Econometria MERFI Parte II short

Econometria Aplicada

Parte II

V Curso de Especialização em Mercado

Financeiro e Investimentos - MERFI

2017-2018

1

3

Definições

• Definições: matrizes e vetores

• Dimensão: m x n = no _{de linhas x n}o _{de colunas}

• Vetor linha (1 x n) • Vetor coluna (m x 1)

• Matriz retangular (m  n) • Matriz quadrada (m = n) UnB/CCA - Otávio Medeiros

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

A

...

m m mn

a

a

a

a

a

a

a

a

a



























Exemplos de matrizes e vetores

•

Matriz 4x4:

•

Matriz 3x2:

•

Vetor coluna (3x1):

•

Vetor linha (1x4):

1 1 4 5 1 2 3 2 1 3 1 3 1 2 1 1

    _     _        2 1 4 3 1 5    _    _    2 1 4        _   

5

Definições

• Escalar (dimensão 1x1): [2]

• Diagonal principal:

• Matriz simétrica:

• Matriz diagonal:

• Matriz identidade:

• Matriz nula:

•

Álgebra matricial

•

Igualdade: A = B se A e B têm mesma dimensão e a

= b



i, j.

•

Soma: A+B= C se A e B têm mesma dimensão e a

+ b

= c



i, j.

•

Subtração: A – B = D



se A e B têm mesma dimensão e a

- b

= d



i, j.

2 4

1 2

3

2

3 5

4

1

1 4





 

 









 

 

_





 

 



2 4

1 2

1 6

3 5

4

1

7 6





 

 









 

 



7

Álgebra matricial

• Multiplicação: se A é m x n e B é n x p, o produto

A.B = C, onde C é uma matriz m x p com elementos:

Obs.: A multiplicação só é possível se as matrizes forem compatíveis: no de colunas da 1ª

matriz = no de linhas da 2ª matriz

UnB/CCA - Otávio Medeiros

1 n

ij ik kj

k

c

a b







2 4

1 2

2 ( 1) 4 4 2 2 4 1

14 8

3 5

4

1

3 ( 1) 5 4 3 2 5 1

17 11



   

  



 

 

 











 

 

_{   }

_{  }

 



Álgebra matricial: Multiplicação de vetores

•

Seja o vetor coluna 4x1:

•

Seu vetor transposto será:

•

O produto será:

1 1 1 2 1 2               _      u 1 1 1 1 2 2    _  _   u' 2 2

2 2 2

1 1

1

1 1 ₁ 1 1 5

1 1 ( 1) 1 ou seja

2 2 ₂ 2 2 2

9

Álgebra matricial

•

Transposição de matrizes:

•

Linhas



colunas; colunas



linhas

•

Exemplo: A =



A’ =

•

UnB/CCA - Otávio Medeiros

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

...

...

...

...

A

;

A '

...

...

n m

n m

m m mn n n mn

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Determinantes

•

Matriz 2 x 2:

3 1

3 2 2 1 6 2 4

11

Determinantes

•

Matriz 3 x 3: expansão de Laplace

•

Pode-se escolher qualquer linha ou coluna para fazer a

expansão

UnB/CCA - Otávio Medeiros

2 3 2

1 2

1 2

1 1

1 1 2

2

3

2

2 2

3 2

3 2

3 2 2

2(2 4) 3(2 6) 2(2 3)

4 12 2 6







_

_

_

_



























Determinantes

•

Matriz 3 x 3: método simplificado (só para 3x3)

2 3 2

2 3 2 2 3

1 1 2

1 1 2 1 1

3 2 2

3 2 2 3 2

2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 1 3 2 2 2 3 1 2

4 18 4 6 8 6 6







_













13

Inversão de matrizes

•

Se A é uma matriz quadrada não-singular:

A x A

=A

x A = I

•

Matriz A tem uma inversa se det(A)



0 (A é

não-singular).

•

Somente matrizes quadradas não singulares, têm

determinante



0 e podem ser invertidas!

Inversão de matrizes

1.

Cálculo do determinante: det(A) ou |A|

2.

Menor do elemento

a

= determinante da submatriz após

exclusão da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

3.

