Algoritmos de Ordenação Prof. Tiago Eugenio de Melo

(1)

Algoritmos e Estruturas de Dados II

Algoritmos de Ordenação

Prof. Tiago Eugenio de Melo

tmelo@uea.edu.br www.tiagodemelo.info

(2)

Observações

● As palavras com a fonte Courier indicam as

palavras-reservadas da linguagem de programação.

(3)

Referências

● Algorithms in a Nutshell. George T.

Heineman, Gary Pollice, Stanley Selkow. O’Reilly Media, 2009.

● Projetos de Algoritmos – com

implementações em Pascal e C. Nivio Ziviani.

2a edição. Thomson, 2005.

(4)

Algoritmos de Ordenação

(5)

Introdução

(6)

Introdução

● Algoritmos de ordenação organizam os

elementos de uma lista em uma ordem (ascendente ou descendente).

(7)

Introdução

● Ordenação é uma das mais importantes

categorias de algoritmos da Computação.

(8)

Introdução

● Frequentemente são usados para diminuir a

complexidade de um problema.

(9)

Introdução

● Algoritmos de ordenação organizam os elementos

de uma lista em uma ordem (ascendente ou descendente).

● Frequentemente são usados para diminuir a

complexidade de um problema.

● Aplicam-se em problemas de banco de dados ou

de recuperação de informação.

(10)

Classificação dos Algoritmos

(11)

Classificação dos Algoritmos

● Número de comparações

(12)

Classificação dos Algoritmos

● Número de comparações ● Número de trocas

(13)

Classificação dos Algoritmos

● Localização dos dados

(14)

Classificação dos Algoritmos

– Ordenação interna

(15)

Classificação dos Algoritmos

● Todos os dados estão em memória principal (RAM).

(16)

Classificação dos Algoritmos

– Ordenação externa

(17)

Classificação dos Algoritmos

● Memória principal não cabe todos os dados.

(18)

Classificação dos Algoritmos

● Dados armazenados em memória secundária (disco).

(19)

Classificação dos Algoritmos

● Todos os dados estão em memória principal (RAM). – Ordenação externa

● Dados armazenados em memória secundária (disco).

● Recursão

(20)

Classificação dos Algoritmos

(21)

Classificação dos Algoritmos

● Uso de memória

(22)

Classificação dos Algoritmos

● Uso de memória

– In place: ordena sem usar memória adicional ou

usando uma quantidade constante de memória adicional.

(23)

Classificação dos Algoritmos

● Uso de memória

– In place: ordena sem usar memória adicional ou

usando uma quantidade constante de memória adicional.

– Alguns métodos precisam duplicar os dados.

(24)

Classificação dos Algoritmos

(25)

Classificação dos Algoritmos

● Adaptabilidade

(26)

Classificação dos Algoritmos

● Adaptabilidade

– Um método é adaptável quando a sequência de

operações realizadas depende da entrada.

(27)

Classificação dos Algoritmos

● Adaptabilidade

– Um método é adaptável quando a sequência de

operações realizadas depende da entrada.

– Um método que sempre realiza as mesmas

operações, independente da entrada, é não adaptável.

(28)

Classificação dos Algoritmos

(29)

Classificação dos Algoritmos

● Estabilidade

– Método é estável se a ordem relativa dos registros

com a mesma chave não se altera após a ordenação.

(30)

Classificação dos Algoritmos

● Estabilidade

– Método é estável se a ordem relativa dos registros

com a mesma chave não se altera após a ordenação.

(31)

Algoritmo da Bolha

(32)

Algoritmo da Bolha

● Também conhecido como Bubble Sort.

(33)

Algoritmo da Bolha

● Também conhecido como Bubble Sort. ● É o método mais simples de ordenação.

(34)

Algoritmo da Bolha

● Também conhecido como Bubble Sort. ● É o método mais simples de ordenação. ● Algoritmo

(35)

Algoritmo da Bolha

– Compara elementos adjacentes.

(36)

Algoritmo da Bolha

– Os elementos são trocados, caso não estejam

ordenados.

(37)

Algoritmo da Bolha

– Os elementos são trocados, caso não estejam

ordenados.

– Processo é repetido até a lista ficar ordenada.

(38)

Algoritmo da Bolha

(39)

Algoritmo da Bolha

● Exemplo:

(40)

Algoritmo da Bolha

● Exemplo:

(41)

Algoritmo da Bolha

● Exemplo:

● O algoritmo tem complexidade O(n2).

