Universidade Federal de Pernambuco
Primeira avalia¸c˜
ao de ´
Algebra Linear - 2009.1
Gabarito
CCEN - Depto. de Matem´atica - ´Area II
Quest˜ao 1. Considere o sistema linear abaixo, onde a e b s˜ao n´umeros reais.
x+y+ 3z = 2
x+ 2y+ 4z = 3
x+ 3y+az =b
a) (1.0) Para que valores de a e b o sistema n˜ao admite solu¸c˜ao? Escalonando a matriz ampliada:
1 1 3 2
1 2 4 3
1 3 a b
→
1 1 3 2
0 1 1 1
0 2 a−3 b−2
→
1 0 2 1
0 1 1 1
0 0 a−5 b−4
Para a = 5 e b 6= 4 o sistema n˜ao admite solu¸c˜ao, pois obtemos para a matriz de coeficientes posto pc = 2 diferente do posto da matriz ampliada pa = 3.
b) (1.0) Para que valores dea eb o sistema admite infinitas solu¸c˜oes? Deter-mine neste caso o conjunto solu¸c˜ao.
Para a= 5 e b= 4, temos infinitas solu¸c˜oes, com z vari´avel real livre.
1 0 2 1
0 1 1 1
0 0 0 0
⇒
x+ 2z = 1
y+z = 1 ⇒
x = 1−2λ y = 1−λ z =λ
, ∀λ∈ ℜ
ou, de outra forma,
x
y
z
=
1
1
0
+λ
−2
−1 1
, ∀λ∈ ℜ
U o subespa¸co de V gerado por ~u1 =
1 0
2 1
, ~u2 =
−2 1
−1 −2
e ~u3 =
−1 3
7 −1
. Isto ´e, U = [~u1, ~u2, ~u3].
a) (0.5) Determine uma base para U.
Este conjunto de vetores j´a ´e gerador de U, ent˜ao retirando os vetores “sup´erfluos” (que s˜ao combina¸c˜ao linear dos demais) podemos obter um conjunto L.I. e ainda gerador, uma base.
1 0 2 1
−2 1 −1 −2
−1 3 7 −1
→
1 0 2 1
0 1 3 0
0 3 9 0
→
1 0 2 1
0 1 3 0
0 0 0 0
Da´ı, temos a baseβ={~u1, ~u2}deU, ou ainda aβ′ =
1 0
2 1
,
0 1
3 0
.
b) (0.5) Verifique se o vetor~v =
3 −3
−3 3
pertence a U.
3 −3
−3 3
=a·
1 0
2 1
+b·
0 1
3 0
=
a b
2a+ 3b a
⇒
a = 3
b = −3 Como~v ´e combina¸c˜ao linear dos vetores na base de U,~v ∈U.
Quest˜ao 3. Seja o espa¸co vetorial V =ℜ4, considere os seguintes conjuntos
W1 ={(x, y, z, t)∈ ℜ4 / x+ 2y−2z−t= 0 e y−z−t= 0} e
W2 ={(x, y, z, t)∈ ℜ4 / x+ 2y−t= 0 e z = 0}.
a) (0.5) Prove que W2 ´e subespa¸co de V.
Basta observar que W2 ⊂ V ´e o conjunto solu¸c˜ao de um sistema
ho-mogˆenio, logo ´e subespa¸co.
De outra forma:
• W2 6=∅, pois~0∈W2 (satisfaz as equa¸c˜oes).
• ∀~v = (x1, y1, z1, t1) e ~u= (x2, y2, z2, t2)∈W2, ~v+~u = (x1+x2, y1+y2, z1+z2, t1+t2), assim
x1+x2+ 2(y1+y2)−(z1+z2) =x1+ 2y1−t1+x2+ 2y2−t2 = 0 + 0 = 0
e z1+z2 = 0 + 0 = 0. Satisfaz as equa¸c˜oes.
A soma de vetores em W2 ´e “fechada”,~v+~u∈W2.
λz =λ·0 = 0. Satisfaz as equa¸c˜oes.
A multiplica¸c˜ao por escalar ´e “fechada”,λ~v ∈W2.
Portanto, W2 ´e subespa¸co de V. b) (0.5) Encontre uma base para W1.
1 2 −2 −1 0 0 1 −1 −1 0
→
1 0 0 1 0
0 1 −1 −1 0
⇒
x=−λ2 y= λ1+λ2
z = λ1
t= λ2
x
y
z
t
=λ1
0
1
1
0
+λ2
−1 1
0
1
, ∀ λ1 e λ2 ∈ ℜ
Temos, ent˜ao uma base β1 = {(0,1,1,0),(−1,1,0,1)} para W1 formada
pelos vetores b´asicos que geram as solu¸c˜oes do referido sistema homogˆenio (e que s˜ao L.I.).
c) (0.5) Encontre uma base para W2.
1 2 0 −1 0
0 0 1 0 0
⇒
x= −2λ1+λ2 y= λ1
z = 0
t= λ2
ou
x
y
z
t
=λ1
−2 1
0
0
+λ2
1
0
0
1
,
∀ λ1 e λ2 ∈ ℜ
Temos, ent˜ao uma base β2 ={(−2,1,0,0),(1,0,0,1)} para W2.
d) (0.5) DetermineW1+W2.
