Análise amortizada

(1)

Notas de aula de um curso do Robert Tarjan

“Amortized Analysis Explained” por Rebecca Fiebrink, Princeton University

(2)

Considere uma lista ligada.

Custo do acesso aoi-ésimo elemento: i.

(3)

Custo de trocar dois elementos consecutivos de lugar:

constante, descontado o tempo de acessar um deles.

(4)

Heurística MTF:

ao acessar o elemento x, mova-o para o ínicio da lista.

(5)

Heurística MTF:

a b c d e

a c b d e

c a b d e

(6)

Heurística MTF:

Com MTF, custo do acesso ao i-ésimo elemento: 2i−1.

(7)

Heurística MTF:

Com MTF, custo do acesso ao i-ésimo elemento: 2i−1.

Considere uma sequência de acessos à lista.

Qual é o custo de MTF se comparado com um algoritmo ótimo de acesso?

(8)

Lista ligada e sequência de acessos a ela.

Heurística MTF:

Acesso ao i-ésimo elemento custa 2i −1.

(9)

Lista ligada e sequência de acessos a ela.

Heurística MTF:

Acesso ao i-ésimo elemento custa 2i −1.

A: algoritmo arbitrário de acesso à lista.

Análise amortizada:

custo do MTF≤4 vezes o custo deA.

(10)

Acesso e troca com anterior.

Função potencial φ: 2 vezes o número de inversões da lista de MTFem relação à lista de A.

(11)

Seja x o elemento acessado.

(12)

Seja k a posição de x na lista de MTF.

Seja i a posição de x na lista deA.

(13)

Seja k a posição de x na lista de MTF.

Seja i a posição de x na lista deA.

Suponha que Anão troca ninguém de lugar.

Custo pelo acesso a x por MTF: 2k−1.

Custo pelo acesso a x por A: i

(14)

k: posição dex na lista deMTF.

i: posição de x na lista de A.

(15)

i: posição de x na lista de A. Em MTF, depois do acesso,

pares com x e um dosk−1 elementos trocaram de posição.

(16)

Existem i−1 elementos na lista deA na frente dex.

(17)

≤min{k−1,i−1} inversões a mais depois do acesso

(18)

≥(k−1)−min{k−1,i−1} inversões a menos

(19)

≥(k−1)−min{k−1,i−1} inversões a menos Então ∆Φ≤2(2min{k−1,i−1} −(k−1)).

(20)

∆Φ ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1).

(21)

∆Φ ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1).

Custo amortizado:

cˆ = c+ ∆Φ

≤ 2k−1+4min{k−1,i−1} −2(k−1)

≤ 1+4min{k−1,i−1}

≤ 4i.

(22)

∆Φ ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1).

Custo amortizado:

cˆ = c+ ∆Φ

≤ 2k−1+4min{k−1,i−1} −2(k−1)

≤ 1+4min{k−1,i−1}

≤ 4i.

Logo o custo amortizado por custo de acesso de Aé no máximo 4.

(23)

O custo amortizado é menor que 4 em relação ao custo de A... se Anão fizer trocas...

(24)

E se Afizer trocas também?

(25)

Com uma troca, o custo de Asobe de 1.

(26)

E o potencial, como se altera? Sobe ou desce de 2.

(27)

Ou seja, o custo de Aé i+t,

onde t é o número de trocas deA após o acesso dex, e ∆Φ≤4min{k−1,i−1} −2(k−1) +2t.

(28)

Custo amortizado: cˆ ≤ 4i+2t ≤ 4(i+t).

(29)

Custo amortizado: cˆ ≤ 4i+2t ≤ 4(i+t). Custo amortizado por operação de Aé ≤4.

(30)

São árvores binárias de busca auto-ajustáveis!

ABB: árvore binária de busca

Operação SPLAY(x,S), onde S é uma splay tree:

quando x é acessado, move-sex para a raiz por rotações.

(31)

São árvores binárias de busca auto-ajustáveis!

ABB: árvore binária de busca

Operação SPLAY(x,S), onde S é uma splay tree:

Lembram-se das rotações usadas para balanceamento?

1

A

A B B C

C

x

x y

y

(32)

Operação S_PLAY(x,S), onde S é uma splay tree:

Para a análise, olhamos duas rotações de cada vez.

(33)

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Acima, o rr splay step.

(34)

2

1

B

C

A

A D

D

x

y y z

z

Acima, o lr splay step.

(35)

Eventualmente no final uma rotação simples é necessária.

1

A

A B B C

C

x

x y

y

Acima, o r splay step.

(36)

1

A

A B B C

C

x

x y

y

Além destes, o l splay, orl splay e oll splay step.

(37)

1

A

A B B C

C

x

x y

y

Além destes, o l splay, orl splay e oll splay step.

Splay steps são realizados até que x seja raiz.

