FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO PAULO

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FATEC-SP

CURSO DE MATERIAIS, PROCESSOS E COMPONENTES

ELETRÔNICOS

Willian Silva Rocha

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO PAULO

–

FATEC-SP

CURSO DE MATERIAIS, PROCESSOS E COMPONENTES

ELETRÔNICOS

Willian Silva Rocha

Planilha de Modelagem e Cálculo de Sistemas de Vácuo

Trabalho de Conclusão de Curso, apresentado para obtenção do grau de TECNÓLOGO no Curso de Tecnologia em Materiais, Processos e Componentes Eletrônicos pela Faculdade de Tecnologia de São Paulo, FATEC-SP.

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Agradecimentos

A todos as pessoas do laboratório de tecnologia do vácuo, em especial o Prof. Dr. Francisco Tadeu Degasperi pela orientação e apoio durante o trabalho.

Aos amigos do curso de Materiais, Processos e Componentes Eletrônicos (em especial Alessandro, Claudio, Gabriel, Mauricio, Fernando Ferrari e Vitor Tatsuo) pela amizade e companheirismo durante a graduação.

Ao CNPq, pelo apoio financeiro por meio da bolsa de Iniciação Científica.

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Resumo

Este trabalho teve como objetivo apresentar uma solução de baixo custo e simples para o cálculo de sistemas de vácuo.

Para este proposito foi utilizado o programa Excel, pois como é um programa acessível e que já vem na maioria dos computadores, o público atingido será grande.

A planilha foi desenvolvida para que tenha uma interface limpa e fácil para o usuário entender, fazendo assim com que o publico alvo desse programa sejam alunos que não tenham muita experiência com sistemas de vácuo e alunos que acabaram de se formar, pois existem programas que fazem esse cálculo porem são programas muito complexos e de difícil manuseio.

Os resultados dos testes realizados são muito satisfatórios, sendo que os valores são de fácil visualização e a planilha esta com uma interface fácil para que o usuário entenda o máximo possível.

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ABSTRACT

This paper aims to present a cheap and simple method for vacuum systems. For this purpose we used the program Excel, because it is a handy program and already on most computers, the public will be big hit.

The spreadsheet was developed that has a clean interface and easy for the user to understand, thereby making the target audience of this program are students who do not have much experience with vacuum systems and students who just graduated, as it has programs that make this calculation programs are however very complex and difficult to handle.

The results of tests obtained are very satisfactory, the values and the spreadsheet is easy to see this with an easy interface for the user to understand as possible.

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Sumário

1. Introdução ... 7

1.1. Cálculo de sistemas de vácuo ... 7

1.2.0 Sistemas de vácuo ... 8

1.2.1. Histórico da Ciência e da Tecnologia do Vácuo[1]... 8

1.2.2 Modelagem dos sistemas de vácuo ... 12

1.3.0. Historia métodos numéricos ... 18

1.3.1 Método de Euler ... 19

1.3.2 Método Modificado de Euler ... 19

1.4.0 Runge – Kutta ... 21

1.4.1. Método de Runge – Kutta de segunda ordem ... 22

1.4.2. Método de Runge – Kutta de terceira ordem ... 23

1.4.3. Método de Runge – Kutta de quarta ordem ... 24

2.0 Resultados ... 24

2.1. Planilha de modelagem para bomba mecânica de um estagio ... 24

2.1.1. Testes realizados ... 33

2.1.2. Primeiro teste... 33

2.1.3. Segundo teste... 36

2.1.3. Terceiro teste ... 39

2.1.4. Quarto teste ... 40

2.2. Sistema de vácuo com bomba roots ... 44

3.0. Conclusão ... 49

4.0. Referencias ... 50

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1 . Introdução

1.1. Cálculo de sistemas de vácuo

Este projeto tem como objetivo oferecer a facilitação para o cálculo de sistemas de vácuo, utilizando o método de Runge – kutta através do programa Excel, apesar de já existirem programas que realizam esse cálculo, como por exemplo o MathCad ou o VacTran, esses programas são caros e exigem que o usuário tenha uma base matemática boa, fazendo assim com que esse projeto seja voltado para pessoas com um conhecimento básico da área de vácuo, sendo assim alunos que estão estudando na área ou que já estão formados, mas com pouca experiência.

O projeto irá focar nos sistemas de vácuo mais utilizados pela indústria, sendo assim será dado grande foco nos sistemas de pré-vácuo (pressões em torno de 760 torr a 10-3 Torr).

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1 .2.0 Sistemas de vácuo

Sabendo agora qual é a finalidade deste projeto, qual sua utilidade e para quais tipos de problemas ele foi desenvolvido para solucionar, será abordado o que são sistemas de vácuo, como podem resolvidos e qual sua utilização e importância no mercado.

