Uma Introdução ao Método dos Elementos Finitos e suas aplicações

Uma Introdução ao Método dos Elementos Finitos e suas aplicações

Marco Alexandre Claudino

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado Instituto de Matemática e Estatística ao

Universidade de São Paulo da obtenção do título para

Bacharel em Matemática Aplicada e Computacional de

Orientador: Prof. Dr. Nelson Mugayar Kuhl

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio nanceiro da Reitoria da Universidade de São Paulo.

São Paulo, 13 de dezembro de 2012

Esta é a versão original do trabalho de conclusão de curso elaborado pelo candidato Marco Alexandre Claudino, tal como submetido à banca avaliadora.

Banca avaliadora:

• Prof. Dr. Nelson Mugayar Kuhl (orientador) - IME - USP

• Prof. Dr. Alexandre Megiorin Roma - IME - USP

• Prof. Dr. Saulo Rabello Maciel de Barros - IME - USP

Agradecimentos

Primeiramente, agradeço a Deus pela saúde, pela coragem e pela fé que sempre me guiou frente aos momentos mais complicados da vida.

Aos meus pais, Marco e Oneide, e minha irmã, Cristiane pelo apoio incondicional dado durante toda a graduação.

A minha noiva Stefany pelo carinho, atenção e paciência tidos comigo.

Aos companheiros de graduação Guilherme Silva Salomão, Willian Hans Corrêa (79), Lucas Reis e Eli Enrico Carnette pela companhia durante a jornada acadêmica.

Ao professor Nelson Mugayar Kuhl, pelos valorosos conselhos dados durante as reuniões de iniciação cientíca.

Aos professores Alexandre Megiorin Roma, Celso Massatoshi Furukawa (POLI), Daniel Victor Tausk, Fabio Armando Tal, Fabio Gagliardi Cozman (POLI), Leonidas de Oliveira Brandão, Luis Carlos de Castro Santos, Maria Izabel Ramalho Martins, Newton Maruyama (POLI), Orlando Francisco Lopes, Sônia Regina Leite Garcia e Zara Issa Abud cujos conhecimentos transmitidos em aula foram muito importantes para o meu crescimento acadêmico. Destaco também os alunos de pós graduação Álvaro Junio Pereira Franco e Rodrigo Roque Dias com os quais tive contato nos cursos de verão do IME.

i

E apesar de tudo a esperança não se desfaz Olhando a or que nasce no chão daquele que tem amor Olho pro céu e sinto crescer a fé no meu salvador Jesus Cristo"

Roberto Carlos

Resumo

Claudino, M.A. Uma Introdução ao Método dos Elementos Finitos e suas aplicações.

2012. 85 f. Trabalho de Conclusão de Curso - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2012.

O Método dos Elementos Finitos (MEF) trata-se de um método numérico que busca obter uma aproximação da equação diferencial sobre cada componente de uma malha de partições do domínio (os chamados elementos) utilizando funções de interpolação construídas sobre cada um deles. Este trabalho procura realizar uma primeira apresentação do MEF enfatizando alguns aspectos com- putacionais do problema e apresenta algumas simulações computacionais de problemas envolvendo distribuição de calor em regime estacionário e elasticidade linear. A construção do trabalho segue de perto a obra [FB07] na apresentação do método e é complementada com aspectos computacionais.

Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos, Equações Diferenciais Parciais, Modelagem Ma- temática.