(42)

Algoritmo da Bolha

(43)

Algoritmo da Bolha

● Pontos positivos

(44)

Algoritmo da Bolha

– Algoritmo simples.

(45)

Algoritmo da Bolha

– Algoritmo simples. – Algoritmo estável.

(46)

Algoritmo da Bolha

● Pontos positivos – Algoritmo simples. – Algoritmo estável. ● Pontos negativos 12 / 50

(47)

Algoritmo da Bolha

● Pontos positivos – Algoritmo simples. – Algoritmo estável. ● Pontos negativos – Não adaptável. 12 / 50

(48)

Algoritmo da Bolha

● Pontos positivos – Algoritmo simples. – Algoritmo estável. ● Pontos negativos – Não adaptável.

– Muitas trocas de elementos durante a ordenação.

(49)

Algoritmo de Seleção

(50)

Algoritmo de Seleção

● Também conhecido como Selection Sort.

(51)

Algoritmo de Seleção

● Também conhecido como Selection Sort. ● É um algoritmo in place.

(52)

Algoritmo de Seleção

● Algoritmo:

(53)

Algoritmo de Seleção

● Algoritmo:

– Achar o maior (ou menor) valor da lista.

(54)

Algoritmo de Seleção

● Algoritmo:

– Achar o maior (ou menor) valor da lista. – Trocar esse elemento na posição atual.

(55)

Algoritmo de Seleção

● Algoritmo:

– Achar o maior (ou menor) valor da lista. – Trocar esse elemento na posição atual.

– Repetir o processo até a lista ficar ordenada.

(56)

Algoritmo de Seleção

(57)

Algoritmo de Seleção

● Exemplo

(58)

Algoritmo de Seleção

● Exemplo

(59)

Algoritmo de Seleção

● Exemplo

(60)

Algoritmo de Seleção

(61)

Algoritmo de Seleção

(62)

Algoritmo de Seleção

– Custo linear no tamanho da entrada para o número

de movimentos de elementos.

(63)

Algoritmo de Seleção

● Pontos negativos

(64)

Algoritmo de Seleção

– Não adaptável.

(65)

Algoritmo de Seleção

– Não adaptável. – Não estável.

(66)

Algoritmo de Inserção

(67)

Algoritmo de Inserção

● A cada iteração, o algoritmo remove um

elemento da lista de entrada e insere esse elemento na posição correta.

(68)

Algoritmo de Inserção

(69)

Algoritmo de Inserção

● Exemplo

(70)

Algoritmo de Inserção

● Exemplo

(71)

Algoritmo de Inserção

● Exemplo

(72)

Algoritmo de Inserção

(73)

Algoritmo de Inserção

● Características:

(74)

Algoritmo de Inserção

– Simples implementação.

(75)

Algoritmo de Inserção

– A ordenação é realizada in place. Requer apenas

O(1) de espaço extra de memória.

(76)

Algoritmo de Inserção

– Estável.

(77)

Algoritmo de Inserção

– Estável.

– Na prática, é mais eficiente do que o método Bolha

e Seleção.

(78)

Algoritmo de Inserção

– Estável.

– Na prática, é mais eficiente do que o método Bolha e

Seleção.

– Algoritmo usado quando a entrada está praticamente

ordenada ou quando a entrada é pequena.

(79)

Algoritmo de Inserção

(80)

Algoritmo de Inserção

(81)

Algoritmo de Inserção

– Adequado para ordenar vetores pequenos.

(82)

Algoritmo de Inserção

– É o método a ser utilizado quando a lista está

quase ordenada.

(83)

Algoritmo de Inserção

quase ordenada.

– É um bom método quando se deseja adicionar

poucos elementos a uma lista ordenada (custo linear).

(84)

Algoritmo de Inserção

quase ordenada.

– É um bom método quando se deseja adicionar

poucos elementos a uma lista ordenada (custo linear).

– É estável.

(85)

Algoritmo de Inserção

– É o método a ser utilizado quando a lista está quase

ordenada.

– É um bom método quando se deseja adicionar poucos

elementos a uma lista ordenada (custo linear).

– É estável.

(86)

Algoritmo de Inserção

ordenada.

– É estável.

– Número de comparações tem crescimento quadrático.

(87)

Algoritmo de Inserção

ordenada.

– É estável.

– Número de comparações tem crescimento quadrático. – Alto custo de movimentação de elementos na lista.