Cofator é o menor multiplicado por (-1)

4.

Matriz dos cofatores = matriz onde cada elemento foi

substituído por seu cofator

15

Exemplo

Matriz 2 x 2:

UnB/CCA - Otávio Medeiros

-1

4 3

4 3 2 3 12 6 6

2 3

3

2

3 -3

Adj( ) = =

3

4

-2 4

1

1

3 -3

1

1

₂

₂

Adj( )=

1

2

-2 4

6

3

3

1

1

4 3

₂

₂

1 0

verificação:

1

2

2 3

0 1

3

3







_

_

    

 















 

_































_

_

_{ }

_



 

_





















































_















A

A

C

A

C'

A

A

A

Exemplo

• C = matriz de cofatores

• Adj = matriz adjunta = C´

1

1 2 1 2 1 1

2 2 3 2 3 2

2 3 2 2 4 1

3 2 2 2 2 3

1 1 2 ;det( ) 6; 2 2 5

2 2 3 2 3 2

3 2 2 4 2 1

3 2 2 2 2 3

1 2 1 2 1 1

2 2 4

6 6 6

2 2 4

4 2 2

Adj.( )= 3 2 2 ;

6 6 6

1 5 1 _{1 5 1}

6 6 6

A         _{ }   _{ }     _{ }   _{ }      _  _                _                    _{ }  _{   }   _{ } _{ }  _{ }   _      A C A A

1 1 2

3 3 3

2 1 1

3 3 3

1 5 1

6 6 6

Algumas propriedades das matrizes

•

Se

A

é uma matriz quadrada e então

A

é simétrica

•

Se A é uma matriz m x m então = onde I = matriz identidade m x m.

•

Regressão Linear em Forma Matricial

•

A equação básica da regressão linear:

, onde:

, , ,

u

(1)

•

A coluna de 1s em X corresponde ao intercepto (



).

19

Regressão Linear em Forma Matricial

• Podemos escrever a equação (1) como:

T 1 T2 21 T1

UnB/CCA - Otávio Medeiros

1 1 1

2 2 2

ˆ

1

ˆ

_ˆ

1

ˆ

ˆ

1

T T T

y

x

u

y

x

u

y

x

u

Exemplo de aplicação de matrizes: o estimador de

mínimos quadrados

•

Seja , com , e . Queremos calcular

.

•

O estimador é:

Estimação dos coeficientes e : exemplo numérico

(cont.)

•

1º passo: transpor X:

•

2º passo: multiplicar X’ por X:

•

3º passo: matriz de cofatores:

•

21 UnB/CCA - Otávio Medeiros

2 x 4

2 x 2

Estimação dos coeficientes e : exemplo numérico

(cont.)

•

4º passo: matriz adjunta = matriz dos cofatores, pois ela é simétrica, Adj(X’X)=C

•

5º passo: determinante de X’X:

Det(X’X)=23*4-(-9)*(-9)=92-81=11

•

6º passo: calcular

==

•

2 x 2

Estimação dos coeficientes e : exemplo numérico

(cont.)

•

7º passo: X’y:

=

•

8º passo: multiplicar (X’X)

por X’y:

==

•

A equação da reta é:

•

23 UnB/CCA - Otávio Medeiros

2 x 4 2 x

1

2 x

2 2 x 1

2 x 1 4 x

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

f(x) = 0.18 x + 2.09

Gráfico da Regressão

x

Cálculo dos resíduos e de sua variância

•

Cálculo dos resíduos:

;

•

Cálculo da variância dos resíduos:

•

Cálculo da variância, erros-padrões e estatísticas t

•

A variância dos coeficientes é:

•

As variâncias de e são os elementos da diagonal principal, então, os

erros-padrões de e são:

•

;

•

As estatísticas t de e serão:

•

O coeficiente de determinação (Goodness of

fit): R

2

•

O coeficiente de determinação (R

) indica a qualidade do ajustamento de uma

regressão aos dados amostrais

•

onde 0



R



1

•

Se R

= 0, a regressão não explica em nada as variações amostrais da variável

dependente

•

Se R

= 1, a regressão explica 100% das variações amostrais da variável

dependente, ou seja, a regressão seria perfeita e não haveria resíduos

•

Demonstração: vide Brooks, 2014, p. 151.