iii

Sumário

Lista de Abreviaturas vii

Lista de Símbolos ix

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiii

1 Introdução 1

1.1 Pré-Requisitos. . . 1

1.2 Construção do método e denições iniciais . . . 1

1.3 Organização do Trabalho. . . 2

2 Introdução ao Método dos Elementos Finitos Unidimensional 5 2.1 Formulações do Problema Unidimensional . . . 5

2.2 Tipos de elementos e aproximações . . . 7

2.3 Formulação geral do método para problemas unidimensionais . . . 9

2.3.1 Elementos Lineares . . . 11

2.3.2 Elementos Quadraticos. . . 13

2.3.3 Elementos de ordemk . . . 15

3 Aspectos computacionais do problema unidimensional 19 3.1 Integração Numérica . . . 19

3.1.1 Quadratura de Gauss-Legendre . . . 19

3.2 Armazenamento do Sistema Linear . . . 23

3.3 Resolução de sistemas lineares com estrutura de banda . . . 24

3.3.1 Elementos com dois nós . . . 24

3.3.2 Elementos com três nós . . . 25

3.3.3 Elementos comknós . . . 26

3.4 Convergência numérica do algoritmo . . . 27

4 Simulações unidimensionais 29 4.1 Apresentação do Problema . . . 29

4.1.1 Resolução com o uso de Elementos Lineares . . . 30

4.1.2 Resolução com o uso de Elementos Quadraticos . . . 31

v

5 Introdução ao Método dos Elementos Finitos bidimensional 35

5.1 Formulações do Problema . . . 35

5.2 Tipos de elementos e aproximações . . . 38

5.2.1 Elemento Triangular com três nós. . . 39

5.2.2 Coordenadas Triangulares . . . 41

5.3 Formulação geral do método para problemas bidimensionais . . . 43

5.3.1 Geração da Matriz Global de Rigidez e do Vetor Global de Forças . . . 44

6 Aspectos computacionais do problema bidimensional 45 6.1 Geração da malha do problema . . . 45

6.1.1 Dados de Entrada . . . 45

6.1.2 Dados de Saída . . . 46

6.2 Quadraturas numéricas para problemas bidimensionais . . . 47

6.2.1 Integração sobre elementos triangulares . . . 48

6.3 Armazenamento de matrizes esparsas . . . 48

6.4 Método dos Gradientes Conjugados (MGC) . . . 49

6.4.1 Idéia do Método . . . 49

6.4.2 Critério de Parada . . . 50

6.4.3 Propriedades do Método . . . 50

6.4.4 Algoritmo do Método . . . 51

6.4.5 Pré-condicionamento do sistema . . . 52

6.5 Convergência numérica do algoritmo . . . 52

7 Simulações bidimensionais 53 7.1 Problema de Poisson no Quadrado . . . 53

7.1.1 Simulação Computacional . . . 54

7.1.2 Análise de erro . . . 54

7.1.3 Ordem de convergência do Método . . . 55

7.2 Distribuição de calor em uma chaminé . . . 56

7.2.1 Modelagem do Problema. . . 56

7.2.2 Simulação Computacional . . . 58

7.2.3 Análise dos resultados obtidos. . . 59

7.3 Análise de deformações . . . 60

7.3.1 Cinemática . . . 60

7.3.2 Tensões e trações . . . 61

7.3.3 Equilíbrio . . . 62

7.3.4 Aplicação do Método dos Elementos Finitos . . . 62

7.3.5 Utilização de aproximações lineares em elementos triangulares com três nós . 63 7.3.6 Simulação Computacional . . . 65

Referências Bibliográcas 69

Lista de Abreviaturas

CSR Compactação esparsa por linhas (Compressed Sparse Row) MDF Método das Diferenças Finitas (Finite Dierence Method) MEF Método dos Elementos Finitos (Finite Element Method)

MGC Método dos Gradientes Conjugados (Conjugate Gradient Method)

vii

Lista de Símbolos

Ω Domínio do Problema Γ Contorno do domínio Ω

Γ_e Trecho do contorno onde é conhecida a solução do problema (Condição de Dirichlet) Γn Trecho do contorno onde é conhecida a componente normal da derivada da função

(Condição de Neumann)

Kⁱ Matriz de rigidez do i-ésimo elemento

f_Ωⁱ Vetor de forças de campo do i-ésimo elemento f_Γⁱ Vetor de forças de contorno do i-ésimo elemento K Matriz de rigidez global

fΩ Vetor global de forças de campo f_Γ Vetor global de forças de contorno

ix

Lista de Figuras

2.1 Funções teste para elementos lineares . . . 8

2.2 Funções teste para elementos quadráticos . . . 9

2.3 Partição do domínio para elementos lineares. . . 11

2.4 Partição do domínio para elementos quadrático. . . 13

2.5 Partição do domínio para elementos de ordem k. . . 16

3.1 Matriz com propriedade de banda. . . 23

4.1 Visualização do problema . . . 29

4.2 Aproximações obtidas com elementos lineares para 2, 4, 8 e 16 elementos. A solução exata é dada pela curva azul e as aproximações são dadas pelas curvas vermelhas. . . 30

4.3 A direita temos o gráco da aproximação obtida e a esquerda o gráco da solução exata. . . 31

4.4 Erro cometido na aproximação com fator de escala 1e+12. . . 32

4.5 As curvas em vermelho apresentam as aproximações numéricas e as curvas em azul os valores da solução do problema. . . 33

5.1 Dois elementos quaisquer possuem em comum apenas o segmento que os une. . . 38

5.2 Elemento triangular de três nós . . . 39

5.3 Continuidade entre elementos adjacentes . . . 40

5.4 Coordenadas triangulares de um ponto P. . . 41

5.5 Triângulo de referência em coordenadas triangulares . . . 42

5.6 Montagem da matriz global de rigidez e do vetor global de forças. [Fla] . . . 44

6.1 Arquivo de entrada para o EasyMesh do problema 7.8. . . 46

6.2 Dados do arquivo entrada.e . . . 47

6.3 Dados do arquivo entrada.s . . . 47

7.1 Visualização das aproximações numéricas obtidas.. . . 54

7.2 Renamento da malha de domínio do problema. . . 55

7.3 Comportamento da ordem estimada do método em relação ao número de iterações de renamento de malha do problema. . . 56

7.4 Modelagem matemática do problema [FB07]. . . 57

7.5 Modelagem do problema. . . 58

7.6 Renamento da malha de domínio do problema. . . 59

7.7 Distribuição da temperatura com o MEF utilizando 1844 elementos triangulares. . . 60 xi

7.8 Descrição do problema que será abordado: a chave inglesa encontra-se presa a um parafuso que não se movimenta enquanto sofre a ação de uma força constante. . . 60 7.9 Visualização dos componentes do deslocamento [FB07].. . . 61 7.10 Visualização dos componentes da tensão [FB07]. . . 62 7.11 Visualização dos componentes das forças em equilíbrio no quadrado unitário [FB07]. 62 7.12 Componentes do deslocamento em cada nó do elemento triangular. . . 64 7.13 Particionamento do domínio em elementos triangulares com constante de renamento

igual a 0.25. . . 65 7.14 Enumeração dos nós da malha com constante de renamento igual a 0.25. . . 66 7.15 Enumeração dos elementos da malha com constante de renamento igual a 0.25.. . . 66 7.16 Norma do deslocamento ocorrido em cada ponto do domínio utilizando-se da malha

com constante de renamento igual a 0.25. . . 67 7.17 Visualização do deslocamento da chave com um fator de escala 10⁴ (malha com

constante de renamento igual a 0.25). . . 67

Lista de Tabelas

3.1 Nós da quadratura de Gauss-Legendre e suas ponderações. . . 22 4.1 Erros obtidos na simulação utilizando elementos lineares. . . 31 4.2 Erros obtidos na simulação utilizando elementos quadráticos. . . 33 6.1 Nós da quadratura de Gauss-Legendre e suas ponderações para domínios triangulares 48 7.1 Dados obtidos com o renamento da malha. . . 55 7.2 Dados obtidos com o renamento da malha do problema, onde n(i), e(i) e h(i)

