MAT - 0122 - Álgebra Linear I Bacharelato Física - Diurno
Exercícios para a 2ªProva
Paulo F. Leite
com a colaboração de Jéssica S. Paixão
março de 2012
1 Exercícios para a Segunda Prova
Obs. Nesta folha, salvo menção explícita em contrário, todos os espaços vetorias tem dimensão nita e os escalares são números reais.
1. Seja V −−−−→T V um operador linear e u e v vetores próprios de T associados a valores próprios distintos de T, isto é, T(u) = au e T(v) = bv com a 6= b. Prove que u e v são vetores linearmente independentes.
2. Prove que o exercício anterior continua válido para um número nito de vetores proprios associados a valores próprios dois a dois distintos entre si.
3. Prove que o polinômio característico de T não depende da base na qual se escreve a matriz de T.
4. Seja V −−−−→T V um operador linear e λ um número real.
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5. Calcule os valores próprios da matriz
1 1 c 0 2 0 1 a 2 0 0 0 8 b d 0 0 0 4 f 0 0 0 4 8
e determine respectivamente suas multiplicidades algébricas e geo- métricas.
Seja Vλ={x∈V :T(x) =λx}. Mostre queVλ é um subspaço vetorial de V. Se λ é raiz do polinômio característico de T, isto é, se λ é um valor próprio deT, a dimensão deVλchama-se multiplicidade geométrica do valor próprio λ.
6. Mostre que se A ∈ Mn×n(IR) é tal que ∀X ∈ Mn×n(IR) AX = XA, então A é uma matriz diagonal.
Sugestão: demostre inicialmente o resultado para n=3 e n=4 7. Seja V um espaço vetorial de dimensão nita sobre os reais IR e E, F
e G={g1,g2,· · ·gn} bases de V.
Mostre que se [gi]E= [gi]F i =1, 2, . . .n, então E=F.
8. Seja IR3 −−−−→T IR3 um operador denido por: T(e1) =e1, T(e2) =e2 e T(e3) = e1+2e3. Mostre que T é diagonalizável e determine, em função da base E uma base F em relação a qual a matriz de T é uma matriz diagonal.
9. Mostre que a matriz 1 1 0 1
!
não é diagonalizável.
10. Quais são as multiplicidades algébricas e geometricas do valor próprio 1 da matriz do exercício anterior?
2
11. Para que valores de a e b a matriz
1 1 −1 3
0 2 a 2
0 0 8 b
0 0 0 4
é diagonalizavel?
12. Mostre que a matriz
1 1 c 0 0 1 a 2 0 0 8 b 0 0 0 4
não é diagonalizavel para nenhum valor de a e be c.
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