1 .2.1. Histórico da Ciência e da Tecnologia do Vácuo[1]

A palavra “vácuo” provem do latim e significa “vazio”. Os filósofos gregos pensaram sobre o vácuo e o “horror” que a Natureza tem dele. Existem indícios que os egípcios e os chineses obtiveram o vácuo por meio de foles quando supriam de ar os fornos para fundição. Há também registros de que na antiga Roma e na antiga Alexandria havia sido produzido vácuo quando bombeavam água das minas. Foi no período renascentista, contudo, com os trabalhos pioneiros de Galileu e de seu estudante Torricelli que a realização do vácuo tornou-se uma tarefa científica.

Foram notáveis os trabalhos de Torricelli sobre a medição da pressão atmosférica utilizando tubos preenchidos com água ou mercúrio. O espaço vazio acima da coluna de mercúrio foi identificado por Torricelli como sendo uma região de vácuo absoluto, isto ocorreu em 1643, um ano após a morte de Galileu. Atualmente, sabe-se que rigorosamente falando tem-se a pressão de vapor de mercúrio no espaço acima da coluna de mercúrio. Contemporâneos de Galileu também especularam sobre o vácuo, entre eles temos Bacon, Pascal e Descartes, sendo que seus trabalhos influenciaram filosoficamente por vários anos o pensamento ocidental.

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Em 1825, Dumas[1] conseguiu produzir vácuo a partir da substituição do ar de um recipiente por vapor de água, e em seguida com a condensação do vapor por meio do resfriamento das paredes do recipiente. Em meados do século XIX Robert Willhelm Bunzen[4] conseguiu bombear gás usando um jato de líquido a alta velocidade. Este fato está na essência do princípio de funcionamento das bombas de alto-vácuo dos tipos ejetor de vapor e difusora.

A tecnologia do vácuo começou a ter crescimento científico com as primeiras construções de tubos para descargas elétricas em gases. Ocorreu neste período um intenso “círculo virtuoso”, ou seja, a física desenvolveu-se muito com os estudos dos gases ionizados, dando início à física atômica, e era preciso produzir pressões mais baixas nos arranjos experimentais, trazendo um enorme progresso à tecnologia do vácuo. Em 1873 Lodyguin[1] inventou a lâmpada incandescente com filamento de carbono, necessitando diminuir a quantidade de gases ativos do seu bulbo. Em 1883 Edison descobriu a emissão de elétrons pelo efeito termo iônico.

Em 1887 Hertz e Stoletov[1] descobriram experimentalmente o efeito fotoelétrico. A primeira identificação de que certos materiais tinham a propriedade de reter gases e vapores foi feita por Malginani em 1884, durante a fabricação de lâmpadas elétricas. Este fato trouxe o conhecimento das substâncias que modernamente chamamos de “getter”, tão utilizadas em muitos dos modernos sistemas de alto-vácuo e ultra alto-vácuo. Além de ter realizado o isolamento de líquidos em baixas temperaturas, com a invenção da garrafa térmica, Dewar em 1904 também propôs um método de absorver gases utilizando carvão ativado resfriado.

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conjuntos com Langmuir, Dushman realizou vários trabalhos importantes relacionados à produção de tubos eletrônicos de potência.

Burch construiu em 1928 a bomba difusora com vapor de óleo, além de melhorar as outras bombas de vácuo existentes. Muitos avanços na produção do vácuo foram feitos durante a Primeira Guerra Mundial, em função da fabricação de sistemas eletrônicos de potência voltados à transmissão de ondas eletromagnéticas com o objetivo das telecomunicações. O mesmo ocorreu durante a Segunda Guerra Mundial, neste caso, foram desenvolvidos os geradores de microondas de potência, os sistemas de separação isotópica de urânio para a produção da bomba atômica e ainda, dentro do Projeto Manhattan, a invenção do detetor de vazamentos com espectrômetro de massa.

Do ponto de vista da medição do vácuo, o ponto de partida foi à medição da pressão atmosférica, por Torricelli, com o uso da coluna de mercúrio. Seguindo, muito tempo depois, McLeod inventou em 1874 o manômetro, que leva o seu nome, e que era capaz de medir pressões até 10-4 mbar. Até o início dos anos 80 do século XX, o manômetro McLeod foi usado como padrão primário em baixas pressões. Cabe mencionar que o princípio de funcionamento do manômetro McLeod está sustentado pela lei de Boyle-Mariotte em conjunto com a lei de Stevin.

Em 1909 Pirani desenvolveu o manômetro com resistência elétrica e em 1916, Buckley inventou o manômetro de ionização dos gases. Continuando a evolução, muitas áreas da física e da engenharia exigiriam cada vez mais sofisticações na área de vácuo. Cabe notar que a física atômica, física nuclear, a indústria de tubos eletrônicos, a física de plasmas, e mais recentemente as atividades de pesquisa e industriais em microeletrônica têm dado um impulso extraordinário à tecnologia do vácuo. Atualmente conseguimos atingir pressões da ordem de 10-12 mbar em sistemas de extremo alto-vácuo envolvendo instalações com aceleradores de partículas elementares, anéis de armazenamento de elétrons, prótons e anti-prótons, e ainda, na fabricação de semicondutores. Em condições extremas e bastante particulares conseguiu-se obter pressões da ordem de 10-14 mbar.

