Também conhecido como lógica nebulosa ou difusa

LÓGICA FUZZY

Também conhecido como lógica nebulosa ou difusa

Introdução

• Lógica que permite quantificar suas possibilidades.

• Base para se trabalhar com imprecisões

• Tradicionalmente, uma proposição lógica tem dois extremos: ou é completamente verdadeiro ou é

completamente falso, binário.

• Entretanto, na lógica Fuzzy, uma premissa varia em

grau de verdade de 0 a 1, o que leva a ser

Introdução

• Surgiu com Lofti A. Zadeh_, Berkeley (1965) – Para tratar do aspecto vago da informação

– 1978 – desenvolveu a Teoria das Possibilidades

• menos restrita que a noção de probabilidade

– Objetivo: ligar a linguística e a inteligência

Introdução

• Considerando a seguinte sentença: Joãozinho é alto.

• A proposição é verdadeira para uma altura de Joãozinho 1.65m?

• O termo linguístico “alto” é vago, como interpretá-lo?

Introdução

• Lógica convencional: sim/não, verdadeiro/falso

• Lógica Fuzzy (difusa ou nebulosa):

– Refletem o que as pessoas pensam

– Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de decisão ou senso comum

– Trabalha com uma grande variedade de informações

Características

• Baseia-se em palavras, ou seja, os valores verdades são expressos linguisticamente:

– Baixo, médio, alto, quente, frio, ..., e outros usados para definir estados de uma variável.

• Possui vários modificadores de predicados: – Muito, mais ou menos, pouco, bastante.

• Possui também um amplo conjunto de quantificadores:

Funções de Pertinência

• Todo um conjunto nebuloso é definido pela sua função de pertinência a qual mapeia os elementos de X para um

Funções de Pertinência

• Função Triangular:

• Função Trapezoidal:

• Função Gaussiana:

Conjuntos Fuzzy

• Definição formal: Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados:

• Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua

Conjuntos Fuzzy

• A função de pertinência µ_A(X) indica o grau de

compatibilidade entre X e o conceito expresso por A:

– µ_A(x) = 1, indica que x é completamente compatível com

A;

– µ_A(x) = 0, indica que x é completamente incompatível

com A;

– 0 < µ_A(x) < 1, indica que x é parcialmente compatível com A, com grau µ_A(x).

• Enquanto a lógica clássica:

– pode ser visto como um conjunto nebuloso específico;

– µ_A{0,1} pertinência do tipo “tudo ou nada”, “sim ou não” e não

Variáveis Linguísticas

• São o centro da técnica de modelagem dos sistemas nebulosos.

• Tripla (V,X,T) onde:

– V é o nome da variável linguística;

– X é o conjunto de referência;

– T é o conjunto de valores linguísticos que a variável V pode assumir;

0.2 0.8

(Variável linguística)

(Conjunto de Ref.)

Variáveis Linguísticas

• Uma variável linguística possui valores que não são números, mas sim palavras ou frases na

linguagem natural.

• Exemplo de variáveis linguísticas do conjunto altura com qualificadores:

Regras Nebulosas

• Permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semântica usada por

especialistas. Forma mais comum: SE/ENTÃO:

SE <antecedente> ENTÃO <consequente>

• Exemplo:

– SE “duração do projeto” == “não muito longo”

Operações sobre conjuntos Fuzzy

• A palavra “não” é dita “negação” da

sentença original. (complemento)

– NÃO-fuzzy( x ) = ( 1 – x ) (Zadeh, 1965)

• A palavra “e” representa a Intersecção de duas sentenças.

– E-fuzzy( x, y ) = Mínimo( x, y ) (Zadeh, 1965)

• A palavra “ou” representa a União das duas sentenças.

Operações sobre conjuntos Fuzzy

• Suponha que desejássemos representar de forma fuzzy a altura de Alice(1,65 m), Bob (1,75 m), Carlos(2,0m) e Denise(1,45 m). Nossas proposições serão da forma "X é alto", e serão:

– A = Alice é alta, μ(A) = 0,55

– B = Bob é alto, μ(B) = 0,75

– C = Carlos é alto, μ(C) = 1,0

– D = Denise é alta, μ(D) = 0,0

• Usando os operadores fuzzy, podemos escrever sentenças como:

– Carlos não é alto

• NÃO(C), μ(NÃO(C))= 1,0 - μ(C) = 0,0 – Bob não é alto,

• NÃO(B), μ(NÃO(B))= 1,0 - μ(B) = 0,25 – Denise é alta e Alice é Alta,

Operações sobre conjuntos Fuzzy

• A lógica está claramente associada a teoria dos conjuntos. Cada

afirmação (do tipo "Carlos é alto") representa na verdade o grau de pertinência de Carlos ao conjunto de pessoas altas.

