L=10, E=1, ρ = 1 e F=1, referentes à área, comprimento, módulo de elasticidade longitudinal, densidade e força aplicada, respectivamente. A barra foi discretizada em 20 elementos, com um total de 21 nós. A integração temporal é feita pelos métodos de Newmark e Houbolt. O passo de tempo t considerado foi 1, e o número de passos foi 200. Neste exemplo, obtiveram-se os deslocamentos considerando cm = 0 e depois cm = 0.05,

conforme apresentado nas Figuras 4 e 5, respectivamente. Figura 3: Barra analisada.

Fonte: Herôncio e Maciel, 2014.

O objetivo deste exemplo é comparar o comportamento dos esquemas de integração temporal e o comportamento da barra analisada. Na Figura 4 compara-se os descolamentos do ponto 2 da barra quando a mesma é solicitada pela força F. Os resultados dos algoritmos de Newmark e Houbolt são comparados com a solução analítica do problema, onde percebe-se que ambos os métodos apresentam um certo amortecimento quando comprados com a reposta analítica.

Destaca-se que o método de Houbolt, como esperado, apresentou uma curva mais suave, devido ao amortecimento numérico característico desse método, sendo que esse amortecimento é condicionado pelo intervalo de integração.

Na Figura 5 apresenta-se o comportamento da barra considerando as características de amortecimento do material, onde observa-se que as oscilações diminuem rapidamente e tendem para um valor constante que representa a resposta estática do problema, pois as forças inerciais provocas pela carga F são dissipadas em outra forma de energia. Observa-se que os métodos de

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para o mesmo valor.

Figura 4: Deslocamentos.

Fonte: Autoria Própria, 2018.

Figura 5: Deslocamentos - Consideração do amortecimento.

Fonte: Autoria Própria, 2018.

Nas Figuras 6 e 7, através do algoritmo de Newmark e Houbolt, respectivamente, é possível visualizar a variação dos deslocamentos em todo o comprimento da barra ao longo do

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destacando-se que é necessário um estudo cuidadoso das condições de convergência para um melhor desempenho dos mesmos.

Figura 6: Deslocamentos da barra ao longo do tempo - Método de Newmark.

Fonte: Autoria Própria, 2018.

Figura 7: Deslocamentos da barra ao longo do tempo - Método de Houbolt.

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O comportamento de Elementos Finitos de treliças solicitadas por carregamentos dinâmicos foi estudado nesse artigo. Através de exemplos numéricos, constatou-se que para uma análise precisa do desempenho de elementos estruturais, os efeitos provocados pelas forças inerciais devem ser efetivamente considerados, pois as mesmas podem provocar mudanças no comportamento das estruturas.

Mediante utilização dos algoritmos de Houbolt e Newmark, fica evidente a dependência de um intervalo de tempo adequado para que os métodos apresentem valores estáveis, sendo que quanto maior o intervalo de integração maior será a discrepância de resultado e maior será o amortecimento numérico presente. Sendo assim, enfatiza-se a importância do estudo dos esquemas de integração temporal e das condições de estabilidade e convergência dos mesmos.

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer ao Centro Universitário UNIFACEX pelo apoio financeiro.

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