(11)

atômica da matéria foram realizados com sistemas gasosos. Em seguida, tivemos os trabalhos de Bernoulli, Maxwell, van der Waals, Gibbs e Boltzmann na aplicação da mecânica clássica aos sistemas gasosos fundamentados na hipótese atômica da matéria. Cabe lembrar que no final do século XIX ocorreu um embate dos mais importantes e belos da história da ciência e que determinou de vez a incorporação da hipótese atômica ao conhecimento da Humanidade. Certamente estamos falando da disputa entre os energeticistas, liderados por Ostwald e Mach, e os atomistas, liderados por Boltzmann.

A partir do final do século XIX, tivemos as primeiras hipóteses sobre a estrutura interna dos átomos e, em seguida, o surgimento da teoria quântica, com o aprofundamento da teoria cinética dos gases e a mecânica estatística. Estas teorias criaram ferramentas teóricas fundamentais para estudar o comportamento dos gases interagindo entre si e com as paredes dos sistemas de vácuo, essencial para o desenvolvimento do ultra alto-vácuo.

Durante o século XX também ocorreram desenvolvimentos teóricos importantes para a tecnologia do vácuo. Entre eles podemos mencionar os trabalhos sobre o transporte de gases rarefeitos em regime molecular de 1909 devidos a Knudsen. Posteriormente estes estudos foram complementados e estendidos por Smoluchowsky em trabalhos iniciados em 1910; cabe mencionar que ele mesmo desenvolveu independentemente de Einstein, a teoria sobre o movimento browniano. Trabalhos adicionais sobre o fluxo de gases no regime molecular foram feitos por Clausing, introduzindo o coeficiente de probabilidade de transmissão para os choques moleculares com os gases escoando em tubos. Desenvolvimentos adicionais nesta área foram também realizados por Steckelmacher. Do ponto de vista da física relativa ao fenômeno da interação de gases com as paredes do sistema de vácuo, Knudsen introduziu a regra que leva o seu nome, relativo às moléculas ejetadas de uma superfície. Este trabalho foi fundamental para os primeiros cálculos de condutância em sistemas de alto-vácuo. Pode-se também mencionar os trabalhos de Consa sobre os estudos experimentais sobre a regra de Knudsen. Estudos importantes têm sido realizados por Berman sobre a desgaseificação de moléculas de água em sistemas de alto-vácuo. Muito tem sido desenvolvido na área de materiais e seus processos de limpeza e condicionamento, cabendo mencionar os trabalhos de Benvenuti na área dos aceleradores de partículas.

(12)

Certamente o estudo histórico do desenvolvimento da ciência e da tecnologia do vácuo é muito apaixonante e estimulante, mas este não é o objetivo central deste trabalho de tese. Podemos finalizar esta seção dizendo que desenvolvimentos importantes têm sido feitos recentemente sobre a modelagem de sistemas de vácuo voltados aos processos realizados a plasma, principalmente na indústria de microeletrônica. Também, muito tem sido feito sobre a modelagem de sistemas de altovácuo e ultra alto-vácuo por meio do método de Monte Carlo, podemos citar os trabalhos de Kersevan. A análise de sistemas de pré-vácuo tem sido bastante estudada usando os programas computacionais desenvolvidos para a mecânica dos fluidos. Finalizando, os cálculos realizados em tecnologia do vácuo não estão sendo atualizados com os últimos desenvolvimentos sobre a física dos gases rarefeitos. Vemos que na área da dinâmica dos gases rarefeitos encontramos os maiores desenvolvimentos sobre o comportamento dos gases, e eles estão sendo aplicados diretamente à aeronáutica e à astronáutica.

1 .2.2 Modelagem dos sistemas de vácuo

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A figura 1 mostra a composição mais geral de um sistema de pré-vacuo, que é necessário para o inicio de muitos processos.

Com a crescente complexidade encontrada nos sistemas de vácuo, encontramos que a análise e cálculo destes sistemas têm também aumentado muito a sua dificuldade. Vários aspectos deverão ser considerados para uma modelagem mais próxima da realidade. Isto impõe que uma série de parâmetros deverão estar presentes no equacionamento do problema. Com isto teremos que a determinação da condutância constitui uma etapa fundamental na modelagem dos sistemas de vácuo e certamente para que o projeto alcance sucesso. A condutância é uma grandeza que depende das dimensões da linha de bombeamento, do tipo de gás e da sua temperatura, mas depende fortemente do regime de escoamento.

A velocidade de bombeamento efetiva é dependente da condutância da tubulação. No caso do regime de escoamento viscoso laminar a condutância depende da pressão e isto traz dificuldades nos seus cálculos, neste contexto estamos criando uma sistemática para a determinação da condutância em várias formas de tubos para o inicio do processo de bombeamento.