•

O coeficiente de determinação (Goodness of

fit): R

2

- Cálculo



Na página 25, calculamos

Logo, a regressão explica aproximadamente 9,1% das variações de y.

29

Inferência Estatística

Testes de Hipóteses: teste bicaudal

• Podemos usar a informação contida na amostra para fazer inferências sobre a população.

• Há sempre 2 hipóteses em conjunto: a hipótese nula (H₀) e a hipótese alternativa (H₁).

• A hipótese nula é a que está realmente sendo testada. A hipótese alternativa é o que ocorre se a hipótese nula for rejeitada.

• Por exemplo, suponhamos que na regressão , estamos interessados na hipótese de que o verdadeiro valor de  é na verdade 0,5. Então:

H₀ :  = 0.5

H₁ :   0.5

É um teste bicaudal, pois   0.5 pode ser  > 0 ou  < 0.

•

Testes de Hipótese Unicaudais

• Se tivermos alguma informação prévia de que, por exemplo,  > 0,5 ao invés de  < 0,5, faríamos

um teste unicaudal: H₀ :  = 0,5

H₁ :  > 0,5

ou, ao contrário, poderíamos ter H₀ :  = 0,5

H₁ :  < 0,5

31

Teste de Hipóteses: O Enfoque do Teste de Significância

• Seja a equação de regressão e as hipóteses H0 e H1. • As etapas para a realização de um teste de significância são:

1) Estimar e , û, s2, var(), e SE(

2) Calcular as estatísticas t, t() e t(), pelas fórmulas:

e

onde * e * são respectivamente os valores de  e  sob a hipótese nula.

•

UnB/CCA - Otávio Medeiros

t t

t

x

u

O Enfoque do Teste de Significância

3) Na regressão linear simples, as estatísticas t seguem uma

distribuição

t-Student

com

T

-2 graus de liberdade.

4) Precisamos escolher um “

nível de significância

”, geralmente denominado



33

Determinando a Região de Rejeição de um Teste de Significância

5) Para um nível de significância (), podemos determinar a região de

rejeição e a região de não rejeição. Para um teste bicaudal com  = 5%:

f(x)

95% non-rejection region

2.5%

rejection region_{Região rejection region}2.5%

de

rejeição

Região de

rejeição Região de

não-rejeição

Região de Rejeição para um teste unicaudal (cauda superior) a 5%

f(x)

95% non-rejection

regionRegião de _não- 5% rejection region

rejeição

Região de

35

Região de Rejeição para um teste uni-caudal (cauda inferior) a 5%

f(x)

95% non-rejection region 5% rejection regionRegião

de

rejeição

Região de

não-rejeição

Teste de Significância: Conclusão

6) Use as tabelas da distribuição t para obter o valor crítico com o qual comparar a estatística teste. 7) Finalmente, conclui-se o teste. Se a estatística teste cair na região de rejeição, rejeita-se a

Exemplo (1)

•

Seja a regressão , o vetor dos resíduos

û

= (0 0,5 -0,5 0 0)’.

•

Então

û’û

= 1/2 e s

=

û’û/

(T-2)

=

1/6

•

O erro-padrão de será

•

O erro-padrão de será

•

Os valores fora da diagonal principal são as

covariâncias

entre e

•

Estatísticas-teste

•

As estatísticas t são:

) e )

•

Valores críticos da distribuição

t

estão tabelados para diferentes graus

de liberdade e níveis de significância

Exemplo (1) de teste de significância

•

Suponhamos que na regressão queremos testar:

•

_H

_:



= 0 (o intercepto da regressão é igual a zero)

•

_H

_:





0 (o intercepto da regressão é diferente de zero)

•

_{É um teste bicaudal, pois H}

_{pode ser}



> 0 ou



<0.

•

_{Escolhe-se um nível de significância, geralmente 5%}

•

A estatística t é ) = = 0,882

•

O valor crítico para a significância de 5% terá um nível de significância

efetivo de 2,5% = 0,025. Há 5-2=3 graus de liberdade

•

Valores críticos na tabela da distribuição

t

: -3,182 e +3,182.