(38)

(39)

Custo de pior caso doSPLAY: Θ(n),

onde n é o número de elementos na splay tree.

(40)

Queremos mostrar que uma splay tree tem

um comportamento mais parecido com o de uma ABBB.

(41)

Queremos mostrar que uma splay tree tem

um comportamento mais parecido com o de uma ABBB.

(ABBB: ABB balanceada)

(42)

S_PLAY(1,S)

2 3

4 5

6 7

8 9

10

1

(43)

S_PLAY(1,S) primeiro splay step

4 5

6 7

8 9

10

2 3 1

(44)

S_PLAY(1,S) segundo splay step

6 7

8 9

10

2 3 4

5 1

(45)

S_PLAY(1,S) terceiro splay step

8 9

10

7 6

2 3 4

5 1

(46)

S_PLAY(1,S)

quarto splay step ¹⁰

8 9 7 6

2 3 4

5 1

(47)

S_PLAY(1,S) quinto splay step

8 9 7 6

2 3 4

5 10 1

(48)

S_PLAY(1,S) quinto splay step

8 9 7 6

2 3 4

5 10 1

Total de rotações: 9

Em geral, é Θ(n), onden é o número de nós.

Agora, o maior custo de um S_PLAY nesta árvore é 7.

(49)

S_PLAY(2,S)

8 9 7 6

2 3 4

5 10 1

(50)

S_PLAY(2,S) primeiro splay step

8 9 10

2 4

5 6

7 3

1

(51)

S_PLAY(2,S) segundo splay step

2 8

10 9 4

5 6

7 3

1

(52)

8 2

4

5 6

7 3

10 9 1

(53)

8 2

4

5 6

7 3

10 9 1

Árvore bem mais balanceada após estes dois S_PLAYs.

(54)

8 2

4

5 6

7 3

10 9 1

Árvore bem mais balanceada após estes dois S_PLAYs.

Custo: número de rotações.

(55)

S: splay tree

(56)

S: splay tree

Si(x): subárvore deS enraizada em x no instante i s_i(x) =|S_i(x)|

(57)

S: splay tree

Tome ri(x) = lgsi(x).

r_i(x) indica o potencial localno nó x.

(58)

S: splay tree

r_i(x) indica o potencial localno nó x. Seja Φ_i =

xri(x).

(59)

S: splay tree

xri(x).

Mostraremos que o custo amortizado por S_PLAY éO(lgn).

(60)

S: splay tree

xri(x).

Análise amortizada dos splay steps.

(61)

S: splay tree

xri(x).

Análise amortizada dos splay steps.

x participa de todos os splay steps de S_PLAY(x,S).

(62)

Caso do rr splay step.

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

(63)

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Alteração no potencial:

Φ_i −Φ_i₋₁ =

wr_i(w)−

wr_i₋₁(w) =

w(r_i(w)−r_i₋₁(w))

(64)

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Φ_i −Φ_i₋₁ =

wr_i(w)−

wr_i₋₁(w) =

w(r_i(w)−r_i₋₁(w)) Φ_i −Φ_i₋₁ = (r_i(x)−r_i−1(x)) + (r_i(y)−r_i−1(y)) + (r_i(z)−r_i−1(z))

(65)

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Φ_i −Φ_i₋₁ =

wr_i(w)−

wr_i₋₁(w) =

w(r_i(w)−r_i₋₁(w)) Φ_i −Φ_i₋₁ = (r_i(x)−r_i−1(x)) + (r_i(y)−r_i−1(y)) + (r_i(z)−r_i−1(z)) Φ_i −Φ_i₋₁ = (ri(y) +ri(z))−(ri−1(x) +ri−1(y))

(66)

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Φ_i −Φ_i₋₁ =

wr_i(w)−

wr_i₋₁(w) =

w(r_i(w)−r_i₋₁(w)) Φ_i −Φ_i₋₁ = (r_i(x)−r_i−1(x)) + (r_i(y)−r_i−1(y)) + (r_i(z)−r_i−1(z)) Φ_i −Φ_i₋₁ = (ri(y) +ri(z))−(ri−1(x) +ri−1(y))

Φ_i −Φ_i₋₁ <r_i(y) +r_i(z)−2r_i−1(x)

(67)

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Alteração no potencial: Φ_i−Φ_i−1<r_i(y) +r_i(z)−2r_i−1(x)

(68)

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Alteração no potencial: Φ_i−Φ_i−1<r_i(y) +r_i(z)−2r_i−1(x) Custo amortizado: cˆ_i < 2+r_i(y) +r_i(z)−2r_i−1(x)

(69)

1

2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Alteração no potencial: Φ_i−Φ_i−1<r_i(y) +r_i(z)−2r_i−1(x) Custo amortizado: cˆ_i < 2+r_i(y) +r_i(z)−2r_i−1(x) Queremos uma delimitação que dependa apenas de x.