(88)

Mergesort

(89)

Mergesort

● Estratégia de divisão e conquista

(90)

Mergesort

● Algoritmo baseado em dois passos:

(91)

Mergesort

– Divide a lista de entrada em N sublistas, onde cada

sublista tem 1 elemento não ordenado e N é o número de elementos da lista.

(92)

Mergesort

– Divide a lista de entrada em N sublistas, onde cada

sublista tem 1 elemento não ordenado e N é o número de elementos da lista.

– Repetidamente junta (merge) as sublistas para ir

produzindo novas sublistas ordenadas até que

todos os elementos sejam agrupados (merge) em uma única lista ordenada.

(93)

Mergesort

(94)

Mergesort

● Exemplo

(95)

Mergesort

● Exemplo

(96)

Quicksort

(97)

Quicksort

● É outro algoritmo baseado na estratégia de

divisão e conquista.

(98)

Quicksort

● É outro algoritmo baseado na estratégia de

divisão e conquista.

● Apesar dele ser um pouco mais complicado, na

maioria das implementações ele é mais eficiente do que o Mergesort e raramente alcança o pior caso de O(n2).

(99)

Quicksort

(100)

Quicksort

● Algoritmo

(101)

Quicksort

● Algoritmo

– Seleciona-se um elemento da lista chamado de

pivot.

(102)

Quicksort

● Algoritmo

pivot.

– Executa-se a operação de partição

(103)

Quicksort

● Algoritmo

pivot.

● Os elementos menores que o pivot ficarão a sua

esquerda.

(104)

Quicksort

● Algoritmo

pivot.

● Os elementos menores que o pivot ficarão a sua

esquerda.

● Os elementos maiores que o pivot ficarão a sua direita.

(105)

Quicksort

● Algoritmo

– Seleciona-se um elemento da lista chamado de pivot. – Executa-se a operação de partição

● Os elementos menores que o pivot ficarão a sua esquerda.

● Os elementos maiores que o pivot ficarão a sua direita.

– De modo recursivo, aplica-se os passos anteriores

separadamente para cada sublista onde o último

pivot é o elemento central.

(106)

Quicksort

● Exemplo

(107)

Quicksort

● Exemplo

(108)

ShellSort

(109)

ShellSort

● Proposto por Donald Shell em 1959.

(110)

ShellSort

● É uma extensão do algoritmo de ordenação por

inserção.

(111)

ShellSort

inserção.

● Ordenação por inserção só troca elementos

adjacentes para determinar o ponto de inserção.

(112)

ShellSort

inserção.

● Ordenação por inserção só troca elementos

adjacentes para determinar o ponto de inserção.

● O método ShellSort permite fazer trocas de

elementos distantes.

(113)

ShellSort

(114)

ShellSort

● Algoritmo

(115)

ShellSort

● Algoritmo

– Os conjuntos de elementos separados de h

posições são ordenados.

(116)

ShellSort

● Algoritmo

● O elemento na posição x é comparado (e trocado) com o

elemento da posição x-h.

(117)

ShellSort

● Algoritmo

● A lista resultante é composta de h segmentos ordenados

e entrelaçados.

(118)

ShellSort

● Algoritmo

● A lista resultante é composta de h segmentos ordenados

e entrelaçados.

– A lista é dita estar h-ordenada.

(119)

ShellSort

● Algoritmo

– Os conjuntos de elementos separados de h posições

são ordenados.

● A lista resultante é composta de h segmentos ordenados e

entrelaçados.

– A lista é dita estar h-ordenada.

– Quando h = 1 o algoritmo é equivalente ao método

de inserção.

(120)

ShellSort

● Exemplo: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a0 a11 a12 Entrada 62 83 18 53 07 17 95 86 47 69 25 28 H = 5 17 28 18 47 07 25 83 86 53 69 62 95 H = 3 17 07 18 47 28 25 69 62 53 83 86 95 H = 1 07 17 18 25 28 47 53 62 69 83 86 95 27 / 50

(121)

ShellSort

(122)

ShellSort

(123)

ShellSort

● Escolha da distância de salto (h)

(124)

ShellSort

– Qualquer sequência terminando com h = 1 garante

a ordenação correta (h = 1 é a ordenação por inserção).

(125)

ShellSort

– Forte impacto no desempenho do algoritmo.

