UFABC – UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

(1)

! " # $ %$% ! "

& '(()(*

!"#$

% & '( '

#)# *+*, $ (

(2)

1 (

'

2 (

3 -

4-5

4-( , . ' 2 ( . ' 67

( 4- 8 9 . 9 : 1

-4- . ( 8. 9 . ,

( ;: < = 2 ( (

-. . 9 > ( . ' (

(3)

1 (

'

2 (

3 -

4-/ . 2 ( , ( ; . (26

' ( 1 ' 4- .

(4)

1 (

'

2 (

3 -

4-((((

))))

u

====

u x , y

((((

))))

v

====

v x , y

w

====

0

3 4@ , .

9 ; ( 1 A ( 4@ 4- ( , ' 6

1 ( . 4- A ?

((((

))))

x

u

x , y

x

εεεε

====

∂∂∂∂

((((

))))

y

v

x , y

y

εεεε

====

∂∂∂∂

z

0 εεεε

====

((((

))))

xy

u

v

x , y

y

x

γγγγ

=

∂

+

∂

γγγγ

xz

====

0

yz

0

(5)

((((

))))

x x y 2G x

σ λ ε ε ε

σ ==== λ ε ++++ε ++++ ε

((((

))))

y x y 2G y

σ

λ ε

ε

σ

λ ε

ε

σ

====

λ ε

++++

ε

++++

ε

((((

))))

z x y

σ

λ ε

ε

σ

λ ε

ε

σ

λ ε

ε

σ

====

λ ε

++++

ε

xy G xy

τ

γ

τ

γ

τ

γ

τ

====

γ

xz 0

ττττ

====

yz 0

ττττ

====

1 (

'

2 (

3 -

4-9. @ ( ( ; . 4- #

( . ( . - . ' 67 )

B C # , ?

((((

1

))))((((

E1 2

))))

νννν

λλλλ

_ν

ν

====

+ −

((((

))))

((((

))))

((((

))))

z z

z x y x y

z x y

0

E E E E

σ

ν

σ

ν

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ν σ

σ

ν σ

σ

ν σ

σ

ν σ

σ

= − + → = − +

= +

== ++

(6)

1 (

'

2 (

3 -

4-((((

))))

x x x , y

σ σ σ σ σ σ σ ====σ

((((

))))

y y x , y

σ

====

σ

((((

))))

((((

))))

z x y z x , y

σ

ν σ

σ

ν σ

σ

====

ν σ

++++

σ

====

σ

((((

))))

xy xy x , y

τ

====

τ

xz 0

ττττ

====

yz 0

ττττ

====

1 4@ ( 1 D' ?

xy y

y

B 0

x y

τ σ

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

+ + =

∂ ∂

xy x

x

B 0

x y

ττττ σσσσ ∂∂∂∂

∂∂∂∂ ₊ ₊ ₌

++ ++ ==

+ + =

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

z

B ====0

3 6 4- 1

(7)

1 (

'

2 (

3 -

4-# 1 4@ ( . ' 4@ , ; . ?

2 2

2

y xy

x

2 2

y

x

x y

ε

γ

ε

γ

ε

γ

εεεε

∂

∂∂∂∂

₊

₌

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

(

) B C ; ?

((((

))))

2

((((

))))

x

x y x y x y

1 1

E E E E

ν

σσσσ

ν

ε

σ ν σ

σ

ε

σ ν σ

σ

ε

σ ν σ

σ

ε

₌₌₌₌ ₋₋₋₋ 

σ ν σ

₊₊₊₊ ₊₊₊₊

σ

 ₌₌₌₌ −−−−

σ

₋₋₋₋ ++++

σ

 

 

 

((((

))))

2

((((

))))

y

y x x y y x

1 1

E E E E

σσσσ νννν νννν νννν νννν

ε σ ν σ σ σ σ

ε ₌₌₌₌ ₋₋₋₋ σ ₊₊₊₊ν σ ₊₊₊₊σ  ₌₌₌₌ −−−− σ ₋₋₋₋ ++++ σ

 

 

 

z 0

εεεε

==== xy

xy

G

ττττ

γγγγ

====

xz 0

γγγγ

====

γγγγ

_yz ==== 0

((((

E

))))

G

2 1

νννν

====

(8)

1 (

'

2 (

3 -

4-6 1 1 4@ ) B C ; , ?