• Isso permite que conjuntos como "alto" e "baixo" sejam tratados de forma separadas e afirmações como "Carlos é alto (0,75)" e "Carlos é baixo (0,5)" sejam válidas simultaneamente.

Sistemas Especialistas Fuzzy

• São sistemas baseados em regras que usam lógica Fuzzy para raciocinar sobre os dados

• Possuem a habilidade de codificar

conhecimento de forma próxima à usada

pelos especialistas

Sistema Fuzzy: Exemplo

• Determinar o tempo de irrigação de uma plantação (em minutos), de acordo com a

Passo 1: Fuzzificação

• Etapa onde as variáveis linguísticas são definidas de forma subjetiva.

• Engloba

– Análise do Problema – Definição das Variáveis

– Definição das Funções de pertinência – Criação das Regiões

• Na definição das funções de pertinência para cada variável, diversos tipos de espaço podem ser gerados:

Passo 1: Fuzzificação

• Se temperatura é fria e umidade é alta então irrigação é pequeno;

• Se temperatura é média e umidade é média então irrigação é médio;

• Se temperatura é fria e umidade é média então irrigação é médio;

Passo 1: Fuzzificação

• Valores numéricos são transformados em

graus de pertinência para um valor linguístico:

• Exemplo:

– Temperatura = 16 C

– Umidade = 58.5 %

Passo 2: Inferência

• Etapa na qual as proposições (regras) são definidas e depois são examinadas paralelamente.

• Engloba:

– Definição das proposições – Análise das Regras

Passo 2: Inferência

• Para Temperatura = 16 (C) e umidade = 58.5 (%), temos:

– Temperatura é fria com µ_t(16) = 0.4

– Temperatura é média com µ_t(16) = 0.6

– Temperatura é quente com µ_t(16) = 0

– Umidade é baixa com µ_u(58.5) = 0

– Umidade é média com µ_u(58.5) = 0.7

Passo 2: Inferência

• Se temperatura é fria e umidade é alta então irrigação é pequeno

– temperatura é fria = µ_t(16) = 0.4 – umidade é alta = µ_u(58.5) = 0.3

– irrigação é pequeno: E-fuzzy(0.4, 0.3) = Mínimo(0.4, 0.3) = 0.3

• Se temperatura é média e umidade é média então irrigação é médio

– Irrigação é médio: E-fuzzy(0.6, 0.7) = Mínimo(0.6, 0.7) = 0.6

• Se temperatura é fria e umidade é média então irrigação é médio

– Irrigação é médio: E-fuzzy(0.4, 0.7) = Mínimo(0.4, 0.7) = 0.4

• Se temperatura é quente e umidade é baixa então irrigação é grande.

Passo 2: Inferência

• Implicação:

1. irrigação é pequeno: 0.3

2. Irrigação é médio: 0.6

3. Irrigação é médio: 0.4

Passo 2: Inferência

• Quando várias regras inferem a mesma variável linguística, os resultados são agregados

• Obtém um único conjunto difuso, que descreve a saída do sistema

• Pra quê?

– Por que se espera que o sistema difuso produza uma única decisão.

• Usualmente, o operador de agregação é uma

Passo 3: Defuzzificação

• Etapa no qual as regiões resultantes são convertidas em valores para a variável de saída do sistema.

• Esta etapa corresponde a ligação funcional entre as regiões Fuzzy e o valor esperado.

• Dentre os diversos tipos de técnicas de defuzzificação destaca-se:

– Centróide

– Primeiro dos máximos

– Média dos máximos

Passo 3: Defuzzificação

• Centróide:

– O valor da saída é o centro de gravidade.