•

Exemplo (1) de teste de significância

95% non-rejection region

2.5%

rejection region _{rejection region}2.5%

-3,182 3,182

0,882 Resultado do teste: não

rejeitamos H0, pois t(0,882 cai na região de não rejeição.

  Região de rejeição Região de rejeição Não rejeição 41 UnB/CCA - Otávio Medeiros

Exemplo (2) de teste de significância

•

Suponhamos agora que no mesmo exemplo 1, queremos testar:

•

_H

_:



= 0,5 (a inclinação da reta de regressão é igual a 0,5)

•

_H

_:



> 0,5 (a inclinação da reta de regressão é maior que 0,5)

•

_{Trata-se de um teste unicaudal, pois H}

_{considera apenas a cauda}

direita da distribuição.

•

Vamos manter o nível de significância de 5%

•

_{A estatística-teste de}



é ) = = 0

•

O valor crítico para um nível de significância de 5% com 5-2=3 graus

de liberdade terá apenas um valor crítico: 2,353

Exemplo (2) de teste de significância

Resultado do teste: não rejeitamos H0, pois 0 cai dentro da região de não

rejeição.

  f(x)

95% non-rejection

region 5% rejection regionRegião de

rejeição não

Exemplo (2) de teste de significância

•

Resultado do teste:

•

A estatística t cai na região de não rejeição.

•

Ao nível de 5%, não podemos rejeitar H

de que



= 0,5.

Possíveis erros de inferência

•

Na inferência estatística via testes de hipóteses, há dois erros que

podem ser cometidos:

47

= 0,5; = 0,5. A equação de regressão é = 0,5 + 0,5

x

Obs.: Arctg(0,5) = 26,56



Solução:

Exercício 1: dados para variável dependente {1, 2, 1, 2, 2}; dados para variável

independente {1, 2, 2, 3, 3}. Estime os parâmetros e os resíduos da regressão.

Exercício 1 (cont.)

•

Resíduos:

•

Soma dos quadrados dos resíduos:

•

Variância dos resíduos:

Exercício 1 (cont.) Solução

UnB/CCA - Otávio Medeiros 49

•

Cálculo dos coeficientes, resíduos, R

, variância dos

Exercício 1: gráfico

y = 0.5x + 0.5

R2 _{= 0,5833}

•

Uma empresa fabricante de bicicletas deseja conhecer qual é a

relação entre vendas de bicicletas e o PIB. Nos últimos 5 anos, as

vendas de bicicletas cresceram 5%, 9%, 5%, 6% e 10% ao ano,

enquanto o PIB cresceu 2,5%, 4%, 3%, 2,5% e 4% ao ano. Existe

uma relação linear entre as vendas de bicicletas e PIB?

Exercício 2:

=



0.0204 + 2.826

x

Exercício 2: Gráfico

Regressão Linear: outros exercícios e

soluções

Exercícios:

1) y = 1, 2, 1, 2, 2; x = 1, 2, 2, 3, 3. Solução: a = ½ ; b = ½ 2) y = 1, 2, 1, 2, 3; x = 2, 1, 2, 3, 4. Solução: a = 9/13 ; b =

6/13

3) y = 1, 2, 2, 3, 3; x = 2, 1, 2, 3, 4. Solução: a = 1 ; b = ½ 4) y = 1, 2, 1, 2, 3; x = 2, 2, 1, 2, 4. Solução: a = 1/3 ; b = 2/3 5) y = 1, 2, 2, 2, 3; x = 4, 2, 2, 4, 4. Solução: a = 2 ; b = 0

6) y = 0, 1, 1, 2, 2; x = 1, 2, 2, 4, 1. Solução: a = 8/15; b = 1/3 7) y = 1, 1, 1, 2, 3; x = 1, 0, 2, 3, 4. Solução: a = 3/5; b = ½ 8) y = 1, 2, 2, 3, 3; x = 2, 2, 2, 2, 2. Solução: a = ?; b = ? 9) y = 1, 2, 2, 3, 3; x = 3, 3, 3, 3, 3. Solução: a = ?; b = ?