((((

))))

2

2 2 2

y

x x

2 2 2

1 1

y E y E y

σσσσ

ν ν

νν νν

ν ν

ε σ

ε νννν σ ++++ ∂∂∂∂

∂ ∂

∂ ₌₌₌₌ −−−− ∂ ₋₋₋₋

∂ ∂ ∂

((((

))))

2 ₂ 2 ₂

y y _x

2 2 2

1 1

x E x E x

ε σ

εε σσ

ε νννν σ νννν νννν σσσσ

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ₌₌₌₌ −−−− ∂ ₋₋₋₋ ++++ ∂∂∂∂

∂ ∂ ∂

∂∂ ∂∂ ∂∂

∂ ∂ ∂

((((

))))

2 2

xy 2 1 xy

x y E x y

γ τ

γ νννν τ

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ++++ ∂

====

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2

y xy

x

2 2

y

x

x y

ε

γ

ε

γ

ε

γ

εεεε

∂

∂∂∂∂

₊

₌

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

(9)

1 (

'

2 (

3 -

4-((((

))))

2 _x 2 y 2 _x 2 y 2 xy

2 2 2 2

1

2

0 y

x

y

x y

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

ν



∂



ν



∂



∂

−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

=

−

_



_



_

+

_



−

_



_



_



_

+

_



_



_



−

=

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

























# , . ' . 4- . A 1 4@

( A ( . - , 3 1 4@

9. 1 D' E ( . ' 4@

((((

))))

2 _x 2 y 2 _x 2 y 2 xy

2 2 2 2

1 2 0

y x x y x y

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

ν

 ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ 

ν

 ∂∂∂∂ ∂∂∂∂  ∂∂∂∂

− + − + − = − + − + − = − + − + − = − ____ + ____− ____ + ____− = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂                 xy y y B 0 x y τ σ

ττ σσ

τ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = + + = + + = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ xy x x B 0 x y ττττ σσσσ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ x

(10)

*

3

-(0 . . , ( .

( 1 ' 4- . . 9

' D . 0 (0 .

! 6 ; 1 ( - 6 4 9 ,

. ?

h z

2

= ± = ±= ± = ±

z zx zy 0

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

====

τ

====

τ

====

1 (

'

2 (

(11)

1 (

'

2 (

3 -

4-. 7 . 1 , . 8( . 9 4- : 1

( . D , '7 1

- 6 ( ; # ,

. 9 E . . ?

((((

))))

x x x , y

σ

====

σ

((((

))))

y y x , y

σ

====

σ

z 0

σσσσ

====

((((

))))

xy xy x , y

τ

====

τ

yz 0

ττττ

====

zx 0

ττττ

====

9. @ ( ( ; . - # ( .

(12)

x

x y

E E

σσσσ

νννν

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

==== −−−−

σ

y

y x

E E

σσσσ

_νννν

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

==== −−−−

σ

((((

))))

z x y

E

νννν

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

= −= −= −= −

σ

++++

σ

xy xy

G ττττ γγγγ ====

xz 0

γγγγ

====

yz 0

γγγγ

====

1 (

'

2 (

3 -

4-((((

))))

z x y z z

E

0

1 1 2

νννν

σ ε ε ε ε

ν ν

νν νν

ν ν

 

= + + + =

= ____ + + + ____ =

+ −

+  − 

((((

))))

z x y

1 νννν

ε ε ε

εε εε εε

ε ε ε

νννν

= − +

(13)

1 (

'

2 (

3 -

4-# ?