representam a quantidade de nós, o erro máximo obtido e o tamanho h obtido na malha i, respectivamente. . . 56 7.3 Temperaturas (em^◦C) obtidas na análise do problema com renamento da malha. . 59 7.4 Deslocamento obtido em alguns pontos da chave com fator de escala 10⁴.. . . 66

xiii

Capítulo 1

Introdução

"O chamado Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em diferentes métodos numéricos que aproximam a solução de problemas de valor de fronteira descritos tanto por equações diferenciais ordinárias quanto por equações diferenciais parciais através da subdivisão da geometria do problema em elementos menores, chamados elementos nitos, nos quais a aproximação da solução exata pode ser obtida por interpolação de uma solução aproximada. Atualmente o MEF encontra aplicação em praticamente todas as áreas de engenharia, como na análise de tensões e deformações, transferência de calor, mecânica dos uidos e reologia, eletromagnetismo, etc..." [Shi]. Tal descrição é basicamente encontrada em livros, artigos e outros materiais que abordam o Método dos Elementos Finitos.

De fato, obter a solução destes problemas sob a forma fechada costuma ser um trabalho bastante complicado (e algumas vezes impossível) de forma que faz-se necessário o uso de aproximações numéricas da solução do problema. Neste contexto, a primeira técnica normalmente apresentada é o Método das Diferenças Finitas (MDF).

Outra possível estratégia bastante utilizada é a aplicação do Método dos Elementos Finitos (MEF). Trata-se de um método numérico que busca obter uma boa aproximação da solução da equação diferencial sobre cada componente de uma malha de partições do domínio (os chamados elementos) utilizando funções de interpolação construídas sobre cada um deles.

Uma das diculdades do estudo do MEF reside nas diferentes abordagens feitas ao método: sob o enfoque da engenharia o método é tratado como uma técnica de modelagem de problemas. Por outro lado, sob o enfoque matemático, o método é apresentado como a minimização de um certo funcional em um determinado espaço de funções. Ambos os tratamentos apresentam complicacões e podem ser bastante trabalhosos para um aluno em início de graduação.

Desta forma, o objetivo deste trabalho é realizar uma primeira apresentação do MEF enfatizando alguns aspectos computacionais do problema e apresentando algumas simulações computacionais de problemas envolvendo distribuição de calor em regime estacionário e elasticidade linear. A cons- trução do trabalho segue de perto a obra [FB07] na apresentação do método e é complementada com aspectos computacionais.

1.1 Pré-Requisitos

Durante a elaboração deste trabalho procuramos utilizar apenas de ferramentas normalmente apresentadas nos cursos de cálculo vetorial e análise numérica, enfatizando as idéias utilizadas e os conceitos importantes. Desta forma, temos que tais pré-requisitos são aconselháveis, porém não indispensáveis para o entendimento do conteúdo apresentado.

1.2 Construção do método e denições iniciais

A construção do MEF divide-se basicamente em três partes: a obtenção da formulação fraca do problema em estudo, a construção das funções teste e de ponderação e a resolução do sistema linear associado.

1

Iremos iniciar o estudo do método analisando sua aplicação em equações diferenciais ordinárias e depois, utilizando as idéias desenvolvidas, iremos generalizar a aplicação para equações diferenciais parciais, onde o nosso foco serão as equações elípticas.

Para isto, apresentaremos aqui algumas denições e terminologias que serão utilizadas durante o texto:

• Formulação forte: Dizemos que um dado problema encontra-se em sua formulação forte quando apresentado por uma equação diferencial denida sobre um determinado domínio Ω (Ω ⊂ R no caso unidimensional ou Ω ⊂ R² no caso bidimensional) e são fornecidas tam- bém determinadas condições sobre a função na fronteira deΩ, denotada por Γ. O trecho da fronteira onde a condição fornecida é o próprio valor da função sera denominado condição de contorno essencial (Γ_e) do problema, enquanto que o trecho onde a condição fornecida envolve a derivada da função será denominado condição de contorno natural (Γn) do pro- blema. Tal terminologia vem do fato de que as condições naturais surgem automaticamente da equivalência entre uma formulação fraca do problema e a formulação forte, enquanto que a condição essencial deve estar presente em ambas as formulações.

• Formulação fraca: Dizemos que um problema encontra-se em sua formulação fraca quando descrito por uma formulação integral onde o integrando satisfaz a uma determinada proprie- dade.

Salientamos aqui que esta terminologia não é exclusiva: existem diversas formulações conside- radas forte na literatura, assim como existem outras consideradas formulações fracas. Porém, o uso de tais terminologias fez-se necessário, uma vez que o trabalho buscou acompanhar de perto a obra [FB07] no aspecto da apresentação da teoria do método, complementando-a apenas na exem- plicação do método das simulações computacionais.

1.3 Organização do Trabalho

Iniciamos nosso estudo do MEF apresentando a construção e a aplicação do método em equações diferenciais ordinárias. O Capítulo2apresenta como obter a formulação fraca associada ao problema, aborda a geração dos elementos unidimensionais e a construção das aproximações sobre cada um deles. Ao nal, apresentamos como é gerado o sistema linear que fornece os coecientes a serem utilizados na aproximação global do problema.

No Capítulo 3 abordamos aspectos computacionais ligados ao problema unidimensional como a solução numérica das integrais obtidas da formulação fraca, o armazenamento de forma eciente da matriz de rigidez do sistema e as técnicas para resolução do sistema linear, utilizando-se da estrutura de banda do sistema. Ao nal, é apresentada uma estratégia numérica para avaliarmos o comportamento do erro em função do renamento da malha de elementos.

Em seguida, o Capítulo 4 apresenta os resultados da simulação de um problema (extraido de [FB07]) envolvendo distribuição de calor em uma barra.