Entre os aspectos mais importantes para os sistemas de vácuo, estão as bombas de vácuo, tais como, as mecânicas, compressoras ou ejetores de vapor de óleo, bombas difusoras e uma variedade de dispositivos de bombeamento específicos, como bombas iônicas. Todos esses dispositivos removem gases dos sistemas evacuando a uma taxa que é medida pela velocidade de bombeamento SB, que é definida como o

volume de gás por unidade de tempo dV/dt que o dispositivo de bombeamento remove do sistema. Devemos ter em conta que estamos diante de gás, assim, a especificação da pressão é fundamental para muitos casos. Entre os conceitos mais importantes em tecnologia do vácuo, está o conceito de fluxo de gás, ou também chamado de vazão de gás. O fluxo de gás Q em dispositivos de bombeamento, chamado throughput, é definido como o produto da velocidade de bombeamento pela pressão interna Pin

dt dV P S P

Q _in _B  _in (1)

(14)

dt dW M T R T R M W dt d dt dV P

Q   

     _ _  

 . (2)

Logo o fluxo de massa é

Q T R M dt dW _ 

 . (3)

A maior parte dos sistemas de vácuo, em sua grande maioria na verdade, não tem solução analítica, desta forma, a equação diferencial não tem solução analítica, devemos nestes casos lançar mão de métodos numéricos computacionais afim de obter a solução temporal do problema. Os sistemas de vácuo mais importantes que operam nos regimes de escoamento mencionados acima são: ramo de alimentos, medicamentos, saúde hospitalar, refrigeração, movimentação e fixação, reatores a plasma e muitos outros. Esse trabalho tem como foco principal a modelagem detalhada de sistemas de vácuo que encontram aplicações com as mencionadas acima. Analisaremos sistemas de vácuo considerando a condutância de tubos de vários tamanhos e diferentes diâmetros, os detalhes da velocidade de bombeamento e ainda as possíveis fontes de gases e vapores envolvidos nos processos em estudo.

Os conceitos teóricos para modelagem dos sistemas de vácuo estão baseados nas grandezas condutância, velocidade de bombeamento e fontes de gases e vapores. Apesar de a equação diferencial que rege o processo de bombeamento ter aspecto formal simples, ela – mostrada abaixo – apresenta em geral soluções de difícil obtenção.



0



(6)

) 5 (. ) ( ) ( ) 4 (. ) ( ) ( 0 1 1 p t p Q t p C S C S dt t dp V Q t p S dt t dp V CV n i i CV Total bv Total bv CV CV n i i CV ef CV CV         



 

(15)

propósito de validar a modelagem do sistema de vácuo, é proposta experiências considerando a medição de condutâncias e velocidades efetivas de bombeamento. Os casos de maior interesse que trabalhamos foram aqueles encontrados na indústria, cujas pressões estão compreendidas entre a pressão atmosférica e pressões da ordem de 10-1 mbar. Em geral, nesta faixa de pressão os regimes de escoamento são o viscoso turbulento, viscoso laminar e o intermediário, com as condutâncias variando com a pressão e também a velocidade de bombeamento das bombas de vácuo usadas.

Pretendo obter com as medições de condutância, velocidade de bombeamento de bombas de vácuo e velocidade efetiva de bombeamento resultados que estão bem representados pelos modelos teóricos propostos, considerando fontes de gases e vapores exclusivos da atmosfera. Neste sentido, introduzindo gases e vapores nos sistemas de vácuo foi possível criar modelos para considerar a inclusão dessas fontes nos cálculos e análises do processo de bombeamento em vácuo; assim os termos devidos aos throughputs das fontes de gases assumem valores mais realísticos.

O fluxo de gás entrando em uma bomba, evacuado de uma câmara, geralmente passa por uma série de canos ou tubos que apresentam resistência ao fluxo, deste modo entre quaisquer dois pontos ao longo do caminho do fluxo existe uma diferença de pressão. Este fato, somente ocorrerá a um sistema se tal diferença de pressão existir. Por analogia com um circuito elétrico, a condutância C entre dois pontos ao longo do caminho do fluxo é definida de modo que a quantidade de gás fluindo por um sistema é o produto da condutância pela diferença de pressão:

C P P

Q( ₁ ₂) ₍₇₎

Desde que Q é a quantidade de gás por unidade de tempo entrando no cano ou tubo à pressão P1, então se não adicionarmos vazamentos de gás ou removermos do

cano entre os pontos de interesse, está mesma quantidade de gás saíra do cano à pressão P2.

A velocidade de bombeamento de uma bomba de vácuo é SB = Q / Pin. Por

analogia, está expressão é conveniente para definir a velocidade de bombeamento em qualquer ponto num sistema de vácuo como:

P Q S 

(16)

onde Q é o fluxo de gás em um sistema e P é a pressão do gás no ponto em que a velocidade de bombeamento é definida.