((((

))))

x x x , y

ε

====

ε

((((

))))

y y x , y

ε

====

ε

((((

))))

((((

))))

z x y z x , y

1

νννν

ε

νννν

= − + =

−−−−

((((

))))

xy xy x , y

γ

====

γ

xz 0

γγγγ ====

yz 0

γγγγ

====

) , . - 8 4- 4- 6

(14)

1 4@ ( 1 D' ?

xy y

y

B 0

x y

τ σ

∂ ∂

+ + =

∂ ∂

xy x

x

B 0

x y

ττττ

σσσσ

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌

∂ ∂

z

B ==== 0

1 (

'

2 (

3 -

1 4@ ( . ' 4@ ?

2 2

2

y xy

x

2 2

0 y

x

x y

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

εεεε

∂

∂∂∂∂

₊

₋

₌

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

(15)

2 z

2

0 y

εεεε

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

2 z

0 x y

εεεε

∂∂∂∂

====

∂ ∂

1 4@ 1 6 ( ( 4- 9 F ,

1 , 6 , ( . ( . ( , ( .

4-( . ;

-7 9 , 1 4@

2 z

2

0 x

εεεε

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

z

εεεε

z xz yz

0 σ

τ

σ

τ

σ

=

τ

=

τ

=

σ σ τ

x

,

y

,

xy

2 z

2

0 y

εεεε

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

2 z

0 x y

εεεε

∂∂∂∂

====

∂ ∂

2

z

2

0 x

εεεε

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

. - ( 2 . 9 , 6

4- 1 ;

1 (

'

2 (

(16)

4-xy y

y

B 0

x y

τ

σ

τ

σ

τ

σ

∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ + + = + + = + + = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ xy x x B 0 x y

ττττ

σσσσ

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂

∂ ∂ ₂ 2 2

y xy

x

2 2

0 y

x

x y

ε

γ

ε

γ

ε

γ

εεεε

∂

∂∂∂∂

₊

₋

₌

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

1 (

'

2 (

3 -

4-. ( 1 (0 . # 1 4@

2 z 2

0 y

εεεε

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

2 z

0 x y

εεεε

∂∂∂∂

====

∂ ∂

2 z 2

0 x

εεεε

∂∂∂∂

====

∂∂∂∂

- / 4- . ' , ( 1 4@

( . ' ; . 6 E

2 2

2

y xy

x

2 2

0 y

x

x y

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

εεεε

∂

∂∂∂∂

₊

₋

₌

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

(17)

1 (

'

2 (

3 -

4-# B C ; , ( /2 6 , ( . ( . ?

x

x y

E E

σσσσ

νννν

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

==== −−−−

σ

y

y x

E E

σσσσ

_νννν

ε

σ

ε

σ

ε

==== −−−−

σ

xy xy

G

ττττ

γγγγ

====

xz 0

γγγγ ====

yz 0

γγγγ

====

((((

))))

z x y

E

νννν

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

= −= −= −= −

σ

++++

σ

# . ( . , . ' .

A 1 4@ ( 6 6 , , / ,

1 4@ 1 D' 1 4- ( . ' 9.

@ , ' ' 4- 4@

1

4-x

σσσσ

y

ττττ

xy

2 2

2

y xy

x

2 2

0 y

x

x y

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

εεεε

∂

∂∂∂∂

₊

₋

₌

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

(18)

1 (

'

2 (

3 -

4-# , . 6 4- ?