No Capítulo5é feita a introdução ao MEF bidimensional, com a construção da formulação fraca equivalente, a obtenção das funções teste sobre elementos triangulares e a construção do sistema linear associado.

Já o Capítulo 6 aborda os aspectos computacionais relativos aos problemas bidimensionais, como a utilização de um gerador de malhas triangulares, quadraturas numéricas para a avaliação de integrais duplas sobre regiões triangulares e o Método dos Gradientes Conjugados (MGC) para a resolução do sistema linear associado ao problema bidimensional. Por m, generalizamos a estratégia apresentada anteriormente para avaliarmos o comportamento do erro em relação ao renamento da malha de estudo.

Por m, no Capítulo 7apresentamos três simulações utilizando o MEF: um problema de Pois- son em um quadrado unitário, o problema da condução de calor em uma chaminé e a análise da deformação sofrida por uma chave inglesa após a ação de uma força constante.

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 3 O uxograma a seguir descreve a construção do trabalho mostrando os passos a serem executa- dos para a aplicação do MEF.

Formulação forte do problema

Formulação fraca do problema

Geração da malha de elementos Geração das

matrizes locais de rigidez

Cálculo das matrizes de rigidez locais

Geração dos vetores locais

de força de campo e de contorno

Cálculo dos vetores de forças locais Geração da

matriz global

de rigidez Geração do

vetor global de forças Resolução

do Sistema Kd = f

Obtenção do valor da apro-

ximação por interpolação Ponto de interesse

Aproximação obtida

Capítulo 2

Introdução ao Método dos Elementos Finitos Unidimensional

2.1 Formulações do Problema Unidimensional

Para os modelos que serão abordados neste capítulo, dizemos que um problema encontra-se em sua formulação forte quando a equação diferencial ordinária é apresentada da seguinte forma:

- Obter u: [0, l]→Rde classeC² que satisfaça as seguintes condições:

d

dx p(x)^du_dx

=f(x), ∀x∈(0, l) (2.1)

p(x)du dx

x=0 =t0 (2.2)

u

x=l =u₀ (2.3)

onde p(x) ef(x) são funções suaves,p(x)>0,0≤x≤l,u₀ e t₀∈R.

Para desenvolvermos as equações do Método dos Elementos Finitos devemos inicialmente re- formular o problema, de maneira a escrevê-lo como uma formulação integral, a qual denominamos formulação fraca.

A obtenção da formulação fraca inicia-se pela escolha de uma função w : [0, l]→ R, de classe C¹, denominada função peso (ou função de ponderação), que é escolhida de maneira arbitrária satisfazendo a propriedade de quew(l) = 0.

Após a escolha da função peso, multiplicamos as equações (2.1) e (2.2) por w e integramos o primeiro produto obtido no domínio do problema. Assim, obtemos:

Z l 0

w(x) d dx

p(x)du

dx

dx= Z l

0

w(x)f(x)dx; (2.4)

w(x)p(x)du dx

x=0 =w(0)t0 (2.5)

Utilizando integração por partes no termo a esquerda de (2.4), temos que:

Z l 0

w(x) d dx

p(x)du

dx

dx=

w(x)p(x)du dx

l 0−

Z l 0

dw

dx p(x)du dx

dx (2.6)

5

Como

w(x)p(x)^du_dx

l

0 =

=0,poisw(l)=0

z }| { w(x)p(x)du

dx

x=l−w(x)p(x)^du_dx x=0

=−w(x)p(x)^du_dx

x=0 =−w(0)t₀

(2.7)

e assim, das equações (2.4) e (2.7), temos que:

Z l 0

dw

dx p(x)du dx

dx=− Z l

0

w(x)f(x)dx−w(0)t0. (2.8) Desta forma, dizemos que um problema encontra-se em sua formulação fraca quando é apresen- tado da seguinte forma:

- Obter u: [0, l]→R , de classeC² comu(l) =u₀ que satisfaça:

Z l 0

dw

dx p(x)du dx

dx=− Z l

0

w(x)f(x)dx−w(0)t0,∀w:w(l) = 0, (2.9) onde w: [0, l]→Rde classeC¹.

Um questionamento natural a ser feito é sobre a equivalência entre as duas formulações. De fato, provamos que a uma função que satisfaz a formulação forte satisfaz a formulação fraca. Vamos agora provar que uma solução da formulação fraca também satisfaz a formulação forte.

Para isso, simplesmente iremos inverter os passos realizados para a obtenção da formulação fraca. Ao invés de utilizarmos a integração por partes para eliminar a segunda derivada de u(x) invertemos a fórmula para obter uma integral com uma derivada maior e um termo de contorno.

Assim, reorganizando os termos de (2.6) obtemos:

Z l 0

dw

dx p(x)du dx

dx=

w(x)p(x)du dx

l 0−

Z l 0

w(x) d dx

p(x)du

dx

dx. (2.10) Substituindo (2.10) em (2.9) e reorganizando os termos, obtemos:

Z l 0

w

p(x)du dx

−f(x)

dx−w(x)(t0−p(x)du dx)

x=0 = 0,∀w:w(l) = 0. (2.11) Devido a arbitrariedade da função peso, tomamos w(x) da forma

w(x) =ψ(x) d

dx

p(x)du dx

+f(x)

, (2.12)

em que ψ(x) é uma função suave comψ(x)>0,∀x ∈(0, l) e ψ(x) = 0nos contornos. Uma função ψ(x) que tem essas propriedades, por exemplo, é a função ψ(x) = x(l−x). Desta forma, temos que a condiçãow(l) = 0no contorno essencial é automaticamente satisfeita e, assim,w(x) pode ser escolhida como uma função peso. Aplicando (2.12) em (2.11), obtemos:

Z l 0

ψ(x) d

dx

p(x)du dx

+f(x) 2

dx= 0. (2.13)

Devido a construção da função peso, temos que o termo de contorno desaparece, poisw(0) = 0.