No caso de uma abertura ou tubo pelo qual a quantidade de gás Q está fluindo de uma região à pressão P1 para uma região à pressão P2, as velocidades de

bombeamento nestes dois pontos em um sistema são dadas por :

1 1 P Q S  (9) e 2 2 P Q S  (10) deste modo: 1 1 S Q P  (11) e 2 2 S Q P  (12)

Substituindo estes valores de P1 e P2, resulta que:

C S Q S Q

Q _

       2

1 ₍₁₃₎

Dividindo todos os termos por Q, temos que:

S S C

1 1 1 2 1   (14)

Assim a velocidade de bombeamento em qualquer ponto no sistema pode ser obtida conhecendo a velocidade de bombeamento em algum outro ponto e a condutância desta parte do sistema. Em particular a combinação da velocidade de bombeamento da bomba e a condutância C do tubo, nos dá a velocidade efetiva de bombeamento, grandeza de suma importância na modelagem de sistemas de vácuo, assim temos a equação:

C S

Sef B

1 1

1 _ _

(15) e C S C S S B B ef  

(17)

Por raciocínio similar ao dado acima, pode-se facilmente mostrar que para varias aberturas, tubos ou canos em série, cada um com sua condutância individual C1, C2, C3, etc., a condutância total é dada por:

... 1 1 1 1 3 2 1     C C C

C ₍₁₇₎

Assim para várias aberturas ou tubos em paralelo, tanto que o fluxo de gás divida-se entre eles, a condutância total é:

CC₁C₂ C₃... (18)

Portanto condutância e velocidade de bombeamento constituem grandezas de vital importância para o desenvolvimento de bons projetos de sistemas de vácuo. Neste contexto, a caracterização do comportamento destas grandezas torna-se importante.

A distinção e identificação entre os quatro tipos de regime de escoamento presentes no transporte de gases e vapores rarefeitos é fundamental e o ponto de partida para poder dimensionar o sistema de bombeamento de gases e vapores. As condutâncias no regime de escoamento viscoso laminar estão presentes nas pressões de vácuo grosseiro e pré-vácuo, sendo de muita importância para muitos processos, principalmente industriais. No inicio do processo de bombeamento as condutâncias dependem da pressão e isso torna os seus cálculos em geral de difícil realização. Com o propósito de estabelecer uma sistemática de cálculo e trabalho, será criado um formulário de condutâncias e uma planilha para realizar cálculos de condutâncias em tubos, para várias formas de seção transversal. Além do cálculo da condutância, será determinado também o volume da tubulação de modo a incluir o seu valor na determinação do tempo de bombeamento e também considerar os casos cujos tubos tem o efeito do chamado “pulmão” ou “reservatório de vácuo”, aspecto importante em algumas instalações industriais. Os cálculos são feitos utilizando o programa computacional Excel e no caso da determinação da pressão na câmara de vácuo em função do tempo, será empregado os métodos numéricos de Runge-Kutta de Segunda e

(18)

1 .3.0. Historia métodos numéricos

Os trabalhos preliminares na área dos métodos numéricos para a solução de equações diferenciais são devidos, entre outros, a Isaac Newton (1643-1729) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1643-1716), no século XVII, bem como a Lehonard Euler (1707-1783), no século XVIII. Mas foi sobretudo devido aos trabalhos deste ultimo que foram impulsionados os estudos que conduziram aos métodos que hoje conhecemos.

Euler deduziu um processo iterativo que permitia determinar, de forma aproximada, a solução de um problema de condição inicial num determinado ponto. A demonstração rigorosa de que, de fato, o processo por ele apresentado conduzia a solução da equação só foi apresentada mais tarde, em 1824, por Augustine Cauchy (1789-1857) e melhorada por Rudolf Lipschitz (1832-1908). No entanto, nem assim, o processo apresentado por Euler se tornou popular. A titulo de exemplo, Karl Weierstrass (1815-1897), famoso matemático alemão do século XIX trabalhou nestes assuntos sem conhecer os trabalhos de Cauchy e Lipschitz.

Pode-se dividir os métodos numéricos para determinar a solução de equações diferenciais em duas grandes classes: por um lado, os chamados métodos de passo único aos quais pertence o método de Euler-Cauchy-Lipschitz; por outro os chamados métodos de passo múltiplo.

Os sucessores do método de Euler-Cauchy-Lipschitz foram apresentados por K. Heun em 1900 e, sobretudo, por Carl Runge (1856-1927) em 1895 e 1908 e por Martin Wilhelm Kutta (1867-1944) em 1901, tendo sido considerados como generalizações das regras de integração.

Estes métodos tornaram-se bastante populares devido as suas propriedades e a sua fácil utilização.

As primeiras equações diferenciais são tão antigas quanto o calculo diferencial. Newton considerou-as, em 1671, no seu tratado de calculo diferencial e discutiu a sua solução por integração e por expansão em série. Leibniz, o segundo inventor do cálculo, chegou às equações diferenciais por volta de 1676 considerando o problema geométrico do 'inverso das tangentes'.

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curva, sujeito apenas a forcas gravíticas, atinja P1 no menor tempo possível. A resposta a este problema foi dada por vários matemáticos (inclusive Jacob Bernoulli) e é, como se sabe, a ciclíode. Essa curva pode ser determinada como sendo a solução de uma equação diferencial ordinária.

1 .3.1 Método de Euler

O método de Euler para resolver EDO com condições iniciais é o método numérico mais simples. Ele consiste em aproximar a solução y (x), no sentido de uma linearização, por meio de suas tangentes, como mostrado na figura 2:

Figura 2 - Interpretação geométrica do Método de Euler

Fazendo x1 – x0 = h, vamos ter y1 = y0 + h f (x 0 , y 0).