W1+W2 fica bem determinado pelo conjunto gerador formado pelos
ve-tores nas bases de W1 eW2 juntos:
W1 +W2 = [(0,1,1,0),(−1,1,0,1),(−2,1,0,0),(1,0,0,1)]
e) (1.0) DetermineW1∩W2.
1 2 −2 −1 0 1 −1 −1
1 2 0 −1
0 0 1 0
→
1 2 −2 −1 0 1 −1 −1
0 0 2 0
0 0 1 0
→
1 0 0 1
0 1 −1 −1
0 0 1 0
0 0 1 0
→
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 0
0 0 0 0
x+t= 0
y−t= 0
z= 0
⇒
x =−λ y =λ
z = 0
t =λ
, ∀λ∈ ℜ ou
x
y
z
t
=λ
−1 1
0
1
, ∀λ∈ ℜ
Portanto, W1∩W2 = [(−1,1,0,1)], ´e subespa¸co gerado por este vetor.
Outra maneira de resolver´e perceber que qualquer vetor emW1∩W2
pode ser escrito como combina¸c˜ao tanto dos vetores de β1 como de β2. a(0,1,1,0) +b(−1,1,0,1) = c(−2,1,0,0) +d(1,0,0,1)⇒
(−b, a+b, a, b) = (−2c+d, c,0, d)⇒ a= 0 e b=c=d⇒
b(−1,1,0,1), b∈ ℜ. Temos W1∩W2 = [(−1,1,0,1)]
f ) (0.5) Qual a dimens˜ao de W1+2? A soma W1+W2 ´e soma direta?
dim(W1+W2) = dimW1+ dimW2−dim(W1∩W2) = 2 + 2−1 = 3.
N˜ao ´e soma direta pois W1∩W2 6={~0}.
Quest˜ao 4. Seja V = P2(x) o espa¸co vetorial dos polinˆomios em x de grau
menor ou igual a 2, com as opera¸c˜oes usuais. considereβ1 ={1,1+x,1+x+x2}.
a) (0.7) Mostre que β1 ´e base para P2(x).
∀p∈P2(x),p=a0+a1x+a2x2, para a0, a1 e a2 ∈ ℜ.
a0+a1x+a2x2 =a.1 +b(1 +x) +c(1 +x+x2) = (a+b+c) + (b+c)x+cx2
a+b+c =a0
b+c =a1
c =a2
⇒
a =a0−a1 b =a1−a2 c =a2
a0+a1x+a2x2 = (a0−a1).1 + (a1−a2)(1 +x) +a2(1 +x+x2),∀p∈P2(x)
Assim,β1 trata-se de um conjunto gerador. E tamb´em ´e um conjunto L.I.,
pois~0 =a.1 +b(1 +x) +c(1 +x+x2) = (a+b+c) + (b+c)x+cx2 implica a =b =c= 0. Logo, β1 ´e base.
De outra forma. Se lembramos que dimP2(x) = 3, basta provarmos
b) (0.8) Sejap(x) = 1 +x2, determine as coordenadas [p(x)]
β1 dep(x) na base
β1.
Usando as contas da letra a) podemos resolver 1 +x2 =a.1 +b(1 +x) +c(1 +x+x2),
observando que a0 = 1, a1 = 0 e a2 = 1.
a = a0−a1 = 1−0 = 1 b = a1−a2 = 0−1 = −1 c = a2 = 1
[p(x)]β1 = (1,−1,1)
c) (1.0) Sabendo que β2 = {1,2x,4x2−1} ´e outra base deP2(x), determine
a matriz mudan¸ca de base [I]β1
β2 deβ1 para β2 e calcule [p(x)]β2. Calculamos as coordenadas dos vetores ~u de β1 em β2:
~u=a.1 +b(2x) +c(4x2−1) = (a−c) + 2bx+ 4cx2, encontramos
[1]β2 = (1,0,0) [1 +x]β2 = (1,
1 2,0)
[1 +x+x2] β2 = (
5 4,
1 2,
1 4)
Veja as contas para este ´ultimo:
1 = a−c
1 = 2b
1 = 4c
⇒
a = 1−1 4 =
5 4
b = 12
c = 1 4
[I]β1
β2 =
1 1 54
0 1 2
1 2
0 0 14
e [p(x)]β2 =
1 1 54
0 1 2
1 2
0 0 14
·
1
−1 1
=
5 4 0
1 4
[1 +x2] β2 = (
5 4,0,
1 4)
d) (1.0) Determine [I]β2
β1.
Como [I]β2
β1 =
[I]β1
β2
−1
, podemos usar h[I]β1
β2 ;I
i
∼
I ;[I]β1
β2
−1
1 1 54
0 1 2
1 2
0 0 14
1 0 0
0 1 0
0 0 1
→
1 1 54
0 1 1
0 0 14
1 0 0
0 2 0
0 0 1
→
1 0 14
0 1 1
0 0 1
1 −2 0
0 2 0
0 0 4
→
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 −2 −1
0 2 −4
0 0 4
⇒[I]β2
β1 =
1 −2 −1
0 2 −4
0 0 4
.