(126)

ShellSort

– Forte impacto no desempenho do algoritmo. – Sequência para h:

(127)

ShellSort

● h(s) = 1, para s = 1

(128)

ShellSort

● h(s) = 1, para s = 1

● h(s) = 3h(s-1) + 1, para s > 1

(129)

ShellSort

– Qualquer sequência terminando com h = 1 garante a

ordenação correta (h = 1 é a ordenação por inserção).

● h(s) = 1, para s = 1

● h(s) = 3h(s-1) + 1, para s > 1

● A sequência corresponde a 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1.093…

(130)

ShellSort

● h(s) = 1, para s = 1

● h(s) = 3h(s-1) + 1, para s > 1

● Knuth mostrou experimentalmente que essa sequência é difícil

de ser batida por mais de 20% de eficiência.

(131)

ShellSort

● h(s) = 1, para s = 1

● h(s) = 3h(s-1) + 1, para s > 1

● Knuth mostrou experimentalmente que essa sequência é difícil de

ser batida por mais de 20% de eficiência.

● Outras escolhas são possíveis.

(132)

ShellSort

(133)

ShellSort

(134)

ShellSort

a ordenação correta.

(135)

ShellSort

● h = 1 é ordenação por inserção.

(136)

ShellSort

– Forte impacto no desempenho do algoritmo.

(137)

ShellSort

– Forte impacto no desempenho do algoritmo. – Exemplo de sequência ruim: 1, 2, 4, 8, 16…

(138)

ShellSort

– Forte impacto no desempenho do algoritmo. – Exemplo de sequência ruim: 1, 2, 4, 8, 16…

● Não compara elementos em posições pares com

elementos em posições ímpares até a última iteração.

(139)

ShellSort

(140)

ShellSort

● A complexidade do algoritmo ainda não é

conhecida.

(141)

ShellSort

conhecida.

● Ninguém ainda foi capaz de encontrar uma

fórmula fechada para sua função de complexidade.

(142)

ShellSort

conhecida.

● Ninguém ainda foi capaz de encontrar uma

fórmula fechada para sua função de complexidade.

● A sua análise ainda contém alguns problemas

matemáticos difíceis. Exemplo: escolher a sequência de incrementos.

(143)

ShellSort

conhecida.

● Ninguém ainda foi capaz de encontrar uma fórmula

fechada para sua função de complexidade.

● A sua análise ainda contém alguns problemas

matemáticos difíceis. Exemplo: escolher a sequência de incrementos.

● O que se sabe é que cada incremento não deve

ser múltiplo do anterior.

(144)

ShellSort

(145)

ShellSort

● Conjecturas referentes ao número de

comparações para a sequência de Knuth:

(146)

ShellSort

– Conjectura 1: C(n) = O(n1,25)

(147)

ShellSort

– Conjectura 1: C(n) = O(n1,25)

– Conjectura 2: C(n) = O(n (ln n)2)

(148)

ShellSort

(149)

ShellSort

(150)

ShellSort

– É uma boa opção para arquivos de tamanhos

moderados.

(151)

ShellSort

moderados.

– Implementação simples e requer uma quantidade

de código pequena.

(152)

ShellSort

moderados.

de código pequena.

(153)

ShellSort

moderados.

de código pequena.

– O tempo de execução do algoritmo é sensível à

ordem inicial do arquivo.

(154)

ShellSort

moderados.

– Implementação simples e requer uma quantidade de

código pequena.

– O tempo de execução do algoritmo é sensível à

ordem inicial do arquivo.

– O método não é estável.

(155)

Counting Sort

(156)

Counting Sort

● É um algoritmo de ordenação que não

necessita da operação de comparação entre os elementos.

(157)

Counting Sort

● Por isso, é considerado como algoritmo de

ordenação inteira (integer sorting algorithm).

(158)

Counting Sort

● Por isso, é considerado como algoritmo de

ordenação inteira (integer sorting algorithm).

● Pode ser usado para ordenar uma lista de

elementos cujos valores estão num intervalo pré-definido [0,k).

(159)

Counting Sort

● É um algoritmo de ordenação que não necessita da operação de comparação entre os elementos. ● Por isso, é considerado como algoritmo de

ordenação inteira (integer sorting algorithm). ● Pode ser usado para ordenar uma lista de

elementos cujos valores estão num intervalo pré-definido [0,k).

● É um algoritmo de ordenação estável.