Como o integrando acima é o produto de uma função positiva e o quadrado de uma função, segue que ele é positivo em cada ponto do domínio do problema. Desta forma, a igualdade (2.13) ocorre se, e somente se o integrando for igual a zero em cada um dos pontos do domínio, obtendo novamente (2.1). Por outro lado, sendo a igualdade (2.13) vericada, temos de (2.11) que:

w(x)(t0−p(x)du dx)

x=0 = 0,∀w:w(l) = 0. (2.14)

2.2 TIPOS DE ELEMENTOS E APROXIMAÇÕES 7 Como a função peso é arbitrária, podemos tomá-la de maneira que w(0) = 1obtendo então que a condição de contorno natural (2.2) é satisfeita.

A última equação da formulação forte (2.3) é satisfeita por todas as funções teste que satisfazem a formulação fraca, pois exigimos queu(l) =u₀.

Concluimos então que as funções que satisfazem a formulação fraca satisfazem também a for- mulação forte. Observe que as provas de equivalência estão fortemente baseadas no fato de que a formulação fraca é válida para qualquer função sucientemente diferenciável e que a função peso é arbitrariamente escolhida, porém, tomamos a liberdade de escolher uma que satiszesse as condições que necessitavamos para a conclusão do resultado.

Um fato importante a ser enfatizado é a suavidade das funções envolvidas na solução da formu- lação fraca do problema. Se as funções teste e as funções peso forem muito irregulares, em relação a descontinuidades, temos que a aplicação da formulação fraca torna-se bastante complicada. Por outro lado, se uma dada função que satisfaz a formulação fraca não for duas vezes diferenciavel em algum ponto do domínio, temos que tal função não satisfaz a formulação forte. Desta forma, podemos observar que a formulação fraca permite relaxar as hipóteses sobre a solução do problema o que a torna, neste sentido, uma formulação mais geral do problema.

2.2 Tipos de elementos e aproximações

Iniciamos a aplicação do MEF por meio da colocação de nós no intervalo de estudo e pela divisão do domínio do problema em elementos. Em cada um destes elementos, construimos funções espe- cícas, as quais denominamos funções teste, de forma que a aproximação obtida em cada elemento consiste numa combinação linear das funções teste. Tais funções são escolhidas cuidadosamente, de maneira a obter a convergência do método.

Não apresentaremos aqui a análise matemática que aborda a convergência analítica do método mas, seguindo a teoria do método, as funções escolhidas devem ser sucientemente diferenciáveis e apresentar boas propriedades operacionais. Como funções polinomiais são innitamente diferenciá- veis e sua a integração é facilmente calculável, iremos tomar tanto as funções peso como as funções de teste como polinômios.

Antes de analisarmos como obter os polinômios para as funções peso e as funções teste, vamos apresentar agora algumas notações que serão frequentemente utilizadas.

Denimos como domínioΩdo problema o intervalo[0, l]. Um elemento emΩé um subintervalo denotado porΩi, i= 1,2,· · ·, n_el , formado por partições do domínio contendo uma quantidade n de pontos da malha, onde

Ω_i= [x_k, x_k+n], x_k∈Ω, k= 1,2,· · · ,(n_t−n)

nel

[

i=1

Ωi = Ω = [0, l]

onde nté o número total de pontos do domínio e nel é o número elementos emΩ.

Sendo Ω um intervalo em R, temos que a fronteira do domínio é constituída por dois pontos.

Denotamos por Γ_n o ponto da fronteira onde é conhecida a condição natural e Γ_e o ponto onde é conhecida a condição essencial do problema. A nomenclatura dada vem do fato de que a condição de contorno essencial deve ser fornecida em ambas as formulações enquanto que a condição de contorno natural surge naturalmente na demonstração da equivalência entre as formulações.

Dada uma malha de pontos emΩ, a aproximação global por elementos nitos será indicada por u^h(x), ondeh refere-se a maior distância entre dois pontos da malha. A restrição da aproximação ao elemento eserá indicada por u^e(x), sendo que iremos impor a condição deu^e(x) = 0 sex /∈Ω^e. Para a indicação dos nós pertencentes a cada um dos elementos, usaramos o índice inferior. Assim, por exemplo, x^j₁ representa o nó 1 do j-ésimo elemento.

Na construção de uma aproximação por elementos nitos, nosso objetivo é construir um po- linômo que aproxime bem a solução do problema em cada um dos elementos do domínio. Desta forma, temos que para cada elemento iremos construir um polinômio u^e(x) da forma

u^e(x) =

γ₀^e+γ₁^ex+γ₂^ex²+· · ·, sex∈Ω^e

0, sex /∈Ω^e (2.15)

onde os γ^e_i ∈ R, i = 0,1,2,· · · são constantes escolhidas de maneira que não ocorram saltos na aproximação obtida sobre o ponto comum a dois elementos consecutivos. Desta forma, para uma malha contendon pontos por elemento e nel elementos, a igualdade u^e(x^e_n) =u^e+1(x^e+1₁ ) deve ser vericada parae= 1,2,· · ·,(n_el−1).

É possível também desenvolver funções teste de forma que as derivadas nos contornos dos elementos sejam iguais e a aproximação obtida seja de classe C¹. No entanto, iremos enfatizar a utilização de funções teste contínuas, isto é, de classe C⁰.