2

2 2

y

x x

2 2 2

1 y

E

y

E

y

σσσσ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

νννν

∂∂∂∂

∂

₌

∂

₋

∂

2 2 ₂

y y _x

2 2 2

1 x

E

x

E

x

ε

σ

ε

σ

ε

σ

_νννν

_σσσσ

∂

_∂∂∂∂

=

−

=

−

=

−

∂

((((

))))

2 2

xy

2 1

xy

x y

E

x y

γ

τ

γ

τ

γ

τ

γ

νννν

τ

∂

++++

∂

====

∂ ∂

((((

))))

2 2 2

2 2

y y xy

x x

2 2 2 2

2 1

0 y

x

y

x y

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

_∂

_ν



σ

_∂



_ν

_∂

∂

₊

₋

∂

₊

₋

₊

₌

+

−

+

−

+

=

+

−

+

−

+

=

+

−

_



_



+

_



_

−

+

=

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

(19)

1 (

'

2 (

3 -

4-G 1

4-

)76

6 , 4- . ' . @

6 6 * ( 8 , : 1 6 ; E 1 4@

1 D'

x

σσσσ

_y

ττττ

_xy

xy y

y

B 0

x y

τ σ

∂ ∂

+ + =

++ ++ ==

+ + =

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

xy x

x

B 0

x y

∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌

∂ ∂

( . 4@ 1 E 1 4- ( . '

2 2

2

y xy

x

2 2

0 y

x

x y

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

εεεε

∂

∂∂∂∂

₊

₋

₌

+

−

=

+

−

=

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

7 , 6 , 6 ( ( 4@ ( 6 ;,

(20)

1 (

'

2 (

3 -

4-((((

))))

2 _x 2 y 2 _x 2 y 2 xy

2 2 2 2

1

2

0 y

x

y

x y

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

ν



∂



ν



∂



∂

−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

=

−

+

−

+

−

=

−

_



_



_

+

_



−

_



_



_



_

+

_



_



_



−

=

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

























3 ((((

))))

2 2 2

2 2

y y xy

x x

2 2 2 2

2 1

0 y

x

y

x y

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

_∂

_ν



σ

_∂



_ν

_∂

∂

+

−

+

−

+

=

+

−

+

−

+

=

+

−

+

−

+

=

+

−

_



_



+

_



_

−

+

=

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

_

∂

_

∂ ∂

<' 6 1 ( . ( 0 .

H 1 4@ , 6 1 1 4@

1 D' - ?

xy

(21)

1 (

'

2 (

3 -

4-2 2

xy

x x

2

B

0

x x y x

ττττ

σσσσ

∂∂∂∂

∂ ∂

∂ ₊ ₊ ∂ ₌

+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂

∂ ∂ ∂ ∂

2 2

xy y y

2

B

0

x y y y

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

∂ ∂ ∂

+ + =

++ ++ ==

+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

, ?

2 ₂ 2

xy _x y _x y

2 2

B B

2

x y x y x y

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

_σσσσ

σ

∂ ∂ ∂

∂ _∂_∂_∂_∂ ∂ _∂_∂_∂_∂ ∂

= − − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(22)

((((

))))

₍₍₍₍

₎₎₎₎

y

2 x

x y

B

1

1 x

y

σ

νννν

∂∂∂∂















_∂∂∂∂



∇

+

= −

+

∇

+

= −

+

∇

+

= −

+

∇

+

= −



+



−

∂

−

∂

−

∂

−

_

∂

_

1 (

'

2 (

3 -

3

((((

))))

((((

))))

y

2 x

x y

B

1 x

y

σ

ν

σ

ν

σ

ν



∂∂∂∂



∇

+

= − +

+

∇

+

= − +

+

∇

+

= − +

+

∇

+

= − +



+



∂

















2 2

2

2 2

x

y

∂

∇ =

+

∇ =

+

∇ =

+

∂

( 1 4 ( , ' 1 4@

(23)

1 (

'

2 (

3 -

4-((((

))))

2

x y

0 σ

σ

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

7 (0 1 4- )76 , 62 . .

4- ( . . - , 4

( > ( , . ' . 7 . 1 4@

(24)

+

4@

> 4- . ' . , ( 4@ ( 4

. ( - 9. . ( . .