(160)

Counting Sort

● Exemplo

(161)

Counting Sort

● Exemplo

(162)

Counting Sort

(163)

Counting Sort

● Algoritmo

(164)

Counting Sort

● Algoritmo

– Ordenar uma lista A de tamanho N.

(165)

Counting Sort

● Algoritmo

– Ordenar uma lista A de tamanho N. – Passos:

(166)

Counting Sort

● Algoritmo

● Inicializa-se uma lista Aux[] com 0s, onde o tamanho

dessa lista deve ser >= max (A[]).

(167)

Counting Sort

● Algoritmo

● Percorra A e armazene a quantidade de ocorrências de

cada elemento de A em uma posição apropriada de Aux.

(168)

Counting Sort

● Algoritmo

● Percorra A e armazene a quantidade de ocorrências de

cada elemento de A em uma posição apropriada de Aux.

● Inicializa-se sortedA[] vazio.

(169)

Counting Sort

● Algoritmo

– Ordenar uma lista A de tamanho N.

– Passos:

● Inicializa-se uma lista Aux[] com 0s, onde o tamanho dessa

lista deve ser >= max (A[]).

● Percorra A e armazene a quantidade de ocorrências de cada

elemento de A em uma posição apropriada de Aux.

● Percorra a lista Aux[ ] e copie i em sortedA para

Aux[i] número de vezes, onde 0 <= i <= max(A[]).

(170)

Counting Sort

● Algoritmo

● Inicializa-se uma lista Aux[] com 0s, onde o tamanho dessa lista deve

ser >= max (A[]).

● Percorra A e armazene a quantidade de ocorrências de cada elemento de

A em uma posição apropriada de Aux.

● Percorra a lista Aux[ ] e copie i em sortedA para Aux[i] número de

vezes, onde 0 <= i <= max(A[]).

– A lista A[ ] somente pode ser ordenada por esse algoritmo se o

valor máximo de A é menor do que o tamanho máximo de Aux[].

(171)

Counting Sort

(172)

Counting Sort

● Complexidade

(173)

Counting Sort

● Complexidade

– A lista A[] é percorrida no tempo de O(N).

(174)

Counting Sort

● Complexidade

– A lista A[] é percorrida no tempo de O(N). – A lista Aux[] é percorrida no tempo de O(k).

(175)

Counting Sort

● Complexidade

– A lista A[] é percorrida no tempo de O(N). – A lista Aux[] é percorrida no tempo de O(k). – Portanto, o tempo médio é O(N + k).

(176)

Bucket Sort

(177)

Bucket Sort

● Também conhecido como bin sort.

(178)

Bucket Sort

● Supõe que os elementos da entrada estão

distribuídos.

(179)

Bucket Sort

distribuídos.

● A ideia é dividir os elementos em segmentos de

mesmo tamanho (buckets).

(180)

Bucket Sort

distribuídos.

● Espera-se que o número de elementos seja o

mesmo em todos os buckets (segmentos).

(181)

Bucket Sort

● Supõe que os elementos da entrada estão distribuídos.

● Espera-se que o número de elementos seja o mesmo

em todos os buckets (segmentos).

● Em seguida, os elementos são ordenados por um

método qualquer.

(182)

Bucket Sort

● Supõe que os elementos da entrada estão distribuídos.

● A ideia é dividir os elementos em segmentos de mesmo

tamanho (buckets).

● Espera-se que o número de elementos seja o mesmo

em todos os buckets (segmentos).

● Em seguida, os elementos são ordenados por um

método qualquer.

● Depois os elementos são concatenados.

(183)

Bucket Sort

(184)

Bucket Sort

● Exemplo:

(185)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

(186)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

(187)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

(188)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

12

(189)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 12

(190)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 12 23

(191)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 5 12 23

(192)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 5 8 12 23

(193)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 5 8 12 23 28

(194)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 5 8 12 11 23 28

(195)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 5 8 12 11 23 28 26

(196)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 5 8 12 11 15 23 28 26

(197)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 5 8 12 11 15 23 28 26

(198)

Bucket Sort

● Exemplo:

12 7 23 5 8 28 11 26 15

7 5 8 12 11 15 23 28 26

(199)

Bucket Sort

● Exemplo: 12 7 23 5 8 28 11 26 15 7 5 8 12 11 15 23 28 26 5 7 8 39 / 50

(200)

Bucket Sort

● Exemplo: 12 7 23 5 8 28 11 26 15 7 5 8 12 11 15 23 28 26 5 7 8 11 12 15 39 / 50