A construção das funções teste de classe C⁰ em uma dimensão são facilmente obtidas por meio dos Interpoladores de Lagrange que consistem em polinômios denidos em intervalos do domínio sobre um determinado número de pontos, neste caso, os nós do intervalo. Vamos exemplicar a obtenção das funções teste para elementos com dois e três pontos e, em seguida, iremos generalizar a idéia utilizada paran pontos.¹

• Funções teste lineares: Consideramos elementos que possuem dois pontos x^e₁ e x^e₂ e duas funções teste, denidas por:

N₁^e(x) = (x−x^e₂) (x^e₁−x^e₂) N₂^e(x) = (x−x^e₁)

(x^e₂−x^e₁)

Figura 2.1: Funções teste para elementos lineares

• Funções teste quadráticas: Consideramos elementos que possuem três pontos x^e₁, x^e₂ e x^e₃ e três funções teste, denidas por:

N₁^e(x) = (x−x^e₂)(x−x^e₃) (x^e₁−x^e₂)(x^e₁−x^e₃) N₂^e(x) = (x−x^e₁)(x−x^e₃)

(x^e₂−x^e₁)(x^e₂−x^e₃) N₃^e(x) = (x−x^e₁)(x−x^e₂)

(x^e₃−x^e₂)(x^e₃−x^e₁)

1Em grande parte da literatura os elementos onde são denidas as funções teste são denotados pelas propriedades das funções teste, isto é, elementos cujas funções teste denidas sobre eles são lineares recebem o nome de elementos lineares, elementos cujas funções teste denidas sobre eles são quadraticas recebem o nome de elementos quadráticos e assim por diante.

2.3 FORMULAÇÃO GERAL DO MÉTODO PARA PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS 9

Figura 2.2: Funções teste para elementos quadráticos

• Funções teste de ordem (n-1): De maneira geral, consideramos elementos que possuem n pontosx^e_i,i= 1,2,· · ·, n e n funções teste, denidas por:

N_i^e(x) =

n

Y

i,j=1;i6=j

(x−x^e_j) (x^e_i −x^e_j)

Observamos aqui que a construção das funções de teste desta forma apresentam a seguinte propriedade:

N_i^e(x^e_j) =

1, se i=j

0, se i6=j (2.16)

come= 1,2,· · ·, nel.

Desta forma, cada uma das funções teste serão polinômios de Lagrange não nulos apenas em um determinado x^e_i pertencente ao elementoedenido. Além disso, note que as funções teste para elementos de ordemn−1 formam uma base para os polinômios de graun−1.

O uso de tais polinômios fornecerá propriedades para a geração de algoritmos ecazes na reso- lução do problema.

2.3 Formulação geral do método para problemas unidimensionais

De posse da formulação fraca do problema (2.9), das funções de teste e de ponderação, partiremos agora para a formulação do Método dos Elementos Finitos por meio da discretizção do domínio em estudo, onde buscamos obter um número nito de equações algébricas oriundas da discretização da formulação fraca.

Inicialmente, particionamos o intervalo de domínio do problema Ω em nt pontos e denimos o tipo de elemento que será utilizado na formulação do problema. Em cada um dos elementos, denimos as funções teste obtidas pelos polinômios de Lagrange em relação aos pontos pertencentes a cada um dos elementos do domínio e tomaremos sobre este elemento uma aproximaçãou^e(x) da forma:

u^e(x) =α^e₁N₁^e+α₂^eN₂^e+α^e₃N₃^e+α^e₄N₄^e+· · ·+α^e_nN_n^e

onde cada uma das constantes α^e_i, i = 1,2,· · · , n serão escolhidas conforme vimos anteriormente em (2.15). Observe que o número de coecientesα^e é o mesmo número de pontos do elemento eN_i^e são as funções teste obtidas pelos interpoladores de Lagrange para npontos por elemento.

A aproximação global u^h será obtida pela soma das aproximações locais, isto é u^h(x) =

nel

X

e=1

u^e(x) onde cada u^e(x) = 0sex /∈Ω^e.

Como existem descontinuidades entre as funções teste entre cada um dos elementos, a integração da formulação fraca deve ser avaliada como a somatória das integrações em cada um dos elementos da malha. Desta forma:

nel

X

e=1

(Z _x^e_n

x^e₁

dw^e

dx p(x)du^e dx

dx+

Z _x^e_n

x^e₁

w^ef(x)dx+

w^ep(x)du^e dx

_x=0

)

= 0 (2.17)

onde e representa o respectivo elemento onde a integral está sendo avaliada,no número de pontos contidos no elemento e,x^e₁ o primeiro ponto do elemento ex^e_n o último ponto do elemento.

Denimos então os vetores das funções teste, das derivadas das funções teste e dos coecientes que satisfazem 2.17restritos ao elementoe:

N^e(x) = [N₁^e(x), N₂^e(x),· · ·, N_n^e(x)] (2.18)

B^e(x) =

dN₁^e(x)

dx ,dN₂^e(x)

dx ,· · · ,dN_n^e(x) dx

(2.19) α^e= [α^e₁, α^e₂,· · ·, α^e_n] (2.20) Utilizando funções teste e funções peso da forma

u^e(x) =N^e(x)α^eT ⇒ ^du_dx^e(x) =B^e(x)α^eT w^e(x) =N^e(x)w^eT ⇒ ^dw_dx^e(x) =B^e(x)w^eT

(2.21)

e substituindo em (2.17) temos

nel

X

e=1

(w^e)^T













 Z x^e_k

x^e₁

(B^e)^Tp(x)B^edx

!

| {z }

K^e

α^e+ Z x^e_k

x^e₁

(N^e)^Tf(x)dx+

(N^e)^Tp(x)du^e dx

| {z }

f^e

x=0















= 0 (2.22)

Da equação anterior, denimos dois componentes que serão bastante úteis no Método dos Ele- mentos Finitos:

• A Matriz de Rigidez K^e do elemento e:

K^e = Z x^e_n

x^e₁

(B^e)^Tp(x)B^edx= Z

Ω^e

(B^e)^Tp(x)B^edx (2.23)

• O Vetor de Forças Externasf^e do elemento e: f^e=

Z x^e_n x^e₁

(N^e)^Tf(x)dx+ (N^e)^Tw(0) = Z

Ω^e

(N^e)^Tf(x)dx

| {z }

f_Ωe

+ (N^e)^Tt₀ Γ^e_t

| {z }

f_Γe

(2.24)

Desta forma, escolhido o tipo de elemento que será utilizado, as matrizes de rigidez e os vetores de forças externas de cada elemento podem ser calculados por meio das integrais descritas acima.