9 # , ( 1 1 ( ?

1 (

'

2 (

3 -

(25)

' . . ( 9 , ( 4@

. ( 9 . ' 9 , 2, . ' 9I ,

x xy x

xy y y

cos sen

σ

α τ

α ρ

σ

α τ

α ρ

σ

α τ

α ρ

σ

α τ

α ρ

τ

α σ

α ρ

τ

α σ

α ρ

τ

α σ

α ρ

τ

α σ

α ρ

+ =

++ ==

+ =

1 (

'

2 (

3 -

4-x x , xy y

σ

ρ τ

ρ

σ

ρ τ

ρ

σ

====

ρ τ

====

ρ

. ' I ',

y y , xy x

σ

ρ

τ

ρ

σ

ρ

τ

ρ

σ

ρ

τ

ρ

σ

ρ

τ

ρ

− = − =

(26)

x x

xy y

xz z

σ

ρ

σ

ρ

σ

ρ

σ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

τ

ρ

==== ==== ====

l ==== 1,m = == == == =n 0

1 (

'

2 (

(27)

4-J "

4-

3 @

1 (

'

2 (

3 -

4-# 4- . ' . @ (

4-1 4@ 1 D'

/ ( 1 4- ( . '

((((

))))

₍₍₍₍ ₎₎₎₎ y

2 x

x y

B B

1

1 x y

σ σ σ σ σ σ σ σ νννν ∂∂∂∂        _∂∂∂∂  ∇ + = − + ∇ + = − + ∇ + = − + ∇ + = −  +  − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂

−  ∂ ∂ 

3 ((((

))))

(((( ))))

y 2 x x y B B 1 x y

σ σ ν

σ σ ν ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ 

∇ + = − + + ∇∇ ++ = − += − + ++ ∇ + = − +  +  ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂      

1 . 4 ( ,

((((

))))

2

x y

0 σ

σ

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

6 ( 4@ (

xy y

y

B 0

x y

τ

σ

τ

σ

(28)

1 (

'

2 (

3 -

4-/ ( ( . 4 K . ' 7

-. 1 4@ 0 A ( ?

xy y

0

x y

τ σ

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

+ =

∂ ∂

xy

x ₀

x y

∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

((((

))))

2

x y

0 σ

σ

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

. ' 4- 4- 9 ,

( E ( . - . ?

((((

))))

x , y

φφφφ

2

x 2

y φφφφ σσσσ ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

2

y 2

x φφφφ σσσσ ==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

2 xy

x y φφφφ ττττ = −= −= −= − ∂∂∂∂

(29)

1 (

'

2 (

3 -

4-# ; 4- , 4- @ # , ; . '

H ( 1 4-

((((

))))

( 6 6 H ( (

x , y

φφφφ

2

x 2

∂∂∂∂

2

y 2

∂∂∂∂

2 xy

x y φφφφ ττττ ==== ∂∂∂∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ xy y 0 x y τ σ τ σ τ σ τ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = ++ == + = ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ xy x 0 x y

ττττ

σσσσ

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2

2 2

0 y

x

φ











_∂



∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

∇



+



=

∂













<LM

(((( ))))

2 2

0 φφφφ

∇ ∇

=

∇ ∇

=

∇ ∇

=

∇ ∇

=

4

(((( ))))

0 φφφφ

∇

=

∇

=

∇

=

4 4 4

4

2

2 2 4

0 x

x

y

φ

(30)

1 (

'

2 (

3 -

4-7 4- 1 4- ' = ( , . 6

4- ' = ( . 1 / ( . '

((((

))))

4@

x , y

φφφφ

# ( 4@ (

x xy x

xy y y

cos sen

σ

α τ

α ρ

σ

α τ

α ρ

σ

α τ

α ρ

τ

α σ

α ρ

τ

α σ

α ρ

τ

α σ

α ρ

τ

α σ

α ρ

+ =

++ ==

+ =

6 ;, ( φφφφ

((((

x , y

))))

, ?