Esta fórmula é conhecida como método de Euler. Um novo valor de y é previsto usando a inclinação (igual à primeira derivada no valor original de x) para extrapolar linearmente sobre o tamanho do passo h.

1.3.2 Método Modificado de Euler

(20)

Para tanto, em primeiro lugar, usando o método “simples” de Euler, fazemos uma previsão de y i + 1, chamada y i + 1 .

Previsão :

yi+1= yi + h f (x i , y i ). (19)

A partir desta previsão, podemos obter o valor aproximado da direção da curva y ( x ) no ponto ( x i + 1 , y i + 1 ) através de f ( x i + 1 ,yi+1).

Determina-se então a chamada correção:

Correção:

y i + 1 = yi + h/2 [ f (x i , y i ) + f ( x i + 1 , y i + 1 )] (20)

Esta expressão é conhecida como o método modificado de Euler. Uma interpretação geométrica deste método pode ser vista na Figura 3.

Figura 3 - Interpretação geométrica do método modificado de Euler

(21)

1 .4.0 Runge

–

Kutta

O método mais simples para aproximar a solução de equações diferenciais é o método descrito por Euler, em 1768, na sua obra 'Institutiones Calculi Integralis'. É um método muito simples de entender porém pouco preciso. Se pretendermos ter precisão de 6 casas decimais, o método de Euler necessita de aproximadamente um milhão de passos.

Se for utilizado outros métodos de Taylor, a precisão pode ser aumentada. A grande desvantagem destes métodos reside no fato de termos necessidade de calcular muitas derivadas da função f para obter métodos precisos. Esse cálculo, além de muito complicado, torna impraticável a aplicação de tais métodos na resolução quando a função f tem uma expressão analítica complicada.

O método de Runge – Kutta é um método para alcançar a precisão das series de Taylor, sem o calculo de muitas derivadas. Varias variações existem, mas todas podem ser expressas na seguinte generalização:

yi+1 = yi +



(xi, yi, h)h (21)

onde (xi, yi, h) é chamado de incremento da função, que pode ser interpretado como

uma inclinação representante durante o intervalo. O incremento da função pode ser escrito em uma forma genérica como:



= a1k1+a2k2+...+ankn (22)

Onde a constante “a” e a constante “k” são: k1 = f(x1, y1)

k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h)

k3 = f(xi + p2h, yi + q21k1h + q22k2h)

(22)

Os “k’s” estão relacionados. Isso é, k1 aparece na equação de k2, que

aparece na equação de k3, e esse aparece na de k4. Essa relação faz com que o método

de Runge – Kutta eficiente para cálculos computacionais.

Vários tipos de métodos de Runge - Kutta podem ser criados através do emprego de diferentes números de termos no incremento da função, conforme especificado pelo n.

Este método, apesar de recorrer ao método de Euler, vai ser mais preciso e não necessita de calcular derivadas de f. A generalização desta ideia deu origem à seguinte definição.

Definição: Seja s um numero inteiro e a2,1; a3,1; a3,2...; as,1;... ; as;s-1, c2;

c3; ... ; cs;b1; b2;...; bs, coeficientes reais. O método k1 = f(x1, y1)

k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h)

k3 = f(xi + p2h, yi + q21k1h + q22k2h)

...

ks = f(xi + pn-1h, yi + qn-1,1k1h + qn-1,2k2h + ...+ qn-1,n-1 kn-1h)



= a

1

k

1

+a

2

k

2

+...+a

n

k

n

(23)

É chamado método de Runge-Kutta explícito de s etapas para a equação

diferencial.

Para determinar a solução numérica da equação diferencial por este método, começa-se pelo ponto (xi; yi) e aplica-se um passo do método de Euler com passo p1h. Seguidamente, calcula-se o valor de k2 como sendo o vetor derivada no ponto obtido. Têm-se assim dois valores para a derivada: k1 e k2; usa-se uma media ponderada entre estes dois valores (p3-a3,2)hk1+a3,2hk2 em uma nova aplicação do método de Euler, a

partir do ponto (xi; yi), com passo p3h. Calculando a derivada novamente obtêm-se o valor de k3. O ultimo passo do método é mais uma aplicação do método de Euler, a partir do ponto (xi; yi), com passo h.

1.4.1. Método de Runge

–

Kutta de segunda ordem

(23)

fato. Uma maneira de melhorar o método sem o complicar demasiadamente é, continuando embora a supor que a derivada se mantem constante no intervalo, fazer uma melhor estimativa da derivada nesse intervalo. Isso é feito pelo método de Runge-Kutta de 2a ordem que usa o valor da derivada no meio do intervalo, usando o método de Euler para estimar esse valor. Assim, temos:

k1 = f(x1, y1) (24)

k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h) (25)

Esse método é igual a expansão da serie de Taylor para o termo de segunda ordem.