Iremos apresentar, em detalhes, montagem do sistema para elementos lineares e quadráticos e, em seguida, generalizaremos para elementos de ordens superiores.

Um detalhe importante a ser observado é que os valores dew^esão arbitrários e, sendo o numéro

2.3 FORMULAÇÃO GERAL DO MÉTODO PARA PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS 11 de graus de liberdade do problema igual ao número de constantes α a serem obtidas, podemos considerar que os valores dew^e na relação (2.22) não inuenciam na obtenção do sistema que gera a solução da formulação fraca.

2.3.1 Elementos Lineares

Numa primeira análise do método, iremos particionar Ω em n_t pontos igualmente espaçados, denotando por l^e a distância entre dois pontos consecutivos da malha. Com o uso de elementos lineares temos que cada dois pontos da malha deve ser considerado um elemento Ω^e. Temos então que:

Figura 2.3: Partição do domínio para elementos lineares.

Para cada um dos elementos, sendox^e₁ ex^e₂ os pontos que compõem o elemento e, temos que as funções teste são dadas por

N^e(x) = [N₁^e(x), N₂^e(x)] =

x−x^e₂

x^e₁−x^e₂, x−x^e₁ x^e₂−x^e₁

= 1

l^e[(x^e₂−x),(x−x^e₁)] (2.25) suas derivadas em relação ax serão dadas por

B^e(x) = d

dxN^e(x) =

dN₁^e(x)

dx ,dN₂^e(x) dx

= 1

l^e[−1,1] (2.26)

e os seus coecientesα^e na forma vetorial são dados por

α^e= [α^e₁, α^e₂] (2.27)

Temos então que a matriz de rigidez de cada elemento é dada por:

K^e= Z _x^e₂

x^e₁

(B^e)^Tp(x)B^edx= Z _x^e₂

x^e₁

1 l^e

−1 1

p(x)1

l^e

−1 1 dx

= 1

(l^e)² −1

1

−1 1 Z x^e₂

x^e₁

p(x)dx

= 1

(l^e)²

1 −1

−1 1

Z x^e₂ x^e₁

p(x)dx

K^e= 1 (l^e)²

1 −1

−1 1

Z x^e₂ x^e₁

p(x)dx (2.28)

Note que, sep(x) =p >0,∀x∈[0, l]temos que a matriz de rigidez do elemento é constante K^e= p

l^e

1 −1

−1 1

(2.29) Já o vetor de forças externas é composto por duas componentes: f_Γ^e e f_Ω^e . Na primeira com-

ponente, substituindo2.25 em2.24, temos que f_Γ^e = t₀

l^e

(x^e₂−x) (x−x^e₁)

_Γ

n

(2.30) Observe que se o ponto Γ_n não pertence ao elemento e, então o vetor f_Γ^e é nulo pois as funções teste são denidas de forma que sejam identicamente nulas para todo ponto fora de Ω^e.

Já a segunda componente fΩ^e é calculada por f_Ω^e =

Z

Ω^e

(N^e)^Tf(x)dx=

" Rx^e₂

x^e₁ N₁(x)f(x)dx Rx^e₂

x^e₁ N2(x)f(x)dx

#

= 1 l^e

" Rx^e₂

x^e₁ (x^e₂−x)f(x)dx Rx^e₂

x^e₁ (x−x^e₁)f(x)dx

#

(2.31) Observe que se f(x) =f,∀x∈[x^e₁, x^e₂]o vetorfΩ^e se reduz a:

f_Ω^e = l^ef 2

1 1

Para obtermos os coecientes α que satisfazem (2.22) devemos construir uma matriz de rigidez e um vetor de forças externas global, que associe os valores de cada uma das matrizes de rigidez e do vetor de forças externas de cada elemento as entradas da matriz de rigidez e do vetor de forças externas global. Para isso, tomando como exemplo os elementos lineares, temos que a matriz de rigidez e o vetor de forças externas relativos ao elementoesão da forma:

K^e=

k^e₁₁ k^e₁₂ k^e₂₁ k^e₂₂

f^e= f₁^e

f₂^e onde e= 1,2,· · · , n_el.

Observe que para cada dois elementos consecutivos da malha existe apenas um ponto que pertence a ambos os elementos. Desta forma, é necessário que o valor associado a este ponto na matriz de rigidez global seja igual ao valor associado a este ponto na matriz de rigidez associada ao elementoesomado ao valor obtido na matriz de rigidez(e+ 1). Neste caso, como estamos utilizando elementos lineares, este processo é feito somando-se os elementos k^e₂₂ e k^(e+1)₁₁ na matriz global de rigidez, come= 0,1,· · ·, nel−1. Portanto

K=





























k₁₁¹ k₁₂¹ 0 0 0 · · · 0

k₂₁¹ (k₂₂¹ +k₁₁² ) k₁₂² 0 0 ... 0

0 k₂₁² (k₂₂² +k₁₁³ ) k³₁₂ 0 ... 0

0 0 k₂₁³ (k³₂₂+k⁴₁₁) k⁴₁₂ ... 0

0 0 0 ... ... ... 0

... ... ... ... k⁽ⁿ₂₁^el−1) (k₂₂^(nel−1)+kⁿ₁₁^el) k₁₂^nel

0 0 0 · · · 0 k₂₁^nel k₂₂^nel





























nt×nt

Observe também que na matriz de rigidez global a entrada k_ij = 0 se, e somente se, os pontos xi e xj da malha não formam um elemento da malha de estudo.