2 2

x 2

2 2

y 2

cos sen

y x y

cos sen

x y x

φ

_α

φ

_{α ρ}

φ

_α

φ

_{α ρ}

∂ ∂

∂ ₋₋₋₋ ∂ ₌₌₌₌

∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

− + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂∂

(31)

1 (

'

2 (

3 -

4-( 4 ( 8 - : / , .

9 . , . ' 1 4 7 . . . , (

4-9 - ,

y

B ====

µµµµ

g

x

B ==== 0

< 7 . (D ( ( 4- 6 #

1 4@ 1 . ' - ?

µµµµ

g

xy y

g

x y

τ σ

ττ σσ

τ σ

µµµµ

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

+ = −

∂ ∂

xy x

0

x y

ττττ

σσσσ

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂

((((

))))

2

x y

0 σ

σ

∇

+

=

∇

+

=

(32)

1 (

'

2 (

3 -

4-4- @

φφφφ

((((

x , y

))))

1 ?

2

x 2

y

φφφφ

σσσσ

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

2

y 2 gy

x

φφφφ

σ

µ

σ

µ

σ

==== ∂∂∂∂ −−−−

µ

∂∂∂∂

2 xy

x y φφφφ ττττ = −= −= −= − ∂∂∂∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

1 4@ 1 D' - ( 1 4- )76

( 1 4- ' = (

# ( 4@ ( ( 6 ?

2 2

x 2

2 2

y 2

cos sen

y x y

cos gy sen

x y x

φ

_α

φ

_{α ρ}

φ

_α

φ

_µ

_{α ρ}

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ₋₋₋₋ ∂ ₌₌₌₌

∂ ∂ ∂

∂∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂

 

 

 

∂ ∂

− + − =

− + −  =

∂ ∂ ∂

(33)

1 (

'

2 (

3 -

4-<' 6 1 1 4@

2

x 2

y

φφφφ

σσσσ

==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂

2

y 2 gy

x φφφφ

σ µ

σσ µµ σ ==== ∂∂∂∂ −−−−µ

∂∂∂∂

2 xy

x y φφφφ ττττ = −= −= −= − ∂∂∂∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

9. . . 4-

4-2

x 2

∂∂∂∂

2

y 2

∂∂∂∂

2 xy

x y φφφφ ττττ = −= −= −= − ∂∂∂∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ 0 A xy y 0 x y τ σ

ττ σσ

τ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + = + = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ xy x 0 x y ττττ σσσσ ∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

((((

))))

2

x y

0 σ

σ

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

6 ( 4

, ( 4- . (

,

x xy

0 ,

y

gy

σ

τ

σ

µ

σ

τ

σ

µ

σ

τ

σ

µ

(34)

1 (

'

2 (

3 -

4-- 0 A

xy y g x y

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

µµµµ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = − ++ = −= − + = − ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ xy x 0 x y

ττττ

σσσσ

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ₊₊₊₊ ₌₌₌₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

((((

))))

2

x y

0 σ

σ

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

∇

+

=

2 , 9. @

2 2 x 2 2 2 y 2 cos sen

y x y

cos gy sen

x y x

φ

_α

φ

_{α ρ}

φ

_α

φ

_µ

_{α ρ}

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ₋₋₋₋ ∂ ₌₌₌₌ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂         ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ − + − = − + − = − + − = − + −  = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂  ∂ 

(35)

1 (

'

2 (

3 -

4-4@

D

N

. ( 4- 4- @ , - 9 . 4@

. . D . ' 9 , 1 .

. (0 . . - (

4-. . 4- . ( 9. 4- ,

( A ( . . ( # .

9 . 1 4 - 7 6 , .

-4- , E 1 4- ' = ( 8 . (

. D6 (0 . :, ( . 4

(

((((

x , y

))))