1 .4.2. Método de Runge

–

Kutta de terceira ordem

Para n = 3 uma derivação semelhante ao do método de segunda ordem, pode ser feita. O resultado desta derivação são seis equações com oito incógnitas. Portanto, os valores de duas das incógnitas devem ser especificados a priori, a fim de determinar os parâmetros restantes, a equação resultante é:

yi+1 = yi + [

1

/6 (k1 + 4k2 + k3]h (26)

Onde:

k1 = f(x1, y1)

k2 = f(x1 + 1/2 h, yi + 1/2 hk1)

k3 = f(x1 + h, yi - hki + 2hk2) (26)

Observe que se a função depender apenas de x o método de terceira ordem é reduzido ao método de 1/3 de Simpson.

(24)

1 .4.3. Método de Runge

–

Kutta de quarta ordem

O método de quarta ordem é o método mais popular de Runge – Kutta. A expressão a seguir é conhecida como o método clássico de Runge – Kutta de quarta ordem:

yi+1 = y1 + [

1

/6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4]h (28)

Onde:

k1 = f(x1, y1)

k2 = f(x1 + 1/2 h, yi + 1/2 hk1)

k3 = f(x1 + 1/2 h, yi + 1/2 hk2)

k4 = f(x1 + h, y1 + hk3)

O método de Runge-Kutta de 4 ordem é superior aos outros pois como o calculo é realizado até K4, a precisão é superior aos métodos anteriores, já que cada K depende do valor do anterior.

2.0 Resultados

2 .1. Planilha de modelagem para bomba mecânica de um estagio

(25)

(26)

Como é possível visualizar, o sistema de vácuo foi inserido na interface para que o usuário tenha uma noção de que tipo de sistema está mexendo, as equações de Runge – Kutta também foram colocadas, pois se o usuário tiver alguma duvida observara as equações e poderá entender o método utilizado, se o usuário desejar poderá observar os cálculos realizados pelo método de Runge-Kutta através dos cálculos e da tabela que estão na planilha, como a área de calculo não é o foco do projeto eles não estão visíveis na interface inicial, porem o usuário que desejar visualizar as tabelas e cálculos estão situados na parte inferior da planilha mostrado na figura 5:

(27)

A tabela foi desenvolvida para que seja de fácil entendimento, portanto mesmo para quem não tenha completo domínio sobre o método, conseguira visualizar qualquer possível valor indesejável, a tabela foi feita para utilizar 12423 pontos, isso para que se tenha a maior precisão possível, porem se o usuário não desejar toda essa quantidade de pontos, pode-se usar menos.

A tabela funciona através da equação:

( ) (_{) (}₎ ( )

Sendo f(t,P) a derivada da pressão pelo tempo(dp/dt) que é o valor que o método esta calculando, Q é a condutância total, Sef é a velocidade efetiva de bombeamento do sistema e P é a pressão em que o sistema se encontra inicialmente.

(28)

(29)

Para se determinar o passo é só determinar o tempo inicial, o tempo final e o numero de pontos desejados que a planilha calcula automaticamente, o passo não interfere no resultado, portanto o usuário pode altera-lo sempre que desejar, o local para se inserir as variáveis para o calculo do passo está em destaque na figura 7:

(30)

Foi inserida informações sobre o sistema para que o usuário possa verificar se aquele sistema é o mais apropriada para ser utilizado, como mostrado na figura 8:

(31)

Para a verificação dos resultados é feito um gráfico de f(t,P) pelo tempo, para assim ser avaliado como esta a pressão dentro da câmara de vácuo, a figura 9 mostra o resultado obtido:

Figura 9 - Gráfico da pressão na câmara de vácuo pelo tempo

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

Pr e ssão n a Câ m a ra d e V á cu o (m b a r) Tempo(s)

Evolução temporal da pressão na câmara de vácuo

(32)

O resultado obtido é aceitável, já que pela teoria[1] a pressão tem que diminuir de acordo com o aumento do tempo.

A figura 10 mostra a velocidade de bombeamento da bomba em função da pressão, o resultado obtido foi igual a teoria, mostrando assim que o método de Runge-Kutta é muito confiável:

Figura 10 - Velocidade de Bombeamento em função da Pressão

0 1 2 3 4 5 6

0 200 400 600 800 1000

Veloc id ad e d e b o m b e am e n to (L/ s) Pressão(mbar)

Velocidade de Bombeamento em função da

pressão

Velocidade de

(33)

Foi realizado no laboratório de tecnologia do vácuo experimentos para que comprove a veracidade da planilha, sendo dedicado muito tempo para o desenvolvimento desse sistema, pois esse sistema servira como base para os sistemas futuros, portanto é necessário realizar ainda alguns testes teóricos e principalmente experimentais para que seja possível avançar.

2 .1.1. Testes realizados

Para uma maior confiabilidade da planilha, foram realizados testes para que fosse possível verificar a confiabilidade dos resultados e para proporcionar ao usuário um maior entendimento do sistema.

Os testes foram separados em quatro partes:

 Condutância e velocidade de bombeamento constante.

 Condutância variável e velocidade de bombeamento constante.

 Condutância constante e velocidade de bombeamento variável.

 Condutância e velocidade de bombeamento variável.