De maneira análoga, obtemos o vetor global de forças externas somando as entradasf₂^eef₁^(e+1),

2.3 FORMULAÇÃO GERAL DO MÉTODO PARA PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS 13 come= 0,1,· · ·, n_el−1. Desta forma

f =



















f₁¹ f₂¹+f₁² f₂²+f₁³

...

f₂^(nel−1)+f₁^nel f₂^nel



















nt×1

Desta forma, nosso problema torna-se obter a solução do sistema

Kα=f (2.32)

onde K é a matriz de rigidez global do problema,f é o vetor de forças externas e α é o vetor dos coecientes que satisfazem (2.22). Por outro lado, como conhecemos o valor da função emΓe, temos que o valor de α_nt é conhecido. Desta forma, podemos reescrever o sistema linear como

K˜˜α= ˜f (2.33)

onde

K˜ =











k₁₁ · · · k_1(nt−1) k₂₁ · · · k_2(nt−1)

... ... ...

k_(nt−1)1 · · · k_{(nt−1)(nt−1)}











(nt−1)×(nt−1)

˜ α =









 α1

α₂ ...

α_(nt−1)











(nt−1)×1

˜f =











f₁−k_1ntα_nt f2−k2ntαnt

...

f_(nt−1)−k_(nt−1)ntαnt











(nt−1)×1

2.3.2 Elementos Quadraticos

Assim como para os elementos lineares, iremos particionar Ωem nt pontos igualmente espaça- dos mas agora tomaremos como um elemento Ω^e o intervalo obtido por três pontos consecutivos, conforme mostra a gura a seguir:

Figura 2.4: Partição do domínio para elementos quadrático.

Para cada um dos elementos, sendo x^e₁, x^e₂ ex^e₃ os pontos que compõem o elementoe, temos que

as funções teste são dadas por N^e(x) = [N₁^e(x), N₂^e(x), N₃^e(x)] =

(x−x^e₂)(x−x^e₃)

(x^e₁−x^e₂)(x^e₁−x^e₃), (x−x^e₁)(x−x^e₃)

(x^e₂−x^e₁)(x^e₂−x^e₃), (x−x^e₁)(x−x^e₂) (x^e₃−x^e₂)(x^e₃−x^e₁)

e, sendol^e a distância entre dois pontos, podemos escrever as funções teste como:

N^e(x) = 1

2(l^e)² [(x−x^e₂)(x−x^e₃),−2(x−x^e₁)(x−x^e₃),(x−x^e₁)(x−x^e₂)] (2.34) Suas derivadas em relação ax serão dadas por

B^e(x) = d

dxN^e(x) = 1

2(l^e)² [2x−(x^e₂+x^e₃),−4x+ 2(x^e₁+x^e₃),2x−(x^e₁+x^e₂)] (2.35) e os seus coecientesα^e, na forma vetorial, são dados por

α^e= [α^e₁, α^e₂, α^e₃] (2.36) Com isto, temos que a matriz de rigidez do elemento é dada por:

K^e= Z _x^e₃

x^e₁

(B^e)^Tp(x)B^edx= Z _x^e₃

x^e₁



 B₁^e B₂^e B₃^e



p(x)

B₁^e B₂^e B₃^e dx

= Z _x^e₃

x^e₁





B₁^eB₁^e B^e₁B^e₂ B₁^eB₃^e B₂^eB₁^e B^e₂B^e₂ B₂^eB₃^e B₃^eB₁^e B^e₃B^e₂ B₃^eB₃^e



p(x)dx

Assim

K^e= Z x^e₃

x^e₁





B₁^eB₁^e B₁^eB₂^e B₁^eB₃^e B₂^eB₁^e B₂^eB₂^e B₂^eB₃^e B₃^eB₁^e B₃^eB₂^e B₃^eB₃^e



p(x)dx (2.37)

com B^e₁ = _2(l¹e)²(2x−(x^e₂+x^e₃)) B₂^e= _2(l¹e)²(−4x+ 2(x^e₁+x^e₃))

B^e₃ = _2(l¹e)²(2x−(x^e₁+x^e₂))

Já o vetor de forças externas é composto por duas componentes: f_Γ^e e f_Ω^e . Na primeira com- ponente, substituindo (2.34) em (2.24), temos que

f_Γ^e = t0

2(l^e)²





(x−x^e₂)(x−x^e₃)

−2(x−x^e₁)(x−x^e₃) (x−x^e₁)(x−x^e₂)



 Γn

(2.38) Novamente temos que o ponto seΓnnão pertence ao elemento eo vetorfΓ^e é nulo pois as funções teste foram denidas de forma a serem identicamente nulas para todo ponto fora de Ω^e.

A segunda componente f_Ω^e é calculada por

fΩ^e = Z

Ω^e

(N^e)^Tf(x)dx=







 Rx^e₃

x^e₁ N1(x)f(x)dx Rx^e₃

x^e₁ N₂(x)f(x)dx Rx^e₃

x^e₁ N₃(x)f(x)dx









= 1

2(l^e)²







 Rx^e₃

x^e₁ (x−x^e₂)(x−x^e₃)f(x)dx Rx^e₃

x^e₁ −2(x−x^e₁)(x−x^e₃)f(x)dx Rx^e₃

x^e₁ (x−x^e₁)(x−x^e₂)f(x)dx







 (2.39) Para obtermos os coecientes α que satisfazem (2.22) devemos reunir as matrizes de rigidez e os vetores de forças externas de todos os elementos. Para elementos quadráticos, temos que cada