• Método do Primeiro dos Máximos:

– O valor da saída é o primeiro ponto entre os valores que tem o maior grau de pertinência inferido pelas regras;

• Método do Média dos Máximos:

Passo 3: Defuzzificação

z₀ z₀ z₀

Passo 3: Defuzzificação

Primeiro MAX: O valor de saída seria 50 min de irrigação

Sistema Fuzzy: Outro exemplo

• Objetivo do sistema:

– um analista de projetos de uma empresa quer determinar o risco de um determinado projeto.

– Quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas no projeto.

• Base de conhecimento

– Se dinheiro é adequado ou pessoal é baixo então risco é pequeno.

– Se dinheiro é médio e pessoal é alto, então risco é normal.

– Se dinheiro é inadequado, então risco é alto .

• Problema:

Passo 1: Fuzzificação

• µ_i(35) = 0,75

• µ_m(35) = 0,25

• µ_ad(35) = 0

• µ_b(60) = 0,20

Passo 2: Inferência

• Se dinheiro é adequado ou pessoal é baixo então risco é pequeno

– dinheiro é adequado = µ_ad(35) = 0

– pessoal é baixo = µ_b(60) = 0,20

– risco é pequeno: MAX(µ_ad(35), µ_b(60)) = 0,20

• Se dinheiro é médio e pessoal é alto, então risco é normal

– dinheiro é médio = µ_m(35) = 0,25

– pessoal é alto = µ_a(60) = 0,80

– risco é normal: MIN(µ_m(35), µ_a(60)) = 0,25

• Se dinheiro é inadequado, então risco é alto

Passo 2: Inferência (graficamente)

Pequeno Normal Alto

Pequeno Normal Alto

Passo 2: Inferência

• Conjunto de valores obtidos aplicando as regras:

1. risco é pequeno: 0,20

2. risco é normal: 0,25

Passo 3: Defuzzificação

• Vamos utilizar o centro de gravidade dessa vez para obter a saída:

Risco Gr au d e pe rti n ên ci a 1 0.75 0.20

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Passo 3: Defuzzificação

• Seja C a função de calculo do centróide. De

forma discreta, temos:

C = σ_σµ_µr 𝑥 𝑥

r 𝑥

C = σµr 𝑥 𝑥

σµ_r 𝑥 =

10+20+30+40 ∗0,2+ 50+60+70 ∗0,25+ 80+90+100 ∗0,75

0,2+0,2+0,2+0,2+0,25+0,25+0,25+0,75+0,75+0,75 = 70,4

Risco Gr au d e pe rti n ên ci a 1 0.75 0.20

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Centróide: O valor de saída seria 70,4%

Aplicações

• Sistemas baseados em lógica fuzzy podem ser usado para gerar estimativas, tomadas de

decisão, sistemas de controle mecânico... – Automação e controle

– Previsão de séries temporais

– Reconhecimento de padrões

– Automação industrial

Aplicações

• O Japão é um dos maiores utilizadores e difusores da lógica fuzzy.

– O metrô da cidade de Sendai utiliza desde 1987 um sistema de controle fuzzy.

– Aspiradores de pó e máquinas de lavar da empresa Matsushita

-carrega e ajusta automaticamente à quantidade de detergente necessário, a temperatura da água e o tipo de lavagem.

– TVs da Sony utilizam lógica fuzzy para ajustar automaticamente o contraste, brilho, nitidez e cores.

– A Nissan utiliza lógica fuzzy em seus carros no sistema de transmissão automática e freios antitravamento.

– Mitsubishi tem um ar condicionado industrial que usa um controlador fuzzy. Economiza 24% no consumo de energia.

– Câmeras e gravadoras usam fuzzy para ajustar foco automático e

Bibliotecas Fuzzy

• Softwares para auxílio a projeto e implementação de Sistemas Fuzzy:

– Fuzzy Toolbox do Matlab

– SciFLT for Scilab (free)

– X-Fuzzy (free)

– FuzzyClips (free, API para Java)

– FLIE (Fuzzy Logic Inference Engine) do Fabro...

Referências

• https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/M S580/

• https://www.mathworks.com/products/fuzzy-logic.html

• https://atoms.scilab.org/

• http://www2.imse-cnm.csic.es/Xfuzzy/

• https://en.wikipedia.org/wiki/FuzzyCLIPS

• https://github.com/joaofabro/FLIE