Sendo o volume da câmara de vácuo 100 litros, o throughput de 0.01 mbar*litro/segundo, excepcionalmente no primeiro caso (condutância e velocidade de bombeamento constate) velocidade de bombeamento efetivo de 5 litros/segundo, diâmetro do tubo de 2.5 cm e comprimento de 100cm.

2 .1.2. Primeiro teste

(34)

(35)

(36)

Figura 12 - Resultado obtido do teste 1

2 .1.3. Segundo teste

Para o segundo teste foi feito a condutância variável e a velocidade de bombeamento da bomba constante, sendo que para o teste foi utilizado diâmetro 2.5cm e comprimento 100cm, a formula utilizada para calculo da condutância utilizado foi:

( ) (30)

1,0E-02 2,0E+02 4,0E+02 6,0E+02 8,0E+02 1,0E+03 1,2E+03

0 50 100 150

(37)

Os dados utilizados no teste são mostrados na figura a seguir:

(38)

Os resultados obtidos foram satisfatórios, o resultado é o esperado levando-se em conta como balevando-se o gráfico do primeiro teste, pois como pode levando-ser oblevando-servado a pressão na câmera de vácuo demora mais para diminuir, já que a condutância diminui, fazendo assim com que a velocidade de bombeamento também diminua, os resultados podem ser visualizados na figura :

Figura 14 - Resultado do teste 2

0,00E+00 2,00E+02 4,00E+02 6,00E+02 8,00E+02 1,00E+03 1,20E+03

0,0 50,0 100,0 150,0

(39)

2 .1.3. Terceiro teste

O terceiro teste consistiu em manter a condutância fixa e a velocidade de bombeamento da bomba variável, sendo que a velocidade de bombeamento da bomba segue a seguinte equação:

(31)

Os dados utilizados podem ser verificados seguir:

(40)

Os resultados obtidos continuaram satisfatórios, levando-se como base os gráficos dos testes anteriores, como a velocidade de bombeamento da bomba tem o um valor mais significativo do que a condutância, sendo que a pressão do teste se inicia com a pressão de 1000mbar, a velocidade de bombeamento efetiva é mais afetada por essa variação, fazendo assim com que a pressão na câmara de vácuo demore mais para diminuir, os resultados obtidos podem ser visualizados na figura a seguir:

Figura 16 - Resultado do teste 3

2 .1.4. Quarto teste

O quarto teste realizado é o que se acontece na pratica, condutância e velocidade de bombeamento da bomba variável, os resultados obtidos mostraram que a planilha é muito confiável, fazendo assim com que os objetivos colocados fossem alcançados, a figura a seguir mostra os parâmetros utilizados para a realização do teste:

0 200 400 600 800 1000 1200

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

(41)

(42)

Nesse teste é possível visualizar os valores de algumas variáveis para uma verificação mais concreta dos resultados, variáveis que são, velocidade de bombeamento da bomba, velocidade de bombeamento efetiva, condutância, numero de Knudsen e o livre caminho médio:

(43)

Os resultados obtidos foram comparados com uma experiência feita no laboratório de vácuo, a curva mostrada pela planilha e a obtida experimentalmente são mostradas a seguir respectivamente:

(44)

Figura 23 – resultado do teste teórico

Foram destacados alguns pontos em comum entre os dois gráficos, com o valor obtido é possível verificar que são muito próximos.

2 .2. Sistema de vácuo com bomba roots

(45)

a bomba mecânica, o método de Runge-Kutta não muda em nada, porem, a bomba roots exige alguns parâmetros a mais que são importantes para o calculo, para a planilha foi utilizado os parâmetros da bomba roots modelo EH500A/E2M80 da Edwards, porem o usuário pode alterar o modelo da bomba sabendo-se os parâmetros do novo modelo.

Assim como na planilha da bomba mecânica, a planilha da bomba roots também mostra o sistema de vácuo utilizado para o usuário analisar se é o sistema

desejado, mostrado na figura 9:

Figura 20 - Sistema de vácuo com bomba roots

(46)

(32)

(47)

Figura 21 - Tabela de variáveis da bomba roots

(48)

Figura 22 - Velocidade de bombeamento em função do tempo

Os resultados obtidos estão satisfatórios, resultados que estão sendo comparados com experiências feitas no laboratório de tecnologia do vácuo, e também sendo comparado com o resultado dado pelo programa MathCad.

1 10 100 1000

0,00 0,00 0,10 10,00 1000,00

Veloc

id

ad

e

d

e

b

o

m

b

e

am

e

n

to

(l

/s)

Pressão (mbar)

Velocidade de Bombeamento da Bomba

Velocidade de

(49)

3 .0. Conclusão

Os resultados obtidos até o momento são aparentemente satisfatórios, coincidindo exatamente com a teoria.

Os pré-requisitos do trabalho estão sendo seguidos, com uma interface de fácil entendimento e o fácil uso da planilha.

O uso do método de Runge – Kutta se mostrou bastante eficiente para o cálculo de sistemas de vácuo por sua alta precisão, e por seu fácil entendimento, facilitando muito os cálculos.

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